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Anhang: Einftihrung in die Vektorrechnung
Physikalische GroBen, die durch ihren Betrag und ihre Richtung festgelegt sind, heiBen Vektoren. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargesteIlt, dessen Lange ein MaB fUr den Betrag ist (Bild All). A1s Symbole fUr Vektoren verwenden wir fette Buchstaben, zum Beispiel A. Der Betrag des Vektors A wird durch IA 1
oder kurz durch A angegeben. Ein Vektor mit dem Betrag Eins heiBt Einheitsvektor e.
/
S .1. A .1. >0
Bild AI2
Multipliziert man einen Vektor A mit einer skalaren GroBe Ie, so erhalt man den Vektor B = ), A (Bild AI2) mit 1 B 1 = 1 Ie 1 ! A I. Demnach JaBt sich jeder Vektor als Produkt aus seinem Betrag und einem gleichgerichteten Einheitsvektor schreiben (Bild All):
A =Ae. (A. I)
Die Addition zweier Vektoren A und B ergibt den Summenvektor
C=A+B. (A.2)
Er kann zeichnerisch durch Bilden eines Parallelogramms ermittelt werden (Bild A/3).
Dieses Parallelogramm kann auch folgendermaBen gedeutet werden: ein gegebener Vektor C wird in zwei Vektoren A und B mit den vorgegebenen Wirkungslinien a und b zerlegt. Die Vektoren A und B heiBen dann Komponenten des Vektors C beziiglich der Richtungen a und b. In der Ebene ist die Zerlegung eines Vektors nach zwei verschiedenen Richtungen mit Hilfe des Parallelogramms eindeutig moglich. Entsprechend JaBt sich im Raum die Zerlegung nach drei nicht in einer Ebene liegenden Richtungen eindeutig d urchfiihren.
Komponenten und Koordinaten 195
BildA/3
/
Des bequemeren Rechnens wegen stell en wir Vektoren haufig in einem kartesischen Koordinatensystem dar (Bild A/4). Die jeweils aufeinander senkrecht stehenden Achsrichtungen (orthogonale Achsen) x, y und z des Koordinatensystems werden durch die Einheitsvektoren e.t> ey und ez gekennzeichnet.
Der Vektor A kann in seine Komponenten Ax, Ay und A z beziiglich der drei Achsrichtungen zerlegt werden:
(A.3)
Nach (A. I) gilt fUr die Komponenten
(A.4)
Bild A/4
196 Anhang: Einflihrung in die Vektorrechnung
Damit wird aus (A3)
(A5)
Die MaBzahlen Ax, Ay und Az heiBen Koordinaten des Vektors A. Sie werden oft auch Komponenten des Vektors genannt, obwohl die Komponenten ja die Vektoren Aj(j = x, y, z) sind. Ordnet man die Koordinaten in einer Spalte
[A,] A= ~~. (A6)
an, so nennt man diese Darstellung von A einen Spaltenvektor. Durch die Angaben seiner drei Koordinaten ist ein Vektor eindeutig bestimmt.
Der Betrag des Vektors folgt aus dem Satz des Pythagoras zu
(A7)
Die Richtung von A wird durch die Winkel rx, fJ und y charakterisiert (Bild A/4). Wir lesen ab:
Mit (A7) ist
und es gilt daher
A cos fJ= ;,
cos2 ry, + cos2 fJ + cos2 i= I .
Az cos y=-.
A (A8)
(A9)
(AlO)
Die drei WinkellY., fJ und y sind also nicht unabhangig voneinander. Die Vektorgleichung
A=B (All)
ist gleichwertig mit den drei skalaren Gleichungen
(A.l2)
Addition und Subtraktion von Vektoren 197
lwei Vektoren sind somit gleich, wenn sie in den drei Koordinaten ubereinstimmen.
1m folgenden werden einige Rechenregeln unter Verwendung der Komponentenschreibweise zusammengestellt.
1. MuItiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Die Multiplikation eines Vektors A mit einem Skalar A (Bild AI2) liefert mit (A3) und (A4) den Vektor
B =).A =A ). = ),(A x +Ay+A z)
=), Ax ex + ). Ay ey + A A z ez. (AI3)
Ein Vektor wird demnach mit einer lahl multipliziert, indem jede Koordinate des Vektors mit dieser lahl multipliziert wird. Fur A> 0 bleibt dabei der Richtungssinn erhalten, wahrend er sich fUr A < 0 umkehrt. 1m Sonderfall ). = - 1 erhalt man den Vektor B = - A, der aus dem Vektor A unter Beibehaitung des Betrages durch Umkehr des Richtungssinns entsteht. Fur }, = 0 erhait man den Nullvektor.
2. Addition und Subtraktion von Vektoren
Fur die Summe zweier Vektoren A und B erhalt man
C=A + B = (At ex +Ayey + Az ez) + (Bx ex + Byey + Bzez)
= (Ax+ B,) ex + (Ay+ By) ey + (A z + B z) ez (AI4)
= Ctex + Cyey + Czez·
Daraus folgt
(A IS)
lwei Vektoren werden also addiert, indem man jeweils die entsprechenden Koordinaten addiert.
Bei der Subtraktion zweier Vektoren folgt mit
C=A -B=A + (-B) (AI6)
198 Anhang: Einftihrung in die Vektorrechnung
fUr die Koordinaten
(AI7)
3. Skalarprodukt
Das skalare Produkt (inneres Produkt) zweier Vektoren A und B, die nach Bild A/5 a den Winkel rp einschlieBen, ist definiert durch
A ·B=ABcosrp. (AI8)
Das Ergebnis der Multiplikation ist ein Skalar (kein Vektor!). Das skalare Produkt IaBt sich auf verschiedene Weise deuten (Bild A/5b):
a) Betrag von A mal Betrag von B mal Kosinus des eingeschlossenen Winkels,
b) Betrag von A mal senkrechter Projektion von B auf A , c) Betrag von B mal senkrechter Projektion von A auf B.
A:-. /" , • A
rp --_------- 8(05'1'
a b
Bild A/5
Das Skalarprodukt ist poslhv, wenn die beiden Vektoren einen spitzen Winkel einschlieBen, wahrend es bei einem stumpfen Winkel negativ ist. 1m Sonderfall orthogonaler Vektoren (rp = n:12) ist das Skalarprodukt Null.
Aus der Definition (AI8) folgt
A ·B=B·A. (AI9)
Die Reihenfolge der Vektoren darf beim skalaren Produkt vertauscht werden (Kommutativgesetz).
In Komponentendarstellung wird das Skalarprodukt
Vektorprodukt
Unter Beachtung von
ex' ex = ey ' ey = ez ' ez = 1 ,
ex' ey = ey . ez = ez • ex = 0
finden wir
Fur den Sonderfall B = A erhalten wir wegen qJ = 0 aus (A IS)
A . A = A2 oder A = ~ .
4. Vektorprodukt
199
(A21)
(A22)
(A23)
Beim Vektorprodukt (auBeres Produkt oder Kreuzprodukt) zweier Vektoren A und B verwenden wir "x" als Multiplikationszeichen:
C=A xB. (A24)
Das Produkt ist folgendermaBen definiert: a) Der Vektor C steht auf A und auf B senkrecht (Bild A/6) b) Der Betrag von C ist gleich der von A und B aufgespannten
FJache:
i q = C = A B sin qJ • (A25)
Dabei ist qJ der von A und B eingeschlossene Winkel. c) Die Vektoren A, B und C bilden in dieser Reihenfolge ein
Rechtssystem (man kann Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand in dieser Reihenfolge mit den Richtungen von A, B und C zur Deckung bringen).
c
Bild A/6
200 Anhang: Einflihrung in die Vektorrechnung
Daraus folgt
AxB=-BxA. (A.26)
Das Kommutativgesetz gilt fUr das Vektorprodukt nicht. Sind zwei Vektoren parallel (rp = 0), so verschwindet nach b) ihr
Vektorprod ukt. Unter Beachtung von
(A. 27)
wird
C=A x B = (At ex + Ayey+ Az ez) x (Bx ex + Byey + Bz ez)
= (AyBz - AzBy) ex + (A z Bx - AxBz) ey (A.28)
+ (Ax By - Ay B x) ez .
