Beiträge zur Darstellungstheorie der allgemeinen linearen Gruppe

Beitriige zur Darstellungstheorie der linearen Gruppe.

Voa

allgemeinen

W. Speeht in Erlangen.

In deft nachfolgenden Betrachtungen wird unter dem Zeichen stets eine Matrix, die Verdnderlichenmatrix

X l l Xt~ �9 . . X t m

X ~ I X~2 . . . X 2 m

(1) 3~ =

in n Zeilen und m Spalten verstanden, deren Elemente x~, als unab- h~tngige komplexe Ver~nderliche aufzufassen sind. Als Form f(E) der Matrix ~ bezeichnen wir jeden Ausdruck der Gestalt

(2) f(~) = E c , , o , . . . . j ~

mit komplexen Koeffizienten C,,a,...a~, worin tiber alle Systeme a,~ a~, . . . , r zu summieren ist, die den Ungleichungen

l ~ a , , ~ n (g ---- 1, 2, . . .~ m)

gentigen. Eine Form f(E) ist also eine homogene ganzrationale Funk- tion der Elemente x~, yon ~, die in den Elementen jeder Spalte yon E homogen und linear ist. Wendet man auf die Matrix E eine lineare 'Transformation

~ A ~

.an, wobei A eine regul~re ~)Matrix des Grades n, ~ eine zweite Ver- /~nderlichenmatrix bedeutet, so entsteht aus der Form f(~) die Form

t (~) = P(A ~.), deren Entwieklung

A

Koeffizienten besitzt , die homogene ganzrationale Funktionen der

~) Eine Matrix heiBt regular, wenn ihre Determinante yon Null versehieden ist.

378 W. Specht:

E lemente der Matrix A sind. Ebenso l iefert eine Transformat ion

mit einer m-reihigen Pe rmuta t ionsmat r ix ~) eine neue Form

f(~) = f ( ~ P )

der Vergnder l ichenmat r ix ~c, da diese Transformat ion lediglich eine Pe rmuta t i on der Spal ten yon 3~ bewirkt .

Bezeichnet nun ~ die allgemeine lineare Gruppe des Grades n, d .h . die Gruppe aller regul~tren Matrizen

A ----- (a~) (x,~t = 1, 2 , . . . , n)

aus komplexen Zahlen a , a , so vers tehe ich un te r einem Formenmodul M eine Menge yon Formen f(~) der Vergnder l ichenmatr ix ~ mit den fo lgenden Eigenschaf ten :

I. Ist f(3~) eine Form aus M, so ist ftir jede komplexe Zahl a auch a f(~) eine Form aus 54;

2. Sind f,(E), f , (~) zwei Fo rmen aus M, so ist auch f , ( ~ ) + f , (~) eine Form aus M;

3. Ist f(E) eine Form aus M, so ist ftir jede Matrix A aus @~, auch f ( A ~ ) eine Form aus M;

4. Ist f , f , . . . , . . .

eine k o n v e r g e n t e Folge yon Formen aus M, so gehiJrt auch die Grenzform

f (~) ~- lim f~(~) k --+ (:~

zu M. Dabei wollen wir eine Folge yon Formen

wal a2 . . . ara Xai 1 Xa=2. . . X a m m

konvergent nennen, wenn ftir jede Indizesreihe a,, a,, .... , a,~ die Folge der Koeff iz ienten C(~a,... a~ konve rg i e r t ; ist dabei

Ca, a, a,~ - - lim C (k~

so bezeichnet I(:~) ----- lim fk(3~) die Form

= E Ca, a, . . . . . Xa,

Die Me'nge g aller Fo rmen f(~) der Matrix a[ ist offenbar ein Fo rmenmodu l vom Range m~ da die Po t enzp roduk te xa,~ Xa~=... xa ,~

~) Unter einer Permutationsmatrix oder Permutation P wird hier stets die ~Iatrix verstanden~ die der linearen Substitution

x" = xa.,, (~ ---- 1, ~ . . . . , m)

mit der Permutation P ---- (a~u) entspricht.

Beitr~tge zur Darstellungstheorie der allgemeJnen linearen Gruppe. 379

eine linear unabh~ngige Basis bilden. Diesen Modul I" werden wir auch als den Gesamtmodul bezeichnen. Jeder Formenmodul M i s t ein Teilmodul yon l - u n d besitzt demzufolge einen endlichen Rang, weshalb er stets durch eine cndliche linear unabh~tngige Basis auf- gespannt werden kann. Als Teilmodul eines Formenmoduls wird weiterhin stets in fiblicher Weise nur eine Teilmenge dieses Moduls angesehen, die ftir sich einen Formenmodul bildet, also die vier angegebenen Eigenschaften besitzt. Sind gl(~), g..(~), . . . , gk(~) vorge- gebene Formen der Matrix ~ , so bezeichne IVl(g,(~), g~(~), . . . , gk(~)) den Durchschnitt aller Formenmoduln, die diese Formen" enthalten; diesen Modul wollen wit als den dutch die Formen g~(~) bestimmten Formenmodul bezeichnen. Ein unzerlegbarer Formenmodul Ivl, d.h. ein Modul~ der keinen echten Teitmodul enthi~lt, wird demgem~l~ durch jede seiner (nicht identisch verschwindenden) Formen f(~) bestimmt; in diesem Falle ist also M ~ M(f(~)). Es ist aber, wie man leicht durch Beispiele zeigen kann, nicht mOglich~ jeden Formenmodul M durch eine einzige, geeignet gew~hlte Form zu bestiminen; m~n mul~ zur Bestimmung eines Moduls im allgemeinen mehrere Formen des Moduls heranziehen.

Ist nun 54 ein beliebiger Formenmodul~

. . . ,

eine linear unabh~tngige Basis von 54, so ist ftir jede )TIatrix A aus (~n die Reihe der Formen

f, (A ~), f~ (A Y), . . . , L-(A Y)

im Modul M enthalten. Daher bestehen lineare Beziehungen der Ge- stalt

(3) f.o (A ~) = E d~o (A) fo (~) (.o, ~ = 1, 2 , . . . , r), 6

worin die Koeffizienten de~(A ) homogene ganzrationale Funktionen der Dimension m in den Elementen a,~. der Matrix A sind. Aus den Gleichungen

f0 (A B ~) = E d~ o (A) fo (B ~) = E d~ ~ (A) do, (B) h (~)

und f o (A B Y) = Z do ~ (A B) f~ (Y)

folgt weiter die Matrixgleichung

D (A) D (B) = n (A B), wenn

n (A) = (d e~ (A))

gesetzt wird. Somit liegt in den Matrizen D(A) eine homogene ganz-

380 W. Specht:

rationale Darstellung der Gruppe ~n VOTt der Dimension m vorS). Wir nennen diese Darstellung D(A) die yon dem Formenmodul M erzeugte Darstellung der Gruppe ~,,. Diese Ausdrucksweise ist des- halb berechtigt, weil zwei verschiedene linear unabh~ingige Basen des gleichen Moduls ~hnliche~ also nicht wesentlich verschiedene Dar- stellungen der Gruppe @~ liefern.

