Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
„Mit Grundschülern an geometrischen
Problemaufgaben arbeiten“
Hahn, Janott 22.09.2012 mathe 2000
Workshop
Inhalte
1. Zur Theorie des Problemlösens
2. Bearbeiten eines Problems
3. Zur Umsetzung eines Unterrichtskonzeptes
2
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Zur Theorie des Problemlösens
Problemlösen als mathematische Kompetenz
… in den Bildungsstandards
• Entfaltung grundlegender Bildung
• Förderung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen
• Problemlösen
o mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung
problemhaltiger Aufgaben anwenden
o Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. systematisches Probieren)
o Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen
3
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Zur Theorie des Problemlösens
Problemlösen als mathematische Kompetenz
… im Lehrplan von NRW
• relevante Informationen erkennen
• Problemstellungen in eigenen Worten wiedergeben
• zunehmend systematisch und zielorientiert probieren
• Ergebnisse überprüfen; Fehler finden und korrigieren
• verschiedene Lösungswege vergleichen
• Vorgehensweisen auf ähnliche Sachverhalte übertragen
4
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
5
Zur Theorie des Problemlösens
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Was ist ein Problem?
• Ein unerwünschter Ausgangszustand soll in den
erwünschten Zielzustand überführt werden, wo-
bei nicht klar ist, wie dies erreicht werden kann.
• Das heißt, aktuelles Wissen sowie Fähigkeiten
reichen nicht aus, um das Problem zu lösen.
• Vorhandenes Wissen muss umstrukturiert bzw.
neu kombiniert werden (vgl. EDELMANN 1996, Abb. 119)
aus mathematikdidaktischer Perspektive
… eine Anforderungssituation, die als subjektiv schwierig erlebt wird. Diese Anforderungssituation
erscheint dem Lernenden nicht spontan bewältigbar, sie kann auch einfach nur ungewohnt sein und
verlangt eine für den Schüler „neue“ Lösung. (vgl. BRUDER 2011, S. 11)
Ausgangszustand Zielzustand
6
Zur Theorie des Problemlösens
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Was ist eine Problemaufgabe?
Aufgabe
• erkennbar als Aufgabe eines bestimmten Typs
• Abruf einer verfügbaren Lösungsprozedur möglich
• formales bis ritualhaftes Abarbeiten
• Inhaltliches Verständnis nicht zwingend nötig
Problem
• Barriere versperrt den Weg zur Lösung
• Suche nach einem Lösungsweg notwendig
• inhaltliches Denken zur Konstruktion eines Lösungsweges ist nötig
• ohne Verständnis kein Erfolg (vgl. DÖRNER 1979)
Zur Theorie des Problemlösens
Was bedeutet Problemlösen?
• Tätigkeit des Suchens nach der Lösung für ein Problem
• „[…] das Bestreben, einen gegebenen Zustand (Ausgangs- oder Ist-Zustand) in einen
anderen, gewünschten Zustand (Ziel- oder Soll-Zustand) zu überführen, wobei es gilt, eine
Barriere zu überwinden, die sich zwischen Ausgangs- und Zielzustand befindet.“
(HUSSY 1984 in BRUDER 2011, S.11)
Was bedeutet Probleme lösen lernen?
• Das Kennen- und Anwendenlernen von Methoden und Techniken zum Lösen individuell
schwieriger Aufgaben. Solche Methoden und Techniken werden auch Heurismen genannt
und zwischen heuristischen Hilfsmitteln, Prinzipien, Strategien, speziellen Regeln und
Theorien unterschieden. (vgl. BRUDER 2011, S. 14)
7
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Ausgangszustand Zielzustand
Zur Theorie des Problemlösens
Ablauf des Problemlösens in 4 Phasen
1. Verstehen des Problems
2. Ausdenken des Plans
3. Ausführung des Plans
4. Rückschau (vgl. POLYA 1995)
8
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
9
Zur Theorie des Problemlösens
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Theorien
Versuch-Irrtum Kreativität Anwenden von Strategien
Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien Heuristische Hilfsmittel
Umstrukturieren Systemdenken
Zur Theorie des Problemlösens
Theorien
Anwenden von Strategien
Heuristische Prinzipien
Analogieprinzip
Symmetrieprinzip
Extremalprinzip
…
Heuristische Strategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten
Rückwärtsarbeiten
…
Heuristische Hilfsmittel
informative Figur zeichnen
Tabelle anlegen
Material organisieren
…
10
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Arbeitsauftrag
1. Bearbeiten Sie die Problemaufgabe und notieren Sie stichpunktartig Ihre
Überlegungen.
