Analysis II

Analysis II

Skript zur Vorlesung

erstellt

vonPhilipp Reichert

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Stand vom:12. Dezember 2011

mailto:[email protected]

Inhaltsverzeichnis

1 Das Riemannintegral für Funktionen mit einer Variablen 51.1 Definitionen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . 151.3 Die Trapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Differentialrechnung im Rm 242.1 Geometrie und Algebra des Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Offene und abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Stetige Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Die Länge einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 Höhere Ableitungen und die Taylerformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1 Das Riemannintegral für Funktionen mit einer Variablen


1.1 Definitionen und Eigenschaften

Seien I := [a, b] ⊂ R ein abgeschlossenes Intervall, f : I → R.

Definition 1.1Eine Zerlegung von I ist eine Menge ξ := {x0, x1...., xk mita = x0 < x1 < x2 < ... < xk = b.Die xi heißen Teilpunkte von ξ. Wir schreiben

Ij : = [xj−1, xj ] ; „Teilintervalle“

und definieren

∆(ξ) : = max{|Ij | := xj − xj−1|i ∈ {1, ..., k}}

als Feinheit von ξ.

Definition 1.2Sei ξ eine Zahl von I, wobei f : I → R.

1. Für jedes j ∈ {1, ..., k} definiert

mj = inf{f(x)|x ∈ Ij} ; Infimum

mj = sup{f(x)|x ∈ Ij} ; Supremum

Dann heißen∫ −−ξ

(f) : =

k∑j=1

mj · (xj − xj−1)

die Riemannschen Unter- bzw. Obersummen bezüglich ξ.

2. Eine Riemannsche Zwischensumme von f bezüglich ξ (auf I) ist die Summe der Form

k∑j=1

f(yi)|Ij | mit yj ∈ Ij ∀j ∈ {1, ..., k}

y1, ..., yk heißen Stützstellen der Zwischensumme.

Bemerkung 1.3Ist Sξ(f) eine Riemannzwischensumme von f bezüglich ξ, dann gilt

Sξ(f) ≤ Sξ(f) ≤ Sξ(f).

Prof. Dr. J. Brüning 5


Definition 1.4Wir definieren

1. Eine Zahl ξ∗ von I heißt Verfeinerung von ξ, wenn gilt:

ξ∗ ⊇ ξ

2. Sind ξ1, ξ2 Zerlegungen, so heißt ξ1 ∪ ξ2 die gemeinsame Verfeinerung.

Lemma 1.5Ist ξ∗ eine Verfeinerung von ξ, dann gilt

Sξ(f) ≤ Sξ∗(f) ≤ Sξ∗(f) ≤ Sξ(f)

BeweisSei ξ = {x0, ..., xk}, {j ∈ k{1, ..., k} fest und I∗1 , ..., I

∗n die Teilintervalle von ξ∗, die in Ij

liegen.

. . . .

Abbildung 1: Teilintervalle von ξ∗

Dann gilt:

m∗e : = infI∗ef ≥ inf

Ijf = mj ∀e ∈ {1, ..., n}

also

m∗1 · |I∗1 |+m∗2 · |I∗2 |+ ...+m∗n · |I∗n| ≥ mj · (|I∗1 |+ ...+ |I∗n|) = mj · |Ij |

Summieren über ξ ergibt damit die 1. Ungleichung, analog folgt die 3.Die 2. folgt aus Bemerkung 1.1.3. �

Lemma 1.6Seien ξ1, ξ2 Zerlegungen von I, dann gilt:

Sξ1(f) ≤ Sξ2(f) .

Beweis

Sξ1(f) ≤︸︷︷︸Lemma 1.1.5

Sξ1∪ξ2(f) ≤︸︷︷︸Bem. 1.1.3

Sξ1∪ξ2(f) ≤︸︷︷︸Lemma 1.1.5

Sξ2(f)

�

6 Prof. Dr. J. Brüning


Definition 1.7Die Riemannschen Ober-/Unterintegrale von f definieren wir wie folgt:

I = sup{Sξ(f)|ξ Zerlegung von I}I = inf{Sξ(f)|ξ Zerlegung von I}

Lemma 1.8Für jede Zerlegung ξ gilt:

Sξ(f) ≤ I(f) ≤ I(f) ≤ Sξ(f)

Beweis (durch Widerspruch)Annahme: I(f) ≥ I(f).Dann folgt: ∃ξ1, ξ2 so, dass Sξ1(f) > Sξ2(f), erfolgt der Widerspruch zu Lemma 1.1.6. �

Definition 1.9f heißt Riemann-integrierbar, genau dann, wenn

I(f) = I(f)

Dann heißt I(f) := I(f) = I(f) das Riemannintegral von f auf (über) I.

Notation:

1. andere Schreibweisen∫ b

af(x)dx =

∫ b

afdx =

∫Ifdx

2. R(I) = Menge der Riemann-integrierbaren Funktionen auf I.

Satz 1.10Sei f : I → R beschränkt, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. f ∈ R(I)

2. 1. Kriterium für R.-integrierbarkeit∀ ε > 0 ∃ξ sodass Sξ(f)− Sξ(f) < ε

3. 2. Kriterium für R.-integrierbarkeit∀ ε > 0 ∃δ sodass Sξ(f)− Sξ(f) < ε, ∀ ξ mit ∆(ξ) < δ.

BeweisWir beweisen

• (3) ⇒︸︷︷︸trivial

(2)⇒ (1)⇒ (3) �



• (2)⇒ (1):Sei ε > 0, so ergibt sich aus (2) und Lemma 1.1.8

I(f)− I(f) < ε

∀ ε > 0⇒ I(f) = I(f)⇔ (1)

�

• (1)⇒ (3):Sei ε > 0, wir wählen ξ1 so, dass

I(f)− Sξ1(f) <ε

4

und wählen ξ2 so, dass

Sξ2(f)− I(f) <ε

4; mit I(f) = I(f) = I(f)

Setzen

ξ∗ = ξ1 ∪ ξ2 ⇒ Sξ1(f)− Sξ∗(f) ≤ Sξ2(f)− Sξ1(f) ≤ ε

4+ε

4≤ ε

2

Wir schreiben: ξ∗ = {x∗0, x∗1, ..., x∗l } und sei c > supx∈I(f), so setzen wir

δ : =ε

8cl

Behauptung:δ erfüllt die obige Aussage. Sei ξ beliebiger Zerlegung und wir definieren ξ′ = ξ ∪ ξ∗.Dann gilt:

Sξ(f)− Sξ′(f) ≤ ε

4und

Sξ′(f)− Sξ(f) <ε

4

Denn die Teilintervalle von ξ′ = ξ ∪ ξ∗, die nicht Teilintervalle von ξ sind, bilden eine Verei-nigung von Teilintervallen von Iξ von ξ, die mindestens ein Element von ξ∗ beinhalten.Es gibt höchstens (l − 1) Elemente von ξ∗ in Ij deren Gesamtlänge kleiner δ(l − 1) ist unddie Werte von f schwanken höher um 2c, d. h.

Sξ(f)− Sξ′(f) ≤ l · δ · 2c

=l2c

8cl· ε =

ε

4



Dann ist

Sξ(f)− Sξ(f) ≤ Sξ′(f) +ε

4−(Sξ′(f)− ε

4

)≤ ε

4+ Sξ∗(f)− Sξ∗(f)

≤ ε

2+ε

2≤ ε

�

Korollar 1.11Sei f ∈ R(I). Seien (Sn)n∈N eine Folge von Zerlegungen von I mit ∆(Sn)

n→∞−−−→ 0 und zujedem n sei Sξn(f) irgendeine Riemannzwischensumme.Dann gilt:

Sξn(f)n→∞−−−→ I(f) und

Sξn(f)n→∞−−−→ I(f)

n→∞←−−− Sξn(f)

BeweisSei ε > 0, wählen δ > 0 mit Sξ(f) − Sξ(f) < ε ∀δ mit ∆(S) < δ und wählen N ∈ N mit∆(ξn) < δ ∀n ≥ N .Dann gilt ∀n ≥ N

|I(f)− Sξn(l)| < ε , weil

I(f) , Sξn(f) ∈[Sξn(f), Sξn(f)

]�

Definition 1.12f heißt Riemann-integrierbar genau dann, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0

|S(Z)− S(Z)| < ε∀Z : δ(Z) < δ(ε, f)

Damit existiert:

limδ(Z)→0

S(Z) = limδ(Z)→0

S(Z)

=

∫ b

af(t)dt

I = [a, b], R(I) = {f : I → R : f ist R.-integrierbar}

Satz 1.13C(I) = {f : I → R : f ist steig in I} ⊂ R(I)



Bemerkung (Eigenschaften stetiger Funktionen)stetige Funktionen auf I = [a, b], −∞ < a < b <∞ sind:

• beschränkt

• f hat ein Minimum und ein Maximum auf I

• sind gleichmäßig stetig ⇔ δ kann unabhängig von x gewählt werden

• Kompaktheit

Satz 1.14Eine Funktion f : I → R ist inR(I)⇔ die Menge der Unstetigkeitsstellen von f = {x ∈ I : fist nicht stetig in I} hat das Maß 0.

BemerkungEine Menge A ⊂ R hat das Maß 0 ⇔ zu ε > 0 gibt es eine Folge kompakter Intervalle(In)n∈N mit

1) A ⊂∞⋃n=1

In

2)∑n

|In| ≤ ε

Satz 1.15 (Eigenschaften des R.-Integrals)1 Linearität: Die Abb. R(I) 3 f →

∫I f(x)dx ∈ R ist linear, das heißt I := I(f).

JI(a1f1 + a2f2) = a1JI(f1) + a2JI(f2); ai ∈ R, fi ∈ R(I)

2 Monotonie:f, g ∈ R(I), f ≤ g ⇒ JI(f) ≤ JI(g)

3 Normierung:Jf ist normiert, d.h. Jf (1) = |I| := b− a

4 fundamentale Abschätzung:f ∈ R(I)⇒ |f | ∈ R(I) und

|J(f)| ≤ J(|f |) ≤ |I| supI|f |

5 Multiplikativitätg, f ∈ R(I)⇒ f · g ∈ R(I)

6 Sei f ∈ R(I), f(I) ⊂ I ′ = (a′, b′). Dann giltg ∈ C([a′, b′])⇒ g ◦ f ∈ R(I)



7 Additivität:Ist I = I1 t I2 ⇒ JI(f) = JI1(f1) + JI2(f2)

Lemma 1.16Ist f : I ⇒ R beschränkt, so gilt für die Variationen von f über I:

VI(f) : = supt′,t′′∈I

|f(t′)− f(t′′)|

= supIf − inf

If

Beweis (Eiegenschaften Riemannintegrierbarer Funktionen)Es gilt allgemein für beschränktes f und beliebiges Z:

0 ≤ SZ(f)− SZ(f) =

n∑i=1

(ti − ti−1)V(ti−1,ti)(f)

=

n∑i=1

(ti − ti−1) supt′,t′′∈Ii

|f(t′)− f(t′′)|

ad 1:Wir setzen f = a1f1 + a2f2, ai ∈ R, fi ∈ R(I).

