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Mechanik III Klausur 1 // Block 1 ETHZ BAUG - HS 2011

25. Januar 2012 S e i t e | 1 Christoph Hager

MECHANIK III chager - Version 1.0 Dr. R. Leine, ETHZ

GRUNDLEGENDE KONZEPTE

VE KTO RE N

Kreuzprodukt im

(

) (

)

DIFF ERE NZ IALBEZ IEU NG E N

Beschreibung Krper: ber SP mit Ortsvektor ( ) [ ]

mit Ausrichtung ( ) [ ]

Geschwindigkeit: ( ) [

] ( ) [

]

Beschleunigung: ( ) [

] ( ) [

]

IMP ULS U ND DR ALL

Impuls:

Drall:

immer bezglich ruhenden Punktes

MA SSE NTR GH E IT SM OM EN T

( ) ( )

Satz von Steiner:

immer im Schwerpunkt, Abstand

Trgheitsmomente

Scheibe / Zylinder

Ring / Hohlzylinder

Stab / Platte

Kugel

Kugelschale

Scheibe

Punkt

S TZE

IMPU LSSA TZ

ussere Krfte (inkl. Eigengewicht)

DRALLSAT Z

SP INSA T Z

Besser als Drallsatz bei Bewegungen um einen Punkt Kein Drallsatz fr , da allg. in Bewegung

VO RG EHE N

TH E ORIE

1. Berechnen von und

2. Differenzieren nach Zeit ,

3. Mit Impuls- und Drallsatz gleichsetzen

AUFGAB EN

1. Freischneiden pro Starrkrper Fr jede Bewegungsmglichkeit eine Variable einfhren

2. Impuls- und Spinstze aufstellen 3. Kinematik anwenden (Geometrie: Randbedingung,

Rollbedingung, Verbindungen Typ Stange) 4. Kraftgesetze fr Federn und Dmpfer verwenden 5. Zwangskrfte eliminieren 6. Gesuchtes berechnen

Wirken keine Krfte und Momente an einem Starrkrper so sind Geschwindigkeiten konstant

SY ST EM E

Haftreibung: Typ Stange Rollen ohne Schlupf: Typ Stange Gleitreibung: Typ Dmpfer

KONS ERVA TIV

Ein System heisst konservativ, falls alle an den einzelnen Starkrpern angreifenden usseren Krfte Potentialkrfte sind. Es gilt die Energieerhaltung

Darf keine dissipativen Elemente haben (Dmpfer, Reibung)

Keine externe Kraftanlegung ( ) ( )

Alle Krfte vom Typ Stange, Feder

ROLLBED IO NU NG

Boden hat immer Kraft , Vorsicht bei Bewegungen des Bodens

KRAFTG E SETZ E

translatorisch rotatorisch

Lineare Feder konservatives Kraftelement

( )

( )

Linearer Dmpfer dissipatives Kraftelement

Ideale Bindung Typ Stange

Vorsicht in welche Richtung defioniert ist! Positiv wenn Feder/Dmpfer auseinander gehen (Zug)

EN ER GIE

Nur wenn System konservativ

K INE TISC H E E NERGI E

( )

( )

( )

Freier Fall:

POT E NTI E LLE E NERGI E

Feder, Torsionsfeder:

( )

Lage:

E NERGI E ERHA LTU NG F R KONS ER VATIV E SYS T EM E

( )

D IFFER E NTIA LB EZI EH U N G E N

BEMERKUNGEN

KO ORDIN AT EN SYSTE ME

Bei Impuls/Spinstze muss und in gleiche Richtung zeigen damit Vorzeichen positiv.

DIFF ERN EZ IER EN

Vorsicht bei Ableiten: ( ) ( )

REIBUNG (COULOMBSCHE) Ist eine dissipative Kraft

HAFTR EIB UN G

| | : Haftreibungszahl

Nur Bedingung keine Gleichung! immer tangential zur Kontaktebene

GLE ITR E IBU NG

| |

| | : Gleitreibungszahl

ist der Bewegung entgegen gerichtet

Keine Bedingung sondern Gleichung!

