XXXIV. Band 1965 n . Buffer: Axialsymmetrisches Ausknicken kreisfSrmiger Verbundplatten 385

Axialsymmetrisches Ausknicken kreisffrmiger Verbundplatten Von H. Bufler

1. Einleitung. In ahnlicher Weise, wie die Drucks tab i l i t a t rechteckiger Verbundpla t t en beim ebenen Verzerrungszustand untersucht wurde ~, soft in der vorl iegenden Arbei t das axia lsymmetr ische Ausknicken kreisfSrmiger Verbundpla t t en behandel t werden. Dabei zeigen sich bemerkenswerte Parallelen. Man unterscheidet auch hier zwei H a u p t a r t e n der Ins tabil l t / i t : Das langwellige Knicken der P la t t e im Ganzen und das kurzwellige, weitgehend selbstgndige Knicken der di innsten Schichten. Das E in t re ten der einen oder anderen Ar t ist abhangig yon den Abmessungen der einzelnen Schichten und ihren elastischen Eigenschaften. Das Schichtmater ia l wird jeweils als homogen, isotrop und l inearelast isch vorausgesetzt .

2. Grundgleiehungen der Theorie 2. Ordnung fiir eine Einzelschicht. Wie an anderer Stelle nach- gewiesen wurde 2, bes teht zwischen dem Spannungstensor K as im ausgelenkten Zustand, dem

0 urspri inglichen Vorspannungstensor T;.s im Grundzus tand und dem Zusatzspannungstensor t;'s sowie dem ,tom Grund- zum Nachbarzus tand fi~hrenden Verschiebungsvekto~ v ~ folgender, zuerst yon H. Neuber a vorgeschlagener Zusammenhang :

0 0 0 0 K~.~ = T ~ - - v% T " - - ~i~ T~,~ + T~,% v~ § t ~ . (1)

Spezialisiert man auf Zyl inderkoordina ten r, ~, y, so erh~lt man mi t den Christoffelschen Symbolen 2. Ar t

] F ~ = - ~ , F ~ = F ~ = - -

F

(die iibrigen sind Null) sowie mit dem station~iren Vorspannungstensor

T n 0 0

o 0

T &~ = 0 T 2~"

0 0

unter Besehrfinkung auf einen axia lsymmetr i schen Verzerrungszustand folgende Beziehungen:

o ( to } g 11 : ( 1 - - 2 v~l ) r 11 § t 11 ; g 22 = 1 - - --- v 1 T e2 @ t 22 ; K aa = t aa ; r ( 1 ' )

0 K l a = - v a T n § la" K 1 2 = K ea 0

Nach Umrechnung der bisher be t rach te ten mathemat i schen Komponenten gem/iB I I , Ziff. 6 ergeben sich mi t dem metr ischen Fundamenta l t ensor [10 ]

g;~/, = 0 r 2

0 0

folgende nichtverschwindende physikal ische Komponen ten

0 0 / K r = T @ g r ; K ~ = T + ~ q ~ ; K y = a y ;

0 (2) K~-- ~VT+~. K~ - ~ " ~ §

,/Y

I / I,

Abb. 1. Spammngskomponenten i m ausgelenkten Zus tand (r und y s ind kSrperfeste Koordinaten).

Dabei bedeuten K~ die Umfangsspannung, KT, Ky, KTy, Ky~ die Spannungskomponenten gemM~ Abb. 1, at, %, gy, T = Try = -Vy~ die Zusatzspannungen, ferner tt bzw. v die Radial- bzw. Axialver-

0 schiebung. T ist die am P la t t en rand r = a gleichmaBig angreifende Radia lspannung.

H. Bufler, Ing.-Archiv 34 (1965) S. 109 (kfinftlg zitiert nlit I). 2 H. Bufler, Acta Mechanica 1 (1965) S. 282 (kiinftig zitiert mit II). a H. Neuber, Z. angew. Math. Mech. 33 (1953) S. 286.