⇒ Vf (t) = supt′,t′′∈I

|a1(f1(t′)− f1(t′′)) + a2(f2(t′)− f2(t′′))|

≤ supt′,t′′∈I

(|a1| · |f1(t′)− f1(t′′)|+ |a2| · |f2(t′)− f2(t′′)|

)≤ |a1|VI(f1) + |a2|VI(f2)

⇒ SZ(f)− SZ(f) ≤ |a1|(SZ − SZ)(f1) + |a2|(SZ − SZ)(f2)

≤ (|a1|+ |a2|)ε für δ(Z) < min{δ(ε, f1), δ(ε, f2)}⇒ (1) und If ist R− linear.

ad 2:Wir setzen

SZ(f)︸︷︷︸δ(Z)→0

≤ SZ(g)︸︷︷︸δ(z)→0

JI(f) ≤ JI(g)

ad 3: X



ad 4:Sei f ∈ R(I)⇒ |f | ∈ R(I). Dann ist:

VI(|f |) = supt′,t′′∈I

||f(t′)| − |f(t′′)||

≤ supt′,t′′∈I

|f(t′)− f(t′′)|

= VI(f)⇒ |f | ∈ R(I)

|∫ b

af(t) dt| = | lim

δ(z)→0SZ(f)|

= | limδ(z)→0

n∑i=1

(ti − ti−1) supIf |

≤ limδ(z)→0

|n∑i=1

(ti − ti−1) supIf |

≤ limδ(z)→0

n∑i=1

(ti − ti−1) supI|f |

=

∫ b

a|f(t)|dt

ad 5:Es ist:

VI(f · g) = supt′,t′′∈I

|f(t′)g(t′)− f(t′′)g(t′′)|

= supt′,t′′∈I

|(f(t′)− f(t′′))g(t′) + f(t′′)(g(t′)− g(t′′))|

≤ ||g||I,∞VI(f) + ||f ||I,∞VI(g)

ad 6: Wird als Übungsaufgabe bewiesen. X

ad 7:Ist I := (a, b) und b′ ∈ (a, b).Weiterhin seien I ′ = (a, b′), I ′′ = (b′, b) und f ∈ R(I). Dannist

f ′ = f |I ′ ∈ R(I) , f |I ′′ =∈ R(I ′)

und ∫ b

af(t) dt =

∫ b′

af(t) dt+

∫ b

b′f(t) dt

JI(f) = JI′(f′) + JI′′(f

′′)



⇒ Die Additivität des Integrals ist eine Mengenfunktion bei festem f . �

Satz 1.17 (Vertauschbarkeit von Integral und Grenzwert)Es sei (fn)n∈N ⊂ R(I) eine in I gleichmäßig konvergente Funktionenfolge.Einschub:

1. (fn)n∈N konvergent ⇔ (fn(t))n∈N konvergiert ∀ t ∈ I.

2. (fn)n∈N in I gleichmäßig konvergent ⇔ (fn) in I konvergiert und n(ε, t) ist von tunabhängig ⇒ |fn(t)− fm(t)| < ε ∀ n,m ≥ n(ε), ∀ t

Dann gilt, dass f(t) := limn→∞ fn(t) in I beschränkt ist. Weiterhin gilt f ∈ R(I) und∫ b

af(t) dt =

∫ b

alimn→∞

fn(t) dt

= limn→∞

∫ b

afn(t) dt

BeweisWir setzen f(t) = limn→∞ fn(t), dann gilt

SZ(f)− SZ(f) =∑i

(ti − ti−1) supt′,t′′∈I

|f(t′)− f(t′′)| ; ε > 0 , n ≥ n(ε)

=∑i


| f(t′)− fn(t′)︸︷︷︸<ε

+(fn(t)− fn(t′)) + fn(t′)− f(t′′)︸︷︷︸<ε

|

≤∑i


VIi(fn) + 2ε(b− a)

= 2ε(b− a) + SZ(fn)− SZ(fn)

< 4ε(b− a)

Wenn δ(z) < δ(n, ε)

|∫ b

af(t) dt−

∫ b

afn(t) dt| ≤ ε(b− a)

| limδ(z)→0

(SZ(f)− SZ(fn))| = | limδ(z)→0

SZ(f − fn)|

Nun ist |f(t)− fn(t)| < ε∀t, wenn n ≥ n(ε)

⇒ SZ(f − fn) ≤ ε(b− a)

�



Satz 1.18 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)Sei f ∈ C([a, b]). Dann gibt es t ∈ [a, b] mit∫ b

af(t) dt = f(t0)(b− a)

Abbildung 2: geometrische Deutung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung

BeweisEs ist

minIf = inf

If ≤ f(t) ≤ sup

If = max

If

⇒ (Monotonie, Linearität, Normierung)

minIf(b− a) ≤

∫ b

af(t) dt ≤ max

If(b− a)

⇒ Es gibt ξ ∈ [minI f, maxI f ] mit∫ ba f(t) dt = ξ(b− a).

Nach dem Zwischenwertsatz ist ξ = f(t0) für t0 ∈ [a, b]. �

Lemma 1.19Es sei f ∈ C[a, b] (⇒ f ∈ R(I)) (stetig) und f ≥ 0 und f(t) > 0 für ein t ∈ (a, b).Dann ist∫ b

af(t) dt > 0



BeweisEs gibt nach Voraussetzung ein ε > 0, so das (t0− ε, t0 + ε) @ (a, b) und f(t) ≥ f(t0)/2 für|t− t0| ≤ ε (das folgt unmittelbar aus der Stetigkeit von f in t0!). dann folgt∫ b

af(t) dt =︸︷︷︸

Additivität

(∫ t1−ε

a+

∫ t0+ε

t0−ε+

∫ b

t0+ε

)f(t) dt

≥︸︷︷︸Monotonie

∫ t0+ε

t0−εf(t) dt ≥︸︷︷︸

Monotonie

f(t0)

2· 2ε = f(t0)ε > 0

�

BemerkungDas ist falsch für allgemeine f ∈ R(I)!Beweis in der Übung.

1.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

BemerkungGriechische Mathematik:

1. Flächenberechnung (Archimedes)

2. Die Bestimmung der Tangente an eine Kurve

f besitzt eine Tangente in x0 (an den Graphen)

Abbildung 3



f(x0 + t) := f(x0) + (t− x0) ·m(x0) + rf (x0, t)

mit

|rf (x0, t)| ≤ ε|t− x0|

für |t− x0| < δ(f, x0, ε) oder limt→x0rf (x0,t))|t−x0|

Definition 1.20 (Erinnerung)f heißt in x0 differenzierbar mit der Ableitung

f ′(x0)⇔ f(x0 + t) = f(x0) + (t− x0)f ′(x0) + rf (x0, t)

mit |rf (x0, t)| ≤ ε|t− x0|für |r − x0| < δ = δ(f, x0, ε)

Haüfig schreibt man

f ′(x0) = limt→0

f(x0 + t)− f(x0)

t

= limy→x0

f(y)− f(x0)

y − x0

BemerkungBetrachte die Funktion

(1) F (x) :=

∫ x

af(t) dt , f ∈ R(I)

Lemma 1.21 (Eigenschaften von F für f stetig)Es gilt:

1. Für f ∈ R(I) ist F ∈ C([a, b]).

2. Für f ∈ C([a, b]) ist F Differenzierbar in (a, b) mit F ′(x) = f(x) („Integration glättet„)

BeweisWir beweisen

1. x0 ∈ [a, b), betrachte

|F (x0 + t)− F (x0)| = |∫ x+t

x0

f(s) ds|

≤ |t|||f ||∞,I < ε||f ||∞,I ⇒ Behauptung



2. f ∈ C, x0 ∈ (a, b), x0 + t ∈ (a, b) für |t| < ε0. Betrachte

F (x0 + t)− F (x0) =

∫ x0+t

x0

f(s) ds

=

∫ x0+t

x0

f(s)− f(x0)︸︷︷︸rF (x0,t)

ds+ tf(x0)︸︷︷︸=tF ′′(x)

Nach fundamentaler Abschätzung ist

|rF (x0, t) ≤ |t| sup|s|≤|t|

|f(s)− f(x0)| ≤︸︷︷︸Stetigkeit

|t|ε

für |t| ≤ δ(x0, f, ε) �

„Wat the Herz Begehrs!“ (Tja, Englisch muss man können!)

Bemerkung

a < b⇒∫ a

bf(t) dt := −

∫ b

af(t) dt

Definition 1.22Es sei f : (a, b)→ R beschränkt. Eine Funktion F ∈ C([a, b]) mit F differenzierbar in (a, b)und

F ′(t) = f(t) ∀t ∈ (a, b)

heißt Stamfunktion von f in [a, b].

Folgerung 1.23Ist f ∈ C([a, b]), so ist∫ x

af(t) dt := F (x)

eine Stammfunktion von f . Tatsächlich gilt∫ b

af(t) dt = F (b)− F (a)

Wie viele Stammfunktionen gibt es?

Lemma 1.24Es sei F ∈ C([a, b]) eine Stammfunktion von f , beschränkt in (a, b). Dann ist jede Stamm-funktion von der Form F + c für c ∈ R.



BeweisEs sei G eine weitere Stammfunktion von f , so dass F − G ∈ C([a, b]) mit (F − G)′(t) =0 ∀t ∈ (a, b). Es sei c ∈ (a, b], dann ∃c∗ ∈ (a, c) mit

= (F −G)′(c∗) =(F −G)(c)− (F −G)(a)

c− a

Also

F −G = (F −G)(a)

G(t) = F (t) + (G− F )(a)

�

Satz 1.25 (Hauptsatz der Differentiation und Integration)f : (a, b)→ R, besitze in [a, b] eine Stammfunktion. Dann gilt∫ b

af(t) dt = F (b)− F (a)

falls f ∈ C(I). Falls f nicht /∈ C(I), dann definiert die rechte Seite das Integral.

BeispielI = [0, 1]

a)

∫ 1

0tn dt =

[tn+1

n+ 1

]10

=1

n+ 1

Satz 1.26 (Partielle Integration)Es seine f, g ∈ (a, b)→ R Funktionen mit Stammfunktionen. F,G ∈ C[a, b]. Dann ist∫ b

a(fG(t) + Fg(t)) dt = [FG]ba

BeweisEs gilt:∫ b

a(fG(t) + Fg(t)) dt = [FG]ba

=

∫ b

a(F ′G(t) + FG′(t)) dt

=

∫ b

a(FG)′(t) dt

�



Satz 1.27 (Folgerung)Es gilt unter den Voraussetzungen des vorigen Satzes∫ b

aF ′G(t) dt = [FG]ba −

∫ b

aFG′(t) dt

BeispielSei F (t) = cos t, G(t) = et∫ b

acos t · et dt =

[sin t · et

]ba

+ +

∫ b

a(− sin t) · et dt

=[sin t · et

]ba

+[cos t · et

]ba−∫ b

acos t · et dt

⇒∫ b

acos t · et =

1

2((sin b+ cos b)eb − (sin a+ cos a)ea)

Satz 1.28 (Substitutionsregel)Es seien F Stammfunktion von f in [a, b], G Stammfunktion von g in [F (a), F (b)] (wennF (a) < F (b)). Dann gilt:

(G ◦ F )′(t) = g(F (t))f(t) , d.h.∫ b

ag(f(t))F ′(t) dt︸︷︷︸g(F (t)︸︷︷︸

=u

)dF (t)︸︷︷︸=u

= [F ◦G]ba

Beispiel (1)Wir betrachten:∫ b

ag( αt+ β︸︷︷︸

=F (t)⇒F ′(t)=α

) dt =1

α

∫ b

ag(F (t))F ′(t) dt

mit

u = F (t)

= αt+ β , αa+ β = a′ ≤ a ≤ b′ = αb+ β

du = F ′(t) dt

folgt

=1

α

∫ b′

a′g(u) du =

1

α[G]

F (b)F (a) =

1

α[G ◦ F ]ba



Beispiel (2)Wir betrachten:∫ b

a

f ′(t)

f(t)dt

Sei f(t)>0 in [a, b] und stetig. Sei g(u) = 1u ⇒ g(F (t)) = 1

t und G(u) = log u, u = f(t),f(n) ≤ n ≤ f(b), wenn f(t) > 0 folgt dn-f’(t) dt=F’(t) dt. So folgt:

⇒∫ b

a

F ′(t)

F (t)dt =

∫ b

ag(F (t))F ′(t) dt

=

∫ f(b)

f(a)g(u) du = [log f ]ba

Satz 1.29 (Folgerung)Es sei g eine Funktion in (a′, b′) mit der Stammfunktion G und es seien dann φ, ψ : (a, b)→(a′, b′) differenzierbar. Dann gilt

I(x) : =

∫ ψ(x)

φ(x)f(t) dt

ist differenzierbar mit

I ′(x) =d

dx(G(ψ(x))−G(φ(x)))

= g(ψ(x))ψ′(x)− g(φ(x))φ′(x)



1.3 Die Trapezregel

Satz 1.30 (Trapezregel)Es sei f ∈ C2[a, b]. Dann gilt∣∣∣∣∫ b

af(t) dt− (b− a)

4

(f(a) + 2f

(a+ b

2

)+ f(b)

