Analysis S III ( e ) (Modul 4)web242.can65.de/Analysis_S_III_2020.pdf · 2020. 9. 12. · Analysis ( S III) Modul 4 Seite 2 (Ü 2) Berechnen Sie d0( h ) für h = 1 / n mit vier gültigen

Analysis S III ( e )

(Modul 4)

W.S. 2020 / 21

Deyke

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Analysis ( S III) Modul 4 Seite 1

Exponentialfunktionen

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion vom Typ

expa : x ---> ax , x ∈ ℝ

und a eine positive reelle Zahl ungleich 1. Die nachfolgende Abbildung (Abb. 1) zeigt einige Beispiele. Mit Exponentialfunktionen haben Sie früher exponenti-elle Wachstumsvorgänge beschrieben. Jetzt kommen weitere Anwendungen und vor allen Dingen Differenzial- und Integralrechnung mit diesen Funktionen.

Abb. 1

(Ü 1) Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen der Funktionen in Abb. 1.

Will man die Ableitung einer Exponentialfunktion finden, versagen alle bis-herigen Regeln; also müssen wir uns auf die Definition der Ableitung besinnen. Sie istder Limes eines Differenzenquotienten.

Zunächst bestimmen wir die Ableitung der Funktion

exp2 : x ---> 2x

an der Stelle x = 0. Für den Differenzenquotienten gilt:

2h - 20 2h - 1

( 1 ) d0 ( h ) = ----------- = --------- h h


(Ü 2) Berechnen Sie d0( h ) für h = 1 / n mit vier gültigen Nachkommastellen und tragen Sie die Ergebnisse in die nachfolgende Tabelle ein.

n d0( 1 / n )

1

5

10

20

50

100

200

500

1000

Tab. 1

Nachdem wir nun wissen, wie die Ableitung exp2 '( 0 ) (näherungsweise) heißt,untersuchen wir jetzt die Ableitung der Funktion exp2 an der Stelle x = 5.

(Ü 3) Finden Sie die Gleichung der Differenzenquotienten-Funktion d5( h ). Tabel- lieren Sie sodann die Werte dieser Funktion für h = 1 / n für dieselben Werte nwie in Aufgabe (Ü 2). Bestimmen Sie so näherungsweise die Ableitung exp2'( 5 ).

n d5( 1 / n )

1

5

10

20

50

100

200

500

1000

Tab. 2


Die Ableitung von exp2 an einer beliebigen Stelle x lässt sich auch mithilfe desErgebnisses aus Aufgabe (Ü 2) finden, wie die nachfolgende kleine Rechnung zeigt. Esist: 2x+h - 2x 2x ( 2h - 1) 2h - 1 dx( h ) = ----------- = ---------------- = 2x --------- = exp2( x )∙ d0 ( h ) h h h

und damit ( 2 ) exp2 '( x ) = lim dx( h ) = exp2( x )∙ lim d0 ( h ) = exp2( x )∙ exp2 '( 0 )

h → 0 h → 0

Für exp2'( 5 ) findet man demnach mit dem Ergebnis aus Aufgabe (Ü 2):

exp2'( 5 ) ≈ exp2( 5 )∙ 0,6931 = 25 ∙ 0,6931 = 22,1792

(vgl. auch das Ergebnis aus Aufgabe (Ü 3) ).

(Ü 4) Untersuchen Sie, welche Gleichung für expa '( x ) an die Stelle von Gl. ( 2 ) tritt, bei beliebiger Basis a und beliebiger Stelle x.

*

Offenbar ergibt sich, dass die Ableitung von expa : x ---> ax bis auf einenkonstanten Faktor wieder die Funktion expa ist; der konstante Faktor ist die Ableitungder Funktion an der Stelle 0.

Offene Fragen: Wie ermittelt man die Ableitung an der Stelle 0? Wie hängt der Faktorexpa '( 0 ) von der Basis a ab? Diesen Fragen gehen wir in den folgenden Aufgabennach.

