Andreas Pallack / Ursula Schmidt (Hrsg.)

Daten und Zufall im Mathematikunterricht

Mit neuen Medien verständlich erklärt

Bildquellen: S. 7: mit freundlicher Genehmigung von Sven Plöger; S. 69 Bild unten: © HoRa 2000 E; alle übrigen Fotos: Herausgeber und Autoren

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Projektleitung: Gabriele Teubner-Nicolai, BerlinRedaktion: Jürgen Grimm, BraunschweigGraphik: Fromm MediaDesign, Selters im TaunusUmschlaggestaltung: Magdalene Krumbeck, WuppertalUmschlagfoto: shutterstock.comLayout/technische Umsetzung: Fromm MediaDesign, Selters im Taunus

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1. Auflage 2012

© 2012 Cornelsen Verlag, Berlin

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Druck: CPI – Clausen & Bosse, Leck

ISBN 978-3-589-23288-8

L Inhalt gedruckt auf säurefreiem Papier aus nachhaltiger Forstwirtschaft.

Inhalt 5

Inhalt

Einleitung (Pallack) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Daten und Zufall mit digitalen Werkzeugen untersuchen(Pallack) . . . . . . . 10

2 Die Leitidee Daten und Zufall (Schmidt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Wie verschafft man sich einen Überblick? (Pallack) Daten graphisch darstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kopiervorlage: Daten erheben und auswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Gibt es mehr als eine Mitte? (Langlotz, Zappe, Pallack) Arithmetisches Mittel und Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kopiervorlage: Anzahlen schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Kann man allem, was man sieht, trauen? (Brode, Malik) Manipulation des Informationsgehalts von Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kopiervorlage: Fußballstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Kann weniger und weniger mehr sein? (Pallack) Relative Häufigkeiten berechnen und deuten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kopiervorlage: Neueinführung eines Menüs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Auf was soll ich wetten? (Pallack) Wahrscheinlichkeiten bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kopiervorlage: Mal anders würfeln …? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8 Bin ich ein Zufallsgenerator? (Grabinger, Pallack) Umgang mit subjektiven Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kopiervorlage: Bin ich ein Zufallsgenerator? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

9 Wo liegen die meisten Werte? (Pallack) Boxplots erstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kopiervorlage: Friseurbesuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10 Wie wahrscheinlich ist es, mehr als einmal zu treffen? (Schmidt) Mehrstufige Zufallsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Kopiervorlage: Biathlon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Inhalt

11 Wann muss man um die Ecke denken? (Pallack, Langlotz, Schmidt) Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Kopiervorlage: Inhalt einer Urne analysieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12 Wer ist besser und wer ist näher dran? (Schmidt) Streuung von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Kopiervorlage: Schulwege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

13 Gibt es da einen Zusammenhang? (Brode, Malik) Modellierung von Trends mit linearer Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Kopiervorlage: Vergleich von Körper- und Schuhgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

14 Wie stark hängen zwei Datenreihen zusammen? (Hüllen, Schmidt) Korrelationen bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Kopiervorlage: Zusammenhängen auf der Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

15 Welches Muster ergibt sich durch Zufall? (Grabinger, Pallack) Die Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Kopiervorlage: Mäuselabyrinth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

16 Wie sicher ist eine Behauptung? (Schmidt) Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Kopiervorlage: Mit Quadern würfeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

17 Wie erfahre ich etwas über viele Leute? (Schmidt) Wahrscheinlichkeiten schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Kopiervorlage: Von der Stichprobe zur Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

18 Sind glockenförmige Verteilungen normal? (Schmidt) Normalverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Kopiervorlage: Binomialverteilungen unter die Glocke bringen . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

19 Wie kann man Meeresschildkröten retten? (Schmidt) Übergangsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Kopiervorlage: Meeresschildkröten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Onlineangebot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

20 Wie würfelt ein Computer? (Grabinger, Pallack) Hintergrundwissen Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Wie man Zufallszahlen erzeugt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Lineare Kongruenzgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

50 7 Auf was soll ich wetten?

Auf was soll ich wetten?7Wahrscheinlichkeiten bestimmenMit Wahrscheinlichkeiten kann man das langfristige Verhalten eines Zu-fallsgeräts prognostizieren. Wir überschreiten in diesem Kapitel die Grenze von Daten zum Zufall. Wahrscheinlichkeiten sind keinesfalls so handfest wie relative Häufigkeiten, sondern theoretische Größen, denen man sich im Unterricht im Wesentlichen auf zwei Wegen nähern kann: 1. durch die (theoretische) Analyse von Zufallsgeräten2. durch Serien von Zufallsversuchen mit dem Zufallsgerät

BeispielAls Zufallsgerät stehen eine Münze und ein Kronkorken, der vorsichtig von einer Flasche entfernt wurde, zur Verfügung. Sie sollen einmal geworfen werden. Wür-dest du eher auf Kopf bei der Münze oder die Innenseite des Kronkorkens wetten?

Beim Kronkorken könnte man annehmen, dass er mit einer größeren Wahrscheinlichkeit auf der gezackten Seite landet, da der Rand den größe-ren Radius hat. Andererseits ist die bedruckte Seite abgerundet, so dass der Kronkorken möglicherweise häufiger auf dieser Seite landen könnte. Dies sind nur Beispiele für mögliche Begründungen, eine Theorie des Kronkor-kenwurfs ist uns nicht bekannt.

Die Münze weist in der Regel eine ausgezeichnete Symmetrie auf. Des-halb muss man sie nicht 100-mal werfen, sondern ordnet jeder Seite direkt die Wahrscheinlichkeit 1 _ 2 zu.

