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Mathematische Methoden der allgemeinen Relativitätstheorie Florian Andritsch Fachbereichsarbeit aus Physik Vorgelegt bei Mag. Dr. Gerhard Rath BRG Keplerstraße Keplerstraße 1 8020 Graz Graz, 29. Februar 2008

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  • Mathematische Methoden der

    allgemeinen

    Relativittstheorie

    Florian Andritsch

    Fachbereichsarbeit aus Physik

    Vorgelegt bei Mag. Dr. Gerhard Rath

    BRG Keplerstrae

    Keplerstrae 1

    8020 Graz

    Graz, 29. Februar 2008

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 2

    Inhaltsverzeichnis

    Abstract 5

    Vorwort 6

    Einleitung 9

    1 Vorstellungen von Raum und Zeit 12

    1.1 Die klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2 Die spezielle Relativittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3 Moderne Theorien der Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Mathematische Grundlagen 15

    2.1 Geometrie gekrmmter Rume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.1 Gausche Geometrie gekrmmter Flchen . . . . . . . 16

    2.1.2 Riemannsche Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.2 Vektor-Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2.1 Skalar-Vektor-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3 Indexschreibweise der Relativittstheorie . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.1 Kontravariante Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.2 Kovariante Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.3.3 Topologischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.3.4 Metrischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.3.5 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.4 Das lokal ebene System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.4.1 Die Minkowski-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 3

    2.5 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5.1 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.5.2 Symmetrien von Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.5.3 Bedeutung von Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.5.4 Spezielle Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.5.5 Eigenschaften des metrischen Tensors . . . . . . . . . . 33

    2.5.6 Verschieben der Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.6 Christoffelsymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.6.1 Transformationsverhalten der Christoffelsymbole . . . . 37

    2.7 Kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.7.1 Rechenregeln fr kovariante Ableitung . . . . . . . . . 39

    2.8 Paralleltransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.9 Der Riemannsche Krmmungstensor . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.9.1 Eigenschaften des Riemann-Tensors . . . . . . . . . . . 42

    2.9.2 Ricci-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3 Physikalische Aspekte 45

    3.1 Prinzipien der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.1.1 Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.1.2 Kovarianzprizip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.1.3 Prinzip minimaler gravitativer Kopplung . . . . . . . . 46

    3.1.4 quivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.1.5 Machsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3.2 Geodtengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.3 Einsteinsche Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.3.1 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.3.2 Einstein-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.4 Schwarzschildlsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.4.1 Analyse der Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . 60

    3.5 Kosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.5.1 Das Kosmologische-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.5.2 Mathematische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.5.3 Friedmann-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 4

    3.5.4 Herleitung der Friedmann Gleichungen . . . . . . . . . 62

    3.5.5 Diskussion des Friedmann-Modells . . . . . . . . . . . 65

    3.5.6 Aktueller Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . 66

    4 Zusammenfassung 67

    Erklrung 69

    Literaturverzeichnis 70

    Protokoll der Arbeit 72

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 5

    Abstract

    The paper Mathematical methods of the general theory of relativity intro-

    duces the reader to Albert Einsteins theory of general relativity. First of all,

    theories of space and time, that were used in past are illustrated. Afterwards

    the mathematical background of the theory of general relativity is develo-

    ped. The reader is familarized with the tensor-calculus and the geometry of

    a curved spacetime.

    Later on the physical aspects of Einsteins theory are explained and the

    theoretical background for a model describing the universe as a whole is

    brought up to the reader. Further the considerations that are needed to pos-

    tulate the Einstein field equations are illuminated. The idea of mass causing

    gravitation, which is finally causing a curvature of spacetime is brought in.

    Using the so far built up knowledge one solution of the field equations, the

    Schwarzschild-metric, is derived in order to discuss the facts that follow this

    solution.

    At the end the reader gets an insight into cosmology, a part of modern

    physics that was founded by Einsteins work on the theory of relativity, since

    this was the fist theory corresponding with a dynamic universe. According

    to this, the Friedmann-model is explained and discussed.

    The papers purpose is to give a compact overview about the mathe-

    matical model that is used to describe a curved spacetime and links the

    mathematical methods with their use in describing the universe.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 6

    Vorwort

    Albert Einstein, der sowohl als Schpfer der Relativittstheorie, als auch mit

    Erhalt des Nobelpreises fr die Erklrung des Photoeffekts in die Geschichte

    einging, beeindruckte mich schon lange Zeit. Seine Arbeit auf den physikali-

    schen Gebieten der Kosmologie, der Physik des Groen, sowie der Teilchen-

    physik, der Physik des Kleinen, war grundlegend fr die Weiterentwicklung

    der Physik im 20.Jahrhundert.

    Im Jahr 2005, als ich in die 5.Klasse ging, beschftigte ich mich das erste

    Mal mit der speziellen Relativittstheorie. ber einige Wochen hinweg las

    ich mir alles, was ich zu diesem Thema finden konnte, uerst genau durch.

    Mein Ziel war es, zumindest die Konzepte, womglich aber noch mehr davon

    zu verstehen. Natrlich war es anfangs ein mhsames Unterfangen, da meine

    mathematischen Kenntnisse trotz jahrelanger Teilnahme an der sterreichi-

    schen Mathematik Olympiade eindeutig nicht ausreichten. Dennoch verfolgte

    ich mein Ziel, und bewerkstelligte es nach geraumer Zeit, die Lorentztrans-

    formation selbst herzuleiten. Ich hatte es geschafft, einen Einblick in diese

    weltverndernde Theorie zu bekommen. Sehr bald stellte ich mir die Frage

    worin nun der Unterschied zur allgemeinen Relativittstheorie bestand.

