Basiswissen 10. Klasse - mathematik.chg-traunstein.demathematik.chg-traunstein.de/index_htm_files/Basiswissen10.pdf · Erklärung: Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen

1. Berechnungen an Kreisen und Dreiecken

Erklärung:

In einem Kreis mit Radius r legt der Mittelpunktswinkel a den Kreisbogen mit der Länge b und einen Kreissektor As fest.Wird der Mittelpunktswinkel a k-mal so groß, so werden auch die Länge von b und der Flächeninhalt von As k-mal so groß. Daraus folgt: b ∼ a! ! ! ! ! As ∼ aZusammengefasst:

⇒ Bogenlänge ⇒ Kreissektor

Basiswissen 10. Klasse

1 Basiswissen 10. Klasse David Jobst

r: Radiusa: MittelpunktswinkelAs: Kreissektorb: Kreisbogen

b2rπ

= α360°

As

r2π= α360°

b = 2πα360°

= απ180°

AS =α360°

⋅r2π

Erklärung von Grad- und Bogenmaß:

Das Verhältnis zwischen Bogenlänge b und Radius r ist für jeden Mittelpunktswinkel konstant. Deshalb kann man mit diesem Verhältnis auch einen Winkel beschreiben. Für das Bogenmaß des Winkels gilt:

Beachte: Das Bogenmaß ist immer eine reelle Zahl.

Das Gradmaß des Winkels wird als bezeichnet. Daraus folgt:

→

Wichtige Winkel in Grad- und Bogenmaß:

αDEG 360° 270° 180° 90° 60° 45° 30°

α RAD 2π 32π π π

2π3

π4

π6

Erklärung:

Das Kreissegment K‘ ist gekennzeichnet durch die grün schraffierte Fläche und wird begrenzt durch die Sehne s und den zugehörigen Kreisbogen b. Die Berechnung des Kreissegments K‘ lautet in diesem Fall:

K ' = AS − ADreieck


r: Radiusa: MittelpunktswinkelAs: KreissektorK‘: Kreissegmentb: Kreisbogens: Sehne

α RAD

π= αDEG

180°

α

α RAD

α RAD = br

α

α αDEG

α RAD = αDEG

180°⋅π

2. Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Definition Einheitskreis: Ein Einheitskreis ist ein Kreis, der einen Radius mit der Länge 1 hat und dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Erklärung:

sin(α ) = APOP

= AP1

= AP

cos(α ) = OAOP

= OA1

=OA

Hat der Punkt P die Koordinaten P(x/y), so gilt:

AP = y ; OA = x Insgesamt ergibt sich:

Sinus Vorzeichen in Abhängigkeit von :


sin(α ) = AP = y → sin(α ) = y

cos(α ) =OA = x → cos(α ) = x

α

Kosinus Vorzeichen in Abhängigkeit von :

Die Längen der waagrechten Strecken entsprechen jeweils cosa !

Sinus- und Kosinuswerte:Es lassen sich die Sinus- und Kosinuswerte für jeden Winkel bestimmen, indem man den gegebenen Winkel auf einen spitzen Winkel (0° < a < 90°) zurückführt (Sup-plementbeziehungen). Dabei ist aber besonders auf die Vorzeichenregelung zu ach-ten!

Wichtige Winkel:α 0° 30° 45° 60° 90°

sin(α ) 0 12

122 1

23 1

cos(α )1 1

23 1

23 1

20

Beispiel Sinus:


sin(135°) = sin(180°−135°) = sin(45°) = 22

sin(135°) = sin(45°) = 22

α

Beispiel Kosinus:

cos(135°) = −cos(45°) = − 22

Allgemein gilt:

Supplementbeziehungen (für 0° < a < 90°):

sin(180°−α ) = +sin(α )cos(180°−α ) = −cos(α )

sin(180° +α ) = −sin(α )cos(180° +α ) = −cos(α )

sin(360°−α ) = −sin(α )cos(360°−α ) = +cos(α )

Beachte: Der TR gibt immer nur einen möglichen Winkel an. Eventuell ist es nötig, mit Hilfe der obigen Beziehungen den zur Aufgabe passenden Winkel zu erschließen! Dabei ist auch auf die passende Einstellung am TR zu achten, d.h. für das Gradmaß DEG/D und für das Bogenmaß RAD/R!


