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Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 1.1
Aufgabe 1: Ein mechanisches System wird durch folgende linearisierte Bewegungsgleichungen
beschrieben:
0
0x
mgL0
0L/mg2x
mLmL
mLm32
Die allgemeine Form der linearisierten Bewegungsgleichungen lautet hyKyDyM
a) Ist das System gedämpft?
☐ Ja ☐ Nein ☐ Keine Aussage möglich
b) Welche Formulierungen können für 0D zur Berechnung der Eigenwerte verwendet
werden? Hierbei gelte i2/1 .
☐ 0det 3 KM ☐ 0det KM2
☐ 0λλdet 3 KM ☐ 0λdet KM2
c) Geben Sie das charakteristische Polynom an.
d) Berechnen Sie die Eigenwerte des Systems.
4/32/1 ,
e) Berechnen Sie die Eigenvektoren.
2, xx1
f) Sind die Eigenvektoren linear abhängig?
☐ Ja ☐ Nein ☐ Keine Aussage möglich
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 1.2
Aufgabe 2: Eine Saite (Länge L, Querschnittsfläche A, Dichte ρ) ist unter Vorspannung mit der
Kraft S am linken Ende fest eingespannt und am rechten Ende reibungsfrei vertikal geführt. Zum
Zeitpunkt t = 0 wird die Saite um a ausgelenkt und anschließend losgelassen.
a) Wie lautet die allgemeine Wellengleichung für die Saitenschwingung?
☐ wcw 2 ☐ wcw 3 ☐ wcw 2
b) Wieviele Randbedingungen sind zur Bestimmung der allgemeinen Lösung nötig?
c) Wie lauten die Randbedingungen für das dargestellte System an den Rändern 0x und
Lx ?
Eine Lösung des Systems ergibt sich mit dem Produktansatz zu )t(y)x(W)t,x(w kkk . Hierbei
lässt sich der vom Ort abhängige Anteil )x(Wk ausdrücken als
x
csinDx
ccosC)x(W k
kk
kk , mit A
Sc
.
d) Welcher Wert ergibt sich aus den Randbedingungen für die Konstanten kC ?
kC
)x(w0 a
S x
L
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 1.3
e) Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass die Überlagerung mehrerer Lösungen der
Wellengleichung ebenfalls wieder eine Lösung darstellt. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen
k auf Basis der Randbedingungen.
f) Im Folgenden sollen die Eigenformen des Systems normiert werden. Hierzu findet das
Skalarprodukt kontinuierlicher Funktionen 1
0
x
xf (x)g(x)dx Verwendung, das in Analogie zum
Skalarprodukt diskreter Funktionen (Vektoren) als Summation über die Produkte unendlich
vieler Vektorkomponenten
1i iigf angesehen werden kann. Welcher Zusammenhang gilt für
das Skalarprodukt zweier Eigenformen )x(Wi und )x(Wk ?
g) Was ergibt sich in Folge der Normierung für die Koeffizienten kD in den Gleichungen der
Eigenformen?
h) Geben Sie die allgemeine Lösung in Abhängigkeit der Eigenlösungen an.
i) Geben Sie die Anfangsauslenkung )x(w0 und die Anfangsgeschwindigkeit )x(w0 für den in
der Aufgabenbeschreibung angegebenen Anfangszustand an. Die Auslenkung kann hierbei
als lineare Funktion von x approximiert werden.
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 1.4
j) Aufgrund des Superpositionsprinzips können die Anteile iA und
iB der einzelnen
Eigenformen )x(Wi in der Anfangsauslenkung )x(w0 und der Anfangsgeschwindigkeit )x(w0
bestimmt werden. Geben Sie die zur Berechnung nötigen Gleichungen an.
i
i
A
B
k) Wie können aus den Koeffizienten iA und
iB die Amplitude und die Phase der zugehörigen
Zeitfunktionen berechnet werden?
i0
i
y
l) Welcher Wert ergibt sich für iB und damit für i ?
ii ,B
m) Wie vereinfacht sich dadurch die Berechnung von i0y ?
i0y
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 1.5
n) Berechnen Sie die Koeffizienten iA allgemein in Abhängigkeit von i . Verwenden Sie hierbei
die Beziehung a
)axcos(x
a
)axsin(dx)axsin(x
2 .