    Im Sommer 2006 startete ich den nchsten Versuch. Diesmal wollte ich

    Einsteins allgemeine Relativittstheorie zumindest teilweise verstehen. Ich

    besorgte mir Vorlesungsskripten und Bcher, las mich intensiv in die Materie

    ein. Es nahm ausgesprochen viel Zeit in Anspruch, mir die Grundgedanken

    der differentialgeometrischen Inhalte selber beizubringen.

    Als dann im Schuljahr 2007/2008 das Thema Matura zunehmend kon-

    kreter auf mich zukam, machte ich mir Gedanken, eine Fachbereichsarbeit

    zu einem mich interessierenden Thema zu verfassen. Dafr kamen in meinem

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 7

    Fall ganz klar nur bestimmte Fcher in Frage: Informatik, Mathematik oder

    Physik.

    Seit dem Schuljahr 2001/2002 besuchte ich am BRG Kepler den Mathe-

    matikolympiade Kurs unter der Leitung von Dr. Robert Geretschlger. In den

    darauffolgenden Jahren lehrte er mich ausgesprochen viel mathematisches

    Wissen. In der 3.Klasse meldete ich mich zustzlich fr den Freigegenstand

    Physikolympiade, geleitet von Mag. Bernd Lackner, an. Ich sammelte auf

    beiden Gebieten Wettbewerbserfahrung, und sorgte dafr, dass meine Kennt-

    nisse in diesen Fchern ber den gewhnlichen Schulstoff hinausragten. Im

    Rahmen dieser Bewerbe kam ich weit umher. Abgesehen von Wettbewerben

    in Tschechien, Polen und Rumnien reiste ich zuletzt im Rahmen der Physik-

    WM (IYPT - International Young Physicists Tournament) nach Sdkorea.

    Meine Vorstellungen bezglich meiner weiteren Ausbildung nderten sich in

    diese Zeit auch grundlegend vom bisher geplanten Studium der Medizin in

    Richtung der beiden Naturwissenschaften Mathematik und Physik.

    Mit der Schwerpunktsetzung Informatik in der Oberstufe, und dem zu-

    stzlichen Freigegenstand Astronomie wurde mein Interesse in diesen Be-

    reichen weiter bekrftigt. Als dann die Entscheidung drngte, in welchem

    Gebiet ich nun die Fachbereichsarbeit schreiben wollte, kam ich auf die Idee,

    mein schon lnger anhaltendes Interesse an der Relativittstheorie in dieser

    Form weiterzufhren.

    Im Rahmen des AYPT - Austrian Young Phyicists Tournament - lernte

    ich ber meinen Physik-Lehrer, und spteren Betreuer der Fachbereichsarbeit

    Dr. Gerhard Rath, Herrn Univ. Prof. Dr. Heimo Latal kennen, ohne dessen

    Zutun diese Arbeit nie ihre jetzige Form annehmen htte knnen. Er unter-

    sttze mich hinsichtlich theoretischer Aspekte und erklrte sich bereit, die

    Arbeit auf inhaltliche Richtigkeit zu berprfen, wofr ihm an dieser Stelle

    grter Dank ausgesprochen sei. Auch bei Dr. Gerhard Rath mchte ich mich

    fr die Betreuung im Zuge des Entstehens dieser Arbeit bedanken. Ebenfalls

    zur Hilfe kamen mir Mag. Bernd Lackner und Dr. Robert Geretschlger, die

    mich im Laufe meiner Schulausbildung weit ber den normalen Stoff hinaus

    lehrten.

    Zum Erstellen einer Fachbereichsarbeit ist, wenngleich man es hierbei mit

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 8

    einer vergleichsweise kleinen schriftlichen Abhandlung zu tun hat, einiges an

    zu Arbeit zu investieren. Es bedarf Zeit, sich mit dem Thema vertraut zu

    machen und anschlieend dieses in eine schriftliche Form zu bringen. Deswei-

    teren ist es unabdingbar, geeignete Quellen zu finden. Ist man letztendlich

    in der Lage mit dem schriftlichen Teil der Arbeit zu beginnen, stt man un-

    weigerlich im Prozess des Arbeitens wiederholt auf neue Herausforderungen,

    die es zu lsen gilt.

    Mir persnlich hat die Beschftigung mit dieser Fachbereichsarbeit eine

    ausgesprochen groe Freude bereitet, und mich inhaltlich weit fernab der in

    der Schule unterrichteten Themen gefhrt. Alles in allem eine Erfahrung,

    die mich vieles lehrte, mein Verstndnis von Raum und Zeit vernderte so-

    wie mich persnlich, mathematisch und physikalisch gesehen einige Schritte

    weiter brachte.

    Graz, 2008

    Florian Andritsch

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 9

    Einleitung

    Schon seit je her lag es in der Natur des Menschen sich Fragen zur Welt,

    in der er lebte, zu stellen. Mit zunehmendem technischen Fortschritt waren

    dem forschenden Wesen Mensch immer mehr Hilfsmittel gegeben, welche

    er zu seinem Nutzen einsetzen konnte. Diese verschafften ihm laufend neue

    Erkenntnisse ber die Beschaffenheit seiner Umwelt.