)∣∣∣∣ ≤ (b− a)2

48supt∈(a,b)

|f ′′(b)|

BeweisZum Beweis machen wir mehrere Schritte.Schritt 1: Spezialfall a = 0, b = 1.Dann beweisen wir:∣∣∣∣∫ 1

0f(t) dt− 1

2(f(0) + f(1))

∣∣∣∣ ≤ 1

12supt∈(0,1)

|f ′′(t)|

Setze g(t) = 12 t(1− t) und berechne

∣∣∣∣∫ 1

0g(t)f ′′(t) dt

∣∣∣∣Fund. Ungl.︷︸︸︷≤ 1

8supt∈(0,1)

|f ′′(t)|∫ 1

0g(t)f ′′(t) dt =

[1

2t(1− t)f ′(t)

]10︸︷︷︸

=0

−∫ 1

0

1

2(1− t− t)f ′(t) dt

=

[−1

2(1− 2t)f(t)

]10

−∫ 1

0f(t) dt

=1

2f(1) +

1

2f(0)−

∫ 1

0f(t) dt

= −(∫ 1

0f(t) dt− 1

2(f(0) + f(1))

)Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung existiert ein t∗ ∈ [0, 1]), so dass∫ 1

0g(t)f ′′(t) dt = f ′′(t∗)∫ 1

0

1

2(t− t2) dt = f ′′(t∗)

(1

4− 1

6

)=f ′′(t∗)

12

Schritt 2: Betrachte [a, b] beliebig und setze φ(t) = a+ t(b−a), t ∈ [0, 1], d. h. φ : [0, 1]→[a, b] ist streng monoton und unendlich oft differenzierbar stetig f ∈ C2[a, b] ⇒ f ◦ φ ∈



C2[0, 1], also ∣∣∣∣∫ 1

0f ◦ φ(t) dt− 1

2(f(a) + f(b))

∣∣∣∣ ≤ 1

2supt∈(0,1)

|(f ◦ φ)′′(t)|∫ 1

0f(a+ t(b− a)︸︷︷︸

=u

) dt =

∫ b

af(u)(b− a)−1 du

(f ◦ φ)′′(t) = f ′′(a+ t(b− a))(b− a)2

du = (b− a) dt , dt =1

(b− a)du

⇒ d

dtf(a+ t(b− a))− f ′(a+ t(b− a))(b− a)

∣∣∣∣ 1

(b− a)

∫ b

af(t) dt− 1

2(f(a) + f(b))

∣∣∣∣ ≤ 1

12supt∈(a,b)

|f ′′(t)|(b− a)2

oder ∣∣∣∣∫ b


2(f(a) + f(b))

∣∣∣∣ ≤ (b− a)3

12supt∈(a,b)

|f ′′(t)|

Schritt 3:Wir betrachten die Menge und das Intervall Ii: a︸︷︷︸

=a0

, a+b− an· a+

1

n(b− a), ..., a+

a

n(b− a)︸︷︷︸=b

Ii = (a+

i− 1

n(b− a), a+

i

n(b− a))

Es folgt∣∣∣∣∣∫ a1

ai−1

f(t) dt− (b− a)

2n(f(ai−1) + f(ai))

∣∣∣∣∣ ≤ (b− a)3

12n3sup

t∈(ai−1,ai)|f ′′(t)| dt

≤ (b− a)3

12n3supt∈(a,b)

|f ′′(t)|



Es folgt∣∣∣∣∫ b


n

(f(a) + 2f(a+

(b− a)

n) + ...+ 2f(a+

n− 1

n(b− a)) + f(b)

)∣∣∣∣≤ (b− a)3

12n2supt∈(a,b)

|f ′′(t)|


2 Differentialrechnung im Rm


2.1 Geometrie und Algebra des Rm

Bemerkung (Was im R1)Bisher galt:

a+ b

a · ba < b⇒ sup, inf

|a− b| := max{a− b, b− a}

Aus dem Vollständigkeitsaxiom folgte, dass jede Cauchyfolge CF (xn) konvergiert.

Bemerkung (Was ist der Rm)

Rm = R′ × ...× R′︸︷︷︸m−mal

= ×mi=1R′

Sei E ein endlich dimensionaler R-Vektorraum.

E × E 3 (x1, x2) 7→ x1 + x2 ∈ ER× E 3 (α, x) 7→ αx ∈ E

α(x1 + x2) = αx1 + αx2

−x : = (−1) · x⇒ x+ (−x) = (x− x) = (1 + (−1))x = 0

⇒ E ist abelsche Gruppe bezüglich der Addition.Erzeugendensystem ζ:

ζ = (xi)Ni=1

E =< xi >Ni=1

Die Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

SatzDie Kardinalität einer Basis ist unabhängig von der Konstruktion; sie heißt die Dimension.



Bemerkung

Rm = {x = (x1, ..., xm); x1 ∈ R∀i}x+ y := (x1 + y1, ..., xm + ym)

αx := (αx1, ..., αxm)

Satz 2.1 (Descartes)Rm ist ein R-Vektorraum der Dimensionmi. Eine Basis ist gegeben durch ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) =(δji )

mj=1, i = 1, ...,m, sodass x =

∑mi=1 x

iei(= xei), für xi ∈ R.Das ist die Stantardbasis.

BemerkungIst (yi)

mj=1 eine Basis, d.h.

x =m∑j=1

ajyj , (aj) = (aj(x))

mit eindeutig bestimmtem aj ∈ R. Dann schreiben wir

yj =

m∑i=1

bijei

⇒ x =

m∑j=1

ajm∑i=1

bijei =

m∑i=1

m∑j=1

biaj

︸︷︷︸

=xi

ei

Also:

x = Ba , B = (bij)

x1 = b11a1 + ...+ b1mam

...

xm = bm1 a1 + ...+ bmma

m

Für einen Koordinatenwechsel muss B invertierbar sein ⇔ detB 6= 0.

detB =∑δ∈sm

(sgn δ)b1δ(1) · b2δ(2) · ... · b

mδ(m)

FeststellungFür m ≥ 2 besitzt Rm keine Anordnung „x < y“,die dieselben Eigenschaften hat, wie dieAnordnung von R.



ErinnerungEine Folge (xn)konvergiert ⇔ |xn − xm| < ε ∀n,m ≥ n(ε).

Definition 2.2Für den Abstand von P und Q in R2 gelte:

‖P −O‖2R2 = x′(P )2 + x2(P 2)

Abbildung 4: Abstand im R2

Allgemein definieren wir eine Abstandsfunktion im Rm, wie folgt:

||x− y||Rm :=

√√√√ m∑i=1

(xi − yi)2

Standardabstand

Satz 2.3 (Abstandseigenschaften)Es sei:

1. Reflexivität||x− y||Rm ≥ 0 und ||x− y||Rm = 0 ⇔ x = y.

2. Symmetrie||x− y||Rm = ||y − x||Rm

3. Dreiecksungleichung||x− z||Rm ≤ ||x− y︸︷︷︸

=v

||Rm + || y − z︸︷︷︸=w

||Rm

4. ||αx||Rm = |α|||x||Rm , α ∈ R.



Beweis (von Satz 2.3.3)zu zeigen:

||v + w|| ≤ ||v||+ ||w||⇔ ||v + w||2 ≤ ||v||2 + ||w||2 + 2||v||||w||

Mit 2.4 ergibt sich

< v + x, v + w > =< v, v > + < v,w > + < w, v > + < w,w >

= ||v||2 + ||w||2 + 2 < v,w >

also gilt:

⇔< v,w > ≤ ||v|| · ||w||⇔ | < v,w > | ≤ ||v|| · ||w||

Definition 2.4Wir definieren das Skalarprodukt von v, w ∈ Rm durch

< v,w >Rm =

m∑i=1

viwi

Das heißt, die Abbildung

Rm × Rm, (v, w) 7→< v,w >Rm∈ R

ist linear.

Bemerkung (Norm)Es sei

||v||Rm = (die Norm von V )2

Satz 2.5 (Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung)Für x, y ∈ Rm ist

| < x, y >Rm | ≤ ||x||Rm ||y||Rm

BeweisBetrachte für t ∈ R

0 = ‖x+ ty‖2 =< x+ ty, x+ ty >

= ‖x‖2 + t2‖y‖2 + 2t < x, y >



1. Fall: ‖y‖ = 0⇒ y = 0, < x, y >= 0⇒ Behauptung

2. Fall: y 6= 0⇒ ‖y‖ > 0⇒ 0 ≤ t2 + ‖x‖2‖y‖2 + 2t<x,y>‖y‖2

⇒ 0 ≤(t+

< x, y >

‖y‖2

)2

+‖x‖2

‖y‖2− < x, y >2

‖y‖4, t = −< x, y >

‖y‖2

⇒< x, y >2 ≤ ‖x‖2‖y‖2

⇒ | < x, y > | ≤ ‖x‖‖y‖

�

BemerkungEine Menge X mit einer Abbildung

dx : X ×X 7→ R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}

heißt metrischer Raum ⇔ für dx gelten die Axiome (Hilfssatz 2.3) (wenn ||x − y|| =dRm(x, y) gesetzt wird.)

Definition 2.6 (Konvergenz)Eine Folge (xn)n∈N ⊂ Rm heißt konvergent gegen x ∈ Rm

⇔ ∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N : ||x− xn|| < ε ,∀n ≥ n(ε)

(xn)n∈N heißt Cauchy-Folge (CF), wenn

⇔ ∀ε > 0 ,∃n(ε) ∈ N : ‖xn − xm‖ < ε ,∀n,m ≥ n(ε)

Definition 2.7Eine Folge (xn)n∈N ⊂ Rm heißt

• divergent ⇔ (xn)n∈N keinen Grenzwert.

• beschränkt ⇔ ∃C > 0 : ‖xn‖ ≤ C ∀n

Satz 2.8 (Hilfssatz)Es sei (xn)n∈N ⊂ Rm eine Folge. Dann gilt:

1. (xn)n∈N ist beschränkt ⇔ (xjn)n∈N ist beschrämkt für alle j = 1, ...,m.

2. ... konvergent ⇔ ... konvergent

3. ... Cauchyfolge ⇔ ... Cauchyfolge

BeweisSei x ∈ Rm.

‖xn − x‖2 =u mmj=1|xjn − xj |2 ≥ |xj0n − xj0 |2 ∀j0 ⊂ {1, ...,m}



1. x = 0,

2. x = Grenzwert

3. x = xl

�

Folgerung 2.9Wir betrachten

1. (xn)n∈N konvergent ⇒ (xn)n∈N ist beschränkt

2. (xn) ist konvergent ⇒ (xn) ist Cauchyfolge.

3. (xn)n∈N hat höchstens einen Grenzwert.

BeweisWir beweisen

1. Zu ε = 1 ∃n(1) ∈ N .

‖xn − xn(1)‖ < 1 für n ≥ n(1)

⇒ ‖xn‖ ≤ ‖xn − xn(1)‖+ ‖xn(1)‖≤ 1 + ‖xn(1)‖ für n ≥ n(1)

⇒ ‖xn‖ ≤ 1 + ‖xn(1)‖+ maxj={1,...,n(1)−1

‖xj‖

2. (xn)n∈N konvergent, ε > 0⇒ ∃n(ε/2).

‖xn − x‖ <ε

2für n ≥ n(ε/2)⇒ ‖xn − xl‖

≤ ‖xn − x‖+ ‖xl − x‖ < ε

wenn n, l ≥ n(ε/2).

3. a) 1. Fall: (xn) hat keinen Grenzwert ⇒ (xn)n∈N ist divergent.

b) 2. Fall: (xn)n∈N ist konvergent mit dem Grenzwert x.

c) 3. Fall: Annahme: (xn) hat die verschiedenen Grenzwerte x und x′: ‖x−x′‖ =: ε0.Es gibt ein n(ε0), sodass ‖xn − x‖ < ε0/2

‖xn − x′‖/ < ε0/2

⇒ ‖xn − x′‖ = ‖xn − x+ x− x′‖≥ ‖x− x′‖ − ‖xn − x‖ > ε0 − ε0/2 = ε0/2

Widerspruch zur Annahme!

�



Satz 2.10Jede Cauchy-Folge im Rm ist konvergent.