Ai
o) Tragen Sie die mit 2
aL24
normierten Anteile der Eigenformen iA in das unten abgebildete
Diagramm ein.
i
Ai, norm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
0,8
0,6
0,4
0,2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 1.6
Aufgabe 3: Ein Balken ist am Punkt A gelenkig, horizontal verschiebbar gelagert und am Punkt B
in einem masselosen, vertikal verschiebbar gelagerten Klotz fest eingespannt.
a) Geben Sie die Differentialgleichung an, die die Dynamik der Balkenschwingung beschreibt.
b) Wieviele Anfangsbedingungen müssen zur Lösung des Problems vorgegeben werden?
c) Wieviele Randbedingungen sind zur Lösung des Problems erforderlich?
d) Geben Sie die benötigten Randbedingungen an.
L
A B
x
w
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 2.1
Aufgabe 1:
Zwei Kugeln mit Masse mI und mII stoßen mit den
Anfangsgeschwindigkeiten I
0v und
II
0v aufeinander.
a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit der Stoßzahl die Geschwindigkeiten der Kugeln nach
dem Stoß.
II
1
I
1
v
v
b) Ergänzen Sie folgende Tabelle
mII=mI,
II
0v =0
mII→,
II
0v =0
mI=mII,
II
0v =−
I
0v
mI=mII,
II
0v =−2
I
0v
elastischer
Stoß =1
I
1v
II
1v
teilelastischer
Stoß =1
I
1v
II
1v
plastischer
Stoß =0
I
1v
II
1v
Im
IIm
masselose Fäden
II
0v
I
0v
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 2.2
Aufgabe 2:
Eine Kugel (Masse m, Radius R ) rollt
(Schwerpunktgeschwindigkeit v0) gegen
eine Kante. Der Stoß ist zentral, glatt und
elastisch.
a) Tragen Sie in die Skizze Stoßnormale, Stoßtangente und den Kraftstoß auf die Kugel
ein.
(Hinweis: lm Aufstandspunkt A findet kein Stoß statt!)
b) Welcher kinematische Zusammenhang besteht zwischen der Normalgeschwindigkeit
des Punktes P, den Schwerpunktgeschwindigkeiten vsx, vsy und der Winkelge-
schwindigkeit ω?
pN
v
c) Tragen Sie in die folgenden Skizzen alle Geschwindigkeitsgrößen zur Beschreibung
der Kugelbewegung ein. Formulieren Sie eventuelle kinematische Größen und geben
Sie damit die Normalgeschwindigkeit des Punktes P an.
Vor dem Stoß Nach dem Stoß
I
0pNv
I
1pNv
x
y
S
A
P
0v
S
A
P
sxv
syv
S
P
S
P
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 2.3
d) Formulieren Sie die Impulsbilanzen für die Kugel
e) Welche zusätzliche Beziehung ergibt sich für den elastischen Stoß?
f) Welche horizontalen und vertikalen Geschwindigkeiten ergeben sich nach dem Stoß?
g) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoß?
h) Unter welcher Bedingung für ψ fliegt die Kugel nach dem Stoß nach rechts weiter?
i) Welche Bedingung ergibt sich daraus für die Kantenhöhe h
R
h
j) Für welche Kantenhöhe h erreicht die Kugel bei einem an den Stoß anschließenden
Flug die größte Flughöhe H und wie groß ist die maximale Flughöhe H ?
,R
h
.
H
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 3.1
Aufgabe 1: Ein Billardspieler platziert die Kugel I im Abstand a von der x-Achse auf dem
Billardtisch und stößt sie mit der Geschwindigkeit I
0v in x-Richtung. Durch einen glatten Stoß
(Stoßzahl ) mit der ruhenden Kugel II soll die Kugel I so abgelenkt werden, dass sie mit dem
Winkel gegen die elastische Bande läuft, um die Kugel III zu treffen. Die Kugeln
(Durchmesser d, Masse m) bewegen sich reibungsfrei auf dem Billardtisch, die Drallanteile werden
vernachlässigt. Gesucht ist im Folgenden der Abstand a.
Lage beim Stoß:
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 3.2
a) Klassifizieren Sie den Stoß zwischen Kugel I und Kugel II.
☐ gerade ☐ schief ☐ zentral ☐ exzentrisch
b) Wie lauten die Impulsbilanzen für den Stoß von Kugel I und Kugel II in Normal- und
Tangentialrichtung mit den Geschwindigkeiten II,I
1,0Nv und II,I
1,0Tv ?
c) Welche Bedingung gilt für die Normalgeschwindigkeiten beim teilelastischen Stoß?
d) Welche Bedingungen gelten für die Tangentialgeschwindigkeiten der Kugel I und Kugel II vor und nach dem glatten Stoß?
e) Bestimmen Sie die Normal- und Tangentialgeschwindigkeiten von Kugel I und Kugel II vor
dem Stoß.