    Sir Isaac Newton (1643-1727) schuf eine Theorie der Mechanik und Gra-

    vitation, die es vermochte, entsprechende Messungen, derart exakt zu be-

    schreiben, dass lange Zeit niemand auf die Idee kam, diese Theorie in Frage

    zu stellen. Erst als James Clerk Maxwell Mitte des 19.Jahrhunderts seine

    Gleichungen der Elektrodynamik verffentlichte, nahm die Entwicklung rund

    um eine weltbeschreibende Theorie ihre bis dato wichtigsten Formen an.

    Albert Einstein, der sich schon als Jugendlicher mit den Gleichungen Max-

    wells auseinandersetzte, war es, der deren Unvertrglichkeit mit der New-

    tonschen Mechanik erkannte. Als 1881 und 1887 die Michelson-Morley Ex-

    perimente zu einem Negativresultat fhrten, deutete Einstein dieses Ergebnis

    als eine Nichtexistenz des Lichtthers, sowie Konstanz der Lichtgeschwindig-

    keit. Im Rahmen der speziellen Relativittstheorie, damals noch als Ange-

    stellter des Patentamtes in Bern, verffentlichte er 1905 seine Deutung dieser

    Postulate. Er entfernte alle Punkte, in denen die Newtonsche Theorie nicht

    mit der Theorie der Elektrodynamik bereinstimmte. Newtons Theorie blieb

    lediglich als Grenzfall fr kleine Geschwindigkeiten erhalten.

    Die Ergebnisse seiner Arbeit blieben keineswegs unumstritten, zumal sei-

    ne Relativittstheorie mit den jahrhunderte alten Ideen eines absoluten eu-

    klidischen Raums, sowie einer absoluten Zeit, in Konflikt stand. Verstndlich,

    dass die Menschen, die zur damaligen Zeit lebten, das Bild vom Universum

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 10

    nicht so pltzlich von einem Berner Patentamtsbeamten in dieser Weise re-

    volutionieren lassen wollten. Es wollte sich vorerst niemand damit abfinden,

    dass Effekte wie Zeitdilatation und Lngenkontraktion tatschlich existie-

    ren. Aber sobald eine neue Theorie verffentlich wird, wird diese auch gleich

    experimentell untersucht.

    In der Geschichte war es bisher meistens so, dass eine Theorie anhand

    zahlreicher experimenteller Untersuchungen aufgestellt wurde. Einstein ver-

    folgte beim Aufstellen seiner Relativittstheorie jedoch erstmals den umge-

    kehrten Weg. Er formulierte seine Theorie lediglich auf Gedankenexperimen-

    ten basierend, und lie sie nach der Publikation von Physikern praktisch

    berprfen. Es soll schon immer Einsteins Strke gewesen sein, viel im Kopf

    zu machen. So wird behauptet, er htte sich die ersten Fragen zum Thema,

    was ein Beobachter wohl sehe, wre er mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs,

    bereits als Schler gestellt.

    Nach der Entdeckung der speziellen Relativittstheorie folgten fr Ein-

    stein lange Jahre der Entwicklung und Weiterfhrung seiner Ideen. Das Pro-

    blem war, dass diese Theorie wie der Name schon sagt nur fr spezielle

    Bezugssysteme, sogenannte Inertialsysteme, gltig ist. Die Transformationen

    waren lediglich auf gleichfrmig relativ zueinander bewegte Bezugssysteme

    anwendbar. Um nun auch einen Zusammenhang mit beschleunigten Systemen

    herstellen zu knnen, setzte sich Einstein zunchst mit der Differentialgeo-

    metrie Bernhard Riemanns auseinander. Mithilfe dieses Formalismus sollte

    es mglich sein, die spezielle Relativittstheorie zu einer allgemeinen Theo-

    rie der Gravitation und Bewegung umzuformen. Er setzte sich intensiv mit

    den dahinterstehenden mathematischen Methoden auseinander, und lie sich

    von Mathematikern untersttzen, um zur Verallgemeinerung der speziellen

    Relativittstheorie zu kommen.

    Heute luft die Software in den GPS Satelliten beispielsweise unter Ein-

    berechnung Einsteins allgemein relativistischer Effekte, und erreicht nur da-

    durch eine derart hohe Przission. Die nachfolgende Fachbereichsarbeit soll

    eben jene Theorie, die allgemeine Relativittstheorie, in ihrer Struktur aus

    mathematischer und physikalischer Sicht analysieren, und mehr als nur einen

    groben berblick ber die Theorie geben, die auch heute noch, beinahe 100

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 11

    Jahre nach ihrem Erscheinen, weder an Bedeutung noch an Richtigkeit ver-

    loren hat. Natrlich kann eine so umfangreiche Theorie, wie die allgemeine

    Relativittstheorie im Rahmen einer Fachbereichsarbeit nicht in vollstndi-

    gem Ausma ergrndet werden.

