Analysis I

Oswald Riemenschneider

2. Auflage, Hamburg 2004

Vorwort

Die hier vorgelegten Noten konstituieren den ersten Teil eines in Vorbereitung befindlichen Textes, dervon dem Aufbau des Zahlensystems ausgehend einen weiten Bereich der Analysis bis hin zur Integrati-onstheorie von (reellwertigen) Funktionen in mehreren reellen Veranderlichen, den Integralsatzen, denGrundlagen der Differentialgeometrie, den gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen und derFunktionalanalysis abdecken soll. Auch die Theorie der differenzierbaren Funktionen in einer komplexenVeranderlichen, also die klassische Funktionentheorie, soll hierin ihren Platz finden.

Dieser Text findet seine ursprunglichen Quellen in den Buchern meines Lehrers Hans Grauertund denen von Otto Forster [7,6], hat sich aber im Laufe der Zeit stark von jenen entfernt. Bei derEntwicklung des Riemannschen und des Lebesgueschen Integrals verdanke ich dem in dem 2. Band desAnalysisBuches von Konigsberger [11] beschrittenen Weg einige wichtige Erkenntnisse. Dem Kennerwird es nicht schwer fallen, weitere fundamentale Wurzeln wie z.B. S. Lang [12,13] und Dieudonne[33] ausfindig zu machen, auch wenn sie nicht jedesmal explizit genannt werden. Auf jeden Fall solltedas Literaturverzeichnis eine vollstandige Liste meiner direkten und indirekten Hilfsmittel enthalten.

Was diesen Text von den meisten Lehrbuchern der Analysis unterscheidet, ist der Versuch, trotzdes Aufbaus ab ovo von vornherein allgemeinere Konzepte und Prinzipien mit einzubeziehen, ohnedeshalb auf die konkreten Beispiele zu verzichten. Insbesondere wird der Frage nach dem Wesen derreellen Zahlen starker als ublich Rechnung getragen, indem wir uns zum einen der Muhe unterzogenhaben, fur moglichst viele der klassischen Satze der reellen Analysis die Aquivalenz zum Vollstandig-keitsaxiom nachzuweisen. Dies bedeutet im Wesentlichen keine Mehrarbeit; man hat nur genau Buchzu fuhren, welche Eigenschaften der reellen Zahlen man bei den einzelnen Beweisen benutzt hat, undmu die Satze moglichst okonomisch auseinander entwickeln. Es zeigt sich dann, da man nach einerlangeren Schlukette uber die Richtigkeit von Aussagen in einem angeordneten Korper meist wiederrecht einfach einsieht, da die zuletzt nachgewiesene Eigenschaft nur im Korper der reellen Zahlen gel-ten kann. Es ist meine Hoffnung, da durch diese Art der Betrachtung ein tieferes Verstandnis fur dieGultigkeit der klassischen Satze erreicht werden kann. Selbstverstandlich hat man hierfur einen Preis zubezahlen in Form einer fruhen Konfrontation mit abstrakteren Konstrukten z. B. aus dem Bereich derTopologie, die allerdings von so grundlegender Natur sind, da man sie ohnehin spatestens im zweitenSemester zur Verfugung stellen mu. Nun scheint das eben geschilderte Vorgehen eine viel zu starkeBetonung der axiomatischen Sichtweise heraufzubeschworen. Um dem entgegenzuwirken, stellen wir ihrdie konstruktive Methode zur Seite, indem wir in einem Anhang einen allgemeinen Vervollstandigkeits-satz beweisen, der als einfachsten Spezialfall die Vervollstandigung des rationalen Zahlkorpers enthalt.Selbstverstandlich kann sowohl dieser Anhang als auch alle anderen, die starker topologischen Frage-stellungen gewidmet sind, beim ersten Lesen uberschlagen werden.

Es ist mir bewut, da nicht wenige Kolleginnen und Kollegen schon bei der Erwahnung der,,axiomatischen Besonderheiten des vorliegenden Textes aus ,,wohlbegrundeten didaktischen Grundenheraus unruhig, wenn nicht ungehalten werden und die Vermengung des Axiomatischen mit dem Kon-struktiven gar als den Versuch einschatzen, den Teufel mit Beelzebub auszutreiben. Zur Beruhigung,Erwiderung, Rechtfertigung etc. sei aber gesagt, da meine Erfahrungen mit dieser Art des Aufbauszumindest nicht schlechter sind als mit mehrfach ausprobierten traditionelleren Vorgehensweisen, und- was mein eigentliches didaktisches Credo ist - da ich selbst in meinen Vorlesungen weder meinemeigenen noch irgendeinem anderen Manuskript jemals sklavisch gefolgt bin. Insbesondere kann undsollte man in einer Vorlesung auf der Basis des vorliegenden Manuskripts je nach Zielsetzung und Ge-schmack Teile desselben, insbesondere die eben schon erwahnten Anhange, zunachst vollig auslassenoder hochstens erwahnen und gegebenenfalls erst zu einem spateren Zeitpunkt ausfuhrlicher behandeln.

