Albert Einstein- Uber das Relativitatsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen

8/3/2019 Albert Einstein- Uber das Relativitatsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen

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Einstein, RelativiUitsprinzip u. die aus demselbengezog.Fo]gerungen. 411Durch Siedepunktserhohungs bestimm ungen an den "\vilBrigenL6sungen

komrnt Benrath zu dem SchluB, daB nur diejenigen Substanzen, z. B.OdGl2, welche die Blaufarbung verhindern, Komplexe bilden, wahrenddiejenigen, z. B. GaOI2, welche die Blauf'arbung bewirlcen, Imine Kom-plexe bilden, Und wenn dies aueh aus seinen Resultaten hervor-zugeben scheint, so ist irnmer nicht zu leugnen, daB die Uberfuhrungs-versuche die Existenz von Komplexen im letzteren Fall unzweideutigbeweisen. Benrath gibt ja ZU, daB solche Komplexe bei holier-enKonzentrationen existieren, aber wenn bei hoheren Konzentrationen,war-urn nicht auch bei etwas niedrigeren Konzentrationen? Es handeltsich nur um die relativen Mengen, und wenn Ben r ath noch behauptet,daB die Bildung solcher Komplexe sich "thermodynamisch 'wohl kaumbegr'unden laBt", so karin man hierzu nul' bemerken, daB die Thermo-dynamik wohl kaum etwas damit zu tun hat.

Aus diesen neueren Arbeiten geht deutlich hervor, daB die Fragenach del' Ursache del' F'arbenanderungen bei Kobaltsaizen noch nichterledigt ist und daB deren Erledigung noeh weiterer exakter Versuchebedarf.

Nach trag III.Zu dem Kapitel uber den EinfluB des Aggregatzustandes. K. Arndt

hat auf die Einwendungen von Lorenz kurz geantwortet (Ber, d. d.chem. Ges. 40, 3612-3614, 1907) und beabsichtigt in del' Zeitschriftfur Elektrochemie ausfuhrl.ich dieselben zu widerlegen.

(Eingegangen 1. Oktober 1907.)

Uber das Relativitiitsprinzip und die ausdemselben gezogenen Folgerungen.Von A. Einstein.

Die New to 11schen Bewegun gsgleichungen behalten ihre Form,wenn man "auf ein neues, relativ zu dem nr-spr-ttn glich benutzten ingleichforrni ger Translationsbewegung begriffenes Koordinatensystemtransformiert nach den Gleichungen

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412 Einstein, RelativiUitsprinzip u. die au.sdemselben gezog. Fo1gerungen.x'=x-vt,Y=Y,x =X

Solange man an del' Meinung festhielt, daB auf die New ton schenBewegungsgleichungen die ganze Physik aufgebaut werden konne, korintsman also nicht daran zweifeln, daB die Naturgesetze gleich ausfallen,auf welches von relativ zueinander gleichformig. bewegten (beschleuni-gungsfreien) Koorclinatensystemen sie auch bezogen werden mogen..Iene Unnbhttng lgkait vom Bewegu ugazus taude des benutzten Koordi-natensystems, im folgenclen "RelativitatslJrinzip" genannt, schien abel'mit einem Male in Fruge gestellt durch die glanzeriden Bestatigungen,welche die H. A. Loren tzsche Elektroclynamik bewegter Ko.rper e1'-fahren hat. 1) Jene Theorie ist nnml ich auf die Voraussetzung einesruhenden, unbeweglichen Lichtathers gegrundet; ihre Grundgleichungensind nicht so beschaffen, daB sie bei Anwendung del' obigen Trans-formationsgleichungen in Gleichungen von del' gleichen Form nbergehen.

8eit dem Durchdringen jener Theorie muBte man erwarten, daBes gelingen werde, einen EillfluB der Bewegung del' Erde relativ zumLichtather auf die optischen Erscheinungen nachzuweisen. Lorentzbewies allerdings bekanntlich in jener Arbeit, daB nach seinen Grunc1-annahmen eine Beeinfiussung des Strahlengunges bei optischen Ver-suchen durch jene Relativbewegung nicht zu erwart.en sei , sofern mansieh bei del' Rechnung auf die Glieder beschrttnkr, in denen das Ver-hnltnis 3 : ! . _ jener Relativgeschwinc1igkeit zur Liehtgeschwinc1igkeit imcVakuum in der ersten Potenz auftritt. Abel' das negative Resultatdes Experimentes von Michelson und Morley 2 ) " zeigte, daB in einembestimmten Fane auch ein Effekt zweiter Ordnung (proportional ;~)nicht vorhan den war, trotzdem er nach den Grundlagen del' Loren tz-schen Theorie bei dem Versuche sich hatte bemerkbar machen milssen.

Es ist bekannt, daB jener Wiclerspruch zwischen Theorie undExperiment dur ch die Annahme von H. A. Lorentz und Fitzgerald,nach welcher bewegte Karpel' in der Richtung ihrer Bewegung einebestimmte Kontraktion erfahren, formell beseitigt wurde. Diese ad

1) H. A. Lor en tz , Versuch einer 'I'heorio del' e1ektrischen und op-tischen Erscheinungen in bewegten Korpern. Leiden 1895. NendruckLeipzig 1906.

2, A. A. M'i ch el son und E. 'V . J\Iorley, Amer. Journ. of Science (3)34, S. 333, 1887.


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Einstein, Relatdvl tatsprtnaip u. die aus demselben gezog. Folgerungen. 413hoc eingefiihrte Annahrne erschien abel' doch nul' als ein knnstlichesMi tteI, um die Theorie zu retten; del' Versuch von Mi chel son undMorley hatte eben gezeigt, claBErscheinungen auch da dem Relativitats-prinzip entsprechen, wo dies nach del' Lor entzschen Theorie nichteinzusehen war. Els hatte daher den Anschein, als ob die Loren tzscheTheorie wieder verlassen und durch eine Theorie ersetzt worden musse,deren Grundlagen dem Relativitatsprinzip entsprechen, denn eine solcheTheorie liefse das negative Ergebnis des Versuches von lYlicheIsonund M 0r 1ey ohne weiteres voraussehen.

Es zeigte sich abel' uberraschenderweise, daB es nul' notirr warb ,den Begriff del' Zeit genugcnd scharf zu fassen, urn uber die soebendargelegte Schwierigkeit h inweg zu kommen. Es bedurfte nul' del'Erkenntnis, daB man eine von Fl. A. Lor en tz eingefuhrte Hilfsg rcfse,wel che er ,,'!rtszeit"nal1l1te, als "Zeit" schlechthin c1efinieren kanr;.Halt man an del' angec1euteten Definition del' Zeit fest, so entsprechendie Gr-undg'leichungen del' Loren tz schen 'I'heor ie dem Relativitats-prinzip, wenn man nul' die obi'gen Transformationsgleichungen durchsolehe ersetzt, welche dem neuen Zeitbegriff entsprechen. Die Hypo-these von H. A. Loren tz und Fitzgerald erschein t dunn als einezwingende Konsequenz del' Theorie. Nul' die Vorstellung eines Licht-athcrs als des 'I'ragers del' elektrischen und magnetischen Krafte pa.Btnicht in die hier dargelegte Theorie hinein; elektromagnetische Feldererscheinen narnl ioh hier nicht als Zustande irgencieiner Materie,son dern als selbstnndig existierende Dinge, die del' ponderabeln Materiegleichartig sind und mit ihr das Merkmal del' 'I'rughei t gemeinsam haben.

Tm folgenden ist nun del' Versuch gemacht , die Arbeiten zueinem Ganzen zusummenzuf'assen, welche bisher aus del' Vereirrigungvon H. A. Lorentzscher Theorie und Relattvttatsprtnztp hervor ge-gangen sind.

In den erst en beiden TeiIen del' Arbeit sind die kinematischenGrundlagen sowie deren Anwendung auf die Grundgleichungen derMu xw eLl c Lo r e n tzschen Theorie behandelt; dabei hielt ieh micli anArbeiten 1) von I - : I . A. Lor en tz (Versl. Kon. Akad. v. Wet., Amsterdam1904) und A. Einstein (Ann. d. Phys. 16, 1905)." In d8111 ersten Abschnitt, in dem aussehlieBlich die .kiuema.tischenGruncUagen del' Theorie angewendet worden sind, habe ich auch einigeoptische Probleme .CDopp l er sches Prinzip, Aberration, Mitfuhrung des

1) Es kommen auch noch die einschHigigen Arbeiten von E. Cohnin Betraeht von welchen ieh abel' hier keinen Gebraueh gemacht h.abe.,


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414 Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.Lichtes durch bewegte Karpel') bebandelt; auf die Mogliehkeit einerderartigen Behandlungsweise wurde ieh dureh eine muncUiehe Mitteilungund eine Arbeit (Ann. d. Phys. 23, 989, 1907) von Herrn M. Laue,und durch eine (allerdings kor-rekturbedurf'tige) Arbeit von Herrn J.La ub(Ann. d. Phys. 32, 1907) aufmerksam.

Irn clritten Teil ist die Dynamik des mater iel len Puuktes (Elektrons)entwiekelt. Zur Ableitung der Bewegungsgleichungen benutzte ieh die-selbe Methode wie in meiner oben genannten Arbeit. Die Kraft istdefiniert wie in del' Plancksehen Arbeit. Auch die Umformungan del'Bewegungsgleiehungen des materiellen Punktes, welche die Analogie derBewegungsgleiehungen mit denen del' klassisehen Mechanik so deutlichhervortreten lassen, sind diesel' Arbeit entnommen.

Der vierte Teil befa.Bt sieh mit den allgemcinen Folgerungen, be-treffend die Energie und die BewegungsgroBe physikalischer Systeme,zu welchen die Relativitatstheorie fuhrt, Dieselben sind in denOrtginalabhandlungen:

A. Elns'tein, Ann. d. Phys. 18, 639, 1905 und Ann. d. Plrys.23, 371, 1907, sowie M. Planck, Sitzungsber. d. Kgl. PreuB.Akad. d. Wissenseh. XXIX, 1907

entwickelt worden, hier aber auf einem neuen Wege abgeleitet, del'- wie mir scheint - den Zusammenhang jener Anwendungen mitden Gruncllagen der Theorie besonders klar erkennen laBt. Auch dieAbhangigkeit der Entropie und Temperatur vom Bewegungszuarandeist hie l' behandelt; bezugl ich der Entropie hielt ich mieh ganz andie zuletzt zitierte Plancksche Abhandlung, die Temperatur bewegterKarpel' definierte ieh wie Herr Mas eng eil in seiner Arbeit tiber diebewegte Hohl raumstrahlu ng.u)

Das wichtigste Ergebnis des vierten Teiles ist das von del' tr-agenMasse der Energie. Dies Resultat legt die Frage nahe, ob die Energteauch sch wer e (gravltierende) Masse besitze. Ferner drnngt sich dieFrage auf, ob das Relativitatsprinzip auf besehleunigungfrei be-wegte Systeme beschrankt sei. Um diese Fragen nicht ganz unerortertzu lassen, habe ieh dieser Abhandlung einen f'nnften Teil hinzugefug't,welcher eine neue relatdvitatstheoret.ische Betrachtung uber Beschleuni-gung und Gravitation enthalt.

1) Kurd von MosengeiJ, Ann. d. Phys. 22, 867, 1907.


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Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen. 415I. Kinematischer Teil.

1. Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.Definition der Zeit. Relativitatsprinzip.

Um irgendeinen physikalischen Vorgang beschreiben zu konnen,mtrssen wir imstande sein, die in den einzelnen Punkten des Raumesstattfindenden Veranderungon ort.lich und zeitlich zu werten,

Zur or tl.ichen Wertung eines in einemRaumelement stattfindendenVorganges von unendlich kurzer Dauer (Punlrtereignis) hedurfen w ireines Oartesischep Koordinatensystems, d. h. dreier aufeinander senk-recht stehender, starr miteinander verbundener, starrer Stabe, sowieeines starren EinheitsmaBstabes.1) Die Geometrie gestattet, die Lugeeines Punktes bezw. den Ort eines Punktereignisses durch drei MaB-zahlen (Koordinaten x, y, x) zu bestimmen.s) Fur die zeitliche Wertungeines Punktereignisses bedienen wir uns einer UhI', die relativ zumKoordinatensystem ruht und in deren unmittelbarer Nahe das Punkt-ereignis stattfindet. Die Zeit des Punktereignisses ist definiert durehdie gleichzeitige Angabe der Uhr.

Wir denken uns in vielen Punkten relati v zum Koordinatensystemruhende Uh ren angeordnet. Dieselben seien samtlich gleichwertig, d. h.die Differenz del' Angaben zweier solcher Uhren soll ungeandert bleiben,falls sie nebeneinander angeordnet werden. Denkt man sioh diese Uhrenirgendwie eingestellt, so erlaubt die Gesamtheit der Uhren, falls letzterein genugend kleinen Abstanden angeordnet sind, ein beliebiges Punkt-ereignis - etwa mittels der nachstgelegenen Uhr - zeitlich zu werten.

