V~l. XVII, 1966 267

)~hnliehkeits- und Translationssiilze fiir Eifliichen

Von

ROLF SCHNEIDER

])el? ~ �9 ~aIl . . . . ~ tz Yon ALEKSANDROV-FENCHEL-JESSEN (siehe z.B. CIIER~ [4]) sagt be- l~U~'r eh, dab zwei stren~ konvexe, geschlossene Hyperfl~chen der Klasse C z im

'~uclischen ~ . . PaXalleleri I~aum En+l (n ~ 2), bei denen fiir ein k (1 ~ ]C ~ n) in Punkten mlt ~ii~ Normalen die k-ten elementarsymmetrischen Funktionen der Haupt- & ~) Ia~ngsradien iibereinstimmen, durch eine Translation auseinander hervorgehenl). glei.~ ~L~I~SANDROVS [ 1 ] erster Beweis verwendet die Fenehel-Aleksandrovschen Un- ist ~: lu~gen ffir die gemisehten Volumina konvexer K6rper. Gegenstand dieser Note fliie~, aus diesen Ungleiehungen weitere Translations- und Ahnlichkeitssi~tze fiir Ei- ~. .~a herzuleiten, die z.T. als Verallgemeinerungen des Satzes yon ALEKSANDROV- de:~I~\J~ss~l~ betraehtet werden k6nnen und die verschiedene Kennzeichnungen tritt u gel yon MATSUMURA, Si~ss und GROTEMEYER umfassen. In diesen Ss feSte~ ~en den Krfimmungsfunktionen der Abstand der Tangentialebene von einem

]~ " ruak t des Raumes auf. ges,etf achtet werden im folgenden regulKre EiflKchen. Darunter sollen hier konvexe, f~0SSene ttyperfl~ehen im E n+l (n ~ 2) mit zweimal stetig differenzierbarer Stiitz-

~I012 1112 . . . . - - .. lr d uberall nOSltlver Gaul3seher Krummunr verstanden werden. Eme solehe die~ e ~' 1st durch parallele Normalen umkehrbar ~ndeutig und differenzierbar auf

~iira" ~2neitskugel S u m den Ursprung abgebildet. Mit Sk (1 =< ]C =< n) sei die ]c-to ffatl~.~Ungsfunktion, d.h. die k-re normierte elementarsymmetrisehe Funktion der 4h,~kriilaraungsradien bezeichnet, und es sei noch So = 1 gesetzt p (~) sei der

~ . . . . " . . vekt~ ~ der Tangentialebene lm Fl~chenpunkt mlt dem auBeren Normalenemhelts- ~e,~2.; Yon einem fest vorgegebenen Punkt des Raumes, der im folgenden stets als 1~7"~Uaatenursprun~~ts . gs-ews l,~ sei genau dann positiv o~ew/ihlt, wenn Eifls ti~_ u~162 auf derselben Seite der Tangentialebene liegen. Die Funk- ~ild~ ~k und p werden im folgenden stets als Funktionen auf dem sphi~rischen d e ~ ~ aer Flache F angesehen. Ffir eine zweite Eifls F* werden die entspreehen- z~~_,u~ktionen auf S n~t S~', p* bezeichnet ; Funktionswerte von Sk, p und S~', p* ~ A d g n m ~ t ; ~ r f ih~a~l : leSt~t :m: leFl~:h: :punkten auf F bzw. F* her, m

! . ~ : ) ~ 8atz Yon AL,KSANDRov-FEsoItEL-JEssEI~ gilt al lgemeiner fiir beliebige konvcxe K6rper !i%~S~.adelegung einer ~llgemeineren Definition der Krfimmungsfunktionen als Mengenfunk- %ttaeh~lt:r Werden jedoch nur konvexe K6rper mit regul~rer Berandung (Definition siehe unten)

268 R. Scnsml)Ei~ Ana~. ~*~'

Integrationen sind im folgenden immer fiber ganz S (Oberfl/ichenelemen~ d~o) erstreckt.