386 It. Buffer: Axialsymmetrisches Ausknicken kreisfSrmiger Verbundplatten Ingenieur-Archiv

Der Ansatz

(ry(r,y) l ~(Y) ~_y(y) } 7;(r,y) =~(Y) I Ky(r, y) , = Kr(y ) Jo ()' r) ; Ky,(r, y) = K y,(y)~ J~ (2 r) (3)

v(r, y) u(r, y) ~(y) ] mit Jo (}' r) und J1 (~, r) als den Besselschen Funktionen nullter und erster Ordnung ermSglicht die Reduktion des Problems in den zwei unabh~ngigen Variablen r u n d y auf ein solches allein in y . Der Parameter ~ ~ wird dabei erst durch die Randbedingungen bei r = a festgelegt. Aus (2) und (3) erh/ilt man so folgenden Zusammenhang fiir eine beliebige Schicht k der Verbundplat te (Abb. 2)

1 0 - -S* Kyr mit • E k ~ (4)

L- ,A 0 0 1 oder in symbolischer Schreibweise

= ~/z q . (4')

Insbesondere gilt fiir die R/inder k und k -- 1 der Schicht k

r~ = ~tk qk ; r~_~ = 9tk q ~ - ~ . (5)

Man bezeiehnet aus einem sp~ter ersiehtliehen Grund

als Zustandsvektor der Theorie 1. bzw. 2. Ordnung. In (4) bedeuten

o 1 - - v k o

S = -- Ek - T k (6)

0 die durch die am Rand r = a der Schicht k gleichm/il]ig angreifende Iladialspannung T/z erzeugte Radialstauchung, v/z die Querdehnzahl und E/z den Elastizit/itsmodul, ferner

die den Spannungen dimensionsgleieh gemaehten Versehiebungen mit E* als Bezugselastizit/its- modul und h* als Bezugsdieke sowie

E~* = ~ , ; Z* = Z h* . (8)

Da die Zusatzspannungen und die mit ihnen verkniipften Verschiebungen den Gleichungen der Elastizit~tstheorie 1. Ordnung geniigen 2' a, kSnnen ihre LSsungen unmittelbar herangezogen werden. Man iiberzeugt sich leicht an Hand der Arbeit 5, dab der Ansatz (3) fiir ~, z, u, v zusammen mit dem Ansatz qS(r,y) = q3(y) Jo (A r) fiir die Lovesehe Versehiebnngsfunktion zu denselben Beziehungen ffir die iiberstrichenen GrSgen fiihrt, wie sie dort fiir die Hankel-Transformierten erhalten wurden. Mithin kann fiir die Zusatzgriigen die in der Theorie 1. Ordnung vorliegende Lgsnng direkt iiber- nommen werden. Sie liefert folgenden, durch die Feldmatr ix 9i/z vermit tel ten Zusammenhang zwischen den Zustandsvektoren der Theorie 1. Ordnung ~:/z und r/z-1 an den R~ndern der Schicht k

r/z = N/z r/z_1 �9 (9)

Setzt man r/z und r/z_1 gem/ig (5) ein, so ffihrt die Linksmultiplikation dieser Gleiehung mit ~ zu folgender Beziehung zwisehen den in der Theorie 2. Ordnung maBgebenden Zustandsvektoren q/z und qk-1

q/z = ~k q/z--i, (10) wobei

(~/z = })t~ ~ 91/z ~/z (11)

die Feldmatrix der Theorie 2. Ordnung repr/isentiert.