GEL EN KRE IBU N G

Fhrt zu einem Moment im Lager

HAFTR EIB U NG

ist aus + . Da

gilt

GLEITR EIBU NG Q U ERLA G ER

| |

| |

GLEITR EIBU NG L NGSLA GER

| |

SEILR E IBU NG

Seil um Zylinder oder Welle:

ROLLRE IB UN G

| | | | Rollreibungslnge,

Beginnt Rad zu rollen wird daraus eine Gleichung

RUHE, RESP GGW Ruhe herrscht wenn:

GGW-LAG E

mit und

( ) ( ) ohne Terme

bleiben gleich

PHASENPORTRAIT PENDEL

berschlag GGW-Lage Normal



LINEARE SCHWINGUNG

GRU NDGL EICHU NG

Bewegungsgleichung: : Masse : Dmpfung : Steifigkeit

( ) ( )

Krafterregung: ( ) ( ) Wegerregung: ( ) ( )

Substitutionen

Dmpfungswert [

]

Eigenkreisfrequenz [

]

( ) dim-lose Zeit

Lehrsche Dmpfung [ ]

( )

(

) normierte Erregerfunktion [ ]

Neue DGL:

( )

HOM OG E NE L SU N G

E IGE NWER T E

( )

( )

[

] Frequenz

[ ] Periode

U NGE DMPF T E SC HWI NG U NG

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Phasenverscheibung

[ ] U NT ERKRI TISC H G ED MP F TE SC H W.

mit

( )

(komplex konjugierte EW) Pseudofrequenz ( )

[ ( ) ( )]

( ) ( )

ist nicht periodisch

Logarithmisches Dekrement:

( )

( ) (

)

Parameter in Praxis bestimmen:

Ausschwingversuch:

KR ITISC H E D MPF U NG

( )

(

)

[

(

) (

) ( )

]

BER KRITIS CH E DMPF U NG

mit

( )

( ) (

)

( ) ( )

GRE NZFA LL

VER LAU F D ER EIG E NWER T E NA CH DMPFU NG

ZEI TK URV E N NA CH DM P FU NG

PART IKUL R E L SU NG

Beschrnkung in Mech III auf harmonische Anregung:

( ) (geht auch mit Sinus)

, ,

Frequenzverhltnis

( )

PARTI KU LR E LSU NG

( )

( ) ( ( ))

AMPLI T UDE N UND P HAS E NGA NG

Amplitudengang: ( )

( )

Phasengang: ( ) (

)

Betrachte Eingangs/Ausgangssignal; Gnge stellen Amplitudenverstrkung und Phasenvernderung dar

BEISPI E LE

( ) ( ) langsame Anregung, keine Vergrsserung

( ) ( )

( )

( ) Phasensprung: ( ) Resonanzamplituden werden Bmmm! (Ansatz fr diese Lsung nicht gltig)

ALLG EM EIN E L SU NG

( )

: System asymtotisch stabil Homogene klingt ab Fr oder : ( ) ( ) (Erregung)

: System Grenzstabil Homogene klingt nicht ab Fall A Schwebung

(Resonanznhe) ,

Langsame zeitvernderliche Amplitude Fall B Resonanz (eig. ) :

Fall A Fall B

Harmonische Anregung:

( )

( )

Ansatz Resonanz: ( ) ( )

Einfache Lsung: ( )

( )



LINEARE SCHWINGUNG

ALLG EM EIN E STR UKTUR

System mit Freiheitsgraden: ( )

( ) ( ) ( )

lineare DGL 2. Ordnung

Matrizen : , PD, Massenmatrix (invertierbar)

( ) Dmpfungsmatrix (sym)

( ) Gyromatrix (asym)

( ) Steifigkeitsmatrix (Federn, Zentrif.)

( ) Matrix zirkl. Krfte (Rakete)

ZUS TA NDSG LEIC HU NG

(

)

(

( ) ( ))(

) (

( ))

( )

THE ORIE ZW EITER U ND ER ST ER O RDNU NG

HAU PT VE K T ORE N (2. OR D NU NG)

Wenn m-facher EW: (

) ( )

Somit Basisfunktion: ( )

ALLGEM EI NES V ORGE H EN

1. DGL mit Ansatz:

2. Eigenwerte bestimmen:

( )

3. Eigenvektoren und Basislsung bestimmen

( )

bei mehrfachen EW:

( )

( )

Basislsung: ( )

4. Homogene Lsung:

( ) ( )

5. Partikulre Lsung: Ansatz der Rechten Seite ( )

6. Allgemeine Lsung

Bei Winkelfunktionen:

7. Anfangsbedingungen bestimmen Koeffizienten

M-K-SY ST EM

( )