Jede ganzrationale Darstellung D(A) der Gruppe ~ . ist nun be- kanntlich4) vollreduzibel. Wird durch eine geeignete konstante Matrix M ~ (m~o) die Darstellung D(.4) in der Gestalt

MD(A)M-' : D, A) D~(A) -~- C(A)

zerf~llt~ so erzeugt die neue Basis

g.o (~) = E mo ~ f~ (~) 6

des Moduls M die direkte Summe

=- 1, 2 , . . . , r)

Darstellung C(A). Somit kann der Modul als

M = MII+M~

zweier echter Teihnoduln dargestellt werden, yon denen MI I die Dar- stellung D,(A), M 2 die .Darsteltung D,(A) erzeugt. Aus tier vollen Reduzibilit~tt der ganzrationalen Darstellungen der Gruppe ~ erh~tlt man demnach ffir die Formenmoduln M die folgende Bemerkung:

Ist M ein Formenmodul, M, ein echter Teilmodul yon M, so gibt es stets einen echten Teilmodul M~ yon M, so da# M die Darstellung M ~ M, + M~ al~ direkte Summe zuld#t. Insbesondere ist jede Form f(~) eindeutig als Summe

r(~) ---- &(~)+r,(~)

einer Form f , (~) aus MI und einer Form f~ (~) aus M, darstellbar. D i e Untersuchungen der vorliegenden Arbeit besch~tftigen sich

haupts~tchlich mit der Aufstellung eines Verfahrens zur Bestimmung der irreduziblen Bestandteile der dureh einen Formenmodul M erzeugten homogenen ganzrationalen Darstellung D (.4) der allgemeinen linearen Gruppe. Insbesondere handelt es sich also um die Angabe eines m{Jglichst einfachen Kriteriums zur Entscheidung der Frage, ob eine bestimmte irreduzible Darstellung in dieser Darstellung D(A) vorkomrat oder nicht. Dartiber hinaus werden wir ein Verfahren entwickeln, das gestattet, denjenigen Teilmodul M, des Moduls M zu bestimmen~ der das genaue u einer bestimmten irreduziblen

8) Ffir alle Begriffe der Daxstellungstheorie der allgemeinen linearen Gruppe verweise ieh auf: I. ScnuR, ~ber die rationalen Darstellungen der a!lgemeinen linearen Gruppe. Sitzungsber. Akad. Berlin 1927, S. 58--75. (Weiterhin mit SCRUR zitiert.)

4) Vgl. S6~IUR, Satz I.

Beitr~tge zur Darstellungstheorie der allgemeinen linearen Gruppe. 381

Darstellung 5) erzeugt, das in der Darstellung D(A) enthalten ist. SchlielMich werden wit ffir einen besonderen Typus yon Formenmoduln eine wesentlich einfachere LSsung dieser Aufgaben angeben, die auf dem Umstand beruht, dab in diesem Falle die Charakteristik der erzeugten Darstellung direkt angegeben werden kann. Die Kenntnis der Charakteristik einer Darstellung erm~glicht aber genaue Aussagen fiber die Zerlegung in irreduzible Bestandteile.

I.

Es sei Z ~ (z~)e ine n-reihige Matrix, deren Elemente z~ als komplexe Ver~inderliche

f i i

aufzufassen sind, welter Z ~---(~;,) die konjugiert-komplexe Matrix zu Z und @(Z) der Ausdruek

~(z ) = E Iz~zl* = E (z ' f f+z~z) . n, 2 ~, s

Ist f(Z) eine Funktion der Elemente z~x yon Z, so verstehen wir unter dem Zeiehen

(4) f / (z) I z ~t~ g z

das fiber den Bereieh 0 <___ ~(Z)~< 1 erstreekte 2 n*-fache Integral

f / ( Z ) l Z '~dz,,dz,~..: ' dzn,,dz: " d z , ~ . . . d z ; ~ ,

wobei m e i n e natfirliche Zahl und IZI wie iiblich die Determinante der Matrix Z bezeichnet. Liegt eine Matrix

F (Z) = ( /~ (Z))

von Funktionen f~(Z) der Elemente z~,), von Z vor, und ist

ga~ = f i .p(Z)[ZZI "~ dZ,

so bezeichne f F(Z)[ZZt ~ dZ die Matrix

G = (go~).

Das Integral (4) hat die Eigenschaft, daf5 fiir jede unit~tre Matrix U die Gleichung 6)

(5) f / ( U Z ) i Z Z I ' d Z -~ f / ( Z U ) [ Z Z l ~ d Z = f f ( Z ) l Z Z } " d Z

besteht. Insbesondere ist das Integral

(6) h ~- f l Z Z l ' ~ d Z

5) Unter einem Vielfachen einer irreduziblen Darstellung 29(A) verstetle ieh eine Darstellung, die D(A) als einzigen (mSglieherweise mehrfachen) irreduziblen Best.andteil enthiilt.

6) Vgl. SClaOR, .e 3 4.

382 W. Specht:

eine positive Zahl, f t ir die wir durchweg das Zeichen h verwenden, Schliefilich geben wir noch den nachstehenden Satz an, yon dem mehrmals Gebrauch gemacht wirdT):

H il f s s a t z. Eine homogene ganzrationale Funktion f (g) der Matrix Z, die fi~r alle unitdren Matrizen Z ~ - U verschwindet, ist identisch Null.

Sind nun C(A) und D (A) zwei beliebige homogene ganzrationale Darstellungen der Gruppe @, yon der Dimension mS), ist also

C(AB) --- C(A)C(B); D(AB) = D(A)D(B)

ffir jedes Paar regul~rer Matrizen A, B und setzen wir mit einer beliebigen Matrix U in der passenden Anzahl der Zeilen und Spalten

(7) C-' (Z) U D (Z) ---- F (Z),

so gilt ftir die Matrix s)

(8) V = f F(Z)]Z Z]'~ d Z

die Gleichung

(9) C(A) V = VD(A)

fiir jede Matrix A der Gruppe (~.. Zum Beweise bilden wir mit einer beliebigen Matrix A aus (~. das Integral

V, = f F(ZA)[ZZ] "~ dZ

mit dem Integrande n

F (ZA) ~ C-' (Z A) U D (Z A) = C (A-') F (Z) D (A),

fiir das die Gleichungen bestehen:

V, -~ f F(ZA) IZZ]~dZ = f C(A- ' )F(Z)D(A)]ZZ[ ~ d Z

= C(A-') ( f F(Z)[ZZr .dZ) D(A) = C(A-') VD (A).

Mithin gilt die Gleichung

C(A) V, : VD (A)

fiir jede Matrix A aus ~n. Nun ist ftir jede unit~tre Matrix A

V, ~ f F(ZA)[ZZ]'~dZ ~ f F(Z)[ZZlmdZ -~ V,

~) Vgl. I. SCHUa, Neue Anwendungen der Integralrechnung auf Probleme der Invariantentheorie. Sitzungsber. Akad. Berlin 1924, S. 189--208, w 1 des ersten Teils.

s) Weiterhin wird unter einer Darstellung der Gruppe Sn stets eine homogene ganzrationale der Dimension m verstanden.

9) Das Integral hat einen Sinn, da die Matrix

F(Z) IZZI~ = e(z-,) UD(Z)IZZ[ ~

aus ganzrationalen Funktionen der z~z besteht.

BeitrStge zur Darstellungstheorie der allgemeinen linearen Gruppe. 383

weshalb ftir jede unit~re Matrix A die Gleiehung

C (A) V ---~ VD (A)

besteht. Da auf belden Seiten dieser Gleichung Matrizen stehen, deren Elemente homogene rationale Funktionen der Elemente a~ yon A der Dimension m sind, gilt diese Gleichung ftir alle regul~ren Matrizen.

