Aufgaben und L'osungen - AcroTeX · 2008-09-11 · Vollbild > < > Beenden 1.6. Logarithmengesetze Aufgabe 26. Zerlegen Sie in Logarithmen von Primzahlen. (a)

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1. Aufgaben und Losungen zur Algebra

1.1. Mengen

Aufgabe 1.Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge C = A ∩B und die Vereinigungsmenge D = A ∪B.

(a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und B = {2, 4, 6, 8, 10}

(b) A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} und B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

Aufgabe 2.Bestimmen Sie die Komplementarmengen C = A \B und D = B \A.

(a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und B = {2, 4, 6, 8, 10}

(b) A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} und B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

Aufgabe 3.Bestimmen Sie alle Elemente, die in den folgenden Mengen M beschrieben sind.

(a) M = {n | n ist eine Quadratzahl zwischen 5 und 40}

(b) M = {n | n ist eine ungerade naturliche Zahl, die durch 3 teilbar und kleiner als 20 ist}

(c) M = {n | n ist Teiler von 10}

Aufgabe 4.Bestimmen Sie alle Elemente der Menge D = A \ (B ∩ C) mit

A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {4, 5, 6, 7, 8}

1.2. Grundrechenarten

Aufgabe 5.Berechnen Sie.

(a) 2− 5 (b) (−2)− (−3) (c) −(−2) + (−2)− (−3)

(d) 5 + (−3)− (−3) (e) 2 + 3 + (−5)− 5 (f) −(−5) + 1 + (−2)

(g) −(−3) + (−3) (h) 1 + (−16)− (−12) (i) 2− 2 + (−2)− (−2)

Aufgabe 6.Losen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen.Welche Klammern sind unnotig?Hinweis:Losen Sie die Klammern eine um die andere von innen nach aussen (oder umgekehrt) im”Zwiebelprinzip” auf.

(a) (3a− 4b)− (5a− 2b)

(b) 8a− [(14a− 8b + 2c)− (8a− 12b + 2c)]

(c) 24a− [(13a− 6b + 4c)− (9a + 12b− 3c)]

(d) 3a− {2a− (12a− 4x)− [2x− (3x + 3a)− 19a]}

(e) (4x + 6y)− {6x− [7y − (5x + 3y)− (6y − 8x)− 3x]− 3x}

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Aufgabe 7.Berechne Sie.

(a) (4x + 3) (5x + 8) (b) (5a + 7) (8a + 3) (c) (3x + 6) (8x− 10)

(d) (−2x + 6) (−3x + 4) (e) (−3a + 2b) (2a + 3b) (f) (2a− 3) (3a + 4)

(g) (3x− y) (−2y + 3) (h) (4u− 5v) (7u− 3v) (i) (−7s− 3t) (2s− 6t)


(a) (a + b)2 (b) (a− b)2 (c) (a + b) (a− b)

(d) (2a + 3b)2 (e) (3a− b)2 (f) (2a + b) (2a− b)

(g) (−x + y)2 (h) (−2x− 3y)2 (i) (2a + 3b) (3b− 2a)

(j) (−5y + 8x)2 (k) (−3a− 5b)2 (l) (8x− 3y) (3y + 8x)


(a) (x + 3)2 − (x− 1)2

(b) (5x− 3y)2 − (2x + y)2

(c) (13a− 11b)2 − (17a− 21b)2

(d) (9a− 7b)2 − (2a + 3b) (−3b + 2a)

Aufgabe 10.Schreiben Sie - wenn moglich - als vollstandige binomische Formel.

(a) x2 + 10x + 25 = ( )2

(b) 4x2 + 4xy + y2 = ( )2

(c) 4u2 − 10uv + 9v2 = ( )2

(d) 16u2 + 8u + 1 = ( )2

(e) 25y2 − 80xy + 64x2 = ( )2

Aufgabe 11.Erganzen Sie zu einer vollstandigen binomischen Formel.

(a) x2 + 2x + .... = ( )2

(b) x2 − 6x + .... = ( )2

(c) x2 + x + .... = ( )2

(d) u2 − 5u + .... = ( )2

(e) x2 − 2xy + .... = ( )2

(f) x2 − 9xy + .... = ( )2

(g) 4x2 + 8x + .... = ( )2

(h) 9a2 − 12ab + .... = ( )2

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Aufgabe 12.Schreiben Sie als Produkt von Faktoren.

(a) x2 − 4y2

(b) 9u2 − 25v2

(c) (a + b) x + (a + b) y

(d) (u + v) x− (u + v) y

(e) ax + ay + bx + by

(f) ab + 5a + 5b + b2

(g) x2 − ax + 2x− 2a

(h) 6x2 + 3xy − 2ax− ay

(i) 6a2 − 15a + 2ab− 5b

Aufgabe 13.Klammern Sie geeignete Faktoren aus.

(a) 2a2 − 4ab

(b) a2b + ab2

(c) 8a2b3 + 24ab2

(d) x7y3 − 2x5y5

(e) an+1b3 + anb4

(f) an+1b2 − an−1b4

1.3. Bruchrechnen

Aufgabe 14.Fassen Sie die gegebenen Bruche zu einem Bruch zusammen.

(a)12

+23− 1

4(b)

−23

+45− 1−2

(c)213− 1

26+−152

(d)−23

+−1−4

− 1

Aufgabe 15.Bringen Sie auf den Hauptnenner und fassen Sie zusammen.

(a)2a− b

3− 5a− 4b

3+

18a− 27b

9

(b)a− b

2+

3a + 5b

15− 2a− 7b

20+

5b + 6a

20

(c)4u− 5v + 8

18− 7u + 3v − 5

30+

2u− 5v − 345

(d)x + 5y − 7z

15+

3x + 5y − 7z

20− 2x− y + 5z

30

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Aufgabe 16.Zerlegen Sie Zahler und Nenner in Linearfaktoren und kurzen Sie.

(a)x2 + x

x2 − 1

(b)x2 + 2x + 1

x2 + x

(c)x2 − 1ax− a

(d)ab + b

ac + a

(e)a2 − 9

a2 − 6a + 9

(f)2x2 − xy

4x2 − y2

Aufgabe 17.Bringen Sie auf den Hauptnenner und fassen Sie zusammen.

(a)1

a + b− 1

a− b

(b)x + y

x− x

x + y

(c)3

a + b+

6b

a2 − b2+

2a− b

(d)a + 2a− 2

+a− 2a + 2

− a2 + 4a2 − 4

(e)u− v

u + v−

2(u2 + v2

)u2 − v2

+u2 − v2

u2 + 2uv + v2

Aufgabe 18.Zerlegen Sie Zahler und Nenner in Linearfaktoren und kurzen Sie.

(a)3x

x + y:

14x

7x + 7y

(b)4(x2 − y2)5(a2 − b2)

:2x + 2y

5a− 5b

(c)9x2 + 6x + 1

2x + 1:

3x + 14x2 − 1

(d)a2 − 4b2

a2 + 4ab + 4b2:

a− 2b

a + 2b

(e)6xy − 6y2

5(x + y)2:

9x2 − 9xy

3x + 3y

(f)12x2y − 6xy

2a− 3:

10x2 − 5x

2ab− 3b

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1.4. Potenzgesetze

Aufgabe 19.Fassen Sie zusammen.

(a) 23 · 25 · 22 (b) (−2)2 · (−2)5 (c) g4 · g3 · g−5

(d)x2 · x−8

x3 · x−2(e)

(y3 · yy−1

)3

(f)(

x−2 · xx−5 · x4

)−3

Aufgabe 20.Fassen Sie zusammen.

(a)2 ·√

a · b− 12

5 · 3√

x · y−1:

6 · x− 12 · y− 1

2

15 · a− 12 · b− 2

3

(b)20 · a− 2

3 · b2

12 · x 34 · y− 1

2:

5 · x2 · y− 27

3 · 3√

a2 · b 23

Aufgabe 21.Klammern Sie geeignete Faktoren aus.

(a) a32 · b3 + a2 · b 5

2 (b) x43 · y2 − 2x2 · y 5

3 (c) a2n · b + a

4n · bn+2

n

1.5. Wurzeln

Aufgabe 22.Schreiben Sie als Potenz mit gebrochener Hochzahl.

(a) 3√

x (b) 4√

y (c)1

4√

x3

(d) 7√

a + b (e) 5√

a6 (f)3

3√

x2

Aufgabe 23.Vereinfachen Sie.

(a) 4√

a8 (b) 16√

a8n (c)(

6√

a2)3

(d)√√

a (e) 4√

3√

a2 (f)(

5

√(4√

a20))2

Aufgabe 24.Machen Sie den Nenner rational (wurzelfrei).

(a)5√3

(b)√

25

(c)2√2

(d)√

3√3− 1

(e)√

x−√y√

x +√

y(f)

√5−

√3

2√

5− 3√

3

Aufgabe 25.Fassen Sie zusammen (mit a > 0 und b > 0).

(a) 12√

3− 7√

3 (b)√

8 +√

32 (c)√

36−√

25

(d) 2 3√

2− 5 3√

16 (e) 2√

ab−√

ab (f) 2 3√

a4 + 4a 3√

a

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1.6. Logarithmengesetze

Aufgabe 26.Zerlegen Sie in Logarithmen von Primzahlen.

(a) ln 120 (b) ln 1, 44 (c) ln 0, 04

Aufgabe 27.Formen Sie den Term mit Hilfe der Logarithmengesetze in einen gleichwertigen Logarithmu-sterm um.

(a) ln(

b2c

ad−2

)(b) −3 ln r − ln p + 2 ln q (c) 2

5 lnx− 12 ln y

(d) ln 3√

x4y2z (e) ln(r√

p) (f) ln(x0)

1.7. Termumformungen

Aufgabe 28.Formen Sie den Term in einen gleichwertigen Term um.

(a) 12r3s2 · (− 23rs3t4)

(b) (−2a2b3)(− 25a3b2)

(c) (−x)2n+1 · (−3) · (−x)n−2 · (−x)2

Aufgabe 29.Losen Sie nach x auf und bestimmen Sie, fur welche y Losungen existieren.

(a) 13x + 1 = 4− 1

2y (b) x− 1 =1y

+ 2 (c)2x

=3y

+ 14

(d)5x− 3

y= 7 (e)

12x

+13y

=13x− 1

5y+ 2 (f)

23x− 3

4y=

32x

+43y− 4

3

Aufgabe 30.Hier einige Gleichungen aus der Physik. Losen Sie jeweils nach der/den gefragte(n) Große(n)auf.

(a) Losen Sie nach t und a auf.v = v0 − at

(b) Losen Sie nach t auf.s = 1

2gt2

(c) Losen Sie nach a auf.m1g + m1a−m2g + m2a = 0

(d) Losen Sie nach x auf.

mBL

2= mM(L− x) + mB(

L

2− x)

(e) Losen Sie nach a auf.

(m1 + m2)a = (m2 −m1)g −J

r2a

(f) Losen Sie nach x auf.12m1v

21 + 1

2m2v22 = 1

2cx2 + 12 (m1 + m2)v2

E

(g) Losen Sie nach p2, V1 und κ auf.p1V

κ1 = p2V

κ2

(h) Losen Sie nach A2, A1 und v1 auf.

∆p = 12ρv2

1

(A2

1

A22

− 1)

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2. Elementare Funktionen

2.1. Grundlagen

Aufgabe 31.Berechnen Sie wahlweise mit Hilfe der Polynomdivision oder mit Hilfe des Horner-Schemas.

(a) (x5 + 12x4 − 2x3 − x2 + x + 1

2 ) : (x + 12 )

(b) (4x5 − 6x4 − 3x3 + 4x2 − 1) : (x2 − x− 1)

(c) (2x4 + 2√

2 x3 − x2 + (1−√

2) x +√

2) : (x +√

2)

Aufgabe 32.Fassen Sie folgende Intervalle zu einem Intervall zusammen.

(a) (−2; 5] ∩ [3; ∞)

(b) (−2; 2] ∪ (2; 8) ∪ [3; 9)

(c) (−∞; −3] ∩ (−1; 4]

2.2. Funktionen

Aufgabe 33.Bestimmen Sie die Nullstellen von f(x) und zerlegen Sie soweit wie moglich in Linearfaktorenund skizzieren Sie.

(a) f(x) = x3 − 13x + 12

(b) f(x) = x3 − 3x2 − 5x + 15

(c) f(x) = x3 − 4x2 − 4x + 16

(d) f(x) = 3x3 − 9x2 − 18x + 24

(e) f(x) = x3 + 9x2 + 23x + 15

(f) f(x) = − 16x3 + 1

2x2 + 53x− 4

(g) f(x) = 2x4 − 4x3 − 50x2 + 100x

Aufgabe 34.Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitels S der Parabel f(x).

(a) f(x) = 14x2 − 1

2x− 34

(b) f(x) = 34x2 + 3x− 5

4

(c) f(x) = − 12x2 + x + 4

Aufgabe 35.Bestimmen Sie b ∈ R so, dass die Parabel f(x) = x2 + bx + 3 den Scheitel

(a) S(0/ys),

(b) S(−1/ys),

(c) S( 43/ys) besitzt.

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Aufgabe 36.Bestimmen Sie den Grad, den Gradfaktor und die Nullstellen der Funktion f(x).

(a) f(x) = 12x(x− 2)(8− x)

(b) f(x) = −2(x2 + 1)(2 + x)(x− 2)

(c) f(x) = 3x2(x2 + 4)(x− 1)

Aufgabe 37.Geben Sie eine echt gebrochenrationale Funktion an, die x1 = 2 und x2 = 3 als Nullstellensowie x3 = 5 als Pol mit Vorzeichenwechsel und x4 = −3 als Pol ohne Vorzeichenwechsel hat.

Aufgabe 38.Skizzieren Sie die Schaubilder der folgenden Funktionen. Bestimmen Sie dazu den Definitions-bereich und alle Nullstellen, Pole, mogliche hebbare Stetigkeitslucken und die Asymptoten.

(a) f(x) = −2(x− 1)2(x + 1)

x2 − x

(b) f(x) =x3

x2 − 4

(c) f(x) = 1 +2x

x2 − 1

Aufgabe 39.Schreiben Sie ohne Betragstriche und skizzieren Sie.

(a) f(x) =|2x− 3|

(b) f(x) =|−3x + 5| − 4

(c) f(x) = |−x− 3| − |2x + 3| − 4

2.3. Verschiebung, Symmetrie und Spiegelung

Aufgabe 40.Wie lauten die Gleichungen der Kurven f∗(x), g∗(x) und h∗(x), die entstehen, wenn man dieKurven der Funktionen f(x) = ex, g(x) = x2 und h(x) = sin x

(a) in Richtung der negativen y-Achse um 3 verschiebt?

(b) in Richtung der positiven x-Achse um 4 verschiebt?

(c) um 2 nach rechts und 3 nach oben verschiebt?

Aufgabe 41.

(a) Zeigen Sie, dass das Schaubild der Funktion f(x) = x2 − 4x + 1 achsensymmetrisch zurGeraden x = 2 ist.

(b) Zeigen Sie, dass das Schaubild der Funktion f(x) = x3 − 3x2 + 3x punktsymmetrischzum Punkt P (1/1) ist.

Aufgabe 42.Wie lautet die Gleichung f∗(x) der Kurve, die entsteht, wenn man die Kurve der Funktionf(x) = x2 + 2x + 3

(a) an der Geraden y = 2 spiegelt?

(b) an der Geraden x = −1 spiegelt?

(c) am Punkt P (2/− 2) spiegelt?

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2.4. Gleichungen

Aufgabe 43.Berechnen Sie die Losungen der folgenden quadratischen Gleichungen mit der Mitternachts-formel oder vielleicht sogar einfacher.

(a) 14x2 − 1

2x− 34 = 0

(b) − 27x2 + 3 = 0

(c) 4x2 − 2x = 0

Aufgabe 44.Bestimmen Sie a ∈ R so, dass die Gleichung ax2 − 4x + 2 = 0 keine, eine bzw. zwei Losungenbesitzt.

Aufgabe 45.Berechnen Sie die Losungsmenge folgender Gleichungen mit einer geeigneten Substitution.

(a) x4 − 13x2 + 36 = 0

(b) 9x4 − 85x2 + 36 = 0

(c) 16x8 − 257x4 + 16 = 0

(d)(x3 + 2

)2 + 3(x3 + 2

)− 18 = 0

Aufgabe 46.Bestimmen Sie den Definitionsbereich und berechnen Sie die Losungsmenge folgender Bruch-gleichungen.

(a)8

2x− 4+

242x + 4

=92

(x− 2)(x + 2)

(b)3x

x + 1+

5x

= 3

(c)3

x + 2+

2x− 2

= − 12x2 − 4

(d)b(a− 2x)

ax+

a

b=

a(a− x)bx

Aufgabe 47.Berechnen Sie die Losungsmenge folgender Betragsgleichungen.

(a) |x|+ 3x = 8

(b) |2x− 1|+ 1 = |6− x|

(c) |x + 2| − 3 = 2 · |4− x|

Aufgabe 48.Bestimmen Sie den Definitionsbereich und berechnen Sie die Losungsmenge folgender Wur-zelgleichungen.

(a) 2√

x− 1 = −4 + 2x

(b)√

x + 1 = 2√

1− x

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Aufgabe 49.Bestimmen Sie - falls moglich - die Losungsmenge der folgenden trigonometrischen Gleichun-gen.

(a) 5 sinx− 2 = 3

(b) 2 cos(2x− 3) = −3

(c) sinx− cos x = 0

(d) sin2 x + 2 sinx = −1

Aufgabe 50.Losen Sie die folgenden Exponentialgleichungen.

(a) e3x = 2 (b) e2x−1 = 4 (c) 2ex2= 6

(d) −3e−x+5 = 3 (e) ex(1− ex) = 0 (f) 2e2x − ex = 0

Aufgabe 51.Bestimmen Sie den Definitionsbereich und berechnen Sie die Losungsmenge folgender Loga-rithmusgleichungen.

(a) ln(2x) = −2 (b) ln(3− x) = 1 (c) ln(ex) = −3

(d) lnx− 2 ln(x2) = 3 (e) lnx(lnx− 1) = 0 (f) ln(1

x− 1) = 2

2.5. Ungleichungen

Aufgabe 52.Bestimmen Sie die Definitionsmenge und berechnen Sie die Losungsmenge folgender Unglei-chungen.

(a) 4x− 3 < 3 (x + 1)

(b) x2 − 15 < (x + 5)2

(c) 2(x2 − 16

)> 2x2 + 14x− 4

(d)2x− 22x + 2

≤ 2

Aufgabe 53.Bestimmen Sie die Losungsmenge folgender quadratischer Ungleichungen.

(a) x2 − 3x− 4 > 0

(b) 12x2 + x ≤ 4

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3. Lineare Gleichungssysteme (LGS)

3.1. Quadratisches LGS (gleich viele Gleichungen wie Unbekannte)

Aufgabe 54.Bestimme die Losung des folgenden LGS:

2x1− x2 =0x1 +2x2 + x3 =2

3x1 +2x2 +2x3 =1


x1 + x2 + x3 = 12x1− x2 +4x3 = 5x1 +4x2− x3 = − 2


2x1− 4x2 + x3 = − 3x1 +6x2− 4x3 = 0

4x1− 8x2 +2x3 = − 5

3.2. Uberbesetztes LGS (mehr Gleichungen alsUnbekannte)


4x1− 3x2 = 5x1 + x2 = 3

6x1− x2 =11


x1 + 2x2− 3x3 = 42x1 + 4x2− 6x3 = 83x1 + 6x2− 9x3 = 12

− 5x1− 10x2 +15x3 = − 20


x1 +2x2 +3x3 = 5− 2x1− 4x2− 6x3 = − 2

3x1− 2x2 +5x3 = 1− x1− 2x2− 3x3 = 1

3.3. Unterbesetztes LGS (weniger Gleichungen als Unbekannte)


x1− 3x2 +7x3 +x4 = 52x1− x2− 6x3 = − 2


4x1− 2x2 +3x3 = 5− 8x1 +4x2− 6x3 = − 3

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Losungen zu den Aufgaben

Aufgabe 1:Praktisches VorgehenUm die Schnittmenge zu bestimmen, schreibt man alle Elemente, die in beiden Mengen vor-kommen in die Schnittmenge.Um die Vereinigungsmenge zu bestimmen, schreibt man alle Elemente beider Mengen in dieVereinigungsmenge und stricht die doppelt vorkommenden Elemente.

(a) Die Schnittmenge istC = A ∩B = {2, 4, 6}Die Vereinigungsmenge istD = A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

(b) Die Schnittmenge istC = A ∩B = {25}Die Vereinigungsmenge istD = A ∪B = {1, 4, 5, 9, 10, 15, 16, 20, 25, 30, 36}

J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 2:Praktisches VorgehenUm die Komplementarmenge C = A \B zu bestimmen, nimmt man aus A alle Elemente vonB heraus und schreibt die ubrigbleibenden Elemente in die Komplementarmenge.Um die Komplementarmenge D = B \A zu bestimmen, nimmt man aus B alle Elemente vonA heraus und schreibt die ubrigbleibenden Elemente in die Komplementarmenge.