PD, PSD

VORG E HE N

1. DGL mit Ansatz:

Eigenwerte bestimmen:

( )

2. Eigenvektoren und Basislsung bestimmen

( )

bei mehrfachen EW:

( )

( )

Basislsung: ( )

EW sind entweder - paarweise konjugiert imaginr (Schwingung)oder

,

( )

- von gerader Vielfachheit 0 (ungefesselt)

. ( ) ( )

3. Homogene Lsung: ( ) ( ) ( )

4. Anfangsbedingungen bestimmen Koeffizienten

DIA G ON AL IS IERU NG FR MK

Die Matrizen und werde durch die Matrix der EV

[ ]

diagonalisiert: { } { }

Die f EV sind linear unabhngig

ist regulr, invertierbar, Bildet Eigenbasis,

MODA LLOOR DINA T E N

Es gibt: ( ) ( ) ( ) ( )

So wird ( ) zu:

{ } { } ( ) ( )

entkoppelte Gleichungen ( )

Also:

:

( )

M-D -K- SY ST EM N ACH B EQ UE MLI C HKE IT

Dmpfung oft sehr schwer bestimmbar daher: Hypothese:

Matrix U der EV des zugehrigen M-K-System OHNE Dmpfung diagonalisiert das M-D-K-System, wenn D gemss Bequemlichkeit gewhlt wird

Analog:

( )

mit

(

) ; ( ) ( )

(

) Lehrsche Dmpfung der einzelnen

entkoppelten Gleichungen ist unterschiedlich

BEGR IFF E

Vektoren fr die gilt heissen

Massenorthogonal

Matrix der EV beim M-K-System heisst Modalmatrix, Matrix der Moden, Eigenformen

Koordinaten heissen Hauptkoordinaten oder

Modalkoordinaten

Die geom. Schwingungsform, die ber den i- ten EV

beschrieben wird heisst i-te Eigenform EV gibt an, in welchem Koordinatenverhltnis sich das

System in der i-ten Basislsung bewegt

Grssere Eigenwerte grssere Frequenz grssere

ST ABIL IT T MDKG N

Das System ( ) heisst

Asymptotisch Stabil (linear) wenn ( ) ( ) wenn also

Instabil wenn ( ) wenn auch nur 1 ( ) wenn also auch nur 1 oder t-beschrnkten Termen und

Grenzstabil

sonst: (

)

L IN ALG

MATRIX

Symmetrisch, wenn

Schiefsymmetrisch, wenn Positiv definit PD, wenn Positiv semidefinit PSD, wenn

Matrix regulr , A invertierbar und Spalten (Zeilen) linear unabhngig

Matrix singulr , A nicht invertierbar und Spalten linear abhngig

TRA NSF ORMATI ONSM E TH O D E

Problemstellung:

(

)

(

) Alle Gleichungen sind gekoppelt

Idee: Diagonalisieren, einsetzen:

Mit EW und EV: (Gltigkeit nur fr Symmetrische ?)

( ( ) ( )) ( )

( ) mssen hier nicht normiert sein wegen Koeffitenten Neues Gleichungssystem:

Ansatz aus Analysis:

Rcktransformieren mit: ( )

Koeffizienten knnen mit Anfangsbedingungen bestimmt werden

VORG E HE N

1. Eigenwerte bestimmen ( )

2. Eigenvektoren bestimmen ( ( ) ( ))

3. Allgemein Lsungsansatz fr verwenden

Siehe auch Analysis Quickrezepte

4. Rcktransformieren

5. Koeffizienten mit Anfangsbedingungen bestimmen

IN HOM O GE N E D IFF ER ENT IALGL IEC HUNG E N

Problemstellung: , konstant Allgemeine Lsung: ( ) ( ) ( )

Lsung homogene DGL: siehe Transformationsmethode

Lsung partikulre DGL: Suche irgendeine Lsung der inhomogenen DGL:

regulr

Ansatz:

In Grundgleichung einsetzen:



WELLENGLEICHUNG

WELLE NGL E ICHU N G IN 1 D

ALLGMEI N

( ) ( )

Wobei Wellengeschwindigkeit Luft: Stahl: (lngs) (Torsion) Licht: Mechanische Systeme sind mathematisch Identisch:

SA ITE

D NNER STAB

T ORSIONSS TAB

( ) ( )