Der eigentliche Zweck der hier vorgelegten Fassung besteht allerdings darin, den Horer/innen mei-ner Vorlesung im Wintersemester 2002/03 eine verlaliche Orientierung zu geben daruber, in welchenBereichen ich wesentlich von dem der Vorlesung zugrundegelegten Lehrbuch von Konigsberger abgewi-chen bin oder dieses erganzt habe. Zu den Erganzungen gehort auch mein Manuskript [171], das hiernicht noch einmal abgedruckt wird. Die Unvollkommenheit der Noten bzw. ihre Entstehungsgeschichtespiegeln sich wider in der Tatsache, da z. B. Verweise auf spatere Kapitel ins Leere fuhren konnen.

ii Vorwort

Wie ich fruher an anderer Stelle (in meinem Manuskript uber Lineare Algebra und Analytische Geo-metrie) schon gesagt habe, sollte der ideelle Leser an Voraussetzungen vor allem Neugier auf mathemati-sches Basiswissen und Freude am mathematischen Denken mitbringen. Neben einer guten Schulbildungund den in dieser Veranstaltung erworbenen Fahigkeiten und Einsichten werden aber spatestens imzweiten Semester auch gute Kenntnisse der Linearen Algebra benotigt. Wahrend sich diese mit speziel-len, sehr einfachen, namlich linearen Abbildungen A : Kn Km , K ein beliebiger Korper, beschaftigtund die Struktur von Losungsmengen

{x Kn : Ax = b } = A1(b) , b Km fest ,

klart, studiert die Analysis z. B. Abbildungen

f : U Km , U Kn , K = R oder C ,

die an jeder Stelle ,,gut durch lineare Abbildungen approximierbar sind (Differenzierbarkeit). Umge-kehrt schrankt die Lineare Algebra in weiten Teilen den Grundkorper auf die reellen Zahlen R oderdie komplexen Zahlen C ein, z. B. bei der Untersuchung von euklidischen und unitaren Vektorraumen,und verlat sich dabei auf die Bereitstellung durch die Analysis.

Somit findet ein standiger Austausch zwischen beiden Gebieten statt, so da ein Studium des einennicht ohne Grundkenntnisse des anderen sinnvoll ist. In meinem Verstandnis ist ohnehin die Mathematikeine Einheit und daher die traditionelle Einteilung in ,,Kastchen eher schadlich. Aus diesem Grundeverweise ich auf die Literaturliste, die auch Bucher uber ,,Lineare Algebra ausweist. Mein eigenerText [41] bietet (vielleicht) den Vorteil, sehr knapp (wie ich hoffe aber auch verlalich) zu sein imeigentlichen Bestand dieses Gebietes. Er enthalt zudem einen langeren Anhang uber Anwendungen derLinearen Algebra in der Analysis.

Es ist mir ein besonderes Anliegen, Frau Erdmute Danhardt fur all die Jahre der Zusammenarbeitzu danken, in denen sie so viele unterschiedliche, zum Teil unausgereifte Texte zunachst mit der Schreib-maschine und spater mit dem Computer via LATEX fur mich zu Papier gebracht hat. Ohne ihre Mithilfewurden diese Texte nur in meinem Kopf und als vage Vortragsnotizen auf losen Zetteln im Format DINA5 existieren. Meinen fruheren Mitarbeitern Dr. Andreas Leipelt und Dr. Jorg Schurmann danke ich furdie Geduld, mit der sie mein nicht gerade weltbewegendes ,,Vollstandigkeitshobby unterstutzt haben.In die vorliegende Fassung sind zudem ganz wesentlich Informationen und Anregungen eingeflossen, diemir Herr Kollege Alexander Prestel aus Konstanz hat zukommen lassen. Auch ihm sei hier herzlichDank gesagt.

Dank und Hochachtung gebuhrt schlielich und vor allem den Studenten aus mehreren Generationen,die mit groem Ernst darum gerungen haben, den Stoff in der von mir prasentierten Form zu verstehen,insbesondere denen, die mich effektiv, d. h. durch konstruktive Kritik und Korrekturlesen fruhererFassungen einzelner Kapitel, dabei unterstutzt haben, den Text zu verbessern. Besonders hervorhebenmochte ich Daniel Hawellek und Stephan Tolksdorf, die unermudlich die standigen Metamorphosendes Manuskripts im vergangenen Semester verfolgt und entscheidend daran mitgewirkt haben, dadie schlimmsten ,,Schnitzer eliminiert und zahlreiche Druckfehler ausgemerzt werden konnten. Es istunnotig zu betonen, da alle verbleibenden Unstimmigkeiten allein auf mein Konto gehen.

Hamburg, den 10. 5. 2003Oswald Riemenschneider

Die hier vorgelegte ,,2. Auflage unterscheidet sich von der ersten nur durch die Elimination wenigerDruckfehler und kleinerer Ungenauigkeiten. Man bringt ein altes Exemplar am schnellsten auf denneuesten Stand durch Ersetzen des Titelblattes und der Seiten i bis xvi, 105/110, 123/124, 139/140,143/144, 191/192, 213/214. Hamburg, den 07. 01. 2004

Es ist ein herrliches Gefuhl, die Einheitlichkeit eines Komplexes von Erscheinungen zu erkennen, dieder direkten sinnlichen Wahrnehmung als ganz getrennte Dinge erscheinen .

Albert Einstein, 1901.

Das wichtigste Resultat des sinnigen physischen Forschers ist daher dieses: in der Mannigfaltigkeit dieEinheit zu erkennen, der erhabenen Bestimmung des Menschen eingedenk, den Geist der Natur zu

ergreifen, welcher unter der Decke der Erscheinungen verhullt liegt .

Alexander von Humboldt, 1845.

Inhalt

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Lebensdaten einiger Hauptpersonen - Ohne Gewahr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .