Sinus-Transfer Rheinland-Pfalz – Offene Aufgaben für die Hauptschule Aufgabe 2.1: Aquarium

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Aufgabe 2.1: Aquarium

Idee, Aufgabenentwurf und Fotos: Franz-Josef Göbel, Barbara Mathea, Ralf Nagel, Helga Schmidt

Vorbemerkungen

– Die Aufgabe wird in zwei Varianten angeboten:

Variante A:

Die drei Fotos sollen die Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler unterstützen, wie

verschiedene Aquarien aussehen können, die den in der Aufgabe genannten Bedingun-

gen genügen. Ferner werden die Vorstellungen der Schülerinnen und Schüler durch die

Fotos implizit darauf gelenkt, dass die Aquarien alle angenähert die Form eines Quaders

haben sollen. Die für die Berechnungen erforderlichen Angaben können dem Text oder

den Bildern entnommen werden.

Variante B:

Hier geht es nur um das abgebildete Aquarium; dessen Maße sollen bestimmt werden.

Näherungswerte für Länge und Höhe lassen sich durch Messen und Vergleichen am Bild

bestimmen (siehe "Mögliche Lösungswege"). Die Breite des Aquariums ist wegen der

Perspektive auf diesem Weg nicht zu ermitteln. Hier muss gerechnet werden.

– In der Aufgabe selbst, in den Lösungen und in den methodi-

schen Kommentaren werden für die Maße der Aquarien

durchgehend die in der Skizze angegebenen Bezeichnungen

benutzt.

Erforderliche Vorkenntnisse:

Volumen von Quadern

Allgemeine mathematische Kompetenzen – Zuordnung zu den Bildungsstandards

Mit dieser Aufgabe werden vor allem folgende allgemeine mathematische Kompetenzen ge-

fördert. Der Bezug zu den Bildungsstandards ist ausgewiesen.

– Schrittweise eine Strategie aufbauen (ggf. durch systematisches Pro-

bieren), die zur Lösung der Aufgabe führt. å (K2)

– Ergebnisse hinterfragen und in Relation zur Realität setzen. å (K3)

– Den Lösungsweg und Ergebnisse eigener Überlegungen für andere

verständlich darstellen. å (K1, K6)

Länge

Breite

Höhe

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Variante A

In ein Aquarium wurde auf den Boden gleichmäßig Sand gefüllt, und zwar 5 cm hoch. Dann

wurden 120 Liter Wasser eingefüllt. Von der Wasseroberfläche bis zum oberen Rand des

Aquariums bleiben noch 7 cm Luft.

Von dem Aquarium weiß man nicht, wie lang, wie breit und wie hoch es ist. Es gibt verschie-

dene Möglichkeiten. Hier siehst du drei Beispiele, wie es aussehen könnte:

Wie lang, wie breit und wie hoch könnte das Aquarium sein? – Berechne verschiedene Mög-

lichkeiten.

Beachte: 1 Liter Wasser = 1000 cm3 Variante B

In das hier abgebildete Aquarium wurde auf den Boden gleichmäßig Sand geschüttet. Dann

wurden 120 Liter Wasser eingefüllt. Von der Wasseroberfläche bis zum oberen Rand des

Aquariums bleibt noch Luft.

Versuche herauszufinden, wie lang, wie breit und wie hoch das oben abgebildete Aquarium

ungefähr ist. Beachte: 1 Liter Wasser = 1000 cm3

7 cm Luft

5 cm Sand

Luft(7cm)

Sand(5cm)

Wasser (120 l)

Luft(7cm)

Sand(5cm)

Wasser(120 l)

Luft (7cm)

Wasser (120 l)

Sand (5cm)

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Variante A

Mögliche Lösungswege

In der Aufgabenstellung werden die Schülerinnen und Schüler schon darauf hingewiesen,

dass es keine eindeutige Lösung gibt. Länge, Breite und Höhe können variiert werden, so

dass es eine Vielzahl an Lösungsmöglichkeiten gibt. Es soll jedoch hinterfragt werden, ob

diese alle sinnvoll sind.

Um Maße für das Aquarium zu finden, können Länge und Breite frei gewählt werden. Aus

Länge, Breite und dem Volumen des Wassers von 120000 cm3 ergibt sich wie folgt die Höhe

hW, die das Wasser in dem jeweiligen Aquarium einnimmt.

120000 = a „ b „ hW ; ba

hw ⋅= 120000

Um die Gesamthöhe des Aquariums zu bestimmen, müssen zu dem errechneten Wert von

hW jeweils 5 cm für den Sand und 7 cm für die Luft addiert werden.

Beispiele für mögliche Lösungen (Maße in cm):

Länge a Breite b Wasserhöhe hW Höhe des Aquariums

80 70 21,4 33,4

80 60 25 37

70 60 28,6 40,6

70 50 34,3 46,3

60 50 40 52

60 40 50 62

Hinweise zur Aufgabe

– Die Schülerinnen und Schüler können zunächst einmal versuchen, für ein Aquarium pas-

sende Werte zu finden, bevor sie sich die oben beschriebene Strategie (siehe "Lösungs-

weg") bewusst machen.