3. Berechnungen an beliebigen Dreiecken

Sinussatz:

Kosinussatz:

4. Sinus- und Kosinusfunktionen

Die Sinuskurve ist der Graph der Funktion f : x! sin(x) (mit x ∈").


a2 = b2 + c2 − 2 ⋅b ⋅c ⋅cos(α )

b2 = a2 + c2 − 2 ⋅a ⋅c ⋅cos(β )

c2 = a2 + b2 − 2 ⋅a ⋅b ⋅cos(γ )

Diese Verhältnisse gelten in beliebigen Dreiecken. Kennt man drei Werte eines Verhältnisses, kann man den vierten be-rechnen.

sin(α )sin(β )

= ab

sin(α )sin(γ )

= ac

sin(β )sin(γ )

= bc

Eigenschaften Sinusfunktion:

f (x) = sin(x)D = RW = −1;1[ ]Periode p = 2πsin(−x) = −sin(x)→ Graph der Sinusfunktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung

Die Kosinuskurve ist der Graph der Funktion f : x! cos(x) (x ∈").

Eigenschaften Kosinusfunktion:

f (x) = cosD = RW = −1;1[ ]Periode p = 2πcos(−x) = cos(x) → Graph der Kosinusfunktion ist somit achsensymmetrisch zur y-Achse

Erklärung:

Die Sinus- und Kosinusfunktion sind periodische Funktionen, d.h. Funktionen die sich in gleichen Abständen p regelmäßig wiederholen. Somit steht p für die Periode, die in diesem Fall für die Sinus- und Kosinusfunktion p = 2π beträgt.

Zusammenhang zwischen Sinus- und Kosinusfunktion:

Verschiebt man die Kosinuskurve um in x-Richtung nach rechts, so erhält man die Sinuskurve.


(x)

π2

sin(x + k ⋅2π ) = sin(x) (k ∈!)

cos(x + k ⋅2π ) = cos(x) (k ∈!)

cos x − π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = sin(x)

5. Form- und Lageänderung der Sinus- und Kosinusfunktion

a) Amplitudenveränderung:

f (x) = a ⋅sin(x), x ∈!, a∈! \ 0{ }Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in y-Richtung. bestimmt den größten Funktionswert und heißt Amplitude. Ist a negativ, so wird der Graph auch an der x-Achse gespiegelt.

Streckung: Stauchung:

b) Periodenveränderung:

f (x) = sin(b ⋅ x), x ∈!, b∈! \ 0{ }

Der Faktor b bewirkt die Veränderung der „Länge“ der Periode, d.h. die Streckung oder Stauchung der Sinuskurve in x-Richung mit dem Faktor . Ist b negativ, so wird der Graph zusätzlich an der y-Achse gespiegelt.

Streckung in x-Richtung: Periode: Stauchung in x-Richtung:


a

a >1a <1

1b

1b>1

1b<1

p = 2πb

c) Verschiebung in x-Richtung:

f (x) = sin(x + c), x ∈!, c∈! \ 0{ }

Der Summand c bewirkt die Verschiebung der Sinuskurve in x-Richtung, auch Phasenverschiebung genannt.

Ist c > 0, dann wird die Sinuskurve in x-Richtung nach links verschobenIst c < 0, dann wird die Sinuskurve in x-Richtung nach rechts verschoben

d) Verschiebung in y-Richtung:

f (x) = sin(x)+ d, x ∈!, d ∈! \ 0{ }

Der Summand d bewirkt die Verschiebung der Sinuskurve in y-Richtung nachoben (wenn d > 0) oder nach unten (wenn d < 0).

Information:

Es können alle vier Veränderungen in Kombination gleichzeitig auftreten. Diese vier Veränderungen treffen analog für die Kosinusfunktion zu.


