Abstrakte kontinuierliche Gruppen

Abstrakte kontinuierliche Gruppen. Yon OTTO SCHREIER in Hamburg.

1. L- Gruppen. Im folgenden wird einc Definition fib' abstrakte kontinuierliche

Gruppen gegeben, abstrakt in dem Sinn, daff i~ber die Natur der Gruppen- elemente keinerlei Voraussetzung gemacht wird. Sodann werden einige grundlegende Eigenschaften dieser Gruppen abgeleitet und iusbesondere die ~rage untersucht, inwieweit eine kontinuierliche Gruppe durch ihr Verhalten im kleinen bestimmt ist. Die Hauptergebnisse lassen sich etwa so zusammenfassen:

I. Alle Elemente einer kontinuierlichen Gruppe kOnnen aus Elementen zusammengesetzt werden, die in beliebiger N~he des Einheitselements liegen (Theorem I). Dies ist ~brigens selbst dann nicht unmittelbar in LIEs zweitem Fundamentalsatz enthalten, wenn es sich um eine L1~sche Gruppe handelt; denn zum Beweis des zweiten Fundamentalsatzes werden Existenzs~tze aus der Lehre yon den Differentialgleichungen herangezogen, so dab man sich auf eine hinl~nglich kleine Umgebuug der Identit~t beschr~nken muff; man erhi~lt also von hier aus bloff das Teilergebnis: Es gibt eine Umgebung der Ideutit~t, deren s~mtliche Elemente sich aus Elementen zusammensetzen lassen, die der ]dentit~t beliebig nahe liegen.

IL Eine kontinuierliche Gruppe ~ bestimmt eindeutig eine zweite ~, yon der Art, daff jede kontinuierliche Gruppe, die mit ~ im k]einen iibereiustimmt, mit einer Faktorgruppe yon ~ einstufig isomorph i s t (Theorem II). Auf LxEsche Gruppen angewendet, lehrt dieser Satz, in welcher Beziehung Gruppen stehen, die ,gleich zusammengesetzt" sind, d. h. in den Zusammensetzungskonstanten d.~ fibereinstimmen. - - Zugleich erhalten wir auch einen gewissen Eiublick in die topologische Struktur der kontinuierlichen Gruppen (Satz 11).

Offenbar mul3 auch in einer abstrakten kontinuierlichen Gruppe der Grenzbegriff eine wesentliche Rolle spielen; es liegt daher nahe, zu den Begriffen der abstrakten Gruppentheorie zun~chst bloff den Grenz- begrif[ hinzuzunehmen. Wir gelangen so zum Begriff der L-Gnlppe, die folgendermaflen deflnie~ werden soll:

D e f i n i t i o n 1. Eine Gruppe heiBt L -Gruppe , wenn in ihr ein Grenzbegriff definiert ist, der folgenden Forderungen geniigt: a ) I s t l i m A , ~ = A und lira An~---B, so ist A - - B . b) Ist limA~-----A und

limn,. = ~ , so ist limAn~ -h- A. c) ]st limAn+~ = A z so ist

Zusatz wiihrend der Drl~cklegung. Soeben erschien eine Arbeit ,Sur la th~orie analytique des groupes contiuus finis" yon H. MI~.tR (Journ. de Math. (9) 4"(1925), 8.23), in deren erstem Teil eine Reihe yon topologischen Fragen far Gruppen yon birationalen Transformationen untersucht wild; die Ergebnisse stehen in engstem Zusammenhang mit Satz 8, 10, 11 und Theorem II der vorliegenden Arbeit.

16 O. 8chreier.

lira A,, = A. d) Ist A , , = A ~ fiir alle n, so ist limAn .... A~. e) Ist J ~ = O 0 l t = O O

lira A,, ~ A und lim B,~ ~--- B, so ist lira A~ B,~ - - A B. f) Ist lira A~ = A,

so ist limA,71 ~ A-k

Unser Grenzbegriff soll also neben einigen selt)stverstltndlichen Eigensehaften insbesondere die besitzen, daft ibm zufolge das Produkt zweier Gruppenelemente sowie alas inverse Element stetige Funktionen sind.

D e f i n i t i o n 2. Zwei L-Oruppen St, ~j sind s t e t i g i somorph , wenn es ehle Abbildung yon ~ auf ~9 gibt, die eineindeutig, umkehrbar stetig und isomorph ist.

Sei ~ eine L-Gruppe und 9~ ein Nolanalteiler yon ~. Wir wollen versuchen, auf Grund des Grenzbegriffs in ~ auch in der FaktorgTuppe ~/!R einen Grenzbegriff einzufiihren. Wir definieren lira 9~An = ~A, wenn

es in 9~ eine Folge {N,~} und ein Element Ngibt, so dag lira N,~ An ~ N A . n ~ 0 0

Genfigt dieser , ,na t f i r l iche G r o n z b e g r i f f " unseren Forderungen? b), c), d), e), f) sind offenbar erfiillt. Es bleibt nut "a) nachzupriifen. Sei also lira ~ A,, ---- 9~ A und lim !R A,, ~ 9~ B, d.h. lira Nn A,, = N A ,

lira 5;',A,, ~-- N ' B . a) besagt, dai~ dann B A -1 in ~ liegen soll. Nun

ist nach d), e), f) B A -1 = lim N,'/, wo N , ' / ~ N '-1 N,~ Nn -t N..gesetzt n = O 0

ist. {N,','} ist also eine gewisse konvergente Folge aus N. Ist umgekehrt {2\~'} eine beliebige konvergente Folge aus 9~, so k0nnen wir N' ~-- E (Einheit), h;', ~- N,'[ N -I ~ und. B ~ lim 2~5'[. A setzen.

Die Gfiltigkeit von a) ist daher gleichbedeutend mit der Abgeschlossen- heit von ~ und es gilt

Sa tz 1. Eine Faktorgruppe einev L-GrupTe ist bei natiirlicher Gren~- definition stets und nur dann eine L-Gruppe, wenn der entsprechende Normalteiler abgescklossen ist.

Wir erhalten so zu jedem abgeschlossenen Normalteiler 9l einer L-Gruppe ~ eine neue L-Gruppe, die wir F a k t o r - L - G r u p p e yon 9l nennen und mit (~/~)L bezeichnen wollen.

D e f i n i t i o n 3. Die L-Gruppe i~ ist m e h r s t u f i g s t e t i g i somorph mit der L-Gruppe ~', wenn es eine eindeutige und stetige Abbildung a yon i~ auf ~' mit folgenden Eigenschaften gibt: 1. Liegt A' in ~', so gibt es ein A in ~, so da~ A' = a(A). 2. e~(AB) = a(A) a (B) . 3. Ist {A~} eine konvergente Folge aus ~', so gibt es eine konvergente Folge {An} in i~, so da~ A'n ~ a(An) fiir a l l en .

Analog zu einem bekannten Satz der Gruppentheorie besteht ein einfacher Zusammenhang zwisehen mehrstufigem stetigen Isomorphismus mid den Fakfor-L-Gruppen:

Abstrakte kontinuierlichc Grupl)en. 17

Satz 2. Einc L-Grtq~pc i.~'t mit .]cder ihrer F~d,'/or-L-(;r~pp~<~t mehrstufig stetig isomorpll. 1st mngekehrt ~ ~l~it ~' mehr.,./t~./i:q .~/e/ig isomorph, so ist ~' steti.q isomorph mit ~iner Fak/or-L-Gru]~pc ~'on ~,.

Die erste Hitlfte des Satzes folgt unmittelbar aus den Definitionen. Sei ~ mit ~' mehrstufig stetig isomorph, ~ eine gemafi Definition 3 gewahlte Abbildung von ~ auf ~/ und 9l der Normalteiler yon ~, der dureh a auf die Einheit yon ~' abgebildet ist. Aus der Stetigkeit yon a folgt, da~ 9~ abgeschlossen ist. Daher kanu (~/~)~ gebildet werden. Nunmehr ergibt sich die Richtigkeit der Behauptung ohne weiteres,

Wir fiifiren jetzt noch den Umgebungsbegriff folgendermaflen ein: D e f i n i t i o n 4. Eine Teilmenge 11(.4) einer L-Grnppe ~ ist eine

U m g e b u n g des Elements A yon ~, wenn fiir jede gegen ,4 konver- gierende Folge {A,,} aus ~ fast alle An in ti(A) liegen.