Del' Inbegriff diesel' Uhrangaben Iiefert UDS aber gleichwohl nochkeine "Zeit", wie wit' sie fur physikalische Zwecke notig haben. Wirbedtrrferi viclmehf hierzu noch einer Vorschrift, nach welcher dieseUhren relativ zueinander eingestellt werden sollen.

Wir nehmen nun an, die Uhren k onnen so gerichtet w erden,d aB die Fortpflanzungsgeschwindigkeit eines jeden Licht-strahles im Va k uurn - mit Hilfe dieser Uhren gemessen -allenthalben gleich einer universellen Konstante c wirdvorausgesetzt, daB das Koordinatensystem nicht beschleunigt ist. SindA. und B zwei relativ zum Koorc1inatensystem ruhende, mit Uhrenausgestattete Puulcte, deren Entfernuilg 1" betragt, und ist tA die All-

1) Statt von "stan'en" Korperri, konnte hier Bowieim foJgenden ebensogut von deformierenden Kraften nieht unterworfenen f'esten Korpern ge-sprochen werden.2) Hierzu braucht man noeh Hilfsstabe (Lineale, Zirkel).


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-1.16 E in steill, llelutiviHitsprinzip u. die aus demselbeu gezog. Folgerungen.rrahe del' Uhr in A, wcnn ein durch das Vakuum in del' Richtung AB:::'lsich fortpflanzender Licbtstrahl den Punkt A erreicht, tB die Angabedel' Uhr in B beirn Eintreffen des Lichtstrahles in B, so solI also,wie auch die den Lichtstrahl emittierende Licbtquelle, sowie andereKerper bewegt sein mogen, stets

r~-=eto - t .s .sein.

DaB die hier gemachte Annahme, welche wir "Prinzip VOll del' Kon-stanz del' Lichtgeschvi!incligkeit" nenuen wollen, in der Natur wirklicherfullt sei, ist keineswegs selbs tveratan dl.ich, cloch wird dies - werrigstensfill' ein Koordinatensystem von bestimmtem Bewegungszustandc - wahr-scheinlich gemacht dur ch die Bestatigungen, welche die, auf die Voraus-setzung eines absolut rubenden A thers gegrnndete Lor en t zsche Theorie 1)


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Einstein! Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen. 417sowie auf das oben angegebelle Prinzip von der Konstanz der Licht-gesehwindigkeit werden wir uns im folgenden stiltzen.

2. Allgelneine Bemerkungen, Raum und Zeit betreffend.1. Wir bet.rachten eine Anzahl beschleunigungsfrei und gleieh

bewegter (d. h. relativ zueinander ruhender) starrer Korper, Nachclem Rela.tivitntsprtnztp sehlieBen wir, daB die Gesetze, nach denensich diese Karpel' relativ zueinander rnumlich gruppieren lassen, beiAnderung des gemeinsamen Bewegungszustandes dieser Korper sichnicht anderri. Daraus folgt, daB die Gesetze der Geometrie dieLagerungsmoglichkeiten starrer Kerper stets in der gleiehen Weisebestimmen, unabhttngtg von deren gemeinsamem Bewegungszustande.Aussagen nber die Gestalt eines beschleunigungsfrei bewegten Korpershaben daher unmittelbar einen Sinn. Wir' wollen die Gestalt einesKorpers im dargelegten Sinn, die "Geometrisehe Gestalt" c1esselbennennen. Letztere ist offenbar nicht vom Bewegungszustande einesBezugssystems abhaug ig.

2. Eine Zeitaugabe hat gemaB der in 1 gegebenen Definitiondel' Zeit nur mit Bezug auf ein Bezugssystem von bestimmtem Be-wegungszustande einen Sinn. Es ist daher zu verrnuten (und wirdsich im folgenden zeigen), daB zwei rnumlich distante Punktereignisse,welehe in bezug auf ein Bezugssystem S gleichzeitig sind, in bezugauf ein Bezugssystem S' VOll anderem Bewegungszustande im all-gemeinen nicht gleichzeitig sind.

3. Ein aus den mater lellen Punkten P bestehender Kerperbewege sich irgenc1wie relativ zu einem Bezugssystem S. Zur Zeit tvon S hesitzt jeder materielle Punkt Peine bestimmt.e Lage in S,d. h. er koinzidiert mit einem bestimmten, relativ zu S ruhendemPunkte II. Den Inbegr iff der Lagen der Punkte II relativ zumKoordiriatensystem von S nennen wir die Lage, den Inbegriff del'Lagenbez'iehungen der Punkte IIuntereinander die kinematische Gestaltdes Korpcrs in bezug auf S fur die Zeit t. Ruht der K{)rper relativzu S, so ist seine kinematische Gestalt in bezug auf S mit seinergeometrtschen Gestalt identisch.

Es ist klar, daB relativ zu einem Bezugssystem S ruhende Be-obachter nul' die auf S bezogene kinematisehe Gestalt eines relativzu S bewegten Karpel's zu ermi tteln vermogen , nicht abel' dessengeometrische Gestalt.

Irn folgenden worden wir gewahnlich nicht explizite zwischen


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418 Einstein, Relativitatspriuzip u. die aus demselbengezog. Folgerungen.geometrischer und kinematischer Gestalt unterscheiden; eine Aussagegeometrischen Inhaltes betrifft die kinematische bezw. geometrischeGestalt, je nachdem dieselbe auf ein Bezugssystem S bezogen istoder nicht.

3. Koordinaten-Zeit-Transformation.S und S' seien gleichwertige Bezugssysteme, d. h. diese Systeme

mogen gleichlange Einhettsmafsstabe und gleichlaufende Uhren besitzen,falls diese Gegenstnn de im Zustande relativer Ruhe miteinander ver-glichen werden. Es ist dann einleuchtend, daB jecles Naturgesetz,clas in bezug auf S gilt, in genau gleicher F'orm auch in bezug aufS' gilt, falls S und S' relativ zueinander ruhen. Das Relativitats-prinzip verlangt jene vollkommene Ubereinstimmung aueh fur denFall, daB S' relativ zu S in gleiehformigerTranslationsbewegung be-griffen ist. Tm speziellen muB sieh also fur die Lichtgeschwindigkeit.im Vakuum in bezug auf beide Bezugssysteme dieselbe Zahl ergeben.

Ein Punktereignis sei relativ zu S dureh die Variabeln x, y, x, trelativ zu S' durch die Variabeln x', y', x', t', bestimmt, wobei Sund S' beschleunigungsfrei und relativ zueinander bewegt seien. Wirfragen naeh den Gleichungen, welehe zwischen den erstgenannten undden letztgenannten Variabeln bestehen.

Von diesen Gleichungen konnen wir sofort aussagen, daB sie inbezug auf die genanriten Variabeln linear sein mussen, weil die I-Iomo-genittttseigensehaften des Raumes und del' Zeit dies erfordern. Darausfolgt im speziellen, daB die Koordinatenebenen von S' - auf dasBezugssystem S bezogen - gleichf5rmig bewegtc Ebenen sind; dochwerden diese Ebenen im allgemeinen nieht aufe.inander senkreehtstehen. Wahlen wir jedoch die Lage del' x' -Achse so, daB letzterc- auf S bezogen - die gleiche Richtung hat, wie die auf S be-zogene Translationsbewegung von S', so folgt aus Symmetrregrunden,daB die auf S bezogenen Koordinatenebenen von S' aufeinander senk-recht stehen muss en. Wir kormen und wollen die Lagen der heidenKoordiuatensysteme Im speziel'len so wahlen, daB die x-Achse von Sund die x' -Achse von S' dauernd zusammenfullen und d9JBdie auf Sbezogene y' -Achse von S' parallel del' y-Aehse von S ist. Fernerwollen wir als Anfangspunkt der Zeit in heiden Systemen den Augen-blick wahlen, in welchem die Koordinatenanfangspunkte koinzidieren ;dann sind die gesuchten Iinearen Transformationsgleichungen homogen.

Aus del' nun bekannten Lage der Koordinatenebenen VOll Sf relativ


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Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog.Folgerungen. 419zu S schlieBen wir ullmittelbar, daB je zwei del' folgenden Gleichungengleichbedeutend sind: ,x=0 und x-vt=o,y=0 und y=o,x =0 und %=0

Drei der gesuchten Transformationsgleichungen sind also vonder Form:x'=a(x-vt)y'=by,% =cz.

Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Ieeren Raumein bezug auf beide Bezugssysteme gleich c ist, so mussen die beidenGleichungen:und

X'2 +y'2 +%'2=2(2gleichbedeutend sein. Hieraus und aus den soeben fur x', V', x ge-fundenen Ausdrucken schlieBt man nach einfacher Rechnung, daB diegesuchten Transformationsgleichungen von del' Form sein mussen :

t '=p(v){3 (t- : 2 x )x'=p (v) . fl (x - v t )y'=rp(v) yx'=p (v).x .

Dabei ist

gesetzt.Die 110ch unbestimmt gebliebene F'unktiou von v wollen wir nun

bestimmen. F'ulrren wir ein drittes mit S und S' gleichwertigesBezugssystem S" ein, welches relativ zu S' mit der Geschwindigkeit- v bewegt und ebenso relativ zu S' orientiert ist, wie S' relativ zuS, so erhalten WIr clurch zweimalige Anwendung del' eben erlangtenGleichungen

('=cp(v). rpC- v) tx". cp(v)rp(-v).xy"=s p (v) rpC-v). yx" =cp(v) rpC-v) x.

Da die Koordinatenanfangspunkte von S und S" dauernd zu-


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420 Einstein, RelativiUitsprillzip u. die RUS demselben gezog. Folgerungen.sammenfallen, die Achsen gleich orientiert und die Systeme "gleich~wertige" sind, so ist diese Substitution die identische 1), so daB

qJ(v). cp(- v)=1.Da ferner die Beziehung zwischen y lind yr vorn Vorzeichen Von1)nicht abhangen kann, ist,

Es ist also 2)cp(v)=J(- v).

s p (v)=, uncl die Transfonnationsgleichungen lautent'=3 ( t - ; 1 x) 1

; x ; : =J(x.-vt) fY =?J,;i;: =X

(1)

wobei ~ = v : = ~ : 'Lost 111andie Gleichungen (1) nach x, y, x, t auf, so erhnlt man

die namfichen Gleichungen, nul' daB die "gestrichenen" durch diegleichnamigen "ungestrichenen" Grofsen und urngekehrt ersetzt sind,und v dur ch - v ersetz t ist. Es folgt dies auch unmittelbar ausdem Relativitatsprinzip und aus del' Erwagung, daB S relativ zu S'eine Paralleltranslation iri Richtuilg del' LY'Achse mit del' Geschwindig-keit - v ausf'nhrt,

Allgemein erhalt man gemaB dem Relu.tiv itatspr inzip aus jederrichtigon Beziehung zwischen "gestrichenen'~ (mit Bezug auf S'definierten) und "ungestrichenen" (mit Bezug auf S definierten) Grofsenoder zwischen Grofsen nur einer diesel' Gattungen w ieder eine richtigeBeziehung, wenn man die ungestrichenen dur ch die entsprechendengestrichenen Zeichen uncl umgekehrt sowie v durch - v ersetzt.

4. Folgerungen aus den Transfol'mationsgleichungen,sta r r e Ko r p er und Uhren betr eff'e n d.1. Relativ zu S' ruhe ein Korper. x/, Y1', x/'und (2' Y2' %2' seien

die auf S' bezogenen Koordinaten zweier materieller Pu nkte desselben.Zwischen den Koordinaten xl, Y j, Xl und X2, Y21 x2 dieser Punkte in

1) Dieser SchluB ist auf


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Einstein, Re'lati.vitatsprtnzip u, die aus demselben gezog. F'olgerungen, 421bezug auf das Bezugssystem S bestehen zu jeder Zeit t von S nachden soeben abgeleiteten Transformationsgleichungen die Beziehungen

X2 - Xl=V1-:~X2' - Xl') lY2 - Yt =Y2' -y/ J (2), ,x2 - Xi. X2 - Xl

Die kinematische Gestalt eines in gleichforruiger Translations-bewegung begr iffenen, Karpel's hangt also ab von dessen Geschwindig-keit relativ zum Bezugssystem, und zwar unterscheidet sich die kine-matische Gestalt des Korpers von seiner geometrischen Gestalt Iedigl ichdurch eine Verkurzung in Richtung del' Relativbewegung im Verhaltnis

V : l1 : 1 - : : l . Eine Relativbewegung von Bezugssystemen mit Uber-lichtgeschwindigkeit ist mit unseren Prinzipien nicht vereinbar,2. 1m Koordinatenanfangspunkt von S' sei eine Uhr ruhend an-

geor-driet, w elche Vo mal schnell.er laufe als die zur Zeitmessung in denSystemen S und S' benutzten Uhren, d. h. diese Uhr ftihre vo-Pel'iodenaus in einer Zei t, in welcher die Angabe einer r el ativ zu i11r u henden Ub.r von der Art del' in S und S' zur Zeitmessung be-nutzten Uhren urn eine Einheit zunimmt. Wie schnell geht die erst-genannte Uhr vom System S aus betrachtet?

