Karlsruher Institut fur Technologie (KIT) Sommersemester 2013Institut fur AnalysisPriv.-Doz. Dr. Gerd HerzogDr. Andreas Helfrich-Schkarbanenko

Hohere Mathematik II (Analysis) fur die Fachrichtung Informatik

Losungsvorschlage zum 4. Ubungsblatt

Abgabe bis Freitag, 17.5.2013, 12.30 UhrThemen: Differenzierbarkeit, Kettenregel, Mittelwertsatz, Richtungsableitung

Aufgabe 10 (K). Seien f1, f2, f3 : R2 → R gegeben durch

f1(x, y) = |x|+ |y|, f2(x, y) =√

|x|2 + |y|2, f3(x, y) = max{|x|, |y|}.

(a) Skizzieren Sie die Mengen{(x, y) ∈ R2 : fi(x, y) = c}

fur i = 1, 2, 3 und c = 0, 1, 2.

(b) In welchen Punkten des R2 ist fi : R2 → R (i = 1, 2, 3) differenzierbar? Berechnen Sie f ′i wo

immer die Ableitung existiert.

Losung: Siehe Scan.

Aufgabe 11 (K).

(a) Sei g : R → R3, g(t) = (et, sin t, t2) und f : R3 → R, f(x, y, z) = xyz. Berechnen Sie furh = f ◦ g : R → R die Ableitung h′ einmal nach der Kettenregel und einmal, indem Sie dieexplizit die Verkettung f ◦ g berechnen und differenzieren.

(b) Sei V := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1, x, y, z ≥ 0}. Zeigen Sie:

| log(x+ y + z2)| ≤ 4√3− 3z fur (x, y, z) ∈ V.

Hinweis: Mittelwertsatz mit a = (0, 0, 1), b = (x, y, z), und Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Losung: Siehe Scan.

Aufgabe 12. Wird in der Ubung vorgerechnet

(a) Sei M := {(x, y) ∈ R2 : x = y} sowie

f(x, y) = ex − 1 (x, y) ∈ M ; f(x, y) = 0 (x, y) /∈ M.

Zeigen Sie, dass die Richtungsableitung ∂f∂v (0, 0) fur jede Richtung v existiert. Ist f in (0, 0)

differenzierbar?

(b) Berechnen Sie fur f : R2 → R,

f(x, y) =

y3 − x2y

x2 + y2fur (x, y) 6= (0, 0)

0 fur (x, y) = (0, 0)

die Richtungsableitung ∂f∂v (0, 0) fur jede Richtung v, fur die das moglich ist. Fur welche v gilt

∂f∂v (0, 0) = (grad f(0, 0)) · v?

Losung: Sei im Folgenden a = (a1, a2) ∈ R2 mit ‖a‖ = 1, also a21 + a22 = 1.

(a) Siehe Fig. 7

(b) In (x, y) 6= (0, 0) ist f stetig differenzierbar, so dass die Richtungsableitung gegeben ist durch

∂f

∂a(x, y) = f ′(x, y) · a =

( −4xy3

(x2 + y2)2,y4 − x4 + 4x2y2

(x2 + y2)2)· (a1, a2).

In (x, y) = (0, 0) ist f ebenfalls bzgl. jeder Richtung differenzierbar mit

∂f

∂a(0, 0) = lim

t→0

f((0, 0) + t(a1, a2))− f(0, 0)

t= lim

t→0

t3(a32−a21a2)

t2(a21+a22)− 0

t=

a32 − a21a2a21 + a22

.

Dies soll nun mit (gradf(0, 0)) · a = (0, 1)> · (a1, a2)> gleichgesetzt werden. Es gilt:

a32 − a21a2a21 + a22

!= a2 ⇔ a32 − a21a2 = a2(a

21 + a22) ⇔ 2a21a2 = 0.

Die Gleichheit gilt also genau dann, wenn a1 = 0 oder a2 = 0 ist. Beachte: f ist nicht differen-zierbar in (0,0).

Aufgabe 13.

(a) Sei f(x, y, z) = x3z + y2, g(t) = (sin(t), t cos(t), t) und h(t) = f(g(t)). Stellen Sie h auf undbestimmen Sie die Ableitung h′ direkt bzw. mittels der Kettenregel.

(b) Zeigen Sie, dass die Funktion f(x, y) =√

|x|3 + y2 sin(x2 + |y|3) in (0, 0) differenzierbar ist.

Losung:

(a) Es gilt:h(t) = f(g(t)) = sin3(t)t+ t2 cos2(t)

undh′(t) = 3 sin2(t) cos(t)t+ sin3(t) + 2t cos2(t)− 2t2 sin(t) cos(t).

Mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich dasselbe Resultat:

h′(t) = f ′(g(t)) · g′(t)= (3g1(t)

2g3(t), 2g2(t), g1(t)3) · (cos(t), cos(t)− t sin(t), 1)

= (3 sin2(t)t, 2t cos(t), sin3(t)) · (cos(t), cos(t)− t sin(t), 1)

= 3 sin2(t) cos(t)t+ sin3(t) + 2t cos2(t)− 2t2 sin(t) cos(t).

(b) Fur |h1|, |h2| ≤ 1 gilt

0 ≤ |f(h1, h2)− f(0, 0)− (0, 0) · (h1, h2)|‖(h1, h2)‖

=√

|h1|3 + h22| sin(h21 + |h2|3)|‖(h1, h2)‖−1

≤√

|h1|2 + h22| sin(h21 + h22)|‖(h1, h2)‖−1

= | sin(h21 + h22)|≤ h21 + h22 → 0, (h1, h2) → (0, 0)

und es folgt f ′(0, 0) = (0, 0). Bei der letzten Abschatzung wurde | sin(z)| ≤ |z| fur alle z ∈ Rverwendet.

Figure 1: Aufgabe 10

Figure 2: Aufgabe 10

Figure 3: Aufgabe 10

Figure 4: Aufgabe 11

Figure 5: Aufgabe 11

Figure 6: Aufgabe 11

Figure 7: Aufgabe 12 (a)