2. Analysieren Sie die Schülerarbeiten hinsichtlich …
a) des Vorgehens sowie
b) möglicher Fehlstrategien.
12
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Drachen bauen
Vier Freunde haben jeder einen Drachen
gebaut. Lina und Anna behaupten, dass alle
vier Drachen gleich groß sind. Tom und
Mario sind der Meinung, dass die Drachen
unterschiedlich groß sind. Prüfe, wer
Recht hat.
13
Bearbeitungsbeispiele (A)
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
„Erklärung
Ich habe herausgefunden das der
Cloun 30 kä., der Hai 18 kä., der
Fisch 20 kä. und das Gesicht
16 kä. hat also haben Tom und
Mario recht gehabt.“
(Katja, Kl. 4)
14
Bearbeitungsbeispiele (A)
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
„Lösung: Die beiden Jungs haben
recht den die Formen Drachen sind
nicht gleich groß.
Ich habe es heraus gefunden in dem
ich zuerst versucht habe die For
Drachen in verschiedene Formen ein
zu teilen aber dann habe ich einen
Drachen zerschnitten und auf einen
anderen gelegt, so habe ich es
herausbekommen.“
(Valerie, Kl. 4)
15
Bearbeitungsbeispiele (A)
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
„Lösung: Die Jungs haben recht.
Erklärung:
Ich habe eine Stunde nach gedacht und
habe dann habe ich gemessen und die
Ergebnisse beim Smeyli Drachen ist
7,97 cm. Der normale Drachen ist 14,00
cm. Die Maus ist 12,04 cm Und der Hei
Drachen ist 14,08 cm“
(Sonja, Kl. 4)
16
Bearbeitungsbeispiele (A)
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
„Ich hab die Ecken Gezält und hab
dan entscheidete den Drache mit
den meisten Ecken entscheidet.“
(Lenni, Kl. 4)
17
Bearbeitungsbeispiele (B)
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
„Ich habe zu erst Dreiecke in jede
Figur eingezeichnet.
Dann habe ich sie in jeder Figur
gezählt und bin zu dem ergebnis
gekommen das der Fliger größer ist
als die an deren.“
(Rosa, Kl. 4)
18
Bearbeitungsbeispiele (B)
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
„Ich habe zu erst mir Schablonen
angefertigt und die Formen auf
kariertes Papier übertragen. Danach
hab ich die ganzen Kästchen (K)
und die Halben kastchen (HK)
gezählt und hab rausgefunden die
Mädchen hatten unrecht“
(Valeska, Kl. 4)
19
Bearbeitungsbeispiele (B)
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
„Ich habe sie abgemessen und dan herausgefunden Wer der größte trare ist“ (Wulfgar, Kl. 4)
20
Bearbeitungsbeispiele (B)
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
„Ich vermesse zuerst alle Drachen.
Ich schreibe zu jeder EcKe die ich vermesse die Länge
Wir haben alle Drachen ausgemalt und die Sekunden
gezählt wir nehmen die Sekunden mal den auschnit, und dann teilen wir durch 2
das Ergebnis unsere Methodenlösung geht nicht ganz auf, also probieren wir Weiter.