Der Dm'chschnitt zw.eier Umgebungen ist wieder eiue Umgebung. Jede Umgebung von A enthRlt nach d) yon Definition I das Element A. Im folgenden ist unter einem Produkt, in dem eine Teihnenge ~/ der

betrachteten G~ppe als Faktor ,~uftritt, die Menge derjenigen Gruppen- elemente zu verstehen, die man erh~ilt, wenn man ~[ dutch tin be'liebiges Element yon ~/ ersetzt. Ferner bedeute ~.I -~ die Menge der zu den Elementen yon ~[ inversen Elemente.

Satz 3. Ist ti(A) eine Umgebu~g t'on A, so h't B . t i ( A ) . ( ' ~4,~ Um,qebung yon B A C ~nd ti(A) -~ einc Umqeb~ng con A - k

Der Beweis liegt auf der Hand.

2. Kontinuierliche Gruppen. D e f i n i t i o n 5. Eine r - g l i e d r i g e Gruppe ist eine L-Gruppe, in

der jedes Element zumindest eine Umgebung besitzt, die topologisches (d. h. eineindeutiges und umkehrbar stetiges) Bild einer o f fenen Kugel des r-dimensionalen Eukl.idschen Raumes ist. Eine solche Umgebung soil kurz als K u g e l u m g e b u n g bezeichnet werden.

- Nach Satz 3 geniigt es tibrigens, die Existenz einer Kugelumgebung blol~ fill' ein Element zu fordern.

S atz 4. Jede Um.qeb~tnq eines Ele~nents A ei~er r-gliedrige~t Gr~q~p~ cnthiilt eine Ku:qelumgeb~ng yon A.

Sei ti eine Kugelumgebung, ~ eine beliebige Umgebung yon .4, v eine topologische Abbildung der Kugel ~ - [ - ~ + . . . -~ x~ ~ 1 auf lt, und zwar bildc ~ den Mittelpunkt der Kugel auf A ab. ti,, sei das

1 �9 " -- tin ist dann auch eine Kugel- Bild der Kugel .~ ~ ~ ~ . . . ~ x;. ~ n "

umgebung yon A. Angenommen kein ti,~ liege ganz in !8. Dann wRhlen wir in jedem ti~ ein U,,, das nicht in ~ liegt. Wegen der Stetigkeit yon r wiire aber lira ~,~ ~ A. Also wiire 2~ keine Umgel)m~g yon A.

! ~ O. Schreier.

Sa tz 5. Sei 11(A) eine K~. elumgebun.q you A und B ein Element yon If(A). Dann ist 1I(.4) auch eine (Kugel-) Umgebung yon B.

Wit wahlen eine Kugelumgebung 11(B) yon B, etwa A -1 1I(.4)B. a, ~ seien topologisehe hbbfldungen yon 11(A) bzw. 11(B) auf je eine r-dime~ionale Kugel, B(B) sei der Mittelpunkt yon ~(U (B)). Ist dama I~ eine zu ~(11(B)) konzentrisehe kleinere Kugel, so ist ~-l(b) eine Umgebung yon B. Es genfigt also zu zeigen, daft b so gewlthlt werden kann, daI~/~-1 (b) ~ 11(A). Zu diesem Zweek wahlen wir eine so kleine Kugel [ um a (B), dal~ a-~(f) ~ ll (A) und a -~ ([) <51I (B). Daft dies m0glieh ist, erkennen wir wie beim Beweis yon Satz 4. Nun bflden wir r (f)) ~ b'. b' enthalt ~(B). Naeh BROUWERS Satz yon der Gebiets- invarianz ~) ist b' ein Gebiet, enthalt also eine Kugel b u m ~(B) und es ist ~-~ (b) < a -~ ([) < 11 (A). Damit ist Satz 5 bewiesen.

D e f i n i t i o n 6. Eine r - g l i e d r f g e k o n t i n u i e r l i e h e G r u p p e ist eind im Sinne von LENNES-HAUSDORFF zusammenhangende, r-gliedrige Gruppe, eine Gruppe also, die sich nieht in zwei nieht-leere, abgesehlossene und fremde Teile zerlegen lal~t. Wenn auf die spezieUe Zahl r kein Gewieht gelegt wird, so 1assert wir den Zusatz ,r-gliedrig" aueh weg.

Wir wollen zeigen, da6 jede r-gliedrige Gruppe eine r-gliedrige kontinuierliche Untergruppe enthalt. Sei also (~ eine r-gliedrige.Gruppe und 11(E) eine Kugelumgebung tier Einheit ~ yon (~. Wit bilden die Menge R a l l e r Produkte aus endlieh vielen Elementen yon 11 (E).

ist zusammenhi~ngend . Sei namlieh K = U~ U~. . . Ua irgendein Element von ~ (Ui in U(E).; i = 1, 2, . . . , s). Ui werde mit E dureh einen in 11(E) verlaufenden Kurvenbogen ~ verbunden. Dann ist {~ -~ U~ ~ 4 U~ Ua {~s ~- - . . ~- U~ U~ . . . U~-x Ee eine Kurve, die E m i t K verbindet und ganz in ~ verlauft. Daraus folgt offenbar die Richtigkeit der Behauptung. ~ ist a b g e s e h l o s s e n . Sei H ein Haufungselement yon ~, also H = lira Ka, wo alle K , in ~ liegen. Wir setzen

Ln = K~ -~ H. Es ist lim Ln = E, daher liegen fast alle L , in U (E).

Liegt aber L,~ in 11(E), so liegt KnLn ~ H in R. ( ~ - - R ist ab- g e s c h l o s s e n . Sei H ein Haufungselement von ( ~ - - ~ , also H = lira Gn,

wo alle G, in ( ~ - - ~ liegen. Wir setzen H L n ----- G,,. Es ist lira L , = E,

daher liegen fast alle Ln in 11 (E). Lage nun / - / in R, so waren auch fast alle G,, Elemente v0n ~; dies ist ein Widerspruch. Jede zusammenhangende Teilmenge von (~, die E enthRlt, liegt daher in ~, d. h. ~ ist die K o m p o n e n t e des Elements E. Waren wir von 11'(E) = 11(E) -1 statt von 11 (E) ausgegangen, so waren wir zu der Menge ~-~ gekommen. Wegen der Einde~tigkeit der Komponente ist daher ~ - - - - ~ - ~ . Da

i) L. E. J. BROUWER, Math. Anll. 71 (1912), S. 305.

Abstrakte kontinuierliche Gruppen. 19

fibr nach Konstruktion St .~ -= ~ ist, ist ~ eine G r u p p e , trod zwar eine r-gliedrige kontinuierliche Gruppe, da l l ( E ) ~ ~. ~ ist sogar Normal te i le l~von q~. Denn wenn wit als Ausgangsumgebung (7 -1 11(E)G wahlen, so ergibt sich G -1 St G = St ffir jedes G aus 6}. Sei nun St* irgendeine in (~ enthaltene r-gliedrige kontinuierliche Gruppe. Dann liegt zunitchst St* als zusammenhitngende Menge ganz in St. l l*(E) sei eine Kugelumgebung der Einheit in ~*. In analoger Weise wie beim Beweis yon Satz 5 erkennen wir, dal~ l l*(E) so klein gew~thlt werden kann, dal3 ll* ( E ) ~ II (E). Der Satz von der Gebietsinvarianz ergibt dann wie dort, dal~ l l*(E) noch eine Kugelumgebung ~ ( E ) tier Einheit in St enthitlt. St* enthRlt dann als Gi-appe auch alle Produkte aus endlich vielen Elementen von !8(E), also naeh dem 0bigen al le Elemente von St; d. h. ~ ist die einzige r-gliedlige kontinnierliche Unter- gruppe von (~. Fassen wit zusammen, so erhalten wir das

Theorem I. Jed<~ r-qliedrige Gr~ff)pe (~ ent/dilt genau ei~l~ r-glicdri.q<, kontinuierliche Gruppe St. In ~ .r je zwei Elemenle dutch circe K~t~'ve l'~'bindba~'. St ist durct~ jede der beideu E~enschaften gd~ennzeichlwt: 1. St ist die Kompanente des Einkeilselements. 2: 1st 11 eine Kugel- umgebung des Einheitselements in (~, ,~o bar St ~t~ls all(,~l Pr~&&le~t 7:on endlich vielen Elementen aus 1I").