Bei 100 Würfen mit dem Kronkorken landete er in 40 Fällen mit der In-nenseite nach oben. Ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit ist also 40/100. Man sollte also auf die Münze wetten.

Als Ereignis E bezeichnet man eine Menge von Ergebnissen, z. B. die Menge aller geraden Zahlen beim Würfeln mit einem Spielwürfel. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis E eintritt, ist P(E) = 3 _ 6 = 1 _ 2 .

Können die Eigenschaften eines Zufallsgeräts gut beschrieben werden und erschei-nen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, spricht man von einem Laplace-Experi-ment. Für jedes Ereignis kann man die Wahrscheinlichkeit angeben:

P(E) = Anzahl der Elemente von E , Anzahl der Elemente von Ω

wobei E die günstigen und Ω alle (endlich viele) Ergebnisse enthält.

Laplace- Experiment

Wahrscheinlichkeiten bestimmen 51

Ist das nicht möglich, kann man mithilfe von Zufallsexperimenten einen Näherungs-wert für die Wahrscheinlichkeit angeben. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ist immer gleich 1.

Das Wissen um die Wahrscheinlichkeit ist für das Wetten wichtig (Präper-spektive), bietet aber trotzdem keine Sicherheit (Postperspektive). Jedes Spiel ist einmalig, die Versuche sind voneinander unabhängig und bei einer Wiederholung unter gleichen Bedingungen ist jedes Ergebnis möglich. EichlEr & VogEl (2009, 160) sprechen im Zusammenhang mit der Endlich-keit der möglichen Versuche von einer „unangenehmen Unsicherheit“. Die-ses oder ein vergleichbares Gefühl sollte im Unterricht entstehen, bevor man den Begriff der Wahrscheinlichkeit definiert. Eine sprachliche Defini-tion, die man gemeinsam mit Schülern entwickelt, könnte z. B. lauten:

Die Ergebnisse von Experimenten mit Zufallsgeräten kann man nicht ex-akt vorhersagen. Jedoch kann man den Ergebnissen, z. B. durch das Betrachten von Symmetrien oder Daten zu den Zufallsgeräten, Wahr-scheinlichkeiten zuordnen. Angemessen gewählte Wahrscheinlichkeiten beschreiben das Verhalten des Zufallsgeräts auf lange Sicht gut. Mit Wahr-scheinlichkeiten kann man jedoch keine Ergebnisse vorhersagen. Ausnah-men sind das sichere Ereignis (p = 1) oder das unmögliche Ereignis (p = 0).

Die Rolle des RechnersBei der Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs ist der Umgang mit realen Zufallsgeräten sehr wichtig. Sind jedoch Schätzwerte für die Wahr-scheinlichkeit festgelegt, bekommt der Rechner eine große Bedeutung, da er es erlaubt, viele Experimente in kurzer Zeit durchzuführen. Man kann so früh der Fehlvorstellung entgegenwirken, dass Zufallsgeräte ein Gedächtnis haben („irgendwann muss ja der Kopf fallen“), was für die Behandlung mehrstufiger Zufallsversuche (Stichwort: stochastische Unabhängigkeit) unverzichtbar ist.

Der Rechner sollte einerseits zur Auswertung der Zufallsversuche genutzt werden − eine Funktionalität, die die Schüler bereits kennengelernt haben. Neu ist hingegen das Durchführen von Simulationen mithilfe von Zufalls-zahlen. Die Beschränkung auf einige wenige Zufallsgeräte und Versuchs-wiederholungen kann damit aufgehoben werden − natürlich verknüpft mit dem Nachteil, dass man vorher Wahrscheinlichkeiten angeben muss.

Auf was soll ich wetten?

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Mal anders würfeln …?

Maria und Dominik wollen das „Mensch-ärgere-dich-nicht“-Spiel ein wenig aufpeppen und mit anderen „Würfeln“ spielen. Eigentlich braucht man eine „6“, um auf das Spielfeld zu kommen. Sie wollen stattdessen abwechselnd eines der abgebildeten Zufallsgeräte wählen lassen.

• Ein Holz-Quader mit den Augenzahlen von 1 bis 6 wird wie ein Würfel geworfen. Man kommt auf das Spielfeld, wenn die „5“ fällt.

• Drei Plättchen mit der Aufschrift O, M und A. Sie werden in ein Säckchen gesteckt und nacheinander gezogen. Als „neue 6“ gilt die Buchstabenfolge „OMA“.

• Ein Glücksrad mit den Einteilungen wie im Bild. Der Pfeil wird gedreht − man darf auf das Spielfeld, wenn der Pfeil auf das helle Feld zeigt.

• Fünf rote und eine gelbe Kugel, die ebenfalls in ein Säckchen gesteckt werden. Es wird genau eine Kugel verdeckt gezogen. Ins Spiel darf man, wenn man die gelbe Kugel zieht.

a) Probiert jedes Zufallsgerät einmal(!) aus. Welche „neue 6“ würdest du als Spieler wäh-len? Begründe deine Antwort.

b) Du darfst nun ein Zufallsgerät rund 15 Minuten testen und dann erneut wählen. Wel-ches Zufallsgerät soll ausprobiert werden? Formuliert vorab eine Frage, die der Ver-such beantworten kann/soll.

c) Gib Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse „Augenzahl 5“, „Buchstabenfolge OMA“, „Helles Feld“, „Gelbe Kugel“ an.

d) Auch für das eigentliche Spiel sollen statt eines Würfels andere Zufallsgeräte genutzt werden. Welche Zufallsgeräte könnten ein „Mensch-ärgere-dich-nicht“-Spiel beson-ders interessant, welche besonders langweilig machen?

