Upload
ngobao
View
213
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG
Andreas Reifenberger
Entwicklung, Aufbau und Kalibration einer
Messapparatur zur Kalorimetrie bei
ultratiefen Temperaturen
Diplomarbeit
Oktober 2012
KIRCHHOFF-INSTITUT FÜR PHYSIK
Fakultät für Physik und Astronomie
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
Diplomarbeit
Im Studiengang Physik
vorgelegt von
Andreas Reifenberger
aus Alzenau
2012
Entwicklung, Aufbau und Kalibration einer
Messapparatur zur Kalorimetrie bei
ultratiefen Temperaturen
Die Diplomarbeit wurde von Andreas Reifenberger
ausgeführt am
Kirchhoff-Institut für Physik
unter der Betreuung von
Herrn Prof. Dr. Rüdiger Klingeler
sowie von
Herrn Prof. Dr. Christian Enss
Zusammenfassung
Im Rahmen dieser Arbeit wird der Aufbau und die Kalibration eines kommerziell erhältlichen
Kalorimeters mit bolometrischem Design für Proben im Milligramm-Bereich bei sehr tiefen Tem-
peraturen zwischen 10 mK und 520 mK beschrieben. Als Temperatursensor dient ein RuO2 -Wi-
derstandsther mometer, das von einem Lock-In-Verstärker ausgelesen wird. Verschiedene Ein-
flussfaktoren wie Pulslänge, Pulshöhe und Details der Analysemethode werden experimentell
untersucht und diskutiert. Oberhalb von 100 mK können elektronische Beiträge die Wärmeka-
pazit der Addenda (Cadd = 12,4 nJ/K2· T) beschreiben. Unterhalb von 50 mK dominiert eine
Schottky-Anomalie. Die Kalibration wurde mittels einer Messung einer Silberprobe überprüft.
Der ermittelte Sommerfeld-Koeffizient(γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2)
)steht im Einklang
mit Literaturwerten. Mit dem Aufbau wurde abschließend die Wärmekapazität eines supraleiten-
den K0,9Na0,1Fe2As2-Einkristalls gemessen. Zusätzlich wird ein neuer Designvorschlag für ein
hochauflösendes Kalorimeter präsentiert. Die Temperaturmessung basiert auf einem paramagne-
tischen Sensor (Er-dotiertes Au), dessen Magnetisierungsänderung in einem schwachen exter-
nen Magnetfeld als Funktion der Temperatur durch eine supraleitende Quanteninterferenzeinheit
(SQUID) ausgelesen wird. Dies erlaubt Messungen zwischen 1 mK und 1 K mit sehr hoher Sen-
sitivität. Ein anpassbarer Wärmekontakt erlaubt die Messung von Wärmekapazitäten über einen
großen Wertebereich (nJ/K - J/K) durch eine Relaxationsmethode.
Abstract
Development, setup and calibration of a measuring apparatus for calorimetry at ultra-lowtemperatures: The installation and calibration of a commercially available calorimeter with bo-
lometric design for milligram-sized samples at ultra-low temperatures (T = 10 mK − 520 mK) is
described. Thermometry is done by means of a RuO2 resistive thermometer read out by a lock-in-
amplifier. Various influential factors like heat pulse height, heat pulse length and details of the data
analysis are taken into consideration. For T > 100 mK the addenda heat capacity can be described
by electronic contributions(Cadd = 12.4 nJ/K2
× T). A Schottky-anomaly dominates the addenda
heat capacity for lower temperatures. The calibration is checked by the measurement of a silver-
sample. Obtained values for the Sommerfeld coefficient(γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2)
)agree
well with values in the literature. With this apparatus the heat capacity of a superconducting
K0.9Na0.1Fe2As2 single cristal is measured. In addition, a design for a new high-resolution calo-
rimeter is proposed. Thermometry is done by means of a paramagnetic sensor material (Er-doped
Au) in a low magnetic field. A temperature change results in a magnetization change which can be
read out as change in magnetic flux by a superconducting quantum interference device (SQUID).
This enables highly sensitive measurements between 1 mK and 1 K. An adjustable heat-link al-
lows measurements of heat capacities from nJ/K to J/K by means of a temperature-relaxation
method.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Physikalische Grundlagen 3
2.1 Wärmekapazität im thermodynamischen Kontext . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Beiträge zur Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Phononischer Beitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Elektronischer Beitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Schottky-Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Thermische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Dielektrische Gläser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Metalle und Legierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Kapitza-Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Experimentelle Methoden 12
3.1 Methoden zur Messung der Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1 Überblick über verfügbare Messmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2 Thermische Relaxationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Kryostat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Messplattform und Probenpräparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Thermometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.1 Beschreibung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.2 Charakterisierung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
vii
Inhaltsverzeichnis
3.5 Heizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.1 Beschreibung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5.2 Charakterisierung der Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.6 Messprogramm und Datenauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Ergebnisse und Diskussion 37
4.1 Leermessungen der Plattform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.1 Einzelpulse in den drei Temperaturbereichen . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.2 Kritische Diskussion verschiedener Einflussfaktoren . . . . . . . . . . . 39
4.1.3 Ergebnis der Addendabestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Messungen an Silber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Einzelpulse in den drei Temperaturbereichen . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Kritische Diskussion verschiedener Einflussfaktoren . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Vergleich mit Ergebnissen aus der Literatur . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Messungen an K0,9Na0,1Fe2As2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Wärmeleitwert zwischen Plattform und Bad . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Entwicklung eines hochauflösenden Kalorimeters 60
5.1 Metallische magnetische Thermometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.1 Eigenschaften des Sensormaterials Au:Er . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Detektorgeometrie und Magnetometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Design und Funktionsweise der Plattform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.1 Erläuterungen zu den einzelnen Komponenten . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2.2 Abschätzung der Addenda und der Temperaturauflösung . . . . . . . . 67
viii
Inhaltsverzeichnis
6 Fazit und Ausblick 70
A Anhang 72
A.1 Datenblatt QD-Puck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.2 Fitparameter für den Frequenzverlauf des Thermometrie . . . . . . . . . . . 73
A.3 LabView Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.3.1 Steuerprogramm zur Messung des Frequenzgangs der Thermometrie-
Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.3.2 Steuerprogramm zur Messung des Einflusses der Integrationszeit des
Lock-In-Verstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.3.3 Steuerprogramm zur Messung von Selbstheizungseffekten . . . . . . . 78
A.3.4 Steuerprogramm zur Messung der Thermo-Kalibrationskurve . . . . . . 80
A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Literaturverzeichnis 95
Danksagung 101
ix
1 Einleitung
Die Bestimmung der Wärmekapazität eines Materials war und ist eine treibende Kraft hin zu neu-
en Erkenntnissen in der Festkörperphysik. So war das Einstein-Modell zur Wärmekapazität von
Phononen eines der ersten Anwendungen der Planckschen Quantisierungstheorie [Ein07]. Die
experimentelle Widerlegung und Weiterentwicklung des Einstein-Modells für tiefe Temperatu-
ren durch Nernst et al. [Ner11] wiederum brachte das bis heute verwendete Debye-Modell her-
vor [Deb12]. Auch die nobelpreisprämierten Arbeiten zur BCS-Theorie von Supraleitern durch
Bardeen, Cooper und Schrieffer konnten durch den Vergleich von theoretischen Vorhersagen
mit experimentell ermittelten Wärmekapazitäten von Zinn und Vanadium untermauert werden
[Coo56, Bar57a, Bar57b]. Die Forschungsarbeiten auf dem Gebiet der Supraleitung halten bis
heute an. So werden beispielsweise bis heute Untersuchungen zur Symmetrie der Wellenfunk-
tion von Hochtemperatursupraleitern durch Wärmekapazitätsmessungen mitgeprägt. Im Rahmen
dieser Fragestellung wurde in dieser Arbeit auch eine supraleitende K0,9Na0,1Fe2As2-Probe ge-
messen.
In unzähligen weiteren Forschungszweigen ist die Wärmekapazität ein probates Mittel zur Ana-
lyse der zu untersuchenden Systeme. Die Relevanz dieser Messgröße ist damit begründet, dass
sie die Entropieänderung des Gesamtsystems gemäß C(T) = T · ∂S/∂T misst und alle inneren
Freiheitsgrade eines Stoffes einen charakteristischen „Fingerabdruck“ in den Wärmekapazitäts-
kurven C(T) hinterlassen. Somit lässt sich prinzipiell der Einfluss jeder Wechselwirkung, jedes
Freiheitsgrads und jedes Anregungsspektrums vermessen.
Viele physikalisch interessante und unerforschte Phänomene spielen sich auf sehr kleinen Ener-
gieskalen ab. Auf Grund der Boltzmann-Besetzungsstatistik sind diese besonders gut im Tempe-
raturbereich um T ' E/kB beobachtbar, wobei die Boltzmann-Konstante kB die Temperatur mit
der für das jeweilige Phänomen relevanten Energieskala E verknüpft. Ziel dieser Arbeit war daher
der Aufbau eines Kalorimeters für Betriebstemperaturen zwischen 8 mK und 500 mK, welches in
einem vorhanden Verdünnungskryostaten betrieben werden kann. Als Messmethode eignen sich
solche aus der Klasse der Relaxationsmethoden, bei denen die Probe thermisch schwach an ein
Wärmebad gekoppelt wird. Aus dem zeitlichen Verlauf der Temperatur während und nach einem
Heizpuls auf die Probe mit Hilfe eines Heizers lässt sich die Wärmekapazität bestimmen.
In Kapitel 2 werden zunächst die theoretischen Grundlagen beschrieben. Neben den für diese
Arbeit relevanten Beiträgen zur Wärmekapazität wird auch die Wärmeleitung kurz diskutiert, weil
sie für das Verständnis der Messmethode von Relevanz ist.
Die Methoden für die experimentelle Umsetzung werden in Kapitel 3 dargelegt. Eine kurze Zu-
sammenfassung über verfügbare Messmethoden begründet die Wahl der verwendeten Relaxations-
1
1 Einleitung
methode. Diese wird im Detail vorgestellt. Außerdem wird die Temperaturkalibration im verwen-
deten Kryostaten kurz erläutert. Weiterhin folgt eine Beschreibung des kommerziell erhältlichen
Kalorimeters („QD-Puck“), welches im Rahmen dieser Arbeit verwendet wurde. Diesbezüglich
werden die elektrischen Schaltkreise für die Ansteuerung von Heizer und Thermometer beschrie-
ben und eingehend charakterisiert.
Das folgende Kapitel 4 stellt die Ergebnisse vor, die mit Hilfe des QD-Pucks gewonnen wurden.
Zunächst werden Messungen der leeren Messplattform vorgestellt und neben der Wärmekapazität
auch Überheizeffekte und andere mögliche Fehlerquellen untersucht. Es folgen Messreihen an
einer zur Kalibration vermessenen Silberprobe und ein kritischer Vergleich der Ergebnisse mit
Literaturwerten.
Ausgehend von den Erfahrungen mit dem QD-Puck wird in Kapitel 5 das Design eines selbst ent-
wickelten Kalorimeters vorgestellt, welches Schwächen des QD-Pucks behebt und eine deutlich
verbesserte Präzision verspricht. Dazu wird zunächst die Funktionsweise des metallischen magne-
tischen Thermometers dargestellt, das auf der temperaturabhängigen paramagnetischen Magneti-
sierung von Er3+-Ionen beruht. Es folgt eine Übersicht über das gesamte Kalorimeter.
2
2 Physikalische Grundlagen
In diesem Kapitel wird zunächst die Wärmekapazität als thermodynamische Größe eingeführt
und ihre Verbindung zu anderen physikalischen Größen aufgezeigt. Anschließend werden mit den
phononischen und elektronischen die wichtigsten Beiträge zur Wärmekapazität hergeleitet sowie
kurz auf die Ursache der Schottky-Anomalie eingegangen. Abschließend wird auf die thermische
Leitfähigkeit von Metallen und dielektrischen Gläsern bei tiefen Temperaturen eingegangen.
2.1 Wärmekapazität im thermodynamischen Kontext
Betrachtet man ein System aus N Teilchen bei einer Temperatur T und einem Druck p, so ergibt
sich für das Differential der Entropie S der Zusammenhang
dS =1T
dE +pT
dV (2.1)
mit der inneren Energie E, wenn man von konstanter Teilchenzahl N ausgeht und von anderen
Einflüssen, beispielsweise magnetischer Natur, absieht. Für die innere Energie E eines Systems
ergibt sich daraus
dE = TdS − pdV , (2.2)
wobei man den ersten Term TdS = δQ als Wärmezufuhr und und den zweiten Term −pdV = δAals geleistete Arbeit am System interpretieren kann. Die Schreibweise δQ und δA verdeutlicht,
dass die genannten Größen keine vollständigen Differentiale sind, das heißt es sind keine Zu-
standsgrößen.
Man definiert nun die Wärmekapazität C eines Systems als
C =δQdT
= T∂S∂T
. (2.3)
Je nachdem, ob man dem System bei konstantem Volumen oder konstantem Druck die Wärme zu-
führt, unterscheidet sich die Wärmekapazität auf Grund der geleisteten Arbeit. Man unterscheidet
daher zwischen CV = T(∂S∂T
)V
und Cp = T(∂S∂T
)p. Im Index wird die konstant zu haltende Größe
aufgeführt. Die beiden Größen sind über
Cp − CV =VTα2
κT(2.4)
3
2 Physikalische Grundlagen
verknüpft. Dabei bezeichnet κT = − 1V
(dVdp
)T
die Kompressibilität und α = 1V
(∂V∂T
)p
den thermi-
schen Ausdehnungskoeffizienten. Bei tiefen Temperaturen ist der Unterschied zwischen Cp und
CV oft minimal. Für Silber findet man κT ≈ 10−3 GPa−1 [Law56] sowie α ≤ 5 · 10−8 K−1 und
Cp/V = 81 µJ K−1 cm3 für T = 1 K [Smi95]; daraus ergibt sich ein relativer Unterschied von
(Cp − CV)/Cp < 0,1 %.
In theoretischen Betrachtungen ist es oft sinnvoller, sich auf CV zu beziehen, unter anderem, weil
CV =(∂E∂T
)V
gilt. Experimentell hält man für gewöhnlich den Druck konstant. Alle folgenden
Gleichungen beziehen sich auf Cp, wenn nicht anders gekennzeichnet.
Wärmekapazität am PhasenübergangAuch das direkte Vermessen eines Phasenübergangs mittels der Wärmekapazität ist möglich. Da
der Schwerpunkt dieser Arbeit auf der Kalorimetrie und nicht auf der Physik der Phasenüber-
gänge liegt, soll dieses Thema hier nur soweit behandelt werden, dass die in Abschnitt 3.1.2 zu
diskutierenden Einflüsse eines Phasenübergangs auf die Messung verständlich werden.
Phasenübergänge erster Ordnung zeichnen sich durch das Auftreten von latenter Wärme L aus.
Die Entropie hat am Phasenübergang zwischen den Phasen 1 und 2 folglich einen Sprung ∆S =
S2 − S1 = L/T. Die Wärmekapazität divergiert nach Gleichung 2.3.
Bei Phasenübergängen zweiter Ordnung, auch kontinuierliche Phasenübergänge genannt, tritt kei-
ne latente Wärme auf. Die Entropie S des Systems ist stetig, aber nicht stetig differenzierbar. Die
Wärmekapazität hat gemäß Gleichung 2.3 einen Sprung.
Bedeutung der WärmekapazitätDurch die Messung der makroskopischen Wärmekapazität kann man auf die mikroskopischen
Eigenschaften einer Probe schließen. Über Gleichung 2.3 ist die Wärmekapazität mit der Entropie
des Systems verknüpft, welche wiederum über die Gleichung
S = kB ln Ω (2.5)
mit der Anzahl der in quantenmechanischer Betrachtung realisierbaren Zustände Ω im mikroka-
nonischen Ensemble verknüpft ist1. Hierbei bezeichnet kB die Boltzmann-Konstante. Jeder Frei-
heitsgrad eines Systems hinterlässt eine Signatur in der Wärmekapazität. Somit können theoreti-
sche Modelle der Mikrostruktur mit Hilfe einer Wärmekapazitätsmessung experimentell überprüft
werden.
Die Wärmekapazität ist eine extensive Größe, d.h. sie skaliert mit der Größe des Systems. Man
normiert daher die Wärmekapazität C auf eine gegebene Stoffmenge n oder Masse m und spricht
dann allgemein von der spezifischen Wärme oder auch von der molaren Wärme c.
1Klassisch betrachtet ist Ω das zugängliche Phasenraumvolumen.
4
2.2 Beiträge zur Wärmekapazität
Aus dem Zusammenhang zwischen Wärmekapazität und Entropie ist auch ersichtlich, dass sich
Beiträge verschiedener, unabhängiger Subsysteme 1, 2, 3 . . .N zur Gesamtwärmekapazität
CGes = C1 + C2 + C3 + . . . + CN (2.6)
summieren.
2.2 Beiträge zur Wärmekapazität
Für komplexe Systeme gibt es eine Vielzahl möglicher Beiträge zur Wärmekapazität. Im Folgen-
den werden die verschiedenen Beiträge, die für diese Arbeit relevant sind, diskutiert.
2.2.1 Phononischer Beitrag
Bereits 1912 stellte P. Debye seine Theorie für die phononische Wärmekapazität vor [Deb12].
Während frühere Theorien die Schwingungen der einzelnen Atomrümpfe betrachten, wird in der
Debyeschen Theorie das Phonon als kollektive Anregung des Atomgitters eingeführt. Die Schwin-
gungen können sich überlagern und die Anzahl der Anregungen2 kann sich ändern. Das Phonon
ist ein Quasiteilchen mit bosonischem Charakter.
In Analogie zum idealen Gas behandelt man das Phonon in der Debyeschen Theorie als bosoni-
sches, freies Gas mit linearer Dispersionsrelation ω = vk zwischen Impuls k und Frequenz ω und
findet
CV =
(∂E(T)∂T
)V
= 9NkB
( TΘ
)3zD∫
0
z4ez
(ez − 1)2 dz (2.7)
mit der Debye-Temperatur Θ als einzigem materialspezifischen Parameter. Dabei ist zD = ~ωD/kBT,
wobeiωD die Debyesche Abschneidefrequenz, N die Anzahl der Atome und ~ = h/2π das Planck-
sche Wirkungsquantum bezeichnet. Das Ergebnis ist graphisch in Abbildung 2.1 dargestellt.
Das Integral ist nur numerisch lösbar. Im Grenzfall hoher Temperaturen ergibt sich das Dulong-
Petit-Gesetz [Dul18]
CV = 3 N kB , (2.8)
2Die Randbedingungen sorgen für eine Quantisierung und damit für die Wohldefiniertheit des BegriffsPhonon.
5
2 Physikalische Grundlagen
welches man auch unmittelbar aus dem Äquipartitionsprinzip herleiten kann. Dabei bezeichnet zdie Anzahl der Atome in einer Einheitszelle. Für niedrige Temperaturen findet man mit
CV =12π4
5nNAkB
( TΘ
)3=: βn T3 (2.9)
das bekannte T3- Verhalten für tiefe Temperaturen. Dabei bezeichnet n die Stoffmenge und NA
die Avogadro- Konstante. In der Literatur findet man neben Θ auch oft Werte für β.
0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 00 , 00 , 20 , 40 , 60 , 81 , 0
D e b y e - M o d e l l N ä h r u n g f ü r T > > N ä h r u n g f ü r T < <
C / (3
N kB)
T /
Abbildung 2.1: Spe-zifische Wärme imDebye-Modell sowieNäherungsfunktionenfür hohe und tiefeTemperaturen.
2.2.2 Elektronischer Beitrag
Neben dem phononischen Beitrag findet man bei elektronisch leitenden Materialien auch Bei-
träge der Elektronen zur spezifischen Wärme. Ähnlich wie bei Phononen kann man auch hier
ein ideales Gas freier Elektronen annehmen, muss aber noch den fermionischen Charakter der
Elektronen berücksichtigen. Diese Ansatz beruht wesentlich auf Arbeiten von A. Sommerfeld
[Som27, Som28a, Som28b].
Für die Fermi-Energie EF, die Fermi-Temperatur TF sowie die elektronische Zustandsdichte D(E)
findet man die wichtigen Zusammenhänge
EF =~2
2m(3π2n)2/3 TF = EF/kB D(EF) =
3 n2 EF
(2.10)
mit der Elektronendichte n und Elektronenmasse m. Für die spezifische Wärme erhält man den
Ausdruck
cV =π2
2
n k2B
EFT
(2.10)=
π2
3D(EF) k2
B T = γT . (2.11)
Messungen der spezifischen Wärme erlauben damit Rückschlüsse auf die elektronische Zustands-
dichte an der Fermi-Kante.
6
2.2 Beiträge zur Wärmekapazität
Näherungen im Sommerfeldschen Modell führen zu Abweichungen zwischen Theorie und Ex-
periment, beispielsweise durch größere Änderungen der Zustandsdichte an der Fermioberfläche.
Diese Diskrepanz kann durch eine effektive Masse
m∗ =γExp
γTheom (2.12)
beschrieben werden, die zunächst rein phänomenologisch eingeführt wird. Andere theoretische
Ansätze, zum Beispiel Bandstrukturrechnungen, liefern heute für die meisten Materialien deutlich
genauere Ergebnisse.
2.2.3 Schottky-Anomalie
Eine Schottky-Anomalie bezeichnet im Allgemeinen das Auftreten eines lokalen Maximums in
der spezifischen Wärme. In einfachen Systemen wird die Wärmekapazität mit zunehmender Tem-
peratur nicht kleiner, was in früheren Zeiten den Begriff der Anomalie geprägt hat. Ursache der
Anomalie ist ein Mehrniveausystem, wie sie in physikalischen Systemen oft auftreten können.
Durch die Wechselwirkung mit dem Kristall kann zum Beispiel die Entartung des Grundzustands
eines Atoms aufgehoben werden. Für das prinzipielle Verständnis ist die folgende Rechnung mit
einem Zwei-Niveau-System ohne Entartung hinreichend.
Aus der kanonischen Zustandssumme
Z =∑
i
exp(−Ei/kBT) (2.13)
folgt mit E0 = 0 und E1 = ∆E unmittelbar Z = 1 + exp(−∆E/kBT). Mit der Besetzungswahr-
scheinlichkeit P(Ei) = exp(−Ei/kBT) /Z erhält man die innere Energie
E =∑
i
P(Ei)Ei =∆E
1 + exp∆E/kBT(2.14)
und somit die spezifische Wärme
cV =
(∂E∂T
)V
= kB
(∆EkBT
)2 e∆E/kBT
(1 + e∆E/kBT)2(2.15)
eines solchen Zwei-Niveau-Systems.
Aus dieser Gleichung ergibt sich für das Maximum die Beziehung 0,42 ∆E ' kBTmax, sodass man
die Energieaufspaltung im Experiment sehr leicht bestimmen kann. Für T . Tmax ergibt sich ein
Anstieg der spezifischen Wärme proportional zu (∆E/T)2 exp(−∆E/kBT), während für T & Tmax
cV ∝ 1/T2 gilt. Das Verhalten ist in Abbildung 2.2 grafisch veranschaulicht.
7
2 Physikalische Grundlagen
0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 50 , 00 , 10 , 20 , 30 , 4 S c h o t t k y
( E / k B T ) 2 e x p ( - E / k B T ) ( E / k B T ) 2 / 4
c V / kB
( k B T ) / E
Abbildung 2.2: Spe-zifische Wärme einerSchottky-Anomalie, wiesie sich in einfacherNäherung aus einem 2-Niveau-System gemäßGleichung 2.15 ergibt.
2.3 Thermische Leitfähigkeit
Neben der Wärmekapazität spielt für den in Abschnitt 3.1.2 vorgestellten Messalgorithmus auch
die Wärmeleitfähigkeit eine Rolle. Im Folgenden wird eine Übersicht über die Wärmeleitfähigkeit
mittels Phononen in dielektrischen Gläsern sowie von Elektronen in reinen Metallen und Legie-
rungen gegeben, da diese Wärmeübertragungsmechanismen für das Experiment von Bedeutung
sind.
Allgemein definiert man für isotrope Medien die spezifische Wärmeleitfähigkeit κ über
~j = κ~∇T , (2.16)
wobei ~j die Wärmestromdichte (in W m−2) und ∇T den Temperaturgradienten darstellen. Es ist zu
beachten, dass der Wärmetransport durch Wärmestrahlung oder Teilchenaustausch (Konvektion)
nicht in ~j eingehen, sondern nur der masselose Energietransport berücksichtigt wird.
Für einen Quader mit Querschnittsfläche A (Flächennormalenvektor ~A), dessen Enden im Abstand
l auf einer Temperaturdifferenz ∆T gehalten werden, leitet man mit Hilfe von Gleichung 2.16 für
die absolute Wärmeleitfähigkeit K, im Folgenden Wärmeleitwert genannt, die Beziehung
I = K ∆T (2.17)
her. Dabei ist I = ~j ~A der Wärmestrom (mit der Einheit W) und es gilt der einfache Zusammenhang
K = κA/l.
Entscheidend für den Wärmetransport sind Stoßprozesse. Diese sorgen zum einen dafür, dass sich
das aus dem Temperaturgradient ergebende thermische Ungleichgewicht abbaut; zum anderem
wird durch diese der massenlose Energietransport ermöglicht. Die verschiedenen Stoßprozesse in
einem Festkörper ermöglichen daher das Verständnis der Wärmeleitung und bilden die Grundlage
der folgenden Betrachtungen.
8
2.3 Thermische Leitfähigkeit
2.3.1 Dielektrische Gläser
In dielektrischen Gläsern stehen Phononen für die Wärmeleitung zur Verfügung. Für eine quali-
tative Analyse kann man als Analogie für die Phononen ein ideales Gas annehmen, für das die
Beziehung
κPh =13
cV v l (2.18)
gilt. Dabei bezeichnet v die Schallgeschwindigkeit und l die mittlere freie Weglänge. In einer de-
taillierten Rechnung müsste man die Energieabhängigkeit der einzelnen Größen sowie die Schall-
geschwindigkeiten der verschiedenen Phononenzweige berücksichtigen. Da diese Informationen
selten zur Verfügung stehen, führt man in Analogie zum Debye-Modell der spezifischen Wärme
einen effektiven Phononenzweig mit v = const. ein und betrachtet nur Phononen, welche den
größten Teil zur Leitfähigkeit beitragen. Das sind Phononen mit ~ω ≈ kBT. Diese sogenannte
dominante Phononennäherung ermöglicht bereits gute qualitative Voraussagen.
Für T < 1 K spielen Phonon-Phonon-Streumechanismen oder Oberflächenreflexionen eine un-
tergeordnete Rolle. Es dominieren Wechselwirkungen mit lokalen Tunnelsystemen mit Energie-
aufspaltung ∆E. Diese Energieaufspaltungen können im relevanten Energiebereich allgemein als
gleichverteilt angenommen werden. Betrachtet man ein dielektrisches Glas mit einer Tunnelsys-
temdichte n mit n0 Tunnelsystemen im Grundzustand und n1 Tunnelsystemen im angeregten Zu-
stand (n = n0 + n1) ergibt sich aus der Maxwell-Boltzmann-Verteilung
n1/n0 = e(∆E/kBT) und ∆n = n1 − n0 = n tanh(
∆E2kBT
). (2.19)
In der Näherung dominanter Phononen gilt ∆E = ~ω ≈ kBT und ∆n wird in dieser Näherung
temperaturunabhängig. Aus der Streutheorie erhält man die Beziehung
l−1 = σ∆n , (2.20)
wobei für den Absorptionsquerschnitt σ ∝ ω gilt [Hun07] . Somit erhält man
l ∝ 1/ω ∝ 1/T . (2.21)
Verwendet man noch die aus Abschnitt 2.2.1 bekannte Relation C ∝ T3, so folgt
κph ∝ Cl ∝ T3T−1∝ T2 (2.22)
für Temperaturen T < 1 K in guter Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen [Ste73].
9
2 Physikalische Grundlagen
2.3.2 Metalle und Legierungen
In Metallen tragen die Elektronen an der Fermi-Kante einen wesentlichen Beitrag zur thermischen
Leitfähigkeit bei. Man kann auch für Elektronen ein ideales Gas nach Gleichung 2.18 annehmen
und findet mit Gleichung 2.11 den Zusammenhang
κel =13γT vF l ∝ T . (2.23)
Im letzten Schritt wurde die Temperaturunabhängigkeit der Fermigeschwindigkeit vF ausgenutzt.