Insbesondere enthitlt nach Theorem I eine r-gliedrige kontinuierliche Gruppe keine r-gliedrige kontinuierliche echte Untergruppe.

Sa tz 6. Jede kontinuierliche G~tppe enthiilt eine abziihlbare iiberall dichte Untergrttppe.

St sei eine kontinuierliehe Gruppe, 1I (E) eine Kugelmngebung der Einheit, !~ eine in 11(E) dichte abzlthlbare Menge..~1 sei die dutch die Elemente yon ~ erzeugte (abzahlbare) Untergruppe yon ~, d.h. die Menge der Elemente, die sich al~s den Elementen yon !~ und ~-1 zusammensetzen lassen. Wir wollen zeigen, daft 92 in St dicht liegt. K sei ein beliebiges Element yon ~ . Nach Theorem I kann es in der Gestalt K ~-- U~ U~. . . Us (Ui in 11(E)) angenommen werden. Nuu w~thlen wir

I B~n)~ fiir jedes i ( i = l , 2 , . . . , s ) eineFolge~ i ~ aus ~, die gegen Ui kon- . . . . t~(") so sind die A,, Elemente vergiert. Setzen wir dann A~ B~ '') B~ "~ ,.~ ,

von 2 und es gilt lira A, - - K. n - - O 0

Satz 7. Jede 1,'o~ti~luierlich~, G~'uppe liiflt si<'h dutch abziihlbar ~'ie/<, Kugelumgeb~tr~gen iiberde('ken.

Sei St eine kontinuierliche Gruppe, 92 eine in ~ dichte abzRhlbal'e Menge und l l (E) eine Kugelumgebung der Einheit. Dann iiberdecken die Umgebungen Al l (E) , wo .4 die Menge 9~ durehl~tuft, die Gruppe St.

~) Die Tcilaussage yon Theorem I ,Die Kompouente des Eiuheit~elements i.qt ein Normalteilcr:' ~i{t fiir beliebige L-Oruppen.

20 0. Schreier.

Ist nitmlich K eiu Element vol~ ,~t und K ~ lira An (An in ~I), so ist n ~ G O

die Aussage , K liegt in A, II(E)" gleichbedeutend mit ,A~ 1 K liegt in II(E)", dies aber triiR ffir fast a l l e n zu.

Aus jedem der Slttze 6, 7 folgt unmittelbar: J ede kon t inu ie r l i che Gruppe hat die M&chtigkeit des Kontinuums.

A und B(A ~- B) seien konjugierte Elemente einer kontinuierlichen Gruppe 9, etwa B ~- K -~ A K. Wir verbinden E mit K dutch eine in ~ verlaufende Kurve ~. Lassen wir nun C die Kurve ~ yon E nach K durchlaufen, so durchl&uft C -~ AC eine Kurve yon A nach B. D.h.: Je ~wei FAemente einer Klasse yon konjugierten Elementen in einer kontinuierlichen Gruppe lassen sich innerhalb der Klasse dutch eine Kurve verbinden. (Insbesondere ist also jede Klasse zusammenh~tngend.) Daraus folgt unmittelbar

Satz 8. Ist ~ ein Normalteiler einer kontinw~erlichen Gruppe und entb~lt ~ ]wine Kurve, so ist 9~ Teiler des Zentr~ms yon 9s).

Ebenso beweist man Satz 9. Enthdlt das Zentrum ~ einer kontinuierlichen Gruppe

keine Kurve, so besitzt die Faktor.qruppe 9 / ~ kein ~nvariantes Element auJ~r der Einheit~).

3. Im kleinen isomorphe Gruppen. Defini t ion 7. Zwei kontinuierliche Gruppen ~, 9 ' heiflen iso-

morph im kle inen, wenn es eine Umgebung II(E) der Einheit in 9, eine Umgebung II~(E ' ) d e r Einheit in ~ ' und eine Abbildung a yon 11(E) auf 11~(E') yon folgender Beschaffenheit gibt: 1. a ist eineindeutig und umkehrbar stetig. 2. Ist U1Uz ~ U~ (U~, U~, Us in H(E)), so ist a(U~) a(Us) --~ a(Us). 3. Ist ~ U.', = U~ (U~, U~, U~ in 11' (E')), so ist a-~(U~x)e-~(U~)~-a-~(U~). - - Die Umgebungen II(E), t l ' (E ' ) nennen wir s te t ig isomorph.

Die Beziehung ,isomorph im kleinen" ist t rans i t iv . Ist namlich 9 mit 9 ' und ~ ' mit .~" isomorph im klei, en und sind 11(E), lI ' (E') bzw. U| (E'), Hi' (E") Paare stetig isomorpher Umgebungen, so sind die Bilder ll~ (E), 1I~' (E") des Durchschnittes 1I~ (E') yon l l '(E') und 11'1 (E') in 11 ('E) und 1I;' (E") stetig isomorphe Umgebungen der Einheiten in 9 und ~". Wir kC~nnen daher yon Klassen im kleinen isomorpher Gruppen sprechen.

Der nltheren Untersuchung der im kleinen isomorphen Gruppen schicken wir einen Hilfssatz voraus.

~) Satz 8 ist eine Verschiirfung des allgemeineren Satzes: Ist ~ Normalteile]: einer" zusammenhlmgenden L-Gruppe 2 und beatehen die Komponenteu yon ~ aus einzelnen Elementen, s~ ist ~ Teiler des Ze,trums yon ~.

') Auch hier gilt ein analoger Satz ffir zusammenhiingende L-Gruppen.


H i l f s s a t z I. Ist U(E) eine Umgebung der Eiuheit in einer kontinttierliehen Gruppe, so gibt es eine Umgebtmg ~(E) , so dal3 ~ . ~ ,~ tt, ebenso eine Umgebung ~ ( E ) , so dal~ ~ . ~[B -~ <: 11.

Wir beweisen etwa den ersten Tell. Angenommen, die Behauptung w~re falseh. Dann lassen wir ~ eine Folge yon Kugelumgebungen durchlaufen, die sich auf E zusammenziehen. Fiir jedes n g/tbe es in Sn zwei Elemente V/,, V~,', so daft V/, V~' nicht in U liegt. Es ware aber lira V~ ~ E, lira V/; - ~ E, also lira V,', V;': -~- E , was einen Wider-

sprueh enthttlt. Seien nunmehr St, ~ ' im kleinen isomorphe, kontinuierliehe Gruppen,

11, 11' stetig isomorphe Kugelumgebungen 5) der betreffenden Einheiten. Wit ordnen jedem Element U aus 11 ein Symbol U zu, insbesondere der Einheit-E alas Symbol /~. Jeder Beziehung U~ U = Us zwischen drei Elementen yon 11 ordnen wir die Relation Ut U~ = Us zu. Die durch die Symbole U: erzeugte und dureh die eben angegebenen Relationen definierte Gruppe nennen wir ~,,. Es ist dabei wesentlich, daft nur den Relationen tier speziellen Form U~ U2 ~ Us die analogen Relationen zwischen den U zugeordnet werden. /~ ist die Einheit yon ~u. ~u ist mit m e h r s t u f i g i somorph, und zwar ist ein mehrstufiger Is_omo~hismus dutch folgende Zuordnnng a gegeben : / s t K * ~- U~' U ~ . . . U~" (~ -~- -4- 1)

--= ~ -. . v , , ein beliebiges Element yon ~u, so sei a ( K * ) U~' ~~ "~" Diese

Abbildung ist eindeutig, da zwischen den Elementen L/nach Definition you ~ , nur solche Relationen bestehen, die auch zwischen den ent- spreehenden Elementen U gelten. Insbesondere ist also /]~ ~ l~, sobald U~ 4 U . Ist ~ der Normalteiler yon ~u, dessen Eiemente dureh - auf/~ abgebildet sind, so entt~itlt iJ aul~er J~ kein Element yon ~); dabei bedeutet 11 die Menge der U.