    Es stellte sich auerdem als schwierig heraus, zu entscheiden welche Vor-

    kenntnisse mathematischer Fertigkeiten vorausgesetzt werden knnen. Die

    verwendeten mathematischen Methoden reichen groteils ber den Schul-

    stoff hinaus. Auch wenn die Hauptaspekte des mathematischen Modells, wel-

    ches hinter der allgemeinen Relativittstheorie steckt, grndlich bearbeitet

    werden, so bleiben doch manche Teile ohne Erklrung. Fr das umfassende

    Verstndnis der nachfolgenden Arbeit empfiehlt es sich, sich mit dem Lsen

    von Differentialgleichungen auseinander zu setzen, oder aber diese Schritte

    beim Lesen nicht genau zu hinterfragen. Es wurde dennoch sehr auf eine ver-

    stndliche Formulierung des Sachverhalts wertgelegt und versucht, den Leser

    geeignet in die allgemeine Relativittstheorie einzufhren.

    Die Fachbereichsarbeit wurde unter Verwendung der wir Form verfasst.

    Dies ist eine fr naturwissenschaftliche Arbeiten bliche Vorgehensweise und

    soll den Leser beim Durchfhren von Berechnungen das Gefhl geben, er

    wrde dies zusammen mit dem Autor durchfhren. Mir persnlich ist diese

    Art des Einbindens des Lesers bei komplizierteren Texten schon desfteren

    als sehr hilfreich erschienen, weshalb ich nun auf diese Methode zurckgreifen

    mchte.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 12

    Kapitel 1

    Vorstellungen von Raum und Zeit

    Menschen knnen mit ihren Sinnen drei rumliche Dimensionen wahrneh-

    men. Es ist uns mglich Breite, Hhe und Tiefe zu unterscheiden. Die Welt

    in der wir leben wurde daher schon immer als (zumindest) 3-dimensionaler

    Raum beschrieben. Der Raum stellte eine Art Behlter fr alle in ihm ge-

    schehenden Ereignisse dar. Dieses Kapitel soll einen kurzen berblick der

    verschiedenen mathematischen Methoden zur physikalischen Beschreibung

    des Raumes schaffen

    1.1 Die klassische Mechanik

    In der klassischen Mechanik gilt die Raumdefinition von Isaac Newton mit

    ihren beiden Axiomen:

    Der Raum ist absolut, unvernderlich und unbeeinflusst von den phy-

    sikalischen Vorgngen, die sich in ihm abspielen.

    Der Raum ist euklidisch und dreidimensional.

    Die Zeit ist ein an allen Orten zu jedem Zeitpunkt gleichmig verflieendes

    Metrum.

    Werden zwei Bezugssysteme S und S , mit der Geschwindigkeit v in po-

    sitive x-Richtung gleichfrmig zueinander bewegt, gelten die Galilei-Trans-

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 13

    formationen.

    x = x vt y = y, z = z, t = t (1.1)

    mit den Koordinaten x, y, z, t in S bzw. x, y, z, t in S

    Relativgeschwindigkeiten wurden demnach addiert, es gab keine Grenze

    nach oben.

    Bis Ende des 19.Jahrhunderts war Newtons Vorstellung von Raum und

    Zeit als richtig angesehen. Erst Maxwells Theorie zur Elektrodynamik warf

    das erste Mal eine Unstimmigkeit auf. Albert Einstein entwickelte darauf hin

    die spezielle Relativittstheorie.

    1.2 Die spezielle Relativittstheorie

    Einstein erkannte, dass die Lichtgeschwindigkeit eine fr alle Beobachter glei-

    che Gre ist. Diese Erkenntnis brachte eine Revolution des Raum-Zeit Be-

    griffs mit sich. Raum und Zeit waren von nun an nicht mehr unabhngig

    voneinander, sondern wurden zu einer 4-dimensionalen Raumzeit vereint.

    Damit waren Raum und Zeit nicht mehr absolut, sondern vom jeweiligen

    Bezugssystem abhngig. Daraus resultieren die Effekte der Zeitdillatation

    und der Lorentzkontraktion. Relativ zueinander bewegte Beobachter messen

    demzufolge unterschiedliche Lngen und auch die Zeit vergeht verschieden

    schnell.

    Die Gallilei-Transformationen gengten den Anforderungen Einsteins je-

    doch nicht. Damit die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gewhrleistet wird,

    fhrt Einstein eine neue Gruppe von Transformationen, die sogenannten

    Lorentz-Transformationen ein. Werden wieder zwei Bezugsysteme S und S

    mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung gleichfrmig zueinander bewegt gilt:

    x =(x vt)

    1v

    c

    2y = y z = z t =

    t

    vx

    c2

    1v

    c

    2(1.2)

    Die gestrichenen Koordinaten bezeichnen dabei wieder jene in S , die unge-

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 14

    strichenen diese in S.

    Geschwindigkeiten wurden nicht mehr einfach addiert, sondern im Zuge

    der Lorentztransformationen zusammen gerechnet. Man erkennt ein Problem

    fr v = c. Aus einer anderen Gleichung der speziellen Relativittstheorie re-

    sultiert allerdings die Lichtgeschwindigkeit c als nicht zu erreichender Limes

    fr Geschwindigkeiten. Was bleibt, ist, dass der Raum weiterhin euklidisch

    ist, was sich erst in der allgemeinen Relativittstheorie nderte. Die genauen

    Aussagen der allgemeinen Relativittstheorie werden in den folgenden Kapi-

    teln dieser Arbeit genauer erklrt.