Damit folgen die Koordinaten des Vektors C zu
Cx=AyBz-AzBy,
Cy = Az B x - Ax B z ,
Cz = AxBy- AyBx.
Das Vektorprodukt kann auch in Form einer Determinante
ex ey ez C=A xB= Ax Ay Az
Bx By Bz
(A.29)
(A.30)
geschrieben werden. In der ersten Zeile stehen dabei die Einheitsvektoren ex, ey und ez' wahrend die Koordinaten der Vektoren A und B die zweite und die dritte Zeile bilden.
Engliscbe Fachausdriicke
Englisch
Active force arch area force
bar beam belt friction bending moment bound vector boundary condition branching point
cantilever beam center of forces center of gravity center of mass center (centroid) of an area
center (centroid) of a line center (centroid) of a volume clamped clockwise coefficient of kinetic friction coefficient of static friction component compression concentrated force concurrent forces conserva ti ve force coordinate coplanar forces counterclockwise couple critical load cross product cross section curved beam
Deutsch
eingepragte Kraft Bogen Flachenkraft
Stab, PendelsWtze Balken Seilreibung Biegemoment gebundener Vektor Randbedingung Verzweigungspunkt
einseitig eingespannter Balken Kriiftemittelpunkt Schwerpunkt Massenmittelpunkt Flachenmittelpunkt, Flachenschwerpunkt Linienschwerpunkt Volumenschwerpunkt eingespannt im Uhrzeigersinn Reibungskoeffizient Haftungskoeffizient Komponente Druck Einzelkraft zentrale Kraftegruppe konservative Kraft Koordinate ebene Kraftegruppe entgegen dem Uhrzeigersinn Kriiftepaar kritische Last Vektorprodukt Querschnitt Bogen
202
decomposition of a force degree of freedom distributed force dot product
energy equilibrium equilibrium condition equilibrium position external force
first moment of an area
fixed vector force frame free body diagram free vector friction friction law
gravity
hinge homogeneous
inclined plane
joint
kinematically determinate kinematically indeterminate kinetic friction
law of action and reaction law of friction lever arm limiting friction line of action line load load
Macauley brackets matching condition Maxwell (-Cremona) diagram method of joints method of sections moment
Englische Fachausdrlicke
Zerlegung einer Kraft Freiheitsgrad verteilte Belastung Skalarprodukt
Energie Gleichgewicht Gleichgewichtsbedingung Gleichgewichtslage auBere Kraft
Flachenmoment erster Ordnung, statisches Moment gebundener Yektor Kraft Rahmen Freikorperbild freier Yektor Reibung Reibungsgesetz
Schwerkraft
Gelenk, gelenkiges Lager homogen
schiefe Ebene
Gelenk
kine rna tisch bestimmt kinematisch unbestimmt Reibung
Wechselwirkungsgesetz Reibungsgesetz Hebelarm Grenzhaftung Wirkungslinie Streckenlast Last
Klammer-Symbol Obergangsbedingung Cremona-Plan Knotenpunktverfahren Rittersches Schnittverfahren Moment
Englische Fachausdrticke
moment of a couple moment of a force
Newton's law normal force
overhanging beam
parallelogram of forces pin plate point mass polygon of forces position vector potential potential energy pressure principle of the lever principle of virtual displacements principle of virtual work
reaction force reference point resolution of a force restraint resultant rigid body roller (bearing) rope
scalar product shear( ing) force shell sign convention simple beam single force sliding vector spring spring constant stability stable static friction statical moment of an area
statically determinate statically indeterminate statics string
Moment eines Kraftepaars Moment einer Kraft
Newtonsches Axiom Normalkraft
Kragtrager
Krafteparallelogramm Knoten Platte Massenpunkt Krafteck Ortsvektor Potential potentielle Energie Druck Hebelgesetz
203
Prinzip der virtue lien Verrtickungen Prinzip der virtue lien Arbeit
Reaktionskraft Bezugspunkt Zerlegung einer Kraft Bindung Resultierende starrer Korper Rollenlager Seil
Skalarprodukt Querkraft Schale Vorzeichenkonvention beidseitig gelenkig gelagerter Balken Einzelkraft linienfltichtiger Vektor Feder Federkonstante Stabilitat stabil Haftung statisches Moment, Flachenmoment erster Ordnung statisch bestimmt statisch unbestimmt Statik Seil
204
structure superposition support symmetry
tension tensile force three-hinged arch torsion truss twisting moment
uniform unstable
vector product virtual displacement virtual work volume force
weight work
Deutsch
Arbeit iiuBere Kraft
Balken beidseitig gelenkig gelagerter Balken Bezugspunkt Biegemoment Bindung Bogen
Cremona-Plan
Dreigelenkbogen Druck