52 7 Auf was soll ich wetten? Webcode: ZM232888-009

Wahrscheinlichkeiten bestimmen 53

Information und KommentarZu den Zufallsgeräten: Unser Holz-Quader hat die Abmessungen 2  cm, 2 cm und 2,5 cm. Das Glücksrad ist in 4 Sektoren zu 1 _ 2 , 1 _ 4 , 1 _ 8 und 1 _ 8 unterteilt. Die Zufallsgeräte lassen sich vergleichsweise leicht selbst zusammen- bzw. herstellen. Ein Glücksrad lässt sich aus verschiedenen Materialien herstel-len, z. B. kann man den Zeiger durch eine Flasche ersetzen und den „Ge-winn-Bereich“ mit Klebeband auf dem Boden markieren. Einen Quader kann man von einer Latte absägen oder aus fester Pappe herstellen. Die Säckchen mit den Kugeln oder Buchstabenplättchen erklären sich von selbst.

Die Aufgabe zielt primär darauf ab, die beiden eingangs beschriebenen Zugänge zum Begriff der Wahrscheinlichkeit gegenüberzustellen und na-türlich auch miteinander zu vereinbaren.

a) Da jedes Zufallsgerät nur einmal ausprobiert werden darf, möglichst im Plenum, ist die Aussagekraft der Experimente eher gering. In der Regel wer-den die Schüler recht schnell beginnen zu spekulieren. Die Diskussion be-reitet Teil b) wesentlich vor.b) Glücksrad und Urne (hier: Säckchen) sind vergleichsweise leicht zu be-schreiben. Ziehen aus einer Urne und Drehen eines Glücksrads (bei glei-cher Größe der Felder) sind klassische Laplace-Experimente.

Das Ziehen der Buchstabenplättchen lässt sich im Kopf leicht durchführen. Sollten sich Lernende für die Analyse dieses Zufallsgeräts entscheiden, sind 15 Minuten vergleichsweise hoch angesetzt. Die Menge der Ergebnisse ist beschränkt und sämtliche Ergebnisse (OMA, MAO, AOM, AMO, MOA, OAM) sind gleichwahrscheinlich. Es handelt sich um ein La place- Experiment.

Am wenigsten weiß man wohl über den Quader. Dieser entzieht sich ei-ner theoretischen Analyse zwar nicht vollständig, jedoch in weiten Teilen (vertiefende Informationen zur theoretischen Analyse solcher Quader fin-det man in riEmEr & Stoyan (2011)). Man findet einige Symmetrien. Die Augenzahlen 1, 3, 4 und 6 sollten deswegen gleichwahrscheinlich sein eben-so wie 5 und 2, die sich gegenüberliegen. 5 und 2 sollten mit einer Wahr-scheinlichkeit von kleiner als 1 _ 6 fallen. Die anderen Augenzahlen entspre-chend mit einer größeren Wahrscheinlichkeit. Diese Überlegung sollte man mit den Schülern aber erst im zweiten Schritt anstellen, nachdem bereits Erfahrungen mit dem Zufallsgerät gewonnen wurden.

Der Quader wurde insgesamt 100-mal geworfen und die Ergebnisse mit Hilfe einer Tabellenkalkulation erfasst und ausgewertet.

Zufallsgeräte basteln …

… und ausprobieren

54 7 Auf was soll ich wetten?

In Spalte A wurden die Er-gebnisse der Versuche ein-getragen. In den Zellen C1 bis H1 stehen die mögli-chen Ergebnisse. Die An-zahl der Einsen wer-den − hier mit der Formel ZÄHLENWENN; im eng-

lischen COUNTIF − automatisch gezählt. Damit die Zelladressen beim Ko-pieren in die Zellen C2 bis H2 nicht verändert werden, wird in der Formel der zu durchsuchende Bereich ($A1:$A100) mit $-Zeichen vor dem A ver-sehen. Die zusammengefassten Ereignisse wurden in den Zellen E4 und E5 berechnet.

Als Resultat erhält man die (vorläufige) Schätzung einer Wahrscheinlich-keit für das Ereignis „5 fällt“, die sich durch größere Fallzahlen verfeinern ließen. Je nachdem welcher Argumentation man folgt, erhält man 8 % (bei 100 Würfen ist insgesamt 8-mal die 5 gefallen) oder 7 % (bei 100 Würfen ist insgesamt 14-mal eine der Seiten mit dem kleinen Flächeninhalt gefallen). riEmEr & Stoyan (2011, 210) kommen für einen ähnlichen Quader (2,1 cm, 2 cm, 2,3 cm) auf Werte in der gleichen Größenordnung, rund 10 %.

c) In diesem Aufgabenteil wird das erste Mal der Begriff Wahrscheinlichkeit verwendet. Man sollte ihn − im obigen Sinne − bewusst und deutlich zu der Berechnung relativer Häufigkeiten kontrastieren. Wir schlagen für die Zu-fallsgeräte folgende Wahrscheinlichkeiten vor:P(„5 fällt“) = 8 %P(„OMA“) = 1 _ 6 ≈ 16,7 %P(„helles Feld“) = 1 _ 8 = 12,5 %P(„gelbe Kugel“) = 1 _ 6 ≈ 16,7 %Als Spieler sollte man also für sich die Buchstabenplättchen oder die gelbe Kugel wählen.d) Diese recht offene Aufgabe verbindet den Spielgedanken mit der Wahr-scheinlichkeit von Ereignissen. Jeder, der schon einmal „Mensch-ärgere-dich-nicht“ gespielt hat, weiß, wie nervig es ist, beim dreimaligen Würfeln keine 6 zu bekommen. Würde man nun z. B. die 5 des Quaders verwenden, gäbe es lange Serien von Würfen mit Nieten.