    1.3 Moderne Theorien der Raumzeit

    Das einzige Problem, das die allgemeine Relativittstheorie aufweist, ist die

    Unvertrglichkeit mit der Quantenmechanik. Eine Theorie, die diese beiden

    Teile der Physik vereint, eine sogenannte TOE Theory of everything

    wurde bislang nicht gefunden. Ziel aktueller Forschungen ist es, die vier phy-

    sikalischen Grundkrfte

    Gravitation

    elektromagnetische Wechselwirkung

    starke Wechselwirkung

    schwache Wechselwirkung

    in einer einzigen Theorie zu vereinen. Die vielversprechendsten Entwicklun-

    gen in diese Richtung bieten die Kaluza-Klein-Theorien und die Stringtheo-

    rien. Gemeinsam versuchen sie die Raumzeit in kleinen Bereichen um zustz-

    liche Dimensionen zu erweitern. Es wird versucht den Raum nicht als etwas

    Gegebenes anzunehmen, sondern zusammen mit den in ihm herrschenden

    Krften zu begrnden. Der grte Kritikpunkt an diesen Theorien sind die

    bislang fehlenden nachprfbaren Voraussagen.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 15

    Kapitel 2

    Mathematische Grundlagen

    Dieser Teil der Fachbereichsarbeit behandelt die mathematischen Methoden,

    auf die zur Beschreibung der allgemeinen Relativittstheorie zurckgegriffen

    wird. Es handelt sich vor allem um differentialgeometrische Inhalte, welche im

    Rahmen der schulmathematischen Ausbildung nicht behandelt werden. Zu-

    nchst ist es notwendig, wichtige Eigenschaften des 4-dimensionalen Raums

    der allgemeinen Relativittstheorie festzulegen.

    2.1 Geometrie gekrmmter Rume

    Im Normalfall beschrnken sich geometrische Kenntnisse auf die ebene, eu-

    klidische Geometrie, welche man irgendwann im Laufe seiner Ausbildung in

    der Schule gelehrt bekommt. Diese spielt sich ausschlielich in einem flachen,

    soll heien nicht gekrmmten, Raum ab.

    Carl Friedrich Gau (1777-1855) war der erste, der eine in sich schlssige,

    nicht-euklidische Geometrie einfhrte. Nun hatte man mehrere Geometrien,

    die alle, unabhngig voneinander, vollkommen korrekt waren. Es stellte sich

    die Frage, wie der Raum, in dem wir uns befinden, beschaffen ist, welche

    Geometrie ihn beschreibt.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 16

    2.1.1 Gausche Geometrie gekrmmter Flchen

    Ausgehend von der krzesten Verbindung zweier Punkte, einer geodtischen

    Linie, die in der euklidischen Geometrie einer Geraden entspricht, ist es

    mglich eine Geometrie zu definieren, die ohne Einbettung in einen hher-

    dimensionalen Raum in sich vollstndig beschrieben werden kann. Zu Nutzen

    machte sich Gau dabei den Effekt, dass bei Verbiegen einer flachen Ebene

    Abstnde zwischen Punkten unverndert bleiben, da die Ebene weder ge-

    dehnt noch gestaucht wird. ber die Berechnung so einer extremal- (mini-

    mal) langen Verbindung zweier Punkte einer Punktmannigfaltigkeit ist es

    mglich, konkrete Aussagen ber die Beschaffenheit des vorhandenen Raum-

    es zu machen, ohne diesen in einen hher-dimensionalen Raum einzubetten.

    Betrachten wir zunchst wie in [6]1. einen Kreis in einer flachen Ebene

    und auf einer Kugeloberflche. Der Umfang in der Ebene berechnet sich

    gewohnt mit U = 2 r, auf der Kugel hingegen mit R . . .Kugelradius und

    r . . .Kreisradius gilt U = 2 R sin wobei r = R . somit folgt nach

    kleinen Umformungen:

    U = 2sin

    r (2.1)

    bzw.U

    r= 2

    sin

    (2.2)

    Dieses Verhltnis zwischen Umfang und Radius kann unabhngig von ei-

    ner Einbettung in einen 3-dimensionalen Raum bestimmt werden. Sozusagen

    knnten fiktive 2-dimensionale Lebewesen feststellen ob die Ebene in der sie

    leben, flach oder gekrmmt ist, ohne etwas von einer dritten Dimension zu

    wissen. Sie bruchten lediglich den Umfang eines Kreises abzumessen und in

    Verhltnis mit dem Radius zu stellen. Weicht dieses Verhltnis vom Wert 2

    ab, liegt eine Krmmung vor.

    Definition 2.1.1 Die Gausche Krmmung K ist fr eine Kugeloberflche

    durch

    K =1

    R2

    1[Vgl. 6, S. 930ff]

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 17

    definiert. (R . . .Kugelradius)

    Aus der vorangegangenen Betrachtung des Kreisumfangs auf der Kugelober-

    flche lsst sich eine andere Darstellung fr K finden, die sich aus rein in

    der Ebene messbaren Werten berechnen lsst. Die Herleitung erfolgt ber

    die Betrachtung der Reihenentwicklung der Sinusfunktion 2.

    Definition 2.1.2 (Formel von Bertrand und Pusseux)

    K =3

    limr0

    2 r U

    r3(2.3)

    Setzt man nun im Fall einer flachen, bzw ungekrmmten Ebene fr U 2r

    ein, folgt sofort K = 0

    Diese fiktiven Lebewesen knnten also ausgehend von Abstnden zweier

    infinitesimal voneinander entfernten Punkten Aussagen ber die Krmmung

    der Ebene, in der sie leben, treffen.