BeweisFolgt aus dem Satz 2.8. �

Satz 2.11(xn), (yn) seien konvergent mit dem Grenzwert x bzw. y. Dann gilt:

1. Für λ, µ ∈ R ist (λxn + µyn) konvergiert mit dem Grenzwert λx+ µy.

2. < xn, yn > konvergiert gegen < x, y >.

BeweisWir beweisen

1.

‖λxn + µyn − λx− µy‖ ≤ ‖λ(xn − x)‖+ ‖µ(yn − y)‖≤ |λ|‖xn − x‖+ |µ|‖yn − y‖ < (|λ|+ |µ|)ε

für n ≥ max{nx(ε), ny(ε)}.

2.

| < xn, yn > − < x, y > | = | < xn − x, yn > + < x, yn − y > |≤ ‖xn − x‖‖yn‖+ ‖x‖‖yn − y‖≤ Cyε+ ‖x‖ε

für n ≥ max{nx(ε), ny(ε)}

�

2.2 Offene und abgeschlossene Mengen

Definition 2.12Für r > 0 und x ∈ Rm setzen wir

Br(x) = {y ∈ Rm : ‖x− y‖ < r}

und nennen dies die offene Kugel (Ball) um x vom Radius r.



))

Abbildung 5: offene Kugel (Ball) im R1 bzw. R2

Definition 2.13Eine Teilmenge 0 ⊂ Rm heißt offen ⇔ ∀x ∈ 0 ∃r = rx : Brx(x) ⊂ 0.Eine Teilmenge a ⊂ Rm heißt abgeschlossen ⇔ Rm \A =: CRmA ist offen.

BeispielWir betrachten

1. Rm ist offen. Rm \ Rm = ∅ ist abgeschlossen.

2. Br(x) := {y ∈ Rm : ‖y − x‖ ≤ r} ist abgeschlossen, denn

Rm \Br(x) = {y ∈ Rm : ‖y − x‖ > r}

Hilfssatz 2.14Es gilt

1. Jede Vereinigung von offenen Mengen ist offen, jeder endliche Durchschnitt von offenenMengen ist offen.

2. Jeder Durchschnitt von abgeschlossen Mengen ist abgeschlossen, jede endliche Verei-nigung von abgeschlossenen ist abgeschlossen.

BeweisWir beweisen

1. Sei (Oα), A eine beliebige Indexmenge, Oα ⊂ Rm offen ∀α ∈ A. Setze O =⋃α∈AOα,

wähle x ∈ O ⇒ ∃α : x ∈ Oα ⇒ ∃rx > 0 : Brx(x) ⊂ Oα ⊂ O.



Sei (Oi)ki=1 offen, O =

⋂i=1Oi, x ∈ O ⇒ ∃rx,i > 0 : Brx,i(x) ⊂ Oi

⇒⋂i

Brx,i(x) = B(x) ⊂ Oi ∀i

⇒ Brx(x) ⊂⋂i

Oi = O

�

Definition 2.15Wir definieren

1. X := das Innere von X, X :=⋃iOi (O offen, O = X).

x ∈ X heißt innerer Punkt von X.

2. X := der Abschluss von X, X :=⋂iAi (A abgeschlossen, A > X).

BemerkungGegeben sei X ⊂ Rm beliebig. Dann erhalten wir eine Zerlegung von Rm, wie folgt:

Rm := X ∪ (Rm \X) ∪ ∂X

Definition 2.16∂X heißt der Rand von X.

BeispielBr(x) = Br(x) ∪ Sr(x), Sr(x) := {y ∈ Rm : ‖y − x‖ = r} ist abgeschlossen.Sr(x) = ∂Br(x)

Disskussion∅ ist abgeschlossen, aber auch offen. ⇒ Rm ist offen und abgeschlossen.

Satz 2.17Ist X ⊂ Rm offen und abgeschlossen, dann ist X = Rm oder X = ∅.

BeweisSei X offen und abgeschlossen, o. B. d. A. X,Rm \X 6= ∅. Wähle x ∈ X, y ∈ Rm \X undbetrachte

c : [0, 1] 3 t 7→ (1− t)x+ ty ∈ Rm

⇒ c(0) = x, c(r) = y



Dann ist t0 = inf{t ∈ [0, 1], c(t) ∈ Rm \X} > 0.

1. Fall: c(t0) ∈ X ⇒ Widerspruch, weil X offen ist.

2. Fall: c(t0) ∈ Rm \X ⇒ Widerspruch weil Rm \X offen ist.

�

Bemerkung (offene und abgeschlossene Teilmengen im Rm)Sei X ⊂ Rm.

Abbildung 6: Der Rm dargestellt in disjunkten Vereinigungen.

Hilfssatz 2.18x ∈ Rm ist ein Randpunkt von X ⇔ x ∈ ∂X ⇔ ∀ε > 0:

Bε(x) ∩X 6= ∅ ∧Bε(x) ∩ Rm \X 6= ∅

BeweisSei x ∈ X und ε > 0. Wäre Bε(x) ∩ Rm \X = ∅⇒ x ∈ X ⇒ Widerspruch.Analog folgt x ∈ Rm \X. �

Hilfssatz 2.19∂ = ∂(Rm \X)

Hilfssatz 2.20X = X t ∂X



BeweisZu zeigen ist:

1. X t ∂X ⊂ X

2. X t ∂X ⊃ X

ad 2: Ist klar, weil X t ∂X abgeschlossen ist.ad 1: Sei A abgeschlossen mit A ⊃ X und X ∪ ∂X 6⊃ A. Das heißt, es existiert ein y ∈ ∂Xmit y 6∈ A ⇒ y 6∈ X. Daraus folgt, dass y ∈ Rm \X ∩ Rm \ A. Damit ist y in der offenenTeilmenge von ˚(Rm \A). Damit folgt:⇒ ∃ε > 0 : Bε(y) ⊂ Rm \X ⇒ Widerspruch zu (2.18). �

Definition 2.21x heißt Häufungspunkt von X, genau dann, wenn

∀ ε > 0 : Bε(x) \ {x} ∧ x 6= ∅ ⇒ Bε(x) \ {x}

und enthält dabein unendlich viele verschiedene Punkte von X für jedes ε > 0.

DisskussionWir betrachten

X = X t ∂x ∧ xX = X t ∂x

Zunächst ist jeder innere Punkt von X ein Häufungspunkt.Sei x ∈ ∂X und kein Häufungspunkt von X, d.h.

∃ε > 0 : Bε(x) \ {x} ∧X = ∅⇒Bε(x) \ {x} ⊂ Rm \X

Definition 2.22x ∈ X heißt isolierter Punkt

⇔ ∃ε > 0 : Bε(x) \ {x} ⊂ Rm \X

Folgerung 2.23Randpunkte in X sind entweder isolierte Punkte oder Häufungspunkte. Randpunkte in (Rm \X) ∧ ∂X sind Häufungspunkte nach (2.18). Innere Punkte von Rm \X können keine Häu-fungspunkte sein.

Hilfssatz 2.24X ist genau dann abgeschlossen, wenn X alle Häufungspunkte enthält.

BeweisÜbungsaufgabe �



Hilfssatz 2.25x ∈ Rm ist genau dann Häufungspunkt von X, wenn es eine Folge (xn) ⊂ X \ {x} gibt mitlimm→∞ xm = x.

BeweisÜbungsaufgabe �

2.3 Stetige Abbildungen

Im Folgenden betrachten wir Abbildungen der Form

f : Rm ⊃X → Rn

x 7→ f(x)

Definition 2.26Es sei x ein Häufungspunkt von X. Dann besitzt f in x den Grenzwert y ∈ Rn ⇔ ∀(xn) ⊂X \ {x} mit limn→∞xn = x gilt limn→∞ f(x) = y.

Definition 2.27f : Rm ⊃ X → Rn heißt genau dann stetig in x0 ∈ X, wenn

limn→∞

f(xn) = f(x)

für jede Folge (xn) ⊂ X \ {x} mit limn→∞ xn = Xi.oderf heißt stetig in X ⇔ f stetig in jedem x ∈ Xi.

BemerkungWir bemerken:

1. Ist x ein isolierter Punkt von X ⇒ f ist stetig in X.

2. Ist x0 ein Häufungspunkt von X, so ist f stetig in x0 ⇔ zu jedem ε > 0 gibt es einδ > 0, δ = δ(x0), so dass

‖f(x0)− f(x)‖ < ε , ∀ 0 < ‖x− x0‖ < δ

3. f ist stetig in X ⇔ ∀x0 Häufungspunkte von X gilt

‖f(x0)− f(x)‖ < ε für 0 < ‖x− x0‖ < δ für ein δ − δf (ε, x0)

Definition 2.28Eine steitge Funktion f : Rm ⊃ X → Rn heißt in X gleichmäßig stetig, wenn δf (ε, x0)unabhängig von x0 gewählt werden kann.

Satz 2.29Sei f : Rm ⊃ X → Rn, f(x) = (f1(x), ..., fn(x)). Dann gilt



1. f besitzt im Häufungspunkt x0 von X den Grenzwert y ∈ Rn genu dann, wenn f i indiesem Häufungspunkt von X den Grenzwert y2 besitzt.

2. f ist stetig in x0 ∈ X ⇔ f istetig in x0/∀i.

BeweisEinfache Folgerung der Definition und der Äquivalenz von Konvergenz von (xn) und (xin)∀ i.

Hilfssatz 2.30Es seien f, g : X → Rn.Dann gilt für (αf + βg)(x) = αf(x) + βg(x), αf + βg : X → Rn

1. Besitzen f und g in x0 die Grenzwerte yf und yg, so besitzt αf + βg den Grenzwertαyf + βyg.

2. Sind f und g stetig in x0 ∈ X, so auch αf + βg mit dem Wert αf(x0) + βg(x0).

BeweisAnalog zu dem Beweis zu dem Satz (2.29).

BemerkungSei f steitg in x0 ind g stetig in y0 = f(x0).Ist dann ebenso die Komposition g ◦ f stetig in x0?

g ist stetig in y0 ⇔ g(yn)→ g(y0) ∀ (yn) ⊂ Y \ y0f ist stetig in x0 ⇔ f(xn)→ f(x0) ∀ (xn) ⊂ X \ x0⇒ g ◦ f(x0)→ g ◦ f(x0) = g(x0)⇒ g(f(xn)) durch yn → y0 + yn 6= y0

Satz 2.31Ist f : Rn ⊃ X → y ⊂ Rn stetig in x0 > g, Rn > y → Rl in y0 = f(x0) stetig ⇒ g ◦ f istin x0 stetig.

Definition 2.32Eine stetige Abbildung C : [0, 1] → Rm heißt ein Weg in Rm. Der Punkt C(0) heißtAnfangspunkt, der Punkt C(1) heißt Endpunkt von C.

Definition 2.33X ⊂ Rn heißt unzusammenhängend, wenn je zwei Punkte x0, x1 ∈ X durch einen Weg Cverbunden werden können: x0 = C(0), x1 = C(1).

Bemerkung (Stetige Funktionen)Rm ⊃ U 3 x 7→ f(x) ∈ Rnf(x) = (f1(x), ..., fn(x)); x = (x1, ..., xn)f ist genau dann stetig in x0 ∈ U , wenn limx→x0 f(x) = f(x0) für jede Folge (xn) ⊂ U .



xn 6= x0∀n, mit xn → x0 gilt

limn→∞

f(xn) = f(x0)⇔ ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε, x0) :

|f(x)− f(x0)| < ε ∀x ∈ U mit |x− x0| < δ

⇒ Drei Definitionen⇒ f ist stetig in U ⇔ f stetig in x0 ∈ U ∀x0.f ist gleichmäßig stetig in U ⇔ |f(x) − f(x0)| < ε ∀x, x0 ∈ U |x − x0| < δ(ε) → nichtvon x0 abhängig.

Definition 2.34Wir definieren:

C(U,Rn) = {f : U → R, f stetig in U}

BemerkungC(U,Rn ist ein R-Vektorraum unter den Verknüpfungen

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)

(a · f)(x) = a · f(x)

f1, f2 ∈ C(U,Rn, a ∈ R, x ∈ U

EigenschaftenWir halten fest:

1. f ∈ C(u,Rn)⇔ f i : U → R stetig ∀i

2. f : U → V ⊂ Rn, g : V → RC⇒ g ◦ f : U → RC ist stetig in U , wenn f und g jeweils stetig sind.