Zusammengefasst:

f (x) = a ⋅sin(b ⋅(x + c))+ d

6. Wachstums- und Zerfallprozesse/Eigenschaften von Expo-nentialfunktionen

Erklärung Lineares Wachstum:

f (x) = a ⋅ x + c (a,c∈R;a ≠ 1)

c: Anfangswerta: konstante Zu- bzw. Abnahme

a > 0 a < 0

f(x) = 1,5x + 1 f(x) = -1,5x + 3 lineare Zunahme lineare Abnahme

Die Differenz aufeinanderfolgender Funktionswerte ist konstant.

Erklärung Exponentielles Wachstum:

f (x) = c ⋅ax

c: Anfangswerta: konstanter Wachstumsfaktor


a,b,c,d ∈ \ 0{ }

(a,c∈R+;a ≠ 1)

a > 1: Graph steigt streng 0 < a < 1: Graph fällt streng monoton monoton hier: c = 1; a = 2 hier: c = 1; a = 0,5

exponentielle Zunahme exponentielle Abnahme

Der Quotient aufeinanderfolgender Funktionswerte ist konstant.

Beachte:

Wenn: f1(x) = −c ⋅ax

dann wird der Graph von f an der x-Achse gespiegelt.

Wenn:

f2 (x) = c ⋅a− x = c ⋅ 1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

dann wird der Graph von f an der y-Achse gespiegelt.

Wenn:

f3(x) = c ⋅ax+b; b∈!dann wird der Graph von f in x-Richtung verschoben.

Wenn:b > 0, dann wird Gf in x-Richtung um ∣b∣ nach links verschobenb < 0, dann wird Gf in x-Richtung um ∣b∣ nach rechts verschoben


7. Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens

Erklärung:

Der Logarithmus von b zur Basis a ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Man schreibt für diese Zahl .

Zu lösen ist: für und

a und b sind bekannt. Folglich ist der Exponent x von a gesucht. Es gibt nur eine Lö-sung für x, nämlich:

Es gilt damit: Regeln für das Rechnen mit Logarithmen (b > 0; c > 0):

loga a = 1loga1= 0

loga1a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −1

loga (ac ) = c

z.B. log2 15 = log10 15log10 2

Information: Schreibweise Zehnerlogarithmen:

Hinweis: log am TR kann auch Zehnerlogarithmus bedeuten.

8. Einfache Exponentialgleichungen

Erklärung: Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte als Exponent vorkommt.

Es gibt im Wesentlichen drei Lösungsstrategien bei Exponentialgleichungen.

loga (b ⋅c) = loga b + loga cloga (b :c) = loga b − loga cloga (b

c ) = c ⋅ loga b

loga u =logb ulogb u


loga b

a,b∈R+ a ≠ 1ax = b

ax = b

log10 b = lgb

x = loga b

„eintippbarer“ Term für ältere TR!

(I): Die Gleichung auf die Form bringen und anschließend logarithmieren.

Beispiel:

4,5 ⋅2x = 9 ⋅3x :3x : 4,5

2x

3x = 2

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

= 2

x = log23

2

x ≈ −1,71

Beispiel:

4,5 ⋅2x = 9 ⋅3x lg(...)lg 4,5 + x ⋅ lg2 = lg9 + x ⋅ lg 3 x ⋅(lg2 − lg 3) = lg9 − lg 4,5

x = lg9 − lg 4,5lg2 − lg 3

x ≈ −1,71

Beispiel:

16 ⋅4 x = 64 ⋅16x

42 ⋅4 x = 43 ⋅42x

42+x = 43+2x

2 + x = 3+ 2x x = 1


(II): Die Gleichung wird so umgeformt, dass auf beiden Seiten ein Produkt aus Zahlen und Potenzen steht. Durch Logarithmieren, Anwenden von Logarithmusre-geln und Ausklammern von x bestimmt man die Lösung.

(III) Exponentenvergleich: Die Gleichung kann so umgeformt werden, dass auf beiden Seiten eine Potenz mit der jeweils gleichen Basis zu finden ist. Anschlie-ßend erfolgt der Exponentenvergleich.

Information: Es gibt auch Exponentialgleichungen, die nicht gelöst werden können.Beispiel:

9. Bedingte Wahrscheinlichkeiten

1. Wenn bei einem Zufallsexperiment zwei Ereignisse A und zugleich B eintreten, dann schreibt man: 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn man weiß, dass A bereits eingetreten ist, nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit. Man schreibt: Man spricht: „Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A“

Aufgrund der Pfadregel gilt (vgl. Baumdiagramm):Aus der Pfadregel ergibt sich:

für

Baumdiagramm: Im Baumdiagramm eines zweistufigen Zufallsexperiments stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen der 2. Stufe.


