Goethe-Universitat FrankfurtInstitut fur MathematikWintersemester 2017/2018

Elementarmathematik IProf. Dr. Annette WernerRosemarie Martienssen

Aufgaben zur Vertiefung

Aufgabe 1. Richtig oder falsch?

(i) Jede Abbildung ist entweder injektiv oder surjektiv

(ii)n∑

k=0

15k

= 15

+ 125

+ . . . + 15k

(iii) In der 3-adischen Entwicklung entspricht [112]3 der Zahl 14 im Dezimalsys-tem

(iv) Sei ∼ eine Aquivalenzrelation auf einer Menge M . Wenn fur m1,m2 ∈ Mgilt, dass m1 ∼ m2, dann gilt fur die Aquivalenzklassen [m1] = [m2]

(v) 42 ≡ 6 mod 12

(vi) Es gibt keine Zahl z ∈ Z, welche ein multiplikatives Inverses in Z besitzt.

(vii) |x− y| ≥ |x| − |y| fur rationale Zahlen x und y

(viii) Sei x = 0, 5 und ε = 13. Dann ist 2

3∈ Uε(x).

(ix) Wenn eine Zahl unendlich viele Nachkommastellen ungleich Null besitzt,dann ist es keine rationale Zahl.

(x) Die Folge (an)n∈N mit an = 2 fur alle n ∈ N ist eine Cauchy-Folge.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Abbildung

f : Q\{1} → Q

definiert durch

f(x) =2x− 4

x− 1

injektiv ist. Wie muss man den Wertebereich wahlen, damit f sogar bijektiv ist?Bestimmen Sie fur diesen Fall die Umkehrabbildung.

Keine Abgabe! Die Aufgaben werden nicht in den Tutorienvorgerechnet. Losungen werden Mitte Januar online gestellt.

Aufgabe 3. Zeigen Sie mit vollstandiger Induktion, dass fur alle n ∈ N gilt:

n∑k=1

4k3 − 6k2 + 4k − 1 = n4.

Aufgabe 4. Im Hexadezimalsystem (16-adische Entwicklung), werden oft die ers-ten Buchstaben unseres Alphabetes verwendet, um die Zahlen großer als 9 alsZiffern darzustellen. Eine Hexadezimalzahl wird also dargestellt als

[bnbn−1 . . . b1b0]16 =n∑

i=0

bi · 16i

mit bi ∈ {0, 1, . . . , 9, A,B, . . . , F}, wobei A = 10, B = 11, . . . , F = 15. Es ist zumBeispiel 46 = [2E]16.

(i) Berechnen Sie jeweils die Hexadezimaldarstellung der Zahlen (angegeben imDezimalsystem) 255, 256 und 4077.

(ii) Berechnen Sie jeweils die Dezimaldarstellung der Zahlen [1A]16, [123]16 und[BAD]16

(iii) Berechnen Sie die Summe der Zahlen aus ii) und bleiben Sie dabei im Hexa-dezimalsystem

Aufgabe 5. Sei M = {a, b, c, d, e}. Welche der folgenden Mengen definieren eineAquivalenzrelation auf M?

(i) R1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e)}

(ii) R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f)}

(iii) R3 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, c), (d, d), (e, e)}

(iv) R4 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (e, e)}

(v) R5 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (d, d)(e, e)}

(vi) R6 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (c, b), (c, c), (d, d)(e, e)}

(vii) R7 = M ×M

Aufgabe 6. (i) Entscheiden Sie ohne Verwendung elektronischer Hilfsmittel,welche der Zahlen 1234567, 172436 und 364127 ohne Rest durch 11 teilbarist.

2

(ii) Bestimmen Sie alle ganzen Zahlen n, welche die drei folgenden Bedingungenerfullen:

−10 ≤ n ≤ 20, n ≡ 2 mod 5, n ≡ 1 mod 3

Aufgabe 7. (i) Sei (fn)n∈N die Folge der Fibonacci-Zahlen, d.h. f1 = 1, f2 = 1und die restlichen Folgenglieder fur n > 2 werden rekursiv definiert durchfn+1 = fn + fn−1. Zeigen Sie mit vollstandiger Induktion, dass fur alle n ∈ Nmit n ≥ 2 gilt:

n∑k=1

(fk)2 = fn · fn+1

(ii) Sei (an)n∈N eine Folge mit an ∈ Q\{0}, die gegen ein a ∈ Q\{0} konvergiert.Es handelt sich also um eine Folge rationaler Zahlen, deren Folgenglieder alleungleich Null sind und die gegen eine rationale Zahl ungleich Null konver-giert. Wo findet sich im Skript der Beweis dafur, dass dann auch die Folge(a−1n )n∈N in Q konvergiert und der Grenzwert gerade a−1 ist?

(iii) Konvergiert die Folge (an)n∈N mit

an =(7 (−1)n

n+ 4)(15− 2−n2

n3 )

(3− 5n)(1000000

n+ 10)

,

und falls ja, wie lautet der Grenzwert?

Aufgabe 8. Seien c1, . . . , cl, b1, . . . , bk ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. Dann definieren wir dengemischt-periodischen Dezimalbruch durch

0, c1, . . . , cl, b1, . . . , bk :=l∑

i=1

ci · 10−i + 10−l · 0, b1, . . . , bk.

Berechnen Sie die Darstellung von

0, 0681

als vollstandig gekurzten Bruch.

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