Die betr achtete Uhr beendet jeweilen eine Per iode in den Zeit-epochen tn'=n , wobei n die ganzen Zahlen durchlttuft, und fur dieVaUhr dauernd x' 0 ist. Hieraus erhal.t man mit. Hilfe del' heidenersten Transformationsgleichungen fur die Zeitepochen tn, in denendie Uhr, von S aus betrachtet, jeweilen eine Per iode beendet, ( 3tn=(3tn =-n.Va

Vom System S aus betrachtet fuhr t die Uhr also, pro ZeiteiuheitVa V v2V - -- =Vo 1-2Perioden aus; oder: eine relativ zu einem( 3 ~ . . ( ;Bezugssystem mit der Geschwincligkeit v gleichformig bewegte Uhr

geht von c1iesemBezugssystem aus beurteilt im Verha.ltni s 1:VI - :~langsamer als die naml'iche UhI', falls sie relativ zu jenem Bezugs-system ruh t.

Die Formel V - VoV 1 - ~~ gestattet eine sehr interessante


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422 Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.

Anwendung. Herr J. Stark hat im vorigen Jahre gezeig t t}, daB diedie Kanalstrahlen bildenden Ionen Linienspektra emittieren, indem ereine als Dopplereffekt zu deutende Verschiebung von Spektrallinienbeobachtete.

Da del' einer Spektralfin ie entsp rechanda Schwingungsvorgangwohl als ein intraatomischer Vorgang zu betrachten Ist, dessen Frequenzdurch das Ion allein bestimmt ist, so konnen wir ein solches Ion alseine Uhr von bestimmter Frequenzzahl Vo ansehan, welch letztere manz. B. erhalt, wenn man das von gleich beschaffenen, relativ zum Be-obachter ruhenden Ionen ausgesandte Licht untersucht. Die obigeBetrachtuug zeigt nun, daB del' EinfluB del' Bewegung auf die vondem Beobachter zu errnittelnde Lichtfrequenz durch den Dopplereffektnoch nicht vol lstandi g gegeben ist. Die Bewegung verringert vielmehrauBerdem die (scheinbare) Eigenfrequenz del' emittierenc1ell Ionengerna.B obiger Bez.iehung.P)

5. .A.dc1itionstheorem del' Geschwinc1igkeiten.Relativ zum System S' bewege sich ein Punkt gleichformigGleichungen

Ersetzt man x', y, x', t' durch ihre Ausdrucke in x, y, x, t ver-mittels del' Transformationsgleichungen (1), so erhalt man x, y, x inFunktion von t, also auch die Geschwindigkeitskomponenten Wx, Wy, Wxdes Punktes in bezug auf S. Es ergibt sich sou;+vUc= ,.

1+ v u . ~e-V--v-i1--

e2 ,~ty= , Uy l1+VUx (e2

den , ,,x =uxty' =u';t', ,,x=~{,xt.

V--v1-"2e IUx=-------;-xvnx1+ - - c ~ -1) J. Stark, Ann. d. Phys. 21, 401, 1906.2) Vgl. hierzu 6 Gleich. (4 a).

gemaB

(3)


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Eins t ein, Relati vitatsprinzip u. die aus demselbengezog Fol. . gerungen. 423Das Gesetz vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten gilt alsonul' ill erster Annaherung. Setzen wir

u2=ux2 +Uy2+Ux2'2 '2 ' ,u. =Ux +Uy +u '2und bezeichnen :vir mit a den Winkel zwischen del' x' -Achse (v) und

der Bewegungsrtchtnng des Punktes in bezug auf S' (w'), so istV c 2+ '2 ') (VU'Sina)2,,_ v u +2vucosa - --c2--~ - , ----..- .1+VUCosae2Sind beide Geschwindigkeiten (v und 1./) gleichgerichtet, sohat man:

Aus dieser Gleichung folgt, daB aus del' Zusammensetzung zweierGeschwindigkeiten, welche kleiner sind als c, stets eine Geschwindig-keit reaultiert, die kleiner als c ist. Setzt man namlich v=- I c ,u'=c -.2, wobei I c und .2positiv und kleiner als c seien, so ist:2c-k-.2~,,=c ! J


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424 Ei18 tein, Relativitatsp rinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.J;V-v-~-------"-~-von A nach B iibertragen. Die hierzu not.ige Zeit T ist alsolV-v1--0 2 "

1- TVv:lT=1--"----~ .TV-vDie Geschwindigkeit v karin jeglicben Wert unter c annebmen. "Vennalso W> c ist, wie wir angenommen baben, so kann man v stets sowahlen , daB T c zur Genilge erwiesen erschein t. 6. Anwendungen der Transformationsgleichungen auf

einige Probleme del' O'p tik.Del' Lichtvektor einer im Vakuum sich fortpfianzenden ebenen

Lichtwelle sei, auf das System S bezogen, proportional zusin OJ ( t _ ~ _ m ~ 1 j _ _+ n x ) ,

auf S~bezogen sei del' Lichtvektor des nam liohen Vo.rganges propor-tional zu. ~( , l'x + 'l1?'~y' + n' x' )SIn co t - '_ .(; _Die im 3 entwickelten Transformationsgleichungen verlangen, daBzwischen den Grojsen OJ, l, m, n und co'; r, 'In', n' die folgenden Be-ziehungen beatehen :


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Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselbengezog. FoIgerungen. 425Die Formel 'f'ur co' wollen wir in zwei verschiedeneu Weisen deuten,je nachdem wir uns den Beobachter als bewegt und die (unendlichferne) Lichtquelle als ruhend, oder umgekehrt ersteren als ruhend undletztere als bewegt betrachten.1. Ist ein Beobachter relativ zu einer unendlich fernen Licht-queUe von der Frequenz v mit del' Geschwindigkeit v derart hewegt,daB die Verbinclungslinie "Lichtquelle-Beobachter" mit der auf einrelativ zur Lichtquelle ruhendes Koordinatensystem bezogenen Ge-schwindigkeit des Beobachters den Winkel s p hildet, so ist die vondem Beobachter wabrgenommene Freqnenz vf des Lichtes gegebendurch die Gleichung

v1-cosrp-, cV = V V t _ ~ ~

2. Tst eine Lichtquelle, welche bezogen auf ein mit ihr bewegtesSystem die Frequenz Vo besitzt, derart bewegt, daB die Verbindungs-linie "Lichtquelle-Beobachter" mit der auf ein relativ ZUlll Beobachterruhendes System bezogenen Geschwindigkeit der Lichtquelle denWinkel rp bildet, so ist die vom Beobachter wahrgenommene Frequenz vdurch die Gleichung gegeben

V -V2--1--02v=vo (4a)v1-coscp- oDie beiden letzten Gleichungen drncken das Dopplersche Prinzipin seiner allgemeinen Fassung aus; die Ietzte Gleichung H1Bterkennen,wie die beobachtbare Frequenz des von Kanalstrahlen emittierten (bezw.absorbierten) Lichtes von der Bewegungsgeschwindigkeit der die Strahlenbildenden lonen und von del' Richtung des Visierens abhangt,

Nennt man ferner rp bezw. q/ den Winkel zwischen der Wellen-normale (Strahlrichtung) und der Richtung der Relativbewegnng vonS' gegen S (d. h. mit der x- bezw. x' -Achse), so nimmt die Gleichuugfur l' die Form an

vcos rp--, 0cos s p = v1- cos rp-cDiese Gleichung zeigt den EinfluB der Relativbewegung des Beobachtersauf den scheinbaren Ort einer unendlich fernen Lichtquelle (Aberration).

Jahrb. d. Radioaktivitat u. Elektronik. IV. 29

. .


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426 Einstein: Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.Wir wollen noch untersuchen, wie rasch sich das Licht in einem

in Richtung des Lichtstrahles bewegten Medium fortpfianzt. Das Mediumruhe relativ zum System S', und der Lichtvektor sei proportional zu

. , ( , x' )SIn O J t - V'bezw. zu

sin OJ(t- ~),je nachdem der Vorgang auf S' oder auf S bezogen wird.

Die Transformationsgleichungen ergebenm=#O J'(l+ ;,)

a O J ' ( V' V )V=fJV' 1+02 .Hierbei ist V' als aus del' Optik ruhender Korper bekannte Funktionvon w' zu betrachten. Durch Division dieser Gleichungen erhal.t manv- V'+v- 1+ V ' ; , ,

cwelche Gleichung man auch unmittelbar durch Anwendung des Addi-tionstheorems der Geschwincligkeiten hatt e erhalten konrien.") Falls V'als bekannt anzusehen ist, lost die letzte Gleichung die .Aufgabe voll-standig. Falls abel' nul' die auf das "ruhende" System S bezogeneFrequenz ( O J ) als bekannt anzusehen ist, wie z. B. bei dem bekanntenExperiment von Fizea u, sind die beiden obigen Gleiehungen in Ver-bindung mit der Beziehung zwischen co' und V' zu verwenden zurBestimmung der dr ei Unbekannten co", V' und V.

Ist ferner G bezw. 0' die auf S bezw. S' bezogene Gruppen-geschwindigkeit, so ist na.ch dem .Additionstheorem der Gesehwindig-keiten

G= G'+~ .1+ Gve2

Da die Beziehung zwischen G' und m' aus der Opt.ik ruhenderKerper zu entnehmen ist 2), und m' nach dem Obigen aus OJ berechen-bar ist, so ist die Gruppengeschwindigkeit Gauch dann bereehenbar,

1) Vgl. : l l : r . Laue, Ann. d. Phys. 23,VI'2') Es ist namlich G'=------==1 dV'1+Vdw'989, 1907.


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Einstein, Relativitfitsprinzip u. dieaus demselbenge F 1 "zog. 0 gerungen. 427wenn ledig1i?h die auf S bezogene Frequenz des Lichtes sowie dieNatur und (he Bewegungsgeschwindigkeit des Korpers gegeb . ten IS

II. Elektrodynamischer Teil. 7. Transformation der Maxwell-Lorentzschen Gleichungen.

Wir gehen aus von den Gleichungen_!_{uxQ+ ~X}=?N_OM Ic utoy a x_l_f OYl s r. O N Ic l~{ ,YQ+at f=ox-ox1 f oZ1 o M z i.- )~{ ,xQ+~J=~--Jc I. o t 0 x o y_ ! _ oL=0 y _ 0 Z 1

c () t ox oy I1 oM 0 Z oX le~=ox - dX r1 oN ax oY IeaT=dy - dX J

In diesen Gleichungen bedeutet(LY, Y, Z) den Vektor del' elektrischen Feldstarke,(L, JJ1,N) den Vektor del' magnetischen Feldstarke,oX oY oZ . "Q=:;-+~-+~ die 4.n-fache Dichte del' ElektrizitHt,uX uy uX( u / x , 'tty, t . { . , x ) den Geschwindtgkeitsvelrtor del' Elektrizi tat.

Diese Gleichungen in Verbindung mit del' Annahme, daB" dieelektrischen Massen unveranderfich an kleine starre Kerper (Ionen,Elektronen) gebuuden seien, bilden die Grundlage del' Loren tz schenElektrodynamik und Optik bewegter Kerper,

Transformiert man diese Gleichungen, welche ill bezug auf dasSystem S gelten mag-en, mit Hilfe del' 'I'ransformationsgleichungeu (1)auf das relativ zu S wie bei den bisherigen Betrachtungen bewegteSyst8111 S', so erhalt man die Gleichungen

1 f "+ 0X' } _ 0N' _" 01l( 1et 2{,x Q () t' - 0 y' ()x'1 "OY' si: a N ' 1c{UYQ+ ~}= ax'-oar .1 f " a z: } 0M' 0 L' 1elu Q + 0 t' =x'- - - 0 x'

(5)

(6)

(5')

29*


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428 Einstein, Relativitatsprinzip u. die aue demselben gezog. Folgerungen.

wobei gesetzt ist:

1 0L' 0y' d Z' 1- ~--"~'i-- =-,' - -,"c d t o x o y I1 0 J J I _ ' 0 Z' .dx' l .r; - a t ' -=0x,- - 0x'- !1 0N' dX' a Y' Jr; 0 (- =y' - -0


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E ins t e in, Relativitatsprinzi:R 11. die aus demselben gezog. F'olgernngen. 429Gleichungen (3) die in den Gleichungen (9) auftretenden Grofsen u/, u,y',u; gleieh sind den Geschwilldigkeitskomponenten del' Elektrizitiit inbezug auf S', so ist (/ die auf S' bezogene Dichte del' ElektriziHit.Die' elektrodynamischc Gruncllage der Maxwell-Lorentzschen Tbeorieentspricht also clem Prinzip del' Relativitat.

