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Mecânica dos Fluidos Computacional
Aula 2Leandro Franco de Souza
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 1/22
Derivada Total
ρ1 = ρ(x1, y1, t1) e ρ2 = ρ(x2, y2, t2)
ρ2 = ρ1 + (x2 − x1)∂ρ
∂x+ (y2 − y1)
∂ρ
∂y+ (t2 − t1)
∂ρ
∂t
Dividindo por t2 − t1 temos:
ρ2 − ρ1
t2 − t1=
x2 − x1
t2 − t1
∂ρ
∂x+
y2 − y1
t2 − t1
∂ρ
∂y+
∂ρ
∂t
Dρ
Dt=
∂ρ
∂t+ u
∂ρ
∂x+ v
∂ρ
∂y(1)
⇒ Derivada total ou substantiva ou material.
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Conservacao do Momento
⇒ São obtidas pela aplicação da segunda Lei de Newton:
⇒ F = ma
Taxa de variação temporal do momento de uma partícula
=
Resultante das forças que agem sobre esta partícula
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Conservacao do Momento
ACELERAÇÃOTaxa de variação temporal do momento de uma partícula
⇒ Expressão para aceleração de um elemento de fluido quetenha velocidade u como função de suas coordenadasespaciais e, no caso de escoamentos transientes funçãotambém do tempo → u = u(x, y, t).
δu =δu
δxδx +
δu
δyδy +
δu
δtδt
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Conservacao do Momento
ACELERAÇÃO
δu =δu
δxδx +
δu
δyδy +
δu
δtδt
dividindo por δt, temos:
δu
δt=
Du
Dt=
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y(2)
⇒ Derivada total ou substantiva ou material de u.
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Conservacao do Momento
MASSA
⇒ A massa do elemento de fluido é dada pela expressão:
δm = ρ(δx)(δy)
tomando o limite de δx, δy → 0 temos:
dm = ρdxdy (3)
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Conservacao do Momento
FORÇAS
⇒ Forças de Campo: agem no fluido como um todo, isto ésobre cada ponto de um elemento de fluido.Ex.: gravidade, eletromagnética, centrífuga e de Coriolis.Forma geral: ρFdxdy, onde F é o vetor que representa aforça exercida no elemento de fluido por unidade de massa,ou seja, uma aceleração.
⇒ Forças de Superfície: agem apenas sobre a superfície doelemento de fluido.Ex.: Tensões viscosas normais e de cisalhamento devidoao atrito com os elementos de fluido adjacentes emmovimento.
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Conservacao do Momento
Tensões na direção x sobre um elemento de fluidobidimensional com área (δx)(δy) (fig 5.9)
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Conservacao do Momento
Força resultante na direção x sobre o elemento de fluido:
Faces esquerda e direita:
[(
p −δp
δx
1
2(δx)
)
−
(
τxx −δτxx
δx
1
2(δx)
)]
(δy) +
[
−
(
p +δp
δx
1
2(δx)
)
+
(
τxx +δτxx
δx
1
2(δx)
)]
(δy) =
(
−δp
δx+
δτxx
δx
)
(δx)(δy)
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Conservacao do Momento
Força resultante na direção x sobre o elemento de fluido:
Faces superior e inferior:
−
(
τyx −δτyx
δy
1
2(δy)
)
(δx) + +
(
τyx +δτyx
δy
1
2(δy)
)
(δx) =
δτyx
δy(δx)(δy)
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Conservacao do Momento
Força resultante na direção x sobre o elemento de fluido:
Somando temos:
(
−δp
δx+
δτxx
δx
)
(δx)(δy) +δτyx
δy(δx)(δy)
no limite δx, δy → 0 essa força vale:
(
−∂p
∂x+
∂τxx
∂x
)
(dx)(dy) +∂τyx
∂y(dx)(dy) (4)
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Conservacao do Momento
Reescrevendo a Segunda Lei de Newton:
ρ(dx)(dy)Du
Dt=
(
−∂p
∂x+
∂τxx
∂x
)
(dx)(dy)+∂τyx
∂y(dx)(dy)+ρFx(dx)(dy)
Simplificando obtemos nas duas direções:
ρDu
Dt= −
∂p
∂x+
∂τxx
∂x+
∂τyx
∂y+ ρFx (5)
ρDv
Dt= −
∂p
∂y+
∂τxy
∂x+
∂τyy
∂y+ ρFy (6)
⇒ Forma não conservativa.