4 Eine Verwechslung mit dem Index }, in (1) ist wohl ausgeschlossen. 5 H. Bufler, Xng.-Archiv 31 (1962) S. 229.

XXXIV. Band 1965 H. Buffer: Axialsymmetrisches Ausknicken kreisfSrmiger Verbundplatten 387

Wie aus meiner friiheren Arbeit 5 hervorgeht, sind die Feldmatrizen 9J k des ebenen und axial- symmetrischen (torsionsfreien) Verzerrungszustandes einander gleich. Aufterdem stimmt die Transformationsmatrix ~k nach (4) mit jener iiberein, die beim ebenen Verzerrungszustand in I

0 ben(itigt wird, sofern man dort die Stauchung S ersetzt durch S/1 - -vk . Folglich unterscheidet sich die in der Theorie 2. Ordnung maBgebende Feldmatrix ~1~ der durch gleichmiiBigen radialen AuBendruck beanspruchten kreisf(irmigert Platte yon jener durch einachsigen Druck beanspruchten,

0 an den unbelasteten Riindern freien Rechteckplatte lediglich dadurch, daft im ersten Fall S/1 -- v k anstelle yon S im zweitert Falle steht. Die Matrix ~k sowie ihre Spezialisierungen (~ k und (~)~k fiir die diinne und die dicke Schicht kSnnen also unmittelbar aus der Arbeit I iibernommea werden, desgleichen die hieraus abgeleiteten A'Matr izen @~, (0)@~ und ( ~ ) ~ .

3. Die Kniekbedingung fiir die Verbundplatte. Eine aus beliebig vielen Schichten bestehende Verbundplatte (Abb. 2) sei am Rande r = a so belastet, dab sich fiir jede Schicht dieselbe Stau-

0 chung S ergibt.

o E k T,~-- 1 - - vl~

Umfangs

Nach (6) wirkt dana auf die k-te Schicht mit der Dicke h k die Randspannung 0 S, und auf die gesamte Verbundplatte die Druckkraft pro L/ingeneinheit des

N 0 0 N P X Tkhk E~ = -- --~ S X - - - - h k . (12)

k = l k = l 1 - - ~)k

I

I r - j I / ~

t | F I r r

Abb. 2. Aus N Schlchten bestehende kreisffrmige Verbundplatte.

Die Knickgleichung folgt aus den homogenen Randbedingungen an den Deckfliichen. Bei voll- kommenem Verbund der einzelnen Schichten muB der Zustandsvektor an den Ubergangsfliichen stetig sein. Man erhalt dann zwischen den Zustandsvektoren an den Deckfliichen den Zusammen- hang

qN ----- (~ qo (13)

mit @ = ~ N - 1 . . . ~1 als iJbertragungsmatrix. Sind beide Deckfliichen frei (Ky o =- Ky, o = Ky~

28

388 H. Buffer: Axialsymmetrisches Ausknicken kreisfSrmiger Verbundplatten Ingenieur-Archlv

-~ Ky ~N ---- 0), so lau te t mi thin die Knickbedingung

C13 C14 ~ 0 ;

C23 C24 0

aus ihr ist der Eigenwert S (in Abhfingigkeit von 2) zu ermit teln. Es k6nnen hier auf Grund der Fests te l lungen der Ziff. 2 die Ergebnisse yon I (dort Ziff. 4ff.)

di rekt f ibernommen werden, wenn man zweierlei beach te t : Ers tens t r i t t an die Stelle yon S in den 0

Feldmatr izen ~k bzw. ~ - M a t r i z e n ~ der Ausdruek S/1 - - v k und zweitens ist ~ in I festgelegt durch

n ( l i s t die Plattenl~inge bei gelenkiger Lagerung an den druekbeanspruchten Seiten~ ~=~'~ - - l - n ~ 1, 2 . . . . ), wfihrend hier~ abhfingig von den Randbedingungen bei r = a, ~ andere Wer te an-

0 n immt. Die Best immung des Eigenwertes S als Funk t ion yon ~ geschieht also ebenso wie in I. Auf die Ermi t t lung yon X wird im folgenden eingegangen.

a) , , E i n s p a n n u n g " l~ings d e s U m f a n g s . Beim [3bergang vom Grundzus tand in die aus- gelenkte Lage diirfen am Rand r - - - -a keine Radialverschiebungen auftreten. Die Bedingung t t r = a ~ - 0 ist nach (3) fiir a l l e y nur erfiillt, wenn dl (~ a) ---- 0 oder