A∩ B

P(A∩ B) = PA(B) ⋅P(A)

PA(B) =P(A∩B)P(A)

P(A) ≠ 0

PA(B)

3x = 11x ⋅4 − 5x

P(A)

PA(B)

A

A

P(A)

B

B

B

B

PA(B)

PA (B)

PA (B)

P(A∩ B)

P(A∩ B)

P(A∩ B)

P(A∩ B)

Die Wahrscheinlichkeiten können auch in einer Vierfeldertafel erfasst werden:Dann müssen die bedingten Wahrscheinlichkeiten entsprechend berechnet werden.

B B

A P(A∩ B) P(A∩ B) P(A)

A P(A∩ B) P(A∩ B) P(A)

P(B) P(B) 1

Achtung in der Regel gilt: Aufgabenstellung genau lesen, damit klar wird, welche der beiden Wahrscheinlich-keiten gemeint ist!

10. Oberflächeninhalt und Volumen von Kugeln

Für den Oberflächeninhalt O und das Volumen V einer Kugel mit Radius r gilt:

OKugel = 4π ⋅r2

VKugel =43⋅π ⋅r3

Zahl π: Die Zahl π ≈ 3,14 („Pi“) wird als Kreiszahl bezeichnet. Es handelt sich hier-bei um eine irrationale Zahl, d. h. π kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darge-stellt werden.

11. Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Erklärung:

Eine Funktion f mit , wobei und ist, heißt Potenzfunktion.

n ist gerade n ist ungerade

Nullstelle: x = 0 Nullstelle: x = 0


P(A∩ B) ≠ PA(B)

f (x) = xn x ∈R n∈N

D = RW = R

D = RW = R0

+

Symmetrie: Symmetrie:achsensymmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum UrsprungSteigungsverhalten: Steigungsverhalten:streng monoton fallend für x < 0 streng monoton steigend für streng monoton steigend für x > 0 x ∈RGemeinsame Punkte aller Gemeinsame Punkte aller Potenzfunktionen gerader Potenzfunktionen ungeraderOrdnung: Ordnung:(0/0), (1/1), (-1/1) (0/0), (1/1), (-1/1)

12. Ganzrationale Funktionen

Erklärung:

Die Funktion mit

heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades oder Polynom n-ten Grades.


f (x) = anxn + an−1a

n−1 + ...+ a2x2 + a1x + a0

D = Rn∈N,an ,an−1,...,a2 ,a1,a0an ≠ 0

Nullstellen:

Man setzt den Funktionsterm von f gleich 0: Anschließend faktorisiert man den Funktionsterm (z.B. durch Ausklammern, bino-mische Formeln, Substitution, Polynomdivision, ...). Ist ein Faktor eine quadratische Funktion, so ist die „Mitternachtsformel“ (= Lö-sungsformel für quadratische Gleichungen) anzuwenden. Erhält man eine Nullstelle doppelt, vierfach, sechsfach, ..., also in einer geraden Vielfachheit, so handelt es sich um eine doppelte, vierfache, sechsfache,... Nullstelle. Das bedeutet, der Graph von f berührt an der Nullstelle die x-Achse, aber schneidet sie nicht. Somit ergibt sich kein Vorzeichenwechsel (VZW).Erhält man eine Nullstelle einfach, dreifach, fünffach, ..., also in einer ungeraden Vielfachheit, so handelt es sich um eine einfache, dreifache, fünffache,... Nullstelle. Das bedeutet, der Graph von f schneidet an der Nullstelle die x-Achse. Somit ergibt sich ein Vorzeichenwechsel (VZW).