BeispielWir betrachten:

1. f(x) = c ∈ Rn ∀x ∈ U ⇒ f ist konstant und damit stetig.

2. f : U → Rn ist linear, d.h. f ist eine m×n Matrix bezüglich der Standardbasen, denn

f i(x)− f i(x0) =

n∑j=1

f ij(xi − xi0) , i-te Zeile

= | < f i, x− x0 > |Cauchy-S.≤ ‖f i‖‖x− x0‖

3. Rm = Rm1 × Rm2 , /m1 +m2 = m, x = (x1, x2)Betrachte für x20 ∈ Rm die Abbildung ix20 = Rm1 3 x1 → (x1, x20) ∈ Rm. ix20 ist



linear und damit stetig, aber f : Rm → Rn ist stetig und ebenso Rm1 × Rm2 .

fx20 : Rm1 3 x1 7→ f(x1, x2) ∈ Rn ist stetig und ebenso

fx1 , denn fx20 = f ◦ ix20

Eigenschaften stetiger Funktionen

Satz 2.35 (Zwischenwertsatz)Es sei U ⊂ Rm ein zusammenhängender Weg, d.h. dass es zwischen zwei Punkten aus Ueinen Weg gibt, der genau in U liegt und f ∈ C(U,R), x0, x1 ∈ U mit f(x0) < f(x1). Dannist

[f(x0), f(xi)] ⊂ f(U)

BeweisDa U wegzusammenhängend ist, gibt es ein l ∈ C([0, 1], U) mit l(0) = x0, l(1) = x1. Dannist f ◦ l ∈ C([0, 1],R)⇒ und aus dem Zwischenwertsatz in R die Behauptung.

Abbildung 7: Schema zum Beweis des Zwischenwertsatzes im Rn

�

Definition 2.36Eine Menge K ⊂ Rn heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

BemerkungDann gibt es ein R > 0 mit K ⊂ BR(0), denn K ist beschränkt, genau dann wenn es einR′ > 0 gibt, sodass /V ertx‖ < R′ ∀x ∈ K.⇒ Dann hat K die Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft.⇒ Jede Folge (xn) ⊂ K besitzt eine konvergente Teilfolge.

Satz 2.37Sei K ⊂ Rm kompakt und f : K → R stetig.Dann besitzt f auf K ein Maximum und ein Minimum, d.h. es gibt x, x ∈ K mit f(x) ≤f(x) ≤ f(x). Insbesondere f ist beschränkt.



BeweisSei f := supx∈K f(x).Dann gibt es eine Folge (xn) ⊂ K mit limn→∞ f(x1) = f .Wegen der Kompaktheit besitzt(xn) in K eine konvergente Teilfolge (xnl) mit liml→infty xnl = x. Dann gilt

limn→∞

f(xnl) = supx∈K

f(x)stetig= f(x).

Für f = infx∈K f(x) betrachte die Funktion f . �

Satz 2.38Sei K ⊂ Rm, f ∈ C(K,R).Dann ist f auf C gleichmäßig stetig.

BeweisAnnahme: die Behauptung sei falsch. Dann gilt

¬(∀ε > 0 ∃δ = δ(c) > 0 : x1, x2 ∈ K, ‖x1 − x2‖ < δ ⇒ ‖f(x1)− f(x2)‖ < ε)

→ ∃ε0 > 0 ¬(∃δ > 0 : x1, x2 ∈ K, ‖x1 − x2‖ < δ ⇒ ‖f(x1)− f(x2)‖ < ε0)

→ ∃ε0 > 0 ∀δ > 0 ¬(‖x1 − x2‖ < δ ∧ ‖f(x1)− f(x2)‖ > ε0 > 0)

→ ∃ε0 > 0 ∀δ > 0 : ∃x1, x2 ∈ K : ‖x1 − x2‖ < δ ∧ ‖f(x1)− f(x2)‖ > ε0 > 0

O.B.d.A ist f(xn) konvergent in K mit Grenzwert x0.

⇒ limn→∞

x2n = x0 ⇒ |f(x1n)− f(x2n)| ≤ |f(x1n)− f(x0)|+ |f(x2n)− f(x0)| < ε0

für |G− x0| < δ( ε02 , x0).Nach der Stetigkeit folgt damit der Widerspruch zur Annahme, da wir alle ε0 aus δ( ε02 , x0)bekommen, und damit die Behauptung. �

2.4 Die Länge einer Kurve

BemerkungEs sei l : I = [0, 1)→ Rn ein Weg, d.h. l ∈ C(I,Rn).


1. Ein Weg l ∈ C(i,Rn) heißt in t0 ∈ I differenzierbar ⇔ jedes li in t0 differenzierbar ist.

2. l′(t) := (l′1(t), ..., l′n(t)) heißt der Geschwindigkeitsvektor des Weges l in t, falls l in

t differenzierbar ist.

3. Sei C in I differenzierbar und c′(t) 6= 0 ∀t ∈ I, dann heißt l regulär.




1. C : [0, 2π]→ R2, a, b > 0c(t) := (a cos t, b sin t) ∈ R2

Abbildung 8: c(t) := (a cos t, b sin t) ∈ R2

Kurve (c) = Ellipse = {(x, y) ∈ R2|x2a2

+ y2

b2= 1}

Spezialfall: a = b⇒ Kurve ist Kreis mit dem Radius a.

2. c : R → R2, c(t) = (t2, t3) = (x, f(x)) ∈ R3. c ist stetig differenzierbar, also c(t) =(2t, 3t2).

Abbildung 9: c(t) = (t2, t3) ∈ R2

Trotzdem hat die Kurve (c) eine „Spitze“ in t = 0. c ist in t = 0 nicht regulär, dac(0) = (0, 0). Die Kurve wird Neil’sche Parabel genannt.



3. c : R→ R3, r, h > 0 c(t) = {r cos t, r sin t, ht} ∈ R3.

Abbildung 10: c(t) = {r cos t, r sin t, ht} ∈ R3

Weiterhin folgt:

c(t) = (−r sin t, r cos t, h)

‖c(t)‖ =√r2 sin2 t+ r2 cos2 t+ h2

=√r2 + h2 ⇒ konstante Geschwindigkeit

c heißt Schraubenlinie.



4. Parametrierte Graphen: f : [a, b]→ R, c : [a, b] 7→ (t.f(t))R2

Abbildung 11: c : [a, b] 7→ (t.f(t))R2

Ist differenzierbar, falls f differenzierbar ist.Falls f differenzierbar ist, dann gilt:

‖c(t)‖ =∣∣|(1, f ′(t))|∣∣ =

√1 + [f ′(t)]2



Definition 2.40Sei c : [a, b]→ Rn ein Weg.

1. Ist Z = {a = t0 < t1 < ... < tk = b} eine Zerlegung von [a, b], so ist

LZ(c) =

k∑j=1

||c(tj)− c(tj−1)||

die Länge des Polygonzuges durch c(t0), c(t1), ..., c(tk).

Abbildung 12

2. c heißt rektifizierbar, wenn

supZ{LZ(c)} <∞ .

In diesem Fall heißt L(c) := supZ LZ(c) die Länge von c.

BemerkungWir bemerken:

1. Ist Z∗ ⊃ Z eine Verfeinerung von Z, so gilt:

LZ∗(c) ≥ LZ(0) .

2. Ist c : [a, b]→ Rn rektifizierbar, so ist auch c|[t1,t2] für a ≤ t1 ≤ t2 ≤ b rektifizierbar.

3. Ist c : [a, b]→ Rn rektifizierbar und a < t < b, so ist

L(c) = L(c[a,t]) + L(c[t,b]) .

Lemma 2.41 (kontinuierliche Dreiecksungleichung)Ist c : [a, b]→ Rn stetig differenzierbar, so gilt:

‖c(b)− c(a)‖ ≤∫ b

a‖c′(t)‖ dt .



BeweisNebenrechnung 1:Sei γ[a, b]→ Rn integrierbar.

⇒ ‖∫ b

aγ(t) dt‖ ≤

∫ b

a‖γ(t)‖ dt

Fall 1:linke Seite ist identisch 0 ⇒ 0 ≤

∫ ba ‖γ(t)‖︸︷︷︸

≥0

dt X

Fall 2:linke Seite ist ungleich 0

‖∫ b

aγ(t) dt‖ =<

∫ b

aγ(t) dt,

∫ b

aγ(t′) dt′ >

<·,·>bilinear=

∫ b

a< γ(t),

∫ b

aγ(t′) dt′ > dt

C.-S.-Ungl.≤

∫ b

a‖γ(t)‖ · ‖

∫ b

aγ(t′) dt′‖ dt , teile durch ‖

∫ b

aγ(t′) dt′‖

⇒ ‖∫ b

aγ(t) dt‖ ≤

∫ b

a‖γ(t)‖ dt

Nebenrechnung 2:

c(b)− c(a) =

c1(b)...cn(b)

−c1(a)

...cn(a)

=

c1(b)− c1(a)...

cn(b)− cn(a)

, mit HS der Diff.- und Int.-Rechnung folgt

=

∫ ba c′1(t) dt...∫ b

a c′n(t) dt

=

∫ b

ac′(t) dt

Damit folgt:

⇒ ‖c(b)− c(a)‖ NR. 2= ‖

∫ b

ac′(t) dt‖

NR. 1≤∫ b

a‖c′(t)‖ dt

�

Satz 2.42Ist c[a, b] ∈ R→ Rn stetig differenzierbar, so ist c rektifizierbar und es gilt:

L(c) =

∫ b

a‖c′(t)‖ dt



BeweisSei Z = {a = t1 < t1 < ... < tk = b} beliebig

⇒ LZ(c) =

k∑i=1

‖c(ti)− c(ti−1)‖

≤k∑i=1

∫ t

ti−1

‖c′(t)‖ dt =

∫ b

a‖c′(t) dt

⇒ L(c) = supZLZ(c) ≤

∫ b

a‖c′(t)‖ dt ≤ ∞

Sei ε > 0. Wähle Z so, dass∣∣∣∣∣∫ b

a‖c′(t)‖ dt−

k∑i=1

‖c′(t)‖(ti − ti−1)

∣∣∣∣∣ ≤ ε

2(∗)

Das geht, da t→ ‖c′(t)‖ Riemannintegrierbar ist.Wähle Z auch so, dass∥∥∥∥c(ti)− c(ti−1)ti − ti−1

− c′(ti)∥∥∥∥ ≤ ε

2(b− a)

Das geht, da c stetig differenzierbar ist. Damit folgt:

⇒∣∣‖c(ti)− c(ti−1)‖ − ‖c′(ti)‖(ti − ti−1)∣∣ , mit der Dreiecksungleichung folgt

≤∥∥∥∥c(ti)− c(ti−1)ti − ti−1

− c′(ti)∥∥∥∥ (ti − ti−1)

≤ ti − ti−1b− a

ε

2(∗∗)

Es folgt:∫ b


k∑i=1

‖c(ti)− c(ti−1)‖︸︷︷︸LZ(c)

≤∫ b


k∑i=1

‖c′(ti)‖(ti − ti−1) +

k∑i=1

∣∣‖c′(ti)‖(ti − ti−1)− ‖c(ti)− c(ti−1)‖∣∣(∗),(∗∗)≤ ε

2+

k∑i=1

(ti − ti−1)b− a

ε

2=ε

2+b− ab− a

ε

2= ε



Damit folgt: Für alle ε > 0 existiert ein Z, sodass∫ b

a‖c′(t)‖ dt− ε ≤ LZ(c) ≤

∫ b

a‖c′(t)‖ dt

Also

⇒ L(c)− supZLZ(c) =

∫ b

a‖c′(t)‖ dt

�

Definition 2.43Sei c : [a, b]→ Rn stetig differenzierbar, [α, β] ∈ R ein Intervall und ϕ : J → I bijektiv undstetig differenzierbar. Dann heißt

c = c ◦ ϕ

eine Umparametrisierung.

Satz 2.44Ist c : [a, b]→ Rn stetig differenzierbar und c : [a, b]→ [a, b] eine Umparametrisierung von cdann gilt

L(c) = L(c) .