(Ü 5) Berechnen Sie expa '( 0 ) als Grenzwert einer zugehörigen Differenzenquotien-ten-Funktion d0 für a = 2, 3, …. , 10. Es ist vorteilhaft, jetzt - anders als in den vorigen Aufgaben – die Sekantensteigung statt im Intervall [ 0 ; h ] im Intervall [ - h ; h ] für d0 zu nehmen. Tragen Sie Ihre Ergebnisse in der nachfolgenden Tabelle (Tab. 3) ein. Runden Sie expa '( 0 ) auf 3 Nachkommastellen.

a expa '( 0 )

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tab. 3

Die Ableitung von exp2 ist also das Produkt aus der Funktion selber und einemkonstanten Faktor, der die Ableitung der Funktion an der Stelle 0 ist.


(Ü 6) Suchen Sie nach Zusammenhängen in der Tabelle (Tab. 3). Die Suche wird ver-einfacht, wenn Sie Näherungswerte für expa

'( 0 ) mit nur einer Nachkomma-stelle betrachten. Vergleichen Sie insbesondere die Ableitungen für a = 2, a = 4und a = 8.

Der konstante Faktor in der Ableitung expa '( x ) hängt nicht von x ab (darum ister konstant), er hängt aber sehr wohl von a ab; er ist also eine Funktion von a, also

( 3 ) L : a ----> expa '( 0 ) = L( a )

(der „Leitwert“ von a).

Die Ergebnisse aus Aufgabe (Ü 6) lassen sich dann so formulieren:

L( 4 ) = L ( 22 ) = 2 L( 2 ) und L( 8 ) = L( 23 ) = 3 L( 2 )

oder L( 2 * 2) = L( 2) + L( 2 ) und L( 2 * 4) = L( 2 ) +[ L( 2 ) + L( 2 )]

= L( 2 ) + L( 4 ).

Das sieht nach folgender Regel aus:

( 4 ) L( a b ) = L( a ) + L ( b )

Eine derartige Regel kennen wir von Logarithmusfunktionen (siehe Klasse 10).

Mit den Ergebnissen aus Aufgabe (Ü 6) lassen sich weitere Tests für Gl. ( 4 )durchführen; etwa

L( 2 * 5 ) = L( 2 ) + L( 5 ) ? L( 2 * 3 ) = L( 2 ) + L( 3 ) ?

(Ü 7) Führen Sie derartige Tests durch.

Die allgemeine Gültigkeit von Gl. ( 4 ) lässt sich aber auch einfach beweisen:

Wir untersuchen die Funktion f : x ----> ax bx . Wir bilden die Ableitung von f einerseitsnach der Produktregel der Differenzialrechnung und andererseites unter Verwendungeines Potenzgesetzes. Man erhält:

( 5 ) f '( x ) = ( L( a ) ax ) bx + ax ( L( b ) bx ) = ( L( a ) + L( b ) ) ax bx

( 6 ) f ‘( x ) = ( ab )x ' = L( ab ) ( ab )x = L( ab ) ax bx

Nach ( 5 ) ergibt sich f '( 0 ) = L( a ) + L( b ) und nach ( 6 ) f '( 0 ) = L( ab ). Insgesamtfindet man also:

L( a ) + L( b ) = L( ab )

Das ist aber gerade Gl. ( 4 ).

Wenn L eine Logarithmusfunktionen sein sollte, so ist L jedoch von log10

verschieden, denn man hat L( 10 ) = 2,30 ≠ log10 ( 10 ) = 1.


Es ist bereits erkannt, dass L eine Logarithmusfunktion ist. Wir wissen abernoch nicht, zu welcher Basis a sie gehört. Bekannt ist jedoch bei uns (s.o.):

( 7 ) L( 2 ) ≈ 0,693 und L( 3 ) ≈ 1,099

Man vermutet die Existenz einer Zahl a, für welche L( a ) = 1 gilt. Wir werden durchProbieren einen Näherungswert für a bestimmen. Wir rechnen nach dem Verfahrenaus Aufgabe ( Ü 5 ). Man findet:

L( 2,5 ) ≈ 0,916

Für a wird also gelten: 2,5 ≺ a ≺ 3,0. Für a = 2,7 ergibt sich L( 2,7 ) ≈ 0,993 .Überdies ist L( 2,8 ) ≈ 1,030. Die gesuchte Basis ist also

a ≈ 2,7

Genauere Untersuchungen ergeben: a ist eine irrationale Zahl (nicht abbrechend,nicht periodisch). Ein Näherungswert heißt: a ≈ 2,718281828 (z.B. TR).