Außerdem dominiert bei Temperaturen T < 1 K die Elektronen-Streuung an Verunreinigungen
und Defekten gegenüber Elektron-Phonon-Streuungen, sodass l = const. angenommen werden
kann.
In reinen Metallen ist die Wärmeleitfähigkeit durch Elektronen deutlich größer als durch Pho-
nonen. Der phononische Anteil wird durch die Streuung an Elektronen effizient unterdrückt. In
Legierungen hingegen werden die Elektronen so stark an Defekten gestreut, dass auch ihr Beitrag
zur thermischen Leitfähigkeit sehr klein wird. Der phononische Beitrag aus Gleichung 2.22 ist
nicht mehr vernachlässigbar und man findet [Ros63]
κleg = κel + κph = a T + b T2 . (2.24)
2.3.3 Kapitza-Widerstand
Fließt Wärme durch die Grenzfläche zweier Materialien A und B, so beobachtet man eine Tempe-
raturdifferenz gemäß Gleichung 2.16. Dies wurde erstmals von Kapitza an Grenzflächen zwischen
flüssigem Helium und Kupfer beobachtet [Kap41]. Der thermischer Leitwert kann so klein wer-
den, dass er den Wärmefluss im experimentellen Zeitlimit unterbindet.
Die Ursachen sollen hier nur kurz skizziert werden, detaillierte Beschreibungen finden sich in
[Sto93, Pol69, Mah09]. Die Kapitza-Leitfähigkeit3 κK ist nach Gleichung 2.16 die Ableitung des
Nettowärmeflusses nach der Temperatur:
κK =1V∂∂T
∑~k
~ω~k f (~ω ~kn,T)
∣∣∣∣v ~kn
∣∣∣∣ t~k (2.25)
Dabei muss die Summe über alle Wellenvektoren~k in der Brillouin-Zone laufen, deren Geschwin-
digkeitsvektor in Richtung der Grenzfläche zeigt. Hierbei ist ~ω~k die Energie des betrachteten
Phonons, f (~ω ~kn,T) bezeichnet die Bose-Einstein-Verteilung, v ~kn
die Phonon- Geschwindigkeits-
komponente parallel zur Grenzflächennormalen und t~k die Transmissionswahrscheinlichkeit. Po-
larisationsrichtungen werden aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht berücksichtigt.
3Hier normiert auf die Grenzfläche A.
10
2.3 Thermische Leitfähigkeit
Mit Hilfe dieser Formel kann man verstehen, warum die Grenzflächen-Leitfähigkeit so kleine
Werte annehmen kann. Dazu sind folgende Punkte von Relevanz:
• Trifft ein Phonon im Medium A mit einem Winkel αA relativ zur Flächennormalen auf die
Grenzfläche, so folgt aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz
sinαA
sinαB=
vA
vB(2.26)
die Totalreflexion für
αA > arcsin(vA
vB
). (2.27)
Hierbei stehen vA und vB für die Schallgeschwindigkeiten in den beiden Materialien. Für
vA vB steht damit nur ein kleiner phononischer Einfallswinkel und damit nur Phononen
mit ausgewähltem Wellenvektor ~k zum Wärmeübertrag zur Verfügung.
• Der Unterschied in der Schallgeschwindigkeit v und Materialdichte ρ beeinflusst die Trans-
missionswahrscheinlichkeit. Der Unterschied in der akustischen Impedanz Z = ρ v ergibt
für t~k in einfacher Näherung einer elastischen Welle die Beziehung
t~k =4ZAZB
(ZA + ZB)2
ZAZB≈
4ZA
ZB= 4
ρAvA
ρBvB. (2.28)
Damit wird die Transmissionswahrscheinlichkeit t~k für große Unterschiede in der Materi-
aldichte ρ oder der Schallgeschwindigkeit v klein.
• Auch die Zustandsdichte der Phononen spielt eine Rolle, da bei einem Grenzübergang, bei
dem das Phonon seinen Quantenzustand beibehält, ein freier Zustand verfügbar sein muss.
Diese Diskrepanz spielt bei großen Differenzen in der Debye-Temperatur eine Rolle. Die
Transmissionswahrscheinlichkeit wird entsprechend kleiner.
Nach dieser qualitativen Diskussion soll noch die Temperaturabhänigkeit erwähnt werden. Be-
rücksichtigt man in Gleichung 2.25 die Temperaturabhängigkeit der inneren Energie der Phono-
nen, so findet man [Ens05]
κK =2π2k4
BρAvA
15~3ρBv3B
T3 . (2.29)
Diese T3-Abhängigkeit zeigt sich für viele Grenzschichten auch im Experiment bei tiefen Tempe-
raturen oberhalb von 10 mK.
11
3 Experimentelle Methoden
Dieses Kapitel stellt in Abschnitt 3.1 zunächst ein Modell zur experimentellen Bestimmung der
Wärmekapazität vor und setzt es in den Kontext verfügbarer Methoden. In den folgenden Ab-
schnitten wird mit dem Kryostaten sowie der Ansteuerung des Thermometers und Heizers der
Messaufbau sukzessive vorgestellt. Wichtiges zur Steuersoftware und zu den Auswertealgorith-
men wird in Abschnitt 3.6 zusammengefasst.
3.1 Methoden zur Messung der Wärmekapazität
3.1.1 Überblick über verfügbare Messmethoden
Zur Messung der spezifischen Wärme gibt es im Wesentlichen drei experimentelle Ansätze, die
in einem Übersichtsartikel von Stewart [Ste83] gut zusammengefasst werden. Alle Ansätze haben
ihre Stärken und Schwächen. Verschiedene Faktoren, beispielsweise die Probendimension und der
relevante Temperaturbereich, müssen bei der Wahl der passenden Messmethode berücksichtigt
werden.
In der folgenden Diskussion wird von einer Probenplattform ausgegangen, auf der Heizer und
Thermometer angebracht sind. Diese werden elektrisch angesteuert. Es gibt aber auch Aufbauten,
die Heizung und Temperaturauslese ohne physischen Kontakt erlauben.
(Quasi-)Adiabatische MessungBei dieser Methode misst man den Temperatursprung ∆T, der aus einem möglichst kleinen Wär-
meeintrag ∆Q gemäß Gleichung 2.3 resultiert. Diese Methode stößt bei tiefen Temperaturen und
kleinen Wärmekapazitäten an experimentelle Grenzen. Während der Messung muss die Probe
thermisch möglichst gut vom Wärmebad entkoppelt werden. Bei tiefen Temperaturen und kleinen
Proben werden die nötigen Heizleistungen immer kleiner und die Wärmekopplung durch die elek-
trischen Zuleitungen für Thermometer und Heizer führt zu nicht vernachlässigbaren parasitären
Effekten. Des Weiteren muss ein Wärmeschalter existieren, durch den die Probe vor Messbeginn
auf eine definierte Temperatur gebracht wird. Mechanische Schalter führen hier bei tiefen Tem-
peraturen zu parasitären Wärmeeinträgen durch Vibrationen. In der Vergangenheit wurden auch
verschiedene Alternativen wie supraleitende, schaltbare Materialien erforscht.
WechselstromanregungEine weitere, sehr elegante Methode wurde von Sullivan und Seidel vorgestellt [Sul68] . Durch
12
3.1 Methoden zur Messung der Wärmekapazität
einen an die Probe gekoppelten Heizwiderstand wird Wechselstrom mit einer Frequenz 1/2ω0
getrieben und die Leistung P(t) deponiert. Auf der anderen Seite der Probe befindet sich ein Ther-
mometer. Im Gleichgewichtszustand führt die Oszillation der Heizleistung zu einer Oszillation in
der Temperatur, deren Amplitude TAC über
TAC ≈P(t)2ωC
√
1 + const. (3.1)
mit der Gesamtwärmekapazität C des Systems inklusive Probe verknüpft ist. Rauschbeiträge kön-
nen durch Messaufbauten mit Lock-in-Verstärker sehr effizient eliminiert werden. Die Methode
findet seine Limitation in der endlichen Leitfähigkeit der Proben, da die interne Temperaturre-
laxation τ deutlich kleiner als 1/ω sein muss. Daher ist sie insbesondere für flache Proben im
µg-Bereich geeignet.
Thermische RelaxationsmessungenWährend bei adiabatischen Messungen die Entkopplung der Probe einen limitierenden Faktor dar-
stellt, macht man hier von der Badankopplung explizit Gebrauch. Wesentliche Beiträge hierzu
wurden von Bachmann et al. vorgestellt [Bac72] und erlauben Messungen auch bei tiefsten Tem-
peraturen im mK-Bereich. Bei Relaxationsmessungen erübrigt sich die Verwendung eines Wär-
meschalters. Im Laufe der letzten Jahrzehnte wurden verschiedene Varianten von Relaxationsmes-
sungen mit Unterschiedlichen Stärken und Schwächen entwickelt und verfeinert, um beispiels-
weise auch Phasenübergänge oder Beiträge von Quadrupolmomenten mit vergleichsweise langen
Relaxationszeiten korrekt zu vermessen [Rie86, Hwa97, Wil04, Suz10, And11]. Diese Varianten
können im Allgemeinen mit dem selben Messaufbau realisiert werden, sodass der Experimentator
je nach Situation die passendste Variante wählen kann. Die im Rahmen dieser Arbeit verwendete
Variante wird im folgenden Abschnitt im Detail vorgestellt.
3.1.2 Thermische Relaxationsmethode
Im Rahmen dieser Arbeit wurde zur Messung der spezifischen Wärme eine Relaxationsmetho-
de realisiert, die von Hwang et al. vorgestellt wurde [Hwa97]. Die Methode wird hier im Detail
erläutert.
Der Messaufbau (vgl. Abbildung 3.1) enthält eine Messplattform mit Wärmekapazität Cadd, die
über eine thermische Kopplung K1 an ein Wärmebad mit Temperatur T0 gekoppelt ist4. Auf der
Messplattform befinden sich ein Thermometer und ein Heizer, die thermisch beliebig gut mit die-
ser verbunden sind. Die zu untersuchende Probe ist über eine weitere thermische Kopplung K2 an
die Plattform gekoppelt. Über den Heizer kann dem System eine Leistung PH(t) zugeführt werden.
4Die Wärmekapazität der Messplattform inklusive Heizer und Thermometer bzw. die Messplattformselbst, je nach Zusammenhang, wird in Anlehnung an die Literatur im folgenden Addenda genannt.
13
3 Experimentelle Methoden
Abbildung 3.1: Wärmefluss-Ersatzschaltbild: Über einen Heizer kann Leistung PH auf derPlattform mit Wärmekapazität Cadd und Temperatur TP deponiert werden; diese ist thermischüber K1 an das Wärmebad und über K2 an die Probe (mit CS und TS) gekoppelt.
Bilanziert man die Leistungen für die Plattform und die Probe, ergibt sich mit
PH(t) = CadddTP
dt+ K1(TP − T0) + K2(TP − TS) und (3.2a)
0 = CSdTS
dt+ K2(TS − TP) (3.2b)
ein System von zwei gekoppelten Differenzialgleichungen. Die Temperaturerhöhung der Platt-
form5 durch den Heizpuls muss dabei so klein ausfallen, dass man die Wärmekapazitäten und
Wärmeleitwerte als konstant betrachten kann. Die Terme CadddTP /dt und CS dTS/dt beschreiben
die jeweilige Leistung, die in die inneren Freiheitsgrade von Plattform und Probe fließt. Terme der
Form K∆T beschreiben gemäß Gleichung 2.17 über Wärmeankopplung abfließende Wärmeleis-
tung.
Eliminiert man die Probentemperatur TS, die keine Messgröße ist, indem man Gleichung 3.2a mit
(1 + CS/K2(d/dt)) multipliziert und Gleichung 3.2b ausnutzt, so ergibt sich
PH(t) +CS
K2
dPH(t)dt
+ K1 T0 =
= K1TP +CSCadd
K2
d2TP
dt2 +(Cadd + CS + CS
K1
K2
) dTP
dt−
CS K1
K2
dT0
dt.
(3.3)
Sollte es noch eine langsame Temperaturveränderung der Badtemperatur T0 und somit der Platt-
formstemperatur TP innerhalb eines Messzykluses geben, so muss dies berücksichtigt werden. In
erster Näherung kann dies über eine lineare Korrektur, die sogenannte Basisline TBL, geschehen.
Hierzu misst man TP vor dem Eintreffen des Heizpulses für eine genügend lange Zeit. Die lineare
Extrapolation ist die Basislinie. Für die Basislinie gilt wieder Gleichung 3.3 unter Berücksichti-
5Im Folgenden kurz Hub genannt.
14
3.1 Methoden zur Messung der Wärmekapazität
gung von PH = 0. Subtrahiert man die sich ergebende Gleichung für TBL von Gleichung 3.3, so
findet man für die Temperaturabweichung zur Basislinie, T(t) ≡ TP(t) − TBL(t), den Zusammen-
hang
CaddCS
K2
d2T(t)dt2 +
(Cadd + CS + CS
K1
K2
) dT(t)dt
+ K1T(t) =CS
K2
dPH(t)dt
+ PH(t) . (3.4)
Dabei verschwindet T0 aus der Gleichung. Integriert man dieses Ergebnis und löst es nach
Γ =
t∫0
dT(t′)dt′
= T(t) − T(t = 0) (3.5)
auf, so findet man das wichtige Ergebnis
Γ(t) = h H(t) + q Q(t) + s S(t) . (3.6)
Dabei sind mit
Q(t) =
t∫0
P(t′)dt′ , (3.7a)
V(t) =dT(t′)
dt′
∣∣∣∣∣t′=t−
dT(t′)dt′
∣∣∣∣∣t′=0
, (3.7b)
S(t) =
t∫0
T(t′)dt′ und (3.7c)
H(t) = P(t) − CaddV(t) (3.7d)
Größen bezeichnet, die sich aus den Messgrößen TP(t) und PH(t) sowie der extrapolierten Basis-
linie TBL(t) berechnen lassen.
Die Konstanten h, q und s stehen via
q =1(
Cadd + CS + CSK1K2
) , (3.8a)
s =−K2(
Cadd + CS + CSK1K2
) und (3.8b)
h =CS
K2
(Cadd + CS + CS
K1K2
) (3.8c)
mit den gesuchten Größen K1, K2 und insbesondere CS im Zusammenhang. Man bestimmt sie,
indem man einen dreidimensionalen, linearen Fit gemäß Gleichung 3.6 durchführt.
15
3 Experimentelle Methoden
Die Lösung des Gleichungssystems ergibt
K1 = −sq, K2 =
sq
+1 − q Cadd
hund CS =
h sq2 +
1q− Cadd . (3.9)
Um die Addenda Cadd zu bestimmen, führt man eine Leermessung der Plattform durch. Im ma-
thematischen Modell setzt man CS = 0 und K2 = ∞. Obige Gleichungen vereinfachen sich dann
zu Γ(t) = q Q(t) + s S(t) und man findet Cadd = 1/q.
Nach dem Ausschalten des Heizers relaxieren Plattform und Probe über K1 und K2 gegen T0. Löst
man Gleichung 3.4 für PH = 0 mittels eines Exponentialansatzes, erhält man für die Relaxations-
zeiten τ1 bzw. τ2 von Plattform und Probe die Beziehung
τ1/2 = τ∓ =2
a ∓√
a2 − 4bmit a =
K1 + K2
Cadd+
K2
CSund b =
K1K2
CaddCS. (3.10)
Das Ergebnis ist in Abbildung 3.2 exemplarisch für einen rechteckigen Heizpuls und τ1 = 75 τ2
dargestellt. Im Allgemeinen gilt K2 K1 und damit τ1 τ2. Bei tiefen Temperaturen ist dies
aber oft nur noch bedingt gewährleistet, weil die Probe im Experiment phononisch an die Platt-
form gekoppelt ist, die Probe aber elektronisch ans Bad gekoppelt ist. Der Temperaturverlauf lässt
sich damit wie folgt interpretieren: Nach dem Einschalten des Heizers steigt die Temperatur der
Plattform rasch an. Die Relaxationszeit τ2 dominiert den Temperaturanstieg. Dadurch steigt der
Temperaturunterschied zwischen Probe und Plattform und damit die Wärmeleistung, die in die
Probe fließt, bis sich nach kurzer Zeit ein Gleichgewicht einstellt, sodass sich Probe und Platt-
form mit gleicher Rate erwärmen. In diesem Bereich ist die Anstiegszeit durch τ1 bestimmt. Nach
dem Ende des Heizpulses fällt die Temperatur der Plattform zunächst wieder steil ab, bis sich ein
Gleichgewicht zwischen an das Bad abgegebene Wärmeleistung und von der Probe abgeflossene
Wärmeleistung einstellt. Hier ist τ1 wieder die dominierende Relaxationszeit. Der Einfluss des
endlichen Wärmeleitwerts K2 wird τ2-Effekt genannt.
Die vorgestellte Methode hat einige Stärken, die hier kurz zusammengefasst werden sollen.
• Die Methode funktioniert unabhängig von Probengröße oder gewählter Größenordnung für
τ1.
• Durch die Wahl der Heizpulslänge und des Wärmeleitwerts K1 ist es prinzipiell möglich,
im quasi-adiabatischen Limes oder weit entfernt davon zu messen.
• Die konkrete Heizpulsform ist weitestgehend beliebig und nicht auf Rechteckpulse limi-
tiert. Damit kann auch ein temperaturabhängiger Heizwiderstand sowie Selbstheizungsef-
fekte durch Rauschen oder die Temperaturauslese berücksichtigt werden.
16
3.1 Methoden zur Messung der Wärmekapazität
0 1 2 3
∼ e x p ( t / 1 )
T P ( t ) P H ( t )
P H (t)
T P (t)
t / 1
∼ e x p ( t / 2 )
T 0
Abbildung 3.2: Heizpuls (rot, gestrichelt) und der daraus resultierende Temperaturverlauf(schwarze Linie) der Plattform, wie er sich aus dem vorgestellten Modell berechnet. Das Mo-dell berücksichtigt den durch endliche thermische Kopplung zwischen Plattform und Probeverursachten τ2-Effekt.
• Der τ2-Effekt wird korrekt modelliert.
• Die Datenauswertung kann online6 erfolgen, um unmittelbar wichtige Kenngrößen (z.B.
Heizpulsdauer, Hub) für den nächsten Puls zu bestimmen. Damit ist eine voll automatisierte
Messung möglich.
PhasenübergängeDie Methode ist prinzipiell nicht geeignet, um Phasenübergänge erster Ordnung korrekt zu ver-
messen. Während die Probe einen Phasenübergang durchläuft, bildet sich in der Relaxationskurve
wegen der latenten Wärme ein Plateau aus. Die latente Wärme findet keine Berücksichtigung in
der hier vorgestellten Methode. Entsprechend ist der Fit fehlerhaft und damit auch der berechne-
te Wert für die Wärmekapazität. Der scharfe Peak bei solchen Phasenübergängen erscheint ver-
schmiert. Ähnlich kann es sich bei scharfen Phasenübergängen zweiter Ordnung verhalten, weil
die Annahme konstanter Wärmekapazität während eines Hubs nicht mehr gegeben ist.
Allerdings gibt es andere Methoden, die Wärmekapazität im Bereich von Phasenübergängen nä-
herungsweise zu vermessen, die mit dem selben experimentellen Aufbau durchgeführt werden
können [Rie86, Suz10].
6D.h. noch während der Messung vor dem nächsten Heizpuls.
17
3 Experimentelle Methoden
3.2 Kryostat
Alle Experimente bei tiefen Temperaturen, die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden,
fanden in einem 3He/4He -Verdünnungskryostaten7 statt. Detaillierte Beschreibungen zur Funk-
tionsweise eines solchen Kryostaten finden sich in der Literatur [Ens05, Pob07].
Auf der Experimentierplattform, welche an der Mischkammer des Kryostaten angebracht ist, be-
fanden sich drei Thermometer. Zur Kalibration der Temperatur wurde das Fixpunktthermometer
SRD1000 Prototyp 006 der Firma HDL8 verwendet. Dabei wurden Phasenübergänge von normal-
zu supraleitenden Phasen mit Sprungtemperaturen zwischen 15 mK und 520 mK genutzt, um ein
Rauschthermometer (zur Funktionsweise siehe z.B. [Net07]) zu kalibrieren. Hiermit wiederum
wurde ein Kohlethermometer kalibriert, welches mit Hilfe einer Widerstandsmessbrücke9 ausge-
lesen wurde [Hem12].
Für die Temperaturmessung und -regelung der Experimentierplattform in dieser Arbeit wurde,
wenn nicht anders erwähnt, das Kohlethermometer verwendet. Die tiefsten erreichten Temperatu-
ren des Kryostaten während der Messungen, die im Rahmen dieser Arbeit stattfanden, lagen bei
etwa 5,5 mK.
3.3 Messplattform und Probenpräparation
MessplattformAls Messplattform dient der kommerziell erhältliche Dilution Refrigerator Heat Capacity Puck
QD-P107H10 der Firma Quantum Design11. Abbildung 3.3 zeigt den QD-Puck. Eine Kupferplatte
dient hierbei als Adapter zwischen Experimentierplattform des Kryostaten und dem QD-Puck,
der hierfür mit weiteren Bohrungen versehen wurde. Der metallische Teil des Pucks besteht aus
goldbeschichtetem Silber. Jeweils vier Pins mit einem Durchmesser von 0,45 mm ermöglichen
die Ansteuerung des Thermometers und Heizers über eine Vierdrahtmessung.
In der Mitte des Pucks kreuzen sich zwei Kapton-Drähte. Damit verklebt ist die 3 mm · 3 mm
große Messplattform (vgl. Abbildung 3.4) aus 254 µm dickem Saphir-Einkristall. Auf dieser sind
zwei DuPont 0030A Dickschicht-Widerstände aus Rutheniumoxid der Firma DuPont12 zum Hei-
zen und zur Thermometrie aufgebracht. Um die Kaptonröhrchen sind Pt92W8-Drähte mit einem
Durchmesser von 25,4 µm gewickelt, welche der elektrischen Kontaktierung dienen und den Wär-
meleitwert zwischen Plattform und Wärmebad definieren [Bep11].
7Kelvinox 400 der Firma Oxford Instruments.8 Hightech Development Leiden, P.O. Box 691, 2300 AR Leiden, The Netherlands.9LR-700, Firma Linear Research Inc., 5231 Cushman Place, Suite 21, San Diego, CA 92110-3910 USA.
10Im Folgenden kurz QD-Puck oder nur Puck genannt.11Quantum Design, Inc., 6325 Lusk Boulevard, San Diego, CA 92121-3733, USA.12DuPont Microcircuit Materials, 14 T.W. Alexander Drive, Research Triangle Park, NC 27709, USA.
18
3.3 Messplattform und Probenpräparation
Abbildung 3.3: Der gesamte QD-Puck wirdüber einen Adapter (A) mit der Experimen-tierplattform des Kryostaten verschraubt.Jeweils vier Pins (B) dienen zur Kontaktie-rung von Heizer und Thermometer auf derPlattform (C).
Abbildung 3.4: Auf der Plattform aus Sa-phir (E) befinden sich zwei Rutheniumoxid-Widerstände zum Heizen (F) und zur Tem-peraturbestimmung (G). Die Plattform istauf zwei sich kreuzenden Kapton-Röhrchen(H) geklebt, um welche die elektrischen Zu-leitungen (I) aus Pt92W8 gewickelt sind.
Der Puck ist laut Hersteller für einen Temperaturbereich von 50 mK bis 40 K ausgelegt. Im Rah-
men dieser Arbeit wurde er bis hin zu Temperaturen von etwa 8 mK genutzt. Eine vom Hersteller
bereitgestellte technische Zeichnung des Pucks findet sich in Anhang A.1.
ProbenpräparationZur Präparation der Probe wird die Plattform mit Hilfe eines Lösungsmittels (chemisch reines To-
luol der Firma Grüssing13) und Wattestäbchen mehrfach gereinigt. Danach wird der Puck in einen
Präparationshalter (vgl. Abbildung 3.5) eingesetzt. Dieser besteht aus einer Puck-Aufnahme, wo-
bei die Plattform durch einen mittigen Stempel fixiert wird. Dieser ermöglicht es, Druck auf die
Plattform auszuüben, ohne dass Kaptonröhrchen oder Pt92W8-Drähte reißen. Über einen Ansaug-
stutzen kann die Probe noch zusätzlich durch Ansaugen stabilisiert werden.
Um einen bestmöglichen Wärmeleitwert zwischen Probe und Plattform zu gewährleisten, hat sich
die Kontaktierung mittels Apiezon N Fett der Firma M&I Materials14 bewährt. Weil dieses bei
Raumtemperatur zähflüssig ist, wird es mit Toluol im Verhältnis 1/1 vermischt und anschließend
ein kleiner Tropfen (etwa 1 − 2 µg) auf die Plattform gegeben. Anschließend drückt man die zu
vermessende Probe auf die Plattform und der Apiezon-Toluol-Tropfen bildet einen Film zwischen
Plattform und Probe, der später den Wärmeleitwert definiert. Der größte Teil des Toluols dif-
fundiert aus diesem Film und verdunstet, sodass hauptsächlich Apiezon übrig bleibt. Zwischen
den Arbeitsschritten werden die entsprechenden Komponenten immer wieder gewogen, um die
13Grüssing GmbH, An der Bahn 4, 26849 Filsum, Deutschland.14M&I Materials Ltd., Hibernia Way, Trafford Park, Manchester M32 0ZD, United Kingdom.
19
3 Experimentelle Methoden
Abbildung 3.5: Konstruktions-zeichnung des Präparationshal-ters: Der Puck wird zur Stabili-sierung während der Probenpräpa-ration in die Puck-Aufnahme (B)gelegt. Die Plattform liegt dabeiauf dem mittigen Stempel (A) auf,um die Proben auf der Plattformzu platzieren, ohne die Kapton-röhrchen zu belasten. Zur weite-ren Fixierung kann man die Platt-form bei Bedarf noch über einAnschluss-Stutzen (C) ansaugen.
verwendete Apiezon-Menge abschätzen und die Wärmekapazitätsmessungen entsprechend korri-
gieren zu können.
Der Vorteil dieser Methode ist, dass sich das im Vergleich zu reinem Apiezon dünnflüssigere
Apiezon-Toluol-Gemisch gut verteilt und auch kleinste Unebenheiten in den Kontaktflächen aus-
gleichen kann. Das spätere Abdampfen des Toluols führt zu einem dünnen Kontaktfilm, was den
Leitwert erhöht und gleichzeitig nur sehr gering zur Wärmekapazität beiträgt.
3.4 Thermometrie
Um den in Abschnitt 3.1.2 dargestellten Messalgorithmus bestmöglich zu implementieren und den
τ2-Effekt schon auf kleinen Zeitskalen unter 100 ms auflösen zu können, wurde zum Auslesen des
Thermowiderstands eine Schaltung mit Lock-In-Technologie realisiert. Diese erlaubt die nötige
Präzision auf kurzen Zeitskalen auch bei sehr kleinen Anregungsströmen. Im folgenden wird die
Schaltung beschrieben und charakterisiert. Für die Messungen zur Charakterisierung der Plattform
wurden verschiedenen Messalgorithmen mit der Steuerungs-Software LabView15 realisiert (vgl.
Anhang A.3), mit deren Hilfe die im Folgenden gezeigten Messwerte aufgezeichnet wurden.
3.4.1 Beschreibung der Schaltung
Die Messung des Thermowiderstands Rth der Plattform wird mittels einer Vierdrahtmessung reali-
siert. Über zwei Zuleitungen treibt man einen definierten Strom durch den Widerstand. Der Span-
nungsabfall über dem Widerstand wird über die beiden anderen Zuleitungen hochohmig abgegrif-
fen und mit einem Spannungsmessgerät gemessen. Dabei fließt durch die zum Spannungsabgriff
15National Instruments Germany GmbH, Ganghoferstraße 70 b, 80339 München, Deutschland.
20
3.4 Thermometrie
verwendeten Leitungen kein Strom, sodass der Widerstand dieser Zuleitungen keinen Einfluss auf
das Messergebnis hat.