(a) Die Komplementarmenge C = A \B istC = A \B = {1, 3, 5}Die Komplementarmenge D = B \A istD = B \A = {8, 10}

(b) Die Komplementarmenge C = A \B istC = A \B = {1, 4, 9, 16, 36}Die Komplementarmenge D = B \A istD = B \A = {5, 10, 15, 20, 30}


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Aufgabe 3:

(a) M = {9, 16, 25, 36}

(b) M = {3, 9, 15}

(c) M = {1, 2, 5, 10}


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Aufgabe 4:Zuerst bestimmt man die Schnittmenge B ∩ C = {4, 5} und nimmt diese Elemente aus AherausD = A \ (B ∩ C) = {2, 6, 8, 10} J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 5:Praktisches VorgehenZuerst lost man alle vorhandenen Klammern auf und berechnet den entstehenden klammer-freien Term.

(a) 2− 5 = −3

(b) (−2)− (−3) = −2 + 3 = 1

(c) −(−2) + (−2)− (−3) = 2− 2 + 3 = 3

(d) 5 + (−3)− (−3) = 5− 3 + 3 = 5

(e) 2 + 3 + (−5)− 5 = 2 + 3− 5− 5 = −5

(f) −(−5) + 1 + (−2) = 5 + 1− 2 = 4

(g) −(−3) + (−3) = 3− 3 = 0

(h) 1 + (−16)− (−12) = 1− 16 + 12 = −3

(i) 2− 2 + (−2)− (−2) = 2− 2− 2 + 2 = 0


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Aufgabe 6:Praktisches Vorgehen”Plusklammern” konnen weggelassen werden und”Minusklammern” werden aufgelost, indem man die Vorzeichen in den jeweiligen Klammernumdreht.+(a + b) = a + b man kann dies interpretieren als Ausmultiplizieren der Klammer mit demFaktor +1, also+(a + b) = (+1) · (a + b) = (+1) · a + (+1) · b = a + b−(a + b) = −a− b man kann dies interpretieren als Ausmultiplizieren der Klammer mit demFaktor −1, also−(a + b) = (−1) · (a + b) = (−1) · a + (−1) · b = −a + (−b) = −a− b

(a) (3a− 4b)− (5a− 2b) = 3a− 4b− 5a + 2b= −2a− 2b

(b) 8a− [(14a− 8b + 2c)− (8a− 12b + 2c)]= 8a− (14a− 8b + 2c) + (8a− 12b + 2c)= 8a− 14a + 8b− 2c + 8a− 12b + 2c= 2a− 4b

(c) 24a− [(13a− 6b + 4c)− (9a + 12b− 3c)]= 24a− (13a− 6b + 4c) + (9a + 12b− 3c)= 24a− 13a + 6b− 4c + 9a + 12b− 3c= 20a + 18b− 7c

(d) 3a− {2a− (12a− 4x)− [2x− (3x + 3a)− 19a]}= 3a− 2a + (12a− 4x) + [2x− (3x + 3a)− 19a]= 3a− 2a + 12a− 4x + 2x− 3x− 3a− 19a= −9a− 5x

(e) (4x + 6y)− {6x− [7y − (5x + 3y)− (6y − 8x)− 3x]− 3x}= 4x + 6y − 6x + [7y − (5x + 3y)− (6y − 8x)− 3x] + 3x= 4x + 6y − 6x + 7y − 5x− 3y − 6y + 8x− 3x + 3x= x + 4y


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Aufgabe 7:Praktisches VorgehenDas Ausmultiplizieren erfolgt durch die Regel(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdund anschließendem Zusammenfassen gleichartiger Terme.

(a) (4x + 3) (5x + 8) = 20x2 + 32x + 15x + 24 = 20x2 + 47x + 24

(b) (5a + 7) (8a + 3) = 40a2 + 15a + 56a + 21 =40a2 + 71a + 21

(c) (3x + 6) (8x− 10) = 24x2 − 30x + 48x− 60 = 24x2 + 18x− 60

(d) (−2x + 6) (−3x + 4) = 6x2 − 8x− 18x + 24 = 6x2 − 26x + 24

(e) (−3a + 2b) (2a + 3b) = −6a2 − 9ab + 4ab + 6b2 = −6a2 + 6b2 − 5ab

(f) (2a− 3) (3a + 4) = 6a2 + 8a− 9a− 12 = 6a2 − a− 12

(g) (3x− y) (−2y + 3) = −6xy + 9x + 2y2 − 3y = 9x− 3y − 6xy + 2y2

(h) (4u− 5v) (7u− 3v) = 28u2 − 12uv − 35uv + 15v2 = 28u2 − 47uv + 15v2

(i) (−7s− 3t) (2s− 6t) = −14s2 + 42st− 6st + 18t2 = −14s2 + 36st + 18t2


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Aufgabe 8:Praktisches VorgehenEs handelt sich hierbei um die sogenannten binomischen Formeln. Durch deren Anwendungerspart man sich das Ausmultiplizieren.Sind Sie jedoch unsicher in deren Anwendung, so konnen Sie einen Umweg uber das Ausmul-tiplizieren machen.(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2

(−a− b)2 = (−a− b)(−a− b) = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = (a− b)(a− b) = a2 − 2ab + b2

(a + b) (a− b) = a2 − b2

und verfahren wie in voriger Aufgabe.

(a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(b) (a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(c) (a + b) (a− b) = a2 − b2

(d) (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2

(e) (3a− b)2 = 9a2 − 6ab + b2

(f) (2a + b) (2a− b) = 4a2 − b2

(g) (−x + y)2 = (y − x)2 = y2 − 2xy+x2

(h) (−2x− 3y)2 = (2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

(i) (2a + 3b) (3b− 2a) = (3b + 2a) (3b− 2a) = 9b2 − 4a2

(j) (−5y + 8x)2 = (8x− 5y)2 = 64x2 − 80xy + 25y2

(k) (−3a− 5b)2 = (3a + 5b)2 = 9a2 + 30ab + 25b2

(l) (8x− 3y) (3y + 8x) = (8x− 3y) (8x + 3y) = 64x2 − 9y2


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Aufgabe 9:Praktisches VorgehenNach der alten Algebra-Regel ”Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich” - erst die binomi-schen Formeln ausmultiplizieren und danach gleichartige Terme zusammenfassen.

(a) (x + 3)2 − (x− 1)2 = x2 + 6x + 9− (x2 − 2x + 1)= 8x + 8

(b) (5x− 3y)2 − (2x + y)2 = 21x2 − 34xy + 8y2

(c) (13a− 11b)2 − (17a− 21b)2 = 428ab− 120a2 − 320b2

(d) (9a− 7b)2 − (2a + 3b) (−3b + 2a) = 77a2 − 126ab + 58b2


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Aufgabe 10:Praktisches VorgehenDies erfolgt durch Faktorisieren (binomische Formeln ruckwarts) und anschließender Probe.a2 ± 2ab + b2 = (a± b)2

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

(a) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

(b) 4x2 + 4xy + y2 = (2x + y)2

(c) 4u2 − 10uv + 9v2 nicht faktorisierbar

(d) 16u2 + 8u + 1 = (4u + 1)2

(e) 25y2 − 80xy + 64x2 = (5y − 8x)2


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Aufgabe 11:Praktisches VorgehenErganzen zu einer vollstandigen binomischen Formel fur a > 0 erfolgt nach folgender Regel:

ax2 ± bx + ... = (√

ax +b

2√

a)2 = ax2 + bx +

14a

b2

(a) x2 + 2x + .... = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

(b) x2 − 6x + .... = (x− 3)2 = x2 − 6x + 9

(c) x2 + x + .... =(

x+12

)2

= x2 + x +14

(d) u2 − 5u + .... =(

u−52

)2 = u2 − 5u +

254

(e) x2 − 2xy + .... = (x− y)2 = x2 − 2xy + y2

(f) x2 − 9xy + .... = (x− 92y)2 = x2 − 9xy +

814

y2

(g) 4x2 + 8x + .... = (2x + 2)2 = 4x2 + 8x + 4

(h) 9a2 − 12ab + .... = (3a− 2b)2 = 9a2 − 12ab + 4b2


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Aufgabe 12:Praktisches VorgehenEine Faktorisierung erfolgt durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren und anschließenderevtl. binomischer Formeln ”ruckwarts” oder umgekehrt.

(a) x2 − 4y2 = (x− 2y) (x + 2y)

(b) 9u2 − 25v2 = (3u− 5v) (3u + 5v)

(c) (a + b) x + (a + b) y = (x + y) (a + b)

(d) (u + v) x− (u + v) y = (x− y) (u + v)

(e) ax + ay + bx + by = (x + y) (a + b)

(f) ab + 5a + 5b + b2 = (b + 5) (a + b)

(g) x2 − ax + 2x− 2a = (x + 2) (x− a)

(h) 6x2 + 3xy − 2ax− ay = (a− 3x) (−2x− y) = −(a− 3x) (2x + y)

(i) 6a2 − 15a + 2ab− 5b = (2a− 5) (3a + b)


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Aufgabe 13:Praktisches VorgehenSuchen des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen) der einzelnen Terme (Summanden/Subtrahenden)und dieses Ausklammern oder die binomischen Formeln ruckwarts anwenden.

(a) 2a2 − 4ab = 2a (a− 2b)

(b) a2b + ab2 = ab (a + b)

(c) 8a2b3 + 24ab2 = 8ab2 (ab + 3)

(d) x7y3 − 2x5y5 = x5y3(x2 − 2y2) =x5y3(x +√

2y)(x−√

2y)

(e) an+1b3 + anb4 = anb3 (a + b)

(f) an+1b2 − an−1b4 = an−1b2(a2 − b2

)=an−1b2 (a + b) (a− b)


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Aufgabe 14:Praktisches VorgehenZuerst entfernt man alle negativen Vorzeichen in den einzelnen Bruchen. Danach bringt manalle Bruche auf den Hauptnenner und fasst anschließend zusammen und kurzt - wenn moglich.

(a)12

+23− 1

4=

1 · 612

+2 · 412

− 1 · 312

=612

+812− 3

12=

1112

(b)−23

+45− 1−2

= −23

+45

+12

= −2 · 1030

+4 · 630

+1 · 1530

= −2030

+2430

+1530

=1930

(c)213− 1

26+−152

=213− 1

26− 1

52=

2 · 452

− 1 · 252

− 152

=852− 2

52− 1

52=

552

(d)−23

+−1−4

− 1 = −23

+14− 1 = −2 · 4

12+

1 · 312

− 1212

= − 812

+312− 12

12= −17

12


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Aufgabe 15:Praktisches VorgehenEs handelt sich hierbei um Additionen (Subtraktionen) von Bruchen, deshalb muss man denHauptnenner suchen. Dieser ergibt sich aus dem kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen)der jeweilig an der Summe (Differenz) beteiligten Nenner - hier muss beim Erweitern derSummanden (Subtrahenden) jedoch auf den Zahler aufgepasst werden (diesen setzt man inKlammern). Nach dem Erweitern muss der Zahler jeweils ausmultipliziert werden und es musszusatzlich auf die Vorzeichen der Zahlerklammern geachtet werden.