    Im Euklidischen Raum gilt fr die Abstandsberechnung der Satz des Py-

    thagoras fr drei Dimensionen

    ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (2.4)

    Verwenden wir nun fr die Flche die Parameterdarstellung

    x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) (2.5)

    so folgt mit xu =xu

    . . .

    dx = xudu+ xvdv, dy = yudu+ yvdv, dz = zudu+ zvdv (2.6)

    und der Abstand zweier Punkte a(u, v) und a(u+ du, v + dv) ist mit

    ds2 = g11(u, v)du2 + g22(u, v)dv

    2 + 2g12(u, v)du dv (2.7)

    2[Vgl. 6, S. 936ff]

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 18

    gegeben, wobei

    g11(u, v) = x2u + y

    2u + z

    2u, g22(u, v) = x

    2v + y

    2v + z

    2v

    g12(u, v) = g21(u, v) = xuxv + yuyv + zuzv

    Die gik sind dabei die sogenannten metrischen Koeffizienten. Durch aufsum-

    mieren ber die ds, also Integration kann die Lnge jeder beliebigen Strecke

    errechnet werden. Es mssen dazu nur die metrischen Koeffizienten bekannt

    sein.

    Gau suchte in weiterer Folge nach einer Mglichkeit die Krmung ei-

    ner Flche mittels eines Parameters zu berechnen, um mit Hilfe dessen eine

    Kugeloberflche von einer flachen Ebene bzw einer anders gekrmmten un-

    terscheiden zu knnen. Aufgrund der Abhnigkeit der Lnge von den gik war

    es naheliegend aus ihnen ein Ma fr die Krmmung zu bestimmen.

    2.1.2 Riemannsche Geometrie

    Nach den Ergebnissen von Gau fr 2-dimensionale Flchen war es nicht weit,

    zu vermuten, dass hnliches auch fr allgemein-viele Dimensionen mglich

    ist. Es stellte sich heraus, dass ein einziger Parameter analog zu K nicht aus-

    reicht, sondern mehrere Gren bentigt werden. Der Schritt auf den allge-

    meinen Fall war also keineswegs einfach, wurde allerdings noch zu Lebzeiten

    Gau von Georg Friedrich Bernhard Riemann gesetzt.

    Er behandelte den Raum in Form einer Punktmannigfaltikeit. Ist auf

    dieser eine Metrik gegeben, also eine Vorgabe, wie Lngen berechnet werden

    knnen, spricht man von einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Es wird in

    jedem Punkt dieser Mannigfaltigkeit ein Tangentialvektorraum aufgespannt.

    Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass die Krmmung lokal wegtransformiert

    werden kann. Es bentigt darberhinaus noch einer Vorschrift, wie zwischen

    einzelnen Tangentialvektorrumen gerechnet werden kann.

    Wie wir in den folgenden Kapiteln dieser Arbeit sehen werden, knnen

    mithilfe des Metrik-Tensors Eigenschaften des Raumes in Bezug auf seine

    Krmmung, hnlich wie schon Gau es fr zwei Dimensionen tat, berechnet

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 19

    werden. Bevor in Kapitel 2.9 auf die Ergebnisse seiner Arbeit nher einge-

    gangen wird, mssen einige mathematische Inhalte erlutert werden.

    2.2 Vektor-Tensorrechnung

    Bevor ich mich den fr die Relativittstheorie spezifischen Inhalten widme ist

    es unabdingbar, die dafr ntigen mathematischen Grundlagen zu erlutern.

    Diese Grundlagen beschrnken sich auf den Bereich der Vektor-Tensor-

    rechnung in gekrmmten Rumen. Beginnen wir mit der Erarbeitung der fr

    die Theorie ntigen Inhalte.

    2.2.1 Skalar-Vektor-Tensor

    Definition 2.2.1 Ein Skalar ist ein Zahlwert, der sich bei Koordinatentrans-

    formationen nicht ndert.

    Wird jedem Punkt in einem Raum ein Skalar zugeordnet spricht man von

    einem Skalarfeld.

    Beispiel fr ein Skalarfeld

    Ein Beispiel fr ein Skalarfeld ist die Temperatur in einem Raum. Gibt es

    Bereiche, in denen sich der Wert des Skalarfelds nicht ndert, so spricht man

    von einer Niveaulinie, bzw Niveauflche im 3-dimensionalen Raum.

    Skalare reichen in der Physik aber nicht aus, um alle Erscheinungen be-

    schreiben zu knnen. Betrachten wir z.B. eine Kraft. Im Gegensatz zur Tem-

    peratur ist es bei Krften von Bedeutung, in welche Richtung sie in welcher

    Strke wirken. Zur Beschreibung von Krften bentigen wir also ein Objekt,

    welches neben einem skalaren Wert zustzlich noch eine Richtungsangabe

    enthlt.

    Definition 2.2.2 Ein Vektor ist eine gerichtete Gre. Er weist neben ei-

    nem skalaren Wert (seinem Betrag) zustzlich noch eine Richtungseigenschaft

    auf. Man spricht von einem Vektorraum, wenn eine Funktion, das sogenannte

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 20

    Vektorfeld, existiert, welches jedem Punkt eines Raums einen Vektor zuord-

    net.

    Vektoren knnen durch einen Pfeil in eine bestimmte Richtung mit der

    Lnge ihres Betrags sehr einfach veranschaulicht werden.