Der hier verwendete Messaufbau ist in Abbildung 3.6 dargestellt. Um einen Strom durch den
Thermowiderstand Rth zu treiben, wird der Frequenzgenerator eines Lock-In-Verstärkers (Signal
Recovery 7265 DSP Lock-In-Amplifier16) verwendet. Dieser erzeugt eine Wechselspannung Uin,
die mit Hilfe eines Übertragers (E-1220 der Firma EXPERIENCE electronics17) im Verhältnis eins
zu eins umgespannt wird. Die daraus resultierende galvanische Entkopplung ist nötig, um einen
Massenringschluss zu vermeiden. Andernfalls würden kleine Spannungsdifferenzen in den Zulei-
tungen (hervorgerufen zum Beispiel durch den Seebeck-Effekt) zu einem Gleichstrom führen, der
eine parasitäre Heizleistung nach sich ziehen würde. Auf der Sekundärseite des Übertragers wird
durch einen hochohmigen Widerstand R1 ≈ 391 kΩ der Strom definiert, welcher durch den Ther-
mowiderstand fließt. Somit fungiert die Spannungsquelle zusammen mit dem Widerstand R1 als
Stromquelle. Dieser Strom wird dann durch den Thermowiderstand geführt. Die über dem Ther-
mowiderstand abgegriffene Spannung wird zurück zum Lock-In-Verstärker geführt und dort ge-
messen. Zuvor kann man sie optional mit Hilfe eines weiteren Übertragers (E-1420 oder E-11620
der Firma EXPERIENCE electronics; vgl. auch Tabelle 3.1) umspannen, um kleine Spannungen
leichter auslesen zu können.
Um externe Rauschbeiträge, verursacht beispielsweise durch das Einkoppeln hochfrequenter Strah-
lung, zu minimieren, sind einige Bauelemente der Schaltung (Übertrager, Widerstände) in einem
mehrere Millimeter dicken Druckguss-Aluminium-Gehäuse untergebracht. Zusätzlich werden alle
Signale außerhalb des Kryostaten durch die Innenleiter von Koaxialkabeln geführt, sodass die Au-
ßenleiter als Schirmung dienen. Daneben werden Hochfrequenzstörsignale durch den Einsatz von
Tiefpassfiltern (vgl. Abbildung 3.6) unterdrückt. Die hier verwendeten Filter haben eine Grenzfre-
quenz18 von etwa 15 MHz.
Das in Abbildung 3.6 gezeigte Schaltbild enthält Vereinfachungen. So werden kapazitive Ein-
flüsse zwischen den signalführenden Leitungen und der Masse oder in den Übertragern nicht be-
rücksichtigt. Weil der Spannungsabfall über dem Widerstandsthermometer gegen eine bekannte
Temperatur kalibriert wird, sind diese Vereinfachungen für die Bestimmung der Temperatur nicht
von Belang. Um das Modell für theoretische Voraussagen weiter zu vereinfachen, kann man noch
die R-L-Glieder der Tiefpässe vernachlässigen, da diese im Vergleich zum großen Vorwiderstand
R1 eine untergeordnete Rolle spielen. Auch kann man die Kapazitäten der Tiefpassfilter gegen
Masse vereinfacht als Kapazitäten zwischen den jeweiligen signalführenden Leitungen auffassen.
Diese so vereinfachte Schaltung ist in Abbildung 3.7 dargestellt.
16AMETEK GmbH, Signal Recovery Division, Rudolf-Diesel-Straße 16, 40670 Meerbusch, Deutschland.17EXPERIENCE electronics, Kastanienweg 12, 86169 Augsburg, Deutschland.18Als Grenzfrequenz wird hier die Frequenz verstanden, bei der die Ausgangsspannung auf das 1/
√2-fache
der Eingangsspannung abgefallen ist.
21
3E
xperimentelle
Methoden
Abbildung 3.6: Schaltplan für die Ansteuerung des Widerstandsthermometer: Ein Funktionsgenerator, der eine Wechselspannung Uin er-zeugt, wird durch den Übertrager Ü1 galvanisch vom Rest der Schaltung getrennt. Durch einen großen Vorwiderstand R1 erhält man einendefinierten Wechselstrom, der durch das Widerstandsthermometer fließt. Der daraus resultierende Spannungsabfall über dem Thermometerkann optional noch analog verstärkt werden (Übertrager Ü2, gelbe Box) und wird dann mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers eingelesen (Uout).Die Baugruppen bestehend aus Spule mit Induktivität LTP, Kondensator mit Kapazität CTP und Widerstand RTP dienen als Tiefpassfilter. ImInneren des Kryostaten (blau hinterlegt) befinden sich das Widerstandsthermometer sowie ein Teil der elektrischen Zuleitungen für dieses.
22
3.4 Thermometrie
Abbildung 3.7: Vereinfachter Schaltplan für die Ansteuerung des Widerstandsthermometers(vgl. dazu Abbildung 3.6): Der Funktionsgenerator, der eine Wechselspannung Uin erzeugt,wird durch den Übertrager Ü1 galvanisch vom Rest der Schaltung getrennt. Durch den großenVorwiderstand R1 erhält man einen definierten Wechselstrom, der durch das Widerstandsther-mometer fließt. Der daraus resultierende Spannungsabfall kann optional noch analog verstärktwerden (Übertrager Ü2, gelbe Box) und wird dann mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers ein-gelesen (Uout). Die Tiefpassfilter werden zu einem einzigen Kondensator parallel zum Wi-derstandsthermometer vereinfacht. Im Inneren des Kryostaten (blau hinterlegt) befinden sichdas Widerstandsthermometer sowie ein Teil der elektrischen Zuleitungen für dieses.
Mit Hilfe dieser Schaltung lassen sich auch schon ohne computergestützte Simulationsprogram-
me Aussagen über das Verhaltung der Schaltung machen. Von besonderem Interesse ist dabei das
Verhältnis von der am Lock-In-Verstärker abfallenden Spannung Uout zu der am Funktionsgene-
rator mit der Frequenz f bzw. Kreisfrequenz ω = 2π f ausgegebenen Wechselspannung Uin. In
der zuletzt diskutierten Näherung gilt
Uout
Uin= n
Rth||ZC||ZÜ2
Rth||ZC||ZÜ2+ R1
(3.11)
mit dem Übersetzungsverhältnis n des Übertragers Ü2 (für Ü1 wird eine Übersetzung eins zu
eins gewählt), der Kondensatorimpedanz ZC = 1/(iωC) und der Übertragerimpedanz ZÜ2=
RÜ2+ iωL ≈ iωL, wobei L die Induktivität der entsprechenden Spule des Übertragers bezeichnet.
Die Schreibweise Ri||R j stellt dabei die übliche Notation für den Widerstand von zwei parallel
geschalteten Widerständen Ri und R j dar. Daraus erhält man die Beziehung∣∣∣∣∣Uout
Uin
∣∣∣∣∣ =ωLR2√
R1Rth − ω2LCR1Rth)2 + (ωL(R1 + Rth))2. (3.12)
3.4.2 Charakterisierung der Schaltung
Der Temperaturverlauf des Thermowiderstands wurde zunächst mit der in Abschnitt 3.2 erwähnten
Widerstandsmessbrücke vermessen. Das Ergebnis dieser Messung ist in Abbildung 3.8 dargestellt.
Der Widerstand steigt von hohen Temperaturen kommend zunächst immer steiler. Unterhalb von
etwa 10 mK sättigt der Widerstandswert, sodass die Temperaturauflösung in diesem Bereich ge-
mäß ∆T = (∂T/∂R) ∆R sehr schlecht wird. Die Messpunkte lassen sich mit der gefitteten Funktion
23
3 Experimentelle Methoden
Rth(T) = R0 tanh (a/T) + Roffset + b T + c T2 (3.13)
mit a = 0,026 629 K, b = −5315 Ω/K, c = 3327 Ω/K2, R0 = 30 589 Ω sowie Roffset = 6001 Ω
beschreiben, die sich empirisch als geeignet herausgestellt hat.
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 005
1 01 52 02 53 03 54 0
T ( m K )
R th (kΩ
)
T ( m K )
R th (kΩ
)
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 02 7 , 53 0 , 03 2 , 53 5 , 03 7 , 5
Abbildung 3.8: Der Temperaturverlauf des Thermowiderstands Rth(T). Die durchgezogeneLinie zeigt einen Fit an die Messpunkte gemäß Gleichung 3.13. Die Temperatur wurde mitHilfe des in Abschnitt 3.2 beschriebenen Rauschthermometers gemessen, wobei vor jedemMesspunkt gewartet wurde, bis die Plattform thermisch relaxiert war.
Weiterhin wurde der Frequenzgang der Schaltung gemessen. Auf der spannungsauslesenden Seite
wurden dabei Übertrager mit unterschiedlichen Übertragungsverhältnissen getestet, um das kleine
Messsignal analog vorverstärken zu können. Wichtige Kenngrößen der getesteten Übertrager sind
in Tabelle 3.1 zusammengefasst.
Der Frequenzgang für die verschiedenen Übertrager ist in den Abbildungen Abbildung 3.9 für
T = 5,6 mK bzw. T = 65 mK dargestellt. Der Unterschied in der Temperatur führt zu einem unter-
schiedlichen Thermowiderstand Rth. Aus der Fitfunktion gemäß Gleichung 3.13 erhält man einen
Wert von Rth = 36 556,1 Ω bzw. Rth = 17 544,3 Ω. Insbesondere große Übertragungsverhältnisse
zeigen eine Resonanzüberhöhung im 1 kHz-Bereich, die auf die Induktivitäten und Kapazitäten im
Schaltkreis zurückzuführen ist. Eine Vergleichsmessung an einem 100 kΩ-Widerstand bei Raum-
temperatur ohne die Verwendung der Tiefpassfilter zeigt die Überhöhung nicht. Der Vergleich mit
theoretischen Vorhersagen gemäß Gleichung 3.12 liefert qualitativ gute Übereinstimmungen, die
physikalischen Fitparameter (siehe Anhang A.2) entsprechen aber nicht den Erwartungen.
24
3.4 Thermometrie
Name E-1220 E-1240 E-11620
Übersetzungsverhältnis 1:1+1 1:2+2 1:8+8Widerstand
Primärwicklung ≈ 85 Ω ≈ 100 Ω ≈ 23 ΩSekundärwicklung ≈ 250 Ω + 270 Ω ≈ 800 Ω + 880 Ω ≈ 2 kΩ + 2,3 kΩ
InduktivitätPrimärwicklung 2,7 H 2,6 H 1,2 HSekundärwicklung je 2,7 H je 10,8 H je 65,5 H
Tabelle 3.1: Zusammenfassung wichtiger Kenngrößen der verwendeten Übertrager der Fir-ma EXPERIENCE electronics. Die Übertrager haben auf der Sekundärseite zwei Spulen.Man kann nur eine oder beide Spulen kontaktieren und erhält entsprechend ein anderes Über-setzungsverhältnis. Die Schreibweise 1 : x + x für das Übersetzungsverhältnis bedeutet, dassdieses je nach Kontaktierung 1 : x oder 1 : 2x ist. Die Daten stammen, mit Ausnahme derInduktivitäten, aus den Datenblättern des Herstellers. Die Induktivitäten wurden selbst ver-messen.
Das entscheidende Kriterium für die Wahl des Übertragers ist der relative Fehler des auszule-
senden Spannungssignals. In Abbildung 3.10 sind die entsprechenden Ergebnisse für eine kon-
stante Anregungsspannung Uin dargestellt. Man erkennt, dass der relative Fehler der gemessenen
Spannung Uout ohne Übertrager am geringsten ist, während die Messungen mit Übertrager den
relativen Fehler vergrößern. Dies liegt zum einen daran, dass die Übertrager selbst als zusätzli-
che Rauschquelle betrachtet werden müssen. Zum anderem fällt durch das parallele Zuschalten
der Übertrager über dem Thermowiderstand weniger Spannung ab, sodass das zu verstärkende Si-
gnal selbst schon kleiner wird. Das letzte Argument gilt nur für konstante Anregungsspannungen
Uin. Die Argumentation wird komplexer, möchte man stattdessen die über dem Thermowiderstand
abfallende parasitäre Leistung für die verschiedenen Schaltungen konstant halten. Wegen Selbst-
heizungseffekten, die später detailliert untersucht werden, ist dies eine sinnvolle Randbedingung.
In diesem Fall hängt die Auflösung in nicht-trivialer Weise unter anderem von der Messfrequenz
und der Temperatur ab, weil der für die Auflösung relevante Parallelwiderstand R = Rth||ZÜ2aus
Thermometer und Übertrager eine Widerstandsänderung Rth(T) entsprechend kompliziert abbil-
det. Simulationen haben auch in dieser Hinsicht gezeigt, dass bei tiefen Temperaturen T < 100 mK
eine Schaltung ohne Übertrager Ü2 die beste Auflösung erreicht. Gerade bei tiefen Temperaturen
ist das Signal-zu-Rausch-Verhältnis sehr schlecht. Aus diesen Gründen wurden die nachfolgenden
Messungen, wenn nicht anders erwähnt, mit der Schaltungsvariante ohne Übertrager Ü2 durchge-
führt.
Neben der Wahl des passenden Übertragers eignet sich Abbildung 3.10 auch dazu, eine geeignete
Anregungsfrequenz zu wählen. Andere experimentelle Aufbauten im Labor und dessen Umge-
bung sowie die Netzfrequenz der Versorgungsspannung (50 Hz) und deren Oberschwingungen
sorgen für Rauschbeiträge auf definierten Frequenzen. Daher eignen sich prinzipiell Frequen-
25
3 Experimentelle Methoden
0 2 5 0 0 5 0 0 0 7 5 0 0 1 0 0 0 00
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0 o h n e 1 : 2 1 : 4 1 : 8 1 : 1 6 1 0 0 k Ω o h n e 1 0 0 k Ω 1 : 2 F i t s
U out
(µV)
f ( H z )
T = 5 , 6 m K
0 2 5 0 0 5 0 0 0 7 5 0 0 1 0 0 0 00
1 0 0
2 0 0
3 0 0
f ( H z )
o h n e 1 : 2 1 : 4 1 : 8 1 : 1 6 F i t s
U out
(µV)
T = 6 5 m K
Abbildung 3.9: Oben: Frequenzverlauf für die verschiedenen Übertrager auf der auslesendenSeite bei einer Temperatur von 5,6 mK. Zum Vergleich wurde auch ohne die Tiefpassfilter ein100 kΩ-Widerstand bei Raumtemperatur gemessen. Unten: Frequenzverlauf für die verschie-denen Übertrager auf der auslesenden Seite bei einer Temperatur von 65 mK. Insbesonderegroße Übertragungsverhältnisse zeigen eine Resonanzüberhöhung. Insbesondere große Über-tragungsverhältnisse zeigen bei beiden Temperaturen eine Resonanzüberhöhung.
26
3.4 Thermometrie
zen, die keine ganzzahligen Vielfachen solcher Störquellen sind. Alle Messungen wurden bei
f = 2537,0 Hz durchgeführt.
0 2 5 0 0 5 0 0 0 7 5 0 0 1 0 0 0 00 , 0
0 , 2
0 , 4
0 , 6
0 , 8
1 , 0 o h n e 1 : 2 1 : 4 1 : 8 1 : 1 6
U ou
t/Uou
t (%)
f ( H z )
T = 6 5 m K
Abbildung 3.10: Der frequenzabhängige relative Fehler der Ausgangsspannung Uout ist fürdie verschiedenen Übertrager dargestellt.
Neben der Schaltung selbst spielen auch die Einstellungen des Lock-In-Verstärkers eine Rolle.
Besonders kritisch ist die Wahl der internen Integrationszeit tTC19. Die dazu durchgeführten Mes-
sungen sind in Abbildung 3.11 dargestellt. Zur Datenermittlung wurden je 250 Einzelmesswerte
für jede Integrationszeit gemessen und daraus der Mittelwert und die Standardabweichung berech-
net. Der Mittelwert ist innerhalb des Fehlers für alle gewählten Integrationszeiten konstant. Die
Standardabweichung σ ist für tTC < 1/ f etwa konstant. Dies ist auf die Tatsache zurückzugefüh-
ren, dass für solch kurze Integrationszeiten nicht über eine volle Periode der Wechselspannung mit
Frequenz f gemittelt wird. Für tTC > 1/ f fällt die Standardabweichung σ gemäß σ ∝ t−1/2TC ab,
wie man es auf Grund von statistischen Überlegungen erwartet.
In der Praxis werden die Messungen oberhalb von 50 mK mit einer Integrationszeit von tTC =
20 ms durchgeführt, was sich als guter Kompromiss zwischen Beobachtbarkeit des τ2-Effekts
und den Rauschschwankungen des Messsignals erwiesen hat. Unterhalb dieser Temperatur wird
das Rauschen zum limitierenden Faktor in der Temperaturauflösung und man wählt typischerweise
tTC = 50 ms. Dies erlaubt die Beobachtung des τ2-Effekts auf Zeitskalen bis etwa 200 ms.
Um das Signal-zu-Rausch-Verhältnis zu maximieren, möchte man mit einer möglichst großen An-
regungsspannung Uin auslesen. Wird die über dem Thermowiderstand abfallende Leistung aber
19Vom Englischen time constant.
27
3 Experimentelle Methoden
1 E - 5 1 E - 4 1 E - 3 0 , 0 1 0 , 1 1 1 01 E - 3
0 , 0 1
0 , 1
1
1 E - 5 1 E - 4 1 E - 3 0 , 0 1 0 , 1 1 1 02 2 , 2 7 5
2 2 , 3 0 0
2 2 , 3 2 5
2 2 , 3 5 0
2 2 , 3 7 5
S t a n d a r d f e h l e r H i l f s l i n i e ~ t - 1 / 2
T C
Stand
ardfeh
ler (µ
V)
t T C ( s )
Mitte
lwert (
µV)
M i t t e l w e r t
Abbildung 3.11: Für die Bestimmung der Abhängigkeit von Mittelwert Uout und Standard-fehler σ von der gewählten Integrationszeit tTC des Lock-In-Verstärkers wurden Analog zuden Messungen des Frequenzgangs der Thermowiderstand und die Tiefpassfilter durch einen10 kΩ-Widerstand ersetzt. Der Mittelwert ist innerhalb des Fehlers konstant (Fehlerbalkensind der Übersicht wegen nur bei einigen Punkten dargestellt). Der Standardfehler bildet fürIntegrationszeiten tTC < 1/ f ein Plateau aus und fällt dann wie erwartet gemäß σ ∝ t−1/2
TC ab.
zu groß, erhitzt sich dieser lokal zu stark und die Abweichungen zwischen der Temperatur der
Plattform und der des Thermometers wird größer als der Zugewinn an Präzision durch ein grö-
ßeres Uin. Dieser Effekt nennt sich Selbstheizung. Bei konstanter Temperatur der Thermometers
gilt Uout ∝ Uin, also Uout/Uin = const. Bei Selbstheizung steigt die Temperatur, gemäß Abbil-
dung 3.8 fällt der Widerstandswert und entsprechend der elektrischen Ansteuerung damit auch die
Spannung Uout. Die Selbstheizung setzt bei tiefen Temperaturen schon bei niedrigeren Eingangs-
spannungen Uin ein. Dies liegt zum einen daran, dass die interne Wärmeleitfähigkeit der Plattform
mit abnehmender Temperatur sinkt, sodass bei gleicher Leistungsabgabe gemäß Gleichung 2.16
der Temperaturgradient zwischen Thermometer und Plattform steigt. Gleichzeitig fällt durch den
höheren Widerstandswert Rth bei tiefen Temperaturen auch mehr Wärmeleistung ab. Um den Ef-
fekt der Selbstheizung zu untersuchen, wird die Eingangsspannung Uin systematisch erhöht und
dabei die Ausgangsspannung Uout beobachtet. In Abbildung 3.12 ist das Ergebnis einer solchen
Messreihe für 6,5 mK bzw. 50 mK dargestellt. Für niedrige Eingangsspannungen Uin ist das Ver-
hältnis Uout/Uin zunächst in etwa konstant und fällt dann wie erwartet ab. Die Fluktuationen bei
niedrigen Spannungswerten für die Messung bei T = 160 mK sind durch Bereichsumschaltungen
am Lock-in-Verstärker verursacht.
Auf Grund dieser Messungen werden für die Temperaturauslesung temperaturabhängige maxi-
male Eingangsspannungen definiert. Die Messung der Wärmekapazität wird dazu in drei Tempe-
raturbereiche aufgeteilt, in denen jeweils eine andere Eingangsspannung Uin gemäß Tabelle 3.2
definiert wird. Neben der Unterschreitung der Grenzspannung für Selbstheizungseffekte, ab der
28
3.4 Thermometrie
gemäß Abbildung 3.12 Uout und Uin nicht mehr proportional zueinander sind, wurde darauf ge-
achtet, dass man den Sensitivitätsbereich des Lock-In-Verstärkers bestmöglich ausnutzt.
0 1 2 3 4 55 45 55 65 75 85 96 06 16 2
1000
U out/
U in
U i n ( m V )
T = 6 , 5 m K
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0
2 3 , 0
2 3 , 5
2 4 , 0
2 4 , 5
2 5 , 0
U i n ( m V )
1000
U out/
U in
T = 1 6 0 m K
Abbildung 3.12: Auf Grund von Selbstheizungseffekten ist das Verhältnis von Aus- zu Ein-gangsspannung Uout/Uin abhängig von der gewählten Eingangsspannung Uin. Für niedrigeEingangsspannungen Uin ist der Quotient Uout/Uin zunächst konstant, bei höheren Span-nungen aber sinkt das Verhältnis durch das Aufheizen des Thermowiderstands. Bei höherenTemperaturen ist eine höhere Eingangsspannung Uin für das Auftreten des Effekts nötig.
Bezeichnung Low-T Mid-T High-T
Temperaturbereich < 55 mK 45 − 170 mK 160 − 520 mKLock-In-Verstärker
Eingangsspannung 0,9 mV 3 mV 10 mVSensitivität 20µV 50µV 100µV
Tabelle 3.2: Die Messung der Wärmekapazität wird in drei Temperaturbereiche zerlegt, indenen jeweils andere optimierte Einstellungen verwendet werden. Die kritischen, zu ändern-den Einstellungen sind in dieser Tabelle zusammengefasst.
Mit den hier diskutierten optimierten Einstellungen wird das Signalverhältnis Uout/Uin gegen
das Kohle- bzw. Rauschthermometer kalibrieren. Dabei wird die Temperatur der Experimentier-
plattform im Kryostaten schrittweise verändert und nach einer ausreichenden Relaxationszeit des
Pucks die Ausgangsspannung Uout ermittelt. Diese Kalibrationskurve dient dann zur Bestimmung
der Temperatur der Plattform. Das Ergebnis dieser Messung ist in Abbildung 3.13 dargestellt. Der
Verlauf der Kurve verhält sich ähnlich wie der des Widerstandswerts des Thermowiderstands (vgl.
Abbildung 3.8). Dies ist in erster Näherung unter Vernachlässigung etwaiger Kapazitäten und In-
duktivitäten aus dem ohmschen Gesetz gemäß
Uout = Rth I = RthUin
Rth + R1≈ Rth
Uin
R1(3.14)
29
3 Experimentelle Methoden
ersichtlich. Die einzelnen Messbereiche zeigen auch im Überlappbereich eine gute Übereinstim-
mung.
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00 , 0 00 , 0 10 , 0 20 , 0 30 , 0 40 , 0 50 , 0 60 , 0 7
6 - 7 0 m K 4 5 - 2 0 0 m K 1 5 0 - 5 6 0 m K
U out/U
in
T ( m K )Abbildung 3.13: Die Kalibration des Thermowiderstands ist in drei Bereiche unterteilt. DieBereiche unterscheiden sich in der Eingangsspannung Uin, um Selbstheizungseffekte zu ver-meiden und den Messbereich des Lock-In-Verstärkers bestmöglich auszunutzen. Die hierfürgewählten Einstellungen sind in Tabelle 3.2 aufgeführt.
Während den Messungen wurden Verschiebungen in den Kalibrationskurven festgestellt, die sich
insbesondere bei tiefen Temperaturen stark bemerkbar machen. Die Messungen hierzu sind in
Abbildung 3.14 abgebildet. Bei tiefen Temperaturen unterhalb von 20 mK führen diese Schwan-
kungen in Verbindung mit dem Abflachen der Kalibrationskurve zu großen Fehlern in der Tempe-
raturauflösung. Denkbare Ursachen für die Abweichungen sind der Einfluss anderer Experimente
im Kryostaten oder Schwankungen in der Messelektronik. Für den Lock-In-Verstärker wurde ein
Drift nach dem Einschalten festgestellt, der etwa 30 min anhält. Aus diesem Grund ist der Lock-
In-Verstärker während eines Runs20 durchgehend eingeschaltet. Eine weitere Ursache ist die inter-
ne Relaxation der Plattform vor der Aufnahme der Messpunkte. Während für die Messungen aus
den Runs 2 und 3 Relaxationszeiten im Minuten-Bereich gewählt wurden, wurde die Messung in
Run 4 dahingehend geändert, dass für Temperaturen unterhalb von 20 mK die Relaxationszeit mit
der Temperatur skaliert wurde (t ∝ 1/T3). Die daraus resultierende Kurve liegt bei tiefen Tempera-
turen deutlich oberhalb der anderen Kurven, was für eine bessere Relaxation der Plattform spricht.
Alterungsprozesse im Thermowiderstand erscheinen unwahrscheinlich, weil die Schwankungen
der ersten drei Messungen keine zeitliche Systematik erkennen lassen. Deshalb wird die Kalibrati-
on aus Run 4 in Zukunft als Kalibrationsdatei dienen, hier gezeigten Messdaten sind jedoch noch
mit der Kalibration aus Run 2 durchgeführt.
20D.h. während einer Kaltphase des Kryostaten, die typischerweise im Bereich von mehreren Wochen liegt.
30
3.5 Heizer
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0
4 0
5 0
6 0
R u n 0 2 : 0 8 . 0 5 . 2 0 1 2 R u n 0 3 : 1 8 . 0 6 . 2 0 1 2 R u n 0 3 : 0 5 . 0 7 . 2 0 1 2 R u n 0 4 : 0 2 . 1 0 . 2 0 1 2
1000
U out/U
in
T ( m K )
5 1 06 0
6 2
6 4
Abbildung 3.14: Die Kalibrationskurve für Temperaturen T < 70 mK wurde vier mal ver-messen, um Aussagen über die Präzision machen zu können. Es zeigt sich, dass bei tiefenTemperaturen die Werte auseinanderlaufen. Die hier gewonnenen Messwerte sind also mitentsprechend großen Fehlern behaftet. Für die vierte Kurve wurde bei tiefen Temperatureneine längere Relaxationszeit gewählt.
3.5 Heizer
3.5.1 Beschreibung der Schaltung
Für die Ansteuerung des Heizers wird ebenso wie für den Thermowiderstand eine Vierdraht-
methode gewählt. Da mit Gleichstrom geheizt wird, ist eine galvanische Trennung mittels ei-
nes Übertragers nicht möglich. Deshalb bedient man sich hier eines Instrumentenverstärkers. Das
Schaltbild ist in Abbildung 3.15 gezeigt. Als Spannungsquelle dient ein Analogausgang des USB-
Datenerfassungsgerätes NI-USB 6251 Box der Firma National Instruments21. Im Folgenden wird
dieser Analog-Ausgang kurz D-A-Wandler genannt. An den Eingang des Instrumentenverstär-
kers wird eine Spannung angelegt. Zur galvanischen Trennung bezieht der Instrumentenverstärker
seine Spannungsversorgung aus zwei handelsüblichen 9-V-Block-Batterien. Der Instrumentenver-
stärker ist so verschaltet, dass er das Spannungssignal nicht verstärkt. Durch die Ausgängen des
21National Instruments Germany GmbH, Ganghoferstraße 70 b, 80339 München, Deutschland.
31
3 Experimentelle Methoden
Instrumentenverstärkers wird das Signal an den Heizwiderstand übertragen. Mit dem in Serie ge-
schalteten 4,7 MΩ-Widerstand erhält man in erster Näherung eine Stromquelle, sodass man durch
das Ansteuern des D-A-Wandlers einen Strom durch den Heizer treiben kann. Die Spannung, die
über dem Heizwiderstand abfällt, wird analog Vorverstärkt (Faktor 500) und anschließend mit
Hilfe der oben erwähnten NI-USB 6251 Box digitalisiert (im Folgenden A-D-Wandler) und am
Computer weiterverarbeitet.
Der D-A-Wandler hat einen kleinen Spannungs-Offset. Um den Offsetstrom sowie Rauschbeiträge
zu minimieren, wurde der große Vorwiderstand R1 von 4,7 MΩ gewählt. Mit einem zuvor getes-
teten 470 kΩ-Widerstand konnte die Plattform tiefste Temperaturen unterhalb von circa 20 mK
nicht erreichen. Um Rauschbeiträge zu minimieren, werden analog zur Schaltung des Thermowi-
derstands alle Signale außerhalb des Kryostaten durch die Innenleiter von Koaxialkabeln geführt.
Die verschiedenen Bauelemente der Schaltung (Vorwiderstand R1, Instrumentenverstärker, Batte-
rien) sind zur Abschirmung in einem mehrere Millimeter dicken Druckguss-Aluminium-Gehäuse
untergebracht.
3.5.2 Charakterisierung der Schaltung
Der Heizwiderstand wurde mit Hilfe der in Abschnitt 3.2 erwähnten Widerstands-Messbrücke
vermessen. Der Temperaturverlauf ist in Abbildung 3.16 gezeigt. Der Widerstand steigt von hohen
Temperaturen kommend immer stärker an und sättigt bei tiefen Temperaturen unterhalb von etwa
10 mK. Die Kalibrationsdaten des Herstellers stimmen gut mit den selbst gemessenen Werten
überein. Es ist zu beachten, dass die Herstellerdaten nicht am selben, aber einem baugleichen
Puck gemessen sind und einen Temperaturbereich von 50 mK bis 500 mK abdecken. Eine kleine
systematische Abweichung der Messwerte bedingt durch Variationen im Fertigungsprozess ist
deshalb nicht überraschend. Der Temperaturverlauf kann mit Hilfe der Funktion
RH(T) = R0 tanh (a/T) + Roffset + b T + c T2 + d T3 (3.15)
mit den Parametern R0 = 6670 Ω, Roffset = 3782 Ω, a = 0,030 63 K, b = −8249 Ω/K, c =
14 979 Ω K−2 sowie d = −10 569 Ω K−3 beschrieben werden. Diese Funktion hat sich empi-
risch als geeignet herausgestellt. Weil der Heizwiderstand temperaturabhängig ist und sich so-
mit während eines Heizpulses ändert, wird mit Hilfe dieser Funktion die Heizleistung gemäß
P(t) = R((T(t)) I2 bzw. P(t) = U2/R(T(t)) berechnet. Eine Kalibration der Heizleistung ist im
Gegensatz zur Kalibration des Thermowiderstands ohne weitere Hilfsmittel nicht möglich. Daher
kalibriert man den Gesamtaufbau mit Hilfe von Wärmekapazitätsmessungen an bekannten Proben.
32
3.5H
eizer
Abbildung 3.15: Schaltplan für die Ansteuerung des Heizwiderstands: Der Pulsgenerator wird mit den Eingängen eines Instrumentenverstär-kers verbunden, der mit Verstärkungsfaktor 1 arbeitet. Dieser wird durch Batterien mit Spannung versorgt. Mit Hilfe des Vorwiderstands R1wird ein Strom definiert, der durch den Heizwiderstand auf der Plattform des QD-Pucks fließt und hier für einen Wärmeeintrag sorgt. DieSpannung, die über dem Heizwiderstand abfällt, wird analog vorverstärkt und dann digital eingelesen. Die Baugruppen in den grau hinter-legten Boxen bestehend aus Spule (470 µH), Kondensator (1 nF) und Widerstand (1 kΩ) dienen als Tiefpassfilter. Im Inneren des Kryostaten(blau hinterlegt) befinden sich das Heizwiderstand sowie ein Teil der elektrischen Zuleitungen für diesen.
33
3 Experimentelle Methoden
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00123456789
1 01 1
E i g e n e M e s s u n g D a t e n v o n Q u a n t u m D e s i g n F i t ( e i g e n e M e s s u n g )
T e m p e r a t u r ( m K )R H (
kΩ)
T ( m K )
R H (kΩ
)
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
9
1 0
1 1
Abbildung 3.16: Der Temperaturverlauf des Heizwiderstands RH(t). Die durchgezogene Li-nie zeigt einen Fit gemäß Gleichung 3.15. Die Temperatur wurde mit Hilfe des in Abschnitt2.2 beschriebenen Rauschthermometers gemessen, wobei vor jedem Messpunkt gewartetwurde, bis die Plattform thermisch relaxiert war.
Die Funktionsweise der Schaltung kann jedoch überprüft werden, in dem man den Strom, der
durch den Heizwiderstand fließt, tatsächlich misst. Dazu wurde der Sub-Femtoampere Stromver-
stärker DDPCA-300 der Firma Femto22 in Serie an den Vorwiderstand R1 angeschlossen. Der
Heizwiderstand selbst und die Tiefpassfilter sind bei dieser Messung nicht angeschlossen. Bei
späteren Messungen mit diesen Komponente wurden aber ähnliche Ergebnisse erzielt. Der Strom
wird in Abhängigkeit der angelegten Spannung am D-A-Wandler gemessen. Das Ergebnis ist in
Abbildung 3.17 abgebildet. Der Verlauf lässt sich linear mit der Funktion
I = −7,56 · 10−11 A + 2,119 · 10−7 A V−1·U (3.16)
fitten, wobei Einzelmesswerte weniger als 0,5 % von der Fitfunktion abweichen. Der Kehrwert der
Steigung mit einem Wert von 4,72MΩ stimmt gut mit dem gemessenen Wert von R1 = 4,74 MΩ
für den Vorwiderstand überein.
Um auch die spannungsauslesende Seite zu testen, wird ein Spannungssignal U1 aus dem D-A-
Wandler an einen 10 kΩ-Widerstand angelegt und parallel dazu von der Faktor-500-Verstärkerdose
abgegriffen. Die daraus resultierende Spannung U2 wurde mit einem Spannungsmessgerät (Sour-
ceMeter 2601A der Firma Keithley23) gemessen. Die sich ergebenden Messpunkte sind in Abbil-
22FEMTO Messtechnik GmbH, Klosterstr. 64, 10179 Berlin, Deutschland.23Keithley Instruments GmbH, Landsberger Strasse 65, 82110 Germering, Deutschland.
34
3.5 Heizer
dung 3.18 gezeigt und lassen sich mit der Funktion
U2 = 501,335 U1 − 9 mV (3.17)
beschreiben. Der Verstärkungsfaktor, nominell mit 500 angegeben, wird dabei auf 501,335 be-
stimmt.
Die in Gleichung 3.16 und Gleichung 3.17 gefundenen Funktionen werden verwendet, um Strom
und über RH abfallende Spannungen bestmöglich zu kalibrieren.
- 1 , 5 - 1 , 0 - 0 , 5 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5- 4 0 0- 3 0 0- 2 0 0- 1 0 0
01 0 02 0 03 0 04 0 0
I (nA)
U ( V )
F i t : I = - 7 . 5 6 1 0 - 1 1 A + 2 . 1 1 9 1 0 - 7 A / V * U
Abbildung 3.17: Die Strom-Spannungskennlinie der Heizer-Schaltung gemäß Abbil-dung 3.15 lässt sich durch die lineare Funktion Gleichung 3.16 anpassen. Für die Messungwurde der Heizwiderstand selbst sowie die Tiefpassfilter nicht berücksichtigt.
- 1 0 - 5 0 5 1 0- 5- 4- 3- 2- 1012345
F i t : U 2 = 5 0 1 , 3 3 5 U 1 - 0 , 0 0 9 V
U 2 (V)
U 1 ( m V )
Abbildung 3.18: Die vom D-A-Wandler bereitgestellte Spannung, die über einem herkömm-lichen 10 kΩ-Widerstand abfällt, wird analog Vorverstärkt und mit Hilfe des A-D-Wandlersgemessen. Ein linearer Fit ergibt einen Verstärkungsfaktor von 501,335.
35
3 Experimentelle Methoden
3.6 Messprogramm und Datenauswertung
Der in Abschnitt 3.1.2 vorgestellte Messalgorithmus wurde unter Berücksichtigung der Erkennt-
nisse aus den letzten Abschnitten im Rahmen der Bachelorarbeit von G. Schönhoff in LabView im-
plementiert. Details zur Steuerungssoftware und zum konkreten Messablauf finden sich in [Sch12].
Das Messprogramm liefert ausgewertete Datensätze. Um Details in der Auswertung zu verfeinern
und zu optimieren und fehlerhafte Datensätze herauszufiltern, können die Rohdaten aber auch
nachträglich neu ausgewertet werden. Dazu wurde im Rahmen dieser Arbeit mit Hilfe der Soft-
ware Mathematica der Firma Wolfram24 ein entsprechender Code entwickelt, der in Abschnitt A.4
erläutert wird. Alle im folgenden Kapitel gezeigten Datensätze sind mit Hilfe dieses Codes ausge-
wertet.
24Wolfram Research Europe Ltd., The Wolfram Centre, Lower Road, Long Hanborough, OxfordshireOX29 8FD, United Kingdom.
36
4 Ergebnisse und Diskussion
Mit dem vorgestellten Aufbau wurde die Addenda sowie die spezifische Wärme von Silber ge-
messen. In diesem Kapitel werden die Ergebnisse vorgestellt und diskutiert. Im Zusammenhang
mit der Addenda-Wärmekapazität werden in Abschnitt 4.1 Einzelpulse gezeigt und verschiedene
Einflussfaktoren auf das Resultat diskutiert. Anschließend werden die Ergebnisse mit der Literatur
verglichen. Die Ergebnisse der Messung von Silber werden in Abschnitt 4.2 gezeigt.
4.1 Leermessungen der Plattform
4.1.1 Einzelpulse in den drei Temperaturbereichen
Die Wärmekapazität der Addenda muss für spätere Messungen bekannt sein. Deshalb wurde zu-
nächst die Addenda vermessen. Dies ist die kleinste und damit die am schwierigsten zu messende
Wärmekapazität. Dazu wurde die Plattform auf 39 konstante Temperaturen zwischen 520 mK und
10 mK gebracht und dann jeweils mehrere Pulse für die statistische Mittelung aufgenommen. Ein-
zelpulse mit den Einstellungen gemäß Tabelle 3.2 sind in Abbildung 4.1 gezeigt. Der Heizpuls
ist bei allen Temperaturen gut zu erkennen und das gewählte mathematische Modell kann den
Verlauf korrekt beschreiben. Weiterhin ist ein leichter Abfall in der Heizleistung zu erkennen,
weil die angelegte Heizspannung, die den Heizstrom definiert, konstant ist, der Heizwiderstand
aber mit zunehmender Temperatur abnimmt. Bei tiefsten Temperaturen ist die Heizleistung in der
Größenordnung von einigen 100 fW. Die Messung dieser kleinen Heizleistungen ist ein limitie-
render Faktor für die Messgenauigkeit bei tiefen Temperaturen. Ein weiterer limitierender Faktor
ist die Temperaturauflösung. Wegen Selbstheizungseffekten muss die Auslesespannung Uin im-
mer kleiner gewählt werden. Der Anstieg in der Steilheit der Widerstandskurve Rth(T) kann dies
nicht vollständig kompensieren. Deshalb ist das Signal-zu-Rausch-Verhältnis für tiefere Tempera-
turen immer schlechter und der Temperaturhub muss immer größer gewählt werden. Dies bedeutet
einen weiteren Genauigkeitsverlust, weil die Näherung, dass während eines Pulses die Wärmeka-
pazität konstant ist, für größere Hübe schlechter erfüllt ist. Bei tieferen Temperaturen wird auch
die Temperaturstabilität des Kryostaten immer wichtiger. Diese wird aktiv geregelt und für die
hier gezeigten Daten konnten keinerlei Probleme in dieser Hinsicht festgestellt werden.
37
4 Ergebnisse und Diskussion
0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5
0
5
1 0
1 5 T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t)
(mK)
t ( s )
0
2 0 0
4 0 0
P (pW
)
L e i s t u n g
T 0 = 4 7 9 m K
0 1 2 3 4 5
0 , 0
0 , 5
1 , 0
1 , 5
T 0 = 5 7 m K
T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t) (m
K)
t ( s )
0
1
2
3
L e i s t u n g
P (pW
)
0 2 0 4 0 6 0 8 0
0 , 0
0 , 5
1 , 0
1 , 5
2 , 0
T 0 = 1 2 , 5 m K
T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t) (m
K)
t ( s )
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
L e i s t u n g
P (pW
)
Abbildung 4.1: Einzelpulse für die Bestimmung der Wärmekapazität der Addenda bei ver-schiedenen Temperaturen zeigen den Heizpuls, den gemessenen Temperaturverlauf sowieden Fit, aus dessen Parametern die Wärmekapazität bestimmt wird. Einzelheiten sind in Ab-schnitt 4.1.1 erläutert.
38
4.1 Leermessungen der Plattform
4.1.2 Kritische Diskussion verschiedener Einflussfaktoren
PulshöheUm den Einfluss der Pulshöhe25 zu untersuchen, werden Temperaturhübe zwischen 3 % und 50 %
bei einer Badtemperatur von 51 mK und einer Heizpulslänge tPuls = τ1 gemessen. Das Ergebnis
ist in Abbildung 4.2 zu sehen. Mit zunehmender Pulshöhe (und damit steigender mittlerer Tem-
peratur Tm := (T0 + Tmax)/2 (dabei bezeichnet Tmax die maximale Temperatur während eines
Pulses) steigt die Wärmekapazität an, obwohl in diesem Temperaturbereich die Wärmekapazität
gemäß Abbildung 4.6 fallend ist. Dies könnte durch ein lokales Überhitzen des Heizers begrün-
det sein, weil bei großen Heizleistungen die Plattform nicht genügend Zeit zum relaxieren hat.
Das Thermometer würde eine tiefere Temperatur anzeigen, was zu einer größeren gemessenen
Wärmekapazität führt. Des weiteren wird der Widerstandswert des Heizers RH(T) mit Hilfe der
Temperatur des Thermometers bestimmt. Der Heizwiderstand wird demnach als zu groß ange-
nommen, was auch zu einer größeren berechneten Wärmekapazität führt.
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 02 , 7
2 , 82 , 9
3 , 0
3 , 1
C Add (n
J/K)
T e m p e r a t u r h u b ( % )
Abbildung 4.2: Die gemessene Wärmekapazität der Addenda als Funktion des Temperatur-hubs zeigt einen Anstieg mit zunehmendem Hub, der nicht durch einen Anstieg der tatsächli-chen Wärmekapazität begründet ist.
PulslängeUm den Einfluss der Heizpulslänge auf die gemessene Wärmekapazität zu untersuchen, wurden
relative Pulslängen tPuls/τ1 zwischen 10 % und 200 % bei einer Temperatur von 51 mK und ei-
nem Hub von 5 % vermessen. Die relevanten Ergebnisse sind in Abbildung 4.3 gezeigt. Oberhalb
einer relativen Pulslänge von 100 % bildet sich ein konstantes Plateau aus. Dieses Plateau bildet
den tatsächlichen Wert der Wärmekapazität ab. Hin zu kürzeren Pulslängen steigt die gemessene
Wärmekapazität an. Ein denkbarer Grund hierfür ist, dass bei kurzen Heizpulslänge die Plattform
25Mit Pulshöhe ist der relative Temperaturanstieg bezeichnet. Der Begriff wird synonym zum Begriff desTemperaturhubs verwendet.
39
4 Ergebnisse und Diskussion
nicht hinreichend Zeit zum relaxieren hat und sie lokal um den Heizer überhitzt ist. Das Thermo-
meter würde eine tiefere Temperatur anzeigen, die errechnete Wärmekapazität wäre entsprechend
größer. Gleichzeitig wären auch die Ecken der Plattform, über die die Wärme abfließt, auf einer
tiefer liegenden Temperatur und die Wärmeleitfähigkeit K1 bliebe konstant. Diese Interpretation
deckt sich mit den in Abbildung 4.3 gezeigten Messungen. Der Leitwert K1 ist für alle Messungen
innerhalb des Fehlers konstant, während die gemessene Wärmekapazität für kürzere Pulslängen
ansteigt. In der Praxis bedeutet dies, dass Messungen bei relativen Pulslängen von 100 % oder
mehr durchgeführt werden sollten.
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 02 , 8
2 , 9
3 , 0
3 , 1
3 , 2
C Add (n
J/K)
t P u l s / τ 1 ( % )
T 0 = 5 1 m K
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 00 , 9 5
1 , 0 0
1 , 0 5
1 , 1 0 T 0 = 5 1 m K W ä r m e l e i t w e r t K 1 M i t t e l w e r t
K 1 (nW/
K)
t P u l s / 1 ( % )
Abbildung 4.3: Die gemessene Wärmekapazität der Addenda (oben) als Funktion der Puls-länge zeigt ein Plateau bei großen relativen Pulslängen tPuls/τ1 (angedeutet durch die ge-strichelte Linie) und steigt zu kleineren Pulslängen hin an. Der ermittelte Wärmeleitwert K1(unten) zwischen Plattform und Wärmebad ist innerhalb der Fehlerbalken unabhängig vonder gewählten Pulslänge.
40
4.1 Leermessungen der Plattform
HeizpulsvorzeichenIm Rahmen der Bachelorarbeit von G. Schönhoff zur Implementierung der Steuersoftware wird
von einer Abhängigkeit der aus den Messungen ermittelten Wärmekapazitäten von der Polarität
der Heizspannung berichtet [Sch12]. Als mögliche Ursache kommt eine Thermospannung in Be-
tracht. Um andere Fehlerquellen auszuschließen, wurde die Charakteristik der Heizerschaltung
ausgemessen (vgl. Abschnitt 3.5) und in der Datenanalyse entsprechend implementiert. Die so
analysierten Daten zeigen keinen systematischen Unterschied, der von der Polarität abhängt. Um
eine etwaige Thermospannung dennoch korrekt zu berücksichtigen, werden jeweils positive und
negative Heizspannungen angelegt und die entsprechenden Wärmekapazitäten gemittelt.
Bestimmung der HeizleistungSowohl die über dem Heizer abfallende Spannung als auch der Strom durch den Heizer werden
aufgezeichnet. Damit lässt sich die Leistung gemäß P = U I berechnen. Alternativ kann man die
Leistung mittels P = U2/RH bzw. P = I2 RH bestimmen, da der Heizwiderstand RH(T) bekannt
ist (vgl. Abschnitt 3.5). Zwischen den drei Auswertemethoden ergeben sich dabei Unterschiede,
die in Abbildung 4.4 zu erkennen sind und darauf schließen lassen, dass die Messgröße U zu klein
oder der Strom I zu groß angenommen wird. Alle folgenden Daten wurden aus verschiedenen
Gründen gemäß P = I2 RH ausgewertet. Erstens liegen die Ergebnisse dieser Auswertung am bes-
ten auf den von Hersteller bereitgestellten. Zweitens lässt sich damit auch bei tiefen Temperaturen
noch die Wärmekapazität bestimmen, während die gemessene Spannung U bei tiefen Tempera-
turen stark verrauscht ist. Drittens wurde der Strom zeitweise tatsächlich gemessen und nicht nur
über die angelegte Heizspannung zusammen mit dem Vorwiderstand berechnet. Dabei konnten
keine signifikanten Abweichungen zwischen beiden Methoden zur Bestimmung des Heizstroms
festgestellt werden. Viertens dürfte die Bestimmung des Spannungsabfalls über dem Heizwider-
stand am ungenausten sein, weil die kleinen Spannungswerte zunächst analog vorverstärkt werden
müssen. Dabei liefert die Verstärkerschaltung einen zusätzlichen Rauschbeitrag zum Spannungs-
signal und eine Verschiebung der Skala kann nicht ausgeschlossen werden.
Zeitverzögerte Temperatur-AusleseBeginnt zum Zeitpunkt t0 ein Heizpuls, wird der daraus resultierende Temperaturhub zeitverzögert
vom Lock-In-Verstärker registriert. Dies ist auch dann der Fall, wenn der Lock-In-Verstärker un-
abhängig vom aufgebauten Experiment direkt an eine Spannungsquelle angeschlossen wird. Als
Ursache wird die intrinsische Eigenschaft des Lock-In-Verstärkers identifiziert, das Messsignal
aufzuintegrieren, um Rauschbeiträge zu unterdrücken. Das Messsignal folgt dem tatsächlichen
Signal deshalb zeitverzögert. Diese Verzögerung ist abhängig von der gewählten Integrationszeit
tTC, für die typischerweise 20 ms oder 50 ms gewählt wird. Die Verzögerung ist in der Größen-
ordnung von 2 − 3 tTC. Daher wurde bei der Analyse der Messwerte das Messsignal des Lock-
In-Verstärkers zeitlich gegenüber dem des Heizers verschoben, um der Verzögerung Rechnung
41
4 Ergebnisse und Diskussion
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0012345678
P = U I P = U 2 / R P = I 2 R Q u a n t u m D e s i g n
C add (n
J/K)
T ( m K )
Abbildung 4.4: Die Berechnung der Heizleistung hat in der Praxis einen erheblichen Einflussauf die ermittelte Wärmekapazität. Gezeigt sind ermittelte Wärmekapazitäten, die mittels P =U I bzw. P = U2/RH bzw. P = I2 RH berechnet wurden.
zu tragen. Im Experiment wird der Zeitabstand zwischen zwei Messpunkten mit der Integrati-
onszeit tTC gleichgesetzt. Daher sind zunächst nur Zeitverzögerung um ganze Vielfache gemäß
tShift = n tTC mit n ∈ Z möglich.
Um die Güte des Fits bezüglich der Zeitverzögerung zu quantifizieren, wird jedem Fit ein redu-
zierter Gütekoeffizient χred gemäß
χ2red =
1N − 1
N∑i
|Γm, i − Γf, i|
Γf, i(4.1)
zugewiesen, wobei Γm, i den gemessenen Wert und Γf, i den gefitteten Wert gemäß Gleichung 3.6
bezeichnet. Die Summe läuft über alle N Einzelmesspunkte eines Pulses. Man kann nun χ2red bzgl.
der Zeitverzögerung n = tShift/tTC minimieren. Man findet, dass je nach Puls die Zeitverzögerung
bei n = 2 oder n = 3 liegt.
Man kann die Auswertung diesbezüglich noch verfeinern, wie in Abbildung 4.5 dargestellt. Da-
zu wird eine Parabel in die drei Punkte χ2red(nmin) sowie χ2
red(nmin ± 1) gelegt, wobei nmin das
minimale χ2red indiziert. Das Minimum dieser Parabel wird mit nmin ∈ R indiziert. Gleichzeitig
wird eine Gerade in die drei dazu korrespondierenden Punkte für die Wärmekapazität gelegt. Der
Wert der Geraden am Punkt nmin ist dann die gesuchte Wärmekapazität. Im High-T-Bereich (vgl.
Tabelle 3.2), wo die Zeitverzögerung wegen der geringsten Relaxationszeit τ1 den größten Ein-
42
4.1 Leermessungen der Plattform
fluss hat, ergibt sich auf diese Weise ein Mittelwert über alle Pulse von n = 2,3. Das Verfahren
ist allerdings insbesondere bei Temperaturen im Low-T-Bereich instabil. So weist χ2red teilweise
mehrere Minima auf oder die Werte neben dem Minimum nmin divergieren stark, was zum Teil
zu negativen Werten im Minimum der Parabel führt. Die verlässlichsten Ergebnisse wurden daher
mit einem fixierten Wert von n = 2 bzw. n = 3 erhalten. Alle im Rahmen dieser Arbeit gezeigten
Daten sind mit n = 2 ausgewertet, wenn nicht anders angegeben.
0
2
4
60 1 2 3 4
2 red
T 0 = 7 6 m K
0 1 2 3 42 , 3
2 , 4
2 , 5
C add (n
J/K)
n = t S h i f t / t T C
Abbildung 4.5: Zur Minimierung des reduzierten Gütekoeffizienten bzgl. der Zeitverzöge-rung des Lock-In-Verstärkers legt man in die χ2
red(n)-Punkte eine Parabel und minimiert diesebezüglich n. Diesem nmin wird dann, gemäß eines linearen Fits an die Punkte der dazu kor-respondierenden Wärmekapazität, eine Wärmekapazität zugewiesen.
4.1.3 Ergebnis der Addendabestimmung
Unter Berücksichtigung aller diskutierten Einflussfaktoren erhält man für die Wärmekapazität der
Addenda den in Abbildung 4.6 gezeigten Verlauf. Die Fehlerbalken ergeben sich aus den statis-
tischen Schwankungen der Einzelpulse. Neben den Messwerten ist auch noch eine Fitkurve ein-
gezeichnet, die sich aus den anhand der verwendeten Materialien zu vermutenden Beiträgen zur
Wärmekapazität ergibt: Elektronen, Phononen und eine Schottky-Anomalie. Die Fitkurve wird
durch die Fitparameter γ, β sowie die Energieaufspaltung ∆ES und Anzahl NS der zur Schottky-
Anomalie beitragenden Zwei-Niveau-Systeme vollständig beschrieben und gibt den Verlauf der
Wärmekapazität der Addenda gut wieder. Über die Absolutwerte von γ und β lässt sich keine
Aussage im Vergleich mit Literaturwerten treffen, weil die Einzelmassen der Saphirplattform, der
43
4 Ergebnisse und Diskussion
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00
2
4
6
8M o d e l l : C = C S + C E l + C P h m i t = 1 2 , 4 n J / K ^ 2 ; = 3 , 0 n J / K ^ 4 ;E S = 5 , 4 µ e V ;N S = 7 , 9 E 1 4 ;
L o w T M i d T H i g h T M o d e l lWä
rmek
apaz
ität C
add (n
J/K)
T e m p e r a t u r T ( m K )
Abbildung 4.6: Die gemessene Wärmekapazität der Addenda zeigt neben einem elektroni-schen und einem kleinen phononischen Beitrag auch eine Schottky-Anomalie bei tiefen Tem-peraturen. Die Ursache hierfür wird im Text diskutiert. Die Messwerte lassen sich durch einModell beschreiben, das elektronische und phononische Beiträge sowie Schottky-Beiträgeberücksichtigt.
Zuleitungsdrähte aus Kapton und Pt92W8 sowie der RuO2-Widerstände nicht bekannt sind. Ober-
halb von 50 mK stimmen die gemessenen Werte gemäß Abbildung 4.4 gut mit vom Hersteller
bereitgestellten Daten für eine baugleiche Plattform überein.
Die Ursache der Schottky-Anomalie lässt sich nicht mit Sicherheit abschließend beantworten. Ei-
ne mögliche Ursache sind elektrische Kern-Quadrupolmomente, enthalten sowohl in Al als auch
in Ru, die zu einer Hyperfeinstrukturaufspaltung der elektronischen Energieniveaus führen. Der
Beitrag von Al sollte dabei aber schon bei höheren Temperaturen sichtbar sein und ist in den hier
gezeigten Daten wegen seiner Größe vermutlich nicht sichtbar [Dam91]. Beiträge durch 10144 Ru
bzw. 9944Ru mit einem Kernspin von I = 5/2 werden in der Literatur als mögliche Ursache erwähnt,
die experimentellen Ergebnisse widersprechen sich jedoch in ihrer Größenordnung [Pas69, Vol94].
Wegen der unbekannten Zusammensetzung der hier verwendeten RuO2-Widerstände lassen sich
keine Absolutwerte vergleichen. Eine andere mögliche Ursache für die Schottky-Beiträge sind
magnetische Verunreinigungen im Saphir-Substrat oder den Pt92W8-Zuleitungen, die nicht ausge-
schlossen werden können [Vol94, Ho65].
44
4.2 Messungen an Silber
4.2 Messungen an Silber
Neben der Messung der Addenda ist auch eine Kalibrationsmessung an einer bekannten Probe
nötig, um die Funktionsfähigkeit des Aufbaus unter Beweis zu stellen. Hierzu wurde eine zu
99,995 % reine Silberprobe in Form eines Zylinders mit einer Höhe von (99 ± 1) µm und einem
Durchmesser von (3,5 ± 0,1) mm mit Apiezon N Vakuumfett auf der Plattform befestigt [Sch12].
4.2.1 Einzelpulse in den drei Temperaturbereichen
Analog zu den Messungen für die Addenda wurde die Plattform auch für die Messung an Silber
auf verschiedene Temperaturen gebracht und es wurden jeweils mehrere Heizpulse aufgezeich-
net. Das Ergebnis ist für ausgewählte Pulse in Abbildung 4.7 und Abbildung 4.8 dargestellt. Es
gelten auch hier die allgemeinen Bemerkungen aus Abschnitt 4.1.1. Die Heizleistungen bleiben
dabei im Vergleich zu den Addenda-Messungen nahezu gleich. Es ändern sich jedoch wegen der
größeren Wärmekapazität die Relaxationszeiten τ1 und damit auch die Länge der Heizpulse. In
Abbildung 4.8 lässt sich auch bei tiefsten Temperaturen kein τ2-Effekt erkennen, der sich auf
logarithmischer Skala durch ein nicht-lineares relaxieren äußern würde.
Der Wärmeleitwert der internen Relaxation K2 zwischen Plattform und Probe ist dabei gemäß den
Fits bei hohen Temperaturen etwa 25 mal größer als der Wärmeleitwert K1 zwischen Plattform und
Wärmebad. Bei tiefsten Temperaturen steigt dieser Faktor auf etwa 150 an. Aus Gleichung 3.10
findet man mit K2 K1 die Beziehung 1/τ2 = K2(1/Cadd + 1/CS), woraus sich interne Re-
laxationszeiten im Bereich von etwa 20 ms ergeben. Diese Zeiten können im Experiment nicht
aufgelöst werden. Das in Abschnitt 3.3 erläuterte Verfahren zum Aufbringen der Probe erwies
sich dementsprechend als Erfolg.
Daneben fällt auf, dass bei tiefen Temperaturen das Maximum des Temperaturhubs ∆T zeitlich
nicht mit dem Ausschalten des Heizers übereinstimmt, sondern zeitlich verzögert stattfindet. Die-
sen Effekt kann man auch bei den Addenda-Messungen erkennen. Die Ursache hierfür ist derzeit
unklar. Der Effekt führt zu tendenziell zu groß bestimmten Wärmekapazitäten und bedarf weiterer
Untersuchungen in der Zukunft.
45
4 Ergebnisse und Diskussion
0 2 4 6 8
0
5
1 0
1 5 T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t) (m
K)
Z e i t t ( s )
T 0 = 4 9 9 m K
0
2 0 0
4 0 0 L e i s t u n g
Leistu
ng P
(pW)
0 5 1 0 1 5 2 0
0
1
2
3 T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t) (m
K)
Z e i t t ( s )
T 0 = 5 9 m K
012345
L e i s t u n g
Leistu
ng P
(pW)
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
0 , 0
0 , 5
1 , 0
1 , 5
2 , 0 T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t) (m
K)
Z e i t t ( s )
T 0 = 1 2 , 5 m K
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
L e i s t u n g
Leistu
ng P
(pW)
Abbildung 4.7: Einzelpulse zur Bestimmung der Wärmekapaztiät der Silberprobe bei ver-schiedenen Temperaturen. Gezeigt sind der Heizpuls, der gemessenen Temperaturverlauf so-wie der Fit, aus dessen Parametern die Wärmekapazität bestimmt wird. Einzelheiten sind inAbschnitt 4.2.1 erläutert.
46
4.2 Messungen an Silber
0 2 4 6 8
1 , 0 0
1 0 , 0 0 T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t) (m
K)
Z e i t t ( s )
T 0 = 4 9 9 m K
01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 0
L e i s t u n g
Leistu
ng P
(pW)
0 5 1 0 1 5 2 00 , 1 0
1 , 0 0
T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t) (m
K)
Z e i t t ( s )
T 0 = 5 9 m K
012345
L e i s t u n g
Leistu
ng P
(pW)
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 00 , 1 0
1 , 0 0
T ( t ) F i t N u l l l i n i e
(t) (m
K)
Z e i t t ( s )
T 0 = 1 2 , 5 m K
0 , 0
0 , 1
0 , 2L e i s t u n g
Leistu
ng P
(pW)
Abbildung 4.8: Einzelpulse für die Bestimmung der Wärmekapaztiät der Silberprobe beiverschiedenen Temperaturen. Gezeigt sind der Heizpuls, der gemessenen Temperaturverlaufauf logarithmischer Skale sowie der Fit, aus dessen Parametern die Wärmekapazität bestimmtwird. Eine logarithmische Skale würde τ2-Effekte sichtbar machen. Nach dem Abschalten desHeizers würde sich ein nichtlinearer Verlauf ergeben. Einzelheiten sind im Text erläutert.
47
4 Ergebnisse und Diskussion
4.2.2 Kritische Diskussion verschiedener Einflussfaktoren
Neben den in Abschnitt 4.1.2 diskutierten Einflüssen, die weiterhin von Belang sind, gibt es bei
der Messung der Silberprobe weitere Einflussfaktoren, die näher diskutiert werden müssen. Zu-
nächst wird noch einmal auf den Einfluss der Pulslänge eingegangen. Daneben werden andere
Einflüsse diskutiert. Die Daten werden dazu teilweise unter Variation der entsprechenden Fakto-
ren analysiert, um deren Einfluss einschätzen zu können. Die Nomenklatur für die verschiedenen
Auswerteprozeduren in Tabelle 4.1 bzw. Tabelle 4.2 ist dabei wie folgt:
• v5b: Die Daten wurden mit einer Zeitverzögerung von n = tShift/tTC = 2 ausgewertet.
• v5c: Die Daten wurden mit einer Zeitverzögerung von n = tShift/tTC = 3 ausgewertet.
• v5f: Analog zu v5b, zusätzlich wurde die Heizertemperatur noch um 9,6 % nach oben kor-
rigiert.
• v5g: Analog zu v5b, aber Leistungsberechnung gemäß P = U I.
• v5h: Analog zu v5b, Leistungsberechung gemäß P = I2 RH + Pth, die durch das Thermo-
meter eingebrachte Leistung Pth wird also mit berücksichtigt.
• v5i: Analog zu v5h, der Strom I wurde aber tatsächlich gemessen und nicht aus Vorwider-
stand und angelegter Spannung errechnet.
• v6a: Analog zu v5b, allerdings mit Variabler Zeitverzögerung (vgl. dazu Abbildung 4.5).
Mit den verschiedenen Auswerteprozeduren erhält man Werte für den Sommerfeld-Koeffizienten
γ und den Vorfaktor der phononischen spezifischen Wärme der Silberpobe β, die in Tabelle 4.1
bzw. Tabelle 4.2 zusammengefasst sind. Die Parameter werden mit Literaturwerten verglichen
[Mar73, Smi95]. Der relative Anteil des phononischen Beitrags, der sich im Wert von β wider-
spiegelt, ist dabei so klein, dass bereits der statistische Fehler von β sehr groß ist und die Variation
unter Berücksichtigung verschiedener Einflüsse zu einer Unsicherheit im Bereich von 100 % führt.
Die Ergebnisse sind daher zwar aufgeführt, aber nicht verlässlich. Sie werden bei der folgenden
Diskussion daher nicht weiter betrachtet. Zur akkuraten Bestimmung von β müssten die Messun-
gen hin zu höheren Temperaturen fortgeführt werden. Der Einfluss verschiedener Faktoren auf die
ermittelte spezifische Wärme wird im Folgenden diskutiert.
PulslängeBei den Addenda-Messungen hat sich gezeigt, dass die berechnete Wärmekapazität mit abneh-
mender relativer Pulslänge tPuls/τ1 leicht zunimmt. Dieser Effekt wird auch bei der Silberpro-
be beobachtet und ist hier sogar stärker ausgeprägt, wie Abbildung 4.9 zeigt. Während bei der
Messreihe der Addenda der Anstieg der berechneten Wärmekapazität von tPuls/τ1 = 200 %
zu tPuls/τ1 = 10 % etwa 7 % beträgt, beobachtet man bei der Silberprobe einen Anstieg von
26 %. Weiterhin ist der sich aus der Analyse der Messwerte ergebende Wärmeleitwert K1 für die
48
4.2 Messungen an Silber
Addenda-Messungen unabhängig von der relativen Pulslänge, während die Silbermessungen auch
hier einen Anstieg von 20 % im gleichen Intervall zeigen. Die Messungen müssen daher mit einer
relativen Pulslänge von mindestens 100 % durchgeführt werden, da die Werte ab hier auf einem
nahezu konstanten Wert liegen. Die genaue Ursache für dieses Verhalten kann nur vermutet wer-
den. Ein möglicher Erklärungsversuch führt die Erläuterungen aus dem entsprechenden Abschnitt
über die Addenda-Messungen fort: Die kürzere Heizpulszeit könnte zu einem lokalen Überhitzen
um den Heizer führen, der durch das Thermometer nicht vollständig erfasst wird, sodass eine ent-
sprechend größere Wärmekapazität ermittelt wird. Im Unterschied zur Addenda-Messung führt
hier auch die Silberprobe selbst Wärme vom Heizer ab und leitet diese zu den Ecken der Platt-
form, wo die zum Wärmebad abgehenden Pt92W8-Drähte erwärmt werden. Dadurch steigt der
Wärmeleitwert gemäß K1 = aT + bT2 (vgl. Abschnitt 4.4). Dies könnte den Effekt im Vergleich
zu Messungen an der Addenda verstärken.
MassenbestimmungIn die Berechnung der molaren Wärmekapazität fließt gemäß cmol = C M/m neben der molaren
Masse M auch die Masse m der Probe ein. Entsprechend führt eine Unsicherheit der Massenbe-
stimmung ∆m/m zu einer Unsicherheit der molaren Wärme ∆cmol/cmol. Die gemittelte Masse
aus 8 Einzelmessungen ergab einen Wert von (9,95 ± 0,02) mg. Einige Wochen zuvor war in ei-
ner einzigen Messung ein Wert von 9,7 mg gefunden worden. Eine Massenzunahme durch Ober-
flächenoxidation oder Diffusion kann die Zunahme nicht erklären [Roo89]. Der Messwert von
9,7 mg wird deshalb als Messfehler betrachtet. Es wird in den folgenden Rechnungen von einer
Masse von (9,95 ± 0,02) mg ausgegangen.
Apiezon N VakuumfettDie Einflüsse durch das verwendete Apiezon N Vakuumfett können nur abgeschätzt werden. Eine
Lösung von etwa (0,2 ± 0,1) mg aus Apiezon N und Toluol (Methylbenzol) wurde zur Befestigung
der Probe auf die Plattform getropft. Das Toluol verdunstet dabei zum größten Teil. Die Massen-
abnahme konnte jedoch nicht gemessen werden, was vermutlich auf Ungenauigkeiten in der Mas-
senbestimmung zurückzuführen ist. Im hier verwendeten Messverfahren wurde der gesamte Puck
(≈ 11 g) mit und ohne Apiezon-Lösung (≈ 0,2 mg) gewogen und die Differenz gebildet. Dies
begründet den großen Fehler bei der Massenbestimmung der Lösung. Für zukünftige Messungen
muss das Messverfahren an dieser Stelle optimiert werden. Ein weiterer Unsicherheitsfaktor ist
die Wärmekapazität von Apiezon N, die nur bis zu Temperaturen von etwa 100 mK publiziert ist
[Sch81]. Eine mögliche Schottky-Anomalie für Apiezon N, die in der Literatur nicht genau ver-
messen ist, sorgt für weitere Unsicherheiten bei tiefen Temperaturen. Der Einfluss von Apiezon N
auf die gemessenen Wärmekapazitäten wird gemäß Tabelle 4.1 auf 0,5 % abgeschätzt.
49
4 Ergebnisse und Diskussion
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 03 , 5
4 , 0
4 , 5
5 , 0T 0 = 5 1 m K
C 1 0 0 % / C 2 0 0 % = 1 0 1 , 6 6 %
Wärm
ekap
azitä
t CAg
(nJ/K
)
t P u l s / 1 ( % )
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 00 , 8 50 , 9 00 , 9 51 , 0 01 , 0 51 , 1 0
T 0 = 5 1 m K
K 1 (nW/
K)
t P u l s / 1 ( % )Abbildung 4.9: Die ermittelte Wärmekapazität der Silberprobe (oben) als Funktion der Puls-länge zeigt ein Plateau bei hohen relativen Pulslängen tPuls/τ1 und steigt hin zu kleinerenPulslängen an. Der Wärmeleitwert (unten) der Plattform zeigt ein ähnliches Verhalten undunterscheidet sich damit von den Addenda-Messungen (vgl. Abbildung 4.3).
Zeitverzögerte Temperatur-AuslesungDie zeitverzögerte Temperaturauslesung, deren Ursache in Abbildung 4.1.2 erläutert wurde, ist im
verwendeten Modell gemäß Abschnitt 3.1.2 nicht berücksichtigt. Dies führt zu falschen Fitpara-
metern und in der Folge zu falsch ermittelten Wärmekapazitäten. Durch ein zeitliches Verschieben
des Temperatursignals relativ zum Heizsignal kann dies korrigiert werden. Wegen der Ungenauig-
keit in der Verschiebung ergibt sich jedoch ein Fehler in der ermittelten Wärmekapazität, der sich
gemäß den Auswerteprozeduren v5b bzw. v5c auf etwa 0,8 % beläuft. Die Auswertung mit einer
variablen Zeitverzögerung gemäß v6a liefert dabei unphysikalische Variationen in der relativen
Zeitverzögerung n und hat die in Abschnitt 4.1.2 erläuterten Probleme. Daher hat sie sich als nicht
praktikabel erwiesen und wir für die Analyse im Allgemeinen nicht verwendet.
50
4.2 Messungen an Silber
Bestimmung der HeizleistungWie bereits zuvor erläutert, sind die Ergebnisse, die man mit einer Berechnung der Heizleistung
über P = I2RH erhält, am verlässlichsten. Die Abweichungen der gemessenen Wärmekapazitäten
liegen dabei systematisch etwa 5 % höher als entsprechende Literaturwerte [Mar73]. Eine mögli-
che Erklärung für diese größtenteils systematische Abweichung wäre das lokale Überhitzen des
Heizers, sodass dieser tatsächlich wärmer ist als die Plattform. Dazu wurde untersucht, um wel-
chen Faktor f der Heizer wärmer sein müsste als die Plattform, um die Abweichung zu erklären.
Man findet einen Wert von 9,6 %. Der sich ergebende Verlauf ist in Abbildung 4.10 zusammen
mit den Fehlern der Einzelpunkte eingezeichnet und stimmt insbesondere bei hohen und mittleren
Temperaturen gut mit dem beobachten Verlauf überein. Ein solches lokales Aufheizen des Heizers
könnte durch eine Leistungsberechnung gemäß P = U I korrekt erfasst werden (v5g). Da die Be-
stimmung der über dem Heizer abfallenden Spannung aber wie bereits diskutiert unzuverlässig ist,
lässt sich dies nicht abschließend klären. Systematisch fehlerbehaftete Messwerte der herangezo-
genen Literaturwerte kommen als andere mögliche Ursache in Betracht. Ein Ziel für die Zukunft
muss daher sein, die über dem Heizer abfallende Spannung korrekt zu messen.
Darüber hinaus wurde auch eine Leistungsberechnung gemäß P = I2/RH + Pth durchgeführt, wo-
bei Pth die über dem Thermometer abfallende Leistung bezeichnet und bei tiefsten Temperaturen,
wo sie den größten Einfluss zeigt, im Bereich von 100 fW liegt. Bei dieser Methode zeigen sich
an den Übergängen zwischen den drei Temperaturbereichen Sprünge in der Wärmekapazität, die
durch die sprunghafte Änderung der Auslesespannung des Thermometers bedingt sind. Die Leis-
tung Pth wird demnach falsch abgeschätzt. In einer weiteren Messreihe (v5i) wurde der Strom
durch den Heizer tatsächlich gemessen. Man findet dann eine Abweichung in der Wärmekapazität
von −2,5 % im Vergleich zu v5h. Diese systematische Abweichung kann vermutlich mit einer Re-
kalibration des Heizstroms in zukünftigen Messungen korrigiert werden. Im Rahmen dieser Arbeit
wurde die Heizleistung gemäß P = I2/RH berechnet und ein entsprechend großer systematischer
Fehler angenommen.
Berücksichtigt man alle genannten Einflüsse, lässt sich der Fehler des Sommerfeld-Koeffizienten
γ, der von der Bestimmung der Heizleistung herrührt, auf etwa −3 % abschätzen.
51
4 Ergebnisse und Diskussion
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0- 505
1 01 52 02 5
H i g h T M i d T L o w T N u l l l i n i e R H ( T ) k o r r i g i e r t
(c Ag - c
Lit) / c
Lit (%
)
T m ( m K )Abbildung 4.10: Dargestellt ist die prozentuale Abweichung zwischen den Einzelmesspunk-ten und den Literaturwerten [Mar73]. Die gestrichelte Linie zeigt den erwarteten Fehlerver-lauf für einen 9,6 % zu warmen Heizer.
ZusammenfassungFasst man die diskutierten Einflüsse zusammen, so erhält man folgende Fehler:
• statistischer Fehler: ∆S = ±1 %
• Pulslängenbedingter Fehler: ∆PL = −1 %
• Fehler durch Apiezon: ∆Ap = ±0,5 %
• Fehler durch Silbermasse: ∆Ag = ±0,2 %
• Fehler in der Leistungsberechnung: ∆P = −3 %
Berücksichtigt man alle genannten Argumente und Fehlerquellen, kommt als bester Schätzwert
derjenige aus dem linearen Fit C = γT + βT3 der Methode v5b in Frage. Dabei werden die
Messwerte unterhalb von 50 mK nicht berücksichtigt, weil hier die Fehlerquellen zu vielfältig
sind (Schottky-Anomalie in der Addenda und im Vakuumfett, Wärmekapazität der Addenda und
von Silber in der selben Größenordnung, Temperaturauflösung immer ungenauer, Zeitversatz zwi-
schen Temperaturmaximum und Heizerabschaltung). Man erkennt in Abbildung 4.12 auch, dass
die gemessenen Wärmekapazitäten hin zu tiefen Temperaturen systematisch vom erwarteten Ver-
lauf abweichen.
Man findet für den Sommerfeld-Koeffizienten γAg von Silber das Ergebnis
γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2) . (4.2)
52
4.2 Messungen an Silber
Die Messdaten sind zusammen mit dem Fit und den Literaturwerten in Abbildung 4.11 bzw. Ab-
bildung 4.12 aufgeführt. In der Darstellung c/T gegen T2 erkennt man eine systematische Abwei-
chung der Messergebnisse vom erwarteten linearen Verhalten unterhalb von 150 mK. Mögliche
Ursachen hierfür sind die ungenaue Bestimmung der Addenda-Wärmekapazität oder Verunreini-
gungen in der Probe. Eine Messung weiterer Proben oder unterschiedlich schwerer Silberproben
erscheint für die abschließende Klärung dieser Frage nötig.
4.2.3 Vergleich mit Ergebnissen aus der Literatur
In der Literatur finden sich keine Daten unterhalb von 400 mK für die Wärmekapazität von Sil-
ber. Eine Übersicht über gemessene Wärmekapazitäten von Silber bei tiefen Temperaturen findet
sich in [Phi71]. Mittelt man über die zwölf dort angegebenen Werte im Temperaturbereich un-
terhalb von 10 K, findet man γAg = (640 ± 17) µJ/(molK2). Die verschiedenen Messreihen von
Martin et al. beinhalten Werte unterhalb von 1 K und erscheinen deshalb für einen Vergleich am
sinnvollsten. In den vorherigen Abschnitten wurde deshalb zum Vergleich immer [Mar73] mit
γAg = (640 ± 1) µJ/(molK2) zum Vergleich herangezogen. Innerhalb des Messfehlers stimmt der
in dieser Arbeit gefundene Wert von γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2) sehr gut mit diesen
Literaturwerten überein. Um den Fehler des hier gefundenen Werts weiter zu minimieren, sind
weitere Messreihen notwendig. Die gemessenen Werte sind zusammen mit einem Fit und dem Fit
aus [Mar73] in Abbildung 4.11 bzw. Abbildung 4.12 dargestellt.
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
H i g h T M i d T L o w T F i t M a r t i n 1 9 7 3
c Ag (µ
J/(mo
l K))
T ( m K )
F i t : γ T + β T 3 m i tγ = 6 5 0 µ J / ( m o l K 2 )β = 2 8 3 µ J / ( m o l K 4 )m A g = 9 , 9 5 m gm A p = 0 , 1 m g
Abbildung 4.11: Die gemessene spezifische Wärme von Silber sind gezeigt. Dazu ist ein Fitgemäß C = a T + b T3 sowie der in [Mar73] gefundene Verlauf dargstellt.
53
4 Ergebnisse und Diskussion
0 , 0 0 , 1 0 , 2 0 , 36 0 0
7 0 0
8 0 0
H i g h T M i d T L o w T M a r t i n 1 9 7 3
F i t
c Ag / T
(µJ/(
mol K2 ))
T m2 ( K 2 )
F i t : γ T + β T 3 m i tγ = 6 5 0 µ J / ( m o l K 2 )β = 2 8 3 µ J / ( m o l K 4 )m A g = 9 , 9 5 m gm A p = 0 , 1 m g
Abbildung 4.12: Die Messwerte der spezifischen Wärme von Silber sind aufgetragen alsC/T gegen T2. Dazu ist ein Fit sowie der in [Mar73] gefundene Verlauf dargstellt. Die syste-matisch Abweichung der gemessenen spezifischen Wärme vom erwarteten Verlauf bei tiefenTemperaturen ist in diese Darstellung verstärkt zu erkennen.
Weiterhin gibt es auch theoretische Voraussagen für den Sommerfeldkoeffiziente von Silber. Auf
Grundlage des Bandstrukturmodells für Silber errechnet man dabei einen Wert von γTheorie =
625 µJ/(molK2) [Ric12]. Dieser Wert stimmt innerhalb des Fehlers mit dem in dieser Arbeit ge-
fundenen Wert überein. Dabei ist anzumerken, dass das verwendete Modell elektronische Korel-
lationseffekte nur bedingt erfasst und der gefundene Wert deshalb eine untere Schranke für den
Sommerfeldkoeffizienten darstellt und in der Realität höher liegen kann. Diese Tatsache kommt
der Übereinstimmung mit dem experimentell gefundenen Wert entgegen.
54
4.2 Messungen an Silber
Auswerteprozedur γ (µJ/(molK2)) ∆γ / γLit β (µJ/(molK4)) ∆β / βLit
01. v5b, C = γT + βT3
HML, 0 µg 654,80 2,31 % 294,38 76,27 %HML, 100 µg 650,10 1,58 % 281,82 68,75 %HML, 130 µg 648,69 1,36 % 278,05 66,50 %
HM, 0 µg 650,26 1,60 % 316,31 89,40 %HM, 100 µg 647,41 1,16 % 294,84 76,55 %HM, 130 µg 646,55 1,02 % 288,40 72,70 %
02. v5b, C/T = γ + βT2
HML, 100 µg 680,63 6,35 % 100,02 −40,11 %
HM, 100 µg 660,47 3,20 % 217,44 30,21 %HM, 130 µg 657,87 2,79 % 221,30 32,51 %
H, 100 µg 642,76 0,43 % 302,21 80,96 %
03. v5c, C = γT + βT3
HML, 0 µg 659,90 3,11 % 299,13 79,12 %HML, 100 µg 655,21 2,38 % 286,57 71,60 %HML, 130 µg 653,80 2,16 % 282,80 69,34 %
HM, 0 µg 655,46 2,42 % 320,60 91,98 %HM, 100 µg 652,60 1,97 % 299,14 79,12 %HM, 130 µg 651,75 1,84 % 292,70 75,27 %
04. v5c, C/T = γ + βT2
HM, 100 µg 665,47 3,98 % 222,88 33,46 %HM, 130 µg 662,88 3,57 % 226,73 35,77 %
05. v5f, C = γT + βT3
HML, 0 µg 629,88 −1,58 % 283,64 69,84 %HML, 100 µg 625,35 −2,29 % 271,63 62,65 %
HM, 0 µg 627,26 −1,99 % 296,31 77,43 %HM, 100 µg 622,78 −2,69 % 284,02 70,07 %
Tabelle 4.1: Fitparameter γ und β sowie deren Abweichungen zum Literaturwert [Mar73,Smi95] für die verschiedenen Auswerteprozeduren. Weiterhin wird angegeben, welche Da-tenpunkte in den Fit eingeflossen sind (aus den Temperaturbereichen High, Mid bzw. Low).Des Weiteren ist die angenommene Apiezon-Masse aufgeführt.
55
4 Ergebnisse und Diskussion
Auswerteprozedur γ (µJ/(molK2)) ∆γ / γLit β (µJ/(molK4)) ∆β / βLit
06. v5f, C/T = γT + βT2
HM, 50 µg 636,98 −0,47 % 218,35 30,75 %HM, 100 µg 632,84 −1,12 % 224,44 34,39 %
07. v5g, C = γT + βT3
HML, 100 µg 575,57 −10,07 % 446,48 167,35 %
HM, 100 µg 581,11 −9,20 % 419,70 151,32 %
08. v5h, C = γT + βT3
HML, 0 µg 647,81 1,22 % 284,10 70,12 %HML, 20 µg 646,87 1,07 % 281,58 68,61 %HML, 100 µg 643,11 0,49 % 271,53 62,59 %
HM, 0 µg 643,03 0,47 % 307,22 83,96 %HM, 20 µg 642,45 0,38 % 302,92 81,39 %HM, 100 µg 640,17 0,03 % 285,75 71,11 %
H, 100 µg 621,05 −2,96 % 376,14 125,23 %
09. v5h, C/T = γT + βT2
HM, 0 µg 666,89 4,20 % 165,78 −0,73 %HM, 100 µg 658,24 2,85 % 178,63 6,96 %
H, 100 µg 625,24 −2,31 % 352,65 111,17 %
10. v5i, C = γT + βT3
HM, 0 µg 626,98 −2,04 % 171,23 2,53 %HM, 100 µg 623,99 −2,50 % 150,37 −9,96 %
11. v6a, C = γT + βT3
HM, 0 µg 667,67 4,32 % 134,48 −19,47 %HM, 100 µg 664,29 3,80 % 115,36 −30,92 %
12. v6a, C/T = γT + βT2
HM, 100 µg 678,64 6,04 % 25,35 −84,82 %HM, 140 µg 674,24 5,35 % 36,82 −77,95 %
Tabelle 4.2: Fitparameter γ und β sowie deren Abweichungen zum Literaturwert [Mar73,Smi95] für die verschiedenen Auswerteprozeduren. Weiterhin wird angegeben, welche Da-tenpunkte in den Fit eingeflossen sind (aus den Temperaturbereichen High, Mid bzw. Low).Des Weiteren ist die angenommene Apiezon-Masse aufgeführt.
56
4.3 Messungen an K0,9Na0,1Fe2As2
4.3 Messungen an K0,9Na0,1Fe2As2
Zusammen mit P. Vogt wurde die Wärmekapazität eines 1,6 mg schweren K0,9Na0,1Fe2As2-Kristalls
gemessen. Dieser wird unterhalb der Sprungtemperatur TC ≈ 2,75 K supraleitend [AH12]. In Ab-
bildung 4.13 sind die mit der hier vorgestellten Messapparatur gemessenen Wärmekapazitäten
sowie Messwerte bei höheren Temperaturen aus [AH12] dargestellt. Im Temperaturbereich, in
denen aus beiden Messungen Ergebnisse vorliegen, zeigen die Messwerte eine sehr gute Überein-
stimmung.
Die Probe zeigt unterhalb der Sprungtemperatur bis hin zu 100 mK einen quadratischen Verlauf
in der gemessenen Wärmekapazität und die mit dem QD-Puck ermittelten Messwerte lassen sich
gemäß
cT
= 52 mJ/(molK2) + 43 mJ/(molK3) · T (4.3)
beschreiben. Dieses Verhalten widerspricht der konventionellen BCS-Theorie für Supraleiter, die
ein exponentielles Verhalten C ∝ exp−∆/(kBT) voraussagt [Bar57b]. Die Energielücke zwischen
dem Grundzustand und angeregten Cooper-Paaren wird dabei mit ∆ bezeichnet. Linienartige Kno-
ten an der Fermioberfläche könnten dieses Verhalten erklären [Sig91]. Eine detaillierte Interpre-
tation der Daten und eine eingehende Fehleranalyse der hier gezeigten Messwerte findet sich an
anderer Stelle [AH12, Vog13].