Formeln für eine Tabellenkalkulation

Wahrscheinlichkeiten bestimmen 55

Je nachdem wie das Spiel gestaltet wird, kann das natürlich auch gerade spannend sein. Schließlich fällt bei diesem Quader die 6 mit einer Wahr-scheinlichkeit von 21 %.

Simuliert wurde hier (mit TI-Nspire™) der 10-fache Wurf eines Zufallsgeräts, das mit der Wahrschein-lichkeit 8 % „1“ anzeigt und sonst „0“.

Für Spannung können Zufallsgeräte sorgen, die ihre Wahrscheinlich keit im Laufe des Spiels ändern (z. B. eine Urne mit 6 weißen und 6 mit Zahlen be-schrifteten Kugeln). Die weißen werden nicht zurückgelegt und zählen als Niete, die beschrifteten werden wie Würfelaugen gezählt und jeweils zu-rückgelegt.

OnlineangebotHier können Sie einige der in der Kopiervorlage beschriebenen Experimen-te simulieren. Sie lernen dabei unterschiedliche Möglichkeiten kennen, Zu-fallszahlen zu erzeugen bzw. aus einer Liste zu ziehen.

In den folgenden Beschreibungen finden Sie auch Bedienhinweise für Ta-bellenkalkulationen (außer Experiment 3).

1. Experiment: Dreimaliges Würfeln mit einem Spielwürfel

Links sehen Sie die Umsetzung mit TI-Nspire™.In anderen Tabellenkalkulationen können Sie ganzzahlige Zufallszahlen von 1 bis 6 mit dem Befehl = GANZZAHL(6*ZUFALLSZAHL() + 1) erzeugen. Diese Formel schreiben Sie in die Zel-len A1 und kopieren sie nach A2 und A3.

2. Experiment: Würfeln mit dem Quader. Die Ergebnisse 2 und 5 fallen mit der Wahrscheinlichkeit von 8 %, die Ergebnisse 1, 3, 4 und 6 mit der Wahr-scheinlichkeit von 21 %.

www.cornelsen.de/webcodes

Glücksspiele simulieren

Webcode: ZM232888-10

In vielen Tabellenkalkula-tionen erzeugen Sie eine Zufallszahl z aus dem In-tervall  0 ≤ z < 1 mit dem Befehl=ZUFALLSZAHL(). Diese Formel tragen Sie in A1 ein und kopieren sie nach unten. Die Anzahl der Einsen bestimmen Sie mit der Formel

=ZÄHLENWENN(A1:A100;"<=0,21"). In der Abbildung sehen Sie die Umsetzung mit TI-Nspire™ – der Zählbefehl lautet hier countif(.).

3. Experiment: Ziehen aus dem Säckchen mit den Plättchen O, M, A. Dabei werden zwei Varianten (ohne Zurücklegen und mit Zurücklegen) berück-sichtigt.

Das Experiment läuft nach dem Starten vollständig automatisiert ab. Es bie-tet sich deswegen nicht an, mit dieser Simulation zu beginnen. Sie kann vielmehr eingesetzt werden, um theoretische Überlegungen zu unterstüt-zen oder um Verständnisschwierigkeiten aufzudecken. Die prozentuale Auswertung erhalten Sie, wenn Sie mit dem Mauszeiger auf die entspre-chenden Balken gehen.

56 7 Auf was soll ich wetten? Webcode: ZM232888-010

Hypothesentests 113

Wie sicher ist eine Behauptung? 16HypothesentestsEine Möglichkeit, ins Testen einzuführen und Testen als Methode zur Ent-scheidungsfindung zu erleben, kann die Diskussion über ein aktuelles kom-munales Problem sein, bei dem sich zwei Parteien mit gegensätzlichen Inte-ressen gegenüberstehen.

BeispielIm Zuge der Umgestaltung der Innenstadt wurde eine herkömm liche Straße zu einem durchgehend gepflasterten Platz ausgedehnt, den sich Fußgänger, Radfah-rer und Autofahrer als gleichberechtigte Verkehrsteilnehmer teilen sollen. Deshalb gibt es eine Geschwin digkeitsbegrenzung auf Tempo 10 km/h. Seit der Eröffnung dieses Platzes gehen bei der Stadtverwaltung ständig Beschwer-den darüber ein, dass die meisten Autos zu schnell fahren. Eine Verkäuferin, die das Verkehrsgeschehen in den letzten Monaten beobachtet hat, behauptet stellver-tretend für viele Bürger: „Höchstens 15 % aller Verkehrsteilnehmer halten die vor-gegebene Geschwindigkeit von 10 km/h ein.“ Die Opposition im Stadtrat fordert die Einrichtung eines Zebrastreifens. Die Stadtverwaltung lehnt das ab mit der Behauptung, dass nach ihren Beobachtungen der größte Teil der Autofahrer „nicht übermäßig schnell fährt“.

Die Situation ist typisch für viele Diskussionsprozesse, die damit enden, dass zwei gegensätzliche Behauptungen im Raum stehen. Jede der beiden Parteien kann unterschiedliche Absichten verfolgen: entweder ist ihr Ziel, die eigene Behauptung abzusichern oder sie möchte die Behauptung des Gegners widerlegen. Da kann es helfen, anhand einer Stichprobe die Be-hauptungen zu überprüfen.