In ~u soil nun ein Grenzbegriff eingefiihrt werden. Wir setzen zunachst fest: Eine Folge {K,~:}

gegen E, wenn fast alle K,~: ia Folge {U,,} gegen E konvergiert.

definiert.) Wir-beweisen jetzt: 1.

ist lira K,~ ' L~: : : 1,~. Es sei also

und lira /_,,, ::- E, lira L, : E.

fiir ffist a l len U,, V,, - - IV,, (in 11).

lind lira W,, ~ E, w. z. b .w.

lira K *-1 t l - - r

yon Elementeu aus o~ u k0nvergiert

liegen, etwa K,* : : U,,, und die (b;, ist natiirlich nur fiir fast a l len

Ist lira I(,:~: : : E, lira L~ =- /~, so I/, : OC , / . ~

K,:i ~ : U,,, L;; --= ~, fiir fast alh~ n

Dann ist lira Un'V,, - : E und es ist I 1 ~ 0 0

$ ;i: D~her ist ffir fast a l len K,~ L,, -= W,,

2. I.st lira K , * - /~ so i s t -auch

-~ /,~. Der Beweis verl~tuft analog zu dem yon 1. 3. Ist

5) Nach Satz 4 bedeutet dies keiue Einschritnkung der Allgelneild~eit.

22 0. Schreier.

lira K,~, ' ~- E~ so ist lim K *-1 K* K* ~-- ~" Sir jedes K* aus ~u.

Wir nehmen zuerst an, daft K* in U liegt, etwa K* ~ U. Ist also K~* ~ Un (tilt fast aUe n) und lira U~ ---~ E, so ist lira Un U -~ U;

nffiffiO0 S qO

nach Satz 5 gilt daher Sir fast alle n Us U ~- V., wo Vn in U. Ferner ist lira U -1Vn ~ E, also Sir fast alle n V s - ~ U W . , wo Wn in LI

f l o0

und lira Ws ~ E. Demnae h gilt fl~r fast alle n Us U -~- Vn, Vs ~ U W,, S o0

d.h. U K~ U ~ Wn. Damit ist die Behauptung Sir den Fall bewiesen, dab K* in 1I liegt. Ebenso verl~uft der Beweis, wenn K* in ~-~ liegt. Nun ist a ber jedes K* Produkt you endlich vielen U-+~ (nach Definition yon ~u), also folgt die Richtigkeit der Behauptung im aligemeinen Fall durch mehrmalige Anwendung des bewiesenen Spezialfalles.

Nunmehr definieren wir allgemein: lira K* ~- K*, wenn lim K* K * - I S 00 S O0

E. Es ist zu zeigen, daft dieser Grenzbegriff den Forderungen a) bis f) yon Definition 1 genfigt, a) Sei K,* ~ K~* Sir aUe n und lira K* ~ L*, dann i.~t KI* L*-~ ~ U und U ~ E, also K~ ~ L*.

D. h. eine Folge aus lauter gieichen Elementen besitzt aIs el~lziges Grenzelement ihr erstes Element. Darin ist d) enthalten, g) Sei lira K~*K* -~ ~ E und lira K * L * - ~ - E. Nach 2. ist dann n=.o s=oo ___-- K* L *-1 lira K* K~ *-1 = E, also nach 1. lira M* ~', wo M* :

fiir alle n; nach a) ist daher K* ~- L*. Damit ist a) bewiesen. b), c) sind offenbar erfiillt, r) Sei lim K* K *-~ ~-- E, lira L* L* -~ --~ E .

* * - - 1 * - - 1 Nach 3. ist lira K* L~: L:*-~ K* -~ -~ E, also nach 1. lira K,~ L , L K

:--= L: Dies aber ist die Aussage von e). Analog wird f) bewiesen. Wit haben so ~u zu einer L-Gruppe gemacht. Die Grenzdefinition

in ~u besagt umnittelbar, daft U eine Umgebung der Einhei t /~ ist. Wir wollen nun zeigen, dal~ ~ und $tu im k l e inen i somorph Sind. Dazu genfigt es nachzuweisen, da~ die Abbildung {U- , U} yon 1I a u f U umkehrbar stetig ist, denn alle iibrigen Forderungen yon Definition 7 sind ersichtlich erfiillt. Sci also lira U,, ~ U, dann ist fiir fast a l l e n

U,, U -~ - -1 ; , (in 11) nnd lira I~----E, iiberdies b ~ : I~U, also lira U,~-U.

Ebenso ergibt sich die Stetigkeit der inverses Abbildung. 1i ist also eine Kugelumgebung der Einheit. Daher ist ~u eiue r-gliedrige Gruppe. Nach Theorem I bilden die Produkte aus je endlich vielen Elementen eine kontinuierliche Untergruppe ~. Da aber ~ als Gruppe auch 1~ -~ enthitlt, ist ~ - - - ~ u und Y~u demnach eine kontinuierliche Gruppe.

Die oben bereits verwendete Abbildung -, die dem Element /~ ~' .. �9 ~?" das Element l~ ~ . . . U:" zuordnet, vermittelt einen mehrstufigen


stetigen Isomorphismus von Mu mit ~. Es ist dabei nur zu zeigen, daft a der Bedingung 3 yon Definition 3 genilgt. Sei lira K~ ~ K, dann ist

flit fast aUe n K , =- KUn (Un in 11); ist also K* ein Element aus ~n, dessen Bfld K ist, so ist {K* ~',t eine konvergente Folge, deren Bild die Folge {Kn} ist; damit ist die Behauptung bewiesen. Nach 8atz 2 ist demnach ~ stetig isomorph mit tier Faktor -L-Gruppe (2u/~)~. ~) ist d i s k r e t , d. h. ~) besitzt kein Hltufungselement. Denn ware etwa H $ �9 $ = hm D~, wo die Dn zu ~) geh0ren und zu je zweien verschieden

n

,~. ,~.-x E; nun enthMt aber U auiier E kein sind, so wltxe lim L,n L,n+l ~- fl o0

Element yon ~), also miigte D * - - D ~ + I flit fast alle n gelten, was der Voraussetzung widersprieht. Naeh Satz 8 ist daher ~) im Z e n t r u m yon ~u enthalten; ilberdies ist ~) nach Satz 7 abz&hlbar , d.h. endlich oder abz~hlbar unendlieh.

W~ren wir statt yon ~ und der Umgebung 11 yon ~ ' und der Umgebung 1I' ausgegangen, so witren wir offenbar zu einer mit ~tu stetig isomorphen (yon .~u namlich blofl dutch die Bezeichnung der Elemente versehiedenen) Gnippe gekommen. Daher ist ~ ' aueh mit der Faktor- L-Gruppe eines diskreten Normalteilers yon 5tu stetig isomorph. Wir erhalten so die erste H~lfte yon

Sa tz 10. Sind ~ , ~ , im kleinen isomorphe kontinuierliche (.~ulJpen, so gibt es eine mit beid.en im kleinen isomorphe GruFpe ~, so daft $tl und ~, mit den Fakttn'-L-6h'uppen diskreter Normalteiler yon St stetig isomorph sind. - - Sind umgekehrt ~ , ~, mit den Faktor-L-Grttppen diskreter No~nalteiler einer kontinuierlichen G~tppe ~ stetig isornorph, so sind sie auch isomor_ph im kleinen.