P, Jg*,S seien die yon den regul/iren Eifl/ichen F, F*, S berandeten koll~Zexen KSrper. Die gemischten Volumin~ dieser KSrper werden bezeichnet mit

V(/7 . . . . . F,J~* . . . . . /7",~ . . . . . S ) = Vrs, O < = r + s ~ n + l .

r s n-t 1-r-s

Sie lassen sich bekanntlich als Integrale fiber S darstellen. Speziell gilt

(~)

1 V k o - - n + l f S k d * ~ O - < - k < ~ n ,

1 - - n +-------T ~ p S ~ - i do~, .1 ~ k _<_ n + 1 ,

1 ~ p * S k d ~ o , O < k < - - n , V k l - - n + 1

Vo~ - - n + ~ " ' - - '

__ 1 ~ p . S . _ l d(~ 1 < Ic <_ n + 1, n + l ' - -

1 fpS*d~o, O<k<_n. V l k - - n + ~ = --

Diese Formeln finden sich in etwas anderer Gestalt z.B. in BONNESEI~I_FENCHI~I~ [~] (S. 59 (5), S. 63 (7)).

Ffir die gemischtcn Volumina yon n + l konvcxen K6rpern K1, . . . , Kn§ bes~ebt nach FENCHEI,-AL~KSANDnOV (siehe BUSEMANN [3], S. 49) die Ungleichung

(2) V2(K1 ,Ke ,Ka . . . . . Kn+l) >= V ( K 1 , K 1 , K 3 . . . . ,Kn+l) V ( K 2 , K 2 , K a , "'''K'~r

Sind die Berandungen der K6rper K1 . . . . . Kn+l regul~re Eifl~chen, so gilt hier daS Gleichheitszeichen nut, falls K1 und K2 homothetisch sind.

Spezialisierung yon (2) ergibt fiir die gemischten Volumina der K6rper F, ~*'~:

Vr 2 ~ Vr+l,~-lVr-l ,s+l, 1 ~ r , s < = n ; r + s < ~ n + l ,

worin das Gleichheitszeichen nur ffir homothetische K6rper 17,/7* gilL, und

V r 2 ~ V r + l , sVr_ l , s , O < _ 8 ~ n - - l , l < _ r < _ n - - s ,

mit Gleiehheit nur, wenn F eine Vollkugel ist. Aus beiden Ungleichungen folgerv wenn man beachtet, dab die gemisehten Volumina hier s~Lmtlieh positiv sin&

(3) V 0 Vr t-m,J-m >_-- V,-1,J+I V*+m+l.J-m-1

ffir 1 _< i _< i + m =< n, i + ~ =< n + 1 mit Gleiehheit nur ffir homothetis ehe ~']~*' und

(4) Vii Vl+m, 1 ~ Vl-1, j W,+m+l, j

f/ir 1 ~ i ~ i + m ~ n, i + m + ~ _< n mit Gleiehheit nur, falls Fe inc VollkUgele'~er In den nachfolgenden Si~tzen spielt der Begriff eines I)aares iihnlich geordO

Funktionen eine l%olle.

V~ 1966 -~hnlidakeits. und Translationss/itze fiir Eifl~idmn 269

l}etlnition. Zwei auf einer Menge M definierte reetlwertige F u n k t i o n e n / , g heil]en aut M ~hnlieh geordnet, wenn for je zwei Argumente P, Q e M stets

[ / (P) - - [(Q)] [g(P) - g(Q)] >_- 0 ist. ] Und

�9 g heil]en au[ M entgegengesetzt geordnet, wenn ] und -- g auf M is ge-

~t~etzwei S~ndl~unktlonen. , sind insbesondere dann /~hnlich oder ent e en esetzt geordn,, [ g ( g g g ) ~"le-" :~,.Wenn zwisehen ihnen eine Relat ion ~5 (], g) = 0 mit einer in beiden Variablen sin~']aenS~nnig (oder gleiehsinnig) monotonen Funkt ion q) besteht. Trivialerweise

~ unct /ih �9 koas,- �9 .g nheh (und entgegengesetzt) geordnet , wenn eine der Funk tmnen auf M xr ~ant ~st.

a ~ eben den ~'enchel Aleksandrovsehen Un leichun en wird im fol enden eine ',ge~ �9 " g g g pn,,ue~ne Integralun~leiehun~ yon FvaIWAl~i [5] (v~l. a. Ha~DY-LITTL~WO0~-

[ ], Satz 236) verwendet :

bi:e~ llla. Au[ S ~eien [~, [~, g:, ff~ stetige reelle Funktionen, und es sei dort /2g~ > O. i~er~ unkti~ /://2 und ga/ff2 seien au/ S iihnlich geordnet. JDann gilt bei Integration

~teht bier das Gleichheitszeichen, so ist ]1 = c12 oder gl = cg2 mit einer Konstanten c.