In dem Streit um die Einrichtung eines Zebrastreifens hat die Stadtver-waltung an einem typischen Donnerstag zwischen 7 und 21 Uhr eine Ge-schwindigkeitsmessung an allen Verkehrsteilnehmern durchgeführt.

Geschwindigkeit in km/h

0–20 21–30 31–40 41–50 mehr als 50

Anzahl 2869 913 60 3 0

114 16 Wie sicher ist eine Behauptung?

Das Messgerät konnte zwar alle Werte automatisch aufnehmen, es hat aber aus technischen Gründen die Werte zwischen 0 und 20 km/h zusam-mengefasst. Die Stadtverwaltung sieht sich in ihrer Auffassung bestätigt: „Die Messwerte zeigen, dass 76 % aller Verkehrsteilnehmer langsamer als 20 km/h sind.“

Die Bürger, die sich beschwert haben, wollen dies aber nicht als Antwort auf ihr Anliegen akzeptieren. Schließlich geht es um eine Geschwindig-keitsbegrenzung auf 10 km/h. Um ihre Behauptung zu stützen, dass sich höchstens 15 % der Verkehrsteilnehmer an diese Geschwindigkeitsbegren-zung halten, beschließen sie eine eigene Messung durchzuführen. Dazu wollen sie an einem Wochentag zwischen 10 und 12 Uhr eine Messstrecke von 10 m Länge auf dem Platz markieren, die Durchfahrzeiten von 200 Fahrzeugen stoppen und daraus die Geschwindigkeiten berechnen.

Gezählt werden soll, wie viele Fahrzeuge die Geschwindig keitsbegrenzung einhalten. Die Auswahl der Fahrzeuge ist zufällig („Was vorbeikommt, wird gemessen!“). Wenn die Bürger Recht haben, würde man erwarten, dass sich höchstens 30 (= 15 % der 200) Fahrzeuge an die vorgegebene Geschwindig-keitsbegrenzung halten. Wenn aber in der Messung mehr als 30 Fahrzeuge unter 10 km/h blieben, spräche dies gegen die Behauptung der Bürger.

Dabei ergibt sich eine Schwierigkeit: Da die Stichprobe von 200 Fahrzeu-gen zufällig ausgewählt wird, könnte es auch rein zufällig so sein, dass gera-de in dieser Stichprobe mehr als 30 Fahrzeuge die Geschwindigkeitsbegren-zung einhalten, obwohl dies ansonsten nicht der Fall ist. Die Bürger müssten dann ihre Behauptung zu Unrecht zurückziehen. Es stellt sich die Frage, ob diese Entscheidungsregel zu hart ist, wenn in der Stichprobe 31, 32, oder 33 … Fahrzeuge sind. Bei welchen Ergebnissen der Stichprobe sollten die Bürger ihre Behauptung als falsch verwerfen und wie wahrscheinlich sind Fehlentscheidungen?

Fassen wir noch einmal zusammen, führen dabei einige Begriffe ein und formalisieren das Verfahren ein wenig. • Die Behauptung, die die Bürger hier absichern wollen, ist ihre Null­

hypothese H 0 : Höchstens 15 % der Verkehrsteilnehmer halten sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 10 km/h.

• Die Gegenhypothese H 1 : Mehr als 15 % der Fahrzeuge halten sich an die Geschwindigkeitsbegrenzung von 10 km/h.

Mit einer Zufallsvariablen X wird gezählt, wie viele Fahrzeuge aus der Stich-probe die Geschwindigkeitsbegrenzung einhalten. Diese Wahrscheinlich-keit soll für jedes Fahrzeug gleich sein, d. h. wir gehen davon aus, dass X binomialverteilt ist. Bei einem Stichprobenumfang von n = 200 Fahrzeugen

Hypothesen bilden

Hypothesentests 115

und einer Trefferwahr scheinlichkeit von p = 0,15 ist der Erwartungswert μ = np = 30. Intuitiv würde man H0 ablehnen, wenn X > 30 ist. Dabei begeht man einen Fehler, wenn zufällig X > 30, aber trotzdem p ≤ 0,15.

Im Folgenden wird die Wahrscheinlichkeit für diese Fehlentscheidung P(X > 30| p ≤ 0,15) für verschiedene p ≤ 0,15 berechnet (vgl. S. 107):

Der größte Wert ergibt sich für p = 0,15; die Wahr-scheinlichkeit für eine Fehlentscheidung kann al-so abgeschätzt werden durchP(X > 30| p = 0,15) ≈ 45 %.

Das ist der Bürgerinitiative natürlich zu hoch, sie wollen ihre Behauptung nicht fälschlicherweise verwerfen. Eine Möglichkeit, die Fehlerwahrschein-lichkeit zu reduzieren, ist die Entscheidungsgrenze höher als 30 zu setzen. Wir berechnen deshalb P(X > g| p = 0,15) für verschiedene g > 30:

In der rechten Spalte ste-hen die Wahrscheinlich-keiten, die Nullhypothese aufgrund des Stichproben-ergebnisses aufzugeben, obwohl sie eigentlich rich-tig ist. Die Bürgerinitiative

muss sich entscheiden, welche Fehlerwahr scheinlichkeit sie noch akzeptie-ren würde, daraus ergibt sich der Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Wenn die Bürger ihre Behauptung verwerfen, falls mehr als 37 Fahrzeuge höchstens mit 10 km/h fahren, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich mit dieser Regel falsch entscheiden, ca. 10 %. Wenn sie die Behauptung erst verwerfen, falls mehr als 39 Fahrzeuge die Geschwindigkeitsbeschrän-kung einhalten, liegt die Fehlerwahrschein lichkeit sogar unter 5 %.