Zum Beweis des zweiten Teils ist nur zu zeigen, daft jede kontinuierliehe Gruppe mit den Faktor-L-Gruppen ihrer diskreten Normaltefler im kleinen isomorph ist. Sei also ~ eine kontinuierliehe Gruppe und ~) ein diskreter Normalteiler yon ~. Wir wahlen eine Umgebung 11o der Einheit E yon ~, die anger E kein Element yon ~ enthiilt; sodann eine Umgebung 11 (E), so daft 11.1I-1<11o, sehlieltlieh eine Umgebung !~(E), so datl !8 .~<11 . Naeh Hflfssatz 1 ist dies mfiglieh. Wit' zeigen nun, dag die Menge ~ tier Neben- gruppen ~ V, wo V die Menge Y3 durehlauft, eine Umgebung tier ]~nheit in (~/~))L ist. Sei lim ~K, , -~-~) , dann gibt es in % eine Folge {D~}

und ein Element D, so daft lirnD,,Kn = D; also liegen fast alle D-XDaKa

in ~, d .h . fast alle ~ K , , in !/t~. ~ is t mit t8 stetig isomorph. Wir ordnen dem Element V a n s !8 die Nebengruppe a ( V ) = ~ V zu und haben nachzuweisen, dag a den Bedingungen 1, 2, 3 yon Definition 7 geniigt, a ist eineindeutig, denn aus ~)111 = ~ V , folgt, daft V~ I ~ zu ~ geh0rt also V, =-- V,. - ist offcnbar ~tetig. Aber ~ue.h a -~ i:~

24 O. Schreier.

stetig. 1st nitmlich lira ~ I5, - - ~) V, so ist lira D,j V~, -~ D V (fiir geeignete

Dn, D aus ~), also fiir fast a l l e n Dn Vn = D V V,~, wo V" in !~ liegt. V V,', = Un liegt in U und Un V~ -1 in r daher gilt fiir fast alle n U,, ~ V,~, Dn ~- D, el. h. lira Vn = 17. Bedingung 1 ist also erfiillt.

n ~ 0 0

Desgleichen ist 2. ersichtlieh erfiillt. Sei endlich ~) 1/1. '~ 1,'2 ~ ~) V, d.h. V - - - - D Vt V, (D in ~)); nun liegt V~ Vj in U, folglich ist D ~ E, V ----- V~ l~. 3. ist somit auch erfiillt und damit der Bewdis yon Satz l0 erbraeht.

Durch Satz 10 siud die Paare yon im kleinen isomorphen Gruppen gekeanzeichnet. Wir fragen, ob. sich nicht in i~hnlichet Weise ganze Klassen yon im kleinen isomorphen Gruppen keanzeichnen lassen.

D e f i n i t i o n 8. Die kontinuierliche Gruppe ~ heil3t eine Uber - l a g e r u n g s g r u p p e der kontianierlichen Gruppe ~ oder auch der Klasse yon Y~, wean jede mit ~ im kleinen isomorphe Gruppe mit der Faktor- L-Gruppe eines diskreten Normalteilers yon ~ stetig isomorph ist6).

Die Gruppe ~u, die beim Beweis yon Satz 10 konstl~iert wurde, wird nicht notwendig eine Uberlagerungsgruppe yon ~ sein. Denn wenn wir eine Folge {~n} yon Gruppen wiihlen, die mit ~ im kleinen isomorph sind, so k0nnte es sein, dal3 die Umgebung lln der Einheit in ~, die rail einer Umgebung der Einheit in ~ , stetig isomorph ist, mit wachsendem n immer kleiner wird und sich auf E zusammenzieht, dab es also keine Umgebung II (E) gibt, die mit Umgebungen der Einheit in jeder Gruppe ~ , stetig isomorph ist. Es wird uns aber gelingen zu zeigen, da~ fiir hinliinglich kleine 11, ~, ~u mit ~ stetig isomorph ist. Da]hit wird die Existenz einer ~berlagerungsgruppe nachgewiesen sein.

I-Iilfssatz 2. Die abgeschlossene und besehriinkte Menge a eines Euklidschen Raumes 7) sei durch die eindeutige und stetige Abbildung a auf die Teilmenge ~I einer kontintfierlichen Gruppe ~ abgebildet; 1I sei eine Umgebung tier Einheit in ~. Dann gibt es ein ~ > 0 yon folgender Art: Sind a, b Punkte yon a, deren Abstand < e ist, und sind A, B ihre Bilder verm0ge ~, so liegt A -~ B in U.

Ware die Behauptung falsch, so gabe es ftir jedes n zwei Punkte

a.~, b,, mit einem Abstand < 1 in a, ffir deren Bilder A,,, tt,~ der Quotient n

An -~ B~ nicht in U liegt. Nach den Vorau.~setzungen iiber a besitzt die Folge {a,,} einen H~ufungspuukt c und c geh~rt zu a. Sei etwa v--: lim a,,~;

dann ist aueh lira b,,~ ~- r. 1st C ~--- a (c), so witre daher lira A,~ -~- C,

~) Die Bezeichnung ,[~bel'lagerungsgruppe" wurde mir yon Herrn E. ARTIN vorgeschlagen.

7) Sa~ und Beweis bleiben richtig, wenn a blofi als kompakte abgeschlossene Menge eines metrischen RaulneS vorausgesetzt wird.

Abstrakte koutiuuierlichc Grupl~en.

lira B , , ~ C, also lira .4 -~,,~ B,,~ - : E.. ~as nicht mSglich

A~ -~ Bn au~erhalb yon lI liegen. Das Gruppenelement C - - : C(~) sei einc eindeutige

Funktion der reeUen Ver~tnderlichen ' /yon der Period.e 2 ~.

25

ist, da alle

und stetige Lassen wir

das Intervall 0 ~ ~ ~ 2~r dm'chlaufen, so sagen wir: das Element C durehl~uft einen geschlossenen Weg. Den Weg nennen wir zusammenziehbar, wenn es eine auf dem Einheitskreis f(0 ~ t ,~ 1, 0 ~ ~ ~ 2~) eindeutige und stetige Funktion C(t, r gibt, so dab C(1, ~) : C(~). (Zufolge der Eindeutigkeit in f is t C(0, ~) : C(0, 0) und C(t , O) ~ C(t , 2 ~) . )

Im folgenden ordnen wir jeder Relation zwischen den Elementen einer Kugehmgebung U der Einheit in der kontinuierlichen (~ruppe gewisse geschlossene Wege ill ~ ZU. Wir bilden nitmlich zun~tchst U durch eine topologische Abbfldung v atff eine Kugel ab. Jedem U lassen wir den yon E nach U laufenden ge.richteten Kurvenbogen {~v entsprechen, dessen Bild die Strecke yon �9 (E) nach �9 (U) ist. Ist nun U~' U.~' �9 �9 �9 U~ ~ ~ E eine Relation zwischen Elementen aus ll(tk := -4-1), so wird ihr der Weg C : C(y) zugeordnet, wo C(~) folgendemafien definiert ist:

(bolie i ). = = 1, C(0) Co

Fiir 2 ~ ( k - - 1 ) < Y' ~ 2 u k soll C(~) den Kurvenbogen 8 8

{ C; UII �9 �9 �9 r r" - ' (~- im positiven } {ek - - ~- 1 "k=~ ~, Sinn durchlaufen, wenn . In

Co U~' U~' ~:v, im negativen ~k - - 1 derselben Weise ordnen wit auch jeder Relation zwisehen den Elementen in Sta geschlossene Wege in ~u zu, wobei wir die Abbildung u yon 11 auf die Kugel als u - - v('U) wiihlen.

Es soll jetzt gezeigt werden, daft eine kontinuierliehe Gl~ppe sicher dann eine U b e r t a g e r u n g s g r u p p e ihrer Klasse ist, wenn in jeder geschlossene Weg z u s a m m e n z i e h b a r ist. Nehmen wit an, diese Bedingung sei erf011t. U sei eine beliebige Kugelumgebung der Einheit in ~. Wenn wir nachweisen k0nnen, dati jede Relation zwischen den Elementen yon U aus den ,,Produktrelationen" U, U~ ~--- U~ folgt, so wird unsere Behauptung bewiesen sein; dem| ~ wiirde sich dann yon ~u blo~ durch die Bezeichnung tier Elemente tmterseheiden, wie klein auch U gewithlt sein mag. Das Prinzip dieses Beweises ist folgendes: Die Zusammenziehbarkeit aller Wege erm0glicht es, in den einer Relation zugeordneten Weg ein cngTaaschiges Netz einzuspammn. Die Durch- laufung des m'spriinglichen Weges I~tit. sich dann auf dic Umhufung der einzelnen Maschen zm'fickffihren. Deren Umlaufung al)er entspreehen bei passender Anordnung gerade (lie Produktrelationen. ,~ei also

(1) U~' U.~ . . . . U.:" : E (,,, ~ - :+_ 1)

26 O. Schreier.

eine Relation zwisehen den Elementen yon 12. U =~ C(~) sei der ihr zugeordaete gesehlossene Weg in ~, wobei wit etwa Co = E wahlen. Nach Annahme ist er zusammenziehbar; C(t, y,) werde gemafl tier Definition der Zusammenziehbarkei t gewithlt, ferner ein r ~ 0 gemitfl Hflfssatz 2, in dem wir a dureh ! uad f~I dutch die Menge der C(t, ~) ersetzen, und endliek

1 q 2__~ q Wir setzen: die natttrliehe Zald p gem~ii P < i f , sp < 2 "

C _ x [ . i ~ _ l 2 g k i 2z~k , , ,

( k = O , 1, . . . , s/~; i = l, 2 , . . . , p ) (Xi, o ~ X i , ~ )

~ - ~ - 1 ) ) ' C ( ; , ~p ]

(k = 1, 2 , . . . , sp; i = 0, i, . . . , p) (Yo,~ - - E )

( -

(k = 1, 2, . . . , sp; i ----- 1, 2 , . . . , p ) (Z~,k = X~,~)

'C --1 (1, 2• ( ( j - - l ' p + h - 7 1)_). C (1, 2 g ( ( j - - ' l ) • + h.)) sp sp '

wenn ,j = + 1 = ( j = 1, 2, . . . , , ; h = a, . . , , p ) ,

C_1 (1, 2 u ( j ~ v - - h + I) ) .. C (1, 2 " ( j p - - h ) l sp / ~ I '

wenn ,j = - - 1.