ebene Kriiftegruppen eingepriigte Kraft eingespannt einseitig eingespannter Balken Einzelkraft Energie entgegen dem Uhrzeigersinn
Tragwerk Oberlagerung Lager Symmetrie
Zug
Englische Fachausdriicke
Zugkraft Dreigelenkbogen Torsion Fachwerk Torsionsmoment
gleichfOrmig instabil
Vektorprodukt virtue lie Verriickung virtuelle Arbeit Volumenkraft
Gewicht Arbeit
Englisch
work external force
beam simple beam reference point bending moment restraint curved beam, arch
Maxwell (-Cremona) diagram
three-hinged arch compression, pressure
coplanar forces active forces clamped cantilever beam concentrated force, single force energy counterclockwise
Englische Fachausdrticke
Fachwerk Feder Federkonstante Fliichenkraft Fliichenmittelpunkt Fliichenmoment erster Ordnung
Fliichenschwerpunkt freier Vektor Freiheitsgrad Freikorperbild
gebundener Vektor Gelenk Gewicht gleichfOrmig G leichgewicht G leichgewichtsbedingung G leichgewichtslage Grenzhaftung
Haftung Haftungskoeffizient Haftungskraft Hebelarm Hebelgesetz homogen
im Uhrzeigersinn instabil
kinematisch bestimmt kinematisch unbestimmt Klammer-Symbol Knoten Knotenpunktverfahren Kompenente konservative Kraft Koordinate Kraft Kriiftemittelpunkt Kriiftepaar Kriifteparallelogramm Krafteck Kragtriiger kritische Last
Lager
truss spring spring constant area force centroid (center) of an area first moment of an area, statical moment of an area centroid (center) of an area free vector degree of freedom free body diagram
bound vector, fixed vector hinge, joint weight uniform equilibrium equilibrium condition equilibrium position limiting friction
static friction coefficient of static friction static frictional force lever arm principle of the lever homogeneous
clockwise unstable
kinematically determinate kinematically indeterminate Macauley brackets pin method of joints component conservative force coordinate force center of forces couple parallelogram of forces polygon of forces overhanging beam critical load
support
205
206
Last linienfitichtiger Vektor Linienkraft Linienschwerpunkt
Massenmittelpunkt Massenpunkt Moment Moment einer Kraft Moment eines Kraftepaars
Newtonsches Axiom Normalkraft
Ortsvektor
Parallelogramm der Krafte Platte Potential potentielle Energie Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip der virtuellen Verrtickungen
Ouerkraft Ouerschnitt
Rahmen Randbedingung Reaktionskraft Reibung Reibungsgesetz Reibungskoeffizient Reibungskraft Resultierende Rittersches Schnittverfahren Rollenlager
Schale schiefe Ebene Schwer kraft Schwerpunkt Seil Seilreibung Skalarprodukt Stab stabil Stabilitat starrer Karper
Englische Fachausdrtieke
load sliding vector line load centroid of a line
center of mass point mass momcnt moment of a force moment of a couple
Newton's law normal force
position vector
parallelogram of forces plate potential potential energy principle of virtual work principle of virtual displacements
shear(ing) force cross section
frame boundary condition reaction force kinetic friction law of friction, friction law coefficient of kinetic friction frictional force, friction resultant method of sections roller (bearing)
shell inclined plane gravity center of gravity rope, string belt friction scalar product, dot product bar stable stability rigid body
Englische Fachausdriicke
Statik statisches Moment
statisch bestimmt statisch unbestimmt Streckenlast Superposition Symmetric
Torsion Torsionsmoment Tragwerk
Ubcrgangsbcdingung Uberlagerung
Vektorprodukt Verzweigungspunkt virtue lie Arbeit virtuelle Verriickung Volumenkraft Volumenmittelpunkt Vorzeichenkonvention
Wechselwirkungsgesetz Wirkungslinie
zentrale Kriiftegruppe Zerlegung einer Kraft Zug Zugkraft
statics first moment of an area, statical moment of an area statically determinate statically indeterminate line load superposition symmetry
torsion twisting moment structure
matching condition superposition
vector product, cross product branching point virtual work virtual displacement volume force centroid of a volume sign convention
law of action and reaction line of action
concurrent forces
207
resolution (decomposition) of a force tension tensile force
Sachverzeichnis
Arbeit 150ff. -, virtuelle 155 Arbeitssatz 155 ff. Archimedes 34
Balken 78, 118 -, Gelenk- 95 Berilhrungsebene 23 Bezugspunkt 38 Biegemoment 117 Bogen 78, 118, 142 -, Dreigelenk- 93
Coulombsche Reibungsgesetze 180 tT.