Zur Interpretation der Gleichungen (7 a) bemerken wir folgendes.Es liege eine punktformige Elektrizitatsmenge VOl', welche relativ zuS ruhend in bezug auf S von der GroBe "eins" sei, d. h. auf einegleiehe, ebenfalls in bezug auf S ruhende EleldriziUi.tsmenge im Ab-stand. 1 em die Kraft 1 Dyn ausube. Nach dem Ralativ itutspi-inz ipist diese elektrische Masse auch dann gleich "eins", wenn sie relativzu S' ruht und VOll S' aus untersucht wird.") Ruht diese Elek-trizitatsmenge r-elativ zu S, so ist (X, Y, Z) definitionsgemU.B gleichder auf sie wirkenden Kraft, wie sic z. B. mittels einer relativ zu Sruhenden Federwage gemessen werden konnte. Die analoge Bedeutunghat del' Vektor (X', Y', Z') mit Bezug auf S'.

GemaB den Gleichungen (7a) uud (7b) kornmt einer elektr ischenbezw. magnobisohen F'eldstarke an und fur sieh Imine Existenz zu,Iridem es von der Wahl des Koordinatensystems abhangen kanu, oban einer Stelle (genauer: in der ol'tlich-zeitlichen Umgebung einesPunktereignisses) eine elektrisehe bezw. magnetische F'eldstarke "01'-handen ist oder nicht. Man ers'ieht ferner, daB die bisher eingofuhrten"elektromotorischen" Krafte, welebe auf eine in einem Magnetfeldebewegte elektr ische Masse w ir-ken, nichts anderes sind als "eleldrische"Krafte, falls man ein zu del' betrachteten elektrischen Masse ruhendesBezugssystem einfuhrt. Die F'ragen nber den 8Hz jener elektro-Inotorischen Kraf'te (bei Unipolarmaschinen) werden daher gegenstands-los; die Antwort fal'lt nnmlich verschieden aus, je nach der Wahl desBewegungszustandes des benutzten Bezugssystems.

Die Bedeutung der Gleichung (8) erkennt man aus folgendem.Ein elek tr isch geladener Kor-per ruhe relativ zu S'. Seine auf S'bezogene Gesamtladung 8' Ist dann f (/x dy' d x . Wie groB ist seine4:n :Gesamtlaclung 8 zu einer bestimmten Zeit t von S?Aus den drei letzten del' Gleichungen (1) folgt, daB fur kon-stantes t die Beziehung gilt:

dx' ely' dx'=J decdy dsc .1) Diesel' SchluB griinclet sich ferner auf die A.nn~me, dafs


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430 Ein stein, Relativitatsprinzip u. dieaus demselben gezog.F91gerul1gen.Gleichung (8) lautet in unserem FaIle:, 1

(J={f(J.Aus diesen belden Gleichungen folgt, daB,8=8sein muB. Gleiehung (8) sagt also aus, daB die elektrisehe Masse einevom Bewegungszustand des Bezugssystems unabhang ige GroBe ist.Bleibt also die Ladung eines beliebig bewegten Korpers vom Stand-punlct eines mitbewegten Bezugssystems kcnstant, so bleibt sie auehin bezug auf jedes andere Bezugssystem konstant,

Mit Hilfe der Gleichungen (1), (7), (8) und (9) HLBt sich jedesProblem der Elektrodynamik und Optik bewegter Korper, in welchemnur Geschwindigkeiten, nicht abel' Besehleunigungen eine wesentlieheRolle spielen, auf eine Reihe von Problemen der Elektrodynamik bezw.Optik ruhender Kerper zuruckfuhren.

Wir behandeln noch ein einfaches Anwendungsbeispiel fur diehier entwickelten Beziehungen. Eine ebene, im Vakuum sich fort-pflanzende Lichtwelle sei relativ zu S clargestellt dut-ch die GleichungenX=Xo sin P L=Lo sin Py=Yo sin 4 > M=JJ10 sin PZ =Zo sin if! N=o sin PWir fragen nach der Beschaffenheit dieser Welle, wenn dieselbe aufdas System S' bezogen wird.

Durch Anwenc1ung der Transformationsgleichungen (1) und (7)erhttlt manX'=Xo sin til L'=Lo sin P'y'=J ( Yo - : N o ) sin iJ)' 1 J 1 . '=3 ( M o +: Z o ) sinq/Z'=J (Zo+: Mo) sin p N'=3 ( 1Vo - ~ Yo) sin pp=w' ( t ! _ . _ z ' x'+m':' +1 1 :X ' ) .

Daraus, daB die Funktionen X' usw. den Glei chun gen (5') und (6')gen1igen mtrssen, folgt, daB auch in bezug auf S' Wellennormale,elektrische Kraft und magnetische Kraft aufeinancler senkrecht stehen,und daB die beiden letzteren einander gleich sind. Die Beziehungen,die aus der Tdentttat P=p' fiieBen, haben wir schon in 6 be-handelt; wir haben hier nul' noch Amplitude und Polanisattonazustandc1erWelle in bezug auf S' zu ermitteln:


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'E instein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog.Folgerungen. 431Wir wahlen die X-Y-Ebene parallel zur Wellennormale und be-

handeln zunachst den Fall, daB die elektrische Schwingung parallelzur Z-Achse erfolgt. Dann haben wir zu setzen .

Xo=0 Lo =-Asin r pYo =0 1YJo=-A cos r pZo=A NO = 0,wobei cp den Winkel zwischen Wellennormale und X-Achse bezeichnet.Es folgt nach dem Obigen

X'=Oy'=o

Z'=3 ( 1 - ~ -cosrp) A sin r p 'L' A' 'rTt.'=- SIn rp SIn ';LJJl'=3 (-cos c p+;) Asin q/N'=O.

Bedeutet also A' die Amplitude der Welle in bezug auf S', so istv1- -coscp, cA=AV v ~ r 1--02

Fur den Spezialfall, claB die magnetische Kraft senkrecht auf del'Richtung del' Relativbewegung und del' Wellennormale steht, giltoffenbar die gleiche Beziehung. Da man aus diesen belden Spezial-fallen den allgemeinen Fall durch Superposition konstruieren kann, sofolgt, daB bei del' Einf'uhrung eines neuen Bezugssystems S' dieBeziehung (10) allgemein gilt, und dafs del' Winkel zwischen del'Polarisationsebene und einer zur Wellennormale und zur Richtung del'Relativbewegung parallelen Ebene in den beiden Bezugssystemen der-selbe ist.

(10)

III. Mechanik des materiellen Punktes (Elektrons). 8. Ableitung del' Bewegungsgleichungell des (langsam

b eschleuni gten) materiellen Punktes b ezw. ElektroD s.In eiuem elcktromaguet.ischen Felde bewege sich ein mit einer

elektrischen Ladung 8 versehenes Teilcb.en (im folgenden "Elektronllgenannt), fiber dessen Bewegungsgesetz wir folgendes annehmen:

Ruht das Elektron in einem bestimmten Zeitpunkt .in bezug aufein (beschleunigungsfreies) System S', so erfolgt dessen Bewegungim nachsten Zertteilchen in bezug auf S' nach den Gleichungen


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432 Ein stein, Relativitiitsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.l2 'C Xo . y'Pdt' 2 =8.L'd2 'Yo y'!l dt'"2= 8d2 '0 rP-d '-2-=8Z ,,t

wobei Xo', Yo', %0' die Koordinaten des Elektrons in bezug auf S'bezeichnen, und peine Konstante bedeutet, welche wir die .Masse desElektrons nennen.

Wir fnhren ein System S ein, relativ zu welchem S' wie beiunseren bisherigen Untersuchungen bewegt sei , und transformierenunsere Bewegungsgleichungen mittels der 'I'ranafcrmationsgleichungan(1) und (7a).

Erstere lauten in unserem F'aIlet '=f J ( t - cV2Xo)

xo'={3 (xo - vt)yO'=Yo,Xo =xo dxo .Aus diesen Gleichungen erhalten wir, indern wir dt - Xousw, setzen:dxo ' (3(no - v).-.~-= . US\v.dt {3 ( 1 _ v~o )

d {dXo '} (vd::o ) . vXod2 xo' di - - ; } J ; ' - - 11- c2 Xo+ (xo - v) -e-2-dt'2 ={ : J ( l - ~ :n71 ---(-l-_-~-Ve-X::-~o-)---- usw.

~etzt man diese Ausdrficke, nachdem man in ihnen Xo=v, Yo =0,%0 =0 gesetzt hat, in die obigen Gleichungen ein , so erhalt man,indem man gleichzeitig X', y" Z' mittels der Gleichungen (7a) ersetzt

p{ :J3xO = eXIU{3Yo= e(Y-: N)p(ixo =( Z+ : 1 I ! ! )

Diese Gleichungen sind die Bewegungsgleichungen des Elektrons fur denFall, daB in dem betreffenden Augenbltck ;X;o= , Y o=, % 0 = ist.Man kann also auf den linken Seiten statt v die durch die Gleichung


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Einstein, Relativitatsprinzip u die aus dell1selbeuge F 1zog. 0gerungen. 433s= : - V ~ 0 2+Y o 2 + : ; ; ; 0 2

defin ier-te Geschwindigkeit q einsetzen und auf den rechten Seiten vclurch Xo erset~en. AuBercleu; fugen wir die durcb zyklische Vel'-tauschung aus x : ~ ; [ und - x : N zu gewinnenden Glieder, welche indem betrachteten Spezialfalle verschwinden ,Stellen hinzu. Indem wir den Index bei X owir so die fur den betrachteton Spezfalfal lbedeutenclen Gleichungen:

an den entsprechendanusw. weglassen, erhaltenmit den obigen gleich-

(11)

wobei gesetzt ist: . .s:=8{X+~N- :__M} IK Y = 8 { Y + : L - ~ N } }I f" X = 8 { Z + : M - ~ L } J

Diese Gleichungen andern ihre Form nicht, wenn man ein neues,relativ ruhendes Koordinatensystem mit anders gerichteten Achseneinfuhrt, Sie gelten daher allgemein, nicht nur, wenn x ' = ; : ;=0 ist.

Den Vektor ( I ( x , I f " y , Xx) nennen wir die auf den materfellcuPunkt wirkende Kraft. In dem FaIle, daB q 2 gegen 02 verschwiridet,gehen If"x, Iiy, I i x nach Gleichungen (11) in die Kraf'tkomponentengemafs Newtons Definition nber. Irn nachsten Paragraphen ist fernerdargelegt, da.B in del' Relativitatsmechanik jener Vektor auch im iihrigendieselbe Rolle spielt wie die Kraft in der klassischen Mechanik,

Wir wollen an den Gleichungen (11) auch in dem FaIle fest-halten, daB die auf den Massenpuukt ausgeubte Kraftwirkung nichtelektromagnetischer Natur ist. In diesem Falle baben die Gleichungen

(12)


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434 Einstein, Relativitiitsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.(11) keinen physikal.ischen Tnhalt, sondern sie sind dann als Definitions-gieichungen del' Kraft aufzufassen.

9. B ewegung des Massenpunktes und m ech a.nisnjn,P'rin zipien,

Muitipliziert man die Gleichungen (5) und (6) der Reihe nach mitX Y N d' t . t "b . R d G4 ;" 4.n : .. 4 .n un In egrrer u er ernen aum, an essen renzendie F'eldstar-ken verschwindcn, so erhal.t manf (J y) a tc;4: :n: (UxX +Uy +/UxZ dco +- - c t : t =0, (13)wobei m ; J [ ~ : ; ; (X2 + y2 +Z2) +8~ (L2 + J V . l 2 - 1 - N2)] d codie elektromagnetische Energie des betrachteten Raumes ist. Das ersteGlied der Gieichung (13) ist naeh dem Energieprinzip gleich der Energie,welche vom elektromagnetisehen Felde pro Zeiteinheit an die Tragerdel' elektr ischen Massen abgegeben wird. Sind elektrisehe Massen miteinem materiellen Punkte starr verbunden (Elektl'on), so ist del' aufsie entfallende Antei l jenes Gliedes gleieh dem Ausdrucks(Xx+ Yy+Zx ) ,wenn (X, Y, Z) die auBere elektr ische Feldstarke bezeichnet, d. h.die Feldstarke abznglich derjerrigen, welehe von del' Ladung desEIektrons seibst herrtihrt, Dieser Ausdruck geht vermoge del' GIei-

a ehungen (12) libel' in . . .s:+I1 :yy +ic;.Del' im vorigen Paragraph als "Kraft" bezeiehnete Vek tor (I(x, I(y, I(x)steht also zu del' geleisteten Arbcit in derselben Beziehung wie beidel' Ne wton sehen Mechanik.

Multipliziert man also die Gleichungen (11) del' Reihe nach mitx, y , x, addiert und integriert libel' die Zeit, so muB sieh die ldnetischeEnergie des materiellen Punktes (Elek trons) ergeben. Man erhalt

f(I~x; +Kyil +Il.x;_)dt= V f . t e 2 q2+const.1-02 (14)DaB die Bewegungsgleichungen (11) mit dem Energiepl'inzip im Ein-lclang sind, ist damit gezeigt. Wtr wollen nun dar-tun, daB sie auchdem Prinzip von del' Erhaltung del' BewegungsgroBe entsprechen.