Die X,, Y, Z, W und ihre inversen Elemente liegen samtlich in U; die folgenden Relationen sind daher Produktrelat ionen:

(2) Xi, i - - L ,~ ~ Z~,~; ]~-~,k X~,k = Z~,~, (k --~ 1, 2, . . . , sp; i ~- 1, 2, . . . , p),

tp,~-,)p+h = W~ ), wenn ~j = + 1 (3) ( j --- 1,~, . . . , , , . ; h : 1 ,2 , . . . , p ) .

(Y~,,jp-h+l W~ ~ = E , wean ~j =-- - - 1.

Nach (2) ist

X l , k - 1 X2 , k -1 -~i ,k-1 i, kxxi, k i - l , k : ' " Sl,k ---- X l , k - I X2,k--1 ' ' ' X i - l , k - -1 Zi, k XiTd x--xi--l,k """ Xl,k--1 _ _ - �9 . . . ~X: -1 X - 1 X-~ - - X l , k - - l X2, k--1 --Yi-l,k-1 Yi--l,k- i--l,k i-2, k . . . . l ,k

d. h. zufolge yon (2) darf in deln ursprtingliehen Ausdruck i durch i - - 1 ersetzt werden. Fill" i 1 ist nach (2) .~1,k-1 ~ , k 1.k ~--~ Z~,k Xi,k -~- E, daher ist der Ausdruck zufolge yon (2) = E ffir jedes i, insbesondere auch

X: ~ X: ,, a -Y~,.k- ,. ~';, r:- p,t:.~ . 1, k = E

A b s t r a k t e k o n t i n u i e r l i c h e G r u p p e n . 27

Setzen wir hierin k ~ 1, 2, .... , sp und multiplizieren ailes, so kommt

-1 ,y-1 . X-1 X~,o X~,o . . . X,,o Y~,, Y,,2 - . . Yp.,p x~ . ,~ , p_,,,~ . . ~ , , ~ = - E

oder wegen Xi, o ~- X~,~ durch Transformation:

(4) Yp, l. Yp,2 . . . t~, ,~ = E . Nach (3) ist also

(5) (w~ 1~ ~ , ~ . . . ~ , ) , , ~,,,~"2~"~2',,2 . . . . . . . . �9 w ~ ) '' (w~ '> w'~ ~ w~b'~ "" = E .

Um (1) zu gewinnen, haben wh' also mit Hilfe yon Produktrelationen noah

(6) W~ :~ W~" . . . W~p ~ ~ Uj O -~ 1, 2, . . . , s)

abzuleiten. Der FAafachheit halber behandeln wir nur einen tier Fitlle ej ~ +_ 1, etwa Ej = - -1 . Der Weg C ----- C(~) war so konstruiert,

daft C(~) den Bogen C ~vj durchlief, wenn ~r yon bis 8 8

abnahm. Daher liegt C- ' { -~-~}C(~p)auf ~vj, also in 1I, sobald

2 r r j > ~ ~ 2 ~ ( j - - 1 ) , insbesondere sind auch die Elemente 8 - - $

es ist V~ J~ = W~I ), V~ ~] = ~ . Die Relationen

(7) v~- , ) i f > = ,y ) (;, = e,,3, . . . , p) sind daher-Produktrelationen in 11 und sie gestatten uns ersiahtliah, (6) zu gewinnen.

Wir woUen mm untersuchen, ob wit" 1I immer so w~hlen kOnnen, da~ in ~u jeder geschloasene Weg zusammenziehbar ist. Zu diesem Zweck beweisen wir zuerst

H i l f s s a t z 3. ~ sei eine kontinuierliche Gruppe, U eine Kugel- umgebung der Einheif, ~u die zum Beweis yon Satz 10 konstruierte Gruppe und a die ebendort gegebene Abbildung yon ~u auf ~. Dann ist ein gesahlossener Weg C* = C* (,p) in ~u stets und nur dann zusammenziehbar, wenn sein Bild C ~- a(C*(~)) zusammenziehbar ist,

$ei C* -~- C* (q,) ein geschlossener Weg und C ~ C(~) = a (C* (~)) zusammenziehbar. C(t, ~). sei gem~tfi der Definition der-Zusammen- ziehbarkeit bestimmt. ~ > 0 werde gemafi Hilfssatz 2 gew~thlt, in dem wir a durch den Einheitsh, eis f und ~I durch die Menge der C(t, q,)

1 ersetzen, und die natt~rliche Zahl n so, dag - - ~ r Ist iron (t, ~) ein Punkt

n

yon ,, so liegen die Elemente C_~ (( i -nl) /_ , ~) ,'if'n ) C( ~ (i : 1 , 2, . . ., n)

n ' ~ -n - ' ~ "

28 0. Schreier.

Die U~ ( t, 9o) sind dann in [ stetige F unkti onen und C( t, 9O ) = C(O,O) UI ( t, 9O) lJ~ ( t, 9O )... �9 .. Un(t, 9o). Bestimmen wir jetzt Co* so, dab a(C: ) = C(0, 0) ( = C(0, ~o)), und setzen wit C* (t, 9O) = CO* Ul('t, 9o) ~2(t, ~p) . . . Un(t, 9o), so ist C[ (t, ~o) in ! stetig, also der Weg C* = C*( l , ~/~)zusammenziehbar. Wegen a (C~* (1, ~o)) : C(1, ~) = C(~o) ~ a (C* (9o)) ist C* (~) = D(go) Ci* (1, ~r wo D(go) in dem diskreten Normalteiter ~)liegt. Zufolge der letzten Gleichung ist abet D(~) eine s'tetige Funktion yon 9O, also konstant = Do. Setzen wir also C*(t, ~) - -DoC~*(t , q~), so haben wir eine in f stetige Funktion, die sich fiir t = 1 auf C* (fr also ist der Weg C* = C* (~r zusammenziehbar. - - Die Umkehrang ist trivial.

Sei nunmehr C* = C* (~o) ein geschlossener Weg in ~u (C* (0) = C~). Wir wi~hlen ein q > 0 nach Hilfssatz 2, in dem wir ~ durch ~u, 1I durch ~, a durch das ]ntervall 0 < 9o ~ 2~ und 9/ durch die M%nge

2 u der C* (~) ersetzen, und eine natiirliche Zahl n gemitl~ -< Q. Dann

n

"--'(2~_) = C*" "(2~L~--1))" U~ (k = 1, 2 , . . . , n) dtirfen wir setzen C* ;

und es wird C* (2 u) - - Co* 0"1 U~. . . U,. U1 U~. . . /J.,~ - - 1~ ist also eine Relation zwischen Elementen aus ~. Der dieser Relation zugeordnete Weg mit dem Anfangspunkt Co* sei C* = 6'1" (~). Dann sind C* = C* (~)

2 u k und C* = C*(~) gesehlossene Wege, die die Punkte ,r - -

n

(k = 1, 2 , . . . , n) gemein haben und im Intervall 2 ~ (k- -1) ~ ~ ~ 2 u k n n

beide in der Kugelumgebung Co* ~]~... Uk-1 ~ verlaufen. Also sind offenbar entweder beide zusammenziehbar oder keiner yon ihnen ist es. Nach Definition yon ~u mull die Relation UI... L~ - - / ~ aus den Relationen U' U" U ' ' ' -~ = E,, wo U' U" = U ' " , folgen; d. h. durch blofies Ein- schieben oder Weglassen yon Faktoren ~TU-~, U-~ U li~tit sich die linke Seite unserer Relation auf die Form H { f ( U ) ( U ' U" ~/'"-~)+-~J'-~(ff)} bringen, wo H bedeutet, daft endlich viele Faktoren dieser Art zu multiplizieren sind, und wo die f ( U ) gewisse Produkte aus den Uund U-~ bedeuten. Der so umgeformten Relation entspricht eiu Weg C* * = c~ (~) (('2* (0) - - C~), der aus C* = C~* (9o) dadurch hervorgeht, daft endlieh oft ein Kurvenbogen, der in der einen Richtung und unmittelbar darauf in der anderen Richtung zu durch]aufen ist, eingeffigt oder weggelassen wird. Beide Operationen itudern nichts an der Zusammenziehbarkeit.