Cremona-Plan 105
Dreigelenkbogen 93
Einspannung 81 Energie, potentielle 154 Erstarrungsprinzip 9 Euler 190 Eytelwein 190
Fachwerk 98tT., 166 Faser, gestrichelte 118, 142 Feder-konstante 154 - -potential 154 Flachenmoment 68 Flachenschwerpunkt 67 Foppl-Symbol 135 tT. Freiheitsgrad 41,79,85, 159 Freikorperbild 9 Freimachen 9 Freischneiden 9
Gelenk 88 - -balken 95 - -kraft 90
Gerber-Trager 96, 163, 164 Gestrichelte Faser 118, 142 Gleichgewicht 21 ff., 30, 33ff.,
167ff. Gleichgewichts-bedingungen 21,
30,37,41 ff., 57tT., 156 - -gruppe 21 . . . Gleichgewichtslage, Stabdltiit emer
167 tT. Grafoanalytische Uisung 24 Gleitreibung 179 ff.
Haftbedingung 181 Haftung 179 tT. -, Seil- 189 ff. Haftungs-kegel 182 - -keil 181 - -koeffIzient 180 - -winkel 181 Hebelarm 38 Hebelgesetz 34, 156 Hennebergsches Stabtauschver-
fahren 112 tT.
Joule 151
Kinematische Bestimmtheit 82, 100 Klammer-Symbol 135 Knoten 98 Knotenpunktverfahren 102 ff. Kraft 4ff. -, Angriffspunkt einer 5 -, auBere 9 -, Betrag einer 5, 6 - -eck 15 -, eingepragte 8 -, Einzel- 8 -, Feder- 154 -, Flachen- 8
210
Kraft, Gleitreibungs- 179 -, Haftreibungs- 178 -, innere 9 - -komponenten 17 -, konservative 154 -, Linien- 8 -, Normal- 23, 117 -, Potential- 154 -, Quer- 117 -, Reaktions- 9, 163 -, Richtung einer 5,6 -, Schnitt- 163 -, Schwer- 4 -, Stab- 99 ff. - -systeme, zentrale 14 -, Tangential- 23 - -vektor 6 -, Volumen- 8 -, Wirkungslinie der 5 -, Zwangs- 9 Kriifte-dreieck 15 - -gruppen,ebene 14 - -gruppen, riiumliche 28 - -gruppen, zentrale 14 - -mittelpunkt 64 - -paar 34 -, parallele 33,50 - -parallelogramm 14 - -plan 15,50ff. - -polygon 15 - -zerlegung 17 - -zusammensetzung 14 Kritische Last 175
Lageplan 15,50ff. Lager 78ff. -, einwertige 79 -, dreiwertige 81 -, gelenkiges 80 -, gleit- 79 - -reaktionen 78 ff. -, Rollen- 79 -, zweiwertige 80 Linienschwerpunkt 76
Massenmittelpunkt 66 Massenpunkt 2
Sachverzeichnis
Moment, Betrag 35 - des Kriiftepaares 35 - einer Kraft 37 -, statisches 68 Momenten-bezugspunkt 38 - -linie 120ff. - -vektor 53
Newton 5,12 - -sches Axiom 11 Normalkraft 23, 117 Nullstab 102
Ortsvektor 55, 150
Parallelfilhrung 88, 126, 131 Parallelogramm der Kriifte 14 Pendel-stab 88 - -sttitze 79 Platte 78 Pol des Kraftecks 50 Potential 154 - des Gewichts 154 - der Federkraft 154 Prinzip der virtuellen Verruckungen
157
Querkraft 117 ff. - -gelenk 88 - -linie 120ff.