Vielfachheit der Nullstelle x0 gerade → Vorzeichenwechsel (VZW) bei x = x0Vielfachheit der Nullstelle x0 ungerade → kein Vorzeichenwechsel (VZW) bei x = x0

Polynomdivision: Mit der Polynomdivision lassen sich die Nullstellen von Polyno-men berechnen. Dazu muss aber eine Nullstelle schon vorgegeben werden oder „erra-ten“ werden.Beispiel: f(x) = x3 - 0,5x2 - x + 0,5 gegebene Nullstelle x0 = -1

(x3 - 0,5x2 - x + 0,5) : (x + 1) = x2 - 1,5x + 0,5-(x3 + x2) -1,5x2 - x -(-1,5x2 - 1,5x) 0,5x +0,5 -(0,5x + 0,5) 0Mithilfe der „Mitternachtsformel“ lassen sich die restlichen Nullstellen des Polynoms p(x) = x2 - 1,5x + 0,5 jetzt problemlos bestim-men.

Vorzeichen der Funktionswerte:

Man erstellt eine Vorzeichentabelle. Als Intervalle werden die Nullstellenabstände gewählt. Anschließend wählt man eine beliebige Zahl, die in dem vorgegebenen In-tervall liegt und setzt sie jeweils in alle Faktoren einzeln ein. Anschließend erhält man Ergebnisse, bei denen nur die Vorzeichen von Interesse sind. Diese notiert man in der Tabelle und multipliziert die Vorzeichen des jeweiligen Intervalls miteinan-der. Ist das Ergebnis negativ (-), so verläuft der Graph von f im III. bzw. IV. Qua-


f (x) = 0

1. x3 : x = x2 2. x2 · (x + 1) = x3 + x2

3. Subtraktion und nächsten Term herunter-holen

4. -1,5x2 : x = - 1,5x 5. - 1,5x · (x + 1) = -1,5x2 - 1,5x6. Subtraktion und nächsten Term herunter-

holen7. 0,5x : x = 0,58. 0,5 · (x + 1) = 0,5x + 0,59. Subtraktion und Polynomdivision gehen

auf

dranten. Ist das Ergebnis jedoch positiv (+), so verläuft der Graph von f im I. bzw. II. Quadranten.

Vorzeichentabelle:Beispiel: f(x) = x2 + 3x = x·(x + 3)

Faktoren von f(x) x < -3 -3 < x < 0 x > 0

(x + 3) - + +

x - - +

f(x) = x·(x + 3) + - +

Skizzieren des Graphen:

1. Nullstellen einzeichnen2. Felder abstreichen →3. Graph einzeichnen

Verhalten im Unendlichen:

Von Bedeutung ist der Grad der Funktion. Der Grad einer Funktion wird festgelegt durch den höchsten Exponenten.

Beispiel:f (x) = 1,5x4 − x2 + 2,7x −1,5Der höchste Exponent dieser Funktion ist 4. Somit besitzt die Funktion den Grad 4, bzw. es handelt sich um eine Funktion 4. Grades.f (x) = 1,5x3 − x2 + 2,7x −1,5Der höchste Exponent dieser Funktion ist 3. Somit besitzt die Funktion den Grad 3, bzw. es handelt sich um eine Funktion 3. Grades.Ist der Grad gerade, so gilt:


limx→+∞

f (x) = limx→−∞

f (x) = +∞

oderlimx→+∞

f (x) = limx→−∞

f (x) = −∞

Ist der Grad ungerade, so gilt:

limx→−∞

f (x) = −∞ und limx→+∞

f (x) = +∞

oderlimx→−∞

f (x) = +∞ und limx→+∞

f (x) = −∞

Beispiel einer ganzrationalen Funktion gerader Ordnung: f(x) = 0,5x3·(x - 2,7) = 0,5x4 - 1,35x3


Nullstelle x1 = 0 ungerader Ord-nung mit Vorzeichenwechsel (VZW)Nullstelle x2 = 2,7 erster Ordnung mit Vorzeichenwechsel (VZW)

13. Überblick über bisher behandelte Funktionen13.1 Lineare, quadratische und Potenzfunktionen

Lineare Funktion

f(x) = mx + t

Quadratische Funktion

g(x) = ax2 + bx + c a ⧧ 0; Scheitel S (xs/ys)

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponen-

ten h(x) = xn

Beispiele f(x) = 3x - 2 g(x) = 0,5x2 - 3x + 2 h(x) = x3

Wesentli-che Ei-genschaf-ten lassen sich be-reits an den ge-plotteten Graphen ablesen.