I
0Nv
I
0Tv
II
0Nv
II
0Tv
f) Geben Sie die Geschwindigkeiten unmittelbar nach dem Stoß an.
I
1Nv
I
1Tv
II
1Nv
II
1Tv
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 3.3
g) Wie lautet die Beziehung zwischen I
1Nv und I
1Tv , damit die Kugel I nach dem Stoß mit dem
Winkel gegen die Bande läuft?
I
1T
I
1N
v
v
h) Geben Sie die geometrische Beziehung zwischen dem Winkel und dem Abstand a an.
i) Bestimmen Sie den gesuchten Abstand a für einen vollelastischen Stoß ( 1 ).
a
j) Erklären Sie anschaulich unter welchem Winkel die Kugel I bei gegebenem Winkel
gegen die Bande läuft (vollelastischer Stoß).
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 4.1
Aufgabe 1: Der skizzierte Balken (Biegesteifigkeit EI ,
Länge ) ist am linken Ende fest eingespannt und am rechten Ende mit der Kraft belastet. Geben Sie Randbedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten der allgemeinen Lösung der Wellengleichung an.
LF
x
w
L
F
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 4.2
Aufgabe 2: Die Kugel I (Masse m) trifft mit
der Geschwindigkeit I
0v auf die ruhende
dünne Klappscheibe II
(Trägheitsmoment JA, Masse M) und bleibt
darin stecken. Die Klappscheibe ist im
Punkt A drehbar gelagert. Der Auftreffpunkt
der Kugel sei P.
a) Es handelt sich um einen
teilelastischen plastischen elastischen
Stoß.
b) Geben Sie die Drallbilanz für das Gesamtsystem bezüglich des Drehpunktes A an.
c) Wie groß ist die Geschwindigkeit I
1v der Kugel sowie die Winkelgeschwindigkeit II
1 der
Klappscheibe nach dem Stoß?
II
1
I
1v
d) Berechnen Sie den Energieverlust beim Stoß.
E
Hinweis: Nehmen Sie für die weiteren Teilaufgaben an, dass sich durch die in der Klappscheibe steckende Kugel nur die Masse der Klappscheibe aber nicht die Lage des Schwerpunktes ändert.
e) Wie groß muss II
min1 mindestens sein, damit die Klappscheibe umfällt?
II
min1
f) Wie groß muss dann I
min0v mindestens sein, damit die Klappscheibe umfällt?
I
min0v
g
h
II
ωII
A
I P VI0
h L
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 5.1
Aufgabe 1: Für das abgebildete räumliche Fachwerk soll die Verschiebung Ru des
Knotenpunktes R mit der Methode der Finiten Elemente berechnet werden. Alle Stäbe haben die
Querschnittsfläche A und den Elastizitätsmodul E . Das Fachwerk wird durch eine windschiefe
Kraft F belastet.
Die lokale Steifigkeitsmatrix
K eines Stabelements (finites Element) bildet die
Verschiebungen P Q[u , u ] der Endpunkte P und Q (Knotenpunkte) in Stabrichtung auf die in
Stabrichtung wirkenden Kräfte ab.
a) Ergänzen Sie die lokale Steifigkeitsmatrix
K eines Stabes.
A E
L
K
BC
D
12
3
2
L
2
L
2
L
L2
3
F
1x
2x
3x
R
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 5.2
Sämtliche Knotenpunktsverschiebungen sollen im Weiteren in einem gemeinsamen globalen Koordinatensystem dargestellt werden. Die Verschiebungen der Knotenpunkte im globalen Koordinatensystem werden aus den Verschiebungen im lokalen Koordinatesystem unter Betrachtung von Geometriebeziehungen ermittelt.
b) Geben Sie die Richtungskosinusse der Winkel 1
, 2
und
3 in Abhängigkeit der Koordinaten der Knotenpunkte
1 2 3p P P P[x , x , x ]x und 1 2 3Q Q Q Q[x , x , x ]x sowie der Länge
des Stabes L an.
11 1c cos( )
, 21 2c cos( )
31 3c cos( )
c) Bestimmen Sie die Längen der Stäbe des Fachwerks.
1L
, 2L
, 3L
d) Geben Sie die Richtungskosinusse für die drei Stäbe an.