Sind insbesondere C(A) und D(A)"zwei wesentlieh verschiedene irreduzible Darstellungen yon (~,~, so besteht zwisehen ihnen keine Verkettung 10). Es mul~ also V ~ 0 sein, weshalb wegen (7) u-nd (8) die Gleiehung

f C(Z-')UD(Z)]ZZI~ g z 0

besteht. Setzen wir

C(Z) --~ (c~(Z)); D(Z) = (d~(Z)); U = (uzr),

so erhalten wir hieraus

f [2] c~j (z-l) u ~ d~ (Z)] I Z Z t ~ g Z fl, Y

-~ E f caz(Z- ' )uz . /dTo(Z)IZZI 'dZ = O, ~,7

woraus dureh einfaehe Reehnung f/Jr j e d e s P a a r yon Matrizen A, und A~ aus (~, aueh

E f c a~ (A, z- ') u~ a~ (z A,) I Z Z I ~ d Z = 0 8 , r

folgt. Da dies fiir alle Matrizen U gilt, ergeben sieh sehliel~lieh die Relationen

(10) f ca~(A, Z-') dro(ZA~.)IZZI" dZ .-= 0

ftir jede Reihe yon Indizes a, fl, 7, 6. Fiir die Charakteristiken ~)

(Z) = Z c a , ( Z ) ; ~,(Z) = Zd~r (Z) a 7 '

der beiden irreduziblen Darstellungen folgt hieraus durch einfaehe Summierung der

S a t z 1. Zwischen den Charakteristiken cp (Z), cp, (Z) zweier wesentlich verschiedener irreduzibler Darstellungen der Gruppe (~, besteht /ii{ beliebige Matrizen A,, A, dieser Gruppe die R,elation

(11) f w (A,Z-')~P~(ZA,)IZZI"dZ = O.

Im Falle, dal~ in der Gleichung (9) die beiden Darstellungen C(A) und D(A) gleich und irreduzibel angenommen werden, erhalten wir

D(A)V = VD(A) ~o) Vgl. I. SCHUR, Beitr~ge zur Theorie der Gruppen linearer homogener Sub-

stitutionen. Transactions Amer. Math. Soc. 10 (t909), S. 159--175, S atz I. n) Charakteristik einer Darstellung heil~t die Spur der ,,allgemeinen" Matrix

D(A) dieser Darstellung. .

Mathematische Zeitschrift. Bd. 51. ~6

384 W. Specht:

und infolgedessen 12) V --~ c E

mit einer yon U abh~tngenden Griifle c. findet man C durch~8)

(V) ---- c g oder

Ist D(A) vom Grade g, so

1 /TY~ c ---- ~ , H . g �9 J

Nun i s t

V = f F (Z) I ZZ I '~ d z = f D (Z -~) UD (Z) I ZZI ~ d Z

und daher a (V) = f ~ (D (Z "~) UD (Z)) [Z Z]~ d Z

---- f a ( U ) I Z Z ] ' d Z = a(U)h.

Mithin erhalten wit 1 1 o(V) - - - - h a ( U ) C ~ g

und weiter aus cE --- V --~ f F(Z)IZZ]'~dZ

die Gleichung In)

c~.z = Z f daT(Z-l) uT~d~(Z)[ZZ] ~ d g

oder h

E~ Z ur7 = Z f da7 (Z-~) ur~ d~ (Z) I ZZ }'d Z. 7 7, 6

Da diese Gleichung in den Elementen urn der Matrix U identisch erftillt ist~ folgt die Relation

h (12) f d~r(Z -~) d~(Z)[Z-z]'~dZ --~ ~- ~ , ~

ftir jedes System yon Indizes a, ~, ~, (~ und weiter ftir beliebige Ma- trizen A , As durch einfache Rechnung

h * (13) f d~ r (A, Z-') d~(ZA~)[ZZI'~gz = ~ - d ~ (A, A2) ~r~.

Insbeson<lere entnehmen wir hieraus den S a t z 2. Fi~r die Charakteristik cp (.4) einer irreduziblen Darstellung

D(A ) d e r Gruppe (~ besteht mit beliebiyen Matrizen A . A ~ dieser Gruppe die Relation:

_~_ h A (14) f r Z-') r (ZA,)]ZZ[~dZ - - ~ - c p ( , 4 , ) "

1~) Vgl. die in 10) angegebene Arbeit yon I. SCHUR, Satz III. ,a) Die Spur einer Matrix M wird mit a (M) bezeichnet. 1~) Die Gr(iflen ~a~ sind die Elemente der Einheitsmatrix • ---- (ea~).

Beitrage zur Darstellungstheorie der allgemeinen li~earen Gruppe. 385

II.

Bezeichnet ~p (Z) eine homogene ganzrationale Funktion der Dimen: sion m in den Elementen z~z der Matrix Z, ferner f(~) eine Form der Ver~nderlichenmatrix ~, so ist das IntegrallY)

(15) g(~) = / r (Z-')f (Z~)IZZI ~ gZ

g!eiehfalls eine Form der Matrix ~; sie gehSrt dem Modul M(/(~)) an, da die Integralform g(~) dureh eine Folge von Formen der Gestalt

gk (~.) = E ak~. q) (A:') f (.4~ ~.) (~ -~ 1, 2 , . . , k)

beliebig genau approximiert werden kann. Ist daher f ( ~ ) E l e m e n t eines Formenmoduls M, so gehSrt auch jede tntegralform g(~) der Gestalt (15) diesem Modul an.

Ist insbesondere 9(A) die Charakteristik e i n e r irreduziblen Dar= stellung D(A) 1~) des Grades g der Gruppe (~, so kSnnen wir die ICitegra!form

(16) - - - - 9(z-')f(zi )lzz-FdZ

bilden, die gleichfatls dem Modul M(f(~)) angehSrt; wir nennen diese Form die 9-Transformierte tier Form f(~). Ftir diese Transformierten gilt d e r

S a t z 3. Ist r eine einfache Charakteristik der Gruppe ~ , so bilden die ~p-Transformierten der Formen eines Moduls M einen Teilmodul M* des Moduls 54.

Der Beweis l~l~t sich aus den naehstehenden Regeln entnehmen, deren Richtigkeit leicht zu tiberpriifen ist:

1. Es ist 9 [a, f, (E) + u~ f~ (E)] = a, 9 [L (~)] + a~ 9 [5 (~)]-

2. Ist 9[f(E)] -~ g(E), so ist auch 9[/(AE)] = g(A~).

3. Ist f(E) = lim 5 (E), so ist 9 [f(E)] = lim cp [5 (E)]-

Von grSi~ter Bedeutung ftir die weiteren Untersuchungen sind die im folgenden Satze angegebenen Grundrelationen:

S a t z 4. Sind 9 (A), ~ (A) zwei verschiedene einfache Charakte- ristiken der Gruppe ~,,, so gelten fi~r jede Form f(E) der Verdnder- lichenmatrix ~ die Beziehungen :

(17) cp [r If (~)]] = cp [f (~)],

9, [9 : o.

Zum Beweise bilden wit

~) Das Integral hat einen Sinn, da ~p (Z -~ ) IZZ-I ,,~ eine ganzrationale Funktion der zx~t ist.

~") Ich nenne die Charakteristik einer irreduziblen Darstellung auch einfach. 26 *

386 W, Specht:

woraus wir ftir jede Matrix A aUS ffCn die Gleichung

,f g(A~) -= ~ ~p(AA-1Z-1) f (ZA~)IZ2}~dZ

entnehmen kSnnen. Ist A eine unitare Matrix, so folgt hieraus nach (5)

(19) a(A~) = ~ f ~ (Az -1) I (z:~)lz~l ~ dz.

Da die Koeffizienten tier auf den beiden Seiten dieser Gleiehung stehenden Formen der Matrix ~ homogene ganzrationale Funktionen der Elemente a~ der Matrix A darstellen, gilt diese Gieichung ftir alle Matrizen A der Gruppe 1~,,. Nun folgt welter ffir eine zweite einfache Charakteristik cpl(A ) des Grades gl der Gruppe gr

g~ (YE) I Y Y I ~ d Y ~,[g(~)] -= ~ f ~ , (Y-') g

und nach (19)

g,,ff r = ~ % ( Y - ' ) T ( Y Z - ' ) f ( Z ~ ) I Y Y ' ~ I I Z Z t ~ d Z d Y .