(a)2a− b

3− 5a− 4b

3+

18a− 27b

9=

2a− b

333− 5a− 4b

333

+18a− 27b

93(2a− b)− 3(5a− 4b) + 18a− 27b

9=

6a− 3b− 15a + 12b + 18a− 27b

9= a− 2b

(b)a− b

2+

3a + 5b

15− 2a− 7b

20+

5b + 6a

20=

910

a +1330

b

(c)4u− 5v + 8

18− 7u + 3v − 5

30+

2u− 5v − 345

=130

u− 2245

v +4990

(d)x + 5y − 7z

15+

3x + 5y − 7z

20− 2x− y + 5z

30=

320

x +3760

y − 5960

z


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Aufgabe 16:Praktisches VorgehenSeparates Faktorisieren des Zahlers und Nenners und anschließendes Kurzen.

(a)x2 + x

x2 − 1=

x(x + 1)(x + 1)(x− 1)

=x

x− 1

(b)x2 + 2x + 1

x2 + x=

(x + 1)2

x(x + 1)=

x + 1x

(c)x2 − 1ax− a

=(x + 1)(x− 1)

a(x− 1)=

x + 1a

(d)ab + b

ac + a=

b(a + 1)a(c + 1)

(e)a2 − 9

a2 − 6a + 9=

(a + 3)(a− 3)(a− 3)2

=a + 3a− 3

(f)2x2 − xy

4x2 − y2=

x(2x− y)(2x + y)(2x− y)

=x

2x + y


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Aufgabe 17:Praktisches VorgehenBestimmen Sie den Hauptnenner und vereinfachen Sie damit die Summe der Bruche auf einenBruch. Verfahren Sie danach weiter, wie in voriger Aufgabe.

(a)1

a + b− 1

a− b= −2

b

a2 − b2= 2

b

b2 − a2

(b)x + y

x− x

x + y=

y(2x + y)x(x + y)

(c)3

a + b+

6b

a2 − b2+

2a− b

=5

a− b

(d)a + 2a− 2

+a− 2a + 2

− a2 + 4a2 − 4

=a2 + 4a2 − 4

(e)u− v

u + v−

2(u2 + v2

)u2 − v2

+u2 − v2

u2 + 2uv + v2= − 4uv

u2 − v2=

4uv

v2 − u2


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Aufgabe 18:Praktisches VorgehenUmschreiben des Doppelbruchs nach der Regela

b:

c

d=

a

b· d

c=

ad

bcund dann verfahren wie in den vorigen Aufgaben.

(a)3x

x + y:

14x

7x + 7y=

3x

x + y· 7(x + y)

14x=

32

(b)4(x2 − y2)5(a2 − b2)

:2x + 2y

5a− 5b=

4(x + y)(x− y)5(a + b)(a− b)

· 5(a− b)2(x + y)

=2(x− y)

a + b

(c)9x2 + 6x + 1

2x + 1:

3x + 14x2 − 1

=(3x + 1)2

2x + 1· (2x + 1)(2x− 1)

3x + 1= 6x2 − x− 1

(d)a2 − 4b2

a2 + 4ab + 4b2:

a− 2b

a + 2b=

(a + 2b)(a− 2b)(a + 2b)2

· a + 2b

a− 2b= 1

(e)6xy − 6y2

5(x + y)2:

9x2 − 9xy

3x + 3y=

6y(x− y)5(x + y)2

· 3(x + y)9x(x− y)

=2y

5x(y + x)

(f)12x2y − 6xy

2a− 3:

10x2 − 5x

2ab− 3b=

6xy(2x− 1)2a− 3

· b(2a− 3)5x(2x− 1)

=65by


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Aufgabe 19:Praktisches VorgehenBenutzen der Potenzgesetze.

(a) 23 · 25 · 22 = 23+5+2 = 210

(b) (−2)2 · (−2)5 = (−2)2+5 = (−2)7 = −27

(c) g4 · g3 · g−5 = g4+3+(−5) = g4+3−5 = g2

(d)x2 · x−8

x3 · x−2= x2+(−8)−3−(−2) = x2−8−3+2 = x−7

(e)(

y3 · yy−1

)3

=(y3+1−(−1)

)3=(y3+1+1

)3 =(y5)3 = y15

(f)(

x−2 · xx−5 · x4

)−3

=(x−2+1−(−5)−4

)−3=(x−2+1+5−4

)−3 =(x0)−3 = x0 = 1


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Aufgabe 20:Praktisches VorgehenLosen Sie den Doppelbruch auf und fassen Sie dann Zahler und Nenner mit Hilfe der Potenz-gesetze zusammen und kurzen Sie anschließend.

(a)2√

a · b− 12

5 · 3√

x · y−1:

6 · x− 12 · y− 1

2

15 · a− 12 · b− 2

3=

2a12 ·b− 1

2

5·x 13 ·y−1

· 15 · a− 12 · b− 2

3

6 · x− 12 · y− 1

2= b−

76 x

16 y

32

(b)20 · a− 2

3 · b2

12 · x 34 · y− 1

2:

5 · x2 · y− 27

3 · 3√

a2 · b 23

=20 · a− 2

3 · b2

12 · x 34 · y− 1

2· 3 · 3

√a2 · b 2

3

5 · x2 · y− 27

= b83 x−

114 y

1114


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Aufgabe 21:Praktisches VorgehenSuchen des kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen) der einzelnen Terme (Summanden/Subtrahenden)und dieses Ausklammern.

(a) a32 · b3 + a2 · b 5

2 = a32 b

52 (√

b +√

a)

(b) x43 · y2 − 2x2 · y 5

3 = x43 y

53 (y

13 − 2x

23 )

(c) a2n · b + a

4n · bn+2

n = a2n · b(1 + a

2n · b 2

n )


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Aufgabe 22:Praktisches VorgehenZum Umschreiben einer Wurzel in eine Potenz benutzen Sie fur die Losung die folgende Formeln√

am = amn

(a) 3√

x = x13

(b) 4√

y = y14

(c)1

4√

x3=

1x

34

=x−34

(d) 7√

a + b = (a + b)17

(e) 5√

a6 = a65

(f)3

3√

x2=

3x

23

= 3x−23


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Aufgabe 23:Praktisches VorgehenVerfahren Sie wie in der vorigen Aufgabe und benutzen Sie die Potenzgesetzeam · an = am+n

am

an= am−n

(am)n = am·n

1an

= a−n

(a) 4√

a8 = a84 = a2

(b) 16√

a8n = a8n16 = a

n2

(c)(

6√

a2)3

=(a

26

)3

= a

(d)√√

a =(a

12

) 12

= a14

(e) 4√

3√

a2 =(a

23

) 14

= a16

(f)(

5

√(4√

a20))2

=((

a204

) 15)2

= a2


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Aufgabe 24:

(a)5√3

=5 ·√

3√3 ·√

3= 5

3

√3

(b)√

25

=√

2√5

=√

2 ·√

5√5 ·√

5= 1

5

√10

(c)2√2

=2 ·√

2√2 ·√

2=√

2

(d)√

3√3− 1

=√

3 · (√

3 + 1)(√

3− 1) · (√

3 + 1)=

3 +√

33− 1

=3 +

√3

2

(e)√

x−√y√

x +√

y=

(√

x−√y) · (√

x−√y)(√

x +√

y) · (√

x−√y)=

(√

x−√y)2

x− y

(f)√

5−√

32√

5− 3√

3=

(√

5−√

3) · (2√

5 + 3√

3)(2√

5− 3√

3) · (2√

5 + 3√

3)=

(√

5−√

3) · (2√

5 + 3√

3)20− 27

= −10 + 3√

15− 2√

15− 97

= −1 +√

157


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Aufgabe 25:Praktisches VorgehenAddition/Subtraktion von Wurzeln funktioniert nur, wenn die jeweiligen Radikanden gleichsind. Sind diese verschieden, so kann man den ein oder anderen Radikanden eventuell durchteilweises radizieren angleichen.

(a) 12√

3− 7√

3 = 5√

3

(b)√

8 +√

32 =√

8 +√

4 · 8 =√

8 + 2√

8 = 3√

8 = 6√

2

(c)√

36−√

25 = 6− 5 = 1

(d) 2 3√

2− 5 3√

16 = 2 3√

2− 5 3√

23 · 2 = 2 3√

2− 10 3√

2 = −8 3√

2

(e) 2√

ab−√

ab =√

ab

(f) 2 3√

a4 + 4a 3√

a = 2 3√

a3 · a + 4a 3√

a = 2a 3√

a + 4a 3√

a = 6a 3√

a


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Aufgabe 26:Praktisches VorgehenZerlegen Sie das Argument des Logarithmus in Primfaktoren und benutzen Sie anschließenddie Logarithmengesetze.

(a) ln 120 = ln(22 · 3 · 5) = 2 ln 2 + ln 3 + ln 5

(b) ln 1, 44 = ln(144100

) = ln(24 · 32

22 · 52) = ln(

22 · 32

52) = 2 ln 2 + 2 ln 3− 2 ln 5

(c) ln 0, 04 = ln(4

100) = ln(

22

22 · 52) = ln(

152

) = ln 1− 2 ln 5 = −2 ln 5


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Aufgabe 27:Praktisches VorgehenBenutzen Sie die Logarithmengesetze.

(a) ln(

b2c

ad−2

)= 2 ln b + ln c− ln a− (−2) ln d = 2 ln b + ln c− ln a + 2 ln d

(b) −3 ln r − ln p + 2 ln q = ln(

q2

r3p

)

(c) 25 lnx− 1

2 ln y = ln

(5√

x2

√y

)

(d) ln 3√

x4y2z = ln(x43 · y 2

3 · z 13 ) = 4

3 lnx + 23 ln y + 1

3 ln z

(e) ln(r√

p) = ln r + 12 ln p

(f) ln(x0) = ln 1 = 0


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Aufgabe 28:Praktisches VorgehenMit Hilfe der Potenzgesetze gleiche Buchstaben zusammenfassen und danach alphabetischsortieren.

(a) 12r3s2 · (− 23rs3t4) = −8r4s5t4

(b) (−2a2b3)(− 25a3b2) =

45a5b5

(c) (−x)2n+1 · (−3) · (−x)n−2 · (−x)2 = −3 (−x)3n+1


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Aufgabe 29:Praktisches VorgehenLosen Sie nach x auf, in dem Sie die passenden Regeln der Algebra (Aquivalenzumformungen)anwenden und den Definitionsbereich der Variablen x und y festlegen und anschließend kon-trollieren, fur welche y uberhaupt eine Losung existiert.

(a) 13x + 1 = 4− 1

2yDefinitionsbereich: x, y ∈ R13x = 3− 1

2y=⇒ x = 9− 3

2yEs existiert eine Losung fur y ∈ R.