(.a) j~ ~ = 0 (14)

ist. Aus (2) folgt dann in Verbindung mit (3) K~y = 0 fiir r = a, d. h. der Rand r = a mug reibungs- frei gelagert sein. Die Bedingung (14) liefert folgende Wer te 6 yon 2" :

,,t,, h~ ( 1 0,151982 0,015399 ) ------=a n-~ 4 4 n q - 1 ~-(~n~) ~ . . . . (n - - - -1 ,2 . . . . ) . (15)

Beispielsweise ergibt sich fiir eine einzelne diinne P la t te nach I , GI. (28) mi t h* = h

0 S _ 2 *~ (16)

1 -- v 12 (1 -- v 2)

und mit ~ ---- 3,8317 h/a schlieBlich das bekannte Ergebnis von Nddai 7

0

S - - 12 (1 -~ v)

i

Abb. 3. L/ings des Umfangs ,,eingespannte" krcisf6rmigc Drcischichtplatte untcr radialcr Druckbcanspruchung.

Als weiteres Beispiel sei eine dreischichtige P la t te nach Abb. 3 mi t dem Dickenverh/i l tnis hl/h 2 ----0,04, dem Verh/iltnis der Elas t iz i t / i t smoduln E1/E 2 ----700 und den Querdehnzahlen vl ---- v2 ~- v ---- 0,3 bet rachte t . Die in I, Abb. 7 gegebene Kurve S = S0,* ) kann wegen ~1 ----- v~ ---- sofort i ibernommen werden; sie ist in Abb. 4 wiedergegeben. I s t hl/a ---- 10 -~, so folgt aus (15) mi t

0 h* ~- h 1 der Wer t )~* = 3,832 hl/a • 3,832 �9 10 -~ und man erhiilt aus Abb. 4 S ---- 4,30 �9 10 -3 als kri t ische Stauchung, sowie nach (12)

0

P = 2 E ~ h ~ E~-~ = 1 ' 2 7 2 ' 1 0 -~E~h~

als kri t isehe Druekkraf t pro L~ingeneinheit des Umfangs. Betrfigt dagegen hl/a = 3 �9 10 -3, so wird 0

~.* = 1,150. 10 -~ und der dazugehSrige Eigenwert S = 8 , 7 5 . 1 0 -8. Die kri t isehe Stauehung in diesem Fal l ist jedoeh kleiner und stell t sieh in der Niihe von~.* = 0,167 ein. Diesem Wer t entspr ieht

6 Jahnke-Emde-Ldsch, Tafeln hSherer Funktionen, 6. Aufl.; Stuttgart i960. ~ C. B. Biezeno und R. Grammel, Teehnisehe Dynamik Bd. 1, 2. Aufl.; S. 654; Berlin-G6ttingen-Heidelberg

1953.

X X X I V . Band 1965 t~. Buffer: Axialsymmetrisches Ausknicken kreisfSrmiger Verbundplatten 389

0

die Wellenzahl n --~ 18. Die dazugehSrige Stauchung bzw. Druckkraft betr/igt S = 5,55 �9 10 a bzw. P = 1,643 �9 10 -2 Ex h r Bei h~/a =- 10 -~ liegt also eine langwellige (n = 1), bei h~/a = 3 . 1 0 -a eine kurzwellige (n = 18) Knickform vor.

b) , , G e l e n k i g e " L a g e r u n g I / ings des U m f a n g s . Liegt der Rand r = a frei auf, so gilt dort fiir jede Schicht k

0 Out" { a o Kq~(a, y~) = T~ ; K,.y~(a, y~) = ~Y~'~ ~ , y~) T~ ," 0 =< y~, :< h~.

In Verbindung mit (2) folgt dann

cr~(a, y~) = 0 ; ~ ( a , y~) = 0 ; 0 < y~ < h~.