O C ~:: == ('.]:' (,~.) ist abet ein Produkt mehrerer geschlossener W ege, die den Faktoren J '(U) ( U ' / ) " 0""-~)+-~j'-~ (U) entsprechen. Sollen also i . ,qu :all(', geschlossenen Wege zusammenziehbar sein, so sind insbesondere auch die den Relationen ~ ' U" U ' " -~ : E entsprechenden zusammenziehbar. Sind aber diese zusammenziehbar, so sind es auch die d(m Reb~tionen . / (U) U' U" U ' " - ~ / - ~ ( ] ) ] -~ E e~t~prerhenden

Abstrakte kon$inuierliche Gruppen. 29

Wegc, denn sie bestehen aus der Durchlaufuug einer Kin're, der Durch- laufung eines zusammenziehbaren Weges und der Rfickwttrtsdurchlaufung derselben Kurve. Die aus mehreren solchen Wegen zusammengesetzten Wege (und damit nach dem vorhergehenden alle Wege) sind demnach gleicfifalls zusammenziehbar, wenn die den defmierenden Relationen yon ~u zugeordneten Wege es sind. Indem wir mm Hilfssatz 3 benutzen, haben wir: Notwendig und h in re ichend daffir, daft in ~u alle geschlossenen Wege zusammenz i ehba r s ind , ist die Zusammen- z i ehba rke i t der den Re la t ioaen U ' U ' U ' " - l : E z u g e o r d n e t e n Wege in ~. - - Der Weg aber, der einer solchen Relation in ~ entspricht, verlituf't ganz in Co till , wenn Co sein AnfangspulLkt ist. Da iiberdies Co t i l l mit t i l l topologisch itquivalent ist (Co UL Us ( , UI Us), gilt: In ~a sind sicher alle geschlossenen Wege zusammenziehbar, wenn t i l l noch ganz in einer Kugelumgebung tio liegi. Wird ti in dieser Weise gewRhlt -- und dies ist nach Hilfssatz 1 nffiglich - - so ist ~z ~ine ~berlagel~ngsgruppe yon ~. Dami t ist die Exis tenz einer Uber l age rungsg ruppe fiir jede Klasse s icherges te l l t .

Wir woUen noch zeigen, daf die Uberlagerungsgruppe im wesent- lichen e indeut ig bestimmt ist, d. h. daft je zwei (?berlagerungsgruppen einer Klasse stetig isomorph stud. Sei also ~ eine kontinuierliche Gruppe, in der jeder geschlossene Weg zusammenziehbar i s t - eine solch~ ({~berlagerungs-) Gruppe gibt es nach dem bewiesenen in jeder Klasse - - und ~ irgendeine U.berlagerungsgl~ppe derselben Klasse. Nach Definition 8 ist ~ stetig isomorph mit der Faktor-L-Gruppe eines diskreten Normalteilers ~) von ~. 11 sei eine Kugelumgebung der Ein- heit /~' in ~, die so klein gewRhlt sei, da~ die Menge der Nebengruppen ~) ~r (/~ durchl~tuft l:l) eine Kugelumgebung ti* der Einheit in (~/~))L bildet, die vermOge der Abbildung {0-~ "~ U} mit l:t stetig isomorph ist. (Daft dies m0glich ist, ergab sich beim Beweis von Satz ]0.) Jeder Produktrelation �9 (~r~. ~) Us == ~ Us in 11" entspricht zufo!ge des^stetigen Isomorphismus yon ~I und U* die Produktrelation U~ Us ~ Us. Nun folgen in ~ alle ]~elati~nen zwischen den Elementen einer Kugel- umgebung aus den Produktrelationen in dieser Umgebung, dasselbe gilt also auch in der mit ~ stetig isomorphen Gruppe (.(~/~))L. Daher entspricht j eder Relation (~ [71) ~' . . . (~/~)E, ~-- ~) zwischen Elementen aus tt* die Relation 0 ~ . . . 0~'~---/~' in ~. Dies besagt aber: ~ besteht aus der Einheit allein. D.h. ~{t ist mit ~ stetig isomorph.

Unsere Uberlegungen ergeben demnach das Theorem II. Jede Klasse yon im kleinen i.~omorphen kontinuierlichen

Gruppen besitzt eine ~)berlager~gsg~uppe ~t. ~ ist ei~deut[g bestimmt, wenn s/etig ~'somorphe Gr~ppen als nicht r'erschieden betrachtet u'erden. U~te~" den Gr~r d(,~" h'Ic~s.~e i,~t ~ (l~'('I~ die Z~sam~e~.~.icl~b(~rk~,it aller

30 O. Sehreier.

geschlossv~ Wege gekennzeiet~2~et. 1st ~ civic (;ruppe der Klassc, so ist ~--An, wo lI eine Kuqelumgebung der Einheit in .~ ist, f l i t die auel~

noch l1.4I in einer Kuqeb~,mgeb~ng li~. t.

4. Die Fundamentalgruppe einer kontinuierlichen Gruppe. Jede r-gliedrige kontinuierliche Gruppe ist eine homogene r-dimen-

sionale Mannigfaltigkeit. Es erhebt sich die Frage nach ihrer Funda- mentalgrulrpe. Die Antwort gibt

Sa tz 11. Ist ~ eine kontinuierliche Gruppe, ~ ihre ~berlagerungsgruppe und $~ stetig isoraorph mit der Faktor-L-Gruppe des diskreten Normal~'lers ~) con ~, dann ist ~ mit der Fundamentalgrup~ve yon $~ isomorph. Insbesondere hat also jede kontinuierlidm Oruppe eine Abelsche Fundamenta~. rup'Te.

Da stetig isomorphe Gruppen topologisch aquivalent sind, ktinnen wit annehmen R ~ (.~/~)L. Wir wi~hlen wieder eine Kugelumgebung l:l tier Einheit yon ~ so, daft die Menge tier Nebengruppen ~ U (U durch- l~tuft l:I) eine Umgebung tier Einlieit yon R bfldet, die vermOge der Abbildung {U-~ ~ ~'} mit l:l stetig isomorph ist. Wit ordnen nun jedem El'ement yon �9 gewisse Wege in R zu. Sei U~ . . - ~):' eiu Element yon ~ , in irgendeiner Weise durch.Elemente aus 1I ausgedriickt. Dann ordnen wir ihm den Weg in ~ mit dem Aufangspunkt ~ zu, der der Relation (~)/J~)" .. �9 (~ grs)r' ~ ~) entsprieht, ferner alle jene Wege, die sich unter Festhaltung des Anfangspunktes ~) in diesen deformieren lassen*). (Ein Weg w~ heiltt dabei wie fiblich in den Weg w,. unter Festhaltung des gemeinsamea Anfangspunktes deformierbar, wenn der Weg w~. w~ -~ zusammenziehbar ist.) Durch diese Zuordnung werden al le gesehlossenen Wege in ~ mit dem hnfangspunkt ~ erfaBt, denn wir haben fffiher gesehen, dali jeder geschlossene Weg sich unter Fest- haltung seines Anfangspunktes in einen Weg deformieren liifit, der einer Relation der obigen Form entspricht. Dann aber geh6rt der Weg zu denjenigen, welche dem Element U[~ t . . . U:' aus ~) zugeordnet sind. Diese Zuordnung hat ferner folgende Eigenschaften: a) Ist dem Element D~ der Weg w~, dem Element D~ der Weg w~ zugeordnet, so ist dem Produkt D~D~ das Produkt der Wege w~w., zugeordnet, b) Ist dem Element D der Weg w zugeordnet, so ist dem Element D -~ der Weg w -~ zugeordnet. Um den Beweis vollsti~ndig zu machen, ist also noch nachzuweisen: 1..Sind dem Element D die Wege w und w' zugeordnet, so ist w' unter Festhaltung des Anfangspunktes in w deformierbar. 2. Ist der Weg w den Elemeuten D und D' zugeordnet, so ist D = : D'. Mit diesen Aussagen sind die folgenden gleichwertig: 1.* Jeder Weg, tier

~) Es werden al~o ieder Darstellung eines Elements aus ~ durch Elemeute au~ l'I Wege iu .~ zugeordnet.


der Einheit zugeordnet ist, ist zusammenziehbar. 2.* Ist einem Element D ein zusammenziehbarer Weg zugeordnet, so ist D die Einheit.

