Prof. Dr. H. Garcke, D. Depner WS 2009/10NWF I - Mathematik 18.11.2009Universitat Regensburg

Analysis III

Verbesserung der Zusatzaufgabe von Ubungsblatt 4

ZusatzaufgabeWir definieren die Cantormenge C ⊂ [0, 1] wie folgt. Zunachst definieren wir eine Folge vonTeilmengen Cn von R. C0 sei das Einheitsintervall. Aus C0 entfernen wir das offene Teilintervallder Lange 1

3 mit Mittelpunkt 12 und definieren C1 als die Vereinigung der verbliebenen Interval-

le I1,1 und I1,2. Die Mengen Cn werden nun rekursiv definiert. Haben wir Cn als Vereinigungder Intervalle In,1, . . . , In,2n erhalten, so entfernen wir aus den Intervallen In,j die offenen In-tervalle 1

3In,j , deren Mittelpunkte mit denen von In,j ubereinstimmen und erhalten die MengeCn+1 als Vereinigung der verbleibenden Intervalle In+1,1, . . . , In+1,2n+1 . Nun heißt C :=

⋂∞n=1Cn

Cantormenge. Zeigen Sie, dass C eine Lebesgue-Nullmenge ist.Fur einen Wurfel W ⊂ Rd sei jeweils r(W ) ≥ 0 die Kantenlange von W . Fur eine Menge A ⊂ Rd,s ≥ 0 und ε > 0 setzt man

Hsε(A) := inf{

∞∑j=1

r(Wj)s |A ⊂∞⋃

j=1

Wj mit Wurfeln Wj mit r(Wj) < ε} .

Dann setzt man Hs(A) := limε→0Hsε(A) und erhalt mit Hs eine σ-subadditive und monotone

Abbildung auf P(Rd) (dies ist nicht zu zeigen). Zeigen Sie:

(i) Zu jedem A ⊂ Rd gibt es ein h ∈ [0,∞], so dass Hs(A) = ∞ fur s < h und Hs(A) = 0fur s > h. Diese Zahl dimH(A) := h heißt die Hausdorff-Dimension von A. (Hinweis:Betrachten Sie zunachst A = W ein Wurfel.)

(ii) Die Cantormenge C hat Hausdorff-Dimension dimH(C) = log 2log 3 .

Beweis: Wir zeigen zunachst L1(C) = 0.C ist als Schnitt uber eine Vereinigung von Intervallen naturlich Borelmenge, daher ist

(L1)∗ (C) =

L1(C). Wir zeigen per Induktion uber n:

L1(Cn) =(

23

)n

.

n = 0: L1([0, 1]) = 1 =(

23

)0.n→ n+ 1: Sei Cn =

⋃2n

j=1 In,j und Cn+1 =⋃2n+1

j=1 In+1,j . Die Intervalle In+1,j und In+1,j+1 furungerades j enstehen nach Konstruktion aus einem In,l durch die disjunkte Zerlegung

In,l = In+1,j ∪ J ∪ In+1,j+1

in drei gleichlange Intervalle, wobei J das mittlere offene Drittel von In,j ist. Daher ist

L1(In+1,j) = L1(In+1,j+1) =12· 2

3· L1(In,l) =

13· L1(In,l) .

Die Vereinigung dieser 2n+1 Intervalle In+1,j hat dann die Lange

L1(Cn+1) = L1(2n+1⋃j=1

In+1,j) =2n+1∑j=1

L1(In+1,j) = 2n+1 · 13· L1(In,l) ,

wobei hier zu beachten ist, dass alle In,l dieselbe Lange haben. Dann kann man weiterschließen

L1(Cn+1) =23·

2n∑l=1

L1(In,l) =23· L1(Cn) =

23·(

23

)n

,

wobei im letzten Schritt die Induktionsvoraussetzung ausgenutzt wurde.Fur C =

⋂∞n=1Cn gilt dann L1(C) = lim

n→∞L1(Cn) = lim

n→∞

(23

)n = 0.

BemerkungIm weiteren Verlauf wird die Aussage gebraucht, dass C kompakt ist. Dies folgt, da Cn als endli-che Vereinigung uber abgeschlossene Intervalle abgeschlossen ist und dann auch der abzahlbareSchnitt uber Cn wieder abgeschlossen ist. Außerdem ist C als Teilmenge von [0, 1] beschrankt,daher also insgesamt kompakt.