D~ die beiden Integrationen miteinander vertauseht werden diirfen, entsteht hieraus die Gleichung

gg' - ' -- dY) ZZ[" dZ, ~ , [ a ( ~ ) ] = ~- f (f ~,(Y ) ~ ( Y Z - ' ) i Y Y I "~ f (Z~) l

wobei naeh (11)das innere Integral den Wert

f q o ~ ( Y " ) ~ ( Y Z - ' ) t Y Y I ~ d Y = 0

annimmt, wenn opt(A) yon ~(A) versehieden ist, dagegen bei Gleich- heit der Charakteristiken nach (14) den Wert

f ep(y_,)cp(yz_,) I --,~ h Y Y l d Y --- ~cp(Z-').

Im ersten Falle erhiilt man demnaeh.

~, [g(~)] = 0, w~thrend im zweiten Falle

g2 /*h cp[g(~)] = ~ j ~ ( Z - ' ) f ( Z ~ ) [ Z Z I ~ d Z = g(~)

folgt. Damit sind die Behauptungen des Satzes vollst~indig bewiesen. Eine Form f(~) der Ver~tnderlichenmatrix ~ nennen wir weiterhin

r wenn sie die Gleichung

(~o) ~ [I(~)] = f (~) erffillt. Wie die Gleichung (17)zeigt , ist die ~-Transformierte einer beliebigen Form f(~) stets cp-invariant. Die Bedeutung dieses Be- griffes der qo-invarianten Form geht aus dem folgenden Satze hervor:

Beitr~ge zur Darstellungstheorie der allgemeinen linearen Gruppe. 387

S a t z 5. l s t .D(A) eineirreduzible Darstellung der Gruppe (~ mit der Charakteristik r so erzeugt ein Formenmodul M dann und nut dann ein Vielfaches der Darstellung D(A) yon @~, wenn ]ede Form des Moduls q>invariant ist.

Erzeugt der Formenmodul M eine Darstellung mit der Charakte- ristik ~p(A) ---- rcp(A), so kann M als direkte Summe

M ~ M~+M~+. . .+M~.

von r isomorphen Teihnodulr~ dargestellt werden, yon denen jeder die irreduzible Darstellung D(A) erzeugt. Da daher jede Form g(~) aus M sieh in der Gestalt

g (~) = g, (~) + g~ (~) + . - . + g,. (~)

aus Formen der Teilmoduln zusammensetzt, und die Gleiehung

r [g (~)] = ~ [g, (~)] + ~ [g~ (~)l + " " + ~ [g,. (~)]

besteht, k6nnen wir uns dgrauf beschrgnken~ die Gleiehungen

q~[go(3~)] = g0(~) (q = 1, 2, .... , r)

ftir die einzelnen Summanden yon g(~) naehzuweisen. Es gentigt demnach zu zeigen, daf$ die Formen eines Moduls. M, der die irreduzible Darstellung D(A) des Grades g mit der Charakteristik r erzeugt, ~-invariant sind. Ist

eine linear unabh~ngige Basis dieses Moduls, Beziehungen

wenn

gesetzt ist.

und

so gelten die linearen

r~(z ~) = E daz (z) r~ (~) (~, fl = 1, % . . , g),

D (Z) = (d~z (z))

Hieraus folgt weiter

d~r (Z-') fo (Z~:) = ~ d~r (Z-') do~ (Z) [~ (2)

f d~ (Z-') r~ (Z ~) l Z ~i ~ g Z = X f d~ (z-') do; (Z) rz (~) f Z~J ~ gZ,

also auf Grund der Gleiehung (12)

h f d~., (z-') fo (z ~) I z ~i ~ d Z = E ~- ~o~ ~,~ f~ (~).

Summiert man noeh fiber 7, so entsteht die Beziehung

f ~ (ZT') f~ (Z~O I Z-21 ~ d Z = ,h I~ (~). g

388 W. Specht:

Somit gilt fiir jede Form f a ( ~ der Basis v~on M die Gleichung:

=

Daher ist auch jede Form des Moduls M r Besteht andererseits ein Formenmodul M aus lauter ~0.4nvarianten

Formen, so kann die yon ihm erzeugte Darstellung k e i n e anderen irreduziblen Bestandtei]e als solche mit der Charakteristik r (A) enthalten. D e n n besiii~e sie einen irreduziblen Bestandteil D~(A) mit der Charakteristik r (A), so k~innte M als direkte Summe

M ~--- M~-I-M~

zweier echter Teilmoduln M,, M 2 dargestellt werden, von denen der erste die Darstellung DI(A) erzeugt. Jede Form f~(~) des Moduls M~ mti~te daml nach dem Vorangehenden die Beziehung

erffillen, w•hrend fiir f~ (E) als Form" des Moduls M auch die Gleichung

r [f, = fl besteht. Hieraus erhielte man aber wegen (18)

0 = ~, [~ If, (~)] ] = ~1 [f~ (~)] = f l (:~)

im Widerspruch zur Annahme, da6 M, ein echter Teilmodul yon M sein sollte.

Aus dem Satz 5 ergibt s i ch sogleich die nachstehende Folgerung: S a t z 6. Die durch den Formenmodul M erzeugte Darstellung

der Gruppe (~ enth~ilt dann und nur dann einen irreduziblen Bestand- teil mit der Charakteristik cp (A), wenn der Modul M cp-invariante Formen enthdlt.

Ebenso einfach erhltlt man den S a t z 7. Sind

,~ , (A) , ~, (A), . .., ~ (A)

die verschiedenen einfachen Charakteristiken 17) der Gruppe ~ , so ldpt sich ]eder Formenmodul M als direkte Summe

M ~ M ~ + M s + . . . w M ~

yon Teilmoduln darstellen, yon denen (fi~r ~ = 1, 2 ; . . , l) der Modul Mx genau die ~p~-invarianten Formen yon M enthdlt. Diese Aussage ist selbstverst~ndlich so zu verstehen, da~ der Teilmodul M~ der Null- modul ist, wenn der Modul M keine cp~-invarianten Formen enthalt, wenn also in der yon M erzeugten Darstellung yon @. ein irreduzibler Bestandteil mit der Charakteristik ~ ( A ) nicht vorkommt.

~7) Die Anzahl der einfachen Cbarakteristiken der Dimension m ist endlich; vgl. SOHUR, Satz III.

Beitr~ge zur Darstellungstheorie tier ~llgemeinen linearen Gruppe. 389

Jede F o r m f(~) der Matrix ~ l ~ t sich demnach eindeutig ats Summe

yon Formen f~(~) darstellen, ftir die die Beziehungen

~[f~(~)] : t~(~)

bestehen. Dartiber hinaus gilt, wie ~ch in diesem Zusammenhang zeigen will, der

S a t z 8. Zu~ jeder Form f(~) des Moduls [" l~i~t sich eine Form g (~) angeben, so da~ die Gleichung

besteht. Dabei sind die natiirlichen Zahlen fx dutch die Gleichung

(~ (A)) ~ = Z t~ ~ ( A ) ,

die Form g(~) dureh die Gleiehung

f(~) = ~ (.(z-'))~ g ( z~) ] z~I ~ d z

eindeutig bestimmt ; ferner bezeichnet g~ den Grad der Charakteristik

Besteht ftir eine Form f(~) d i e Gleiehung

f (~ (Z- ' ) )~ t (Z~) iZZl~dZ = 0, so gilt

Z f fxcPx ( z - ' ) f ( z l ) l z z I "~ dZ = 0

oder s

~ ; h ~ [ t ( ~ ) ] = 0.