(b) x− 1 =1y

+ 2

Definitionsbereich: x ∈ R, y 6= 0

=⇒ x =1y

+ 3

Es existiert nur eine Losung fur y 6= 0.

(c)2x

=3y

+14

Definitionsbereich: x 6= 0, y 6= 01x

=32y

+18

=⇒ x =1

32y

+18

=8y

y + 12

Es existiert nur eine Losung fur y ∈ R \ {0;−12}.

(d)5x− 3

y= 7

Definitionsbereich: x 6= 0, y 6= 01x

=35y

+75

=⇒ x =1

35y

+75

=5y

7y + 3

Es existiert nur eine Losung fur y ∈ R \ {0;− 73}.

(e)12x

+13y

=13x− 1

5y+ 2

Definitionsbereich: x 6= 0, y 6= 0Multiplikation mit 3015x

+10y

=10x− 6

y+ 60

5x

= −16y

+ 60

1x

= −165y

+ 12

=⇒ x =1

−165y

+ 12=

5y

60y − 16

Es existiert nur eine Losung fur y ∈ R \ {0; 415}.

(f)23x− 3

4y=

32x

+43y− 4

3Definitionsbereich: x 6= 0, y 6= 0Multiplikation mit 128x− 9

y=

18x

+16y− 16

−10x

=25y− 16

1x

= − 52y

+85

=⇒ x =1

− 52y

+85

=10y

16y − 25

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Es existiert nur eine Losung fur y ∈ R \ {0; 2516}.


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Aufgabe 30:Praktisches VorgehenFolgender Merksatz ist sicherlich jedem gelaufig:”Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich”Was bedeutet dies nun konkret bei der Termumformung?Die Strategie besteht darin, die gesuchte Große Schritt fur Schritt durch Umformungen zuisolieren. Dabei beginnt man mit der ”schwachsten Rechenart” (Addition/Subtraktion) zuerst,folgend mit der ”Multiplikation/Division”, dann mit der ”Potenz/Wurzel”.Eine Klammer besitzt die starkste Wirkung auf eine gesuchte Große, diese wird erst zumSchluß bearbeitet.

(a) Losen Sie nach t und a auf.v = v0 − at

Auflosen nach tv = v0 − at | + at | − vat = v0 − v | : a

t =v0 − v

a

Auflosen nach a

t =v0 − v

a| · a | : t

a =v0 − v

t

(b) Losen Sie nach t auf.s = 1

2gt2 | · 2 | : g

t2 =2s

g| √

t = ±√

2s

gDie negative Losung macht physikalisch keinen Sinn.

(c) Losen Sie nach a auf.m1g + m1a−m2g + m2a = 0Ausklammern von a und g liefert(m1 −m2)g + (m1 + m2)a = 0 | − (m1 −m2)g(m1 + m2)a = −(m1 −m2)g = (m2 −m1)g | : (m1 + m2)

a =m2 −m1

m1 + m2g

(d) Losen Sie nach x auf.

mBL

2= mM(L− x) + mB(

L

2− x)

Asumultiplizieren der Terme

mBL

2= mML−mMx + mB

L

2−mBx

Ausklammern von x

mBL

2= mML− (mM + mB)x + mB

L

2| + (mM + mB)x | −mB

L

2(mM + mB)x = mML−mB

L

2+ mB

L

2︸︷︷︸=0

(mM + mB)x = mML | : (mM + mB)x =

mM

mM + mBL

(e) Losen Sie nach a auf.

(m1 + m2)a = (m2 −m1)g −J

r2a | +

J

r2a

(m1 + m2)a +J

r2a = (m2 −m1)g

Ausklammern von a

(m1 + m2+J

r2)a = (m2 −m1)g | : (m1 + m2+

J

r2)

a =m2 −m1

m1 + m2 +J

r2

g

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(f) Losen Sie nach x auf.12m1v

21 + 1

2m2v22 = 1

2cx2 + 12 (m1 + m2)v2

E | · 2m1v

21 + m2v

22 = cx2 + (m1 + m2)v2

E | −(m1 + m2)v2E

m1v21 + m2v

22 − (m1 + m2)v2

E = cx2 | : cm1v

21 + m2v

22 − (m1 + m2)v2

E

c= x2 | √

x = ±√

m1v21 + m2v

22 − (m1 + m2)v2

E

c

(g) Losen Sie nach p2, V1 und κ auf.p1V

κ1 = p2V

κ2

Auflosen nach p2

p1Vκ1 = p2V

κ2 | : V κ

2

p1

(V1

V2

)κ

= p2

Auflosen nach V1

p1Vκ1 = p2V

κ2 | : p1

V κ1 =

p2

p1V κ

2 | hoch 1κ

V1 = V2

(p2

p1

) 1κ

Auflosen nach κp1V

κ1 = p2V

κ2 | : V κ

2 | : p1(V1

V2

)κ

=p2

p1| ln

κ · ln(

V1

V2

)= ln

(p2

p1

)| : ln

(V1

V2

)

κ =ln(

p2

p1

)ln(

V1

V2

)(h) Losen Sie nach A2 auf.

∆p = 12ρv2

1

(A2

1

A22

− 1)

| : 12ρv2

1

2∆p

ρv21

=A2

1

A22

− 1 | + 1

2∆p

ρv21

+ 1 =A2

1

A22

| ·A22(

2∆p

ρv21

+ 1)

A22 = A2

1 | :(

2∆p

ρv21

+ 1)

A22 =

A21

2∆p

ρv21

+ 1| √

A2 = ±

√√√√√ A21

2∆p

ρv21

+ 1= ±A1

√√√√√ 12∆p

ρv21

+ 1

Die negative Losung macht physikalisch keinen Sinn.


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Aufgabe 31:

(a) (x5 + 12x4 − 2x3 − x2 + x + 1

2 ) : (x + 12 )

Mit Hilfe des Horner-Schemas

Koeffizienten 1 12 −2 −1 1 1

2

x0 = − 12 1 0 −2 0 1 0 =⇒ f(− 1

2 ) = 0

Das Ergebnis ist also(x5 + 1

2x4 − 2x3 − x2 + x + 12 ) : (x + 1

2 ) = x4 − 2x2 + 1

(b) Fehlendes Linearglied mit Leerplatz auffullen - der Ubersichtlichkeit halber.(4x5 − 6x4 − 3x3 + 4x2 − 1

):(x2 − x− 1

)= 4x3 − 2x2 − x + 1

− 4x5 + 4x4 + 4x3

− 2x4 + x3 + 4x2

2x4 − 2x3 − 2x2

− x3 + 2x2

x3 − x2 − x

x2 − x− 1− x2 + x + 1

0

Das Ergebnis ist also(4x5 − 6x4 − 3x3 + 4x2 − 1) : (x2 − x− 1) = 4x3 − 2x2 − x + 1

(c) (2x4 + 2√

2 x3 − x2 + (1−√

2) x +√

2) : (x +√

2)Mit Hilfe des Horner-Schemas

Koeffizienten 2 2√

2 −1 1−√

2√

2

x0 = −√

2 2 0 −1 1 0 =⇒ f(−√

2) = 0

Das Ergebnis ist also(2x4 + 2

√2 x3 − x2 + (1−

√2) x +

√2) : (x +

√2) = 2x3 − x + 1


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Aufgabe 32:Praktisches VorgehenAls sehr hilfreich ist die Darstellung der jeweiligen Intervalle am Zahlenstrahl empfohlen.

(a) (−2; 5] ∩ [3; ∞) = [3; 5]

(b) (−2; 2] ∪ (2; 8) ∪ [3; 9) = (−2; 9]

(c) (−∞; −3] ∩ (−1; 4] Intervalle schneiden sich nicht


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Aufgabe 33:Praktisches VorgehenMan unterscheidet grundsatzlich 3 Sorten von NullstellenEinfachnullstelleSchnittpunkt mit der x-Achse und keine waagrechte TangenteDoppelnullstelle (auch Vierfach-, Sechsfachnullstelle, ...)Beruhrpunkt mit der x-Achse (Hoch- oder Tiefpunkt auf der x-Achse)Dreifachnullstelle (auch Funffach-, Siebenfachnullstelle, ...)Schnittpunkt mit der x-Achse und waagrechter Tangente (Sattelpunkt - Wendepunkt mitwaagrechter Tangente)

Des Weiteren unterscheidet man zwischen algebraischen und geometrischen Nullstellen:Algebraische Nullstellen sind Losungen der Nullstellengleichung - diese konnen auch mehr-fach sein.Geometrische Nullstellen sind die tatsachlichen Orte, wo das Schaubild die x-Achse schnei-det oder beruhrt.Beispiel: Eine Doppellosung der Nullstellengleichung liefert zwei algebraische Nullstellen abernur eine geometrische Nullstelle.Eine Doppel- und eine Dreifachnullstelle liefern zusammen funf algebraische Nullstellen abernur zwei geometrische Nullstellen.Eine Funktion f(x) vom Grad n kann hochstens n algebraische Nullstellen besitzen. DieseFunktion ist in Linearfaktoren zerlegbar genau dann, wenn die Anzahl der algebraischen Null-stellen genau gleich dem Grad n ist.f(x) = a0 + a1x + ... + anxn mit ai ∈ R (i = 0, 1, 2, ..., n), n ∈ N0 (ganzrationale Funktion)Die Linearfaktorzerlegung lautet dannf(x) = an · (x− x1) · (x− x2) · ... · (x− xn), wobei x1, x2, ..., xn algebraische Nullstellen sind.