Im allgemeinen ist es nicht m6glich, diese Bedingungen fiir atle Werte y~ zu erfiillen ; man begniigt sich dann hei nicht zu dicken Verbundplatten im Sinne yon De'Saint Venant mit der alleinigen Forderung, dab das Moment, welches durch die beim tJbergang yore Grund- zum Nachbarzustand geweckten Spannungen a~ am Rand r = a erzeugt wird, verschwindet

h k

Z (y~ § Ilk ~) arn(a, y~) dy~ = O. (17) k = l

0

Dabei ist k

Hk = 2 : h ~ ; H 0 = 0 . i = l

,~/l-v

r162 , - - lg~'- ~0-3 lO-z r

Abb. 4. Die kr i t i sche S tauchung als F u n k t i o n yon ~* f i i r die Dre i sch ich tp la t t e gendig Abb. 3 m i t h,l'h ~ = 0,04~ E~/E._, = 700, v~ = v2 = v = 0,3 (a) ffir /h/a = 10 -a, (b) f i i r h~/a = 3 . 1 0 -3.

Der fiir ark(r , Yk) maBgebende Ausdruck lautet nach 5 bei Beriicksichtigung yon (4)

~r~( r, Yk) -- J1 (2 r) ), r ( X k ( Y k ) -[- Y o (/~ r ) / ~ k ( Y k ) ( 1 8 )

mit den Abkiirzungen 1 /2 ~ - =

ak(Yk) -- 2 (1 - vk) [ Y k | Kzk_ 1 § [(3 -- 4,k) Gil~)~yk § Kzrk_ 1

E k 2 h

E~,~ h* § ~ ~/[(1 -- 2 vk) Gin 2 Yk + 2 Yk @D! 2 Yk]

1 § o } + ~ S [(3 -- 4 ~'k) Ghl 2 yk + ,~ y~ ~ ! 2 Yk]~ ~'-~ ; (19 a)

28*

390 H. Buffer: Axialsymmetrisches Ausknicken kreisfSrmiger Verbundplatten Ingexfieur-Archiv

1 / - = f ik(Yk)- 2(1 vk) t(2rk~012Y~+2Yk| KY~-~+[(3--2vk)~irt2Yk-}-2Yk~012Y~]KY~-~

$ r162 $ /

Ek~h Ek;~ h ( (~in § ~ (2~oI2y~ § 2yk | 2y~) u~_t + ~ \ 2y~+2yk~oI2y~)

1 + [(3 2 + 2 y~ (~o[ 2 y~]> ~'-l} (19b) +- i - - - ~ ~ - ~) | 2 y~0

Durch Einsetzen yon (18) in (17) erh/~lt man die Gleichung, die zur Bestimmung der 2-Werte dient:

~)~a) A(2) -- Jo (2 a) B(2) -- 0. (20)

Hierin bedeutet h k h k

arf [ . (Yk -~ Hk-1)~k(Yk)dfk; B(2) = ~T~ : (Yk ~- H,~_l){~a(Y~)dyk" (21) A(2) k=i J k=i J

0 0

Auf Grund der homogenen Randbedingungen an den Deckfliichen 0 und N lassen sich die 0

Eigenwerte S(2) und die augerdem in (19) benftigten Eigenzustandsvektoren qk-1 (bis auf einen konstanten Faktor) errechnen. Dies geschieht so, wie es in I ausfiihrlieh dargestellt wurde. Aus (20) ergeben sich schlieBlich diejenigen 2-Werte, die der Bedingung (17) geniigen. Nachtraglich kann dann erst festgestellt werden, welehem dieser 2-Werte die kleinste und damit kritische Stauehung zugeordnet ist.

Zum Beispiel lautet fiir eine einzelne, an den Deckflachen freie Schicht der kleinste Eige~twert

o 1 -- v ~il1 2h -- ~ h S - - 1 + v (1 -- 2v)~in~h-[- ),h'

Damit wird der Eigenzustandsvektor an der Stelle 0

{ 1-- ~ I 2 h }

und (19) spezialisiert sich mit E* =

a(y) -- 1 @ v (1 -- 2v) ~in,~ h + 2 h

~* ~ h

E u n d h * = h a u l

{(1 -- ~o f 2 h) [2 (1 -- v) @o f 2 y + 2 y ~ in 2 y]

-~ [2 (1 --v) ~ i n 2 h - -2h] ~ i n 2 y + ~ i n 2 h 2 y ~ o I 2 y } ;

{(1 -- Eo i 2 h) [2 ~ol 2 y -4- 2 y ~ i n 2 y]

+ (2 ~in 2 h -- 2 h) ~in 2 y + | 2 h 2 y Eo 12 y}.