Anders hingegen die Stadtverwaltung. Sie möchte gern die Behauptung der Bürger widerlegen und stellt deshalb diese Nullhypothese auf: H0: Mehr als 15 % der Verkehrsteilnehmer halten sich an die Geschwindig-keitsbegrenzung von 10 km/h.

Die Gegenhypothese H1 ist dann:H1: Höchstens 15 % der Fahrzeuge halten sich an die Geschwindigkeitsbegren-zung von 10 km/h.

Fehlentscheidungen berücksichtigen

Perspektive wechseln

116 16 Wie sicher ist eine Behauptung?

Die Stadtverwaltung wird ihre Nullhypothese dann verwerfen, wenn sich nur wenige Verkehrsteilnehmer an die Geschwindigkeits beschränkung hal-ten. Auch hier könnte es sein, dass sich in der zufällig gewählten Stichprobe nur wenige Verkehrsteilnehmer an Tempo 10 km/h halten, obwohl dieser Anteil sonst über 15 % liegt. Die Stadtverwaltung möchte die Wahrschein-lichkeit für solch eine Fehlentscheidung von vornherein auf 5 % begrenzen. D. h. es wird eine Entscheidungsregel mit einer Grenze für den Ablehnungs-bereich der Nullhypothese gesucht, die diese Bedingung erfüllt:P(X ≤ g| p > 0,15) ≤ P(X ≤ g| p = 0,15) ≤ 0,05.Systematisches Probieren mit dem Rechner liefert g = 21:

Also: Auf dem vorgegebenen Signifikanzniveau von 5 % wird die Stadtver-waltung ihre Nullhypothese nur dann verwerfen (und sich der Behauptung der Bürger anschließen), wenn sich höchstens 21 Verkehrsteilnehmer an die Geschwindigkeitsbeschränkung halten, d. h. von den 200 getesteten Fahrzeugen mehr als 179 schneller als 10 km/h fahren.

Testen auf Wahrscheinlichkeiten:1. Es wird festgelegt, welche Behauptung abgesichert werden soll. Dabei spielen Standpunkt und Interesse (Ziel) eine Rolle und werden deshalb auch angegeben. Diese Behauptung wird als Nullhypothese H 0 formuliert. Der konträre Standpunkt wird als Gegenhypothese oder Alternativhypothese H 1 formuliert.2. Der Stichprobenumfang und die Zufallsvariable (Was wird gezählt?) werden festgelegt. 3. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese (die Entscheidungsregel) wird festgelegt: • Falls die Entscheidungsgrenze einfach gesetzt wird, berechnet man die Fehler­

wahr scheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl die Behauptung in der Grundgesamtheit stimmt.

• Falls diese Fehlerwahrscheinlichkeit vorgegeben wird (Signifikanzniveau), wird da­raus die Entscheidungsgrenze berechnet.

4. Anhand des Stichprobenergebnisses und der Entscheidungsregel wird über die Ablehnung oder das Beibehalten der Nullhypothese entschieden.

Das Beispiel führt anhand eines Problems aus der Alltagswelt der Schüler in einige grundsätzliche Ideen des Hypothesentests ein und erklärt erste Be-

Signifikanzniveau einhalten

Vorgehen beim Hypothesentest

Hypothesentests 117

griffe. Es steht exemplarisch dafür, wie man mit etwas Recherche in der Lo-kalzeitung oder im Fernsehen (Kontexte: Wahlen, Werbung, „Wetten dass …?“, usw.) aktuelle Beispiele finden kann, die im Unterricht entspre-chend diskutiert werden können.

Man spricht von einem rechtsseitigen Test, wenn die Nullhypothese für große Werte der Zufallsvariablen (X ≥ g) abgelehnt wird (hier: Sicht der Bürger) und von einem linksseitigen Test, wenn die Nullhypothese für klei-ne Werte der Zufallsvariablen (X ≤ g) verworfen wird (hier: Sicht der Stadt-verwaltung). Anhand des Beispiels auf der Kopiervorlage wird ein zweisei-tiger Test erläutert. Es gibt keine eindeutigen Hinweise darauf, welche Variante für den Einstieg in den Unterricht besonders geeignet ist. Wichtig ist vor allem, dass das Testschema nicht zu früh formalisiert wird, sondern die Schüler ausreichend Zeit bekommen, • die Hypothesenformulierung unter den Aspekten Standpunkt und Inte-

resse (Ziel) ausführlich zu diskutieren, • die möglichen Fehlentscheidungen zu benennen und inhaltlich zu

diskutieren, • darauf einzugehen, warum eine Nullhypothese nicht „bewiesen“ werden,

sondern nur verworfen oder beibehalten werden kann. Wenn die Logik des Testens hinreichend verstanden wurde, kann eine Dar-stellung in Form einer Tabelle eingeführt werden.

reale Situation

p wie in H 0 p wie in H 1

Ents

chei

-du

ng fü

r H 1 Fehler 1. ArtFehlerwahrscheinlichkeit α richtige Entscheidung

H 0 richtige Entscheidung Fehler 2. ArtFehlerwahrscheinlichkeit β

Dies ist die Tabelle für den Test aus Sicht der Stadtverwaltung:

reale Situation

p > 0,15 p ≤ 0,15

Ents

chei

-du

ng fü

r

H 1 (X ≤ g)

Fehler 1. Artα = P(X ≤ g | p > 0,15) richtige Entscheidung

H 0 (X > g) richtige Entscheidung Fehler 2. Art

β = P(X > g | p ≤ 0,15)

Dabei ist g die Entscheidungsgrenze (s. oben) und αmax wurde in obigem Beispiel gleich 5 % gesetzt.