(a) f(x) = x3 − 13x + 12x3 − 13x + 12 = 0Diese Gleichung hat die Losungenx1 = −4, x2 = 1, x3 = 3 (Prufen Sie dies selbstandig mit dem Horner-Schema nach.)Die Linearfaktorzerlegung lautetf(x) = (x + 4) (x− 1) (x− 3)

1 2 3 4−1−2−3−4

10

20

30

40

50

−10

−20

−30

−40

−50

x

y

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(b) f(x) = x3 − 3x2 − 5x + 15x3 − 3x2 − 5x + 15 = 0Diese Gleichung hat die Losungenx1 = 3, x2 =

√5, x3 = −

√5 (Prufen Sie dies selbstandig mit dem Horner-Schema

nach.)Die Linearfaktorzerlegung lautetf(x) = (x− 3)

(x−

√5) (

x +√

5)

1 2 3 4−1−2−3−4

5

10

15

20

25

−5

−10

−15

−20

−25

x

y

(c) f(x) = x3 − 4x2 − 4x + 16x3 − 4x2 − 4x + 16 = 0Diese Gleichung hat die Losungenx1 = −2, x2 = 2, x3 = 4 (Prufen Sie dies selbstandig mit dem Horner-Schema nach.)Die Linearfaktorzerlegung lautetf(x) = (x + 2) (x− 2) (x− 4)

1 2 3 4−1−2−3−4

5

10

15

20

25

−5

−10

−15

−20

−25

x

y

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(d) f(x) = 3x3 − 9x2 − 18x + 243x3 − 9x2 − 18x + 24 = 0Diese Gleichung hat die Losungenx1 = −2, x2 = 1, x3 = 4 (Prufen Sie dies selbstandig mit dem Horner-Schema nach.)Die Linearfaktorzerlegung lautetf(x) = 3 (x + 2) (x− 1) (x− 4)

1 2 3 4−1−2−3−4

10

20

30

40

50

−10

−20

−30

−40

−50

x

y

(e) f(x) = x3 + 9x2 + 23x + 15x3 + 9x2 + 23x + 15 = 0Diese Gleichung hat die Losungenx1 = −5, x2 = −3, x3 = −1 (Prufen Sie dies selbstandig mit dem Horner-Schemanach.)Die Linearfaktorzerlegung lautetf(x) = (x + 5) (x + 3) (x + 1)

1 2−1−2−3−4−5−6

5

10

15

20

25

−5

−10

−15

−20

−25

x

y

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(f) f(x) = − 16x3 + 1

2x2 + 53x− 4

− 16x3 + 1

2x2 + 53x− 4 = 0

Diese Gleichung hat die Losungenx1 = −3, x2 = 2, x3 = 4 (Prufen Sie dies selbstandig mit dem Horner-Schema nach.)Die Linearfaktorzerlegung lautetf(x) = − 1

6 (x + 3) (x− 2) (x− 4)

1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

x

y

(g) f(x) = 2x4 − 4x3 − 50x2 + 100x2x4 − 4x3 − 50x2 + 100x = 0Diese Gleichung hat die Losungenx1 = −5, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 5 (Prufen Sie dies selbstandig mit dem Horner-Schemanach.)Die Linearfaktorzerlegung lautetf(x) = 2x (x + 5) (x− 2) (x− 4)

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

100

200

300

400

500

−100

−200

−300

−400

−500

x

y


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Aufgabe 34:Praktisches VorgehenDie x-Koordinate des Scheitels einer Parabel f(x) = ax2 + bx + c (mit a 6= 0, sonst keineParabel) liegt bei

xs = − b

2aund die y-Koordinate des Scheitels bei f(xs) = ys = c− b2

4a

(a) f(x) = 14x2 − 1

2x− 34

xs = −− 1

2

2 · 14

= 1

ys = f(xs) = 14 −

12 −

34 = −1

S(1/− 1)

(b) f(x) = 34x2 + 3x− 5

4

xs = − 32 · 3

4

= −2

ys = f(xs) = 34 (−2)2 + 3(−2)− 5

4 = − 174

S(−2/− 174 )

(c) f(x) = − 12x2 + x + 4

xs = − 12 · (− 1

2 )= 1

ys = f(xs) = − 12 + 1 + 4 = 9

2S(1/ 9

2 )


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Aufgabe 35:Praktisches VorgehenDie x-Koordinate des Scheitels einer Parabel f(x) = x2 + bx + c liegt bei

xs = − b

2und die y-Koordinate des Scheitels bei f(xS) = ys = c− b2

4

(a) S(0/ys)

xs = 0 = − b

2=⇒ b = 0

ys = 3

(b) S(−1/ys)

xs = −1 = − b

2=⇒ b = 2

ys = 2

(c) S( 43/ys)

xs = 43 = − b

2=⇒ b = − 8

3

ys = 239


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Aufgabe 36:Praktisches VorgehenAusmultiplizieren liefert den Grad und Gradfaktor und ist eine gute Ubung, um die Algebrazu wiederholen.

(a) f(x) = 12x(x−2)(8− x) = − 1

2x3 + 5x2 − 8xGrad 3, Gradfaktor − 1

2Nullstellenx1 = 0, x2 = 2, x3 = 8

(b) f(x) = −2(x2 + 1)(2+x)(x− 2) = −2x4 + 6x2 + 8Grad 4, Gradfaktor −2Nullstellenx1 = −2, x2 = 2

(c) f(x) = 3x2(x2 + 4)(x− 1) = 3x5 − 3x4 + 12x3 − 12x2

Grad 5, Gradfaktor 3Nullstellenx1,2 = 0, x3 = 1


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Aufgabe 37:Echt gebrochenrational bedeutet, dass der Zahlergrad n kleiner als der Nennergrad m ist.

Nullstellen bei x1 = 2 und x2 = 3 liefert ein Zahlerpolynom (x− 2)(x− 3)x3 = 5 als Pol mit VZW und x4 = −3 als Pol ohne VZW liefert ein Nennerpolynom (x −5)(x + 3)2

Eine mogliche Funktionsgleichung lautet damit

f(x) =(x− 2)(x− 3)(x− 5)(x + 3)2


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Aufgabe 38:

(a) f(x) = −2(x− 1)2(x + 1)

x2 − xmit D = R \ {0; 1}

Faktorisieren des Nenners

f(x) = −2(x− 1)2(x + 1)

x(x− 1)= −2

(x− 1)(x + 1)x

Die Nennernullstelle x1 = 1 hat sich herausgekurzt und damit ist an dieser Stelle einehebbare Stetigkeitslucke (ein Loch im Schaubild)An der verbleibenden Nennernullstelle x2 = 0 ist ein Pol mit VZWEinfache Nullstellen der Funktion bei x3 = −1 und (x4 = 1 Lucke)Ausmultiplizieren und kurzen liefert die schiefe Asymptote (Polynomdivision ist damitnicht erforderlich)

f(x) = −2x2 − 1

x= −2x +

2x

Somit ist die Gerade y = −2x schiefe Asymptote.Skizze

1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

�

x

y

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(b) f(x) =x3

x2 − 4mit D = R \ {−2; 2}

Faktorisieren des Nenners

f(x) =x3

(x− 2)(x + 2)An den Nennernullstellen x1,2 = ±2 ist jeweils ein Pol mit VZWEine Dreifachnullstelle (Sattelpunkt) der Funktion bei x3 = 0Polynomdivision liefert die schiefe Asymptote

f(x) =x3

x2 − 4= x +

4x

x2 − 4Somit ist die Gerade y = x schiefe Asymptote.Skizze

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

2

4

6

8

10

−2

−4

−6

−8

−10

x

y

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(c) f(x) = 1 +2x

x2 − 1mit D = R \ {−1; 1}

Man sieht bereits, dass y = 1 waagrechte Asymptote ist.Erweitern mit dem Hauptnenner

f(x) =x2 − 1x2 − 1

+2x

x2 − 1=

x2 + 2x− 1x2 − 1

Bestimmung der Nullstellen der Funktion

x2 + 2x− 1 = 0 =⇒ x1,2 =−2±

√4 + 4

2= −1±

√2

Zwei einfache NullstellenBestimmung der Nullstellen des Nennersx2 − 1 = 0 =⇒ x3,4 = ±1Dort ist jeweils ein Pol mit VZWSkizze

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

x

y


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Aufgabe 39:Praktisches VorgehenDie Definition des Betrags lautet:

|a| ={

a fur a ≥ 0−a fur a < 0

Danach skizziert man die entstehenden Teilfunktionen in ihrem jeweiligen Teilintervall.

(a) y = |2x− 3| ={

2x− 3 fur 2x− 3 ≥ 0−2x + 3 fur 2x− 3 < 0 =

{2x− 3 fur x ≥ 3

2−2x + 3 fur x < 3

2

1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

x

y

(b) y = |−3x + 5| − 4 ={−3x + 1 fur −3x + 5 ≥ 03x− 9 fur −3x + 5 < 0 =

−3x + 1 fur x ≤ 5

33x− 9 fur x >

53

1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

x

y

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(c) y = |−x− 3| − |2x + 3| − 4Diese Funkton besitzt zwei Betrage, der linke Betrag wird Null fur x1 = −3, der rechteBetrag wird Null fur x2 = − 3

2Das Argument des linken Betrags wird positv fur x ≤ −3,das Argument des linken Betrags wird negativ fur x > −3,das Argument des rechten Betrags wird positiv fur x ≥ −3

2 ,das Argument des rechten Betrags wird negativ fur x < − 3

2Daraus ergibt sich die betragsfreie Darstellung zu

y = |−x− 3| − |2x + 3| − 4 =

−x− 4 fur x ≥ −32

3x + 2 fur −3 < x < − 32

x− 4 fur x ≤ −3

1 2 3 4−1−2−3−4

2

4

6

8

10

−2

−4

−6

−8

−10

x

y


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Aufgabe 40:

(a) f∗(x) = ex − 3g∗(x) = x2 − 3h∗(x) = sin x− 3

(b) f∗(x) = ex−4

g∗(x) = (x− 4)2

h∗(x) = sin(x− 4)

(c) f∗(x) = ex−2 + 3g∗(x) = (x− 2)2 + 3h∗(x) = sin(x− 2) + 3


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Aufgabe 41:

(a) Es muss gelten fur alle h:f(a + h) = f(a− h) mit a = 2 und f(x) = x2 − 4x + 1f(2 + h) = f(2− h)(2 + h)2 − 4(2 + h) + 1 = (2− h)2 − 4(2− h) + 1Binomische Formeln ausmultiplizieren4 + 4h + h2 − 8− 4h + 1 = 4− 4h + h2 − 8 + 4h + 1Zusammenfassenh2 − 3 = h2 − 3 immer erfullt.