Multipliziert man die zweite und dritte del' Gleichungen (5) und


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Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog.F'olgerungan, 405

die zweite und dritte der Gleichungen (6) del' Reihe nacil mit _ #4.n'-ltl -z y4.n' addiert und integriert tiber einen Raum, an dessen4.n' 4.n'Grenzen die Feldstarken verschwinden, so erhalt man.:t[f4~e(YN-ZM)dw ]+f 4 ~ ( X + ~ ; ? l N - ~ X M ) d Q J = Ooder gemaB den Gleiehungen (12): t [f4~c (YN-trZM)dOJ J +2Iix=O . (15)(15a)

Biad die clektr-ischen Massen an frei bewegliehe materielle Punkte(Elektronen) gebunden, so gebt diese Gleiehung verrnoge (11) tiber in

! ! :_ [ ( _l__ YN- ZlVI)+2J -_!i___ =O. . (15 b)dt rJ 4.nc V q ' 1 .1-c2Diese Gleichung drtickt in Verbindung mit den durch zyklische Ver-tausehung zu gewinnenden den Satz von del' Erbaltung der Bewegungs-graBe in dem hier betrachteten Falle aus. Die GroBe fi=V P."~-=~ v21-02spielt also die RoUe del' Beweguugsgrofse des materiellen Punktes, undes ist gemals Gleiehungen (11) wie ,in der klassischen Meehanikd s-=IixodtDie Mogltchkeit, eine Bewegungsgrojse des materiellen Punktes ein-zufuhren, beruht darauf, daB ill den Bewegungsgleiehungen die Kraftbezw, das zweite Glied del' Gleichung (15) als Differentialquotientnach del' Zeit dar gestellt werden kann.

Man sieht ferner unmittelbar, daB unseren Bewegungsgleichungendes materiellen Punktes die Form der Bewegungsgleicbungen vonLagrange gegeben werden kann; denn es ist gemaB Gleichungen (11): t [ O o : J =ICr usw.,wobei

H=-flC2V1- ~~constgesetzt ist. Die Bewegungsgleichungen lassen sich auch darstellen inder Form des :Hami 1ton schen Prinzips


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436 Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.tl

j'CdH+A)clt=O,towobei die Zeit t sowie die Anfangs- und Endlage unvadiert bleibt und

A die virtuellc Arbeit bezeichnet:A =('Vox +ICyoy +Itxox .

Endlich stellen wir 110eh die Hamil tonsehen kanonischen Bewegungs-gleichungen auf. Hierzu dient die Einfi.'l.hrung der "Impulskoordillaten"(Komponenten der Bewegungsgrofse) g , 1 7 , b , wobei wie oben gesetzt ist

cH u:g=---. = = = = ~ usw.oX V 1- q2e2Betrachtet man die kinetische Energie Lals Fuuktion von g , 1], bund setzt g2 + 1 '} 2+ ;2 =J 2, so ergibt sichV 2L=,ue2 1+ f-l~e2 + canstund die Ham iIto nschen Bewegungsgleichungen werden:

d~ d1] d bdt=Itx dt=Ity dt =Itxdo: s i. ely s : dx s i..u=: dt=2J~ dt=~--r'

10. Uber die MOglichkeit einer experimentellen P'r uf'u n gde r 'I'Iieor Ie der Bewegun_g des materiellen Puuktes. Kauf-

mannsche Untersuchung.Eine Aussicht auf Vergleichung der im letzten Paragraphen ab-

geleiteten Resultate mit der Erfahrung ist nur da vorhanc1en, wohewegte, mit einer elektrischen Laduug versehene Massenpunkte Ge-schwindlgkeiten besitzen, dercn Quadrat gegenuber 02 nicht zu ver-naohlassigen ist. Diese Bedingung ist bei den rascheren Kathoden-strahlen uud bei den von radioaktlven Substanzen ausgesandten Ellektronen-strahlen C8-Strahlen) erful.lt,

Es gibt drei GraBen bei Elektronenstrahlen, c1eren gegenseitigeBeziehungen Gegenstancl einer genauer en experimentellen Untersuchungsein konnen , namlich das Erzeugungspotential bezw. die kinetiscbeEnergie der Strahlen , die Ablenkbarkeit durch ein elektrisches Feldund die Ablenkbarkeit durch ein magnetisches Feld.

Das Erzeugungspotential II ist gemaB (14) gegeben durch dieFormel


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E ins te in, Relativitatsprinzip u. die aus demselben ge 0 F Iz g. 0 gerungen. 437IIs=fl f 02. - I } '1 VI- q202

Zur Bereehnung del' andern belden GroBen schreiben w ir die letztedel' Gleiehungen (11) hin fur den Fall, daB die Bewegung momentanpara.Ilel zur X-Achse ist ; man erhalt , falls man mit 8 den absolutenBetrag der Ladung des Elektrons bezeichnet ,

- d2~=~Vl- q2(Z +!1_}JtI) 'dt2 fl 02 CFalls Z und M die einzigen ablenkenden Feldkomponenten sind, dieKrummung also in der XZ-Ebene erfolgt, ist del' Krummungsradius R

q2 [ d 2% ]der Bahn gegeben durch .R= dt2' Definiert man als elektr-lsohcbezw. magnetischc Ablenkbarkeit die Grofse Ae=~: bzw. Am=~:J : jfur den Fall, daB nur cine elektrisehe bezw, nur eine magnetischeablenkende Feldkomponente vorhanden ist, so hat man alsoV l-.28 olAe=- !l q2

V'-q28 1- 02Am=- .!l oqBei Kathodenstrahlen kornmen alle drei Grofsen, II, .Ae und A

fur die Messung in Betraeht; es liegen jedoch noch keirie Unter-suchungen bei geniigend raschen Kathodenstrahlen vor. Bei .8-Stl'ahlensind (praktisch) nul' die GroBen Ae und A'm del' Beobachtung zugang-lieh. Herr W. Ka ufmann hat mit bewunderungswurdiger SorgfaItdie Beziehung zwischen Am und Ae fur die von einem Radium-Brornid-Kor nohon ausgesandten fl-Strahlen ermittelt.")

Sein Appar at, dessen hauptsachliche Teile in Fig. 1 in natnrhcherGroBe dargestel lt sind, bestand im wesentlichen in einem Iichtdichten,im lnnern eines evakuierten Glasgefafses befindlichen .Messinggehause H,auf dessen Boden A in einer kleinen Vertiefung 0 sich das Radium-kornchen befand. Die von ihm ausgehenden .8-Strahlen durchlanfen

1) W. Kaufm~ann, Uber die Konstitution des Elektrons. Ann. d.Phys. 19, 1906. Die beiden Figuren sind der Kaufmunnschen Arbeitentnommen.


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438 Einstein, Relativitiitsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerllngen.den Zwischenraum zwischen zwei Kondcnsatorplat.ten P1 und P2, tretenduroh das Diaphragma D von 0,2 mm Durchmesser und fallen dannauf die photog raphische Platte. Die Strahlen wurden durch ein zwischenden Kondensatorplatten P1 und P2 gebilc1etes elektrisches Feld sowie

Fig. 1 (nat. Gr.).durch ein von eiriern groBen perrnanenten Magneten el'zeugtes,; ingleicher Richtung verlau.fendes magnet.isches Feld senkrecht dazu ab-gelenkt, so daB durch die Wir kung del' Strahlen einer bestimmtenGeschwincligkeit ein Punkt, durch die Wirkung del' Teilchen von denverschiedenen Geschwindigkeiten zusammen eine Kurve auf del' Plattemarkiert wurde.

Fig. 2 zeigt diese Kurve 1), welche bis auf den MaBstab fur Ab-1) Die in der Figl1r angegebenen Mafszah.len bedeuten Millimeter auf

del' photographischen PJatte. Die gezeichnete K'urve ist nicht genau diebeobachtete, sondern die "auf unencllich kleine AbJ enkung reduzierte" Kurve.


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~Eins tein , Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen. 439szisse und Ordinate ~ie Beziehung zwischen .Am (Ahszisse) und .A e(Ordinate) clarstellt. Uber del' Kurve sind durch Kreuzehen del' nachder Relativitatstheorie berechneten Kurve angegeben, wobei fur e del'Wert 1,878.107 angenommen ist,

In Anbetracht der Schwierigkeit del' Untersuchung mochte mangeneigt sein, die Ubereinstimmung als eine gonfigende anzusehen.Die vorhandenen Abweiehungen sind jedoeh systematiseh und erheb lich

2

1

Fig. 2.auBerhalb der Fehlergrenze del' K aufmannsehen Untersuchung. DaBdie Be r eeh n 11n ge11 von Herrn K auf illa11n fehlerfrei sind, geht daraushervor, daB Herr PI anck bei Benutzung einer anderen Bereehnungs-methode zu Resultaten gefuhr t wurde, die mit denen von Herrn K auf -mann durchaus ubel'einstimmen.1)

Ob die systematischen .Abweichungen in: einer noeh nieht ge-wurrlig ten Fehlerquelle oder darin Ihren Grund haben, daB die Grund-lagen der Relattvitntstheorfe nicht den Tatsaehen entsprechen, karinwohl erst dann mit Sieherheit entschieden werden, wenn ein mann ig-faltigeres Beohachtungsmaterial vorliegen wird.

Es ist noeh zu erwahnen , da.B die Theorien der Elektronen-bewegung von Ab r aham s) und von Bueherer3) Kurven liefern, diesich der beobaehteten Kurve erheblieh bessel' anschliefsen als die ausder Relativitatstheorie ermittelte Kurve. Jenen Theorien kommt abernach roeiner Meinung eine ziemlieh geringe Wahrseheinlichkeit zu,weil ihre die MaSe des bewegten Elektrons betrefi'enden Grund-annahmen nicht nahe gelegt werden dureh theoretische Systeme, welchegroBere Komplexe von Erscheinungen umf'assen.

1) Vergl. M. Planck, Verhandl. d. Deutschen Phys. Ges. VIII. 3ahrg.Nr. 20, 1906; IX. Jahrg. Nr. 14, 1907.2) M. Abraham, Gott, Nachr. 1902. .3) A. H. Bucherer, Math. Einfiihrung in die Elektronentheone, S.5S,Leipzig 1904.


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440 Eiu stein, Relativitatspl'inzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.IV. Zur Mechanik und Thermodynamik der Systeme.

~ 11. r r bel' die Abhan gig k eit de r Mas se von derE 11erg ie.~Wir betraehten ein von einer fur Strahlung nicht durchlassigenBulle umgebenes physikalisehes System. Dies System schwebe frei im

Raume und sei keinen andern Kraften unterworfen, als den Einwir-kuugen elektr ischer und magnetiseher Krafte des umgebenden Raumes.Dureh letztere karin auf das System Energie in Form von Arbeit undWnrrne tiber trngen werden, welche Energie irn Innern des Systemsirgenclwelehe Verwandl ungen erfahren karin. Die von dem System auf-genommene Energie ist, auf das System S bezogen, gemafs (13) ge-geben durch den Ausdruek

JdE= f dtf 4(J:n;x; Ua: + Ya Uy +e: ux) dm,wobei (Xa, Y c , Za) den F'eldvektor des auBern, nieht zum System ge-rechneten Feldes und _ g _ die Elektrizitatsdichte in der Hulle bedeutet.4:n;Diesen Ausdruck transformieren w ir mittels del' Urnkehrungen del'Gleichungen (7a), (8) und (9), indem wir ber-nckstcht.igen, daB gemafsden Gleichungen (1) die Funldionaldeterminante, , , ')D e x , y , x, t

D (x, y; x, t)gleich eins ist. Wir erhalten soJ If(/(" r , r: ') d ' ,dE =l 4:n; ux Xa +Uy Ya - 1 - UX Zc m dt+ ( : ? v f f _ i _ (Xa ' + 'My' N c ,, ' - 1 -t x' 1 J I a') dco' dt'4.77:\ c c ,oder, c1a auch in bezug auf S' das Energieprinzip gelten mufs, in Ieichtverstnndltcher Sehreibweise

dE=l dE' +{lv.f [2 K;] dt' . (16)Wir wollen diese Gleichung auf den Fall anwenden, daB sieh das

betraehtete System derart gleichfor.mig bewegt, daB es als Gauzesrelativ zu dem Bezugssystem S' ruht. Dann dnrf'en wir, falls die Teiledes Systems relativ zu S' so Iaugsam bewegt sind, daB die Quadratedel' Geschwindigkeiten relativ zu S' gegeni.'tber c2 zu vernachlttasigensind, in bezug auf S' die Satze del' Newtonsehen Mechanik anwenden,Es karin also naeh dem Schwerpunktsatz das betraehtete System (ge-nauer gesagt, c1essen Schwerpunkt) nur dann dauerncl in Ruhe bleiben,wenn fur jedes t'


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Ein stein, Relativitiitsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen. 441ist. Trotzdem braucht das zweite G1ied auf del' rechten Seite del'Gleichung (16) nicht zu verschwinden, weil die zeitliche Integrationrrich t zwischen zwei bestimmten Werten von t', sondern zwischen zweibestimmten Wert.en von t auszuf'nhren ist.