118 16 Wie sicher ist eine Behauptung?

Die Rolle des RechnersDer Rechner wird bei Hypothesentests vor allem genutzt, um die Werte der Binomialverteilungen zu berechnen (vgl. S. 107) und rasch durch systema-tisches Probieren zu Entscheidungsregeln auf dem gewünschten Signifi-kanzniveau zu gelangen.

Eine weitere Funktion ist die Veranschaulichung der Ablehnungs- und Annahmebereiche der Nullhypothese. Für das oben genannte Beispiel wur-den in einer Tabellenkalkulation alle Werte der Binomialverteilung mit n = 200 und p = 0,15 berechnet und das Histogramm dieser Verteilung er-stellt. Markiert ist der Ablehnungsbereich der Nullhypothese aus Sicht der Stadtverwaltung.

Weiter kann der Rechner genutzt werden, um das Ziehen der Stichprobe zu simulieren. Diese Funktion wird in der Aufgabe auf der Kopiervorlage the-matisiert.

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lKopiervorlage

Mit Quadern würfeln

Lenas Tischgruppe bekommt im Un­terricht diese quaderförmigen Würfel. Die Schüler sollen die Wahrscheinlich­keitsverteilung dieser Zufallsgeräte durch häufiges Würfeln schätzen.

Lena behauptet: „Je größer eine Seite des Quaders ist, desto größer ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass er auf diese Seite fällt. Wir müssen also gar nicht würfeln, sondern können die Wahrschein lichkeiten ausrechnen. Sie sind proportional zu den Flächenin­

halten.“ Die vier anderen Mitglieder aus ihrer Arbeitsgruppe sind aber skeptisch oder ha­ben keine Lust zu rechnen. Sie beschließen, dass jeder von ihnen 125­mal würfelt, wäh­rend Lena rechnet.

a) Ein „Quaderwürfel“ hat die Maße 1,4 cm x 2 cm x 2,8 cm. Bestimmen Sie für den Fall, dass Lena mit ihrer Behauptung Recht hat, die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Würfel auf eine große, eine mittlere und eine kleine Seitenfläche fällt.

b) Lena möchte gerne die 500 Würfelergebnisse der anderen nutzen, um ihre Vermu­tung zu testen. Geben Sie für die große, die mittlere und die kleine Seitenfläche je­weils eine Entscheidungsregel an, nach der Lena ihre Vermutung verwerfen oder bei­behalten wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie aufgrund der Stichprobenergebnisse ihre Vermutung für falsch hält, obwohl sie eigentlich stimmt, soll jeweils auf maximal 5 % begrenzt werden.

c) Die Würfelergebnisse lauten bei n = 500 Würfen:

Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs

absolute Häufigkeit 18 34 94 85 130 139

relative Häufigkeit 3,60% 6,80% 18,80% 17,00% 26,00% 27,80%

Wie muss man Lenas Vermutung aufgrund der Entscheidungsregeln aus b) beurteilen?

Webcode: ZM232888­027 16 Wie sicher ist eine Behauptung? 119

120 16 Wie sicher ist eine Behauptung?

Information und KommentarDas Beispiel der Kopiervorlage soll den Umgang mit einer Forschungshy-pothese nachstellen. „Lena“ steht hier stellvertretend für viele Schüler, die nach einigen Würfelversuchen ganz intuitiv sagen: „Je größer die Fläche, desto wahrscheinlicher das Ergebnis.“ Sie hat für sich eine Theorie entwi-ckelt, mit der sie die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Ergebnisse bei einem Quaderwürfel bestimmen kann. Diese Theorie möchte sie nur dann aufgeben, wenn die Würfelergebnisse ihrer Mitschüler signifikant dagegen sprechen.

Lösungen zu a)Der Quaderwürfel hat die Maße 1,4 cm × 2 cm × 2,8 cm. Die Seitenflächen haben damit die Flächeninhalte: A1 = 1,4 cm ∙ 2 cm = 2,8 cm2

A2 = 1,4 cm ∙ 2,8 cm = 3,92 cm2

A3 = 2 cm ∙ 2,8 cm = 5,6 cm2

Der gesamte Oberflächeninhalt beträgt also: O = 24,64 cm2.Wenn nach Lenas Behauptung die Wahrscheinlichkeiten proportional zu den Flächeninhalten sind, muss gelten: O = 24,64 cm2 ➝ 100 % 1 cm2 ➝ 100 : 24,64 % ≈ 4 %A1 = 2,8 cm2 ➝p1 ≈ 11,36 %A2 = 3,92 cm2 ➝p2 ≈ 15,91 %A3 = 5,6 cm2 ➝p3 ≈ 22,73 %

Lösungen zu b)Lena möchte ihre Behauptung stützen. Dementsprechend formuliert sie als (eine ihrer) Nullhypothese(n):H0: Die Wahrscheinlichkeit mit dem Quader eine „Sechs“ zu würfeln be-trägt p3 = 22,73 %.Die Gegenhypothese lautet dann:H1: Die Wahrscheinlichkeit mit dem Quader eine „Sechs“ zu würfeln ist ungleich 22,73 %.Es handelt sich hier also um einen zweiseitigen Test.