Um diese Basis a hat sich der schweizer Mathematiker Leonhard Euler (* 15. März1707 in Basel, † 18. September 1783 in St. Petersburg) verdient gemacht. Euler führtediese Zahl – sie wird nun e genannt – in seinem 1748 erschienenen Buch Introductioin Analysin Infinitorum ein und berechnete sie auf 23 Nachkommastellen. e heißtEulersche Zahl. Die Exponentialfunktion zur Basis e wird kurz e – Funktion genannt.Die Umkehrfunktion der e- Funktion wird seit Euler die natürliche Logarithmus-funktion genannt und mit ln (logarithmus naturalis) bezeichnet.

Zur Person Leonhard Euler :

Leonhard Euler war einer der produktivsten Wissenschaftler, was sowohl Fülle und Be-deutsamkeit als auch Vielseitigkeit seiner Beiträge angeht. Zwar gilt er vor allem alsMathematiker, doch hat er unter Nutzung der Mathematik, insbesondere deranalytischen Methode, auch andere wissenschaftliche Gebiete (Mechanik,Planetenbewegung, Strömungslehre, Optik u.a.) erfolgreich bearbeitet. Seinemathematischen Arbeiten beschäftigten sich vor allem mit Problemen der Analysisund der Zahlentheorie.

Quelle: www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/leonhard-euler

Da L( e ) = ln( e ) = 1 ist, haben wir folgendes Ergebnis gewonnen:

Satz 1:

Damit ist das Problem der Ableitung einer Exponentialfunktion x ---> ax vollständiggelöst.

Die e-Funktion expe : x –-> expe( x ) = ex ist die einzigeExponentialfunktion, die ihre eigene Ableitung ist:

expe'( x ) = expe( x )

http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/leonhard-euler


Satz 2:

Abb. 2

Graphen der e – Funktion und der ln - Funktion

(Ü 8) Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

a) f( x ) = 2 + ex b) f( x ) = e2 x c) f( x ) = e7 x

d) f( x ) = 2 x + ex e) f( x ) = 4 e3 x f) f( x ) = 0,5 e4 x

g) f( x ) = 2 ex + 1 h) f( x ) = ⅓ e- 3 x i) f( x ) = x2 + e0,5 x

j) f( x ) = - 0,4 e - 5 x = - 0,4 expe( - 5 x ) ) k) f( x ) = 3 e2 x + 1 =

3 expe(2 x + 1)

l ) f( x ) = 5 e - 3 x – 2 = 5 expe( - 3 x - 2 )

(Ü 9) Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen an der Stelle x = 2:

a) f( x ) = x ex b) f( x ) = ( x + 1 ) ex c) f( x ) = 2x + 3x

d) f( x ) = x 2x e) f( x ) = x 2x f) f( x ) = 4- x = exp4( - x)

g) f( x ) = 32 x + 1 = exp3( 2 x + 1) h) f( x ) = ( exp3( x )

Es gilt:

expa '( x ) = ln( a ) expa ( x ) für alle x ∈ ℝ

Analysis ( S III) Modul 4 Seite 6 A

Abb. 3

Aufgabe:

Ordnen Sie den Graphen a, b, c und d aus Abb. 3 den zugehörigen Funktions-term zu:

f( x ) = E( 2 x – 5 ) ; g( x ) = ½ x E( x ) ; h( x ) =E( - x + 3 ) ;

i( x ) = x2 E( - x )


Modelle zu Wachstums- und Veränderungsprozessen

unter Verwendung von Exponentialfunktionen

mit linearen Exponenten

(Ü 10) (ein Planspiel) ( g )


Anmerkungen zu Aufg. (Ü 10):