Zeigen wir nun die Behauptung (i) uber die Existenz der Hausdorff-Dimension. Genauer ist zuzeigen

∀A ⊂ Rd ∃h ∈ [0,∞] so dass Hs(A) ={

0 fur s < h ,∞ fur s > h .

Dann setzen wir dimHA := h. Beachte, dass der Wert von Hh(A) zunachst nicht bekannt ist.Wir beweisen diesen Teil (i) zunachst im Spezialfall von A = W ein Wurfel der Kantenlange 1im Rd und vermuten dass in diesem Fall die Hausdorff-Dimension gleich der Raumdimension dist.Beh.: dimHW = d erfullt die Aussage (i).Dazu: Sei zunachst s > d.Sei ε > 0 beliebig und m ∈ N mit 1

m < ε. Unterteile W in md gleichgroße Teilwurfel Wj

der Kantenlange r(Wj) = 1m . Betrachte dann in der Definition von Hs

ε die Folge der WurfelW1, . . . ,Wmd , ∅, ∅, . . . und berechne

∞∑j=1

r(Wj)s =md∑j=1

r(Wj)s =md∑j=1

(1m

)s

= md−s =1

ms−d< εs−d (beachte s > d) .

Daraus erhalt man

Hsε(W ) = inf

∞∑

j=1

r(Wj)s | . . .

≤ εs−d

und schließlich

Hs(W ) = limε↘0Hs

ε(W ) = limε↘0

εs−d = 0 .

Sei umgekehrt s < d:Wir machen zunachst folgende Beobachtung: Fur jede Uberdeckung W ⊂

⋃∞j=1Wj mit r(Wj) <

ε gilt∑∞

j=1 r(Wj)d ≥ 1.Dies folgt mit r(Wj)d = Ld(Wj) und Eigenschaften des Maßes durch

∞∑j=1

r(Wj)d =∞∑

j=1

Ld(Wj) ≥ Ld(W ) = 1 .

Fur s < d folgt mit J := {j ∈ N | r(Wj) > 0}:∞∑

j=1

r(Wj)s =∑j∈J

r(Wj)s =∑j∈J

r(Wj)d ·(

1r(Wj)

)d−s

r(Wj)<ε

≥∑j∈J

r(Wj)d ·(

1ε

)d−s

=(

1ε

)d−s

·∞∑

j=1

r(Wj)d

︸ ︷︷ ︸≥1

≥(

1ε

)d−s

.

Daraus erhalten wir Hsε(W ) ≥

(1ε

)n−s und daher

Hs(W ) = limε↘0Hs

ε(W ) ≥ limε↘0

(1ε

)n−s

=∞ .

Damit ist der Fall eines Wurfels behandelt und wir konnen uns mit dieser Beweisidee an einebeliebige Menge A ⊂ Rd wagen. Wir zeigen folgende Behauptungen:

(I) Ist Ht(A) <∞ und s > t, so ist Hs(A) = 0.

(II) Ist Ht(A) > 0 und s < t, so ist Hs(A) =∞.

Das bedeutet, dass das Hausdorffmaß an einer bestimmten Stelle von ∞ auf 0 herunterspringt,und die Behauptung (i) folgt dann mit

h := sup{s ∈ [0,∞] |Hs(A) =∞} = inf{s ∈ [0,∞] |Hs(A) = 0} ∈ [0,∞]} ,

wobei wir hier die Konvention sup ∅ = 0 und inf ∅ =∞ benutzen.

VorbemerkungMan sieht leicht dass fur festes t die Abbildung (0, 1) → R≥0, ε 7→ Ht

ε(A) monoton fallend ist,also ε1 < ε2 ⇒ Ht

ε1(A) ≥ Ht

ε2(A)).

Dies liegt daran, dass bei Htε2

(A) das Infimum uber eine großere Menge gebildet wird und dahernur kleiner werden kann.

zu (I):Sei also Ht(A) = limε↘0Ht

ε(A) <∞, somit gilt nach Vorbemerkung:

∃C > 0 mit Htε(A) ≤ C fur alle ε > 0 .

Nach Definition bedeutet das ausgeschrieben

Htε(A) = inf

∞∑

j=1

r(Wj)t |A ⊂∞⋃

j=1

Wj , r(Wj) ≤ ε

≤ C .