Dann ist auch

ode r

Daher ist naeh Satz 7 der Modul M (/(Y)) der Nullmodul, also f(3~) ~--- 0. Ist demnaeh

g, (~), g, (~), . . . , g~ (~)

eine linear unabhangige Basis des Gesamtmoduls I'~ so sind auch die Formen

to (~) = ~ (~(z- ' ))" go(Z ~) I z ~]~ dZ (~ = ~, ~, . . . , N)

linear unabhangig, weshalb sie gleichfalls sine Basis des Moduls [" bilden. Daher gibt es zu jeder Form ](Y) aus [" eine eindeutig be-

390

stimmte Form g(~.), so dal~

W. Specht:

1

gilt. Hieraus erh~It man schliel~lieh in einfaeher Reohnung

f~ f (~) = E ~- ~ [g (~)],

womit der Satz 8 vollst~tndig bewiesen ist. Der Teilmodul der ~-invarianten Formen eines Moduls M wird ge-

kennzeichnet durch den S a tz 9. 1st ~(A) eine einfache Charakteri~tik der Gruppe (~, die

Formenreihe

f,(~), h(~), . . . , 5(~)

eine Basis is) eines Formenmoduls M, so ist die R eihe der w-Trans- formierten

If, (~)}, ~ [f, (.~)}, . . . , ~ [f.. (~)]

eine Basis des Teilmoduls M* aller q~-invarianten Formen des Moduls M. Auf Grund der Gleichung (17) sind n~mlich die Formen r

samtlich r ist f(~) eine beliebige r Form des Moduls M, so gilt zunachst

f(~) - - Z ao. fo(~) (,o = 1, 2 , . . . , 0 9

mit komplexen Koeffizienten a~ und d~her

~o

womit alles bewiesen ist. Ebenso leicht ergibt sich der S a t z 10. Es sei ~(A) eine einfache Charakteristik der Gruppe

(~. Ist der Formenmodul 54 bestimmt durch die Formenreihe

gl (~), g,(~), . . . , gk (~),

so ist der Teilmodul M* der ~-invarianten Formen aus M bestimmt durch . die Formenreihe

[g, (~)], r [g~ (~)], . . . , ~ [gk (~)].

Der durch die Formen g,(~), g~ (~), . . . , g~ (~)

bestimmte Modul M besteht aus allen endlichen oder unendlichea (konvergenten) Summen der Gestalt

f (~) - E a~ g~ (A~)

~s) u einer Basis wird~ wenn nicht ausdrticklich hinzugesetzt~ keine linearr Unabhangigkeit gefordert.

Beitrage zur Darstellungstheorie der allgemeinen linearen Gruppe. 39t

mit komplexen Koeffizienten as, Matrizen As aus (~n und beliebig aus der Reihe 1~ 2 , . . . , k gew~hlten Indizes 7~. Ist insbesondere f(~) eine r Form, so erhalten wir

/ (~) ---- ~v If i3~)! ~ Z as ~ Ig77. (AT* ~)], 7*

wesbalb f(:~) dem durch die (gleichfalls r Formen

[g, (~)], r [g~ (~)], . . . , r [g~ (~)]

bestimmten Teilmodul M* yon M angeh6rt.

III.

Das im Satze 6 ausgesprochene Kriterium fiir die Frage, ob die durch einen Formenmodul M erzeugte Darstellung einen bestimmten irreduziblen Bestandteil enth~lt oder nicht, ist, auch in Verbindung mit den S~tzen 9 und 10~ ffir die praktische Rechnung zu unhand= lich; daher erscheint es wtinschenswert, den dort eingeftihrten Integral- operator q0 dutch einen finiten Operator, d.h. die Integration fiber einen Formenbereich durch die Summation fiber eine endliche Anzahl yon Formen zu ersetzen. Es ist dies in der Tat m0glich durch Aus- niitzung des bekannten 19) engen Zusammenhanges zwischen den Dar- stellungen der all.gemeinen linearen Gruppe und der symmetrischen Gruppe.

Jeder irreduziblen homogenen ganzrationalen Darstellung D(A) yon der Dimension m der allgemeinen Iinearen Gruppe (~, i s t eine Zerlegung

(21) m = ~ , , + ~ + . . . + ~ . 0 , ~ , ~ . . . > ~ . ~ 0 )

der Zahl m in nichtnegative ganze Zahlen zugeordnet; die Anzahi der wesentlich verschiedenen irreduziblen Darsteltungen dieser Art~ ist genau gleich der Anzahl dieser Zerlegungen (21) der Dimensions- zahl. Andererseits entspricht auch jeder solchen Zerlegung yon m eine wohlbestimmte irreduzible DarsVellung der symmetrischen G rupp~ | in m Ziffern~~ Den verschiedenen einfachen Charakteristikea

(22) cp, (A), ~e~ (A), . . . . r (A)

yon ~ . entsprechen daher verschiedene einfache Charaktere der Gruppe ~,~,, die in der gieichen Reihenfolge mit

(23) Z~ (P), z2(P), . - . , zz(P)

bezeichnet werden mSgen. Ist dann f(Y) eine Form der Matrix Y~

~) Vgl. hierzu Sc~uR~ wo auch alle weiterhin ben0tigten Ergebnisse dieser Theorie zu finden sind.

~o) Im Falle m :> n wevden bei dieser Zuordnung nicht alle einfachen Charaktere der ~ herangezogen, sondern nur diejenigen, die Zerlegungen yon m in hSchsteng n positive ganzzahlige Summanden entsprechen.

392 W. Specht:

Z (P) ein einfacher Charakter vom Grade f de r Gruppe ~ , so .bezeichne [f(~)] die Z-Transformierte yon f (~), d.h. die~ Form

(24) =

worin die Summe tiber alle Permutationen P der Gruppe ~ zu erstrecken ist. Ftir diese, a us den Charakteren der Gruppe gewonnenen Operatoren gelten ~ihnliche Beziehungen wie die in (17) und (18) ffir die Integraloperatoren r angegebenen Gleichungen: Es ist ftir jeden einfachen Charakter g (P)

und ftir jedes Paar versehiedener einfacher Charaktere ~ (P), ~'(P)

(96) [z If = 0.

Weiter nennen wir eiue Form f(~) ~-symmetrisch, wenn sie die Be- z~ehung "

Z If (~)] - - f (~)

erftillt; insbesondere ist also ftir jede Form f (~) die ~-Transformierte Z[f (~)] eine Z-symmetrisehe Form~l).

Der Zusammenhang mit den bisherigen Untersuchungen geht aus dem nachfolgenden Satze hervor:

S a t z 11. gs sei ~(A) eine einfache Charakteristik der Gruppe r und z(P) der zugeordnete einfache Charakter der Gruppe ~ . Eine Form f(~) der Matrix ~ ist dann und nur dann ~o-invariant, wenn sie Z-symmetrisch ist.

Zum Beweise stellen wir eine linear unabh~ngige Basis

f, (~), f , (:~), . . . . . f~,(~) des Gesamtmoduls I- auf; es sind dann ftir jedes Paar yon Matrizen A aus @n und P aus ~,~ die Formen fa (.4 ~ F-') wiederum in F enthalten, weshalb lineare Beziehungen der Gestalt

f , ( A ~ P - ' ) = 2]mo~(A;P) b(~) (a, fl = 1 , 2 , . . . , N )

bestehen. Ftir ein weiteres Paar yon Matrizen B aus @~ und Q aus ~ ergeben sich hieraus die Entwicklungen

f~ (AB~ Q-' P-') - - ~_~ ma~(A; P) f~(B~Q-')

- - Z m.~ (A ; P) m~r (B ; Q) f:,(~) fl, 7

und f~(AB~Q-'P- ' ) - - Z m,7(AB; PQ)/~(~),

?