BeWeis. Nach Voraussetzung gilt ffir je zwei Punk t e P, Q G S

[ f : (P) f:(Q) l[ff '(P) g ' ( Q ) ] > O , Uad 3 '(p, Q) = [ 2 ( P ) / a ( Q ) g 2 ( P ) g z ( Q ) ~ f ,~(Q) ~o_(p) g2(Q) =

era [:t~ g " hung. Gilt in dies g " ~ " " " , so ist, 112 ~ r162 g:/g2 = fl gesetzt wird,

% . [~(p) - ~(Q)] [/~(P) - / ~ ( Q ) ] = 0

l~l;+ zwei Punk te P , Q G S. I s t nun etwa ~ nicht kons tan t auf S, so gibt es zwei 1st ~ ; A, B e S mit o~ ( A ) . or (B), also fi (A) = fl (B). Sei P ein heliebiger P u n k t auf S. ~ d d '.) * ~(A), so mug fl(P) = fl(A) sein. Is t aber ~ (P) ---- ~(A), so ist ~(P) + ~(B)

aher f l (p) = fl(B) = fl(A). Die Funk t ion fl ist also auf S konstant .

e.~;h:~l~ 1. Bei den reguliiren Eifliichen F, F*, yon denen F den Ursprung im Innern e, aeien [iir ein k (1 <~ k <~ n) die Funktionen

p* s* und - - I) S~

%1 ~d ~hnlich geordnet. Dann sind die Fl~ichen homothetisch. 13er 8

J~ss~- atz l/~Bt sich als Verallgemeinerung des Satzes von ALEKSANDROV-FE~TCtt~L. h~m,~ (S*[S~ = 1) ansehen. Insbesondere folgt aus ihm, dab die Fl/ichen F , F *

~ ' taet iseh sind, wenn S~./Sx eine monoton nieht abnehmende Funk t ion von p*/p

270 R. SCH~Em~R AaZU. ~r~.

ist. Als Spezialf/~lle folgen yon MATSUMURA [9] bewiesene Kennzeichnunge~ ~ Relativsph/~re in einer relativen Differentialgeometrie, die sich folgendermaflen r~ ~

�9 . * i ~ ~ gew6hnhche Differentialgeometrie fibersetzen l~ssen: Zwei Eifl/~chen F, F _t ~ sind homothet isch, wenn S*/82 = ap*/p oder S*/S~ = a(p*/p) 2 + b (a, b konStaU ' gilt.

B e w e i s de s S a t z e s 1. Setzt man im L e m m a f1 = P*, [~ = P, gl = S~*, gg. ~ ~r, so ergibt sich

s*d ;p*s d N~ch (I) kann man daffir sehreiben

Vo, ~ 1 Vk+l. o > V~t Vlk.

Nach (3) (mit i = 1, j = k, m ~-- k - - 1) ist aber zugleich

Vo, ~+1 Vk+l, o ~ V~t Vlk,

und aus dem Besteh en des Gleichheitszeichens folgt die Homothe t i e der F1/~chen F, '

Satz 2. Bei den reguliiren Eifliichen F, F* seien die Funktionen

p - - p * und $1- - $1"

au] S iihnlich geordnet. Dann geht die eine Fliiche durch Translation aus einer parallel" fliiche der anderen hervor.

B e w c i s . Setzt man im L e m m a / 1 = P - - P*, gl --=- $1 - - Sl*, ]2 = g2 = 1, s ~ f~162

(p -- p*) ($1 -- S*) doJ .I de, > .f (P -- P*) de, y ($1 -- $1") dm

oder nach (1)

(5) V00(V20-- 2 Vll -~ V02) ~ (Vlo -- V01) 2.

Mit Hilfe eines Kunstgriffes yon MINKOWSKI 1/s sich aus (2) herleiten (s. ~o1r162 Sr3N-FENCIfEL [2], S. 93), dab fiir beliebige reelle Zahlen x, y gilt

Voo(x 2 V2o ~- 2 x y V l l + ye Voe) <= (x Vlo -~ y V01) 2 .