(b) Es muss gelten fur alle h:12 (f(a + h) + f(a− h)) = b mit a = 1 und b = 1 und f(x) = x3 − 3x2 + 3x12 (f(1 + h) + f(1− h)) = 1f(1 + h) + f(1− h) = 2(1 + h)3 − 3(1 + h)2 + 3(1 + h) + (1− h)3 − 3(1− h)2 + 3(1− h) = 2Potenzen ausmultiplizieren (a± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

1+3h+3h2 +h3−3(1+2h+h2)+3+3h+1−3h+3h2−h3−3(1−2h+h2)+3−3h = 21+3h+3h2 +h3− 3− 6h− 3h2 +3+3h+1− 3h+3h2−h3− 3+6h− 3h2 +3− 3h = 2Zusammenfassen der linken Seite2 = 2 immer erfullt


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Aufgabe 42:

(a) f∗(x) = 2b− f(x) mit b = 2f∗(x) = 4− f(x)f∗(x) = 4− (x2 + 2x + 3) = −x2 − 2x + 1

(b) f∗(x) = f(2a− x) mit a = −1f∗(x) = f(−2− x)f∗(x) = (−2− x)2 + 2(−2− x) + 3 = x2 + 2x + 3

(c) f∗(x) = 2b− f(2a− x) mit a = 2 und b = −2f∗(x) = −4− f(4− x)f∗(x) = −4− ((4− x)2 + 2(4− x) + 3) = −x2 + 10x− 31


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Aufgabe 43:Praktisches VorgehenDie gemischtquadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0, sonst nicht quadratisch)

hat die Losungen x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a

Die gerade quadratische Gleichung ax2 + c = 0 (a 6= 0, sonst nicht quadratisch) hat

die Losungen x1,2 = ±√− c

afur ac < 0

(a und c haben unterschiedliches Vorzeichen) und ist unlosbar fur ac > 0 (a und c habengleiches Vorzeichen)

Die quadratische Gleichung ohne Absolutglied ax2 + bx = 0 (a 6= 0, sonst nicht qua-

dratisch) hat die Losungen x1 = 0, x2 = − b

a

(a) 14x2 − 1

2x− 34 = 0

Gemischtquadratische GleichungMultiplikation mit dem Hauptnenner HN = 4 lasst die Bruche verschwinden und liefertx2 − 2x− 3 = 0 Mitternachtsformel liefert

x1,2 =2±

√4 + 122

=2± 4

2=⇒ x1 = 3, x2 = −1

(b) − 27x2 + 3 = 0

Gerade quadratische GleichungAuflosen nach x2 liefertx2 = 21

2 =⇒ x1,2 = ±√

212

(c) 4x2 − 2x = 0Quadratische Gleichung ohne AbsolutgliedAusklammern von x liefert mit dem Satz vom Nullproduktx(4x− 2) = 0 =⇒ x1 = 0, x2 = 1

2


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Aufgabe 44:Praktisches VorgehenEine quadratische Gleichungen besitztkeine Losung, wenn der Radikand (Diskriminante) D = b2 − 4ac < 0eine Losung, wenn der Radikand (Diskriminante) D = b2 − 4ac = 0zwei Losungen, wenn der Radikand (Diskriminante) D = b2 − 4ac > 0ax2 − 4x + 2 =0

Bestimmung der DiskriminanteD = 16− 8akeine Losung, wenn 16− 8a < 0, also a > 2eine Losung, wenn 16− 8a = 0, also a = 2zwei Losungen, wenn 16− 8a > 0, also a < 2


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Aufgabe 45:Praktisches VorgehenWahlen Sie eine geeignete Substitution und losen Sie die daraus entstehende quadratischeGleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel. Danach substituieren Sie wieder zuruck.

(a) x4 − 13x2 + 36 = 0Substitution: x2 = zz2 − 13z + 36 = 0z1 = 4, z2 = 9Rucksubstitutionx2 = z1 = 4 =⇒ x1,2 = ±2x2 = z2 = 9 =⇒ x3,4 = ±3

(b) 9x4 − 85x2 + 36 = 0Substitution: x2 = z9z2 − 85z + 36 = 0z1 = 4

9 , z2 = 9Rucksubstitutionx2 = z1 = 4

9 =⇒ x1,2 = ± 23

x2 = z2 = 9 =⇒ x3,4 = ±3

(c) 16x8 − 257x4 + 16 = 0Substitution: x4 = z16z2 − 257z + 16 = 0z1 = 1

16 , z2 = 16Rucksubstitutionx4 = z1 = 1

16 =⇒ x1,2 = ± 12

x4 = z2 = 16 =⇒ x3,4 = ±2

(d)(x3 + 2

)2 + 3(x3 + 2

)− 18 = 0

Substitution: x3 + 2 = zz2 + 3z − 18 = 0z1 = −6, z2 = 3Rucksubstitutionx3 + 2 = z1 = −6 =⇒ x3 = −8 =⇒ x1 = −2x3 + 2 = z2 = 3 =⇒ x3 = 1 =⇒ x2 = 1


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Aufgabe 46:

(a)8

2x− 4+

242x + 4

=92

(x− 2)(x + 2)Der Definitionsbereich ist: D = R \ {−2; 2}Die obige Bruchgleichung umgeschrieben

4x− 2

+12

x + 2=

92(x− 2)(x + 2)

Multiplikation mit dem Hauptnenner HN = 2(x− 2)(x + 2) 6= 0 liefert8(x + 2) + 24(x− 2) = 9 ⇐⇒ 8x + 16 + 24x− 48 = 932x = 41x1 = 41

32 ∈ D

(b)3x

x + 1+

5x

= 3

Der Definitionsbereich ist: D = R \ {0;−1}Multiplikation mit dem Hauptnenner HN = x(x + 1) 6= 0 liefert3x2 + 5(x + 1) = 3x(x + 1) ⇐⇒ 3x2 + 5x + 5 = 3x2 + 3x2x = −5x1 = − 5

2 ∈ D

(c)3

x + 2+

2x− 2

= − 12x2 − 4

Der Definitionsbereich ist: D = R \ {−2; 2}Multiplikation mit dem Hauptnenner HN = (x− 2)(x + 2) 6= 0 liefert3(x− 2) + 2(x + 2) = −12 ⇐⇒ 3x− 6 + 2x + 4 = −125x = −10x1 = −2 /∈ DKeine Losung

(d)b(a− 2x)

ax+

a

b=

a(a− x)bx

Der Definitionsbereich ist: D = R \ {0} und die Forderung a 6= 0, b 6= 0Multiplikation mit dem Hauptnenner HN = abx 6= 0 liefertb2(a− 2x) + a2x = a2(a− x) ⇐⇒ ab2 − 2b2x + a2x = a3 − a2xx(−2b2 + 2a2) = a3 − ab2

2x(a2 − b2) = a(a2 − b2)

1. Fall: a2 − b2 = 0 ⇐⇒ |a| = |b| 6= 0x ∈ R \ {0} ∈ D

2. Fall: a2 − b2 6= 0 ⇐⇒ |a| 6= |b| und a 6= 0, b 6= 0x1 =

a

2∈ D


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Aufgabe 47:Praktisches VorgehenMit der Definition des Betrags ergibt dies Fallunterscheidungen. Diese lost man separat undvereinigt deren Losungsmengen zur Gesamtlosung.

(a) |x|+ 3x = 8

1. Fall: D1 = {x ∈ R | x ≥ 0}4x = 8 =⇒ x1 = 2 ∈ D1

2. Fall: D2 = {x ∈ R | x < 0}2x = 8 =⇒ x2 = 4 /∈ D2

Die Gesamtlosung ist: x1 = 2

(b) |2x− 1|+ 1 = |6− x|

Diese Gleichung besitzt zwei Betrage, der linke Betrag wird Null fur x1 = 12 , der rechte

Betrag wird Null fur x2 = 6Das Argument des linken Betrags wird positv fur x ≥ 1

2 ,das Argument des linken Betrags wird negativ fur x < 1

2 ,das Argument des rechten Betrags wird positiv fur x ≤ 6,das Argument des rechten Betrags wird negativ fur x > 6Daraus ergeben sich die folgende Fallunterscheidungen

1. Fall: D1 = {x ∈ R | x < 12}

−(2x− 1) + 1 = 6− x ⇐⇒ −2x + 1 + 1 = 6− xx1 = −4 ∈ D1

2. Fall: D2 = {x ∈ R | 12 ≤ x ≤ 6}

2x− 1 + 1 = 6− x ⇐⇒ 3x = 6x2 = 2 ∈ D2

3. Fall: D3 = {x ∈ R | x > 6}2x− 1 + 1 = −(6− x) ⇐⇒ 2x = −6 + xx3 = −6 /∈ D3

Die Gesamtlosung ist: x1 = −4, x2 = 2

(c) |x + 2| − 3 = 2 · |4− x|

Diese Gleichung besitzt zwei Betrage, der linke Betrag wird Null fur x1 = −2, derrechte Betrag wird Null fur x2 = 4Das Argument des linken Betrags wird positv fur x ≥ −2,das Argument des linken Betrags wird negativ fur x < −2,das Argument des rechten Betrags wird positiv fur x ≤ 4,das Argument des rechten Betrags wird negativ fur x > 4Daraus ergeben sich die folgende Fallunterscheidungen

1. Fall: D1 = {x ∈ R | x < −2}−(x + 2)− 3 = 2(4− x) ⇐⇒ −x− 5 = 8− 2xx1 = 13 /∈ D1

2. Fall: D2 = {x ∈ R | − 2 ≤ x ≤ 4}x + 2− 3 = −2(4− x) ⇐⇒ x− 1 = −8 + 2xx2 = 7 ∈ D2

3. Fall: D3 = {x ∈ R | x > 4}x + 2− 3 = 2(4− x) ⇐⇒ x− 1 = 8− 2xx3 = 3 ∈ D3

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Die Gesamtlosung ist: x1 = 3, x2 = 7


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Aufgabe 48:

(a) 2√

x− 1 = −4 + 2xDefinitionsbereich: x ≥ 1Quadrieren der Gleichung liefert4(x− 1) = (−4 + 2x)2

Zusammenfassen unter Berucksichtigung der Binomischen Formel4x− 4 = 16− 16x + 4x2

Sortieren4x2 − 20x + 20 = 0 | : 4

x2 − 5x + 5 = 0 =⇒ x1,2 =5±

√25− 202

x1 = 52 + 1

2

√5 = 3, 62 ∈ D

x2 = 52 −

12

√5 = 1, 38 ∈ D

Probe mit x1 ist erfullt.Probe mit x2 ist nicht erfullt.

(b)√

x + 1 = 2√

1− xDefinitionsbereich: x ≥ −1 ∧ x ≤ 1 =⇒ −1 ≤ x ≤ 1Quadrieren der Gleichung liefertx + 1 = 4(1− x)Zusammenfassenx + 1 = 4− 4x | + 4x | − 15x = 3 =⇒ x1 = 3

5 ∈ DProbe mit x1 ist erfullt.


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Aufgabe 49:

(a) 5 sinx− 2 = 3Isolieren des Sinus-Termssinx = 1Die Losungen sindxk = (2k + 1)π

2

(b) 2 cos(2x− 3) = −3Isolieren des Cosinus-Termscos(2x− 3) = − 3

2Diese Gleichung ist unlosbar, da der Cosinus eines beliebigen Arguments immer zwischen−1 und +1 liegt.