Zu ε > 0 finden wir dann nach Definition des Infimums Wurfel W εj mit A ⊂

⋃∞j=1W

εj und

r(W εj ) ≤ ε, so dass

∞∑j=1

r(W εj )t ≤ C + 1 .

(Im Vergleich zu obigen Spezialfall A = W ein Wurfel kann man hier also keine endliche Wahlder Wj mehr treffen.)Nun gilt fur s > t:

∞∑j=1

r(W εj )s =

∞∑j=1

r(W εj )t · r(W ε

j )s−t ≤ εs−t ·∞∑

j=1

r(W εj )t ≤ εs−t · (C + 1) .

Damit hat man Hsε(A) ≤ εs−t · (C + 1) und daher auch

Hs(A) ≤ limε↘0

εs−t · (C + 1) = 0 .

zu (II):Gelte jetzt Ht(A) = limε↘0Ht

ε(A) > 0 und sei s < t. Nach der Vorbemerkung gilt dann fur alleε > 0 dass Ht

ε(A) ≥ ξ > 0 fur ein ξ > 0. Nach Definition von Htε(A) gilt dann fur alle Wurfel

Wj mit A ⊂⋃∞

j=1Wj und r(Wj) ≤ ε, dass

∞∑j=1

r(Wj)t ≥ ξ > 0 .

(Dies ersetzt die Ungleichung∑∞

j=1 r(Wj)d ≥ 1 im Spezialfall A = W ein Wurfel.)Dann ist fur s < t mit J := {j ∈ N | r(Wj) > 0}:

∞∑j=1

r(Wj)s =∑j∈J

r(Wj)s =∑j∈J

r(Wj)t ·(

1r(Wj)

)t−s r(Wj)≤ε

≥∑j∈J

r(Wj)t ·(

1ε

)t−s

=∞∑

j=1

r(Wj)t ·(

1ε

)t−s

≥ ξ ·(

1ε

)t−s

.

Daher gilt dann Hsε(A) ≥ ξ ·

(1ε

)t−s und somit

Hs(A) ≤ limε↘0

ξ ·(

1ε

)t−s

=∞ .

Damit ist Teil (i) gezeigt. Nun zeigen wir fur die Cantormenge C:Beh.: dimHC = log2

log 3 .

Bew.: Wir zeigen fur h = log 2log 3 die Ungleichungen

12≤ Hh(C) ≤ 1 .

Aus der ersten Ungleichung folgt mit (II), dass Hs(C) =∞ fur alle s < h und daher dimHC ≥ h.Aus der zweiten Ungleichung folgt mit (I), dass Hs(C) = 0 fur alle s > h und daher dimHC ≤ h.

zu Hh(C) ≤ 1:

Es ist C =⋂∞

k=1Ck mit Ck =⋃2k

j=1 Ik,j disjunkte Vereinigung von 2k Intervallen (=1-dim.

Wurfeln) mit Kantenlange r(Ik,j) = 13k . Fur die Uberdeckung C ⊂ Ck =

⋃2k

j=1 Ik,j gilt also mit3h = 2:

Hh1

3k(C) ≤

2k∑j=1

r(Ik,j)h = 2k ·(

13k

)h

=(

23h

)k

= 1 .

Dann ist Hh(C) ≤ limk→∞Hh1

3k

(C) ≤ 1.

zu Hh(C) ≥ 12 :

Sei ε > 0 und C ⊂⋃∞

j=1Wj eine Wurfeluberdeckung mit r(Wj) ≤ ε. Wir wollen zeigen:

∞∑j=1

r(Wj)h ≥ 12. (1)

Daraus folgt dann Hhε (C) ≥ 1

2 und daher Hh(C) = limε↘0Hhε (C) ≥ 1

2 .

Zunachst wollen wir uns durch einen Kompaktheitsschluss auf endlich viele Wj beschranken.Dazu mussen wir zuerst die Wj zu offenen Mengen “aufblasen”. Mit m(Wj) der Mittelpunktvon Wj setzen wir dazu

Wj :=

[(1 +

12j

) 1h

(Wj −m(Wj)) +m(Wj)

]◦,

wobei das ◦ das Innere einer Menge bezeichnet. Dann ist r(Wj) =(1 + 1

2j

) 1h · r(Wj) =: ε und

∞∑j=1

r(Wj)h <∞∑

j=1

r(Wj)h + εh .