Mit x = 1, y = -- 1 folgt das Gleichheitszeichen in (5)�9 Nach dem Lemma m u ~ p - - p* oder S~ - - S~* kons tan t sein. I s t etwa p - - p* -~ c > 0, so ist F die ~ ' di~ Parallelfl/iche zu F* irn Abstand c. I s t e twa S~ - - S* -~ c >_ 0, so haben F ~.~b~. /~ul~ere Parallelfl/~che zu F* im Abs tand c in Punk t en mi t narallelen Normale~ ~.~. einst immende erste Krf immungsfunkt ionen, sind also nact~ dem Satz .yon A ~ g s ~ : D~r translationsgleich.

Satz 3. Bei den reguli~ren Eifldchen F, F* mit gleichen Oberfldchen seien die ~ k " tionen

p - - p * und Sn -- S*

au/ S dihnlich geordnet. Dann r die Fl~chen translationsgleich.

B e w e i s . Mit ]~ ---- p -- p*, gt ~ Sn - - Sn*, 12 ~ 9~ ~ 1 folgt aus dem L ewma ~ a u s (1)

Vol, Xu 1966 ~hnlichkeits. und Translation,ss~itze fiir Eifliidaen 271

V~176 Vnl-- Vln-[- ~]O,n+l) ~> (Vlo-- VOl)(Vno-- Von), ~Vegea der geforderten Obe re in s t immung der Oberfls d. h. Vno = Von, also

Vn+l, o + Vo. ,~+l >= Vnl + V~+~.

~:eh t ~ o ~ s ~ . F ~ e ~ ~ [2] (S. 96 f.) gilt folgende Verseh/~rfung einer Minkowski . -sea Ungleiehung:

n V~+~, o + ~ + l Vo, ~+~ < (n 4- 1) ~ V,~l.

~a.ri~ kann ~ = Vno] Von, hier also ~ = 1 gesetz t warden. Addier t m a n diese Un- ~:i2hun~ zu derienigen ' die sieh naeh Ver tauschung beider Fls ergibt, so erhi~lt

Vn+l,o + Vo,+~+a <~ V,a + VI,~.

Q~er 8 as Glemhheitszeiehen s tehen muff, folgt nach dem L e m m a p - - p* = eonst . ua~ait di - n -= eonst. , wegen Vno -= Vou also p - - p* = 0 oder Sn -- S~ ~- 0 und

f~t e Translat ions~leichheit der Fl/~ehen, t r ~ e die Voraussetzunu zleieher Oberfl~ehen wtirde es auger Parallelflgehen und

. . . aSglelehen Fl~ehen such noch andere Fl&chenDaare F, F * ~eben, ffir die (h~. : ~ad Sn ~ S* s geordnet sind. Aus e inem Exis tenzsa tz yon MINKOWSKI l~* ~.~.I~8/~/g-FI~NeRI~L f2], S 121~ 1/~gt sich n~mlieh schliegen dab es zu einer Eifl/~che ~ k t i - ,~-ren Kr f immungs funk t ion S~ eine andere Eifls F m i t der Kr i immungs- P~tN, u. a 8n gibt derar t , da6 Sn - - S~ = eonst. , 0 gilt (wobei F i. a. zu keiner

n i :~ t t~he : o n F * translationsgleieil ist). �9 "ue~de . . . . . . . ~tl~&eh n zuletzt bewmsenen Satze lassen ve rmuten , daB a l lgemem zwel regulare

~ntet en mit s geordneten Funk t ionen p - - p* und Se - - S ~ ( I ~ k ~ n) elner geeigneten Zusa tzvorausse tzung, wie V~o = Vo~, t ranslat ionsgleieh sind.

8atz 4, E~ne re ~ie ,,,unktionen. " fful~ire Eifli~che F, bei der [iir ein Paar k, r mit 0 < k < k + r ~ n

Skq-r p und -~,

~h%l*ch geordnet siml, ist eine Kugel.

/]eweis. Mit [1 = p, [z = 1, g~ = Sk+r, g2 = S~ ergeben das Lamina and (1)

~it ~ V~+~+~, ~ V~o ~ g~+i. o V,+~, o.

