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Kapitel 2 Mehrdimensionale Analysis Im letzten Kapitel hatten wir lineare Funktionen zwischen Vektorr¨ aumen betrachtet, insbesondere also auch Funktionen von nach . Um solche Funktionen soll es auch in diesem Kapitel gehen, allerdings lassen wir nun die Forderung der Linearit¨ at fallen und verlangen nur noch deutlich schw¨ achere Eigenschaften wie etwa Stetigkeit und/oder Differenzierbarkeit. §1: Funktionen und ihre Eigenschaften a) Darstellungsm ¨ oglichkeiten f ¨ ur Funktionen Bei den linearen Funktionen im vorigen Kapitel hatten wir sowohl die Argumente als auch die Bilder als Vektoren aufgefaßt. Zumindest bei den Argumenten entspricht dies definitiv nicht der Betrachtungsweise der Analysis oder auch der Geometrie: Wir wollen Funktionen in Punk- ten auswerten, nicht in Vektoren. Wir fassen daher bei einer Funktion : den nicht als Vektorraum auf, sondern als Punktmenge, wie wir es schon aus Kapitel I, 3g) von den affinen R¨ aumen her ge- wohnt sind. Wie dort wollen wir aber Punkte mit Vektoren verkn¨ upfen, wobei der Punkt + der Endpunkt des im Punkt abgetragenen Vek- tors sein soll. Seine -te Koordinate ist also + , wobei die -te Koordinate von und die -te Komponente von bezeichnet. ur Funktionen : sind wir gewohnt, deren Graphen = def ( ) 2 = () Kap. 2: Mehrdimensionale Analysis zu zeichnen; entsprechend k ¨ onnen wir nat ¨ urlich auch f ¨ ur eine Funktion : mit den Graphen = def ( ) = ( ) definieren; da dieser in + liegt, ist er allerdings nur f¨ ur + 3 wirklich anschaulich, und auch da kann es bei komplizierten Funktio- nen stark von der gew¨ ahlten Perspektive abh¨ angen, was man sieht. F¨ ur einfache reellwertige Funktionen zweier Ver¨ anderlicher jedoch ist der Graph sicherlich die einfachste Methode der Veranschaulichung. Beim Graphen der Funktionen : [ 1 1] [ 1 1] ( ) 4 2 2 in Abbildung 23 etwa sieht man recht gut, daß Teil einer Kugelober- fl¨ ache ist. -1 -0.5 0 0.5 1 x -1 -0.5 0 0.5 1 y 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Abb. 23: Graph der Funktion ( )= 4 2 2 Eine andere M ¨ oglichkeit zur Veranschaulichung von Funktionen zweier Ver¨ anderlicher ist von topographischen Karten her bekannt: Dort wird die H ¨ ohe ¨ uber dem Meeresspiegel, eine Funktion der beiden Ebenenko- ordinaten, dargestellt durch H ¨ ohenlinien. Entsprechend k¨ onnen wir f¨ ur

Analysis Kapitel - uni-mannheim.dehilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/HM1/teil10.pdf · 2003. 7. 15. · -1-0.5 0 0.5 1 y 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 Ab b. 23: Gr aph der Funktion ' ((

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inde

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tufe

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4 0gi

bt,s

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ß

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und

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tigke

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gibt

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nsch

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tzte

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einf

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rfur

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sNac

hrec

hnen

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noch

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ssie

htfu

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rdim

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s.

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ktio

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nem

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ich

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punk

tenk

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hzu

ent-

sche

iden

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nich

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eA

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nder

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ion

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Page 22: Analysis Kapitel - uni-mannheim.dehilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/HM1/teil10.pdf · 2003. 7. 15. · -1-0.5 0 0.5 1 y 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 Ab b. 23: Gr aph der Funktion ' ((

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