Falls wir also die Beh. (1) fur Wj zeigen konnen, so folgt im Limes ε→ 0 (was aquivalent ist zuε→ 0) noch Hh(C) ≥ 1

2 , was wir eigentlich brauchen.Nun ist aber C ⊂

⋃∞j=1 Wj eine offene Uberdeckung einer kompakten Menge, also existieren

endlich viele W1, . . . ,WN , so dass C ⊂⋃N

j=1Wj .

Wegen∑∞

j=1 r(Wj)h ≥∑N

j=1 r(Wj)h genugt es schließlich fur (1) die Ungleichung

N∑j=1

r(Wj)h ≥ 12

(2)

zu zeigen. Nun lassen wir das ˜ wieder weg und konnen wegen r(Wj) = r(Wj) annehmen, dassdie Wj abgeschlossen sind. (Dann gilt naturlich immer noch r(Wj) ≤ ε und C ⊂

⋃Nj=1Wj , wegen

der letzten Inklusion konnten wir ubrigens beim Kompaktheitsschluss nicht einfach ubergehenauf offene Mengen.)Wir zeigen also fur abgeschlossene Intervalle Wj mit r(Wj) ≤ ε fur j = 1, . . . , N und C ⊂⋃N

j=1Wj , dass gilt:

N∑j=1

r(Wj)h ≥ 12. (3)

Fur jedes j wahle k = k(j) ∈ N mit(13

)k+1

≤ r(Wj) <

(13

)k

. (4)

(r(Wj) < 13 bekommt man durch Wahl von kleinem ε immer hin.)

Dann kann Wj hochstens ein Intervall von Ck =⋃2k

l=1 Ik,l schneiden, da der Abstand der Inter-valle Ik,l mindestens 1

3k betragt.Zw.beh.: Fur i ≥ k schneidet Wj hochstens 2i−k Intervalle von Ci.Zw.bew.: durch Induktion.i=k siehe oben.i→ i+ 1 Sei Ci+1 =

⋃2i+1

l=1 Ii+1,l und Ci =⋃2i

l=1 Ii,l, wobei fur ungerades l das Ii+1,l und Ii+1,l+1

aus einem Ii,l0 durch Drittelung entstehen. Falls also Wj das Intervall Ii,l0 schneidet, so schneidetes im nachsten Schritt hochstens die beiden Intervalle Ii+1,l und Ii+1,l+1. Nach Induktion hatman dann hochstens

2 · 2i−k = 2i+1−k

Schnitte von Wj mit Intervallen von Ci+1. Damit ist die Zwischenbehauptung bewiesen.

Nun gilt mit 3h = 2 und Ungleichung (4) folgende Ungleichung:

2i−k = 2i · 3−hk ≤ 2i · 3h · r(Wj)h . (5)

Wahle nun i so groß, dass

13i+1

≤ r(Wj) fur alle j = 1, . . . , N .

Die Vereinigung⋃N

j=1Wj schneidet alle 2i Intervalle von Ci der Lange 13i , sonst konnte

⋃Nj=1Wj

nicht C uberdecken. (Falls ein Intervall Ii,l nicht geschnitten wurde, so insbesondere kein Rand-punkt von Ii,l, diese gehoren aber zu C.)Beachte: Es wird nicht behauptet, dass Ci ⊂

⋃Nj=1Wj .

Ohne Einschrankung sei außerdem i > k(j) fur alle j = 1, . . . , N . Nach obiger Zwischenbehaup-tung gilt dann

2i−k(j) ≥ #{Intervalle aus Ci, die von Wj geschnitten werden}

und daher auch

N∑j=1

2i−k(j) ≥ #{Intervalle aus Ci, die von⋃N

j=1Wj geschnitten werden} ,

wobei die rechte Seite nach obiger Aussage 2i betragt. Es gilt also

2i ≤N∑

j=1

2i−k(j)(5)

≤N∑

j=1

2i · 3h · r(Wj)h

und damit schließlich

N∑j=1

r(Wj)h ≥ 3−h =12.

�

BemerkungMit mehr Aufwand kann fur h = log 2

log 3 sogar gezeigt werden, dass Hh(C) = 1.