~1) Die Beziehu~gen (~c5) und (26) lassen sich in ganz der gleichen Weise beweisen, wie die Formeln (3) meiner Arbeit : Darstellungstheorie der alternierenden Gruppe. Math. Zeitschr. &3 (1938), S. 553-572.

Beitritge zur Darstellungstheorie der Mlgemeinen linearen Gruppe. 393

weshMb die Gleichuagen

E ma~ (A ; P) m~. (B ; Q) --~ m,~ r (A B ; P Q)

bestehen~ die unter der Festsetzung

M(A; P) ----- (m~(A; P))

zu der Matrixgleichung

M(A;P)M(B;Q) --'- M ( A B ; P Q )

zusammengefal~t werden kCinnen. Daher bilden die Matrizen M(A;E) eine Darstellung der Gruppe (~,, die Matrizen M(E;P) eine Darstellung der Gruppe ~ , die miteinander die Vertauschbarkeitsbeziehung

M(A; P) ~ M(A; E)M(E; P) = M(E; P)M(A;E)

erffillen. Offenbar ist die Darstellung M(A; E) zu der bekannten 2~) Darstellung

I1,~A = A x A x . . . x A

in m direkten Faktoren A ~hnlich, wie man leicht erkennt, wenn man als Basis des Moduls I" die lexikographisch geordneten Potenz- produkte

x a , l x ~ 2 . . . x ~ ( l ~ % < _ - - n ; ~ =. 1 , 2 , . . . , m )

w~hlt. In diesem Falle wird~a) die Matrix M(A;P) zu

M(A;F) ~ npA .

Daher l~Ll~t sich durch eine geeignete konstante Matrix L eine vollst~ndige Zerfiillung ~4)

[ D , ( A ) x S~(P) 0 . . . O

J 0 D~ (A) x S~ (P) 0

L M (A; P) L-' = I ! ( 0 0 . . . D l(A) x S t(P)

erreichen; besitzen die irreduziblen Darstellungen

D, (A), D, (A), . . . , D,(A)

der Gruppe (~ bei passender Zi~hlung die" Charakteristiken

~, (A), ~ (A), . . . , ~,(A),

so besitzen die gleiehfalls irreduziblen Darstellungen

S~ (P), S~ (V), . . . , S z(P)

2~) Vgl. SCHUR, w 1. 2~) Vgl. SOHUR, w 1, Formel (9). 2,) Vgl. SOHUR, w 2.

394 W. Specht:

der Gruppe | die Charaktere

Zl (P), z~(P), . . . , Z~(P)

in der bereits oben festgelegten Z~hlung. Durch die Zerfttlhng (27) wird eine neue Basis des Moduls I" und

damit eine Darstellung dieses Moduls als direkte Summe

r = F ~ + F ~ + . . . + F Z

festgelegt. Eine geeignet gewlihlte linear unabhttngige Basis

f z)(30, fa)(a~), . . . , f,~.a)(~) (l = 1, 2 , . . . , l)

des Moduls ra liefert dabei lineare Beziehungen der ~Gestalt

I~' (A YP") =-- Z mo~(A;r P) I~(Y) (q, a = 1, 2 . . ., r), o

aus denen dureh die Festsetzung

M a, (A ; p) --___ ~moo, a, (A ; P))

die Gleichung Ma)(A ; P) = D a (A). >5. Sa (P)

hervorgeht. I s t daher ga der Grad yon Dx(A) und f a d e r Grad yon Sz(P), so ist

(28) Ma)(A ; E) = Da (.4) x En

(29) M(a~(E; P) = Ega x 5 (P).

Daher sind nach Satz 5 sgmtliche Formen des Moduls l" a r es ist sogar i'a der Modul aller ~a-invarianten Formen des Gesamt- moduls F. Ebenso abet sind wegen (29) nach einem frtiher yon mir erhaltenen Ergebnis ~5) sgmtliche F0rmen des Moduls r a ~zsymmetrisch; es ist sogar ['a de r Modul aller Zz-symmetrischen Formen des Gesamt- moduls I-. Dies aber ist die Behauptung des Sa t ze s .

Somit erhalten wir die neuen Fassungen der frfiheren S~ttze: S a t z 5". Ist D(A) eine irreduzible Darstellung der Gruppe ~

mit der Charakteristik ~p(A), ist weiter z(P) der dieser Darstellung zugeordnete einlache Charakter der syzrcmetrischen Gruppe ~ , so er- ,eugt ein Formenmodul M dann und nur dann ein Vielfaches der Darstellung D(A) yon @,, wenn ]ede Form des Moduls Z-symmetrisch ist.

S a tz ,6* . Die durch den Formenmodul M erzeugte Darstellung der Gruppe ffg~ enthdlt dann und nur dann einen irreduziblen Bestand- teil mit der Charakteristik cp(A) und dem zugeordneten einfachen Charakter 'z(P) der ~ , wenn der Modul M Z-symmetrische Formen enthdlt.

2.~} Vgl. meine in ~l) angegebene Arbeit, Abschnitt I.

Beitr~g6 zur Darstellungstheorie der allgemeinen linearen (~ruppe. 395

Ftir die Neufassung der Satze 9 und 10 mul~ man beachten, dal~ ein Modul, der eine Form f (2)en th~l t , im allgemeinen nicht ihre x-Transformierte

Z[f(2)] - - m f ~p z(P)./(2P -1)

enthalt, was man leicht durch Beispiele belegen kann. Daher kSnnen lediglich die nachstehenden Aussagen gemacht werden:

S a t z 9*. Ist r (A) eine einfache Charakteristik der Gruppe •,, x(P) der ihr zugeordnete ein/ache Charakter der Gruppe ~ , ferner die Formenreihe

A (2:, i, . . . , p,.(2) eine Basis eines Eormenmoduls M, so ist der Teilmodul M* aller cp- invarianten Formen des Moduls 54 ein Teilmodul des dutch die %- Transformierten

Z [s (2)], Z [f, (~)], - . . , Z [5 (2)]

aufgespannten Formenmoduls. Eine r Form

I(2) = Z %I~(2) (~ = 1, 2, . . . , r)

erftillt n~tmlich die Beziehungen

/ (2) -~- ~ [f (2)] ~-- Z If (2)] = Z ae % {1~, (~)]-

Dal~ die Formen Z[/e(2)] eine Basis eines Formenmoduls bilden~ ist leicht nachzuweisen.

S a t z 10". Es sei q~(A) eine einfache Charakteristik der Gruppe @~, z(P) der ihr ~ugeordnete einfache Charakter der Gruppe | 1st der Formenmodul 54 bestimmt dutch die Formenreihe

g, (2), g~ (2), . . . , g~(~),

so ist der Modul h4* der q~-invarianten Formen des Moduls M als Teil- modul in dem dutch die %-Trans/ormierten

7, [g~ (~)], Z [g~ (~)], . . . , Z [g~ (2)]

bestimmten Formenmodul enthalten. Der Bewe[s l~tl~t sich leicht dem des Satzes 10 nachbilden, so dai~.

nicht nigher darauf eingegangen zu werden braucht.

IV.