    Beispiel fr ein Vektorfeld

    Ein Beispiel fr ein Vektorfeld ist das Gravitationsfeld der Erde. Dessen Kraft

    wirkt mit einer bestimmten Strke (abstandsabhngig) in Richtung des Erd-

    mittelpunktes. Jedem Punkt ist somit ein Vektor gegeben, der eine gewisse

    skalare Gre (Strke der Gravitation) und deren Richtung als Eigenschaft

    beschreibt.

    Sobald man weitere Eigenschaften als Gre und Richtung mittels eines

    Objektes zu beschreiben wnscht, muss man sich den Tensoren zuwenden.

    Wir definieren nun den Begriff Tensor im n-dimensionalen Raum.

    Definition 2.2.3 Ein Tensor der Stufe k ist ein k-fach indizierte Gre im

    n-dimensionalen Raum mit nk Komponenten, die sich bezglich jedes Index

    wie ein Vektor transformiert.

    Die Formen eines Tensors sind Skalare, Vektoren oder Matrizen. Gehen

    wir von der Definition des Tensors aus, erkennen wir:

    Ein Tensor der Stufe 0 ist ein Skalar

    Ein Tensor der Stufe 1 ist ein Vektor

    Ein Tensor der Stufe 2 ist eine Matrix

    Beispiel fr einen Tensor

    Ein Beispiel fr einen Tensor liefert uns der Spannungstensor der Physik.

    Dieser ist ein Tensor zweiter Stufe, der die mechanischen Spannungen an

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 22

    Die Begriffe Skalar und Vektor werden wir nicht weiter behandeln, da

    diese gelufig sein sollten, auf Tensoren jedoch kommen wir in Kapitel 2.5

    noch genauer zu sprechen.

    2.3 Indexschreibweise der Relativittstheorie

    Die Relativittstheorie ist, wie sich im Laufe dieser Arbeit herausstellen wird,

    eine tensoriell formulierte Theorie. Was das genau bedeutet sei vorerst nicht

    erlutert, wird aber zu einem spteren Zeitpunkt nachgeholt. Es tauchen bei

    diesen Objekten -Tensoren- regelmig Indizes auf. Es ist wichtig zu unter-

    scheiden ob diese in Form von griechischen oder lateinischen Kleinbuchstaben

    auftauchen. Die griechischen Indizes implizieren immer einen Wert der Men-

    ge {0, 1, 2, 3}, whrend die lateinischen lediglich aus der Menge {1, 2, 3} zu

    whlen sind. Oben stehende Indizes stehen fr kontravariante- (vgl Kapitel

    2.3.1), unten stehende fr kovariante (vgl Kapitel 2.3.2) Formen eines Ten-

    sors. Taucht ein Tensor, bzw eine Koordinate gestrichen (T , x) auf, so

    ist damit jeweils die Koordinate in einem neuen Koordinatensystem gemeint.

    2.3.1 Kontravariante Form

    Ein kontravariante Form eines Tensors transformiert nach

    T =x

    xT (2.9)

    Geometrisch gesehen ergibt eine senkrechte Projektion eines Vektors u auf

    eine kontravariante Basis ihn in kovarianter Form (siehe Abbildung 2.3.2).

    Es taucht an dieser Stelle zum ersten Mal das Symbol fr die partielle Ab-

    leitung auf. Eine partielle Ableitung wird dann verwendet, wenn man eine

    Funktion, die von mehreren Parametern abhngt, nur nach einem von diesen

    ableiten mchte. Im Gegensatz dazu steht das totale Differential d, das nach

    allen Parametern einer Funktion ableitet. 3

    3Die Kenntnis des Begriffs der Ableitung wird in dieser Arbeit als Voraussetzung ange-nommen, und nicht nher erklrt. Fr eine genauere Erluterung dieses Sachverhalts seiauf ein Lehrbuch der Mathematik verwiesen.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 23

    2.3.2 Kovariante Form

    Die kovariante Form eines Tensors transformiert sich hingegen nach

    x=

    x

    x

    x(2.10)

    somit gilt fr einen kovarianten Tensor:

    T =x

    xT (2.11)

    Die kovariante Form bildet eine Basis des im betrachteten Punktes befind-

    lichen Tangentialvektorraums. Parallelprojektion eines Vektors u auf eine

    kovariante Basis ergibt diesen in kontravarianter Form. Kovariante Formen

    sind koordinatenunabhngig (siehe Abbildung 2.3.2).

    Abbildung 2.3.2

    2.3.3 Topologischer Raum

    Ein Raum ist mathematisch gesehen eine Menge von Punkten. Sobald eine

    Struktur der Nhe eingefhrt wird, welche zu jedem Punkt sogenannte Um-

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 24

    gebungen von Punkten definiert, spricht man von einem topologischen Raum.

    Definition 2.3.1 Eine Menge U ist offen, wenn es zu jedem x U ein > 0

    gibt, sodass unend lich viele y U existieren, fr die gilt: x < y < x+ .

    Zum besseren Verstndnis stelle man sich einfach die offene Menge ]0; 1[

    vor. 0 und 1 sind keine Elemente der Menge. Es existiert kein Randwert, es

    gibt unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 1. Genau in diesem Fall (unendlich

    viele Werte, aber kein eindeutiger Randwert) spricht man von einer offenen

    Menge.