Wenn abel' am Anfang und am Ende del' betrachteten ZeitspanneIceine auBeren Krafte auf das Korpersystem wlrken, so verschwindetjenes Glied, so daB wir einfach erhaltendE=(3.dE' .

Aus diesel' Gleichung schlieBen wir zunachst, daB die Energiecines (gleichforrnig) bewegten Systems, das nicht unter dem EillfiufJaufserer Krafte steht, eine F'unktion zweier Variabeln ist, namlich del'Energie Eo des Systems relativ zu einem mitbewegten Bezugssystem 1 ),und del' Translatiol1sgesch windigkeit q des Systems, und wir erhaltenoE 1--=oED V 2'l_Le2Daraus folgt 1E=--:-===;::::: E+ < p e q ) ,V 1-~~Jwobei sp (q) eine vor.laufig unbekannte Funktion von q ist. Den Fall,daB Eo gleich 0 ist, d. h. daB die Energie des bewegten Sytems Funk-tion del' Geschwil1digkeit q allein ist, haben wir bereits in den 8 und 9 untersucht, Aus Gleichung (14) folgt unmittelbar, daB wirzu setzen haben

s p (q)=V . +const.q 21-~~e2Wir erhalten also ( E O ) c2E=fl+~2- V q2'1---

02wobei die Integratiol1skonstante weggelassen ist. Vergleicht man dies:1l.A..usdruck fur Emit dem in Gleichung (14) enthaltenen Ausdruck furdie kinetische Energie des materiellen Punktes, so erkenut man, daf

(16a)

1) Riel' so wie im folgenden versehen w.ir ein Zeiche~ mit den.: unterc:nIndex 0" um anzudeuten daB die betreffende GroBe sich auf em re~atlvzu de';; b~trachteten physikalischen Syste~ ruhend:s Bezug~s!stem b~zl.e~;Da das betl'achtete System r-elatrivzu S l'uht, konnen wn also Irier


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442 Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.beide A u a d r u c k e von derselben Form sind; b e z t r g l i c h del' .Abhti.ngigkeitdel' Energie von del' Translationsgeschwindigkeit verhnl t sich das be-traehtete physikalische Syst81TI wie ein materieller Punkt von derMasse M, wobei M von clem Energieinhalt Eo des Systems abhangtnaeh del' Formel

(17)\ 1 Dies Resultat ist von au.Berordentficher theor-etischer Wichtigkeit,Iweil in demselben die trugo Masse und die Energie eines physikalischenSystems als gleichartige Dinge auftr eten. Eine Masse '" ist in bezugauf 'I'ragheit nquivalcnt mit einem Energieinhalt von del' GroBe p 02Da wir liber den Nullpunkt von- Eo wi.llkurl ich verfiigen konnen, sindwir nieht einmal imstande, ohne Willkiir zwischen einer "wahl'en" undoiner "scheinbaren" Masse des Systems zu unterscheiden. Weit natur-licher erscheint es, jegliche trage Masse als einen Vorrat von Energieaufzufassen.

Del' Satz von del' Konstanz der Masse ist nach unserem Resultatfur ein einzelnes physikalisches System nul' dann z.utreffend, wenndessen Energie konstant bleibt ; er ist dann gleichbedeutend mit demEnergieprtnztp. Allerdings sind die .Al1derungen, welche die Massephysikalischer Systeme bei den bekannten physikalischen Vorgnngenerfnhrt, stets unmefsbar klein. Die Abnahm e del' Masse eines Systems,welches 1000 Gramm-Kalorien abgibt, betrngt z. B. 4,6.10-11 gr.t l Beim radioaktiven Zerfall eines Stoffes werden ungeheure Energie-

Ii mengen frei; ist die bei einem derartigen Prozefs auftretende Vermin-~~ derung der MaSSE}nicht groB genug, urn konstatiert zu werden?Herr Planck schreibt hierii.ber: "Nach J. Pre ch t 1) entwickelt

ein Grammatom Radium, wenn es von einer hinreichend dick en Blei-schicht umgeben ist, pro Stunde 134~4 >< 225=0240 gr-cal. Diesergibt nach (17) fur die Stunde eine Verrninderuug der Masse urn

30240.419.105 =1 41 10-69 . 1020 gr, mgroder in einem Jahre eine Verminderung del' Masse um 0,012 mgr.Diesel' Betrag ist allerdings, besonders mit Rucksicht auf das hoheAtorngewicht des Radiums, immer 110eh so w inz ig, daB er wohl zunachstauBer dem Bereich der mogl ichen Erfahrung liegt". Es liegt nahe,sieh zu fragen, ob man nieht durch Anwendung einer indirekten Me-thode zum Ziele kommen konnte. Es sei.1ll[ das Atomgewicht des

1) J. Precht, Ann. d. Phys. 21, 599, 1906.


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Einstein, Relativitatsprinzip u. dieaus demselbengezog.Folgerungen 443zerfallenden Atoms, m1 , 1 )112 etc. seien die Atomgewichte del' Endpro-dukte des radioaktiven Zerfalls, dann muB sein

EM-::E1n=2cwobei E die beim Zerfall eines Grammatoms entwickelte Energie be-deutet; diese kann berechnet werden, wenn man die bei stationaremZerfall pro Zeiteinheit entwickelte Energie und die mittlere Zerfall-dauer des Atoms kennt. Ob die Methode mit Erfolg angewendetwerden kann, hangt in erster Lillie davon ab, ob es radioaktive Reak-o ibt f 't I h M-217~ . I Ittouen gl, ur we c e M me It al zu klein gegen 1 ist. Furden oben erwahnten Fall des Radiums ist - wenn man die Lebens-dauer desselben zu 2600 Jahren annimmt - ungefahr

111-2m 12.10-6.2600M - 250--~ =0,00012 .Wenn also die Lebensdauer des Radiums einigermaBen richtig bestimmtist, mtrBte man die in Betracht kommenden Atomgewichte auf funfStellen genau kennen, urn unsere Beziehung prnf'en zu konncn. Diesist naturltch ausgeschlossen. Es ist mdessen moglich, claB radioaktiveVor garrge bekanrit werden, bei welchen ein bedeutend groBerer Prozent-satz del' Masse des ursprtinglichen Atoms sich in Energie diverserStrahlungen verwandelt als beim Radium. Es liegt wenigstens nahe,sieh vorzustell.en, daB die Energieentwickelung beirn Zerfall eines Atomsbei verschiedenen Stoffen nicht mindel' verschieden sei als die Raschheitdes Zerfalls.

1n1 vorhergehenden ist stillschweigend vorausgesetzt, daB eine der-artige Massenanderung mit dem zur Messung von :l\:Iassell gewohn-Iich benutzten Instrument, del' Wage, gemessen worden konne, daBalso die Beziehung

EM=f-l+-tcnieht nur f'ur die t r age Masse, sondern auch fur die g ravitle rende

Masse gelte, oder mit anderen Worten, daB 'I'ragheit und Schwereeines Systems unter allen Umstanden genau proportional seien. Wirhatten also auch z. B. anzunehmen, daB in einem Hohlraum einge-sehlossene Strahlung nicht nul' 'I'ragheit, sondern auch Gewicht besitze..Jene Pr-opor tional itat zwischen trager und schwerer Masse gilt abel'ausnahmslos fur aIle Kerper mit del' bisher erreichten Genauigkeit,so daB wir bis zum Beweise des Gegenteils die Allgemeingtiltigkeit

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444 Eins tein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.annehmen mussen. Wir werden fcrner im letzten Abschnitt diesel'Abhandlung ein neues, die Annahme stutzerides Argument finden.

12. Energie u n d BewegungsgroBe eines bewegtenSystems .. .Wir betrachten wieder wie irn vorigen Paragraphen ein frei im

Raume schwebendes System, welches von einer fur Strahlung nichtdurchHissigen Hulle umgeben ist. Mit Xa, Ya, Zct etc. bezeichnen wirwieder die Feldstarken des aufser en elektromagnetischen Feldes, welchesden Energieaustausch des Systems mit anderen Systemcn vermittle. Aufdies auBere Feld konnen wir die Betrachtungen anwenden, welchs unszu Formel (15) gef'uhrt haben, so daB wir erhalten

!i_ [f_1- (Ya :- Z C b lI!la)d r o Jdt 4.n G + f _ 2 _ ( X a +~'!J._ N - _~l::. M a ) dco=0 .4.n c cWir wollen nun annehmen, daB del' Satz von del' Erhaltung del'

BewegungsgroBe allgemein gelte. Dann muB del' tiber die Systemhulleerstreckte Teil des zweiten Gliedes diesel' Gleichung, als Differential-quotient nach del' Zeit einer dur ch den Momentanzustand des Systemsvollkommen bestirnmten GroBe G darstellbar sei n , welche wir alsdie X-Komponente der Bewegungsgrofse des Systems bezeichnen. Wirwollen nun das Transformationsgesetz del' GroBe Gx aufsuchen. DurchAnwenc1ung der Transformationsgleichungen (1), (7), (8) und (9) er-halt en wir auf ganz analogem Wege wie im vorigen Paragraphen dieBeziehungf d G x =3 f f 4(J~ ( X a ' +~~'\Ta ' - ~ : x ' M e : ) do:/ d t '

f J vIf (/X' r " ") ,+~ 4.n. a ' t/J .r; +1Uy +,Za Ux dco- dtoder

d G;o=3 ; 2 dE' + {3 f { 2Il:x'} dt'. (18)Del' Karpel' bewege sich wieder beschleunigungsfrei, derart, daB erdauernc1 in bezug auf S' ruht, daun ist wieder

2Ka;'=O.Trotzdem die Grenzen der Zeitintegration von x' abhangen, ver-

schwindet wieder das zweite GUed auf der rechten Seite del' Gleichung,wenn der Kerper VOl' und nach del' betrachteten Veranderung aufserenKraften nicht ausgesetzt ist; es ist dann


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Einstein, Relativitatsprinzip 11. die aus demselben gezog. Folgerungen. 4-15

a G , 1 ; ={3 v2 tc',oHieraus folgt, daB die BewegungsgroBe eines auueren Krnftan nichtausgesetzten Systems eine Funktion nul' zweier Variabeln ist, namlichdel' Energie Eo des Systems in bezug auf ein mitbewegtes Bezugs-system und der Trans1ationsgeschwindigkeit q desselben. Es ist

q2cG

Hieraus folgt

wobei 'lj) (q) eine vorlnufig unbekannte Funktion von q ist. Da1.p (q)ichts anderes ist als die BewegullgsgroBe fur den Fall, daB 1etztereurch die Geschwindigkeit aUeinbestimmt ist, sehlie.Benwir aus Formel15 b), daB

' l f J (q)= It q

V 1-q2

c2st. Wir erhalten also

G= V 1 ~ - ~ : -#+ ~niesel' Ausdruck un terscheidet sieh von dem fur die Bewegungsgrofsees materiellen Punktes nul' dadurch, daB an Stelle von p die GroBef l + ~~)trttt, im .Einklang mit dem Resultat des vorigen Para-Wir wollen nun Energtc und Bewegungsgrofse eines in bezug auf

ruhenden Karpel'S aufsuchen fur den Fall, daB der Kerper dauern-en auBeren Kraften unterworf'en ist. In diesem Fane ist zwar auchur jedes t'

2I(/ =0,bel' das in den Gleichungen (16) und (18) auftretende Integral

.f[2K;] dfer'schwindet nicht , weil dasselbe nieht zwischen zwei bestimmtenerten von t', sondern von zwei bestimmten Wert en von t zu er-

(lSa)


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446 Eins t ein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgel'ungen.strecken ist. Da nach del' Umkehrung del' ersten del' Gleichungen (1)

(,v,)t={3 t + ----fx ,G Gso sind die Grenzen fur die Integration nach t' gegeben durch

t1 v, t2 v,7 3 - 02 X und 7f - 02 xwobei t1 und t2 von x', y', x' unabhang ig sind. Die Greuzen del'Zeitintegration in bezug auf S' sind also von del' Lage del' Angriffs-punkte del' Kraf'te abhangtg. Wir zerlegen das obige Integral in dreiIntegrale:

Das zweite diesel' Integrale verschwindet, weil es konstante Zeit-grenzen hat. Wenn ferner die Kraf'te If;r;'beliebig rasch veranderltch sind,konnen wir die beiden ancleren Integrale nicht auswer-ten ; dann kormenwir bei Anwenclung der hier benu tzten Grundlagen von einer Energiebzw, BewegungsgroBe des Systems nberhaupt nicht reden.v) Falls,vxsich abel' jene Krafte in Zeiten Vall del' Grofsenordnung - sehr we-

02nig undern; so konnen wir setzen:~ .!Lf. ~1 ( 2 Ifx') di =sx:1t'=: 2 2' Ifx'

~ v x' t. vx'-7 {F-""Q2Nachdem das dritte Integral entsprecheud ausgewertet ist, erh alt man1(2(/) dt'=- a { ; 2 2x' Ifx' } .Nun ist die Berechnung del' Energie und cler Bewegungsgrofse aus denGleichungen (16) und (18) ohne Schwierigkeit auszufuhren. Manerhalt

V1 - ! I ' 2 . _ __. 02 (16b)l)Vergl A. Einstein, Ann. d. Phys. 23J 2, 1907.