BeweisWir beweisen wie folgt

L(c)Satz 2.42

=

∫ b

a‖c′(t)‖ dt t=ϕ(s)=

∫ ϕ(b)

ϕ(a)‖c′(ϕ(s))‖ϕ′(s) ds

=

{a∫ βα ‖c

′(ϕ(s))ϕ′(s)‖ ds , ϕ streng monoton wachsend

a∫ βα −‖c

′(ϕ(s))ϕ′(s)‖ ds , ϕ streng monoton fallend

}Kettenr.

=

∫ β

α‖c′(s)‖ ds = L(c)

�

Bemerkung 2.45Der Satz 2.44 gilt ebenso für rektifizierbare Wege.



2.5 Differenzierbare Abbildungen

BemerkungSei im folgenden U ⊂ Rn offen.

Definition 2.46Sei f : U → Rm eine Abbildung und x0 ∈ U .

1. f heißt differenzierbar in x0, wenn es ein lineare Abbildung L : Rn → Rm gibt, sodass es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit

‖f(x)− f(x0)− L(x− x0)‖ < ε · ‖x− x0‖ ∀x ∈ U mit ‖x− x0‖ < δ

⇔ ‖f(x)− f(x0)− L(x− x0)‖‖x− x0‖

≤ ε ∀x ∈ U mit 0 < ‖x− x0‖ < δ

2. f heißt differenzierbar, genau dann, wenn f in jedem Punkt x0 ∈ U differenzierbarist.

Lemma 2.47Die lineare Abbildung L aus der der Definiton 2.46 ist, falls sie existiert, eindeutig bestimmtund heißt Differential zu f in x0.Bezeichnung: Df (x0)

BeweisSeien L und L∗ : Rn → Rm zwei lineare Abbildungen, die die Definition 2.46 erfüllen. Dannfolgt ∀ε > 0 ∃δ > 0, ∀x ∈ U mit ‖x− x0‖ < δ

‖(L− L∗)(x− x0)‖ = ‖(f(x)− f(x0)− L(x− x0)− (f(x)− f(x0)− L∗(x− x0))‖Dgl.≤ ‖f(x)− f(x0)− L(x− x0)‖+ f‖f(x)− f(x0)− L∗(x− x0)‖≤ ε‖x− x0‖+ ε‖x− x0‖ = 2ε‖x− x0‖ (∗)

Sei v ∈ Rn, mit ‖v‖ = 1:

( δ2 · v + x0)− x0‖( δ2 · v + x0)− x0‖

=δ2v

‖ δ2v‖=

δ2v

| δ2 |‖v‖= v



mit x := δ2v + x0 folgt:

‖x− x0‖ = ‖δ2v + x0 − x0‖ = |δ

2|‖v‖ =

δ

2< δ

(∗)⇒ ‖(L− L∗)v‖ ≤ 2ε ∀v ∈ Rm, ‖v‖ = 1

⇒ ‖L− L∗‖ ≤ 2ε ∀ε > 0 Norm von linearen Abbildungen⇒ ‖L− L∗‖ = 0

⇒ L− L∗ = 0

⇒ L = L∗


1. Ist F : Rn → Rn selbst eine lineare Abbildung, so ist F differenzierbar und DF (x0) =F ∀x0 ∈ Rn, denn

‖F (x)− F (x0)︸︷︷︸=F (x−x0)

−F (x− x0)‖ = 0 ∀x, x0 ∈ Rn

2. f : (a, b)→ R eine Funktion, so ist f in x0 ∈ (a, b) differenzierbar im alten Sinne undDf(x0) : R→ R ist die Multiplikation mit f ′(x0).

|f(x)− f(x0)− f ′(x0) · (x− x0)|0<|x−x0→0→ 0

⇔∣∣∣∣f(x)− f(x0)

x− x0− f ′(x0)

∣∣∣∣ 0<|x−x0→0→ 0

⇔ f(x)− f(x0)

x− x00<|x−x0→0→ f ′(x0)

Lemma 2.48Ist f : U → Rn in x0 ∈ U differenzierbar, so ist f in x0 stetig (sogar Lipschitzstetig).

BeweisSei ε > 0. Wähle δ wie in Definition 2.46. Dann gilt für alle 0 < ‖x− x0‖ < δ:

‖f(x)− f(x0)‖ ≤ ‖f(x)− f(x0)−Df(x0)(x− x0)‖+ ‖df(x0)(x− x0)‖ ‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖≤ ε‖x− x0‖+ ‖Df(x0)‖ · ‖x− x0‖= (ε+ ‖Df(x0)‖) · ‖x− x0‖≤ (1 + ‖Df(x0)‖) · δ

≤ ε ∀x ∈ U, ‖x− x0‖ ≤ min

{δ,

ε

‖Df(x0)‖+ 1

}



Satz 2.49 (Linearität)Sind f, g : U → Rm differenzierbar in x0 und sind λµ ∈ R, so ist λf + µg : U → Rmebenso differenzierbar in x0 und

D(λf + µg)(x0) = λ ·Df(x0) + µ ·Dg(x0)/.

BeweisWir beweisen:

⇒ ‖(λf + µg)(x)− (λf + µg)(x0)− [λDf(x0) + µDg(x0)](x− x0)‖= ‖λf(x)− λf(x0)− λDf(x0) + µg(x)− µg(x0)− µDg(x0)(x− x0)‖≤ |λ| · ‖f(x)− f(x0)−Df(x0)(x− x0)‖+ |µ| · ‖g(x)− g(x0)−Dg(x0)(x− x0)‖≤ |λ| · ε‖x− x0‖+ |µ| · ε‖x− x0‖≤ (|λ|+ |µ|) · ε‖x− x0‖ , ∀‖x− x0‖ < δ

Satz 2.50 (Kettenregel)Sei U ⊂ Rn offen, V ⊂ Rm offen, f : U → V differenzierbar in x0 ∈ U , g : V → Rldifferenzierbar in f(x0) ∈ V ⊂ Rm.Dann ist g ◦ f : U → Rl differenzierbar in x0 ∈ U und es gilt:

D(g ◦ f)(x0) = Dg(f(x0)) ◦Df(x0)

BeweisSei ε > 0. Da g differenzierbar in f(x0) ist, wählt man δ′ > 0, so dass δ′ ≤ ε

2 und

‖g(y)− g(f(x0))‖ −Dg(f(x0))(y − f(x0))‖ ≤ ‖y − f(x0)‖ ∀y ∈ V ∧ ‖y − f(x0)‖ < δ′

Da f differenzierbar in x0 ∈ U und Lipschitzstetig in x0 nach Lemma 2.48 ist, wählt man δso, dass

‖f(x)− f(x0)−Df(x0) · (x− x0)‖ ≤ε

2‖Dg(f(x0))‖· ‖x− x0‖

und

‖f(x)− f(x0)‖ ≤ δ′ · ‖x− x0‖ ∀x ∈ U ∧ ‖x− x0‖ ≤ δ



Dann folgt:

⇒ ‖g(f(x))− g(f(x0))−Dg(f(x0)) · [Df(x0) · (x− x0)]‖≤ ‖g(f(x))− g(f(x0))−Dg(f(x0)) · (f(x)− f(x0))‖

+ ‖Dg(f(x0))[f(x)− f(x0)−Df(x0) · (x− x0)]‖≤ ‖f(x)− f(x0)‖+ ‖Dg(f(x0))‖ · ‖f(x)− f(x0)−Df(x0)(x− x0)‖

≤ δ′‖x− x0‖+ ‖Dg(f(x0))‖ ·ε

2‖Dg(f(x0))‖· ‖x− x0‖

≤ ε

2‖x− x0‖+

ε

2‖x− x0‖ ∀x ∈ U , ‖x− x0‖ < δ

. �

Satz 2.51 (Reduktion auf Komponenten)Sei f : U → Rn eine Abbildung. f =: (f1, ..., fm) mit fi : U → R, i = 1, ...,m. Dann gilt:f ist in x0 genau dann differenzierbar, wenn jedes fi in x0 differenzierbar ist. In diesem Fallgilt:

Df(x0) = (Df1(x0), ..., Dfn(x0))

BemerkungInsbesondere gilt der Satz 2.51 für Kurven mit n = 1.

BeweisWir beweisen:

• „⇒“Df(x0) = (L1, ..., Lm) : Rn → Rm mit Li : Rn → R linear. Dann folgt:

⇒ |f(x)− fi(x0)− Li(x− x0)= |[f(x)− f(x0)−Df(x0)(x− x0)]i|≤ ‖f(x)− f(x0)−Df(x0)(x− x0)‖ε‖x− x0‖ ,∀‖x− x0‖ ≤ δ

• „⇐“Sei Li := Dfi(x0) für 1, ..., n. Setze L := (L1, ..., Lm) : Rn → Rm. Dann folgt:

‖f(x)− f(x0)− L(x− x0)‖ ≤n∑i=1

|fi(x)− fi(x0)− Li(x− x0)|

< m · ε‖x− x0‖ , ‖x− x0‖ < δ

. �



Bemerkung (Zusammenfassung)f ist genau dann differenzierbar in x0, wenn ein L existiert, mit L = L(f, x0) ∈ L(Rm,Rn).

f(x0 + h) = f(x0) + Lf (x0, h) +Rf (x0, h)

mit den Bedingungen:

1. ‖h‖ < ε und

2. ‖Rf (x0, h)‖ < ε‖h‖ für ‖h‖ < δ = δ(f, x0, ε) ≤ ε0.

Beispiel (Wichtig!)Ist ‖Rf (x0, h)‖ ≤ C‖h‖1+α, α > 0, dann ist die Bedingung erfüllt, denn für ‖h‖ < δ folgt:

⇒ ‖Rf‖ ≤ Cδ‖h‖

BemerkungDie Ableitung (das Differential) ist eindeutig bestimmt.

Lf (x0, h) = Lf (x0)(h) =: df(x0){h}

Abbildung 13: „Die Tangente approximiert am Besten.“

ErinnerungWir erinnern uns:

1. d ist linear, das heißt

d(a1f1 + a2f2)(x0) = a1df1(x0) + a2df2(x0)



2. ρ : V → Rl, f : U → Rnρ ist differenzierbar: f(x0) ∈ V ⇒ ρ ◦ f ist differenzierbar in x0 und es gilt

d(ρ ◦ f)(x0) = dρ(f(x0)) ◦ df(x0)

Satzf ist differenzierbar in x0 ⇔ f i ∀i differenzierbar in x0 ist.

FrageKann ich die Differenzierbarkeit in x0 auf die Differenzierbarkeit in xi0 reduzieren?

f(x0 + t · ei) = fi(x0, t)

Dann ist

f : U → R⇒ df(x0) ∈ L(Rn,Rm)

⇔ df(x0){h} =< ∇f(x0), h >

fi(x0, t) = f(x0 + ei)

= f(x0) + df(x0){tei}+Rf (x0, tei)

= f(x0) + t df(x0){ei}︸︷︷︸=<∇f(x0),ei>

⇒ ‖Rf (x0, tei)‖ ≤ ε · ‖ε‖ für |t| < δ

Satz 2.52Sei f : U → Rn differenzierbar in x0 ∈ U . Dann gilt:

fi(x0, t) : (εb, ε0) 3 t 7→ f(x0 + tei) ∈ R

ist differenzierbar in 0 ∀i.




f ′i(x0, t) =:∂f

∂xi(x0)

heißt die partielle Ableitung von f nach xi in x0.

BemerkungDie Umkehrung von 2.52 gilt nicht. Ist f in x0 partiell differenzierbar für jedes i, so brauchtf nicht differenzierbar zu sein (für m > 1).

Satz 2.54Ist f : Rm ⊃ U → R partiell differenzierbar und sind die partiellen Ableitungen ∂f

∂xistetig in

U , so ist f differenzierbar in U .

Definition 2.55Ist y ∈ Rm, f : U → Rn in x0 ∈ U differenzierbar, dann existiert

d

dt|t=0f(x0 + ty) =

d

dt|t=0(f(x0) + tdf(x0){y}+Rf (x0, t, y))

!= df(x0){y}

genannt die Richtungsableitung von f in x0 in Richtung von y.

y =∑

yiej

⇒ df i(x0){y} =∑

yidf i(x0){ej}

=∑j

yi∂f

∂xi0(x0)

Definition 2.56 (Die Matrix)Wir definieren:

Jf(x) =:

(∂f

∂x(x0)

)⊂M(n,m,R)

heißt die Jacobi-Matrix von f für f : U → Rn ifferenzierbar in x0.