FOr eine sehr allgemeine Klasse von Formenmoduln der Ver~nderlichenmatrix 2 l~t~t sich auf einem besonders einfachen Wege die Darstellung D(A) der Gruppe | bestimmen, die dutch einen Modul 54 dieser Klasse erzeugt wird. Es l ~ t sich n~mlich hier die Charakte- ristik der Darstellung D(A) unmittelbar angeben; daher kann in

396 W. Specht:

diesem Falte durch eine verhRltnismailig einfache Rechnung genau angegeben werden:, in welcher ~Vielfachheit eine irreduzible Dars te l lung in der Dars te l lung D(A) vorkommt. �9

Ist f, (~), f , ( 2 ) , . . . , f2v(2) N - - n ~

eine l inear unabh~ngige Basis des Gesamtmoduls F, so gelten, wie schon im vorigen Abschnit t bemerkt wurde, f i ir jede Matrix A aus {~n und jede Permuta t ion P aus ~ lineare Beziehungen der Gestal t

fa(A 2 P-') - - Z ma~ (A ; P) f~ (2) (a,/~ - - 1, 2, , . . , N),

deren Matrizen (30) M (A ; P) - - ( m ~ (A ; P))

vom Grade N der Gleichung

(31) M(A; P)M(Bi Q) ~ M(AB; PQ)

genfigen. Wir bezeichnen weiterhin mit a ( A ; P ) die Spur der Matrix M(A;P) , ftir die die Gleichung

(39) P) - - - -

gilt, wenn die Permuta t ion P in r ziffernfremde Zykeln der Ordnungen z,, z~ , . . . , z~ zerfallt~e). Ferner Wollen wir unter einer Funktion a(P) der Gruppe ~,, eine Reihe yon Wer ten a(P) verstehen, die jeder Per- muta t ion P yon ~ eine komplexe Zahl a(P) zuordnet.

Unter diesen Bezeichnungen gilt dann der folgende S a t z 12. Ist a(P) eine Funktion der Gruppe ~ , fi~r die die

Matrix C - - Y~ a(P)M(E; P)

p

der Gleichung C ~ - - C geni~g~, so erzeugt der Modul M aller Formen der Gestalt

g (2) - - Z a (P) f (2 P-') P

mit beliebigen Formen f (2) des Gesamtmoduls F eine Darstellung D (A) der Gruppe (~ , deren Charakteristik

(D (A)) - - ~] a (P) a (A; P) e

ist 27).

~6) u SCHUR, Hilfssatz III'. ~) Ftir das Bestehen der Gleichung C2-- - C sind, wie sehr einfach nach-

zuweisen ist, die Gleichungen a (~') a (P-~ Q) ~ a (Q)

P

notwendig und hinreichend; es ist daher die F.unktion a(P) eine charakteristi- sche Einheit der symmetrischen Gruppe. Vgl. G. FROBESlUS, l~ber die charakte- ristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe. Sitzungsber. Akad. Berlin 1903, S. 328--358,

Beitr~ge zur Darstellungstbeorie der allgemeinen linearen Gruppe. 397

Man tiberzeugt sich leicht davon~ dal~ die Formen

g(~) = E a ( P ) f ( ~ P - ' ) P

einen Modul M bilden, wenn f(3~) alle Formen des Gesamtmoduls F durchlauft, da ftir f*(3~) ----- f(A~) offenbar

g (A ~) = • a (P) f* (~ P-') P

ist. Die einer linear unabh~ngigen Basis fa(3~) des Moduls ent- sprechenden Formen

(33) ga(2) = Z a(P) fa (3~ P-') (a =- 1, 2 , . . . , N) p bilden offenbar eine Basis des M0duls M, da aus

g (3~) = E a (P) f (:~ P-') P

und

a

sogleich die lineare Beziehung

g (~) = E c,~ g~ (2) a

folgt. Nun gelten ftir jede Matrix A aus (~ und jede Permutat ion P

aus ~ die linearen Beziehungen

(34) fa (A ~ P-') = E m~z (A ; P) fZ (3~) (u, fi = 1, 2 , . . . , N)

und daher auch

ga (2) = Z a (P) f,~ (2 P~-~) -~- Z Z a (P) m(r (E; P) f~ (~). P P fl

Setzen wir

(35) ca~ ----- ~,, a (P) m~z (E; P), P

so gentigt die Matrix C = (c~,~)nach Voraussetzung der Gleichung

(36) C ~ = C;

ferner gilt

(37) go (2) = 21 co,~r~ (2) P

und wegen (36)

~" CTaga (~) = ~.J CTaCafl ffl (~) ~ E CTfl / f l (~) a a,/J oder

(38) E co~ g~ (~) = go (t) . 7

Der Rang des Moduls M ist ~un gleich dem Rang k der Matrix C, da aus jeder !inearen Beziehung

Exag.( ) = o (2

398 W. Specht:

wegen (37) sogleich Z xo c.~ f~ (3r = o, a~ fl

also

folgt. Umgekehrt gibt eine LOsung dieser Gleiehungen stets

o = Z x~ co~ fz (x) = Z x~go (~) = o. r a

Xst nun h;(~) , h~ (~), . . . , hk (~)

eine linear unabh~tngige Basis des Formenmoduls M, so gelten lineare Beziehungen der Gestalt

(39) ga (t) ~-- • v~,~ h~ (K) (x = 1, 2, . . . . , k)

mit einer Matrix V ~ (va~) in 'N Zeilen und k Spalten vom Range k, ferner lineare Beziehungen

(40) h~ (A ~) ~- Y. d~x (A) hx (~s (:~, s = 1, 2 , . . . , k)

mit der durch den Modul M erzeugten Darstellung

(41) D (A) = (d~. (A))

der Gruppe ~ . . Aus den Gleichungen

f , (A :~) = Z maz(A ; E) fZ (3E) fl

folgert m a n leicht die Gleichungen

g, (A 3E) = Z m~,8 (A ; E) g~ (~),

die dutch (39) in die Beziehungen

und auf Grund you (40) in die Beziehungen

)~ rgehen . Die lineare Unabh~tngigkeit der Formen h~(3E) lStgt hieraus die Gleichilngen

entnehmen, die zu der Matrixgleichung

(42) VD (A) = i (A ; E) V

:~usammengefal~t werden k(innen. Aus den Gleichungen (38) und (39) folgt nun weiter

Z c-r vy~ h~ (3E) ~ Z v,~ h~ (3E)

Beitr~go zur Darstellungstheorie der allgemeinen litlearen Gruppe. 399

oder

also die Matrixgleiehung

(43)

E CayVyu = Va• 7

C V = V.

Aus der Gleichung (31) erh~tlt man die bereits friiher herangezogenen Vertausehungsbeziehungen

M(A;P) = M(A;E) M(E;P) ----- M ( E ; P ) M(A;E)

and damit die Gleiehung

M(A; E)C -~- ~ a(P)M(A; E)M(E;P) = CM(A; E). P

Die daraus folgende, fiir jedes Paar A, B von Matrizen aus (~ geltende Beziehung

M(A; E) CM(B; E) C -~- M(AB; E)C

l~l~t erkennen, dag die Matrizen M(A;E)C eine (ganzrationale)Dar- stellung der Gruppe tics vom Range k der Matrix C oder des Ranges des Moduls M bilden ; mithin stimmt der Rang der Darstellung M(A ; E) C mit dem Grade der Darstellung D(A) von ~ tiberein. Die Gleichungen (42) und (43) l iefern-ferner die Verkettung

VD(A) = M(A; E)CV

mit der Matrix V, die gleichfalls den Rang k besitzt. Mithin ist die Darstellung D(A) ganz in der Darstellung M(A ; E) C enthalten; da diese Darstellung aber den Rang k besitzt, mtissen die Charakte- ristiken beider Darstellungen fibereinstimmen. Es ist also

(D (A)) = a (M (A ; E) C).