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Einstein, Relativitateprinzip u. die aus demselbengezog.Folgerungen. 447

q= q ( f . t + E o - :8 (00 K O t J ) ) ' (18 b)V q2 02'1- e2 .wobei I(M die in die Bewegungsrichtung fallende Komponente einerauf ein mitbewegtes Bezugssystem bezogenen Kraft, 00 den in dem-selben System gemessenen Abstand des .A.ngri:ffspunktes jener Kraftvon. einer zll:r Bewegungsrichtung senkrechten Ebene bedeutet.

Besteht, wie wir im foIgenden annehmen wollen, die auBere Kraftin einem von der Richtung unabhangigen, tiberall auf die Oberflachedes Systems senkrecht wirkenden Druck Po, so ist im speziellen

2(ooKOcJ)=-Po Vo, (19)wobei Vo das auf ein mitbewegtes Bezugssystam bezogene Volumen desSystems ist. Die Gleichungen (16 b) und (18b) nehmen dann dieForm an

( E O ) e2E= f.l+ 02 Vl- q2_-+02 V q2 Po Vo1---02 (16 C)

(1Sc)

13. Volumen und Druck eines bewegten Systems.Be w egun g s g lei chun gen.

Wir haben uns zur Bestimmung des Zustandes des betrachtetenSystems der Grofsen Eo, Po, Vo bedient, welche mit Bezug auf ein mitdem physikalischen System bewegtes Bezugssystem definiert sind.Wir kormen uns abel' statt del' genannten auch der entsprechendenGrofsen bedienen, welche mit Bezug auf dasselbe Bezugssystem defi-niert sind, wie die Bewegungsgrofse G. Zu diesem Zweck muss en wiruntersuchen, wie sich Volumen und Druck bei Einf'uhrung eines neuenBezugssystems andern.

Ein Kerper ruhe in bezug auf das Bezugssystem Sf.Volumen in bezug auf S', V sein Volumen in bezugGleichungen (2) folgt unmittelbarf V -V2J "d'dx . dy . dx_= 1- (;2 dx dy x

V' sei seinauf S. Aus

oder


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448 Einstein, Relativitatsprinzip 11. die aus demselben gezog. F'olgeru ngen.

V 2V ,V= 1- 02" V .Ersetzt man gemafs del' von uns benutzten

durch VO und v durch q, so hat manV q2V= l-c2Vo .Bezeichnungsweise V'

(20)Urn ferner die Transformationsgleichung fur die Druckkrafte zu 'er-mitteln, mnssen wir von den Transformationsgleichungen ausgehen,welche fur Kraf'te Uberhaupt geIten. Da wir ferner in 8 die hewegendenKrnfte so clefiniert haben, daB sie durch die Kraf'tw ir'kuugen elektro-magnetischer Felder auf elektrische Massen ersetzt werden konnen,konnen wir uns hier darauf beschranken, die Transformationsgleichungenftrr letztere aufzusuchen;")

Die Elektrizitatsmenge e ruhe in bezug auf S'. Die auf dieselbewirkende Kraft ist gemafs den Gleichungen (12) gegeben durch dieGleichungen:

TT X TT' "",,..'J:1.x= 11.m =8.L1. .K Y=8(Y- : N ) I~y'=8 y'Ii%=8(Z+ ~ M) I~:=8Z'.

Aus diesen Gleichungen und den Gleichungen (7a) folgt:IG;'=Iix }Ky'={3.XyKx'={3.Iix

Nach diesen Gleichungen lassen sich Krafte berechnen, wenn sie inbezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem bekannt sind.

Wir' betrachten nun eine auf das relativ zu S' ruhende F'Iachen-elemen t 8 wirkende Druckkraft

(21)

77'" " , , ,11.m =p8cos l =p'.Xy'=p' . S' cos m'=p' . Sy'77'" " , , ,11.%= . S cos n=p .8% ,wobei 1', rn', n' die Richtungscosinus del' (nach dem Irmern des Kor-

pers gerichteten) Normale, 8y', By', s: die Projektionen von s' bedeuten.Aus den Gleichungen (2) folgt, da8

1) Durch diesen Umstand wird auch das in den vorhergehendenUntersuchungen benutzte '~Verfahren gerechtfertigt, welches darin hestand,daf3wir einzig Wechselwirkung rein elektromagnetischer .Art zwischendem betrachteten System und seiner Umgebung einfiihrten. Die Resultate.gelten ganz allgemein.


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Einstein, Relativitatsprinzip u. dieaus demselbengezog.Folgerungen. 449,Sa: =8a;8y' - f J 8y8",'=.)8"...... {J ~,wobei 8a;, By, Sx die Projektionen des FHichenelements in bezug auf S

sind. Fur die Komponentcn I(a;, ICy, I(x del' betrachteten Dru ckkraf'tin bezug auf S erhalt man also aus den letzten drei Gleichungs-systemen T7 T7 , r ,

.l.\._a;=l1.a; = . 8.1;= . Sa;= . B COS lT? 1 7:7'" 1", ,.l1.y =7(( Ay =7 F p By =. By=P . s- COS mT? 1 , 1", ,..l..x=J Il:x =(3 P Bx=P . sx=p .8 COSn,

wobei 8die GroBe des F'Iachenelements, l, m, ndie Richtungscosinusvon dessen Normale in bezug auf S bezeichnen. Wir erhalten alsodas Resultat, daB der Druck p' in bezug auf das mithewegte Systemsich in bezug auf ein anderes Bezugssystem durch einen ebenfallssenkrecht auf das F'Iachenelernent wirkenden Druck von gleicher Gr(5Beersetzen H;i,Bt. In del' von uns benutzten Bezeichnungweise ist also

P=Po' (22)Die Gleichungen (16 c), (20) und (22) setzen uns in den Stand,

den Zustand eines physikalischen Systems statt durch die in bezug aufein mttbewegtes Bezugssystem definierten Grofsen Eo, Vo, Po durch dieGroiscn E, V, p zu bestimmen, welche in bezug auf dasselbe Systemdefiniert sind wie die Bewegungsgrojse G und die Gescbwindigkei t qdes Systems. Falls z. B. der Zustand des betrachteten Systems fiireinen mitbewegten Beobachter durch zwei Variable (Vo und Eo) voll-kommen bestimmt ist, dessen Zustandsgleichung also als eine Beziehungzwischen Po, Vo und Eo aufgefaBt werden kann, kann man mittelsder genannten Gleichungen die Zustandsgleichung auf die Form

tp (q,p, V,E)=0bringen.

F'orrnt man die Gleichung (18 c) in entsprechender Weise um, soerhalt man

(1811)welche Gleichung in Verbindung mit den das Prinzip VOIl der Erhaltungder Bewegungsgrofse ausdrtickenden Gleichungen

d Ga;=~(a; etc.dtdie 'I'r anslationsbewegung des Systems als Ganzes vollkommen be-


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450 Eins tein, Relativitiitsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.stimmen, wenn aufser den Grofsen :2I~x etc. auch E, p und V alsFunktionen del' Zeit bekannt sind, oder wenn statt del' letzten dreiFunktionen drei ihnen aquivalente Angaben iiber die Bedingungellvorliegen, unter denen die Bewegung des Systems vor sich gehen soll,

14. Beispi ele.Das betrachtete System bestehe in elelttr-oma.gne'ti soher- St.rahlung,

welche in einen masselosen Hohllcorper eingeschlossen sei, dessenWandung dem Strahlungsdruck das Gleichgewicht leiste. Wenn keinea.uBe.ren Krafte auf den Hohllcorper wirken, so konrien wir auf dasganze System (den Hohlkorper inbegriffen) die Gleichungen (16a) und(18 a) anwenden. Es ist also:

EoE=V l~~ :G=--- 5 . Eo=q ~ ,V l-!L~ Cc2

wobei Eodie Energie del' Strahlung in bezug auf ein mitbewegtesBezugssystem bedeutet.

Sind dagegen die Wandungen des Hohlkorpers vollkommen bieg-sam und debnbar, so daB dem auf sie von innen ausgeiibten Strah-Iungsdruck durch aufsere Kl'fi.fte, welche von nicht zu dem betrachtetenSystem gehorigen Korpern ausgehen, das Gleichgewicht geleistet wordenmufs, so sind die Gleichungen (16 c) und (18 c) anzuwenden, in welchedel' bekannte Wert des Stz-ahlungadr-uckes

1 Eo]]0=---3 c2einzusetzen ist, so daB man erhalt.:

( 1q2)Eo1+--3 c2E=

G= qV l- q202Wir betrachten ferner den Fall eines elektrisch geladenen masse-

Iosen Korper s, Falls aufsere Krafte auf denselben nicht wirken, konnen

V .2l_L024-Eo3


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Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen. 451w ir wieder die Formeln (16 a) und (18 a) anwenden. Bezeichnet E'odie elektrische Energie in bezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem,so hat man

-~--Eq 3 0G=------------------------V ------ ')2 0-1---02Von diesen Werten entfallt ein 'I'eil auf das elektromagnetische

Feld, der Rest auf den masselosen, von seiten seiner Ladung Kruftenunterworfenen Kcrper.J) 15. Entropie und Temperatur bewegter Systeme.Wir haben bisher von den Variabeln, welche den Zustand cines

physikalischen Systems bestirnmen, nur Druck, Volumen, Energie, Ge-schwindigkeit und Bewegungsgrcjse benutzt, von den therrnischen Grofsenaber noch nicht gesprochen. Es geschah dies deshalb, weil es fur dieBe w egun g eines Systems gleicbgiiltig ist, welcher Art die ibm zuge-ftrhr te Energie ist, so daB wir bisher Imine Ursache hatten, zwischenWar-me und mechanischer Arbeit zu unterscheiden. NUll abel' wollenwir noch die thermischen Grofsen einfuhren.

Der Zustand eines bewegten Systems sei durch die Grofseu q, 17,Evollkommen hestimmt. Fur ein solches System haben wir offenbar alszugefuhrte Warme d Q die gesamte Energiezunahme zu betrachten ah-ziiglich der vom Drucke geleisteten und der auf VergrOBerung derBewegungsgrofse verwendeten Arbeit, so dafs man hat

dQ=dE+ pd V-qd Q. (23)Nachdem so die zugef'uhrte Warme fur ein bewegtes System definiertIst, kann man durch Betrachtung von umkehrbaren Kreisprozcssen dieabsolute Temperatur T und Entropie 1} des bewegten Systems' in der-selben Weise einfuhren, wie dies in den Lehrbuchen der 'I'hermodyuamikgeschieht. Fur umkehrbare Prozesse gilt auch bier die Gleichung

d Q=d 'J] . \ (24)Wir hahen nun die Gleichungen abzuleiten, die zwischen den

Grofsen d Q, 'rj, T und den auf ein mitbewegtes Bezugssystem bezogenenentsprechenden Grofsen d Qo , 1)0' To bestehen. Bezugl'ieh del' Entropie

1) Vgl. A. Einstein, Ann. d. Phys. (4) 23, 373-379, 1907.


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452 Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.wiederhole ieh hier eine von Herrn P I an ck angegebene Uberlegungl),.iridem ieh bemerke daB unter dern "gestriehenen" bezw. "ungestl'ichenen",Bezugssystem das BezugssystelTI S' bezw. S zu verstehen ist.

Wir denken uns den Karpel' aus einem Zustancl, in welehem"er fur das ungestriehene Bezugssystem ruht, dureh irgendeinen rever-siblen, adiabatischen Prozcfs in einen zweiten Zustand gebraeht, inwelebem er fur das gestriehene Bezugssystem ruht. Bezeichnet mandie Entropie des Karpel's fur das ungestrichene System im Anfangs-zustand mit 1 J l ' im Endzustand mit ')72, so ist wegen del' Reversibilitatund Adiabasie ' Y J l =Y J 2 ' Abel' auch fur das gestrichene Bezugssystemist del' Vorgang reversibel und adiabatisch, also haben wir ebenso, ,"1 J 1 = J 2

,,'Vare nun "7 / nicht gleich 1 J l ' sonc1erl~ etwa 71/> 7 1 1 ' so wurdedas heiBen: Die Entropie eines Karpel's ist fur das Bezugssystem, furwelches er in Bewegung begriffen ist, grofser als fur clasjenige Bezugs-system, fur welches er sich in Ruhe befindet. Dann luuBte nach dies emSatze auch "72> 172 ' sein; denn im zweiten Zustand ruht der Kerper -fur das gestrichene Bezugssystem, wahrend er fur das ungestrichlenein Bewegung begriffen ist. Diese heiden Ungleichungen widerspreehenabel' den oben aufgestellten beiden Gleiehungen. Ebensowentg kannr;/ > 1 J 1 sein; folglieh ist 17 / =r;1; und al1gemein r;'=7, d. h. dieEntropie des Korpers hangt nicht von del' Wahl des Bezugssystems ab."Bei Anwendung del' von uns benutzten Bezeichnungsweise habenwir also zu setzen:

r;=1 70 (25)Fuhren wir ferner auf del' rechten Seite del' Gleichung (23) mittels

del' Gleichungen (16 c), (18 c), (20) und (22) die Grofsen Eo, Po und V(}ein, so erhalten wir V - - - - - q ; . - .d Q= 1 - --_._ (d E +1 ") d.V.). 02 0 0 0oder

elQ=l 0 0 V - ; - = - ~ ~ . (26)Da ferner gemafs (24) diebeiden Gleichungen

dQ= Tel'lldQo =T d 1 J ogel ten, so erhalt man endlich mit Rncksicht auf (25) und (26)

1) M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme. Sitzungsber. d. kgl.Preufs. Akad. d. Wissensch. 1907.