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Conservacao da Energia
Variação temporal da energia no elemento = Fluxo resultante decalor para dentro do elemento + Trabalho realizado sobre oelemento pelas forças de campo e de superfície
ρDE
Dt= S + W (7)
que pode ser escrita na forma:
∂(ρe)
∂t+ ∇.(ρeV ) = ρ
∂Q
∂t−∇.q − p(∇.V ) + (8)
+τxx
∂u
∂x+ τyx
∂u
∂y+ τxy
∂v
∂x+ τyy
∂v
∂y
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Tensoes τij
Equações de Conservação de momento e energia:
ρDu
Dt= −
∂p
∂x+
∂τxx
∂x+
∂τyx
∂y+ ρFx (9)
ρDv
Dt= −
∂p
∂y+
∂τxy
∂x+
∂τyy
∂y+ ρFy (10)
∂(ρe)
∂t+ ∇.(ρeV ) = ρ
∂Q
∂t−∇.q − p(∇.V ) + (11)
τxx
∂u
∂x+ τyx
∂u
∂y+ τxy
∂v
∂x+ τyy
∂v
∂y
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Fluidos Newtonianos
A tensão τij na maioria dos fluidos são consideradoslinearmente proporcionais à taxa de deformação do elementode fluido.
τxx = 2µ∂u
∂x+ λ(∇.V )
τyy = 2µ∂v
∂y+ λ(∇.V )
τxy = τyx = µ
(
∂u
∂y+
∂v
∂x
)
Hipótese de Stokes:
λ = −2
3µ
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Equacoes para Fluidos Newtonianos
ρDu
Dt= −
∂p
∂x+
∂
∂x
[
2µ∂u
∂x+ λ(∇.V )
]
+∂
∂y
[
µ∂u
∂y+
∂v
∂x
]
+ ρFx
(12)
ρDv
Dt= −
∂p
∂v+
∂
∂x
[
µ∂u
∂y+
∂v
∂x
]
+∂
∂y
[
2µ∂v
∂y+ λ(∇.V )
]
+ ρFy
(13)
∂(ρe)
∂t+ ∇.(ρeV ) = ρ
∂Q
∂t+ ∇.q − p(∇.V ) + Φ (14)
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Simplificacoes das Eq. de Navier-Stokes
Escoamento Paralelo
⇒ somente um componente de velocidade é diferente de zero⇒ u = u(y, z, t); v ≡ 0 e w ≡ 0
⇒ desprezando as forças de campo, considerando um fluidonewtoniano temos:
ρ∂u
∂t= −
∂p
∂x+ µ
(
∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2
)
(15)
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Simplificacoes das Eq. de Navier-Stokes
Escoamento entre placas paralelas
⇒ Escoamento estacionário entre duas placas planasparalelas;
⇒ distância entre as placas 2b.
u = −1
2µ
dp
dx(b2
− y2) (16)
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Simplificacoes das Eq. de Navier-Stokes
Escoamento de Couette
⇒ Escoamento estacionário entre duas placas planasparalelas;
⇒ distância entre as placas h;⇒ uma das placas esta se movimentando com velocidade U .
u =y
hU −
h2
2µ
dp
dx
y
h(1 −
y
h) (17)
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Simplificacoes das Eq. de Navier-Stokes
Formação do Escoamento no movimento de Couette
⇒ Fluido entre duas placas planas paralelas;⇒ Uma das placa é acelerada abruptamente;⇒ não estacionário.
∂u
∂t= ν
∂2u
∂x2(18)
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Diferencas Finitas
⇒ Obtidas através da expansão de Taylor
Leandro Franco de Souza – [email protected] – p. 22/22