Stichprobenumfang: n = 500X: Anzahl der „Sechsen“Annahme: X ist binomialverteilt; Erwartungswert μ = n ∙ p = 113,65Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art soll auf maximal 5 % be-schränkt werden. Bei einem zweiseitigen Test ist es üblich, diesen Wert auf beide Seiten des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese aufzuteilen.

Hypothesentests 121

reale Situation

p = 0,2273 p ≠ 0,2273

Ents

chei

dung

fü

r

H 1 (X ≤ gu oderX ≥ go)

Fehler 1. Artα = P(X ≤ gu oderX ≥ go | p = 0,2273)

richtige Entscheidung1 − β

H 0 (gu < X < go)

richtige Entscheidung1 − α

Fehler 2. Artβ = P(gu < X < go | p ≠ 0,2273)

P(X ≤ gu | p = 0,2273) ≤ 2,5 % und P(X ≥ go | p = 0,2273) ) ≤ 2,5 %.Durch systematisches Probieren mit dem Rechner erhält man gu = 95 und go = 133.

Lena wird ihre Nullhypothese verwerfen und sich für H1 entscheiden, wenn die anderen aus ihrer Gruppe höchstens 95 oder mindestens 133 „Sechsen“ gewürfelt haben.

Die Entscheidungsregel für die „Fünfen“ ist aufgrund der Symmetrie des Würfels gleich.

Tauscht man in der Rechnung 0,2273 durch 0,1591 aus, gelangt man zur Entscheidungsregel für die „Dreien“ und „Vieren“. Hier muss Lena ihre Nullhypothese verwerfen, wenn die anderen aus ihrer Gruppe höchstens 63 und mindestens 96 „Dreien“ bzw. „Vieren“ gewürfelt haben.

Eine analoge Rechnung mit 0,1136 führt zur Entscheidungsregel für die „Einsen“ und „Zweien“. Hier muss Lena ihre Nullhypothese verwerfen, wenn die anderen aus ihrer Gruppe höchstens 42 und mindestens 72 „Ein-sen“ oder „Zweien“ gewürfelt haben.

Lösungen zu c)Vergleicht man die Wahrscheinlichkeiten aus Lenas Behauptung (p1 ≈ 11,36 %; p2 ≈ 15,91 %; p3 ≈ 22,73 %) mit den relativen Häufigkeiten der Würfelergebnisse, gibt es große Unterschiede bei „Eins“ und „Zwei“, wäh-rend die beiden anderen Werte noch mit Lenas Theorie kompatibel sein könnten.

Aufgrund der Entscheidungsregeln aus b) müsste Lena ihre Nullhypothe-sen verwerfen bei den „Sechsen“ und bei „Eins“ und „Zwei“.

Aus anderen Quellen wissen wir, dass Lenas Theorie aus physikalischen Gründen falsch ist (s. dazu RiemeR/Stoyan, 2011). Aufgrund der vorliegen-den Daten kann sie auch verworfen werden. Es gelingt aber nur knapp, so-dass in diesem Beispiel klar wird, dass eine Stichprobe auch so ausgehen kann, dass man eine Nullhypothese beibehalten muss, obwohl sie eigentlich falsch ist.

122 16 Wie sicher ist eine Behauptung?

OnlineangebotMit dem Rechner kann das Ziehen der Stichproben auch simuliert wer-den. In Anlehnung an die relativen Häufigkeiten aus dem Quaderexperi-ment simulieren wir einen Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeiten für eine „Eins“ oder „Zwei“ 0,05 betragen, die Wahrscheinlichkeiten für eine „Drei“ oder eine „Vier“ bei 0,18 liegen und die Wahrscheinlichkeiten für „Fünf “ oder „Sechs“ bei 0,27.Gezogen werden jeweils Stichproben vom Umfang n = 500.

Untersucht wird, ob man anhand der Stichprobenergebnisse mit den Ent-scheidungsregeln aus b) Lenas Ausgangshypothesen verwerfen kann oder nicht. In diesem Beispiel müsste man Lenas Behauptung für „Eins“, „Zwei“, „Drei“ und „Fünf “ verwerfen, für „Vier“ und „Sechs“ sprechen diese Stich-probenergebnisse nicht dagegen.

Wiederholt man diese Simulation sehr oft, kann man auch untersuchen, in wie viel Prozent der Fälle die Ausgangshypothese hier zu Recht verwor-fen wird. Die Schüler können sich dabei auch arbeitsteilig auf ein Ergebnis des Würfels konzentrieren.

Nicht betrachtet wurde bisher der Fehler 2. Art: Lena wird aufgrund der Stichprobenergebnisse ihre Nullhypothese beibehalten, obwohl sie eigent-lich falsch ist. Untersucht wird im Folgenden das Würfeln einer Sechs: Die Wahrscheinlichkeit β für das Auftreten des Fehlers 2. Art kann für alle p ≠ 0,2273 jeweils einzeln berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art kann erstaunlich groß sein. Das kann gut veranschaulicht werden, wenn über das Diagramm der Binomialverteilung mit p = 0,2273 (mit eingezeichneten Entscheidungsgrenzen) das Diagramm einer Binomi-

www.cornelsen.de/webcodes

Webcode: ZM232888­028

alverteilung gelegt wird, deren p1 mithilfe eines Schiebereglers variiert wer-den kann. Dazu wird im Onlineangebot eine Datei bereitgestellt.

Z. B. beträgt für p1 = 0,27 (aus der Simulation) die Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art knapp 50 %.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Lena ihre Nullhypothese verwirft, wenn auch in Wirklichkeit p ≠ 0,2273 ist, beträgt 1 − β. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch als Testpower bezeichnet.

Webcode: ZM232888­028 Hypothesentests 123