Itieraus folgt aber (D (A)) = E a (P) ~ (M (A ; P))

P

oder in der oben festgesetzten Bezeiehnung:

(44) ~ (D (A)) = Z a (P) a (A ; P). P

Der zu dieser Charakteristik o(D (A)) gehSrige Charakter %(P) der Gruppe ~ ist durch

(45) z (P) = E a (~-~ p R) R

gegeben, wobei die Summe fiber alle Elemente R yon ~,~ zu erstrecken ist. Die Zerlegung der Charakteristik

(46) ~(D (A)) = ~ rxq~(A)

Mathematische Zeit~chrift. Bd. 51. 27

400 W. Specht:

in die einfachen Charakteristiken r wird demnach durch 1 1

r~ = ~T. ~ zz(P)z(P) - - m! ~ a(R-~PR)x~(P) R, P

oder (47) r~ : Z a (P) gx (P)

P

gegeben, wobei xx(P) den der einfachen Charakteristik cpx(A) zugeordneten einfachen Charakter der Gruppe ~ bezeichnet.

Ftir den Satz 12 geben wir im Folgenden einige Beispiele~ die die Einfachheit des angegebenea Verfahrens beleuchten sollen.

S a t z 13. Es bezeichne ~ eine primitive m-re Einheitswurzel~ ferner V den Vollzyklus V -~ (1, 2~. . . , m) der symmetrischen Gruppe ~ . Dann erzeugt der Modul Mal l e r Formen g(~) der Matrix ~, die die Gleichung

er/i~llen, eine Darstellung D(A) der Gruppe (~ des Grades 1 m

k ---- ~ ~(d)n ~

und der Charakteristik m

1 (D(A)) = m Z ~(d) s d "

dim

Dabei ist die Summe i~ber alle Teller d von m zu erstrecken, wdhrend (x) die M~Bivssche Funktion, s~ die Spur der Potenz A '~ von A be-

zeichnet. Ist f(K) eine beliebige Form des Gesamtmoduls V, s o erfiillt die

Form 1

g ( t ) ---- = o, 1 , . . , m - l ) ,

wie man leicht nachweist~ die Bedingung

g(~V-')---- ~g(~).

Umgekehrt ist ffir jede Form g(~), die dieser Gleichung genfigt, offenbar

1

Daher ' is t der Modul M aller Formen g(X), die die Gleichung

g(XV-') z vg(:~)

erfiillen, identisch mit dem Modul aller Formen 1

= ,-; E ~t

worin f(:~) alle Formen des Moduls f" zu durchlaufen hat. Da die Matrix

C - - 1 m Z ~-:M(E; V ~)

Beitrligo zur Darstellungstheorie der allgemeinen l inearen Gruppe. 401

der Gleichung C ~ ~ C geniigt~ sind die Voraussetzungen des Satzes 12 erffillt. Daher besitzt die durch den Modul M erzeugte Darstellung D(A) die Charakteristik

(D (A)) = ~-

Ist nun (v~ m) -~ d, so zerfi~llt V" in d 'Zykeln der Ordnung d~ weshalb

m

(.4; r ) = . (A ~ )~ = s ~ -h-

m ist, w~thrend ~ eine primitive ~ - - t e Einheitswurzel ist. Da ferner

die Summe der primitiven ~ - - t e n Einheitswurzeln gleieh ~ ist,

erhalten wir 1 (m\ d a(D(A)) ~-- ~ ~ # ~-)s

d

oder m

6(D(A)) = ~ - E , ~ ( d ) s d , dim

wie behauptet worden ist. Den Grad der Darstellung entnimmt man hieraus ftir A ~-- E oder s~ ~- n; daher ist

m

~ g (d) n ~

S a t z 14. Der Modul M aller zyklischen Formen g(~,) des Ge- samtmoduls [', d.h. aller Formen, die mit dem Vollzyklus V~--- (1, 2,...~ m) der Gruppe | der Gleichung

g (~ V-') = g (~)

geni~gen, erzeugt eine Darstellung D(A) des Grades

k - - 1- E ~(d) n ~ m dim

mit der Charakteristik

1

wobei cp(x) die EvLEZ~sche Funktion bezeichnet und sa-~ a(A d) zu setzen ist.

Durchl~tuft f(~) den Gesamtmodul I-, so erhalten wit alle zyklischen Formen g(~) in

1 g(~) = ~ - E f ( ~ v - ' ) (~ = o , ~ , . . . , m - l ) .

27 *

402 W. Specht:

Da die Matrix 1

C = ~ Z M ( E ; V!)

der Gleichung C t ~ C geniigt, folgt nach Satz 12 ftir die Charakte- ristik der durch d e n Modul M erzeugten Darstellung D(A)

m 1 o(D(A)) -= ~ �9 m dig '

wie man leicht nachrechnet. Der Grad k geht hieraus wiederum durch sa ~ n hervor.

Auf genau dem gleichen Wege beweist man den folgenden S a t z 14". Der Modul M a l l e r gegeniiber den Permutationen einer

Untergruppe 11~ der Gruppe @~ invarianten Formen des Gesamt- moduls r, d.h. aller Formen, die der Gleiehung

g (~ v-') = ~ (~)

fi~r ]ede Permutation U aus 11~ geni~gen, erzeugt eine DarsteUung D (A) der Gruppe (~ mit der Charakteristik

1 a (D (A)) ~--- u ~ a (A ; U),

wenn u die Ordnung yon 11~ bezeichnet und die Summe i~ber alle Elemente U von 1I~ erstreckt wird.

Denn es k~innen die Formen des Moduls h4 durch

1 E f (~V- ' ) g ( ~ ) ---- ~ v

erhalten werden, wenn /(~) alle Formen yon [" durchl~tuft. S a t z i5. Bezeichnet V den Vollzyklus V ~--- ( 1 , 2 , . . . , m ) der

Gruppe ~,~, durchlduft f (~) alle Formen des Gesamtmoduls V, so bilden die Formen

g (Y.) = I (~.) - r (~ v- ' )

einen Modul M, der eine Darstellung D(A) des Grades

k = n~--ml ~ ( d ) n ~

mit der Charakteristik

(D (A)) = s ~ - ~ E ~ s

erzeugt, wobei ~(x) die EvLERsche Funktion bezeichnet und s~ = a (A ~) ~u set~en ist.

Zum Beweise bilden wir den Modul 54* aller Formen

h ( t ) = ~ ~- ?~] (f(~) -- f (~ V-')) (v = 0, 1 , . . . , m-- 1) ,it

Beitr~tge zur Darstellungstheorie der ~llgemeinen l inearen Gruppe. 403

und zeigen, daft M* mit dem Modul M der Fo rmen

g(~) = f ( ~ ) - f (~cv- ' )

ident isch ist. In der Ta t gilt

1 1 h(~) = ~ E~ ( t ( t ) - f ( ~ v - ' ) ) = ~ Z ( ~ - ,, - ~ ) ( f ( ~ v - ' ) - f ( ~ v - ' - ' )

= f* ( ~ ) - f* (~ v - ' ) , wenn

1 f* (~) = ~ - X (m - ,, - 1) f (~ v - 3

"v

gesetz t wird, andererse i ts ist

1 g (~) = f (~) -- f (3~ V -1) = ~ ~] (g (~) -- g (~ V-r)).

Be t rach ten wir nun den Modul der Formen

1 h ( ~ ) = ~ E f(:~) - f ( ~ . v ' ) (,, = o, 1 , . . ,, m - 1),

,y

so gilt ftir die zugeh6rige Matrix

1 C - - ~ ~ , ( M ( E ; E ) - - M ( E ; V ' ) )

v

die Gleichung C 2 ----- C, weshalb der Satz 12 angewende t werden kann. Wir erhal ten also fiir die Charakter i s t ik der du tch den Modul 54 erzeugten Dars te l lung D(A) yon ~ , den Ausdruck

1 (D (A)) ----- ~ - E (a (A ; E) -- a (A ; W)),

y

also wie beim Beweise des Satzes 13 durch einfache Rechnung

m

a (D (A)) = s]'* m Z r sa a. dim

(Eingegangen am 2. April 1944.)

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