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 00
4 0
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
K a 0 , 9 N a 0 , 1 F e 2 A s 2 ( e i g e n e M e s s u n g ) K a 0 , 9 N a 0 , 1 F e 2 A s 2 ( A b d e l - H a f i e z e t a l . ) F i t c / T = a + b T m i t
a = 5 2 m J / ( m o l K 2 ) u n d b = 4 3 m J / ( m o l K 3 )
c / T (
mJ/(m
ol K2 ))
T ( m K )Abbildung 4.13: Die gemessenen Wärmekapazitäten der K0,9Na0,1Fe2As2-Probe zusammenmit Messwerten bei höheren Temperaturen aus [AH12] zeigt unterhalb der SprungtemperaturTC ≈ 2,75 K ein quadratisches Verhalten C ∝ T2.
Insgesamt zeigt der Vergleich mit Ergebnissen aus anderen Laboren, dass die hier vorgestellte
Messapparatur sehr gute Ergebnisse liefert.
57
4 Ergebnisse und Diskussion
4.4 Wärmeleitwert zwischen Plattform und Bad
Der Wärmeleitwert lässt sich gemäß Gleichung 2.24 beschreiben. Abbildung 4.14 zeigt die ermit-
telten Wärmeleitwerte zwischen Plattform und Bad aus den Messreihen von Addenda, Silber und
K0,9Na0,1Fe2As2 zusammen mit einem Fit sowie die von QuantumDesign bereitgestellten Daten.
Die Messpunkte werden innerhalb der Fehlertoleranz gut durch das diskutierte Modell beschrie-
ben. Die gemessenen Werte liegen jedoch systematisch unterhalb der Werte, die QuantumDesign
an einem baugleichen Puck gemessen hat.
Für den Datensatz aus der Addenda-Messreihe skalieren beide Fitparameter a und b mit dem sel-
ben Faktor (etwa 1,45) relativ zu den Fitparametern, die sich aus der Anpassung der Funktion
an die durch QuantumDesign zur Verfügung gestellten Messwerte ergeben. Produktionsbeding-
te Variationen in der Drahtdicke oder -länge und unterschiedliche Abkühlgeschwindigkeiten und
Mischungsverhältnisse der Drahtlegierung kommen daher als mögliche Ursache für die gefun-
dene Abweichung in Betracht. Die ermittelten Leitwerte für die Messungen an K0,9Na0,1Fe2As2
stimmen gut mit den Addenda-Messwerten überein. Die ermittelten Werte aus den Messungen an
der Silberprobe sind mit den gefundenen Werten nicht konsistent und liegen leicht unterhalb der
gefundenen Werte für Messungen der Addenda und von K0,9Na0,1Fe2As2. Die Ursache hierfür ist
unklar. Um weitere Aussagen treffen zu können, müssten Messungen an einer weiteren Silberpro-
be durchgeführt werden.
Ein Blick in die Literatur zeigt, dass die Wärmeleitfähigkeit von Kapton im Vergleich zu den
Pt92W8-Drähten vernachlässigbar ist [Law00, Buh65]. Nimmt man für die Pt92W8-Drähte eine
Länge von 5 mm und einen Durchmesser von 25,4 µm an [Bep11], so ergibt sich κPt92W8 =
a T + b T2 mit a = 0,68 mW/(cmK) und b = 1,2 mW/(cmK2). In der Literatur findet man
a = 0,64 mW/(cmK) und b = 0,067 mW/(cmK2) [Buh65]. Der in dieser Arbeit ermittelte pho-
nonische Beitrag ist um einen Faktor von etwa 20 höher als der in der Literatur angegebene Wert.
Es sei deshalb erwähnt, dass die aus der Literatur entnommen Werte aus Messungen einer leicht
anderen Legierungszusammensetzung (Pt91W9) oberhalb von T = 1 K stammen. Außerdem ist
die effektive Länge der Pt92W8-Drähte in der hier durchgeführten Abschätzung mit einem großen
Fehler behaftet, da sie nur aus einer technischen Zeichnung abgeschätzt wurde.
58
4.4 Wärmeleitwert zwischen Plattform und Bad
0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00
1 0
2 0
3 0
4 0M o d e l l : K 1 = a T + b T 2 m i t F i t a n d i e M e s s u n g e n v o nS i l b e r : a = 2 1 , 6 n W / K 2 b = 4 5 , 4 n W / K 3
A d d e n d a : a = 2 7 , 6 n W / K 2 b = 5 0 , 1 n W / K 3
K 0 , 9 N a 0 , 1 F e 2 A s 2 : a = 2 9 , 3 n W / K 2 b = 5 0 , 5 n W / K 3
Q u a n t u m D e s i g n : a = 3 9 , 5 n W / K 2 b = 7 3 , 6 n W / K 3
A d d e n d a S i l b e r K 0 , 9 N a 0 , 1 F e 2 A s 2 Q u a n t u m D e s i g n F i t s K 1 = a T + b T 2
K 1 (nW/
K)
T m ( m K )Abbildung 4.14: Der gemessene Wärmeleitwert zwischen Plattform und Wärmebad für dieMessreihen von Addenda, Silber und K0,9Na0,1Fe2As2 lässt sich gut durch das Modell gemäßGleichung 2.24 beschreiben. Die Wärmeleitwerte sind deutlich kleiner als die von Quantum-Design an einem baugleichen Puck gemessenen Werte.
59
5 Entwicklung eines hochauflösenden Kalorimeters
In den letzten Kapiteln wurden Aufbau und Kalibration des kommerziell erhältlichen QD-Pucks
diskutiert. Ziel dieser Arbeit ist es auch, die mit dieser Plattform gewonnen Erkenntnisse in einen
eigenen Aufbau einfließen zu lassen. In diesem Kapitel wird das Grundprinzip und Design einer
selbst entwickelten, verbesserten Plattform vorgestellt. Dazu wird zunächst das Funktionsprinzip
des verwendeten Thermometers erläutert und im darauf folgenden Kapitel eine entsprechende
Umsetzung vorgestellt.
5.1 Metallische magnetische Thermometrie
Paramagnetische Temperatursensoren sind im Bereich der Festkörperphysik schon seit langem
etabliert. Der Erfolg dieser Methode gründet auf der starken Temperaturabhängigkeit der parama-
gnetischen Magnetisierung sowie der exzellenten Auslesepräzision der Messgröße.
Das Funktionsprinzip des hier verwendeten Thermometers kann dabei wie folgt zusammengefasst
werden: Das paramagnetische Sensormaterial in einem schwachen externen Magnetfeld B besitzt
eine temperatur- und magnetfeldabhängige Magnetisierung M = M(T,B). Diese kann durch die
Detektionsspule eines rauscharmen Magnetometers sehr genau bestimmt werden, wie später ge-
zeigt werden wird.
Im Allgemeinen resultiert eine Erwärmung des Sensormaterials durch einen Energieeintrag E in
einer Änderung der Magnetisierung des Sensormaterials und damit zu einer Änderung im magne-
tischen Fluss
δΦ ∝ δM =∂M∂T
δT '∂M∂T
ECadd
. (5.1)
in der Detektionsspule des Magnetometers. Das Gleichheitszeichen in der letzten Umformung gilt
unter der Annahme einer temperaturunabhängigen Wärmekapazität Cadd.
Die ursprüngliche Zielsetzung bei der Entwicklung solcher Thermometer war die energieaufge-
löste Detektion von Elementarteilchen mit Energie E [Fle05]. Um das detektierte Signal zu maxi-
mieren, wurden die Aufbauten daher bezüglich der Wärmekapazität Cadd minimiert und bezüglich
der Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung maximiert. Dies ist auch für die hier diskutierte
Anwendung sinnvoll.
Eine verdünnte Legierung aus Gold als Wirtsmetall mit einer Dotierung mit dem Seltenerdme-
tall Erbium (Au:Er) hat sich als Sensormaterial bewährt. Ein Dotierungsgrad von typischerwei-
60
5.1 Metallische magnetische Thermometrie
se einigen 100 ppm ist üblich. Im Gegensatz zu dielektrischen Wirtsmaterialen sorgt Gold auf
Grund seiner Leitungselektronen für eine gute thermische Kopplung an die paramagnetischen
Erbium-Ionen. Es ist außerdem bezüglich seiner Verarbeitbarkeit, Magnetisierung und chemischer
Stabilität gut erforscht und kann im institutseigenen Reinraum entsprechend verarbeitet werden
[Fle03, Ens00].
5.1.1 Eigenschaften des Sensormaterials Au:Er
Die Kenntnis der thermodynamischen Eigenschaften des paramagnetischen Sensormaterials Au:Er
sind für das Verständnis des Magnetometersignals von entscheidender Bedeutung. Diese Eigen-
schaften sind bereits wohlbekannt und gut verstanden und an anderer Stelle im Detail erläutert
(z.B. [Sch00, Fle03, Fle05]). Die wichtigsten Eckpunkte sollen hier zusammengefasst werden.
Er -Ion
5s- und 5p-Orbitale
4f-Orbital
Gold-Ion
3+
Abbildung 5.1: SchematischerKristallausschnitt einer Au:Er-Legierung: Ein Er3+-Ion sitzt aufeinem regulären Platz in der fcc-Matrix von Gold; eingezeichnetsind auch die äußeren besetztenOrbitale 5s und 5p sowie das tiefim Innern liegende 4f-Orbitaldes Er3+-Ions. Entnommen aus[Fle03].
Atomares Erbium liegt in der Elektronen-Konfiguration [Xe] 4f12 6s2 vor. Eingebettet in Gold
werden drei Elektronen an das Leitungsband abgegeben und das Er3+-Ion mit der Konfigurati-
on [Xe] 4f11 nimmt einen regulären Gitterplatz in der fcc-Matrix von Gold ein. Das unvollstän-
dig gefüllte 4f-Orbital begründet dabei das paramagnetische Verhalten. Mit einem Radius von
r4f ≈ 0,3 Å liegt es tief im Innern des Er3+-Ions (rion ≈ 1 Å), sodass das Kristallfeld des Wirts-
kristalls stark abgeschirmt wird und das magnetische Moment ~µ = gJ~J der Er3+-Ionen mittels der
Hundschen Regeln bestimmt werden kann (Gesamtdrehimpuls J = 15/2, Landé-Faktor gJ = 6/5).
Die 16-fache Entartung des Grundzustandes der Er3+-Ionen spaltet im fcc-symmetrischen Kris-
tallfeld des Wirtsmaterials auf in ein Γ6-Dublett, ein Γ7-Dublett sowie drei Γ8-Quartette. Dabei
liegt das Γ7-Dublett energetisch am niedrigsten. Im Nullfeld liegt die Energieaufspaltung zwi-
schen dem Grundzustand und dem ersten angeregtem Zustand, einem Γ8-Quartett, im Bereich von
(15 ± 4) K · kB [Fle05]. Im vorgesehenen Temperaturbreich T < 1 K werden die angeregten Zu-
stände daher nicht besetzt und spielen in der weiteren Betrachtung keine Rolle. In einem äußeren
Magnetfeld lässt sich das Er3+-Ion demnach als Zwei-Niveau-System mit effektivem Spin S = 1/2
und effektivem g-Faktor g = 34/5 beschreiben [Abr86].
61
5 Entwicklung eines hochauflösenden Kalorimeters
Ohne Wechselwirkung zwischen den Er3+-Ionen wäre die Berechnung der Wärmekapazität (vgl.
Abschnitt 2.2.3) und auch der Magnetisierung eine einfache Anwendung der statistischen Phy-
sik. Es hat sich jedoch gezeigt, dass die Wechselwirkungen zwischen den Ionen für eine quanti-
tativ korrekte Beschreibung berücksichtigt werden muss. Relevant sind die direkte Dipol-Dipol-
Wechselwirkung sowie die indirekte RKKY-Wechselwirkung26 [Rud54, Kas56, Yos57]. Im RKKY-
Modell wird die Wechselwirkung indirekt durch die Spineinstellungen der Leitungselektronen ver-
mittelt. Die Stärke der RKKY-Wechselwirkung ist deshalb vom Wirtsmetall abhängig. Weiterhin
müsste der Kernspin des in der natürlichen Zusammensetzung vorkommenden Isotops 167Er be-
rücksichtigt werden, weil dieser zusätzliche Freiheitsgrade erlaubt. In der Herstellung wird aber
ein angereichertes Isotopengemisch verwendet, sodass dieser Effekt vernachlässigbar ist [Ens00,
Sch00, Fle03].
0 20 40 60 80 100 120inv. Temperatur T -1 [K-1]
0
100
200
300
400
500
Mag
netis
ieru
ngM
[A/m
]
0,87 mT
2,58 mT
5,14 mT
12,8 mT
Abbildung 5.2: Links: Gemessene und berechnete Magnetisierung einer Au:Er Probe(300 ppm, isotopenangereichertes Erbium) in Abhängigkeit der inversen Temperatur. Rechts:Gemessene und berechnete Wärmekapazität der selben Probe als Funktion der Temperatur(nach [Fle03]). Zum Vergleich sind auch die Beiträge zur Wärmekapazität der Phononen undder Elektronen von Gold eingezeichnet.
5.1.2 Detektorgeometrie und Magnetometer
Ausgehend von dem im letzten Abschnitt erläuterten grundlegenden Aufbau eines metallischen
magnetischen Thermometers lässt sich dieser experimentell besonders gut in der in Abbildung 5.3
dargestellten, flachen, mikrostrukturierten Geometrie realisieren. Dazu werden zwei parallel ver-
schaltete, mäanderförmige Detektorspulen aus Niob verwendet. Niob wird bei 9,2 K supraleitend.
Durch dessen Spulen kann ein Dauerstrom fließen, welcher ein Magnetfeld erzeugt. Das Sensor-
material, welches als flache Schicht dicht über einem der beiden Mäander liegt, wird somit von
einem Magnetfeld durchdrungen, in dem sich die magnetischen Gesamtmomente der Er3+-Ionen
26Benannt nach ihren Entdeckern M. A. Rudermann, C. Kittel, T. Kasuya und K. Yosida.
62
5.1 Metallische magnetische Thermometrie
temperaturabhängig ausrichten. Eine Temperaturänderung im Sensormaterial würde gemäß Glei-
chung 5.1 zu einer Flussänderung in der Doppelmäanderschleife führen. Da der magnetische Fluss
in einer supraleitenden Schleife erhalten ist, wird ein zusätzlicher Strom in der Mäanderschleife
induziert, der die Flussänderung des Sensors kompensiert. Ein Teil dieses Stroms fließt durch die
parallel zu den Doppelmäandern geschaltete Einkoppelspule für ein SQUID-Magnetometer27. Da-
bei handelt es sich um ein äußerst präzises Messgerät zur Detektion von Flussänderungen, das aus
einer supraleitenden Schleife besteht, die an zwei Stellen durch nicht-supraleitende Tunnelkon-
takte („Josephson-Kontakte“) unterbrochen ist. Fließt nun ein Gleichstrom parallel durch diese
Kontakte, so erzeugt eine Änderung des magnetischen Flusses innerhalb der Schleife eine prä-
zise messbare Änderung im Spannungsabfall über den Kontakten. Details sind in der Literatur
beschrieben (z.B. [Kle04]). Eine Flussänderung ∆Φ im Sensor führt zu einer Flussänderung
∆ΦS =Mis
Lm + 2(Li + Lb)∆Φ (5.2)
im SQUID [Bur04]. Dabei bezeichnen Lm, Li, Lb die Induktivitäten eines Mäanders, der Ein-
koppelspule sowie der Zuleitungen zur Einkoppelspule und Mis = k√
LiLS ist die Gegenindukti-
vität zwischen SQUID und Einkoppelspule mit der Kopplungskonstanten k. Typische Werte für
k bei hier verwendeten SQUIDs liegen in der Größenordnung von 1. Die Stärke dieser Tem-
peraturbestimmung ist unter anderem auf die hohe Messgenauigkeit heute verfügbarer SQUID
-Magnetometer zurückzuführen.
Abbildung 5.3: SchematischeDarstellung eines metallischenmagnetischen Thermometersmit Doppelmäander (Aufsicht):Über einem der zwei parallelverschalteten Mäander wird dasSensormaterial aufgebracht. EineEinkoppelspule für das SQUID-Magnetometer wird parallel dazuverschaltet (nach [Fle09]).
In Abbildung 5.4 ist ein Schnitt durch den Mäander gezeigt. Auf einem Saphir-Substrat liegen zwei
Leiterbahnen aus Niob mit einer Breite w und einem Mitte-zu-Mitte-Abstand p. Diese führen den
Strom gegenläufig. Eine dünne SiO2-Isolationsschicht trennt das darüber liegende Sensormateri-
al elektrisch vom Mäander. Die Induktivität eines solchen Mäanders, der die Fläche A bedeckt,
27Akronym für den englischen Begriff Superconducting Quantum Interference Device.
63
5 Entwicklung eines hochauflösenden Kalorimeters
berechnet sich gemäß
Lm = lµ0Ap
(5.3)
mit einer Konstanten l, die abhängig vom Verhältnis w/p typischerweise bei etwa 0,2 bis 0,3 liegt
[Fle05]. Für den nachfolgend vorgestellten Mäander findet man mit p = 5 µm, w = 2,5 µm,
l = 0,220 eine Induktivität Lm = 40 nH. Auf diesen Wert muss man erfahrungsgemäß etwa
20 % hinzuaddieren, um Randeffekte zu berücksichtigen. Man findet Lm ≈ 48 nH. Dieser Werte
optimiert das Signal im SQUID-Magnetometer. Eine Extremwertbetrachtung von Gleichung 5.2
mit Lm ∝ ∆Φ liefert nämlich Lm = 2 (Li − Lb). Das verfügbare SQUID-Magnetometer hat eine
Einkoppelinduktivität Li = 25 nH und typische Induktivitäten der Zuleitungen liegen im Bereich
von einigen nH [Kem07, Bur04].
Die Magnetfeldverteilung und die zu erwartende Flussänderung sind in den zitierten Arbeiten de-
tailliert beschrieben. Diesbezüglich wurden für diese Arbeit keine weiteren Simulationen durch-
geführt. Die Temperaturauflösung ist in nicht-trivialer Weise unter anderem vom felderzeugenden
Dauerstrom I0, der genauen Geometrie, dem Dotierungsgrad im Au:Er-Sensor sowie der Tempe-
ratur selbst abhängig. Eine Abschätzung für einen ähnlichen Aufbau ergibt eine Temperaturauflö-
sung von 14,5 µK/V bei 50 mK für die am SQUID- Magnetometer ausgelesene Spannung [Pie12].
Man erwartet also eine im Vergleich zum RuO2-Thermometer stark verbesserte Präzision in der
Temperaturbestimmung.
Abbildung 5.4: Querschnitt durchzwei Mäanderbahnen (Schwarz)und durch den darüber liegendenAu:Er-Sensor. Nähere Erläuterun-gen im Text.
5.2 Design und Funktionsweise der Plattform
Mit dem vorgestellten metallischen magnetischen Thermometer wurde im Rahmen dieser Arbeit
ein Design für eine Plattform erarbeitet, welche vollständig mikrostrukturiert im institutseigenen
Reinraum hergestellt werden kann. Eine detaillierte Beschreibung der Prozessierung findet sich
zum Beispiel in [Kem07]. Als Substrat dient dabei ein 5 mm · 5 mm großer Saphireinkristall
mit einer Höhe von ≈ 333 µm. Dieser ist besonders stabil unter mechanischer Belastung und der
phononische Beitrag zur Wärmekapazität Cadd ist vernachlässigbar. Das komplette Design ist in
Abbildung 5.5 dargestellt. Die Komponenten werden im Folgenden erläutert.
64
5.2 Design und Funktionsweise der Plattform
5.2.1 Erläuterungen zu den einzelnen Komponenten
Abbildung 5.5: Kalorimeter-Design: Auf dem Saphir-Substrat (grau) befinden sich dieMäander-Strukturen (unter C, D) und darüber das Sensormaterial (C) für die Thermome-trie. Die SQUID-Einkoppelspule kann über Bondpads (E) elektrisch verbunden werden. ZurPräparation eines Dauerstroms sind weitere Kontakte (F, G) notwendig. Eine Goldfläche (A)dient als Auflagefläche für die Probe und ist metallisch an einen AuPd-Heizer (B) gekoppelt.Die Strukturen am Rande des Substrats dienen lediglich der Prozessierung und haben danachkeine Funktion mehr.
ThermometerDie Mäanderstrukturen für das Thermometer und die Zuleitungen aus Niob sind in Abbildung 5.5
rot dargestellt28. Dabei ist der linke Mäander in dieser Draufsicht durch das Sensormaterial (oran-
28Weitere Niobstrukturen am Rand des Substrats dienen lediglich der Prozessierung.
65
5 Entwicklung eines hochauflösenden Kalorimeters
ge) überdeckt. Die 75 Windungen je Mäander sind nicht aufgelöst. Die SQUID-Einkoppelspule
befindet sich zusammen mit dem SQUID auf einem weiteren Chip und kann über Bonddrähte
angeschlossen werden. Hierfür dienen die sogenannten Bondpads.
Weitere Zuleitungen sind notwendig, um einen Dauerstrom in der Mäanderstruktur zu präparie-
ren. Das Funktionsprinzip ist schematisch in Abbildung 5.6 dargestellt. Im supraleitenden Zustand
der Niobbahnen wird ein externer Strom IF eingespeist, der durch den Teil des Mäanderrings mit
der geringsten Induktivität fließt (Abbildung 5.6 links). Ein kurzer Heizpuls über einen in diesem
Bereich angebrachten Heizwiderstand sorgt dafür, dass die Niobleitung hier lokal normalleitend
wird. Dadurch fließt der Strom durch die beiden Mäander (Abbildung 5.6 mitte). Nach dem Ab-
kühlen des Heizers liegt ein geschlossener supraleitender Ring vor, sodass der magnetische Fluss
in diesem erhalten ist. Nach dem Abschalten der externen Stromquelle fließt demnach weiterhin
Strom in diesem Ring. Präpariert man den Strom bei Temperaturen oberhalb von 1,2 K, so sind
die Bonddrähte hin zur SQUID- Einkoppelspule normalleitend und spielen keine Rolle.
Abbildung 5.6: Zur Präparation eines Dauerstroms in der Doppelmäanderstruktur wird dergeschlossene Ring an einer Stelle erhitzt, sodass er lokal normalleitend wird und magneti-scher Fluss eindringen kann. Eine externe Stromquelle treibt dabei den Strom IF. Nach demAbschalten des Heizers bildet sich ein geschlossener, supraleitender Ring aus, in dem einmagnetischer Fluss und somit ein Strom eingefroren ist. Grafik abgeändert entnommen aus[Hen12].
ProbenheizerDer Heizer zum Erwärmen der Probe (in Abbildung 5.5 dunkelblau dargestellt) wird mittels einer
AuPd- Legierung realisiert. Die Legierung hat bei Temperaturen unterhalb von 1 K einen großen,
nahezu temperaturunabhängigen spezifischen elektrischen Widerstand ρAuPd ≈ 263 nΩ m [Pie12],
sodass der gewünschte Widerstandswert auf einer kleinen Fläche realisiert werde kann. Der Hei-
zer hat eine produktionsbedingt festgelegte Höhe h = 75 nm, eine Breite b = 20 µm und Länge
l = 2,1 mm. Daraus ergibt sich ein Widerstandswert von Rth = 1,05 kΩ. Probleme im Zusam-
menhang mit temperaturabhängigen Heizwiderständen R = R(T), wie sie beim QD-Puck beob-
achtet werden, können durch die Temperaturunabhängigkeit des Widerstandswerts effizient besei-
tigt werden. Weiterhin leitet ein AuPd-Steg die Wärme effizient an die Probenauflagefläche. Dies
66
5.2 Design und Funktionsweise der Plattform
verbessert die thermische Kopplung zwischen Heizer und Probenauflagenfläche. Der im Vergleich
zum QD-Puck kleiner gewählte Widerstand hilft, parasitäre Wärmeeinträge auf Grund von durch
externe Quellen induzierte Spannungen zu reduzieren.
ProbenauflageDie Probe wird auf eine etwa 1 µm dicke, galvanisierte Goldschicht aufgebracht. Mit einer Kanten-
länge von 3,1 mm und 4,55 mm bietet sie ausreichend Platz für typische Proben. Die Goldschicht
hilft bei der Thermalisierung zwischen Heizer, Probe und Thermometer. Bei der rein phononischen
Kopplung im QD-Puck werden Überheißeffekte beobachtet. Für die thermische Ankopplung der
Probe an die Plattform steht weiterhin Vakuumfett zur Verfügung. Daneben ist für ausgewählte,
metallische Proben auch eine metallische Ankopplung denkbar.
Fixierung der Plattform und thermische Ankopplung an das WärmebadDie gesamte Plattform wird auf drei kegelförmige Stelzen aufgelegt. Diese dienen der mechani-
schen Fixierung und weniger der thermischen Ankopplung an das Wärmebad. Dies kann unter
Ausnutzung des Kapitza-Widerstands (vgl. Abschnitt 2.3.3) mit einer geeigneten Materialwahl
realisiert werden. Denkbare Materialien sind Gold oder Photolack. Abschätzungen für die elektro-
nische thermische Leitfähigkeit nach dem Wiedemann-Franz-Gesetz und Literaturwerte für den
Kapitza-Widerstand zwischen Gold und Saphir (kK = 527 W/(K4m2) nach [For93]) lassen eine
große Dominanz des Kapitza-Widerstandes erwarten. Für Photolack als dielektrische Alternative
liegen keine Literaturwerte vor. Die Ursachen des Kapitza-Widerstands gemäß der Diskussion in
Abschnitt 2.3.3 lassen aber auf eine ähnliche Dominanz schließen.
Für die thermische Ankopplung ans Bad sorgen Bonddrähte, die an der Außenseite der Proben-
auflagenfläche angebracht werden. Über die Anzahl und Dicke der Drähte sowie das verwendete
Material lässt sich der Wärmeleitwert über einen großen Bereich variieren. Je nach erwarteter
Wärmekapazität kann man so die Relaxationszeit spezifisch anpassen. Dies ist beim QD-Puck
nicht möglich. Es ist zu beachten, dass die Bonddrähte zur elektrischen Ansteuerung des SQUID-
Magnetometers, des Heizers und für das Präparieren eines Dauerstroms in den Mäandern kaum
zur Wärmeleitung beitragen, weil sie typischerweise aus Aluminium bestehen. Aluminium wird
bei 1,2 K supraleitend und die Wärmeleitung entsprechend schlecht, weil Cooper-Paare im Grund-
zustand nicht mehr zur Wärmeleitung beitragen.
5.2.2 Abschätzung der Addenda und der Temperaturauflösung
Für das vorgestellte Design lassen sich Wärmekapazität Cadd und die Magnetisierung simulieren.
Aus ähnlichen Aufbauten in der Vergangenheit weiß man, dass die Simulationen gut mit experi-
mentellen Ergebnissen übereinstimmen [Fle03].
67
5 Entwicklung eines hochauflösenden Kalorimeters
Wärmekapazität der AddendaDie Hauptbeiträge zur Wärmekapazität der Addenda kommen vom paramagnetischen Sensorma-
terial Au:Er sowie von der goldenen Probenauflagenfläche. Diese Beiträge sind in Abbildung 5.7
dargestellt. Für das Sensormaterial wurde dabei ein Dauerstrom von 100 mA und ein Dotierungs-
grad von 300 ppm angenommen. Der AuPd-Heizer (γ = 7,5 pJ/K2, β = 0,6 pJ/K4) sowie das
Saphir-Substrat (β = 0,7 nJ/K4) sind dabei im Vergleich zu Gold (γ = 1 nJ/K2, β = 0,6 nJ/K4)
vernachlässigbar. Auch alle supraleitenden Strukturen sind ohne Bedeutung.