Stab 1:
11c ,
21c ,
31c
Stab 2:
11c ,
21c ,
31c
Stab 3:
11c ,
21c ,
31c
Die Steifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten bildet die Verschiebungen in globalen Koordinaten
1 2 3 1 2 3P P P Q Q Q[u ,u ,u ,u ,u ,u ] w auf die an den Stabenden angreifenden Kräfte ab. Sie wird unter
Verwendung der Richtungskosinusse aus der Steifigkeitsmatrix in lokalen Koordinaten gewonnen und stellt sich wie folgt dar:
sub sub
sub sub
K KK
K K.
1x
2x
3x
1
2
3
L
Q
P
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 5.3
e) Geben Sie die Submatrix sub K allgemein in Abhängigkeit der Richtungskosinusse 11c ,
21c und 31c an.
sub
A E
L
K
f) Ergänzen Sie die Submatrizen sub 1K , sub 2K und sub 3K der drei Stäbe des Fachwerks.
sub 1 sub 2
sub 3
,
K K
K
,
Das Ziel des Verfahrens ist, eine globale Steifigkeitsmatrix K zu erhalten, die die Verschiebungen der freien Knoten y auf die daran angreifenden Kräfte q abbildet. Als freie
Knoten werden dabei diejenigen Knoten bezeichnet, deren Lage nicht durch Randbedingungen wie Lager vollständig festgelegt ist. g) Wie lautet der Vektor der Verschiebungen der freien Knoten y für das Fachwerk?
y
Die Verteilungsmatrizen C entsprechen Abbildungen des
Vektors der Verschiebungen der freien Knoten y auf die
Verschiebungen der Stabknoten w .
h) Ergänzen Sie in der rechts abgebildeten Gleichung die
Verteilungsmatrix für den Stab 1.
1
2
3
1
2
3
P
P
P
1
Q
Q
Q
u
u
u
u
u
u
w y
C
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 5.4
i) Wie setzt sich die globale Steifigkeitsmatrix zusammen?
K
j) Geben Sie die globale Steifigkeitsmatrix des Tragwerks an.
K
k) Wie lautet der Vektor der verallgemeinerten Kräfte q ?
q
l) Wie erhält man den Verschiebungsvektor y aus den Kräften q ? Ergänzen Sie die
resultierende Gleichung.
y
R1 1
R 2 2
R3 3
u FL
u FAE
u F
m) Skizzieren Sie qualitativ das deformierte Fachwerk für 0FF 32 .
1x
2x
3x
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 5.5
Aufgabe 2: Das skizzierte Fachwerk wird durch
die Kraft F im Knoten D belastet. Die Verformung des Fachwerks soll mit der Methode der Finiten Elemente untersucht werden. Die Stäbe 2, 3 und 4 des Fachwerks haben den gleichen Elastizitäts-
modul E und die gleiche Querschnittsfläche A .
Stab 1 hat den Elastizitätsmodul E und die Quer-
schnittsfläche A3 .
a) Wie groß ist die Zahl der Freiheitsgrade des
Fachwerks?
f
b) Welcher Vektor y beschreibt die freien Knotenpunkts-
verschiebungen des Fachwerks?
B1 B2 D1 D2[u u u u ]y
A1 B2 C1 D1[u u u u ]y
B1 B2 D1[u u u ]y
B1 D1 D2[u u u ]y
c) Geben Sie für die drei Stäbe jeweils Länge sowie Richtungskosinusse an.
Stab 1:
1L ,
11c ,
21c
Stab 2:
2L ,
11c ,
21c
Stab 3:
3L ,
11c ,
21c
Stab 4:
4L ,
11c ,
21c
d) Vervollständigen Sie die Submatrizen sub K der Stäbe des Fachwerks.
sub 1 sub 2
sub 3 sub 4
,
,
K K
K K
,
L
L
L L2
1
2
A
B C
D
F
Institut für Technische und Numerische Mechanik Technische Mechanik IV Profs. P. Eberhard, J. Fehr, M. Hanss A 5.6
e) Ergänzen Sie die Verteilungsmatrizen C .
1 2
3 4
,
,
C C
C C
f) Bestimmen Sie die globalen Elementsteifigkeitsmatrizen.
T T
1 1 1 2 2 2
T T
3 3 3 4 4 4
,
,
C K C C K C
C K C C K C
g) Bestimmen Sie die globale Steifigkeitsmatrix.
K