Entdeckung der Additiven und Symmetrischen Struktur im Pascalschen Dreieck:

(a+b)n = ∑k=0

n

(nn−k) an−k bk , (n

n−k) = (nk) .

Wegen der Symmetrie der Binomialkoeffizienten, kann man auch schreiben:

(a+b)n

= ∑k=0

n

(nk) an−k bk

= an+ ∑

k=1

n−1

(nk) an−k bk

+ bn

(a+b)n+1 = (∑k=0

n

(nk) an−k bk )(a+b)

(a+b)n+1

= ∑k=0

n

(nk) an−k+1 bk

+ ∑k=0

n

(nk) an−k bk+1

(a+b)n+1

= an+1+ ∑

k=1

n

(nk) an−k+1 bk

+ ∑k=0

n−1

(nk) an−k bk+1

+ bn+1

(a+b)n+1

= an+1+ ∑

k=1

n

(nk) an−k+1 bk

+ ∑k=1

n−1

(nk−1) an−k+1 bk

+ bn+1

(a+b)n+1

= an+1+ ∑

k=1

n

((nk)+(n

k−1)) an−k+1 bk+ bn+1

(a+b)n+1

= an+1+ ∑

k=1

n+1−1

((nk)+(n

k−1)) an−k+1 bk+ bn+1

= an+1+ ∑

k=1

n+1−1

(n+1k ) an−k+1 bk

+ bn+1

Additive Struktur :

(n+1k ) = (n

k)+(nk−1) , außerdem (n

0) = (nn) = 1 .

Die Symmetrische Struktur pflanzt sich aufgrund der Additiven Struktur weiter fort :

(nn−k) = (n

k) .

Entdeckung der Multiplikativen Struktur im Pascalschen Dreieck:

101

92

83

74

65

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

(105 ) =

101

⋅92

⋅83

⋅74

⋅65

Allgemein :

(nk) =

n1

⋅n−12

⋅ ... ⋅n−k+2k−1

⋅n−k+1k

(nk) =

n(n−1) ... (n−k+2)(n−k+1)

1⋅2 ... (k−1)k

(nk) =

n(n−1) ... (n−k+2)(n−k+1)

k !

(nk) =

n(n−1) ... (n−k+2)(n−k+1)(n−k) !k !(n−k) !

Multiplikative Struktur :

(nk) =

n!k !(n−k) !

für k = 1, … , n-1

Definiert man 0! := 1 , so folgt :

(nk) =

n!k !(n−k) !

für k = 0, … , n

Äquivalenz der Additiven und Multiplikativen Struktur im Pascalschen Dreieck :

Es gelte zunächst die Additive Struktur (n+1k ) = (n

k)+(nk−1) .

Wir zeigen durch Vollständige Induktion über n, dass dann auch die Multiplikative Struktur gilt :

I: (00) = 1 =

0 !0 !(0−0) !

II: Es sei (nk) =

n!k !(n−k) !

für für alle Zahlen bis n mit k = 0, … , n bereits gezeigt.

(n+1k ) = (n

k)+(nk−1)

(n+1k ) =

n!k !(n−k) !

+n !(k−1) !(n−(k−1)) !

(n+1k ) =

n!(n−k+1)

k !(n−k+1)!+

n!kk !(n−(k−1))!

(n+1k ) =

n!(n−k+1) + n!kk !(n−k+1)!

(n+1k ) =

n!(n−k+1+k )

k !(n−k+1)!

(n+1k ) =

n!(n+1)

k !(n−k+1)!

(n+1k ) =

(n+1) !k !(n+1−k)!

q.e.d.

Es gelte jetzt umgekehrt die Multiplikative Struktur (nk) =

n!k !(n−k) !

.

Wir zeigen, dass dann auch die Multiplikative Struktur gilt :

(nk)+(n

k−1) =n !k !(n−k)!

+n!(k−1) !(n−k+1)!

(nk)+(n

k−1) =n !(n−k+1)

k !(n−k+1)!+

n!kk !(n−k+1) !

(nk)+(n

k−1) =n !(n−k+1) + n!kk !(n−k+1)!

(nk)+(n

k−1) =n !(n−k+1+k )

k !(n−k+1)!

(nk)+(n

k−1) =n !(n+1)

k !(n−k+1)!

(nk)+(n

k−1) =(n+1) !k !(n+1−k )!

(nk)+(n

k−1) = (n+1k ) q.e.d.