In der Summe ergibt sich damit eine Wärmekapazität Cadd, die bei tiefen Temperaturen T .60 mK vom Sensormaterial und bei höheren Temperaturen von der Probenauflagefläche dominiert
wird. Je nach präpariertem Dauerstrom verschiebt sich diese Grenze. Die erwartete Wärmekapaz-
tität Cadd ist mehr als eine Größenordnung kleiner als die des QD-Pucks. Bei T = 20 mK erwartet
man für das vorgestellten Designs eine Wärmekapazität von etwa Cadd = 110 pJ/K gegenüber
einem Wert von etwa Cadd = 4000 pJ/K für den QD-Puck. Dies ist ein großer Vorteil für die
Vermessung von Proben mit sehr kleiner Wärmekapazität.
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 00 , 51 , 01 , 52 , 02 , 53 , 03 , 5
T (kA
/(Km)
)
T ( m K )0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0
02 04 06 08 0
1 0 01 2 0
S e n s o r ( 3 0 0 p p m ) P r o b e n a u f l a g e f l ä c h e
C add (p
J/K)
T ( m K )
Abbildung 5.7: Links: Berechnete Magnetisierungsänderung ∂M/∂T des Au:Er-Films(300 ppm, IF = 100 mA) in Abhängigkeit der Temperatur. Rechts: Erwartete Wärmeka-pazität des selben Films für die gleichen Parameter sowie des Probenauflagenfilms aus Goldals Funktion der Temperatur.
TemperaturauflösungGemäß Gleichung 5.1 und Gleichung 5.2 fließt die Veränderung der Magnetisierung mit der Tem-
peratur ∂M/∂T linear in die Flussänderung im SQUID und damit nahezu linear in die Tempe-
raturauflösung ein. Unter Zuhilfenahme der Näherungsformel ∆Φ = µ0 Vs/p ∆M mit dem Sen-
sorvolumen Vs berechnet man für das vorgesehene SQUID-Magnetometer eine Auflösung von
∆T∆V≤ 120 µK V−1 . (5.4)
Mit typischen Spannungsauflösungen von 1 mV erwartet man demnach eine Temperaturauflösung
in der Größenordnung von ∆T ≈ 0,1 µK bei Temperaturen unterhalb von 100 mK. Bei höheren
68
5.2 Design und Funktionsweise der Plattform
Temperaturen lässt sich der zu erwartende Abfall in der Temperaturauflösung durch einen größe-
ren Feldstrom bei Bedarf kompensieren, da in diesem Temperaturbereich gemäß Abschnitt 2.2.3
∂M/∂T ∝ B2/T2 gilt. Für den QD-Puck beträgt die Temperaturauflösung bei tiefen Temperaturen
etwa 100 µK und ist damit deutlich schlechter.
Mit den aufgezeigten Charakteristika lässt sich eine deutlich verbesserte Bestimmung von Wär-
mekapazitäten erwarten.
69
6 Fazit und Ausblick
Zielsetzung dieser Diplomarbeit war der Aufbau und die Kalibration eines kommerziell erhält-
lichen Kalorimeters für Messungen der Wärmekapazität bei Temperaturen zwischen 8 mK und
500 mK. Außerdem sollte ein auf diesen Erfahrungen beruhendes, verbessertes Eigendesign kon-
zipiert werde.
Dazu wurde ein Kalorimeter der Firma QuantumDesign aufgebaut und kalibriert, welches zur Be-
stimmung der Wärmekapazität auf Relaxationsmethoden zurückgreift. Dabei wird aus dem zeit-
lich aufgelösten thermischen Abklingverhalten der Probe durch eine schwache thermische Kopp-
lung zwischen Probe und Wärmebad die Wärmekapazität bestimmt. Um die Probe heizen und die
Temperatur messen zu können, stehen zwei RuO2-Widerstände auf der Probenplattform zur Verfü-
gung. Diese ist thermisch schwach an das Bad gekoppelt. Für die Thermometrie wurde der RuO2-
Widerstand mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers bestimmt und im Temperaturbereich zwischen
8 mK und 560 mK erfolgreich gegen ein Kohlethermometer kalibriert. Die Heizer-Ansteuerung
wurde mit Hilfe einer Vier-Draht-Messung realisiert. Extrinsische Rauschbeiträge wurden mit Hil-
fe von Tiefpassfiltern und einem großen Vorwiderstand erfolgreich unterdrückt. Als Messmethode
wurde eine in der Literatur beschriebene Variante der Relaxationsmethode implementiert, dessen
Modell auch τ2-Effekte beschreibt.
Mit Hilfe dieses Aufbaus konnte die Wärmekapazität der Addenda bestimmt werden. Die gemes-
sene Wärmekapazität zeigt unterhalb von 50 mK eine Schottky-Anomalie. Dies führt zusammen
mit der bei tiefen Temperaturen größeren Ungenauigkeit in der Temperaturbestimmung zu großen
Messfehlern in diesem Temperaturbereich. Die Plattform ist deshalb für quantitative Messungen
in diesem Temperaturbereich nur bedingt geeignet.
Für die Kalibration wurde ein etwa 10 mg schweres Silberstück untersucht. Die gemessene Wär-
mekapazität zeigt oberhalb von 150 mK das erwartete Verhalten c = γT + βT3. Bei tieferen Tem-
peraturen erkennt man jedoch eine systematische Abweichung. Ungenauigkeiten in der Addenda-
Bestimmung oder eine Verunreinigung der Probe kommen als mögliche Ursachen in Betrachtet.
Außerdem kann nicht ausgeschlossen werden, dass der Heizerwiderstand während eines Heizpul-
ses die Temperatur der Plattform spürbar übersteigt, was zu einem systematischen Fehler in der
Bestimmung der eingebrachten Heizleistung führen würde.
Für Silber findet man unter Berücksichtigung aller Fehlerquellen einen Sommerfeld-Koeffizien-
ten γAg = (647 + 11 − 37) µJ/(molK2), der sich mit experimentell ermittelten Literaturwerten
von γAg = (640 ± 17) µJ/(molK2) gut deckt. Als untere theoretische Grenze wird ein Wert von
γTheorie = 625 µJ/(molK2) angegeben.
70
Weiterhin konnte eine supraleitende K0,9Na0,1Fe2As2-Probe erfolgreich gemessen werden, die im
Widerspruch zur BCS-Theorie unterhalb der Sprungtemperatur eine quadratische Abhängigkeit
der Wärmekapazität von der Temperatur gemäß c/T = 52 mJ/(molK2) + 43 mJ/(molK3) · Tzeigt. Dies steht im Einklang mit Messungen anderer Gruppen bei Temperaturen oberhalb von
500 mK und könnte auf linienartige Knoten an der Fermikante hindeuten.
Unter Berücksichtigung der Erfahrungen mit dem QD-Puck wurde ein neues Kalorimeter entwor-
fen. Das Herzstück der Plattform ist dabei ein metallisches magnetisches Thermometer, welches
eine um Größenordnungen bessere Temperaturauflösung im Vergleich zum QD-Puck verspricht
und eine zeitliche Auflösungsgrenze im ms-Bereich besitzt. Um die Temperatur zu ermitteln, wird
die Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung von Au:Er ausgenutzt. Mit der Änderung der Ma-
gnetisierung ändert sich der magnetische Fluss durch die geschlossene, mäanderförmige Auslese-
spule aus supraleitendem Niob, sodass wegen der Flusserhaltung in dieser Spule ein Kompensa-
tionsstrom induziert wird. Dieser kann mit Hilfe eines leistungsstarken SQUID-Magnetometers
sehr genau bestimmt werden.
Daneben wird ein temperaturunabhängiger Heizwiderstand die Ermittlung der Heizleistung ver-
bessern. Eine variable thermische Ankopplung an das Bad erlaubt die Vermessung von Proben mit
verschiedenen Wärmekapazitäten.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der QD-Puck erfolgreich in Betrieb genommen wurde
und erste Messungen vielversprechend sind. Neben Optimierungen im Detail sind für die Zukunft
auch Erweiterungen geplant, etwa Messungen bis hin zu T ≈ 4 K. Außerdem lassen sich durch
eine Erweiterung des Aufbaus auch Messungen in externen Magnetfeldern realisieren. Daneben
verspricht das neuentwickelte Design eine um Größenordnungen verbesserte Temperaturauflösung
bei gleichzeitiger Verringerung der Wärmekapazität der Messplattform. Eine variable thermischen
Ankopplung an das Wärmebad erlaubt die Vermessung von Wärmekapazitäten über Größenord-
nungen hinweg.
71
A Anhang
A.1 Datenblatt QD-Puck
MJR/DM
070814
BSEE ECO 11256
MJR/DM
090226
CSEE ECO 14236
MJR/RB
090608
DSEE ECO 14702
MR/WN
060110
AINITIAL RELEASE SEE ECO 9495
.170
10
PICTORIAL VIEW
417 8
2X 18
(SEE SHEET 2)
INDEX HOLE 1
19
SERIAL NUMBER
SAN DIEGO, CA
2007
DIMENSIONS ARE IN INCHES
FINISH
MATERIAL
TOLERANCES ARE
FRACTIONS
4X977
FILENAME:
CAGE
CHKD
DO NOT SCALE DRAWING
±1/64
DECIMALS
.X .XX
ANGLES
DRAWN
SCALE
SIZE
DATE
REV
SHEET
REA NO.
DRAWING NO.
REVISIONS
ENGR
.XXXX
.XXX
+.0005
REL NEXT ASSY
USED ON
B
APPROVALS
OF
DESCRIPTION
LTR
APPROVED
DATE
-.0000
4085-264
±.05
±.005
±.01
4085-264.SLDDRW
122
1
BCD AABCD
±1°
J.LEMAIRE
051123
M.ROLOFF
060110
W.NEILS
M.ROLOFF
060110
060110
8091-002
PPMS DR
NONE
D2
18074
DR HEAT CAPACITY
PUCK ASSEMBLY
Monday, January 17, 2011 2:11:27 PM, lpratt
1 3
QUANTUM DESIGN
PREPARED IN SOLIDWORKS
321. 4
NOTE ORIENTATION OF MODIFIED HOLES. USE ABRASIVE
CORD (ITEM 9) TO MODIFY HOLES.
REFER TO TEST TABLE (SHEET 3) FOR PIN RESISTANCES.
WRAP WIRES AROUND TUBES ONE OR TWO TIMES.
6
NOTES: 5
USE FIXTURES (ITEMS 11 THRU 15, AND 21 THRU 23)
AND ADAPTER (ITEM 16) FOR ASSEMBLING.
ORIENTATION OF THERMOMETER (ITEM 5) BY INDEX
HOLE ON TOP, AS SHOWN AND BY SILKSCREEN ON PCB.
APPLY EPOXY (ITEM 4) TO HOLES AND GUIDE GROOVES
THREADED BY KAPTON ON PLATE (ITEM 1).
CUT CONDUCTIVE BLACK FOAM 1.0 X 1.0 X .375 THICK.
7
DETAIL A
(SEE SHEET 3)
7
REMOVED FOR CLARITY)
6
AR
(ITEM 17, 18 AND 19
8X
7
SCALE 3/1
TOP VIEW
35
64
9
2
10
8
57 20
8X
(ITEM 1)
(ITEM 8)
3 8X
72
A.2 Fitparameter für den Frequenzverlauf des Thermometrie
A.2 Fitparameter für den Frequenzverlauf des Thermometrie
Die in Abschnitt 3.4 gezeigten Fitkurven wurden gemäß
Uout = Uin n2π f LR2√
(R1R2 − (2π f )2LCR1R2)2 + (2π f L(R1 + R2))2(A.1)
gefittet. Die Fitparameter für die Freqenzgänge bei T = 5,6 mK (ohne und mit einem 1zu2-
Übertrager) und T = 65 mK (ohne Übertrager) und einen 100 kΩ-Widerstand bei Raumtempe-
ratur (ohne Übertrager) sind in den folgenden Tabellen aufgeführt. Fitparameter mit Standard-
fehler 0 wurden für den Fit als konstant betrachtet. Die starke Korrelation der Fitparameter führt
zu enormen Standardfehlern und die Parameterwerte hängen sehr stark von der Wahl der Start-
parametern ab; andererseits lassen sich die Messkurven beim fixieren von weiteren Parametern
nicht mehr sinnvoll anpassen. Aus diesen Gründen finden die gefundenen Parameter keine weitere
Verwendung. Deshalb sind hier nur einige Fitparameter-Datensätze exemplarisch aufgeführt.
Fitparameter Wert Standardfehlern 1,668 59 39,481 72L 25,024 34 598,0158C 2,634 42 · 10−9 6,264 54 · 10−8
R1 392 000 0R2 20 000,431 47 497 486,530 26Uoa 0,001 0
χ2Red 2,4179 · 10−12
Kor. R2 0,993 69
Tabelle A.1: Fit ohne Transformator bei T = 5,6 mK
73
A Anhang
Fitparameter Wert Standardfehlern 2,109 57 20,558 58L 45,482 447,258 03C 1,041 65 · 10−10 1,019 42 · 10−9
R1 392 000 0R2 41 121,968 27 443 004,471 69Uoa 1 · 10−3 0
χ2Red 3,225 45 · 10−12
Kor. R2 0,940 33
Tabelle A.2: Fit ohne Transformator und ohne Tiefpassfilter, Thermowiderstand ersetzt durcheinen 100 kΩ-Widerstand.
Fitparameter Wert Standardfehlern 0,743 83 2,147 96L 9,2809 26,997 35C 1,0846 · 10−9 3,147 12 · 10−9
R1 392 000 0R2 59 923,483 45 199 603,656 48Uoa
χ2Red 2,011 59 · 10−12
Kor. R2 0,996 51
Tabelle A.3: Fit mit 1 : 2 Transformator bei T = 5,6 mK
Fitparameter Wert Standardfehlern 1,414 35 43,2187L 15,096 83 465,953 05C 2,088 35 · 10−9 6,4132 · 10−8
R1 392 000 0R2 11 434,808 95 359 652,462 12Uoa
χ2Red 8,880 05 · 10−13
Kor. R2 0,987 79
Tabelle A.4: Fit ohne Transformator bei T = 65 mK
74
A.3
LabV
iewProgram
me
A.3 LabView Programme
A.3.1 Steuerprogramm zur Messung des Frequenzgangs der Thermometrie-Schaltung
Abbildung A.1: Um den Frequenzgang der Schaltung der Thermometrie zu bestimmen, wird zunächst der Lock-In-Verstärker initialisiert(“Lockin Start up“). Anschließend wird die Frequenz des Frequenzgenerators im Lock-In-Verstärker schrittweise verändert. Für jede Frequenzwird der Messbereich des Lock-In-Verstärkers korrekt ausgewählt (“Lockin Scale SEN“). Nach einer kurzen Wartezeit zum Einschwingenwerden die Messdaten mehrere Male ausgelesen und die gemittelten Daten in eine Textdatei abgespeichert.75
A.3
LabV
iewProgram
me
A.3.2 Steuerprogramm zur Messung des Einflusses der Integrationszeit des Lock-In-Verstärkers
Abbildung A.3: Um den Einfluss der Integrationszeit tTC des Lock-In-Verstärkers auf das Rauschen des Messsignals zu ermittelt, wird derLock-In-Verstärker auf verschiedene Integrationszeiten eingestellt. Nach einer Wartezeit, in der sich das Messsignal nach der Umstellungwieder aufbaut, wird das Messsignal Uout mehrere Male ausgelesen und daraus Mittelwert und Standardabweichung berechnet.
77
AA
nhangA.3.3 Steuerprogramm zur Messung von Selbstheizungseffekten
Abbildung A.4: Um den Effekt der Selbstheizungseffekte zu Untersuchen, wird die Eingangsspannung Uin des Frequenzgenerators variiert.Für jeden Spannungswert wird zunächst der korrekte Sensitivitätsbereich eingestellt (“LockIn Scale SEN“) und nach einer Wartezeit dasMesssignal Uout ausgelesen. Alle nötigen Informationen werden in einer Textdatei abgespeichert.
78
AA
nhangA.3.4 Steuerprogramm zur Messung der Thermo-Kalibrationskurve
Abbildung A.6: Zur Messung der Kalibrationskurve wird der Lock-In-Verstärker zunächst mit den entsprechenden Einstellungen initialisiertund der Kopf der Textdatei erstellt, in der die Datenpunkte später aufgezeichnet werden. Anschließend werden einzelne Temperaturen mit vomBenutzer definierten Abständen angefahren und für jeden dieser Temperaturschritte die Kalibration durchgeführt. Die Details dieses einzelnenSchrittes sind in Abbildung A.8 bzw. Abbildung A.9 dargestellt und erläutert.
80
AA
nhang
Abbildung A.8: Das SubVI „Calibration Step“aus Abbildung A.6 arbeitet wie folgt: In jedem Temperaturschritt wird zunächst die gewünschteTemperatur an den Computer gesendet, der die Kryostat-Temperatur regelt, geschickt („Kryo Set Temp“). Im Anschluss daran wird einmal proSekunde die Temperatur des Kryostaten abgefragt („Kryo Get Temp“). Verändert sich die Temperatur für 25 Sekunden innerhalb einer zuvorfestgelegten Genauigkeit nicht, wird eine gewisse Zeit gewartet, um die Relaxation der Plattform zu gewährleisten. Im Anschluss daran werdenrelevante Daten wie z.B. der Spannungswert Uout am Lock-In-Verstärker und Temperaturdaten des Kryostaten meherere Male ausgelesen undsowohl gemittelt als auch ungemittelt in entsprechende Textdateien geschrieben.
82
A Anhang
A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung
Der hier dargestellte Mathematica-Code wird für die Auswertung der Wärmekapazitätsmessungen
aus der Heizpulsmethode verwendet. Eine detaillierte Erläuterung ist nicht zweckgemäß, man soll
jedoch eine Idee der wichtigsten Funktionen dieses Codes erhalten.
Zunächst lassen sich in Schritt 01 einige Einstellungen vornehmen, die von Datensatz zu Daten-
satz verschieden sind, beispielsweise ob eine Probe auf der Plattform lag, die erlaubte Hubhöhe,
der Temperaturbereich, die Anzahl der Pulse pro Temperaturschritt oder das Verzeichnis für die
Datensätzen und Kalibrationsdateien.
In Schritt 02 werden einige messaufbau-spezifische Einstellungen definiert, die zum Teil in Ka-
pitel 3 erläutert werden. Außerdem werden Fitfunktionen für die Addenda-Wärmekapazität defi-
niert. Diese Fitfunktionen können aus Datensätzen generiert werden, die zuvor mit Hilfe dieses
Codes erstellt wurden.
In Schritt 03 werden alle Rohdatensätze im zuvor spezifizierten Verzeichnis katalogisiert. Für
jeden Heizpuls existiert eine Datei, die neben einem Dateikopf mit allgemeinen Informationen
zeitlich aufgelöste Informationen über die Temperatur (z.B. Spannungsverhältnis Uout/Uin) sowie
den Heizer (angelegte und ausgelesene Spannung) enthält.
Nach diesen Vorbereitungen kann die eigentliche Auswertung in Schritt 04 beginnen. Dieser
Schritt wird für jeden Datensatz neu ausgeführt. Zunächst werden in Schritt 04 A die zeitaufgelös-
ten Informationen zu Thermometer und Heizer ausgelesen. Im Anschluss werden mit Hilfe der Ka-
librationsdateien aus Kapitel 3 die Spannungsdaten in Temperaturen umgerechnet. In Schritt 04 C
werden die Spannungsinformationen des Heizers genutzt, um die Heizleistung zu berechnen. Da-
bei stehen zu Testzwecken verschiedene Methoden zur Auswahl, z.B. P = U2/R, P = I2R oder
P = UI. Nun stehen alle nötigen Informationen zur Verfügung, um die in Abschnitt 3.1.2 vorge-
stellten Größen (z.B. Q, S, H, Γ) zu berechnen. Anschließend werden die Daten noch geglättet,
bevor in Schritt 04 F der lineare Fit an die Daten vorgenommen wird und die physikalischen Daten
aus den Fitparametern errechnet werden. Im letzten Schritt werden die berechneten Daten eines
jeden Pulses in einer Datei gespeichert. Außerdem wird überprüft, ob alle Pulse eines Tempera-
turschrittes berechnet wurden. Ist dies der Fall, werden Mittelwerte all dieser Pulse gebildet und
diese in eine gesonderte Datei geschrieben.
84
Heat Capacity Sweep
by Andreas Reifenberger ([email protected])
The program fits a Heat Pulse, returns the fitted values and continues with the next heat pulse.Fitting routine according to Hwang1996.