ALLGEM EI NE LS U NG NA C H D A LLEMB ERT

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Die tatschliche Gestalt von und wird erst durch AB und RB festgelegt

ZUSAMM E NG E SE TZE K RP ER

RB fr Lngsdynamik

CHARA KTE RIST IK SCH AR E N

Sind Scharen von parallelen Geraden in der - Ebene: Auf diesen Geraden haben die Wellenfunktionen und immer denselben Wert

Betrachtung der Ebenen:

Ebene A, : ( ) ( ) ( )

Ebene B, : ( ) ( ) ( )

Beziehung: ( ) ( )

UMRE CH NU NG S PA NNU NG -G ES CH WINDIG KEI T

BEISPI E L A USBREI T U NG W E LLE AU F SAIT E

HALBU NE NDL ICH E K RP E R

Halbunendlich: Krper hat nur ein Rand Allgemein: ( ) (

) (

)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

REFLE XI ON AM EI NG ESP A NNT EN E ND E

RB: ( ) keine

Aufgabe: fr geg. Rechtswelle Suche res. Linkswelle

RB: ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) beliebig

Auslenkung: ( ) ( ) ( ) ( )

Spannung: ( ) ( ) ( ) ( )

( )

Auslenkung verschwindet Spannung verdoppelt sich

REFLE XI ON AM FREI E N E ND E

RB: keine ( )

Aufgabe: fr geg. Rechtswelle Suche res. Linkswelle

RB: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) beliebig

Auslenkung ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Spannung ( ) ( ) ( ) ( )

Auslenkung verdoppelt sich Spannung verschwindet

ST EHE ND E W ELL EN

Wenn gilt: ( ) ( ) ( ) Ortsfunktion ( ) (resp. Amplitudenform, Form der Welle) Zeitfunktion ( ) (zeitliches Pulsieren)

SEPARA TI ONSANSAT Z NA C H BER NOULLI

( )

( )

( )

( )

Lsung:

( )

( )

Somit:

( ) (

)

(

)

Wobei durch AB und RB bestimmt werden Weiter gilt:

Wellenzahl:

Wellenlnge:

ANW E ND UNG MI T RB B EI ST E HE ND E N W E L LE N

( ) ( ) ( )

Fhrt zu Superposition aller -ten Eigenformen:

( ) ( )

( )

Mit als aus AB zu best. Konstanten (Lage + Geschw)

Einspannung frei-frei / fest-fest frei-fest

Eigenfrequenzen

( )

Wellenzahlen

( )

Wellenlngen



PHYSIK 1X1

ROLLEN

NICE T O K N OW

Spinsatz kann berall am Krper gemacht werden Am besten beim Rollen-Fusspunkt keine

ist berall am Krper gleich

Impuls funktioniert auch bei Rad (fr Unbek, Auflagerkrfte)

Manchmal hat neben auch Einfluss auf Federn/Dmpfer

DIVERSES SCHWINGUNGEN

ZE IT GE GE N U NDE NDL IC H

: nur betrachten

DIA G NO AL IS IERU NG S - GEB IT SCH E

[

]

[ ( )

( ) ] [

]

Allgemein:

[

( )

( ) ]

Fr , Homerun-Formel:

[

]

Entweder oder berechnen, anderes ber

BEWE GU NG F EST G ELE GT

Finde Beziehung zwischen Koordinaten Bewegung entspricht einem Vektor

Dieser ist Gleichzeitig ein Eigenvektor Somit mssen Parameter der Matrizen Gleichung erfllen:

[ ]

bestimmen und gesuchter Parameter eruieren

IN V ER SE

(

)

( )(

)

ZAHLE NW ERT E

QUADRA T E

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

DIVERSES ZU WELLEN

FELDER

Verschiebungsfeld: ( )

Dehnungsfeld: ( )

Verschiebungsfeld: ( )

PER IOD E

Charakteristiken: meistens

NEB E NBED INU NG E N

AB: ( ) RB: frei: ( ) fest: ( ) Frei/Fest und AB entscheiden ber Vorzeichen Koeff: Bestimmt ob ( ) oder ( )

L IN E AR ER AN SA TZ

Aufteilen der Funktionen entlang Stetigkeit

Bereich I: ( )

Bereich II: ( ) ( )

Bereich III: ( ) ( )

( )

Ansatz fr Linkswelle: ( ) ( )