BemerkungJf(x0) idt die Matrixdarstellung von df(x0) ∈ L(Rm,Rn) bezüglich der Standardbasen.

Definition 2.57 (Die Determinante (für m = n))Wir definieren:

det Jf(x0) =: jf(x0)



heißt die Jacobi-Determinante oder „die Jacobische“ von f in x0.


1. C : R ⊃ I → Rn sei ein differenzierbarer Weg, also der Vektor

C ′(t) =

C′1(t)...

C ′n(t)

= dt{1}

Das heißt

JC(t) = (C ′1(t), ..., C ′n(t))

2. Sei C wie im obigen Beispiel gewählt. C(I) ⊂ V ⊂ Rn, g : V → Rl. g ist differenzierbarin V ⇒ g ◦ c : I → Rl ist ein differenzierbarer Weg.

(g ◦ c)′(t) = dg(c(t)){c′(t)}

Das heißt

(gi ◦ c)′(t) = Jg(c(t)){c′(t)}i

=∑i

∂g1

∂yi(c(t))c′i(t)

3. f : Rn ⊃ U → R sei in U differenzierbar ⇒ für x0 ∈ U , x ∈ Rn ist

df(x0){y} =∑i

∂f

∂xi(x0)y

i

Dann heißt(∂f∂xi

(x0)... ∂f∂xn (x0)

)= ∇f(x0) =: grad f(x0)

der Gradient von f in x0.

• Für f(x) = ‖x‖2 =∑

i li,2 =

∑i(x

i)2 ist f in Rn überall differenzierbar, dennfür x0 ∈ Rn gilt:

f(x0 + h) = ‖x0 + h‖2 = ‖x0‖2 + 2 < x0, h > +‖h‖2

⇒ df(x0) = 2x0 = grad f(x0)

⇒ ∂‖x‖2

∂xi= 2xi



• Wir können fragen, für welche y ∈ Rn die Richtungsableitung in x0 am größtenwird. Das heißt, was ist

max‖y‖=1

|df(x){y}| = max‖y‖=1

| > grad f(x0), y > |

grad f(x0)6=0= ‖grad f(x0)‖ · max

‖y‖=1

∣∣∣∣< grad f(x0)

?, y >

∣∣∣∣= ‖grad f(x0)‖

Folgerung 2.58Sei f : Rn ⊃ U → R, c : I → U , f ◦ c = const („c liegt in der Niveaumenge f = const“).Dann gilt

< grad f(c(t)), c′(t) >= 0 ∀t ∈ I

BemerkungEs sei

1. f : Rn ⊃offen

U → Rn (o.B.d.A. n = 1).

2. Die Einschränkung auf m = 1n ⇔ Betrachtung der partiellen Ableitung ist nicht mög-lich - aber fast!

Satz 2.59 (Hauptkriterium für Differenzierbarkeit)Es sei f wie in (∗)n=1 und alle partiellen Ableitungen ∂f

∂xj(x)j = 1, ...,m; x ∈ U mögen

existieren, sodass die Funktion

U 3 x 7→ ∂f

∂xj(x) ∈ R

stetig sind ⇔ ∂f∂xj∈ C(U) ∀j.

BeweisWir haben zu zeigen, dass für x ∈ U, x+ h ∈ U .

f(x+ h)− f(x) = df(x){h}+Rf (x, h) , wobei|Rf (x, h)| ≤ ε|h| für |h| < δ = δ(x, z)

werden alle ε > 0.Hier ist df(x){h} =

∑mi=1

∂fxi

(x)hi, weil die partiellen Ableitungen überall existieren. Also



betrachten wir:

f(x+ h)− f(x) = f(x1 + h1, ..., xm + hn)− f(x1, ..., xm)

= f(x1 + h1, x2 + h2, ...)− f(x1, x2 + h2, ...)

+ f(x1, x2 + h2, ...)− f(x1, ..., xm)

!=

m∑i=1

(f(x1), ..., f(xi−1), f(xi + hi), ..., f(xm + hn)

)−(f(xi), ..., f(xi−1), f(xi), f(xi+1 + hi+1), ...

)=

m∑i=1

(gi(x

i + hi)− gi(xi))

MWS=

m∑i=1

∂g1∂fi

(xi + hi)hi

=

m∑i=1

∂f

∂xi(x1, ..., xi−1, xi + h

i, xi+1 + hi+1, ...)hi

= df(x){h}+

+m∑i=1

{∂f

∂xi(x1, ..., xi−1, xi + h

i, ..., xm + hm)− ∂f

∂xi(x1, ..., xm)

}hi

gi hängt von (x′), (h′) ab, die Variablen sind aber konstant. . �

BeispielWir betrachten f(x, y) = xy = ey·log x für (x, y) ∈ R>0 × R.

∂f

∂x(x, y) = ey log x

y

x= y · xy−1

∂f

∂y(x, y) = log x · xy

Beide sind jeweils stetig als Produkt stetiger Funktionen. Also ist f überall differenzierbar.

Definition 2.60Die Funktion f , wie in (*), heißt in U stetig differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungenin U existieren und stetig sind.

f ∈ C1(U)



Folgerung 2.61Sind f und g in U stetig differenzierbar, so auch die Funktionen

αf + βg , α+ β ∈ Rif · gf

g, fallsg 6= 0 in U

BemerkungInsbesondere sind alle rationalen Funktionen f(x) = p(x)

q(x) , p, q ∈ R[x] (Polynomring) außer-halb der Nullstelle des Nenners q(x0) = 0 stetig differenzierbar.

Satz 2.62 (Schraubensatz)Sei f , gewählt wie in (*), in U stetig differenzierbar. Für x, y ∈ U mit

[0, 1] 3 t 7→ x+ t(y − x) ∈ U

gilt

|f(x)− f(y)| ≤ |x− y| sup0≤t≤1

‖df(x+ t(y − x))‖︸︷︷︸<∞

BeweisWir betrachten:

g(t) = f(

cx,y(t)︷︸︸︷x+ t(y − x))

g ist stetig differenzierbar in (−ε, 1 + ε) für ein ε > 0 und

g(1)− g(0) =

∫ 1

0

∂

∂tg(t) dt

=

∫ 1

0

m∑i=1

∂f

∂x2(cx,y(t))(yi − xi) dt⇐ Kettenregel

=

∣∣∣∣∫ 1

0< ∇f(cx,y(t)), y − x > dt

∣∣∣∣≤∫ 1

0|< ∇f(cx,y(t)), y − x >| dt⇐ Fundamentalsatz

≤∫ 1

0|∇f(cx,y(t))| |x− y| dt⇐ Cauchy-Schwarz-Ungleichung

≤∫ 1

0sup

0≤t≤1‖df(x+ ty)‖|x− y| dt



Damit folgt die Behauptung:

g(1)− g(0) ≤ supt‖df(x+ ty)‖|x− y|

�

2.6 Höhere Ableitungen und die Taylerformel

ErinnerungI = (a, b), f : I → R, f ist stetig differenzierbar in I. Dann heißt f zweimal differenzierbarin x0 ∈ I ⇔ f ′ in x0 differenzierbar ist.f heißt in I zweimal differenzierbar ⇔ f ′ in I differenzierbar ist. Die zweite Ableitung von fheißt

∂2f

∂x2(x) = f ′′(x) = f (2)(x) .

Induktiv ergibt sich: Ist f in I (k − 1)-mal stetig differenzierbar, so definieren wir f (k+1) inI analog.

Satz 2.63 (Satz von Taylor)Sei f in I (k + 1)-mal differenzierbar.

⇒ f(x+ h) =k∑j=0

f (j)(x)

j!hj +Rkf (x, h)

wobei

T kf (x, h) =f (j)(x)

j!hj

das k-te Taylorpolynom von f ist und

Rkf (x, h) =f (k+1)(x+ h∗)

(k + 1)!· h(k+1) , |h∗| < |h|

das sogenannte Restglied ist.Ist f nun (k + 1)-mal stetig differenzierbar, so gilt

Rkf (x, h) =h(k+1)

k!

∫ 1

0(1− t)kf (k+1)(x+ th) dt



Definition 2.64Sei f ∈ C1(U), dann heißt f in x0 zweimal nach xi partiell differenzierbar, falls diepartiellen Ableitungen

∂2f

∂xi∂xj(x) =

∂

∂xi

(∂2f

∂xj

)(x0)

existieren für alle j.

BemerkungA priori sind ∂

∂xi∂∂xj

f(x0) und ∂∂xj

∂∂xif(x0) verschieden.

Definition 2.65f ∈ C2(U) heißt zweimal in U partiell differenzierbar, genau dann wenn

1. f ∈ C ′(U) und

2. ∂f∂xj∈ C1(U).

Satz 2.66 (Hermann Amandus Schwarz)Ist f ∈ C2(U), dann gilt

∂2

∂xi, ∂xjf(x) =

∂2

∂xj , ∂xif(x) ; ∀i, j; x ∈ U

BeweisWähle x0 ∈ U und bilde die Funktion

φ(s, t) := f(x0 + sei + tej) ; |s|, |t| < η(x)

Zu zeigen ist nun:

∂2φ

∂s · ∂t(0, 0) =

∂2φ

∂t · ∂s(0, 0)

Setze jetzt

F (s, t) =1

s

φs(t)︷︸︸︷

(φ(s, t)− φ(0, t))−

φs(0)︷︸︸︷(φ(s, 0)− φ(0, 0))

t

←↩ Anwendung Mittelwertsatz

=1

s

∂

∂tφs(t

∗)

=1

s

(∂φ

∂t(s, t∗)− ∂φ

∂t(0, t∗)

)←↩ Anwendung Mittelwertsatz

=∂2φ

∂s · ∂t(s∗, t∗)

s,t→0−→ ∂2φ

∂s · ∂t(0, 0)



F (s, t) =1

s · t

((φ(s, t)− φ(s, 0))− (φ(0, t)− φ(0, 0))

s

)s,t→0−→ ∂2φ

∂t · ∂s(0, 0)

�


1. Existieren die partiellen Ableitungen

∂

∂xi1f,

∂

∂xi2

∂

∂xi1f, ...,

∂

∂xik· · · ∂

∂xi1f

auf U , so heißt

∂

∂xik· · · ∂

∂xi1f : U → Rn

eine partielle Ableitung k-ter Ordnung von f .

2. f heißt k-mal stetig differenzierbar genau dann, wenn alle partiellen Ableitungenk-ter Ordnung auf U existieren und stetig sind.

BemerkungWir halten fest:

1. Nach dem „Hauptkriterium“ 2.59 sind alle partiellen Ableitungen bis zur k-ten Ordnungdifferenzierbar.

2. Mit dem Satz von Schwarz 2.66 folgt induktiv:Ist f k-mal stetig differenzierbar, so spielt die Reihenfolge der ∂

∂xijin einer partiellen

Ableitung ≤ k-ter Ordnung von f keine Rolle.

⇒ ∂kf

∂xi1...∂xik=

∂kf

∂x1,k1 ...∂xn,kn

k1, ..., kn ∈ N \ {0}, k1 + ...+ kn = k

BeispielSei f : R2 → R definiert durch f(x, y) = e2x+y

2. Bild nun die partiellen Ableitungen:

∂f

∂x(x, y) = 2 · e2x+y2 ;

∂2f

∂y∂x(x, y) = 4y · e2x+y2

∂f

∂y(x, y) = 2y · e2x+y2 ;

∂2f

∂x∂y(x, y) = 4y · e2x+y2

⇒ ∂2f

∂y∂x(x, y) =

∂2f

∂x∂y(x, y)

∂3f

∂x∂y∂x(x, y) = 8y · e2x+y2 =

∂3f

∂x2∂y(x, y) , geordnete Schreibweise



NotationWir schreiben auch ∂i1...ikf für ∂kf

∂xi1 ...∂xik.