Dmax

Symme-trie des Graphen

achsensymmetrisch für m = 0punktsymmetrisch zu jedem Punkt des Graphen

achsensymmetrisch zur Ge-raden x = xs

achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Ex-ponent gerade istpunktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Exponent ungerade ist

Nullstel-len

genau eine Nullstelle für m ⧧ 0

abhängig von der Diskrimi-nante D = b2 - 4ackeine für (D < 0)genau eine für (D = 0)zwei verschiedene für(D > 0)

jeweils x = 0

Extrem-punkte

keine Extrempunkte für m ⧧ 0

Scheitel ist Hochpunkt für a < 0, Tiefpunkt für a > 0

für gerades n ist der Scheitel ein Tiefpunkt

Stei-gungs-ver-halten

steigend für m > 0fallend für m < 0

falls a > 0:steigend für x > xsfallend für x < xs umgekehrt für a < 0

falls n ungerade: steigendfalls n gerade:fallend für x < 0steigend für x > 0

Werte-menge

]-∞;+∞[ für m ⧧ 0 [ys;+∞[ für a > 0]-∞; ys] für a < 0

]-∞;+∞[ für n ungerade[0;+∞[ für n gerade

(in Anlehnung an: „Fokus Mathematik 10“; Cornelsen Verlag; 1. Druck 2008; S. 152)


13.2 Ganzrationale, einfache gebrochen-rationale , trigonome-trische und Exponentialfunktionen

Ganzrationale Funktionenf(x) = anxn +

an-1an-1 + ...+ a2x2 + a1x + a0

Einfache gebrochen-rationale

Funktionen

Trigonometrische Funktionen

h(x) = a sin(bx + c)k(x) = a cos(bx + c)

a ⧧ 0

Exponentialfunk-tionen

m(x) = ax mit Basis

a > 0 und a ⧧ 1

Beispiele f(x) = 3x3 - 2x2 - 5x + 1 g(x) = 2x −1

x +1l(x) = 3 sin(1,5x + π) m (x) = 3x

Wesentli-che Eigen-schaften lassen sich bereits an den Gra-phen able-sen.

Dmax \{Nullstellen des Nenners}

Symmetrie des Gra-phen

achsensymme-trisch zur y-Ach-se, wenn alle Ex-ponenten gerade sindpunktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Expo-nenten ungerade sind und das ab-solute Glied a0 = 0 ist

punktsymme-trisch, wenn der Zähler achsen-, der Nenner punktsymme-trisch ist (oder umgekehrt)achsensymme-trisch, wenn bei-de punkt- bzw. achsensymme-trisch sind

unendlich viele Symmetrieachsen unendlich viele Symmetriepunkte

weder achsen- noch punktsymme-trisch

Nullstellen maximal so viele Nullstellen wie der Grad, Berechnung der Nullstellen durch Faktorisierung

Nullstellen des Zählers, falls in der Definitions-menge enthalten

unendlich viele Nullstellen

keine Nullstellen

Extrem-punkte

höchstens n - 1 unendlich viele Hochpunkte und Tiefpunkte

keine Extrem-punkte

Steigungs-ver-halten des Graphen

aus der Lage der Extrema ablesbar

steigend für a > 1fallend für a > 1

Werte-menge

[-a;+a] für a > 0[a;-a] für a < 0

]0;+∞[



14. Grenzwerte

Erklärung:Unter Grenzwert einer Funktion versteht man denjenigen Wert an einer bestimmten Stelle, dem sich die Funktion in der Umgebung dieser Stelle annähert. Viele Funktionen haben für x → +∞ bzw. x → -∞ keinen Grenzwert. Schreibweise: (sprich: „Limes“)

(sprich: „Limes“)

Man sagt auch: „f divergiert für x → +∞ bzw. x → -∞ gegen +∞ bzw. -∞.“Im Beispiel strebt f(x) für x gegen +∞ gegen +∞.

x→+∞lim f (x) = +∞

Wenn die Funktionswerte f(x) einer Funktion für be-liebig groß werdende x-Werte einem Wert a beliebig nahe kommen, so heißt a „Grenzwert von f für x ge-gen +∞.“

Schreibweise: (sprich: „Limes“)

Analog für (sprich: „Limes“)

Man sagt auch: „f konvergiert für x → +∞ bzw. x → -∞ gegen a.“In diesem Beispiel wird sich der Graph der Funktion f an die Gerade mit y = 0 annä-hern. Diese Gerade ist dann waagrechte Asymptote von Gf.