Man erkennt, dab fiir verschwindende Querdehnung (~ = 0) die Beziehung a(y) = fl(y) besteht. In diesem Sonderfall wird nach (18) at(a, y) ----- 0 fiir alle y-Werte, falls 2 der Gleichung

J~ (2 a) ~ - = & ( 2 ~ )

geniigt.

Andererseits folgt fiir eine diinne Schicht ((2 h) 2 ~ 1) nach Reihenentwicklung die Beziehung c~ = (1 -- v)/3; auch hierfiir wird (rT(a, y) = O, sofern 2 eine Wurzel der Gleichung

(1 , Ji (Z a) --v)-).a = d ~ (22)

ist. Die kleinste Wurzel betr/igt fiir v = 0,3

2 a ~ 2 h. a/h = 2,0487 .

Ihr entspricht nach (16) der hierfiir bekannte Weft fiir die kritische Stauchung

(2h) 2 4,1972 ( h ) 2 ---- (1 -- V) 12(1~ ~2) -- 12 (1 + v)

XXXIV. Band 1965 H. Buffer : Axialsymmetrisches Ausknicken kreisfSrmiger Verbundplatten 391

bzw. fiir dic kritischc Druckkraft pro L~ingencinheit des Umfangs 7

0 S 4,1972 • h 3

P - - E h ~ - 1 -- v 12 ( 1 - - V 2 ) " a 2 "

Im Iangwelligen Knickfall ((2 I t )Z< 1) einer mehrschiehtigen Verl)undplatte sind Ky, Ky~, u* bzw. ~* yon der GrSBenordnung (2 h) a, (2 h) 8, 2 h bzw. I. Beriieksiehsigt man dieses in (19) und und eJitwiekelt in eine Taylor-Reihe, yon der nut das erste Glicd beibehalten wird, so kommt man zur Beziehung c~1,(yk) = (1 - vk) [Jk(Yk)" Die Bedingung ~7rk(a~yh) -- 0 fiihrt dann fiir gleiche Querdehnzahlen ~'I, -~ v wieder zur GI. (22); sit gilt daher auch fiir eine mehrsehichtige Platte, falls v 1 = r 2 . . . . . v ist.

h* Im kurzwelllgen Knickfall (n >~ 1) liefert sowohl (15) als auch (22) 2* ~ a - Z n ; die Randbe-

dingungen bei r = a sind hier also praktisch bclanglos.

4. Zusammenfassung, Die Knickkr/ifte yon kreisf6rmigen, aus beliebig vielen Schichten beste- henden Verbundplatten lassen sich bei axialsymmetrischer Verformung auf/ihnliche Weise berechnen wie diejenigen yon rechteckigen, einachsig belasteten Verbundplatten beim ebenen Verzerrungs- zustand. Die dort bereitgestellten Matrizen, welche zur Ermit t lung der kritischen Stauchung als Funkt ion des Parameters 2 ben6tigt werden, k6nnen unmittelbar iibernomlnen werden. In beiden Fallen sind j edoch die 2-Werte verschieden; sie ergeben sich auf Grund der Bedingungen, die l~ings der Berandung r -~ const vorgeschrieben sind. Die Theorie erfaBt sowohl das langwellige Knicken der Plat tc im Ganzen als auch das kurzwellige, weitgehend selbst~indige Knicken der d['mnsten Schichten.

(Eingegangen am 7. April 1965.)

Anschrift des Verfassers: Privatdozent Dr.-Ing. H. Btlfler, Technisclxe Hochschule Mfinchen, 8 Miinchen 2, Arcisstr. 21.