Wir nehmen die Ecken mal 2 die nach außen gehen noch mal mal 2.“
(Fiona, Kl. 4)
21
Problembearbeitung
Herangehensweisen
direkter Flächenvergleich
übereinander legen
Flächen strukturell verändern
indirekter Flächenvergleich
Einteilen in verschiedene
Flächen
Einheitsflächen einzeichnen
auf Einheitsfläche übertragen
arithmetisches Vorgehen
Flächeninhalt berechnen
Fehlstrategien
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
22
Problembearbeitung
Herangehensweise Zimmer Drachen
direkter
Flächen-
vergleich
Vergleich durch Übereinanderlegen
vorgegebene Flächen verändern und
vergleichen
indirekter
Flächen-
vergleich
Einteilen in verschiedene Flächen und
vergleichen
Einheitsflächen einzeichnen und
auszählen
Übertragen auf Einheitsflächen
arithme-
tisches
Vorgehen
Flächeninhalt berechnen
Zur Umsetzung des Unterrichtskonzeptes
Das Unterrichtskonzept
Rahmengeschichte
• Problem erkennen
• Vorwissen aktivieren
individuelle Problembearbeitung
• Lösungsansätze finden
• Problem bearbeiten
• Vorgehen und Ergebnisse notieren
gemeinsame Reflexion
• Lösungsansätze vorstellen und vergleichen
• Strategien identifizieren
23
Phase 1
Phase 2
Phase 3
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
24
Zur Umsetzung des Unterrichtskonzeptes
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Die Problemaufgaben
materialgestützte Bearbeitung
strukturgleiche Aufgaben
verschiedene geometrische Inhalte …
• systematisches Zählen von Flächen oder Körperdarstellungen
• Netze und Knoten (Schnittpunkte von Geraden, Farbenproblem)
• Flächeninhalt und Umfang
Zur Umsetzung des Unterrichtskonzeptes
Anforderungen an die Schüler
• Problemlösekompetenz
• metakognitive Tätigkeiten
• Kommunikation und Interaktion mit Mitschülern
• emotionale Anforderungen (vgl. NOLTE in FUCHS&KÄPNICK 2008, S.153)
Lehrerhandeln
• Einrichten der Lernumgebung
• Prinzip der minimalen Unterstützung
Lernhilfen nach ZECH (1996)
• Moderation der Reflexionsphase
25
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
26
Zur Umsetzung des Unterrichtskonzeptes
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
Mögliche Lernchancen und Erfahrungen für die Schüler
• schwierige Situationen aushalten
• kreatives Herangehen an Probleme
• selbstreflexive Tätigkeiten als Arbeitstechnik
• konstruktiver Umgang mit Fehlern bzw. Fehlstrategien
• Stärkung des Selbstbewusstseins
• langfristiges Heranführen an Problemlöseprozesse
• Förderung der mathematischen Kompetenzen
Literatur
BRUDER, Regina (2003): Methoden und Techniken des Problemlösenlernens. Darmstadt Material im Rahmen des BLK-
Programms "Sinus" zur "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts". Kiel: IPN.
BRUDER, Regina (2011): Problemlösen lernen im Mathematikunterricht. Berlin: Cornelsen Verlag
EDELMANN, Walter (1996): Lernpsychologie. Weinheim: Psychologie Verlags Union
NOLTE, Marianne (2008): Herausfordernde und fördernde Aufgaben für alle? – Teil 1. Überlegungen zu unserem
Förderprojekt. In: FUCHS, Mandy & KÄPNICK, Friedhelm: Mathematisch begabte Kinder. Eine Herausforderung für
Schule und Wissenschaft. Berlin: Lit Verlag
(1998): Mathematisch begabte Kinder: Modelle, empirische Studien und Förderungsprojekt für das Grundschulalter.
Frankfurt a. M.: Verlag Peter Lang
POLYA, George (1995): Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme. Tübingen: A. Francke Verlag
RASCH, Renate (2001): Zur Arbeit mit problemhaltigen Textaufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Eine
Studie zur Herangehensweise von Grundschulkindern an anspruchsvolle Textaufgaben und Schlussfolgerungen für
eine Unterrichtsgestaltung, die entsprechende Lösungsfähigkeiten fördert. Hildesheim: Franzbecker
SCHNABEL, Joachim; TRAPP, Anja (2012): Problemlösendes Denken im Mathematikunterricht. Theoretische
Grundlagen – Musteraufgaben – Materialien. 1-4 Klasse. Donauwörth: AAP Lehrerfachverlage GmbH
ZECH, Friedrich (2002): Grundkurs Mathematikdidaktik: theoretische und praktische Anleitung für das Lehren und
Lernen von Mathematik. Weinheim und Basel: Beltz
28
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012
36
Gabriel (Kl. 3)
Matthis (Kl. 3)
„zuerst messe ich die Drachen an der Lengsten Stelle
ich habe sie ausgeschnitten und ubereinander ferglichen“
mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012