Beitr~ige zur Arithmetik kommutativer Integrifittsbereiche.

E i n e B e m e r k u n g z u d e n B e i t r ~ g e n V I u n d V I I 1).

Von

Wolfgang Krull in Bonn.

In Anmerkung 21) yon Beitrag VI habe ich unter Berufung auf den Beweis von Satz 10 die Giiltigkeit des folgenden Primaridealsatzes behauptet; Es sei 9t ein ganz abgeschlossener Integrit~tsbereich, ~ ein ganz abh~ngiger Ober- ring von 91 2), der fiber 91 eine Modulbasis yon endlieh vielen, linear un- abh~ngigen Elementen col, �9 ~.., co~ besitzt. Ist dann t e i n beliebiges Prim~$r- ideal aus 91, so besitzt ~ . ~ eine Durchschnittsdarstellung ~ . ~ ~- ~1 ~ " " �9 ~ l)~ , bei der die ~)~ Primarideale sind, die alle mit 91 den Durchschnitt t haben.

Indessen zeigt eine genauere Untersuchung, dal~ der Beweis von Satz 10 nut dann stiehhaltig ist, wenn ~ nicht bloB die gewfinschte Modulbasis besitzt, sondern daifiber hinaus noeh der folgenden Normenbedingung genfigt :

Gleichzeitig mit fl gehi~rt stets auch f l - 1 . N (fl) zu ~ , ]alls N (fl) die Norm yon fl iiber dem Quotientenk6rlJer ~ yon 91 bedeutet.

Ob der Prim~idealsatz auch unabhiingig yon der Normenbedingung gilt oder nicht, kann ich bis jetzt nicht entscheiden. Wichtig ffir die Beitriige VI und VII sind die folgenden beiden Bemerkungen:

a) Die Normenbedingung ist sicher er[iillt, wenn nicht nut 91, sondern auch ~ ganz abgeschlossen ist. (Trivial, da gleichzeitig mit fl stets auch f l -1 . N (fl) yon 9t ganz abhiingt.)

b) Der Prim~ridealsatz gilt [iir ~ (ohne Rficksicht auf das Erffilltsein oder Niehterffilltsein der Normenbedingung) immer, wenn zu ~ ein gan z abh~ingiger Oberring ~ existiert, der sowohl iiber 91 als auch iiber ~ eine Modul- basis yon endlich vielen linear unabhgngigen Elementen besitzt und seinerseits der Normenbedingung iiber ~ geniigt.

In der Tat, unter unserenVoraussetzungen ist jedenfalls ~. 2; --=-51~-'. ~ 3,~, wobei die 3iPrim~rideale sind, fiir die die Gleichungen ~i ~ 91 = ~ (i = 1 . . . . . m) gelten. Setzen wir ~ ~ ~ ~ ~, so siad auch die ~ Prim~rideale, und es w i r d ~ h ~ 9 1 = ~ i ~ r ~ 9 t : ~ 9 1 = ~ ( i = 1 . . . . . m). Aul~erdem folgt aus der Existenz der Modulbasis von 2; fiber ~ nach einer elementaren, in

1) Math. Zeitschr. /15 (1939), S. 1--19 bzw. 319--334. ~) Also ein Oberring, dessen si~mtliche Elemente yon ~ ganz abhiingen.

W. Krull, Kommutative Integritbtsbereiche. Bemerkung zu VI und VII. 531

Beitrag VI beim Beweise yon Sa~z 8 ausfii~lich durchgeffihrten ~berlegung sofort ~ - ~ - - - - ( ( ~ . ~ ) . ~ ) ~ = t . ~ : ~ = ~ l ~ 2 ~ . . - r ~ r ~ ~- (~1 r~ ~) r~ -- �9 r~ (~,,~ r , ~) -~ th r~ . . . r~ 0~. Fertig!

Bemerkung a) zeigt, da~ der Beweis von Satz 10 in Beitrag VI einwandfrei ist. Denn jeder ,,unverzweigte" Oberring yon 91 ist ganz abgeschlossen.

Bemerkung b) zeigt die Riehtigkeit der Behauptung y) des Satzes 2 yon Beitrag VII, ffir die wegen der Berufung auf die zu weitgehende Behauptung der Anmerkung 21) yon Beitrag VI in Beitrag VII selbst kein stiehhaltiger Beweis gegeben worden war. -- Es handelt sieh an der genannten Stelle datum, zu zeigen, da~ der Primgridealsatz gilt, wenn der ganz abgeschlossene Integrit~tsbereich 91 einen UnterkSrper g enth~lt, fiber dem der Quotienten- kSrper R yon 9t ,,streng transzendent" ist, und wenn gleichzeitig der Ober- ring ~ yon 91 die Gestalt A �9 91 besitzt, wobei A einen endlich-algebraisehen OberkSrper yon K bedeutet. Verstehen wit nun unter N den kleinsten A tim- fassenden NormalkSrper fiber K, und setzen wit Z -~ N �9 91, so hat Z aus den beim Beweise yon Satz 2 in Beitrag VII ausfiit~lich dargelegten Giiinden sowohl fiber 91 als aueh fiber ~ eine Modulbasis yon endlieh vielen linear unabhiingigen Elementen; aul]erdem genfigt ~: der Normenbedingung fiber 9t, well ~: gleichzeitig mit fl stets auch s~mtliche Konjugierten yon fl fiber 91 enth/ilt. Man kann also unmittelbar das unter b) abgeleitete Kriterium anwend en.

AuGer an den soeben behandelten Stellen wurde weder in Beitrag VI noch in Beitrag VII irgendwo anf Anmo, r~_n_g el) yon Beitrag VI zuIfiek- gegriffen. Das in dieser Anmerkung begangene Versehen ist also bedeutungslos.

(Eingegangen am 25. April 1942.)