O, i ~ k + 1, m ~ r - - I l au te t die Ungleichung (4)

~ V~+r+l, o V~o < V~+~, o V~+r, o,

~,~lla dam Bestehen des Gleiehheitszeiehens fol t die B e h a u p t u n . -'~Ser " g "' g r = ~r~)~ 8atz en tha l t Kennze iehnungen der Kuge l yon Suss [10] (du eh Sk+r/Se

z~%h~/and yon GROTE~EYER [6] (ira E s dutch H = [ (p) mi t einer mono ton nieh~ ~ , ~ n d e n F u n k t i o n / , wo H = S~]S~. die mi t t le re K r f i m m u n g ist).

t ~ g s b e " ~'' ~-'~veist all-emeiner eine Kennz ichnun dor Relatlvs hare in einer relativen Di r - .'~al~._ -'~' -~uch die hier bewiesermn Si~tze liegen sieh allgemeiner Ms Ss der relagiven Diffe- "~, %;,\~tetrie beztiglich einer regul~ren Eitti~che E fermulieren und beweisen. Man hatte dazu

-~u anstelle der Kugel S die-Eiehfl/iehe E zu nehmen.

272 R . SCItNEIDER /iIlCtI, III ?'~tb

Es sei noeh bemerkt , (tab es Beispiele nicht-homothet ischer Fliiehenpaare bz~V. vo~tcte~ der Kugel verschiedener Fl/~ehen gibt, ffir die die in den S~ttzen 1 bis 4 auftrete ' : .~

zeichnen :

S e = r ~ r ~ = a p -4, 0 < a = c o n s t . ,

r2 = br~, 0 < b = const., woraus sieh

$1 = A p-1 + Bp-a

mit posit iven Kons t an t en A, B ergibt. Dami t erh'~lt man Beispiele der genauute~ Art , wenn man etwa (zu den S/itzen 1 his 3 /a l s zwelte Fli~che eine Ku-e l nimm~..̂ l,o.r~.. -4

Es soil nun noeh eine Kennzeichnung ~ter Kugel dureh eine Relat ion sPe~l~'~e Gestalt bewiesen werden, da dutch sie einige yon MATSUMURA [ 8 , 9] angeg Charakterisierungen der Kugel im E a gemeinsam verallgemeinert werden:

Sa|.z 5. Au] einer reguliiren Eifliiche F, die den Urspru~uj im Innern enthalte, bestel~e eine Relation

Sk = alpl"Sh + "" + arpb~S#.

0 [alls io < k ( s~ be- Dabei sei r ~ 1, 0 ~ is <~ k <~ n, as und bs konstant, as >= e~ne ~ ~nit dOl~ liebig), bs > 0 , bl + " " + br > 0 (s = 1 . . . . . r). Dann i~'t '_F Mittelpunkt im Ursprung.

B e w e is. Nach (1) und der Voraussetzung des Satzes ist

(6) ~ x

( n + = =

= 1 die Setzt man J1 = ~"8~t2 -$112 = .r t- i, , gl = p i. , 12 = g 2 ~'i. , so sind wegen bs ~ 0

Funkt ionen/1/ /2 und g~/g2 a u f S ghnlich geordnet, und das L e m m a ergibt

. re , - , s,.do i s,.d,o >= f ;ps,: .

Dami t folgt aus (6) r

~,'=1 s = l

s = l also

(7)

M i t ? ' = 0 , i = i s + 1, m = k . . . .

~ as f pb'Si.do)(Vk+l,o V~.o -- Vko V,.+l,o) >= O .

is 1 laute t die Ungleiehung (4)

Vx+l,o V~.o -- V~o V,,+t,o <_-- O.

Yol. XVII, 1966 *hnlidlkeits- und Translationssiitze /iir Eifl/ichen 273

a I a ( 7 ) gilt also das Gleichheitszeichen, da f~r is :r k nach Vorausse tzung as >= 0 de~ ua P 2> 0 ist. Da wenigstens einer der E x p o n e n t e n bs posi t iv sein sollte, folgt aus

,, ~emma p = eonst, und dami t die Behaup tung . n~as Beispiel des Rotat ionsel l insoids zei~t, dab der Satz falseh wird, wenn m a n ffir ule I~'ll~,L~ , •

-~cmn p auch negat ive E x p o n e n t e n zulggt.

L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s

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Eingegangen am 27. 1. 1965

sehrift des Autors: ~chueider

6 ~:en~tisches Seminar der Universitiit

Arehiv der 4. ~ua hematik XVII 18