Beweis yon 1.* Sei w ein der Einheit ~: zugeordneter Weg. Nach der Definition der Zuordnung entsteht w durch Deformation eines Weges Wo, der einer Relation (~) UI)" "'" (~/Is)*" : ~) entspricht, wo U~ ... U ~ ~ ~:.

Der dieser Relation in ~ entsprechende Weg yore Anfangspunkt /~' ist - - wie jeder geschlossene Weg in ~ - - zusammenziehbar, also nach Hflfssatz 3 auch der Weg Wo, daher auch w.

Beweis yon 2.* Sei w ein zusammenziehbarer Weg, der dem Element D zugeordnet ist. Er l ~ t sich in einen Weg wo deformieren, der einer Relation (~) U1)" ... (~) ~r),, _ ~) entspricht, wo D~--- ~ " ... ~7~'. Wo ist auch zusammenziehbar. Durch die beim Beweis yon Hilfssatz 3 benutzte Konstruktion ordnen wir dem Weg Wo einen geschlossenen Weg ~,'o in ~ mit ~lem Anfangspunkt ~: zu. Eine analog e Stetigkeitsbetrachtung wie dort lehrt dann, daft d,o den Endpunkt U ~ ' . . . U~' hat, d .h . da

doch ~['o geschlossen ist, D ~ 1~.

5. Beispiele yon 0berlagerungsgruppen. a) Die Gruppe ~:,, der Translationen des n-dimensionalen Euklidschen

Raumes 9~. ist mit 9~,, topologisch itquivalent, indem etwa jeder Trans- lation der Endpunkt des vom Ursprung aus abgetragenen Verschiebungs- vektors zugeordnet wird. ~L~ ist daher die Uberlagerungsgruppe ihrer Klasse. Jeder diskrete Normalteiler ~ yon T~ ist dutch ein Punktgitter repr~entiert . Die durch ~n bestimmte Klasse enthitlt daher n ~ 1 ver- schiedene Gruppen, je nachdem ~) alls der Einheit allein be~teht oder durch ein 1-, 2-, . . . , n-dimenSionales Gltter dargestellt wird. Diese Gruppen erhRlt man durch Identifizierung jener Translationen, welche sich biofl um eine Decktranslation des betreffenden Gitters unterscheiden.

b) ~ sei die Gruppe der gleichsinnigen reellen Projektivi~ten einer

Geraden oder der reellen linear-gebrochenen Substitutionen z' - - a z - ~ # r z - t - ~

mit positiver Determinante. $ ist im kleinen isomorph mit tier Gruppe ~{ der gleiehsinnig fl~chentreuen Aflinit~ten der Ebene, die den Ursprung fest lassen: {x' : ax--~-Zy, y ' = ~'x-~-dy; a e ~ - - Z u -~- 1}. Und zwar ist ~ die Faktor-L-Gruppe des aus den beiden Elementen { x ' ~ ex, y' : ~ y; e : 4- 1 } bestehenden Normalteflers yon ~I. Die Uberlagerungs- gruppe dieser Klasse erhalten wir folgendermaBen: Wir schneiden die Ebene l~ngs der negativen x-Aehse auf; yon solchen aufgeschnittenen Ebenen seien unendlich viele Exemplare vorhanden; wir verbinden sie in der yon der Riemannse.hen Fl~che des Logarithmus gewohnte~ Weise. Da jede AflinitRt aus ~ eine aufgeschnittene Ebene wieder in eine solche fiberfi~hrt. "'~nnen wit yon Aftinititten der Riemalmschen FlRche sprechen.

32 O. Schreier.

Jed(;m Element aus ~[ entsprechen daml unendlich viele Affinitiiten der Riemannsehen Fli~che, indem nitmlich yon irgendeinem Punkt noch willkfirlich festgesetzt werden kann, in welehem Blatt sein Bildpunkt liegen soll. Die Gruppe, die~ wit- so erhalten, sei ~I. Um nachzuweisen, dab ~il die [~berlagenmgsgruppe ist, schneiden wir die der Gruppe !~I topologisch ~tquivalente Mannigfaltigkeit aJ--g~, ~ 1 im Raum tier a, $, y, J litngs des Gebildes {}. =: 0, a < 0 } auf, das den Affinit~ten entspricht, die die positive x-Achse in dic negative x-Achse fiberftihren, und verbinden dann langs der Schnittflachen in derselben Weise wie zuvor je zwei derartige Mannigfaltigkeiten; die sb entstehende bfannig- faltigkeit ist ein topologische.~ Bild yon ~[. Dat~ in ihr jeder gesehlossene Weg zusamnTenziehbar ist, litltt sieh unschwer zeigen. Das Zentrum yon ~I ist eine unendliehe zyklisehe Gruppe; ~ wird yon der Aflinit~it { x ' = - -x , y ' = - - -y} , die den Punkt : ~ ' ~ 0, y ~ - -1 im selben Blatt lii~t, erzeugt. Den Teilern yon ~ cntsprechend enthMt die Klasse yon ~ unendlich viele Gruppen, die dutch die Anzahl ihrer invarianten Elemente zu kenuzeichnen sind; ~ is( die Faktorgruppe yon 3.

c) ~ sei die Gruppe der Bewegungen der Ebene. ]hre I_~berlagerungsgruppe wird dutch folgende Gruppe yon Bewegungen des Raums dargestellt: {x'== xcos~l,--ysiny,-t-a, y ' = . r s i n ~ , + y e o s ~ + b , z . . . . z+~t,}. (Es ist_die erste Parametergruppe yon ~.) I)a diese Gruppe den Ursprung in jeden P,mkt des Raums auf genau eine Weise iiberfiihrt, ist sie dent Raum topologiseh aquivalent und in der Tat die (:rberlagerungs- gruppe vo, n ~. lhr Zentrum wird yon { x ' = x, y'--= y, z ' - - z + 2~r} erzeugt. O.~ ist die Faktorgruppe des Zentn~ms. Auch die Klasse yon enthalt unendlieh viele Gruppen.

d) qfi set die Gruppe der Drehungen des Raums um den Ursprung~ Bekanntlich kann 6~ durch die Gleiehung .r'~- a-~.,a dargestellt werden, wo x, x' Quaternionen ohne Realteil und a eine Quaternion der Norm I i s t . . l eder Drehung entsprechen dabei gcnau die zwei Quaternionen 4- a. Die Quaternionen der Norm 1 bilden bet Multiplikation eine Gruppe r die mit q~ zweistufig stetig isomorph ist. (~ ist topologisch ~tquivalent der

., 2 = 1 im Raum der co, a,, a,, as. Daher Mannigfa.ltigkeit a~, -4- a~ + a~ § a:~ ist (~ die tJ berla~,erungsgruppe yon (~. hn Gegensatz zu den vorangehenden Beispielen ist also hier die ~berlagernngsgruppe eine g e s c h l o s s e n e Mannigfaltigkeit. Das Zentrum yon (~ besteht aus 4- 1, also erseh0pfen (~ und (~ die gan.ze Klasse.

,b) l)ie Kenntuis der {~berlageruugsgruppe yon (~ verdanke ich Herrn E. fl..RTIIq.

Ha mburg , Mathematisches Seminar, im Januar 1925.

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