(c) sinx− cos x = 0sinx = cos x | : cos x 6= 0tanx = 1Die Losungen sindxk = π

4 + k · π

(d) sin2 x + 2 sinx = −1Die Substitution sinx = z liefert die quadratische Gleichungz2 + 2z + 1 = 0 =⇒ z1,2 = −1Rucksubstitutionsinx = −1Die Losungen sindxk = 3π

2 + k · 2π


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Aufgabe 50:

(a) e3x = 2Logarithmieren3x = ln 2 =⇒ x1 = 1

3 ln 2 ≈ 0, 23

(b) e2x−1 = 4Logarithmieren2x− 1 = ln 4 =⇒ x1 = 1

2 (ln 4 + 1) ≈ 1, 19

(c) 2ex2= 6

Isolieren des e-Termsex2

= 3Logarithmierenx2 = ln 3 =⇒ x1,2 = ±

√ln 3 ≈ ±1, 05

(d) −3e−x+5 = 3Isolieren des e-Termse−x+5 = −1 nicht losbar, da eg(x) > 0

(e) ex(1− ex) = 0Mit dem Satz vom Nullprodukt folgtex = 0 nicht losbar1− ex = 0 ⇐⇒ ex = 1 =⇒ x1 = 0

(f) 2e2x − ex = 0Ausnutzen der Potenzgesetze2(ex)2 − ex = 0Substitution z = ex liefert folgende quadratische Gleichung2z2 − z = 0 ⇐⇒ z(2z − 1) = 0Satz vom Nullprodukt liefertz1 = 0 Rucksubstitution ex = 0 keine Losungz2 = 1

2 Rucksubstitution ex = 12 =⇒ x1 = ln 1

2 = − ln 2 = −0, 693


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Aufgabe 51:

(a) ln(2x) = −2Definitionsmenge: 2x > 0 =⇒ x > 0Erheben zur e-ten Potenz (Exponieren zur Basis e)eln(2x) = e−2

Anwenden der Logarithmen- und Potenzgesetze2x = 1

e2 =⇒ x1 = 12e2 ≈ 6, 77 · 10−2

(b) ln(3− x) = 1Definitionsmenge: x < 33− x = e =⇒ x1 = 3− e ≈ 0, 28

(c) ln(ex) = −3Definitionsmenge: x ∈ RAnwenden der Logarithmengesetzex = −3

(d) lnx− 2 ln(x2) = 3Definitionsmenge: x > 0Anwenden der Logarithmengesetzelnx− 4 ln x = 3 ⇐⇒ −3 ln x = 3lnx = −1 =⇒ x1 = e−1 = 1

e ≈ 0, 37

(e) lnx(lnx− 1) = 0Definitionsmenge: x > 0Satz vom Nullproduktlnx = 0 =⇒ x1 = e0 = 1lnx = 1 =⇒ x2 = e

(f) ln(1

x− 1) = 2

Definitionsmenge: x > 11

x− 1= e2 ⇐⇒ 1 = e2(x− 1)

1 = e2x− e2

Auflosen nach x

e2x = 1 + e2 =⇒ x1 =1 + e2

e2≈ 1, 14


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Aufgabe 52:Praktisches VorgehenBei Ungleichungen ist darauf zu achten, dass sich bei Multiplikation/Division mit einer nega-tiven Zahl das Ungleichungszeichen umdreht.Bei Bruchungleichungen ist bei Durchmultiplizieren des Nenners auf dessen Vorzeichen zuachten und eine Fallunterscheidung notwendig.

(a) 4x− 3 < 3 (x + 1)Der Definitionsbereich ist: D = R4x− 3 < 3x + 3x < 6

(b) x2 − 15 < (x + 5)2

Der Definitionsbereich ist: D = Rx2 − 15 < x2 + 10x+25−10x < 40x > 4

(c) 2(x2 − 16

)> 2x2 + 14x− 4

Der Definitionsbereich ist: D = R2x2 − 32 > 2x2 + 14x− 4−14x > 28x < −2

(d)2x− 22x + 2

≤ 2

Der Definitionsbereich ist: D = R \ {−1}

1. Fall: D1 = {x ∈ R | x < −1} (Nenner ist negativ)2x− 2 ≥ 2(2x + 2) ⇐⇒ 2x− 2 ≥ 4x + 4−2x ≥ 6x ≤ −3 ∈ D1

2. Fall: D2 = {x ∈ R | x > −1} (Nenner ist positiv)2x− 2 ≤ 2(2x + 2) ⇐⇒ 2x− 2 ≤ 4x + 4−2x ≤ 6x ≥ −3 dies geschnitten mit dem Definitionsbereich D2

x > −1

Die Gesamtlosung ist: (−1,∞) ∪ (−∞,−3]


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Aufgabe 53:Praktisches VorgehenDie Losung einer quadratischen Ungleichung erhalt man am einfachsten mit Hilfe der soge-nannten grafischen Methode. Dazu erzeugt man auf der rechten Seite des Ungleichheitszei-chens eine Null (durch Addition/Subtraktion der Terme der rechten Seite). Die neue linkeSeite definiert man als eine quadratische Funktion f(x) (also eine Parabel). Diese ist sehrleicht zu skizzieren, indem man die moglichen Nullstellen und den Scheitel berechnet. Danachentscheidet man, welcher x-Achsenbereich die Ungleichung erfullt.

(a) x2 − 3x− 4 > 0Man definiert die Funktion f(x) = x2 − 3x− 4 (nach oben geoffnet) und sucht denje-nigen Bereich, bei dem die Funktion f(x) oberhalb der x-Achse liegt. Hierzu bestimmtman die Nullstellen f(x) = 0x2 − 3x− 4 = 0x1 = −1, x2 = 4Die Losung obiger Ungleichung ist damit:L = {x ∈ R | (−∞,−1) ∪ (4,∞)}

(b) 12x2 + x ≤ 4Umschreiben liefert12x2 + x− 4 ≤ 0Man definiert die Funktion f(x) = 1

2x2 + x − 4 (nach oben geoffnet) und sucht denje-nigen Bereich, bei dem die Funktion f(x) unterhalb oder auf der x-Achse liegt. Hierzubestimmt man die Nullstellen f(x) = 012x2 + x− 4 = 0x1 = −4, x2 = 2Die Losung obiger Ungleichung ist damit:L = {x ∈ R | [−4, 2]}


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Aufgabe 54:

[1] 2x1− x2 = 0[2] x1 +2x2 + x3 = 2 [1]− 2 · [2][3] 3x1 +2x2 +2x3 = 1 3 · [2]− [3]

[4] 2x1− x2 = 0[5] − 5x2− 2x3 = − 4[6] 4x2− x3 = 5 4 · [5] + 5 · [6]

[7] 2x1− x2 = 0[8] − 5x2− 2x3 = − 4[9] − 3x3 = 9

x3 = −3 → x2 = 2 → x1 = 1Das LGS ist eindeutig losbar mitx1 = 1, x2 = 2, x3 = −3 J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 55:

[1] x1 + x2 + x3 = 1[2] 2x1− x2 +4x3 = 5 2 · [1]− [2][3] x1 +4x2− x3 = − 2 [1]− [3]

[4] x1 + x2 + x3 = 1[5] 3x2− 2x3 = − 3[6] − 3x2 +2x3 = 3 [5] + [6]

[7] x1 + x2 + x3 = 1[8] 3x2− 2x3 = − 3[9] 0x3 = 0

x3 = 3α → x2 = −1 + 2α → x1 = 2− 5αDas LGS hat unendlich viele Losungen mitx1 = 2− 5α, x2 = −1 + 2α, x3 = 3α J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 56:

[1] 2x1− 4x2 + x3 = − 3[2] x1 + 6x2− 4x3 = 0 [1]− 2 · [2][3] 4x1− 8x2 +2x3 = − 5 2 · [1]− [3]

[4] 2x1− 4x2 + x3 = − 3[5] − 16x2 +9x3 = − 3[6] 0x3 = − 1

Widerspruch in Zeile [6]!Das LGS hat keine Losung. J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 57:Es reichen zwei der drei Gleichungen um die Koeffizientenmatrix auf Dreiecksgestalt zu brin-gen.

[1] 4x1− 3x2 = 5[2] x1 + x2 = 3 [1]− 4 · [2][3] 6x1− x2 = 11

[4] 4x1− 3x2 = 5[5] − 7x2 = − 7[6] 6x1− x2 = 11

x2 = 1 → x1 = 2Probe mit dritter Zeile liefert: 6 · 2− 1 · 1 = 11 ist wahr.Das LGS ist eindeutig losbar mitx1 = 2, x2 = 1 J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 58:Es reichen drei der vier Gleichungen um die Koeffizientenmatrix auf Dreiecksgestalt zu brin-gen.

[1] x1 + 2x2− 3x3 = 4[2] 2x1 + 4x2− 6x3 = 8 2 · [1]− [2][3] 3x1 + 6x2− 9x3 = 12 3 · [1]− [3][4] − 5x1− 10x2 +15x3 = − 20

[5] x1 + 2x2− 3x3 = 4[6] 0x3 = 0[7] 0x3 = 0[8] − 5x1− 10x2 +15x3 = − 20

x3 = 3α → x2 = β → x1 = 4 + 3α− 2βProbe mit letzter Zeile liefert:−5(4 + 3α− 2β)− 10β + 15α = −20ist wahr.Das LGS hat unendlich viele Losungen mitx1 = 4 + 3α− 2β, x2 = β, x3 = α J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 59:Es reichen drei der vier Gleichungen um die Koeffizientenmatrix auf Dreiecksgestalt zu brin-gen.

[1] x1 +2x2 +3x3 = 5[2] − 2x1− 4x2− 6x3 = − 2 2 · [1] + [2][3] 3x1− 2x2 +5x3 = 1 3 · [1]− [3][4] − x1− 2x2− 3x3 = 1

[5] x1 +2x2 +3x3 = 5[6] 0x3 = 8[7] 3x1− 2x2 +5x3 = 1[8] − x1− 2x2− 3x3 = 1

Widerspruch in Zeile [6]! (Jede weitere Rechnung erspart sich)

Das LGS hat keine Losung. J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 60:Es kann keine vollstandige Dreiecksgestalt erreicht werden. Es kann keine eindeutige Losunggeben.

[1] x1− 3x2 + 7x3 + x4 = 5[2] 2x1− x2− 6x3 = − 2 2 · [1]− [2]

[3] x1− 3x2 + 7x3 + x4 = 5[4] − 5x2 +20x3 +2x4 = 8

x4 = 5α → x3 = 5β → x2 = − 125 + 2α + 20β → x1 = − 11

5 + α + 25βDas LGS hat unendlich viele Losungen:x1 = − 11

5 + α + 25β, x2 = − 125 + 2α + 20β, x3 = 5β, x4 = 5α J zuruck zur Aufgabe

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Aufgabe 61:Es kann keine vollstandige Dreiecksgestalt erreicht werden. Es kann keine eindeutige Losunggeben.

[1] 4x1− 2x2 +3x3 = 5[2] − 8x1 +4x2− 6x3 = − 3 2 · [1] + [2]

[3] 4x1− 2x2 +3x3 = 5[4] 0x3 = − 3

Widerspruch in Zeile [4]!Das LGS hat keine Losung.Vektoren J zuruck zur Aufgabe

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Aufgaben und L'osungen - AcroTeX · 2008-09-11 · Vollbild > < > Beenden 1.6. Logarithmengesetze Aufgabe 26. Zerlegen Sie in Logarithmen von Primzahlen. (a)