Rahmen 78,118, 142ff. Randbedingungen 126 Reaktionskraft 9 Riiumliche Statik 28, 53 Reduktion 15 Reibung 179 if. -, Seil- 189 ff. Reibungs-gesetz 182 - -koeffizient 180, 183 Resultierende 14 Rittersches Schnittverfahren I !Off.
Schale 78 Scheibe 78 Schneiden 9 Schnitt-groBen 117 - -kraftlinien 119 - -Prinzip 10
Sachverzeichnis
-, Ritterscher 110 - -ufer 117 Schwerachsen 68 Schwerpunkt 63 fT. Seil 22 - -eck 49fT. - -haftung 189fT. - -polygon 50 - -reibung 189fT. Skalarprodukt 198 Stab 23,78 -, Null- 102 - -tauschverfahren 112fT. - -werk 98 fT. StabilitiH 167 fT. Starrer Korper 7 Statik 2,4 Statische Bestimmtheit 22,81 ff., 86,
88 fT., 98 fT. Statisches Moment 68 Streckenlast 8 Superposition 113
Torsionsmoment 147 Tragwerke, ebene 78 -, mehrteilige 88 -,raumliche 85,146
211
Trager, Gerber- 96 -, Krag- 123
Vbergangsbedingungen 129 fT.
Vektor 6, 194fT. - -addition 197 -, Betrag 194 -, Einheits- 6, 194 -, freier 6 -, gebundener 6 - -komponenten 194 - -koordinaten 196 -, linienfltichtiger 7 -,Orts- 55, 150 - -produkt 199 Verzweigungspunkt 175 Virtuelle Verrtickung 155 Volumenmittelpunkt 67 Vorzeichenkonvention fiir Schnitt-
groBen 117,147 - fUr Stabkrafte 28,102
Wechselwirkungsgesetz 10 Wirkungslinie 5
Zweigelenkbogen 93
Technische Mechanik W. Schnell, D. Gross, W. Hauger
Band 2: Elastostatik 6., neubearb. Aufl. 1998. VIII, 241 S. 138 Abb. Brosch.
OM 34,-; 6S 249,-; sFr 31,50 ISBN 3-540-64147-5
W. Hauger, W. Schnell, D. Gross
Band 3: Kinetik 5. Aufl. 1995. VIII, 256 S. 150 Abb. Brosch.
OM 34,-; 6S 249,-; sFr 31,50 ISBN 3-540-59416-7
D. Gross, W. Hauger, W. Schnell, P. Wriggers
Band 4: Hydromechanik, Elemente der Hoheren Mechanik, Numerische Methoden 2. Aufl. 1995. XI, 434 S., 213 Abb. Brosch.
OM 39,-; 6S 285,-; sFr 36,- ISBN 3-540-59418-3
W. Hauger, H. Lippmann, V. MannI
Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3 Statik, Elastostatik, Kinetik 2. Aufl. 1994. VIII, 358 S. 398 Abb. Brosch .
OM 39,-; 6S 285,-; sFr 36,- ••••••••••• ISBN 3-540-57987-7
, Springer
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Springer-Verlag und Umwelt
A Is internationaler wissenschaftlicher Ver
lag sind wir uns unserer besonderen Verpflich
tung der Umwelt gegenuber bewuBt und be
ziehen umweltorientierte Grundsatze in
Unternehmensentscheidungen mit ein.
Von unseren Geschafts
portnern (Druckereien, Papierfabriken, Verpak
kungsherstellern usw.) verlangen wir, daB sie
sowohl beim HersteliungsprozeB selbst als
auch beim Einsatz der zur Verwendung kom
menden Materialien okologische Gesichtspunk
te berucksichtigen.
Das fur dieses Buch verwendete
Papier ist aus chlorfrei bzw. chlororm herge
stelltem Zellstoff gefertigt und im ph-Wert neu
tral.