Satz 2.68 (Satz über die Taylorformel)Sei U ⊂ Rn offen. x0, x ∈ U und für alles x ∈ [0, 1] gelte x0+ t(x−x0) ∈ U . Sei f : U → R(k + 1)-mal stetig differenzierbar. Dann existiert ein ϑ ∈ [0, 1], sodass

f(x) =k∑j=0

1

j!

n∑i1,...,ij=1

∂jf

∂xi1 ...∂xij(x0) · (xi1 − x0i1 ) · ... · (xij − x0ij )︸︷︷︸

=:(Tki ,x0,f)(x)

+1

(k + 1)!

n∑i1,...,ik+1=1

∂k+1f

∂xi1 ...∂xik+1(x0 + ϑ(x− x0)) · (xi1 − x0i1 ) · ... · (xik+1

− x0ik+1)

!

Abbildung 14: Schema zum Satz über die Taylorformel

Insbesondere

1. Fall: k + 1 = 1:

f(x) = f(x0) +1

1!

n∑i=1

∂f

∂xi(x0 + ϑ(x− x0)) · (xi − x0i)

= f(x0)+ < grad f(x0 + ϑ(x− x0)), x− x0 >



2. Fall: k + 1 =:

f(x) = f(x0) +1

1!

{∂

∂x1f(x0) · (x1 − x01) +

∂

∂x2f(x0) · (x2 − x02)

}+

1

2!

∂2

∂x21f(x0 + ϑ(x− x0))(x1 − x01)2

+1

2!2

∂2

∂x1∂x2f(x0 + ϑ(x− x0))(x1 − x01)(x2 − x02)

+1

2!

∂2

∂x22f(x0 + ϑ(x− x0))(x2 − x02)2

BeweisSei ε > 0 so klein, dass auch noch {x0 + t · (x− x0)|t ∈ (−ε, 1 + ε)} ∈ U in liegt. Solch einε existiert, da U offen ist.Betrachte nun die Funktion:

g : (−ε, 1 + ε)→ Rg(t) = f(x0 + t(x− x0))

Bilde nun die Ableitungen von g(t):

g′(t) = Jg(t)K.-regel

=

(∂f

∂x1...∂f

∂xn

)(x0 + t(x− x0)) ◦

x− x01...

xn − x0n

=

n∑i1=1

∂f

∂xi1(x0 + t(x− x0))(xi1 − x0)⇐ Indexersetzung i = i1

Bild nun die zweite Ableitung von g(t):

g′′(t) =

(∂2f

∂x1∂xi1...

∂2f

∂xn∂xi1

)(x0 + t(x− x0)) ◦

x− x01...

xn − x0n

(xn − x01)

=n∑

i1,i2=1

∂2f

∂xi2∂xi1(x0 + t(x− x0))(xi2 − x0i2 )(xi1 − x0i1 )

Bilde nun die k-te Ableitung von g(t):

g(k)(t) =∑

i1,...,1k=1

∂(k)f

∂xi1 ...∂xin(x0 + t(x− x0))(xi1 − x0i1 ) · ... · (xik − x0ik )

Benutze den Satz über die Taylorformel 2.63 aus Analysis I für g : R → R. Damit existiert



ein ϑ ∈ (0, 1):

g(1) =

k∑i=0

1

j!· g(j)(0) · (1− 0)j +

1

(k + 1)!g(k+1)(ϑ)(1− 0)(k+1)

= f(x0 + 1 · (x− x0)) = f(x)

�

BeispielSei f : (0,∞)× R→ R definiert als f(x, y) = xy = ey·ln(x). Bestimme T2,(1,1)f !

f(1, 1) = 1

∂f

∂x(x, y) = y · xy−1 ;

∂f

∂x(1, 1) = 1

∂f

∂y(x, y) = lnx · xy ;

∂f

∂y(1, 1) = 0

∂2f

∂x2(x, y) = y · (y − 1) · xy−2 ;

∂2f

∂x2(1, 1) = 0

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y) = xy−1 + y · lnx · xy−1 ;

∂2f

∂x∂y(1, 1) = 1

∂2f

∂y2(x, y) = ln2 x · xy ;

∂2f

∂y2(1, 1) = 0

Berechne nun das Taylorpolynom T2,(1,1)f :

(T2,(1,1)f)(x, y) = f(1, 1) +1

1!

(∂f

∂x(1, 1)(x− 1) +

∂f

∂y(1, 1)(y − 1)

)+

1

2!

(∂2f

∂x2(1, 1)(x− 1)2 + 2

∂2f

∂x∂y(1, 1)(x− 1)(y − 1) +

∂2f

∂y2(1, 1)(y − 1)2

)= 1 +

1

1![1 · (x− 1) + 0 · (y − 1)]

+1

2![0 · (x− 1)2 + 2 · 1 · (x− 1)(y − 1) + 0 · (y − 1)2]

= 1 + x− 1 + (x− 1)(y − 1)

BemerkungTaylorformel = Approximation von „komplizierten Funktionen“ (*) durch Polynome.(*)=k-mal in U ⊂ Rm stetig differenzierbare Funktionen, also alle partiellen Ableitungenexistieren bis zur Ordnung k in U und sind dort stetig.Was war die Taylorformel?

f(x+ h) = f(x) + ...



eindimensionale Taylorformel

gx,h(t) = f(x+ th)

gx,h(1) = g(0) +k∑j=0

g(j)(0)

j!+Rkg(0, 1)

d

dtgx,h(t) =

d

dtf(x+ th) = df(x+ th) · {h}

=m∑i=1

∂f

∂xi(x+ th)hi =

(m∑i=1

hi∂

∂xi

)(f)(x+ th)

d2

dt2gx,h(t) =

(m∑i=1

hi∂

∂xi

)2

(f)(x+ th)

...

dk

dtkgx,h(t) =

(m∑i=1

hi∂

∂xi

)k(f)(x+ th)

Erinnerung:(m∑i=1

ai

)k=?

• k = 2 :

(a1 + a2)k =

k∑j=0

(kj

)aj1a

k−j2

= k!k∑j=0

ajij!

ak−j2

(k − j)!

α = (α1, ..., αm) ∈ Zm+x = (x1, ..., xm)⇒ xα = xα1

1 , ..., xαmm

α! = α1!α2! · · ·αm!

|α| = α1 + α2 + ...+ αm

⇒ = k!∑

a∈Z2+,|α|=k

aα

α!



• k = k :(m∑i=1

ai

)k= k! ·

∑a∈Zk+,|α|=k

aα

α!= k! ·

∑a∈Zk+,|α|=k

aα11

α1!· · · a

αmm

αm!

Damit ergibt sich für:

dk

dtkgx,h(t) =

(m∑i=1

hi∂

∂xi

)k(f)(x+ th)

= k! ·∑

a∈Zk+,|α|=k

hα

α!· ∂|α|

∂xα

weil die Operatoren ∂∂xi

angewendet auf f vertauschbar sind.Damit folgt für die Taylorformel:

f(x+ h) =k∑j=0

1

j!

m∑β1,...,βj=0

(∂

∂xβ1· · · ∂

∂xβjf

)(x)(hβ1 · · ·hβm) +Rkf(x, h)

=k∑j=0

∑α∈Zm+ ,|α|=j

hα

α!

∂|α|f

∂xα(x) +Rkf(x, h)

:= Tkf(x, h) +Rkf(x, h)

... bezeichnet das k-te Taylorpolynom (in h) an der Stelle x, wobei

Rkf(x, h) =1

(k + 1)!

∑β1,...,βk+1

(∂

∂xβ1· · · ∂

∂xβ(k+1)f

)(x+ ϑh) , wobei ϑ ∈ [0, 1]

Abbildung 15



Lemma 2.69Sei f in U ⊂ Rm (k + 1)-mal differenzierbar und k-mal stetig differenzierbar. dann gilt

|Rkf(x, h)| ≤ mk+1

(k + 1)!sup|α|=k+1

∣∣∣∣∣∂|k|f∂xα(y)

∣∣∣∣∣ |h|k+1 , wobei y ∈ Bj(x)⇔ |h| < δ

≤ Ck+1(f, δ)(mδ)k+1

(k + 1)!, (0 ≤ Ck+1(f, δ) ≤ ∞)

BeweisAnalyse von Rkf(x, h)!

Lemma 2.70Ist f (k + 1)-mal stetig differenzierbar in U oder Ck+1(f, x, δ) <∞ für δ ≤ δ0, dann gilt

|f(x+ h)− Tkf(x, h)| ≤ ε|h|k

für |h| ≤ δ = δ(ε) und ∀ε > 0.

Bemerkung (Taylorreihe)Ist f unendlich oft differenzierbar, so ist

Tf(x, h) =∞∑j=0

∑a∈Zm+ ,|α|=j

hα

α!

∂αf

∂xα(x)

(formal!) wohl definiert, aber

1. die Reihe braucht nicht zu konvergieren!

2. wenn die Reihe konvergiert, braucht sie sie nicht gleich f zu sein.

In vielen interessanten Fällen konvergiert die Taylorreihe aber dennoch!


e−|x|2

= e−x21,...,−x2m

=∞∑j=0

(−1)j

j!|x|2j =

∞∑j=0

(−1)j

j!(x1,2 + ...+ xm,2)j

=∞∑j=0

(−1)j∑

a∈Zm+ ,|α|=j

x2α

α!



Definition 2.71 (Polynome)Polynome sind Abbildungen p : Rm → R von der Form

p(x) =∑

a∈Zm+ ,|α|≤k

aαxα

wobei aα ∈ R, xα = x1,α1 , ..., xm,αm .

BeispielSei p ∈ C∞(Rm) ein Polynom und

∂|β|

∂xβp(0) =

∑α∈Zm+ ,|α|≤k

aα∂|β|

∂xβxα|x=0 = aβ · β

⇒ aβ =

(1

β!

∂|β|

∂xβp

)(0)

⇒ p(x) = Tkf(0, x)

⇒ Das Polynom ist gleich dem Taylorpolynom.

Definition 2.72p heißt von der Ordnung k, wenn∑

|α|=k

|aα| > 0

und p heißt homogen vom Grad k, wenn∑|α|<k

|aα| = 0 .

Der lineare Raum der Polynome wird mit R[x1, ..., xn] bezeichnet.

f(x) + df(x){h} , Polynom vom Grad ≤ 1

Lemma 2.73Es sei f ∈ Ck+1(U), k ≤ ∞.Dann ist Tkf(x, h) charakterisiert durch die Ungleichung

|f(x+ h)− Tkf(x, h)| ≤ ε|h|k für |h| < δ = δ(ε) (∗)

in folgendem Sinne:Ist p(h) ein Polynom vom Grad ≤ k, das (*) erfüllt, so ist

p(h) = Tkf(x, h) .



Beweisp erfülle die Ungleichung (*), dann ist

|p(h)− Tkf(x, h)| ≤ |f(x+ h)− p(h)|+ |f(x+ h)− Tkf(x, h)

≤ ε|h|k , für δ = δ(ε) und |h| < δ

Also bleibt zu zeigen:Ist q ∈ R[h1, ..., hm] vom Grad ≤ k und

|q(h)| ≤ ε|h|k für |h| < δ = δ(ε)

so ist q = 0.

Beweis durch Induktion:

• k = 0 :⇒ q = q(0)⇒ |q(0)| ≤ ε für |h| < δ = δ(ε) und alle ε > 0⇒ q(0) = 0.

• k ≥ 0 bewiesen:q vom Grad k + 1,

|q(h)| = |q≤k(h) + qk+1(h)| ≤ ε|h|k+1

⇒ |q≤k(h)| ≤ ε|h|k+1 + C|h|k+1 ≤ ε|h|k

⇒ |q≤k| = 0 , nach Induktionsvoraussetzung

⇒ |qk+1(h)| = |h|k+1

∣∣∣∣∣∣∑|α|=k+1

aα

(h

|h|

)α∣∣∣∣∣∣ ≤ ε|h|k+1 für |h| ≤ δ(ε)

⇒

∣∣∣∣∣∣∑|α|=k+1

aα

(h

|h|

)α∣∣∣∣∣∣ ≤ ε ∀ε > 0

⇒∑|α|=k+1

aα

(h

|h|

)α= 0

⇒ qk+1(h) = 0


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Analysis II