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Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demsclben gezog, Folgerungen. 453

-~=V~- -~~ (27)Die 'I'emperutur eines bewegten Systems ist also in bezug auf einrelati v zu ihm bewegtes Bezugssystem stets kleiner als in bezug aufein relat:iv zu ihm ruhendes Bezugssystem. 16. Dynamik del' Systeme und Prinzip derkleinsten

Wirkung.Herr Planck geht in seiner Abhandlung "Zur Dynamik hewegter

Systeme" vom Prrnztp del' kleinsten Wirkung (und von den Trans-formationsgleichungen fur Druck und 'I'emperatur rler Hohlraumstrah-lung) aus 1) und gelangt zu Resultaten, mit welchen die hier ent-wickelten nberei nstimtnen. Es erhebt sich daher die Fruge, wie dieGrundlagen seiner und del' vorliegenden Untersuchung .zusammeu-hun gen.

Wir sind ausgegangen VOi11 Energieprinzip und vorn Prinzip vonder Erhaltung del' BewegungsgroBe. Nennen w ir J F : c , 1?y, F?; dieKomponenten del' Resultierenden del' auf das System wirkenden Krnf'te,so konuen wir die von uns benutzten Pr iuziplen fur umkehrbare Pro-zesse und ein System, dessen Zustand durch die Variabeln q, Y, Tbestimmt ist, so forrnulteren:

dE=F:cclx+ Fycly+ P:cdx-pdV+ TdSF - dG;r, tx- el t e c.(28)(29)

Aus diesen Gleichungen erhalt man, wenn man beachtet, daBF',7Jdx=F:c;;di=!x;dG=d('x Gx)- G,vd:i; etc.und TdrJ=d(TrJ)-1Jd T,

die Beziehungd(-E+ T1]+q G)= Gxdx+ GydY+ Gxr l x+pdV+11d T.Da auch die rechte Seite diesel' Gleichung ein vollstandiges Diffe-

rential sein muB, so folgt unter Berucksichtigung von (29):t t (~:)=F", !~;;)= FY ~(~:)= Fx'O H 'OHoy=P '0':1'="7-

Dies sind aber die mittels des P rinzips del' ldeinsten Wirkung ableit-baren Gleichungen, von denen Herr Planck ausgegan~en ist.

1) M. Planck, ZU' Dynamik bewegter Systeme. Sitzungsber d. kgl.PreuB. Akad. d. Wissensch. U)Q7.


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454 Einstein, Relativitatsprinzip u. die aus demsel.beu gezog. FoIgerungen.V. Relativitatsprinzip und Gravitation.

17. Besehleunigtes B ezugs sys tem und Gra vita tionsfeld.Bisher haben wir das Prinzip der Rela.tivi tat, d. h. die Voraus-

setzung der Tlnnbhangfgkelt del' Naturgesetze vorn Bewegungszustandedes Bezugssysterns, nur auf besehleunigungsfreie Bezugssystemeangewendet. Lst es denkbar, daB das Prinzip del' Relativitat aueh furSysteme gilt, welche relativ zueinander beschleunigt sind?

Es ist zwar hier nieht der Ort fur die eingehende Behandlungdieser Frage. Da sich. diese aber jedem aufdr angeu muB, der die bis-herigen Anwendungen des Rclativitatsprinzips verfolgt hat, will ich esnicht unterlassen, zu der Frage hier Stellung zu nehmen.

Wir betrachten zwei Bewegungssysteme 21 und 2, 21 sei inRichtung seiner X-Achse beschleunigt, und es sei r die (zeitlich kon-stante) GroBe diesel' Besehleunigung. 22 sei ruhend; es befinde sichaber in einem homogenen Gravitationsfelde, das allen Gegenstanden dieBeschleunigung - r in Richtung del' "",Y-Achseerteilt.

Soweit wir wissen, unterseheiden sieh die physikalisehen Gesetzein bezug auf ..s1 nicht von denj enigen in bezug auf 22; es liegt diesdaran, daB alle Korper im Gravitationsfelde gleich beschleunigt werden.Wir haben daher bei dem gegenwartigen Stande unserer Erfahrung keinenAnlafs zu der Aunahme, daB sich die Systeme 21 und 22 in irgendeinerBeziehung voneinander uuterscheiden, und wollen daher im folgendendie volltge physikalische Gleichwertigkeit von Gravitationsfeld und ent-sprechender Beschleunigung des Bezugssystems annehmen.

Diese Annahme erweitert das Prinzip del' Relativitat auf den Fallder gleichformig beschleunigten Translationsbewegung des Bezugssystems.Del' heuristische Wert der Annahme liegt darin, daB sie ein homogenesGravitationsfeld durch ein gleichforrnig beschleun igtes Bezugssystem zuersetzen gestattet, welch letzterer Fall bis zu einem gewissen Gradeder theoretischen Behancllung zugnugl.ich ist. 18. Rauru und Zeit in einem gl eichfo rmig besehleunigten

Be zugssy s t em.Wir betrachten zunachst einen Karpel', dessen einzelne rnaterielle

Punkte zu einer bestimmten Zeit t des besehleunigungsfreien Bezugs-systems 8, relativ zu S keine Geschwindigkeit, jedoch eine gewisseBeschleunigung besitzen. Was ftrr einen EinfluB hat diese Beschleu-rrigung y auf die Gestalt des Korpers in bezug auf S?

Falls ein derartiger EinfiuB vorhanc1en ist, wird er in einer Dila-


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Ei n stein, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen. 4[15tation nach konstantem Verhaltnis in der Beschleunigungsrichtung so-wie eventuell in den heiden dazu senkrechten Richtungen bestehen ;denn ein EinfluB anderer A.rt ist aus Symmetriegrunden ausgeschlossen.Jene von der Beschleunigung herruhrenden Dilatationen miissen (fallssol.che nberhaupt existi eren) gerac1e Fuuktionen von y sein; sie konnenalso vernachlassrgt werden, wenn man sich auf den Fall beschrankt, daf.~y so klein ist, daB Glieder zweiten und hoheren Grades in y vernach-Iasaig t werden dnrfen. Da wir uns im folgenden auf diesen Fall be-schranken wollen, haben wir also einen EinfluB del' Beschleunigung aufdie Gestalt eines K5rpers nicht anzunehmen... Wir hetrachten nun ein relativ zu dem beschleunigungsfreien Be-zugssystem S in Richtung von clessen X-Achse gleichforrnig beschleu-nigtes Bezugssystem.2. Uhren besw. MaBstab von .2 seien, ruhenduntersu oht, gleich den Uhren bezw. dem Mafsstab von S. Del' Koor-dtn atenanfang von .2 bewege sich aut' der X-Achse VOll S, und dieAchscn von .2 seien denen von S c1auernd parallel. Es existiert injedem Augenblick ein unbeschleunigtes Bezugssystem 8', dessen Koor-clinatenachsen in dern betreffenden Augenblick (zu einer bestirnmtenZeit t' von S' mit den Koordinatenaohseu von :2 zusammen fallen. Be-sitzt ein Punktereignis, welches zu diesel' Zeit t' stattfindet, in bezugauf : :E die Koordinaten g , 'fj, ~, so ist

x:=s }Y=fj ,%'=~

weil ein Eil1fluB der Beschleunigung auf die Gestalt del' zur Messungvon S , ' J 7 , S benutzten Mefskorper nach dem Obigen nicht anzunehmenist. Wir wollen uns ferner vorstellen, daB die Uhren von :2 zu diesel'Zeit t' von S' so gerichtet werden, daB Ihre Angabe in diesemAugenblick gleich t' ist. Wie steht es mit dem Gang del' Uhren indem nachsten Zeitteilchen 7 :?

Zunachst habenwir zu berucksiehtigen, daB ein spezi:fischer Ein-fluB del' Beschleunigung auf den Gang der Uhren von .2 nicht inBetracht fallt, c1a dieser von del' Ordnung y2 sein rnufste. Da fernerder EinfluB del' wahrend ,,; erlangten Geschwindigkeit auf den Gangdel' Uhren zu vernachlassigen ist, und ebenso die wahrend del' Zeit r-von den Uhren relativ zu clenen von S' zurfickgelegten Wege VOll del'Ordnung ,,;2, also zu veruachlasstgen sind, so sind fur das Zeitelement - r :die Angaben del' Uhren von .2 durch die Augaben der Uhren von Svollkommen nutzbar.Aus clem Vorangehenden folgt, daB sich das Licht im Vakuum


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456 Einstein, Relutivitatsprillzip u. die aus demselben gezog. Folgerungen.relativ zu .2 im Zeitelement rmit del' universellen Geschwindigkeit cf'ortpfianzt, falls wir die Gleichzeitigkeit in dem relativ zu ..2 momentanruhenden System S' definieren, und zur Zeit- bzw, LangenmessungUhren bzw. Mafsstabe verwenden, welche jenen gleich sind, die inunbeschleunigten Systemen zur Ausmessung von Zeit und Raum benutztwerden. Das Prinzip von del' Konstanz del' Lichtgeschwindigkeit laBtsich also auch hier zur Definition del' Gleichzeitigkeit verwenden, fallsman sich auf sehr kleine Lichtwege bescb ran kt.

Wir denken uns nun die Uhren von 2 in del' angegebenen Weisezu derjenigen Zeit t= von S gerichtet, in welcher .2 relativ zu 8momentan ruht. Del' Inbegriff der Angaben der so gerichteten Uhren von..2 werde die "Ortszeit" a des Systems :s genannt. Die physikalisclieBedeutung der Ortszeit a ist .. wie man unmittelbar erkennt, die folgenc1e.Bedient man sich zur zeitlichen Wertung del' in den einzelnen Rau111-elementen von .2 stattfindenden Vorgange jener Ortszeit o, so konnendie Gesetze, denen jene Voi-gange gehorchen, nicht von del' Lage deshetreffenden Raumelementes, d. h. von c1essen Koordtnaten, abhangen,falls man sich in den verschiedenen Raumelementcn nicht nul' gleichenUhren, sondern auch sonst gleicher Mefsmit.tel bedient.

Dagegcn dnrf'en wir ni cht die Lokalzeit a als die "Zeit" von :2schlechtbin bezeichnen, und zwar deshalb, weil zwei in verschiedenenPu nk ten von .2 statt:findende Punktereignisse nicht dann im Sinneunserer obigen Definition gleichzeitig sind, wenn Ilrre Lokalzeiten aeinander gleich sind. Da narnl.ich irgenc1 zwei Uhren von 2 zur Zeitt=0 in bezug auf S synchron sind und den naml ichen Bewegungenunterworfen werden, so bleiben sie dauernc1 inbezug auf S synchron.Aus diesem Grunde laufen sie abel' gemafs 4 in bezug auf einmornentan relativ zu .2 ruhenc1es, in bezug auf S bewegtcs Bezugs-system S' nicht synchron, also gernafs unserer Definition auch nichtin bezug auf 2.

Wir definieren nun die "Zeit" 7: des Systems .2 als den Iubegriffderjenigen Angaben del' irn Koordtuatenanfangspunkt von .2 befind-lichen Uhr, welchs mit den zeitlich zu wertenden Ereignissen im 8in118del' obigen Definition gleichzeitig sind.")

Wir wollen jetzt .die Beziehung aufsuchen, welche zwischen del'Zeit 7: und del' Ortszeit a eines Puulctcr-eigrnsses besteht. Aus derersten del' Gleichungen (1) folgt, daB zweiEreignisse in bezug auf S',also auch in bezug auf .2 gleichzeitig sind, wenn

1) Das Zeichen ,,1:" ist also hier in einem anderen Sinne verwendetals oben,


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E ins teiD, Relativitatsprinzip u. die aus demselben gezog. FoIgerungen.v V

t1 - 02 xl =t2-~-X2'wobei die Indizes die Zugehor-igkeit zu dem einen bzw. andern Punkt-ereignis andeuten solI. Wir beschranken uns nun zunachst auf dieBetracbtung so kurzer Zeiten 1),

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Albert Einstein- Uber das Relativitatsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen