Allgemeine Mineralogie -Kristallographie

Diamant

Durch Repetition von Punkten nach Verschiebung in zwei Richtungen in der Ebene könnenInsgesamt fünf ebene Gitter erzeugtwerden:

quadratischrechteckigrautenförmig

(= rechteckig zentriert)hexagonalschiefwinkelig

Es genügen vier Formen von Grundbausteinen (Einheitszellen), um diese Gitter durch reine Translationflächenfüllend aufzubauen:

QuadratRechteck (primitiv und zentriert)RauteParallelogramm

2-D Gitter

Raumgitter

• Translation eines 2-D Gitters längs eines Vektors in der dritten Raumdimension → 3-dimensionale Gitter = Raumgitter= Bravaisgitter

KristallographischeKoordinatensysteme

Gitterkonstanten: a,b,c: Einheitslängen auf den Koordinatenachsen a,b,c

Winkel: α,β,γ

Bravaisgitter• Aus den fünf 2-D Gittern können durch

Translation in die dritte Dimension insgesamt 14 Bravaisgitter erzeugt werden

• Einteilung der Bravais Gitter in sieben Gruppen basierend auf der Form der Einheitszelle

• triklin• monklin• Orthorhombisch• hexagonal/trigonal rhomboedrisch• trigonal rhomboedrisch• tetragonal• kubisch

Triklines Bravaisgitter• Translation eines

schiefwinkeligen 2-D Gitters (γ ≠ 90° und a ≠ b)in Richtung c, wobei αund β ≠ 90° sowie c ≠ a ≠b → triklines Bravaisgitter

• Primitive Einheitszelle, d.h. Gitterpunkte nur an den Ecken und nicht im Inneren der Einheitszelle

Bravaisgitter aus rechteckigem 2-D Gitter (γ = 90°, a ≠ b)

• Monoklin primitiv:α = = 90°, β > 90°c ≠ a ≠ b

• Orthorhombisch primitiv:α = β = = 90°c ≠ a ≠ b

• Orthorhombisch innen zentriert:Translation ½ a nach hinten, ½ b nach rechts, ½ c nach oben

Bravaisgitter aus zentriertem rechteckigem 2-D Gitter (γ=90°, a≠b)• Monoklin flächenzentriert:

α = = 90°, β > 90°c ≠ a ≠ b

• Orthorhombischbasisflächenzentriert:α = β = = 90°c ≠ a ≠ b

• Orthorhombisch flächen zentriert:α = β = = 90°c ≠ a ≠ bTranslation ½ b nach rechts, ½ c nach oben

Bravaisgitter aus hexagonalem 2-D Gitter

• Hexagonal primitiv:α = β = 90° , = 120°a = b ≠ cvertikale Translation um Betrag c

• Trigonal rhomboedrisch:α = β = ≠ 90°a = b = cTranslation ½ c nach oben, 2/3 a cos 30 nach hinten im rechten Winkel zu b

Bravaisgitter aus quadratischem 2-D Gitter (γ=90°, a=b)

Translationsgitter• Verschieben einer kleinste Einheit

„Einheitszelle“ entlang der drei Koordinatenachsen a, b, c um fixen Betrag „Gitterkonstanten“ in allen 3 Raumdimensionen

• lückenlose Raumerfüllung

• Angaben zur Festlegung eines Translationsgitters: – Gitterkonstanten; a, b, c– Winkel zwischen Koordinatenachsen: α, β, γ

Einheitszelle

• kleinstes von den Gitterpunkten aufgespanntes Volumenelement: Einheitszelle

• Kanten der Einheitszelle parallel zu Koordinatenachsen

• Metrik des Koordinatensystems, d.h. Kantenlängen: a,b,c

• Translation der Einheitszelle längs a,b,c um den Betrag der Gitterkonstanten a,b,c führt zur vollkommenen Raumausfüllung

Die sieben kristallographischenKoordinatensysteme

Koordinatensystem Gitterkonstanten Winkel

Triklin a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ

Monoklin a ≠ b ≠ c α = β = 90° ≠ γ

Orthorhombisch a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90°

Tetragonal a = b ≠ c α = β = γ = 90°

Hexagonal/Trigonal(rhomboedrisch)

a = b = c α = β = γ ≠ 90°

Hexagonal a = b ≠ c α = β = 90°, γ = 120°

Kubisch a = b = c α = β = γ = 90°

Koordinatensysteme

Symmetrie

• Symmetrie - grundlegendes Prinzip in Mathematik und Naturwissenschaften

• kann Behandlung wissenschaftlicher Probleme erheblich erleichtern

• Translationssymmetrie und sogenannte Punktsymmetrieelemente erlauben Beschreibung der ca. 1023 Atome in einem Kristall durch relativ wenige (1 bis 1000) variable Parameter