Mit RB und Stetigkeit entlang Charakteristik bestimmen



TRIG O N OME TR ISC HE FU N KT ION E N

Aus Geometrie: Einheitskreis

DAS DREI CK

Sinussatz:

Cosinussatz:

Flchensatz:

Wenn rechtwinklig:

WERT E TAB ELLE

( )

( )

( )

BEZI E HU NG E N

( ) ( ) (

)

( ) ( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

( ) ( )

( )

TH E OR EME

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ( ) ( ))

( ) ( )

( ( ) ( ))

( ) ( )

( ( ) ( ))

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

WINKE L EX P

( )

( )

( )

( )

HYP ERBOL ISCH E UND AR E A-FU NK TION E N

( )

( ) ungerade

( )

( ) gerade

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

)

BEZI E HU NG E N

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Zur Hyperbel: ( ) {

Areafunkton weil: Flche unter ( ) und Graf ist immer

( ) ( )

KO ORDIN AT ENT RA N SFOR M AT IO N

KART ESISC H

Zylindrisch Sphrisch

(

)

(

)

(

)

ZY LI NDRISC H

Kartesisch Sphrisch

(

)

SPHRISC H

Kartesisch Zylindrisch

( )

ANW E NDU NG

A. DGL - K ONST. K OEFF . , H OM OG E N

1. Charakteristisches Polynom ( ) eruieren. Bsp.: ( )

2. Jedes der NS von ( ) gibt ein Summenglied der Lsung: o Einfache reelle Lsungen

( )

o P-fache reelle Lsung

( ) (

)

o Einfache komplexkonj. Lsung

( ) ( ( ) ( )) [ ]

o R-fache komplexkonj. Lsung

( ) (

) ( ( ) ( ))

3. Lsung: ( )

B . DGL - K ONST. K OEFF . , I NH OM OGE N

1. Zuerst homogene DLG lsen ( ) Vorgehen wie bei A

2. Betrachte Strfunktion ( ) siehe Tabelle mit Strfunktionen

3. Ansatz fr partikulre Lsung in inhomogene DGL

einsetzen und Koeff. Bestimmen

4. Lsung:

C . DG L - 1.ORD NU NG , H OM OG EN

1. Da DGL separierbar Separation der Variablen:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2. Nach auflsen

D. DG L - 1. ORD NU NG , I NHOMOG E N

1. Zuerst homogene DGL lsen ( ) Vorgehen wie bei C

2. Variation der Konstanten anwenden: Die partikulre Lsung entsteht durch wobei die Konstante durch ( ) ersetzt wird(Siehe auch Tabelle). wird in die inhom.

DGL eingesetzt und kann berechnet werden.

3. Lsung: [ ] krzt sich hufig weg

WINKE LF U NK TI ONE N

( ) ( )

( ) ( )

WINKE LB EGRIFF E

( ) ( ) ( )

mit ( )

ST RFU NKT ION E N

Fr lineare DGL mit konst. Koeffizienten 1. und 2. Ordnung

Strfunktion ( ) Lsungsansatz

Konst Funktion

Lineare Funktion

Polynom Grad n

Exponentialfkt. ( )

1. ist keine Lsung von ( ):

2. ist p-fache Lsung von ( ):

Winkelfunktion ( ) ( ) ( )

1. ist keine Lsung von ( ) ( ) ( )

2. ist p-fache Lsung von ( ):

[ ( ) ( )]

Ist Lsungsansatz bereits eine Lsung der homogenen DGL Ansatz mit multiplizieren.

Ansatz gilt auch wenn Strfunktion konstanten Faktor hat.

( ) muss eine Lsung des homogenen DGL sein; Ansatz ist richtig wenn GLS eindeutig lsbar ist.

Ist ( ) ( ) ( ) so ist

Ist ( ) ( ) ( ) so ist

TIP PS

Ist erst ab n-ter Ableitung vorhanden, Substitution zu

Beginn mit ( ) ( )( )

Sind und nicht vorhanden: DGL mit multiplizieren

QUICKRE ZE PTE

DGL Lsung

( ) ( )

( ) ( ) ( ) = ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

MITTERNACHTSFOMREL

BEFRIFFE Statik: Krfte im unbewegten System Kinetik: nderung Bewegungsgrssen infolge Krfte Dynamik: Statik + Kinetik (Wirkung von Krften) Kinematik: Beschreibung der Bewegung

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