Steps:Step 01: Read In Data and Calibration Files, Set Up User-Changeable ParametersStep 02 : Definition of Constants, Reading in Calibration Files, Defining functionsStep 03: Get ready to read in files to fitStep 04: Fitting the data
Changelog : in v7 : - Addenda = Addenda( T0 + Hub/2) instead of AddendaHT0L
- Pulse shifted (ShiftTempData) so that Peak in TempData is at point where heater is turned off (optional)
ü Step 01 : Read In Data and Calibration Files, Set Up User - Changeable Parameters
SampleOnPuck = True;
MinimumPointsPerSign = 1;
HubSoll = 10;
TRiseMax = HubSoll ê 100 + 0.02;
TRiseMin = HubSoll ê 100 − 0.02;
PulsesPerStep = 14;
WritePosNeg = 1;
H∗ write positive −pulsed and negative −pulsed C in file as well ∗LChiSquareRedTolerance = 15;
TRange = "Low"; H∗ "Low", "Mid" or "High" ∗LPowerCalcSwitch = "3";
H∗ "1" P = U∗I êê "2" P = U^2êR êê "3" P = I^2 R êê "4" P = U I if I ≠0,
else P =U^2êR êê "5" P = HU−U0L∗I êê "6" P = I^2 R if I ≠0, else P =
U^2êR êê "7" P = I^2 R + Pth êê "8" P = I^2 R with I measured by Keithley,
check factor Ifactor in code ∗LShiftTempData = 2; H∗ know what you do if you change this !! ∗LShiftByHeaterSwitchOff = 1;
SampleName = "Silver_PulseLengthSweep50"; H∗ for file naming only ∗LOutputFolder = "C:\\Users\\Andreas\\Desktop\\";
DataFolder = "D:\\Andreas\\Diplomarbeit\\Data\\Data Lab2\\Run03
− Juni2012\\PulseSweep_Silver\\HCRun_6_21_2012_15.133 833";
CalibFolder = "D:\\Andreas\\Diplomarbeit\\Data\\_data\\calib";
A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung
85
ü Step 02 : Definition of Constants, Reading in Calibration Files, Defining functions
Gain = 501.35; H∗vgl Laborbuch p. 115 ∗LRpre = 4.72017 × 10^6; H∗ vgl. Laborbuch p. 114 ∗L
LastSubFolder = Last @StringSplit @DataFolder, "\\" DD;
OutputFile = SampleName <> "_" <> TRange <> "T_All_Hub" <>
ToString @HubSoll D <> "_P" <> PowerCalcSwitch <> ".txt";
OutputFileAverage = SampleName <> "_" <> TRange <> "T_Hub" <>
ToString @HubSoll D <> "_P" <> PowerCalcSwitch <> ".txt";
CalibFile = "_";
If @TRange "Low",
LockInVoltage = 0.0009;
CalibFile =
"CaliThermoStatistics_ohne_0.0700_0.0060_5_8_2012_1 9.309667_newKalib.txt";
CalibFile =
"CaliThermoStatistics_ohne_0.0700_0.0060_9_25_2012_ 16.657000.txt";
H∗ CalibFile =
"CaliThermoStatistics_ohne_0.0700_0.0060_10_2_2012_ 16.467167.txt"; ∗LH∗ from "HeatCapacity_AddendaFit.nb" ∗L
D;
If @TRange "Mid",
LockInVoltage = 0.003;
CalibFile =
"CaliThermoStatistics_ohne_0.2000_0.0450_5_9_2012_2 3.886167_newKalib.txt";
H∗ from "HeatCapacity_AddendaFit.nb" ∗LD;
If @TRange "High",
LockInVoltage = 0.01;
CalibFile =
"CaliThermoStatistics_ohne_0.5600_0.1500_5_9_2012_1 9.975500_newKalib.txt";
H∗ from "HeatCapacity_AddendaFit.nb" ∗LD;
AddendaHC@T_D : =
9.026104434631575`*^-10 +2.4340164710641228`*^-11 0.05071664920883517` êT
I1 + 0.05071664920883517` êTM2T2
+
8.120445950602826`*^-9 T + 1.3769179570784057`*^-8 T 3 ;
TempCali = Import @CalibFolder <> "\\" <> CalibFile, "Table", HeaderLines → 16D;
A Anhang
86
For @i = 1, i ≤ Length @TempCali D, i = i + 1,
TempCali @@i DD = Take@Drop @TempCali @@i DD, 82, 6 <D, 2 DD;
MaxCaliValue = TempCali @@Length @TempCali D, 2 DD;
MinCaliValue = TempCali @@1, 2 DD;
HeaterResistance @T_D : =
6670.4 Tanh @0.0306275 ê TD + 3782.1 − 8249.32 T + 14 979.1 T^2 − 10 569.3 T^3;
H∗ nach Kalibration aus Run02 ∗LIf @TRange "Low",
HeaterResistance @T_D : =5864.581374 Tanh @0.032248185776047 ê TD + 4542.1645501 −
17 035.58663787 T − 11 236.859414469 T^2 + 619 558.0086501 T^3;
H∗ nach Kalibration aus Run04 ∗LD
ThermoResistance @T_D : = 30 589.319 ∗ [email protected] ê TD +
6000.9854710 + −5314.953684 ∗ T + 3327.29505 ∗ T^2;
H∗ vgl Laborbuch p. 109 ∗L
ü Step 03: Get ready to read in files to fit
H∗ Generate File Names ∗LFileDirImport = Import @DataFolder D;
For @i = 1, i ≤ Length @FileDirImport D, i = i + 1,
If @StringFreeQ @FileDirImport @@i DD, "All" D, ,
FileDirImport = Drop @FileDirImport, 8i <D;
i = i − 1;
D H∗ end If ∗LDFor @i = 1, i ≤ Length @FileDirImport D, i = i + 1,
If @StringFreeQ @FileDirImport @@i DD, "HC_SinglePulse" D,
FileDirImport = Drop @FileDirImport, 8i <D;
i = i − 1;
D H∗ end If ∗LDFileDir = 8<;
For @i = 1, i ≤ Length @FileDirImport D, i = i + 1,
FileDir = Append@FileDir,
Flatten @8ToExpression @Take@StringSplit @FileDirImport @@i DD, "_" D, 83<DD,
FileDirImport @@i DD<DD;
D
FileDir = Sort @FileDir, 1@@1DD < 2@@1DD &D;
For @i = 1, i ≤ Length @FileDir D, i = i + 1,
FileDir @@i DD = FileDir @@i, 2 DDD;
A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung
87
str = OpenWrite @OutputFolder <> OutputFile D;
str2 = OpenWrite @OutputFolder <> OutputFileAverage D;
WriteString @str, " From " <> LastSubFolder <> "\n" D;
If @SampleOnPuck,
WriteString @str, " Puck Temp \tq \t\ts \t\th \t\tC \t\tK1 \t\tK2
\t\tT^2 \t\tC êT \t\tChi^2 êN \n" D,
WriteString @str, " Puck Temp \tq \t\ts \t\th \tC \t\tK1
\t\tK2 \tT^2 \t\tC êT \t Chi^2 êN \t TimeShift\n" DD;
WriteString @str2, " From " <> LastSubFolder <> "\n" D;
If @WritePosNeg 0,
WriteString @str2, " Puck Temp \t C \n" D,
WriteString @str2,
" Puck Temp \tC \t\tC error \tC + \t\tC − \t\tT^2 \t\tC êT\n" DD;
AllData = 8<;
ü Step 04: Fitting the data
Step 04 A: Read out Time, Temperature and Heating Information Step 04 B: Convert Voltage Values in TempList into TemperatureStep 04 C: Calculate Heating Power via several approchesStep 04 D: Calculate Data needed for Fitting Step 04 E: Smooth out dataStep 04 F: Join all calculated data and FITStep 04 G: Goodness of Fit / Chi Square
RunTimeLength = Length @FileDir D;
For @k = 1, k ≤ RunTimeLength, k = k + 1,
H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 A ∗LFileName = FileDir @@kDD;
DataSet = Import @DataFolder <> "\\" <> FileName, "Table", HeaderLines → 13D;
TimeList = 8<;
TempList = 8<;
PowerList1 = 8<; PowerList2 = 8<; PowerList3 = 8<; PowerList4 = 8<;
PowerList5 = 8<; PowerList6 = 8<; PowerList7 = 8<;
For @i = 1, i ≤ Length @DataSet D, i = i + 1,
TimeList = Append@TimeList, DataSet @@i DD@@1DD ê 1000D;
H∗ converting ms → s ∗LTempList = Append@TempList, DataSet @@i DD@@2DDD;
D;
A Anhang
88
H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 B: Convert Voltage Values in TempList into Temperatu re ∗L
For @i = 1, i ≤ Length @TempList D, i = i + 1,
If @TempList @@i DD > MaxCaliValue »» TempList @@i DD < MinCaliValue,
Print @"Temperature Data out of Range. Check Temp Calibration File " D;
Goto @endDD;
n = 1;
While @TempCali @@n, 2 DD ≤ TempList @@i DD, n = n + 1D;
H∗ searches in calibration file for correct line ∗LH∗Linear Fit zw. den zwei Werten n, n −1 ∗Lm= HTempCali @@n, 1 DD − TempCali @@n − 1, 1 DDL ê
HTempCali @@n, 2 DD − TempCali @@n − 1, 2 DDL;
b = TempCali @@n − 1, 1 DD − m ∗ TempCali @@n − 1, 2 DD;
TempList @@i DD = m ∗ TempList @@i DD + b H∗ in K ∗LD;
H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 C: Calculate Heating Power via several approches ∗LHeatingCurrent @V_D : = −7.56 10^ H−11L + 2.11857 × 10^ H−7L V;
H∗ V: Driving voltage, see labbook p. 114 ∗LHeatingVoltage @V_D : = HV+ 0.0088259 − 0.03 L ê Gain;
H∗ V: reading Voltage, see labbook p. 115 ∗L
H∗ calculate Offset Voltage ∗Ln = 1; While @DataSet @@n + 1, 6 DD 0, n = n + 1D;
VoltageOffset = Sum@DataSet @@i, 5 DD, 8i, 1, n <D ê n;
For @i = 1, i ≤ Length @DataSet D, i = i + 1,
If @PowerCalcSwitch "8",
Ifactor = 10^6;
Current = DataSet @@i, 8 DD ê Ifactor,
Current = HeatingCurrent @DataSet @@i, 6 DDD;
D;
Voltage = HeatingVoltage @DataSet @@i, 5 DDD;
Rheater = HeaterResistance @TempList @@i DDD;
Rthermo = ThermoResistance @TempList @@i DDD;
ThermoPower = 1 ê 2 ∗ HDataSet @@i, 3 DDL^2 ê Rthermo;
H∗ ThermoPower = 1ê2∗Rthermo ∗HLockInVoltage êHRthermo +395000 LL^2D ∗LPowerList1 = Append@PowerList1, Abs @Current ∗ Voltage DD;
PowerList2 = Append@PowerList2, Abs @Voltage^2 ê Rheater DD;
PowerList3 = Append@PowerList3, Abs @Current^2 Rheater DD;
PowerList5 = Append@PowerList5, Abs @HVoltage − VoltageOffset L ∗ Current DD;
PowerList7 = Append@PowerList7, Abs @Current^2 Rheater D + ThermoPower D;
If @DataSet @@i, 6 DD 0,
PowerList4 = Append@PowerList4, Voltage^2 ê Rheater D;
PowerList6 = Append@PowerList6, Voltage^2 ê Rheater D,
PowerList4 = Append@PowerList4, Voltage ∗ Current D;
A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung
89
@ DPowerList6 = Append@PowerList6, Current^2 ∗ Rheater D;
D;
D;
For @i = 2, i ≤ Length @DataSet D, i = i + 1,
If @DataSet @@i, 6 DD ≠ 0, PulseSign = Sign @DataSet @@i, 6 DDD; Break D;
D;
H∗ "1" P = U∗I êê "2" P = U^2êR êê "3" P = I^2 R êê"4" P = U I if I ≠0, else P =U^2êR êê "5" P = HU−U0L∗I êê
"6" P = I^2 R if I ≠0, else P = U^2êR êê "7" P = I^2 R + Pth ∗LIf @PowerCalcSwitch == "1", PowerList = PowerList1; D;
If @PowerCalcSwitch == "2", PowerList = PowerList2; D;
If @PowerCalcSwitch == "3", PowerList = PowerList3; D;
If @PowerCalcSwitch "4", PowerList = PowerList4; D;
If @PowerCalcSwitch "5", PowerList = PowerList5; D;
If @PowerCalcSwitch "6", PowerList = PowerList6; D;
If @PowerCalcSwitch "7", PowerList = PowerList7; D;
If @PowerCalcSwitch "8", PowerList = PowerList3; D;
H∗ Redefine ShiftTempData ∗LIf @ShiftByHeaterSwitchOff 1,
n = Length @DataSet @@ ;; , 6 DDD; While @DataSet @@n, 6 DD 0, n = n − 1D;
PowerEndIndex = n;
n = 1; While @TempList @@nDD < TempMax, n = n + 1D;
TempMaxIndex = n;
ShiftTempData = TempMaxIndex − PowerEndIndex;
D;
TempMax = Max@TempList D;
PowerList = Drop @PowerList, −ShiftTempData D;
TimeList = Drop @TimeList, −ShiftTempData D;
TempList = Drop @TempList, ShiftTempData D;
BaseTemp = HTempList @@1DD + TempList @@2DDL ê 2;
H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 D: Calculate Data needed for Fitting ∗LIntQ = 8<; H∗ Integral over Q ∗LIntV = 8<; H∗ Derivative of T Ht L ∗LIntS = 8<; H∗ Integral over S ∗LGam = 8<; H∗ T − Tbase ∗L
H∗ Addenda bei T = T0+Hubê2 ∗LAddenda = AddendaHC@HTempMax+ TempList @@1DDL ê 2D;
A Anhang
90
For @i = 1, i ≤ Length @TimeList D, i = i + 1,
If @i 1,
∆t = TimeList @@i DD;
IntQ = 8PowerList @@i DD ∗ ∆t <;
Gam = 80<;
IntV = 80<;
IntS = Append@IntS, Gam @@1DD ∗ ∆t D;
IntH = IntQ − IntV ∗ Addenda;
,
∆t = TimeList @@i DD − TimeList @@i − 1DD;
Gam = Append@Gam, TempList @@i DD − BaseTempD;
deriv = HGam@@i DD − Gam@@i − 1DDL ê ∆t;
IntQ = Append@IntQ, IntQ @@i − 1DD + PowerList @@i DD ∗ ∆t D;
IntV = Append@IntV, deriv D;
IntS = Append@IntS, IntS @@i − 1DD + Gam@@i DD ∗ ∆t D ;
IntH = Append@IntH, PowerList @@i DD − Addenda ∗ deriv D;
D;
D;
H∗ do not use this pulse if pulse height not appropriate ∗LIf @Max@GamD ê BaseTemp > TRiseMax »» Max@GamD ê BaseTemp < TRiseMin,
Print @"PulseHeight out of Range. k = ", k, ", ∆T = ", Max @GamD,
", T 0 = ", BaseTemp, ", ∆TêT0 = ", Max @GamD ê BaseTemp, ". ∆TmaxêT0 = ",
TRiseMax, ", ∆Tmin êT0 = ", TRiseMin, ". Discard." D; Goto @endDD;
H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 E: Smooth out data ∗LFor @i = 3, i ≤ Length @IntQ D, i = i + 1,
If @i < Length @IntQ D,
If @IntQ @@i DD ≥ 1.2 ∗ IntQ @@i − 1DD,
IntQ @@i DD = HIntQ @@i − 1DD + IntQ @@i + 1DDL ê 2D;
If @IntS @@i DD ≥ 1.2 ∗ IntS @@i − 1DD, IntS @@i DD =
HIntS @@i − 1DD + IntS @@i + 1DDL ê 2D;,
If @IntQ @@i DD ≥ 1.2 ∗ IntQ @@i − 1DD, IntQ @@i DD = IntQ @@i − 1DD D;
If @IntS @@i DD ≥ 1.2 ∗ IntS @@i − 1DD, IntS @@i DD = IntS @@i − 1DD D;
D;
D;
H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 F: Join all calculated data and FIT ∗LCalcData = 8<;
For @i = 1, i ≤ Length @IntQ D, i = i + 1,
CalcData = Append@CalcData, 8TimeList @@i DD, TempList @@i DD,
Gam@@i DD, IntS @@i DD, PowerList @@i DD, IntQ @@i DD, IntH @@i DD<D;
D;
A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung
91
M= 8<;
For @i = 1, i ≤ Length @CalcData D, i = i + 1,
If @SampleOnPuck False,
M = Append@M, 8CalcData @@i, 4 DD, CalcData @@i, 6 DD<D,
M = Append@M, 8CalcData @@i, 4 DD, CalcData @@i, 6 DD, CalcData @@i, 7 DD<DD;
D;
H∗ vgl. Hwang1997, Formula 11 ∗LIf @SampleOnPuck False,
Coef = LeastSquares @M, GamD;
q = Coef @@2DD;
s = Coef @@1DD;
h = 0;
c = 1 ê q;
K1 = −s ê q;
K2 = 0;
,
Coef = LeastSquares @M, GamD;
q = Coef @@2DD;
s = Coef @@1DD;
h = Coef @@3DD;
c = h s ê q^2 + 1 ê q − Addenda;
K1 = −s ê q;
K2 = s ê q + H1 − q Addenda L ê h;
D;
H∗ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∗LH∗ Step 04 G: Goodness of Fit ê Chi Square ∗LH∗ Chi Quadrat : vgl: http: êêde.wikipedia.org êwiki êAnpassungsg %C3%BCte ∗LGammaFit = 8<;
ChiSquare = 0;
For @i = 1, i ≤ Length @IntQ D, i = i + 1,
GammaFitNewPoint = q ∗ IntQ @@i DD + s ∗ IntS @@i DD + h ∗ IntH @@i DD;
GammaFit = Append@GammaFit, 8CalcData @@i, 1 DD, GammaFitNewPoint <D;
If @Gam@@i DD ≠ 0, ChiSquare = ChiSquare +
Sqrt @HGammaFitNewPoint − Gam@@i DDL^2D ê Abs@GammaFitNewPoint DD;
D;
ChiSquareRed = ChiSquare ê HLength @IntQ D − 1L;
If @ChiSquareRed > ChiSquareRedTolerance,
Print @"Chi^2 Red = ", ChiSquareRed, "for ", FileName, ". Discard."; Goto @endDDH∗, Print @"Chi^2 Red = ",ChiSquareRed,"for ",FileName,". Continue." D; ∗L
D;
AllData = Append@AllData,
8q, s, h, c, K1, K2, PulseSign, TempList @@1DD ∗ H2 + Max@GamD ê BaseTempL ê 2<D;
A Anhang
92
WriteString @str, NumberForm @TempList @@1DD ∗ H2 + Max@GamD ê BaseTempL ê 2,
NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str, NumberForm @q, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str, NumberForm @s, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str, NumberForm @h, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str, NumberForm @c, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str, NumberForm @K1, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
If @SampleOnPuck,
WriteString @str, NumberForm @K2, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD,
WriteString @str, NumberForm @K2, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str,
NumberForm@TempList @@1DD^2, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str,
NumberForm@c ê TempList @@1DD, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str,
NumberForm@ChiSquareRed, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;
WriteString @str, "\t" D;
WriteString @str, ShiftTempData D;
WriteString @str, "\n" D;
Label @endD;
If @ Mod@k, PulsesPerStep D 0,
NumberOfFits = Length @AllData D;
If @NumberOfFits > 0,
cValuesPositive = 8<;
cValuesNegative = 8<;
TempAverage = 0;
For @i = 1, i ≤ NumberOfFits, i = i + 1,
TempAverage = TempAverage + AllData @@i, 8 DD ê NumberOfFits;
cValueTemp = AllData @@i, 4 DD;
PulseSignTemp = AllData @@i, 7 DD;
If @PulseSignTemp < 0,
cValuesNegative = Append@cValuesNegative, cValueTemp D,
cValuesPositive = Append@cValuesPositive, cValueTemp DD; H∗ end if ∗L
D; H∗ end For ∗L
A.4 Mathematica-Code zur Datenauswertung
93
NegPoints = Length @cValuesNegative D;
PosPoints = Length @cValuesPositive D;
If @NegPoints ≥ MinimumPointsPerSign && PosPoints ≥ MinimumPointsPerSign,
H∗ drop first elements of bigger list to not shift average value ,
drop first elements as those might be the worse ones ∗LcValuesNegative = Take@cValuesNegative, −Min @PosPoints, NegPoints DD;
cValuesPositive = Take@cValuesPositive, −Min @PosPoints, NegPoints DD;
cAverageNeg = Mean@Abs@cValuesNegative DD;
cAveragePos = Mean@Abs@cValuesPositive DD;
cAverage = Mean@Abs@Join @cValuesNegative, cValuesPositive DDD;
cError = Sqrt @StandardDeviation @cValuesNegative D^2 +
StandardDeviation @cValuesPositive D^2D;
WriteString @str2,
NumberForm@TempAverage, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;
WriteString @str2, "\t" D;
WriteString @str2,
NumberForm@cAverage, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
WriteString @str2, "\t" D;
WriteString @str2,
NumberForm@cError, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
If @WritePosNeg 1,
WriteString @str2, "\t" D;
WriteString @str2,
NumberForm@cAveragePos, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
WriteString @str2, "\t" D;
WriteString @str2,
NumberForm@cAverageNeg, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
D;
WriteString @str2, "\t" D;
WriteString @str2,
NumberForm@TempAverage^2, NumberFormat → HRow@81, "E0", 3<D &LDD;
WriteString @str2, "\t" D;
WriteString @str2, NumberForm @cAverage ê TempAverage, NumberFormat → HRow@81, "E", 3<D &LDD;
WriteString @str2, "\n" D;
DD;
AllData = 8<;
D;
D;
Close @str D;
A Anhang
94
Literaturverzeichnis
[Abr86] B. Abragam, A. und Bleaney, Electron paramagnetic resonance of transition ions,
Dover Publications, 1986.
[AH12] M. Abdel-Hafiez, S. Aswartham, V. Grinenko, I. Morozov, M. Maroslova, O. Vakaliuk,
S.-L. Drechsler, S. Johnston, C. Hess, S. Wurmehl, A. Wolter, B. Büchner, E. L. Green,
J. Wosnitza, P. Vogt, A. Reifenberger, und R. Klingeler, In Vorbereitung, 2012.
[And11] B. Andraka und Y. Takano, Note: Relaxation heat capacity measurements at low tem-
peratures: dealing with nuclear contribution., The Review of scientific instruments,
82(1), 016103, 2011.
[Bac72] R. Bachmann, Heat Capacity Measurements on Small Samples at Low Temperatures,
Rev. Sci. Instrum., 43(2), 205, 1972.
[Bar57a] J. Bardeen, L. N. Cooper, und J. R. Schrieffer, Microscopic Theory of Superconducti-
vity, Phys. Rev., 106, 162–163, 1957.
[Bar57b] J. Bardeen, L. N. Cooper, und J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Phys.
Rev., 108(5), 1175, 1957.
[Bep11] T. Beppler, Persönliche Mitteilung, 2011.
[Buh65] A. J. Buhl und W. F. Giauque, Use of Platinum Alloy for Electrical Leads at Liquid
Helium Temperatures. Heat Conductivity, Rev. Sci. Instrum., 36(5), 703, 1965.
[Bur04] A. Burck, Entwicklung großflächiger magnetischer Kalorimeter zur energieaufgelös-
ten Detektion von Röntgenquanten und hochenergetischen Teilchen, Diplomarbeit,
Universität Heidelberg, 2004.
[Coo56] L. N. Cooper, Bound Electron Pairs in a Degenerate Fermi Gas, Phys. Rev., 104(4),
1189–1190, 1956.
[Dam91] R. Dambra, G. Gallinaro, F. Gatti, und S. Vitale, Properties of ruthenium oxide resistors
as sensitive elements of composite bolometers, Nucl. Instrum. Meth. A, 302(1), 83–88,
1991.
[Dan05] T. Daniyarov, Metallische magnetische Kalorimeter zum hochauflösenden Nachweis
von Röntgenquanten und hochenergetischen Molekülen, Dissertation, Universität Hei-
delberg, 2005.
[Deb12] P. Debye, Zur Theorie der spezifischen Wärmen, Ann. d. Phys., 39, 789, 1912.
[Dul18] P. L. Dulong und A. T. Petit, Recherches sur la mesure de temperatures et sur les lois
de la communication de la chaleur, Ann. chim. et phys., 76, 395, 1818.
95
Literaturverzeichnis
[Ein07] A. Einstein, Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen
Wärme, Ann. d. Phys., 22, 180–190, 1907.
[Ens00] C. Enss, A. Fleischmann, K. Horst, J. Schönefeld, J. Sollner, J. S. Adams, Y. H. Huang,
Y. H. Kim, und G. M. Seidel, Metallic Magnetic Calorimeters for Particle Detection,
Journal of Low Temperature Physics, 121, 137–176, 2000.
[Ens05] C. Enss und S. Hunklinger, Low-Temperature Physics, Springer, Berlin Heidelberg,
2005.
[Fle03] A. Fleischmann, Magnetische Mikrokalorimeter: Hochauflösende Röntgenspektrosko-
pie mit energiedispersiven Detektoren, Dissertation, Universität Heidelberg, 2003.
[Fle04] A. Fleischmann, M. Link, T. Daniyarov, H. Rotzinger, C. Enss, und G. M. Seidel, Me-
tallic magnetic calorimeters (MMC): detectors for high-resolution X-ray spectroscopy,
Nucl. Instrum. Meth. A, 520(1-3), 27–31, 2004.
[Fle05] A. Fleischmann, C. Enss, und G. M. Seidel, Cryogenic Particle Detection, Volumen 99
in Topics in Applied Physics, Kapitel Metallic Magnetic Calorimeters, 151–216, Sprin-
ger, Berlin Heidelberg, 2005.
[Fle09] A. Fleischmann, L. Gastaldo, S. Kempf, A. Kirsch, C. Pabinger, A. Pies, P. Ranitzsch,
S. Schäfer, F. Seggern, T. Wolf, und C. Enss, Metallic magnetic calorimeters, AIP
Conference Proceedings, 1185, 571–578, 2009.
[For93] G. Forster, Untersuchung von Tieftemperaturkalorimetern mit supraleitenden Absor-
bern und supraleitenden Phasenübergangsthermometern, Dissertation, Technische
Universität München, 1993.
[Hem12] M. Hempel, Persönliche Mitteilung, 2012.
[Hen12] D. Hengstler, Untersuchung der Eigenschaften von supraleitenden Re-, Zn- und
Zn:Mn-Absorbern für magnetische Mikrokalorimeter, Diplomarbeit, Universität Hei-
delberg, 2012.
[Ho65] J. C. Ho und N. E. Phillips, TungstenPlatinum Alloy for Heater Wire in Calorimetry
below 0.1K, Rev. Sci. Instrum., 36, 1382, 1965.
[Hun07] S. Hunklinger, Festkörperphysik, Oldenbourg, München Wien, 2007.
[Hwa97] J. S. Hwang, K. J. Lin, und C. Tien, Measurement of heat capacity by fitting the whole
temperature response of a heat-pulse calorimeter, Rev. Sci. Instrum., 68(1), 94, 1997.
[Kap41] P. L. Kapitza, The study of heat transfer in helium II, J. Phys. USSR, 4, 181, 1941.
[Kas56] T. Kasuya, A Theory of Metallic Ferro- and Antiferromagnetism on Zener’s Model,
Prog. Theor. Phys., 16, 45–57, 1956.
96
Literaturverzeichnis
[Kem07] S. Kempf, Entwicklung eines vollständig mikrostrukturierten metallisch magnetischen
Kalorimeters, Diplomarbeit, Universität Heidelberg, 2007.
[Kle04] R. Kleiner, Superconducting quantum interference devices: State of the art and appli-
cations, Proc. IEEE, 92, 1534–1548, 2004.
[Las03] J. Lashley, Critical examination of heat capacity measurements made on a Quantum
Design physical property measurement system, Cryogenics, 43(6), 369–378, 2003.
[Law56] A. W. Lawson, The Effect of Hydrostatic Pressure on the Electrical Resistivity of
Metals, Progr. Met. Phys., 6, 1–44, 1956.
[Law00] J. Lawrence, A. B. Patel, und J. G. Brisson, The thermal conductivity of Kapton HN
between 0.5 and 5 K, Cryogenics, 40, 203–207, 2000.
[Mah09] G. Mahan, Kapitza thermal resistance between a metal and a nonmetal, Phys. Rev. B,
79(7), 1–6, 2009.
[Mar73] D. L. Martin, Specific Heat of Copper, Silver, and Gold below 30K, Phys. Rev. B, 8,
5357–5360, 1973.
[Ner11] W. Nernst, Der Energieinhalt fester Stoffe, Ann. d. Phys., 36, 395–439, 1911.
[Net07] A. Netsch, Suche nach einem neuartigen, auf wechselwirkenden atomaren Tunnelsys-
temen basierenden Wärmediffusionsprozess in Gläsern bei ultratiefen Temperaturen,
Dissertation, Universität Heidelberg, 2007.
[Nol03] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 4, Springer, Berlin, 2003.
[Pas69] B. C. Passenheim, Heat Capacity of RuO2 and IrO2 between 0.54 and 10K, J. Chem.
Phys., 51(1), 320, 1969.
[Phi71] N. E. Phillips, Low-temperature heat capacity of metals, Crit. Rev. Solid State, 2(4),
467–553, 1971.
[Pie12] C. Pies, Persönliche Mitteilung, 2012.
[Pob07] F. Pobell, Matter and Methods at Low Temperatures, Springer, Berlin Heidelberg,
2007.
[Pol69] G. L. Pollack, Kapitza resistance, Rev. Mod. Phys., 41, 48–81, 1969.
[Ric12] M. Richter, Persönliche Mitteilung, 2012.
[Rie86] S. Riegel und G. Weber, A dual-slope method for specific heat measurements, J. Phys.
E: Sci. Instrum., 19, 790, 1986.
[Roo89] A. De Rooij, The Oxidation of Silver by Atomic Oxygen, ESA Journal, 13, 363–382,
1989.
97
Literaturverzeichnis
[Ros63] H. M. Rosenberg, Low temperature solid state physics: some selected topics, Claren-
don Press, 1963.
[Rud54] M. A. Ruderman und C. Kittel, Indirect Exchange Coupling of Nuclear Magnetic
Moments by Conduction Electrons, Phys. Rev., 96, 99–102, 1954.
[Sch81] H.J. Schink und H.v. Lohneysen, Specific heat of Apiezon N grease at very low tem-
peratures, Cryogenics, 21, 591–592, 1981.
[Sch00] J. Schönefeld, Entwicklung eines mikrostrukturierten magnetischen Tieftemperatur-
Kalorimeters zum hochauflösenden Nachweis von einzelnen Röntgenquanten, Disser-
tation, Universität Heidelberg, 2000.
[Sch06] F. Schwabl, Statistische Mechanik, Springer, Berlin u.a., 2006.
[Sch12] G. Schönhoff, Softwareimplementierung und Kalibration eines mK-Kalorimeters, Ba-
chelorarbeit, Universität Heidelberg, 2012.
[Sig91] M. Sigrist und K. Ueda, Phenomenological theory of unconventional superconductivi-
ty, Rev. Mod. Phys., 63(2), 239–311, 1991.
[Smi95] D. R. Smith und F. R. Fickett, Low-Temperature Properties of Silver, J. Res. Natl. Inst.
Stan., 100(2), 119–171, 1995.
[Som27] A. Sommerfeld, Zur Elektronentheorie der Metalle, Naturwiss., 15, 825, 1927.
[Som28a] A. Sommerfeld, Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik,
Z. Phys., 47, 1–32, 1928.
[Som28b] A. Sommerfeld, Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik,
Z. Phys., 47, 43–60, 1928.
[Ste73] R. B. Stephens, Low-Temperature Specific heat and Thermal Conductivity of Noncry-
stalline Dielectric Solids, Physical Review B, 8(6), 2896–2905, 1973.
[Ste83] G. R. Stewart, Measurement of low-temperature specific heat, Rev. Sci. Instrum., 54(1),
1, 1983.
[Sto93] R. J. Stoner und H. J. Maris, Kapitza conductance and heat flow between solids at
temperatures from 50 to 300 K, Phys. Rev. B, 48, 16373–16387, 1993.
[Sul68] P. F. Sullivan und G. Seidel, Steady-State, ac-Temperature Calorimetry, Phys. Rev.,
173(3), 679–685, 1968.
[Suz10] H. Suzuki, A. Inaba, und C. Meingast, Accurate heat capacity data at phase transitions
from relaxation calorimetry, Cryogenics, 50(10), 693–699, 2010.
[Vog13] P. Vogt, In Vorbereitung, 2013.
98
Literaturverzeichnis
[Vol94] Y. E. Volokitin, R. C. Thiel, und L. J. de Jongh, Heat capacity of thick-film resistor
thermometers and pure RuO2 at low temperatures, Cryogenics, 34(9), 771–773, 1994.
[Wil04] H. Wilhelm, T. Lühmann, T. Rus, und F. Steglich, A compensated heat-pulse calori-
meter for low temperatures, Review of Scientific Instruments, 75(8), 2700, 2004.
[Yos57] K. Yosida, Magnetic Properties of Cu-Mn-Alloys, Phys. Rev., 106, 893–898, 1957.
99
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei all jenen bedanken, die mich gefördert und gefordert haben
und diese Arbeit auf vielfältige Art und Weise unterstützt haben. Besonders bedanken möchte ich
mich bei:
PROF. RÜDIGER KLINGELER und PROF. CHRISTIAN ENSS für die freundliche Aufnahme in den
Arbeitsgruppen, die interessante Themenwahl und die immer offene Tür mit intensiven Diskus-
sionen.
ANDREAS FLEISCHMANN, der mit viel Kreativität und Auge fürs Detail die Entwicklung dieses
Projekts vorangetrieben hat und mit vielen hilfreichen Erklärungen und anregenden Diskussionen
zur Seite stand.
MARIUS HEMPEL, dem ich hier gar nicht genug danken kann für seine unermüdliche Hilfe im
Labor, viele spaßige Nacht- und Wochenendschichten und für das Auffüllen der Henne.
NORMAN LEPS für die Einführung in mein Themengebiet und die Welt des KIPs und für den
besten Kaffee außerhalb Italiens.
PATRICK VOGT und GUNNAR SCHÖNHOFF für die tatkräftige Unterstützung bei der Projektrea-
lisierung und fürs Zuhören beim lauten Denken.
CHRISTOPHER DIETL, DANIEL HENGSTLER, CARSTEN JÄHNE, SEBASTIAN KEMPF, CHANG-
HYUN KOO, CHRISTIAN PIES, PHILIPP RANITZSCH, ANDREAS REISER, DANIEL ROTHFUSS
und SÖNKE SCHÄFER, die sich immer Zeit für die Beantwortung kurzer und weniger kurzer Fra-
gen genommen haben und viele praktische Tipps für das Labor oder das Schreiben dieser Arbeit
geben konnten.
Der TECHNIK- und EDV-CREW und insbesondere den Herren AZEROTH, KATTINGER, LAMA-
DE, LEONHARDT, SPIEGEL, WEIDNER, WEISSER und WITTNEBEN für die zur Verfügung ge-
stellte Hardware, das technische Know-how und die unkomplizierte Hilfestellungen, sowie RUDI
EITEL für seinen immerwährenden Kampf gegen die Entropie.
Den Gruppen F3, F4, F5 sowie F25 für die gute Arbeitsatmosphäre im Büro, Labor und in der
Kaffeeecke, sowie während der ein oder anderen nächtlichen Runde. Außerdem Danke an F6 für
die Quasi-Aufnahme während der DPG-Tagung, das unkomplizierte Leihen von Laborequipment
und für die Bereitstellung des Pausenraums.
FRIEDRICH W. VOLCK für das Teilen seiner Leidenschaft für die Physik des Alltages und stell-
vertretend für alle, die ihr Leben der Lehre widmen.
Nicht zuletzt möchte ich meinen FREUNDEN, meiner gesamten FAMILIE und ganz besonders
meinen ELTERN danken, deren Unterstützung ich immer auf meiner Seite weiß.