Die Funktionen in (Ü 10) – sie sind kaum lesbar – lauten:

f( t ) = 5 + expe( - 0,02 t )

und p( t ) = 40 – 25 expe( - 0,1 t )

Im 2. Teil: wk( t ) = 90 expe( k t )



(Ü 11) (Fluss)


*


Differenzial- und Integralrechnung

mit dem natürlichen Logarithmus

Verabredung für alle folgenden Aufgaben:

E( x ) : = ex

_ _Sei f eine reelle Funktion und f ihre Umkehrfunktion. Dann ist f ∘ f = id, die

sog. identische Funktion

id : x → id( x ) = x

_Ist f differenzierbar, so ist auch f differenzierbar und es gilt mit f( x ) = y. Daraus ergibtsich eine Ableitungsregel für eine Umkehrfunktion: _ ‚ _ ‚ 1( * ) id ‘( x) = 1 = f ( f( x ) ) f ‘( x ) => f ( y ) = --------- für f ‘( x ) ≠ 0 f ‘( x )

_Hinweis: Man beachte die unterschiedlichen Stellen, an denen f und f differenziert werden.

Eine geometrische Begründung der Ableitungregel ( * ) findet man beispielsweise inL.S. (Analysis, p. 124).

Ableitung der Funktion ln : x → ln ( x ):

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der E – Funktion (s. auch Abb. 2,p. 6). _ Für f( x ) = E( x ) und f ( x ) = ln( x ) ergibt sich nach Gl. ( * ):

1 1 1 1 ln ‘( x ) = ---------- = -------------- = -------------- = ---- für x ≠ 0 E ‘( y ) E ‘( ln( x ) E( ln( x ) ) x

Satz 3:

(Ü 12) Berechnen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen:

a) f( x ) = 2 ln( x ) b) f( x ) = ln( 2 x ) c) f( x ) = ln( x + 2 )

d) f( x ) = ln( x2 ) e) f( x ) = ln2( x ) f) f( x ) = x2 ln( x )

Die Ableitung der Funktion ln: x → ln( x ), x ∈ ℝ+ ist

1 ln ‘( x ) = ----- x


(Ü 13) Bestimmen Sie die Monotonieintervalle von f:

a) f : x --->x ln( x ), x > 0 b) f : x --->x2 ln( x ), x > 0

c) f : x --->x2 ln( x2 ), x > 0 d) f : x --->x2 - 2 ln( x ), x > 0

*

Die Ableitung einer Logarithmus – Funktion mit beliebiger Basis a:

Wir berechnen die Ableitung loga ‘( x ) unter Verwendung der Ableitungsregel füreine Umkehrfunktion (Gl. ( * ), p. 12).

expa loga y -----→ x -----→ y

1 1 1 1 loga ‘( x ) = -------------- = ----------------------- = -------- ∙ -------------------- expa ‘( y ) expa( y ) ln( a ) ln( a ) expa( loga ( x )

1 1 ln ‘( x ) ln ( x ) = ---------- ∙ ----- = ---------- = ( ----------)‘

ln( a ) x ln ( a ) ln ( a )

Damit erhalten wir

Satz 4:

*

(Ü 14) Berechnen Sie nachfolgende bestimmte Integrale:

4 2 5 3 2 4a) ∫ ---- dx b) ∫ -------- dx c) ∫ ------------ dx 2 x 2 x + 1 -1 2 x + 3

(Ü 15) Berechnen Sie die Ableitung von log4 an der Stelle xo = 3.

*

Deyke, 2020-09-10

Die Ableitung der Funktion loga x → loga ( x ), x ∈ ℝ+ ist

1 1 ln ( x ) loga ‘( x ) = ---------- ∙ ----- = ( ----------)‘

ln( a ) x ln ( a )


(Ü 16) (Luftdruck / Abi ( e ))

2020-09-11


(Ü 17) Mit jeder ganzen Zahl k kann die Funktion

fk : x --→ (x – k)2 ex

gebildet werden. Abb. 4 zeigt, wie die Graphen dieser Funktionenschar in der Nähe von 0 ungefähr verlaufen.