Punktsymmetrieoperationen

• Symmetrieoperationen, welche Punkte bzw. Muster ineinander überführen

– Translation– Spiegelung– Rotation

2-D Punktsymmetrieoperationen

TranslationSpiegelebene

Gleitspiegelebene 2-zählige Drehachse

3-zählige Drehachse 4-zählige Drehachse 6-zählige Drehachse

Symmetrie

Symmetrie ist diejenige Eigenschaft eines Musters, die bewirkt, dass ein Teil des Musters mit einem andern Teil desselben Musters so ausgetauscht werden kann, dass das neue Muster vom ursprünglichen ununterscheidbar ist.

Die 10 Punktgruppen der EbenePunktgruppe: Kombination der Symmetrieelemente (1-, 2-, 3-, 4-, 6-zählige Drehachsen und Spiegelebenen), welche Atome innerhalb einer Einheitszelle, d.h. ohne Translationssymmetrie-operation ineinander überführt

- Punktgruppen werden separat von der Translationssymmetriebetrachtet

2-D Raumgruppen

• Kombination der 10 zweidimensionalen Punktgruppen mit den 5 zweidimensionalen Translationsgitternergibt 17 geometrisch unterschiedliche zweidimensionale Raumgruppen

Punktsymmetrie in 3-D Spiegelung

• Spiegelebene im allgemeinen nicht in beliebiger Orientierung zum kristallographischenKoordinatensystem sondern mit spezieller Orientierung: z.B. im monoklinen System in der a-c Ebene

• Spiegelebene mit m(mirror) bezeichnet

Rotation• Drehung eines Motivs um

konstante Winkelbeträge um eine Drehachse

• Drehung ist n-zählig, wenn Rotation um 360°/n eine Ausgangsanordnung in eine Anordnung überführt, die vom Anfangszustand ununterscheidbar ist

• Aufgrund der Trasnlationssymmetrieexistieren in Kristallen nur 1-, 2-, 3-, 4- und 6- zähligeDrehachsen

Inversion

• 1-zählige Drehachse kombiniert mit senkrecht dazu stehender Spiegelebene

• entspricht Punktspiegelung am Durchstosspunkt der Drehachse durch die Spiegelebene - Symmetriezentrum.

1

Dreh- Drehinversionsachsen

Skriptum C-16

Symbolik für Symmetrieelemente

Drehachsen Drehinversionsachsen

Zähligkeit Symbol Zähligkeit Symbol in der Zeichnung

1 1 = Inversionszentrum

m senkrecht auf Zeichenebene 2 2 (≡ m) m m in Zeichenebene

3 3

4 4

6 6 (≡ 3/m)

3-D Punktgruppen

1. Stelle 2. Stelle 3. Stelle

Triklin: beliebig:

1 oder 1

Monoklin: [010]:

2

m

2/m

Orthorhombisch: [100] [010] [001]

2 2 2

m m m

2/m 2/m 2/m

Tetragonal: [001] [100] [110]

4 2 2

4 m m

4/m 2/m 2/m

Trigonal (hexagonale Achsen): [001] [100]

3 2

3 m

2/m

Hexagonal: [001] [100] [11 0]

6 2 2

6 m m

6/m 2/m 2/m

Kubisch: [100] [111] [110]

2 3 2

2/m 3 m

4 2/m

4

4/m

3-D Punktgruppen

Notation

3-D Raumgruppen

• Kombination der 32 dreidimensionalen Punktgruppen mit den 14 dreidimensionalen Translationsgittern(Bravais Gittern) ergibt 230 dreidimensionale Raumgruppen

Atomarer Aufbau der Kristalle• Walter Friedrich und Paul Knipping, zwei von Max von

Laue angestellte Physiker weisen 1911 mittels Beugung von Röntgenstrahlen an einem Kupfersulfat den translations-symmetrischen Aufbau eines aus Atomen aufgebauten Raumgitters nach

Laue-Aufnahmen von Kupfersulfat aus der Originalpublikation von Laue. Die diskreten Interferenzmaxima beweisen die translationsperiodische Natur von Kristallen