– Für Schülerinnen und Schüler, die Schwierigkeiten beim Einstieg in die Aufgabe haben,

können folgende Impulse hilfreich sein:

Welche Maße könnte ein Aquarium haben, auf dessen Boden kein Sand ist und das

bis zum oberen Rand mit Wasser (120 Liter) gefüllt wird?

Nehmt einmal an, das Aquarium ist 60 cm lang und 50 cm breit. Wie hoch ist es dann?

– Die Aufgabe kann in Einzel- oder in Partnerarbeit gelöst werden.

Hinweis zur Erweiterung der Aufgabe

– Die Wahl der Länge und Breite kann eingeschränkt werden, indem man fordert, dass das

Aquarium auf einen Unterstelltisch mit den Maßen 80 cm x 60 cm passen muss.

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Variante B

Mögliche Lösungswege

− Die Höhe der Luftschicht im Aquarium oben ist bekannt: 7 cm.

− Daraus kann man auf die Höhe und auf die Länge des Aquariums schließen. Dies kann

ohne Messen mit einem Lineal erfolgen, indem man die Höhe der Luftschicht auf einem

Blatt Papier markiert und damit im Foto prüft, wie oft die Luftschicht in die Höhe bzw. Län-

ge des Aquariums geht.

− Auf dem Foto geht die Luftschicht ungefähr 6½-mal in die Höhe des Aquariums.

Das Aquarium ist also in Wirklichkeit ungefähr 6,5 „ 7 cm ≈ 45 cm hoch.

− Auf dem Foto geht die Luftschicht ungefähr 11½-mal in die Länge des Aquariums. Das

Aquarium ist also in Wirklichkeit ungefähr 11,5 „ 7 cm ≈ 80 cm lang.

− Die Breite b des Aquariums kann wegen der Perspektive auf diesem Weg nicht ermittelt

werden.

− Die Wasserhöhe in dem Aquarium ist: 45 cm – 5 cm – 7 cm = 33 cm. Das Volumen des

Wassers ist bekannt: 120000cm3.

− In die Formel für das Volumen eines Quaders V = a „ b „ c wird eingesetzt:

120000 = 80 „ 33 „ b . Daraus folgt: b ≈ 45 cm.

− Lösung: Länge: 80 cm, Höhe: 45 cm, Breite des Aquariums: 45 cm.

Eine Alternative:

− Die Höhe und die Länge des Aquariums können auch mit Hilfe eines Lineals ermittelt

werden. Wenn das Foto in Originalgröße vervielfältigt wurde, ist auf dem Foto die Höhe

der Luftschicht 0,7 cm. In Wirklichkeit ist diese Höhe 7 cm. Um Näherungswerte für Länge

und Höhe des Aquariums zu erhalten, muss man also die Maße im Foto mit 10 multiplizie-

ren.

− Die Länge des Aquariums auf dem Foto ist 8 cm und die Höhe 4,5 cm. Also ist das Aqua-

rium in Wirklichkeit ungefähr 80 cm lang und 45 cm hoch.

− Weiter wie oben.

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Aufgabe 2.1: Aquarium (Kopiervorlage)

Idee, Aufgabenentwurf und Fotos: Franz Josef Göbel, Barbara Mathea, Ralf Nagel, Helga Schmidt

Variante A

In ein Aquarium wurde auf den Boden gleichmäßig Sand gefüllt, und zwar 5 cm hoch. Dann

wurden 120 Liter Wasser eingefüllt. Von der Wasseroberfläche bis zum oberen Rand des

Aquariums bleiben noch 7 cm Luft.

Von dem Aquarium weiß man nicht, wie lang, wie breit und wie hoch es ist. Es gibt verschie-

dene Möglichkeiten. Hier siehst du drei Beispiele, wie es aussehen könnte:

Wie lang, wie breit und wie hoch könnte das Aquarium sein? – Berechne verschiedene Mög-

lichkeiten.

Beachte: 1 Liter Wasser = 1000 cm3

Variante B

In das hier abgebildete Aquarium wurde auf den Boden gleichmäßig Sand geschüttet. Dann

wurden 120 Liter Wasser eingefüllt. Von der Wasseroberfläche bis zum oberen Rand des

Aquariums bleibt noch Luft.

Versuche herauszufinden, wie lang, wie breit und wie hoch das oben abgebildete Aquarium

ungefähr ist. Beachte: 1 Liter Wasser = 1000 cm3

7 cm Luft

5 cm Sand

Luft (7cm)

Sand(5cm)

Wasser

(120 l)

Luft (7cm)

Sand(5cm)

Wasser (120 l)

Sand(5cm)

Luft (7cm)

Wasser (120 l) Liter