Abb. 4 (Tischel ∙ Tobel: Analysis)

17.1 Untersuchen Sie die Funktion f2 : x --→ (x – 2)2 ex in Hinblick auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Monotonieintervalle und Hoch- und Tiefpunkte.

17.2 Untersuchen Sie in gleicher Weise wie unter 17.1 eine beliebige Funktion fk aus der Funktionenschar.

Klären Sie, wie sich die Lage der Hoch- und Tiefpunkte mit wachsendem k ändert.

17.3 Die Schnittstelle der Graphen von f2 und f1 werde mit s bezeichnet.

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die zwischen diesen beiden Graphen in den Grenzen von – s bis s liegt.

Tipp: Eine Aufleitung zur Funktion g : x --→ x ex ist die Funktion G : x --→ x ex - ex

(Ü 18) Mit jede positive reelle Zahl k ist die Funktion

fk : x --→ k x – x ln( x ) , x ∈ ℝ+

definiert. Abb. 5 zeigt die Graphen einiger Funktionen fk.


Abb. 5 (Tischel ∙ Tobel: Analysis)

18.1 Bestimmen Sie die Parameter k zu denjenigen Funktionen in Abb. 5, für die dies (leicht) möglich ist.

18.2 Bestätigen Sie die Gleichungen:

fk ‘( x ) = k – 1 – ln( x ) und fk ‘‘( x ) = 1 / x

18.3 Zeigen Sie: f4 hat genau eine Nullstelle, genau eine Extremstelle und keine Wendestelle.

18.4 Bestimmen Sie allgemein die Nullstelle und die Extremwertstelle von fk.

Zeigen Sie: Alle Extremwertpunkte liegen auf einer Geraden.

18.5 Das Flächenstück, welches zwischen den Graphen von f2 und f3 in den Grenzen von 3 bis 6 liegt, werde mit M bezeichnet.

Skizzieren Sie das Flächenstück M und berechnen Sie seinen Inhalt.

(Ü 19) Analysis ( e ):


Anmerkung zur Funktion h:

h( x ) = 5 x2 E( 2 / 3 ∙ x3 )


2020-09-12

L ö s u n g ( Ü 19 )

L ö s u n g ( Ü 19 ) Seite 2

2020-09-26


Die nachfolgende Aufgabe behandelt eine von dem deutschen MathematikerCarl Friedrich Gauß (1777 – 1855) - Bild: L.S. (Stochastik), p. 126 - eingeführteFunktion φ, die von großer Bedeutung für die Stochastik ist, wie Sie alsbald sehenwerden:

1 x2

φ : x ⟶ ------------ E( - ----- ) = φ( x ) √ ( 2 π ) 2

(Ü 20) ( φ – Funktion )

20.1 Untersuchen Sie die Gauß‘sche φ – Funktion in Hinblick auf Symmetrie, Extrem- und Wendepunkte.

20.2 Skizzieren Sie den Graphen Gφ der φ – Funktion.

20.3 Bestätigen Sie, dass φ eine „Wahrscheinlichkeitsdichte über ℝ“ ist. (Zum Begriff Wahrscheinlichkeitsdichte lese man L.S. (Stochastik), p. 121.)

20.4 Wir studieren den Zusammenhang zwischen der Gauß‘schen φ – Funktion und den Glockenkurven, welche im Zusammenhang mit den „Glockenkurven“ und der Binomialverteilung auftreten (L.S. (Stochastik), p. 69, Fig. 2).

3

20.5 Berechnen Sie ∫ φ( x ) dx mit Ihrem TR, indem Sie das Integral als eine „kumu-

1

lierte Normal-Verteilung“ deuten ( P( 1 ≤ X ≤ 3 ), X normalverteilt).

*

Deyke, 2020-10-17

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Analysis S III ( e ) (Modul 4)web242.can65.de/Analysis_S_III_2020.pdf · 2020. 9. 12. · Analysis ( S III) Modul 4 Seite 2 (Ü 2) Berechnen Sie d0( h ) für h = 1 / n mit vier gültigen