Grenzwertberechnung:

Bsp. 1:limx→+∞

f (x) = limx→+∞

(−4x6 + 2x5 − x3 + x2 − 4) =

limx→+∞

−4x6 ⋅ 1− 1→0

2x+ 1

→0

4x3 −1→0

4x4 +1→0

x6

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= lim

x→+∞− 4x6 = −∞


limx→−∞

f (x) = a

limx→+∞

f (x) = a

limx→+∞

f (x) = −∞limx→+∞

f (x) = +∞

limx→+∞

f (x) = −∞limx→−∞

f (x) = −∞

Bsp. 2:

limx→+∞

f (x) = limx→+∞

x3 + x2

x4 − x= lim

x→+∞

x3 ⋅ 1+ 1→0

x

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

x4 ⋅ 1− 1→0

x3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= limx→+∞

x3

x4 = limx→+∞

1→0

x= 0

15. Untersuchen und Beschreiben weiterer Funktionen und ih-rer Graphen

Definitionsmenge :

beinhaltet alle Werte, die anstelle der Variable in den Funtkionsterm eingesetzt werden dürfen.Dabei müssen Abszissen (x-Werte) ausgeschlossen werden, für die der Nenner ei-nes Bruchs 0 wird. Abszissen, für die der Radikand einer Wurzel negativ wird, müssen ebenfalls ausgeschlossen werden.

Bsp. 1:

f (x) = 2x +1 ⇒ Df = ! \ −∞;− 12

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢= − 1

2;+∞⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

Bsp. 2:

g(x) = 1x2 + 3x

= 1x ⋅(x + 3)

⇒ Dg = ! \ −3;0{ }

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Nullstellen: f(x) = 0 → x1 = ...; x2 = ...; ...Schnittpunkte mit der x-Achse: → N1 (x1/0), N2 (x2/0), ...Schnittpunkt mit der y-Achse: (0/f(0))

Symmetrieverhalten:

Gf ist achsensymmetrisch zur y-Achse, falls gilt: f(-x) = f(x)Gf ist punktsymmetrisch zum Ursprung, falls gilt: f(-x) = -f(x)

Verhalten im Unendlichen:

Erfolgt durch die Grenzwertberechnung:


limx→+∞

f (x) bzw. limx→−∞

f (x)

Steigungsverhalten, Extrempunkte und Wertemenge:

Können wir bis jetzt nur eingeschränkt be-stimmen.

Beispiel:

f : x −2x2 + 3Gf steigt für x < 0Gf fällt für x > 0S (0 / 3) ist Extrempunkt (hier: Hochpunkt)Wertemenge W= −∞; 3] ]


16. Parameter verändern FunktionsgraphenVeränderung im Funktionsterm

Auswirkung auf den Funktionsgraphen

Beispiele

g(x) = f(x) + b Verschiebung um den Wert b in y-Richtung

g(x) = a ⋅ f(x)(a ⧧ 0)

Streckung um den Faktor a in y-Rich-tung. Für ⎮a⎮< 1 be-deutet das eine Stau-chung und für ⎮a⎮>1 eine Stre-ckung. Für a < 0 er-folgt zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.

g(x) = -f(x) Spiegelung an der x-Achse.

g(x) = f(x + d) Verschiebung um den Wert -d in Richtung der x-Achse.


Veränderung im Funktionsterm

Auswirkung auf den Funktionsgraphen

Beispiele

g(x) = f(c ⋅ x)(c ⧧ 0)

Streckung um den Faktor in Richtung der x-Achse und Stau-chung für⎮c⎮> 1. Für c < 0 bedeutet das eine zusätzliche Spie-gelung an dery-Achse.

g(x) = f(-x) Spiegelung an der y-Achse.



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