    Im Gegensatz dazu ist eine geschlossene Menge gegeben, sobald eindeutige

    Randwerte existieren. z.B.: [0; 1] hier gehren sowohl 0 als auch 1 zur Menge,

    es gibt aber keine Elemente y derart, dass 0 < y < 0 + erfllt ist.

    Definition 2.3.2 Eine Topologie T ist ein System aus offenen Teilmengen

    eines Raums R fr das folgende Axiome erfl lt sind:

    1. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ergibt eine offene Menge

    2. Der Durchschnitt end lich vieler offener Mengen ergibt eine offene Men-

    ge

    3. Die Grundmenge R und die leere Menge sind offene Mengen

    Definition 2.3.3 Ein Raum R zusammen mit einer Topologie T heit to-

    pologischer Raum (R, T ).

    Wozu bentigen wir den Begriff eines topologischen Raums?

    Mittels der Topologie wird der Begriff der Nhe definiert. Dadurch bekommt

    eine Menge eine Struktur, Umgebungen sind festgelegt und Lngen knnen

    berechnet werden.

    In der Allgemeinen Relativittstheorie ist es von Bedeutung, dass die

    Raumzeit ein Raum mit wohldefinierter Topologie ist, da sie sich mathema-

    tisch hauptschlich auf Verschiebungen von Vektoren bzw Tesoren um einen

    infinitesimalen Bereich sttzt. Um damit rechnen zu knnen, ist es notwen-

    dig zu wissen, welcher Punkt in der Nhe eines anderen Punktes liegt. Die

    Topologie gibt der Raumzeit ihre grundlegende Struktur.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 25

    2.3.4 Metrischer Raum

    Wir haben im vorigen Kapitel (2.3.3) den Begriff der Nhe eingefhrt. Um

    nun tatschlich den Abstand zwischen zwei Punkten berechnen zu knnen

    bedarf es einer Funktion, die angibt, auf welche Weise dies zu geschehen hat.

    Diese Abstandsfunktion ist definiert durch:

    ds2 =n

    =0

    n

    =0

    gdxdx (2.12)

    Hierbei ist zu beachten, dass die hochgestellten und keine Exponenten

    sondern Indizes darstellen. x1 entspricht somit der x-Koordinate, x2 der y-

    Koordinate und x3 der z-Koordinate (Im Falle eines 3-dimensionalen Raums).

    Das Konstrukt g ist der Metrik-Tensor. Er definiert wie genau der Abstand

    zu berechnen ist.

    Im n-dimensionalen euklidischen Raum ist der g nichts anderes als die

    Verknpfung der n Basisvektoren:

    g =

    1 0 0 . . . 0

    0 1 0 . . . 0

    0 0 1 . . . 0...

    ......

    . . ....

    0 0 0 . . . 1

    (2.13)

    Jetzt ist der Zeitpunkt gekommen, die Einsteinsche Summenkonvention

    zu erwhnen:

    Definition 2.3.4 Die Einsteinsche Summenkonvention vereinbart, dass die

    Aufsummierung nur ber gleiche Indizes stattzufinden hat, wenn diese einmal

    als kovarianter und einmal als kontravarianter Index auftauchen.

    Einfacher gesagt: steht unten und oben der gleiche Index, so wird sum-

    miert.

    Hier ein Beispiel zur Verdeutlichung:

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 26

    Skalarprodukt zweier Vektoren: x =

    x1

    x2

    ...

    xn

    und y =

    y1

    y2...

    yn

    x v =

    n

    i=1

    xiyi (2.14)

    die Summenkonvention erlaubt es uns nun den selben Ausdruck kurz

    so zu schreiben: x v = xiyi das Summenzeichen kann weggelassen

    werden.

    Der Zweck ist vielleicht noch nicht ganz klar ersichtlich, aber sptestens

    wenn wir uns dann den Koordinatentransformationen bzw Gleichungen

    mit Tensoren widmen stellt sich die Summenkonvention als uerst

    hilfreich heraus, um die bersichtlichkeit zu bewahren.

    Nun aber zurck zumMetrik-Tensor. Mit der Einsteinschen Summenkon-

    vention im Hinterkopf ergibt die Gleichung (2.12) im Allgemeinen folgendes:

    ds2 = gdxdx (2.15)

    ds2 = gdxdx = g11(dx

    1)2 + + gnn(dxn)2 (2.16)

    Denken wir uns zurck in den Euklidischen Raum, so gilt fr g Glei-

    chung 2.13. Setzten wir das in die obige Gleichung ein, erhalten wir die be-

    kannte Abstandsformel fr den euklidischen Raum.

    ds2 = g11dx2 + g22dy

    2 + g33dz2

    ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (2.17)

    ds =

    dx2 + dy2 + dz2 (2.18)

    Dieser ist also ein metrischer Raum, was bedeutet, dass auf ihm zustzlich

    zur Topologie eine Abstandsfunktion (oder eben Metrik) definiert ist.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 27

    2.3.5 Mannigfaltigkeiten

    In den vorangegangenen Kapiteln wurde der bekannte n-dimensionale Eukli-

    dische Raum (Rn) des fteren als Veranschaulichungsobjekt gewhlt. Jedoch

    lassen sich nicht alle Objekte so einfach mit dem Rn vergleichen. Betrach-

    ten wir beispielsweise eine Kugeloberflche. Sie ist das einfachste Beispiel fr

    eine gekrmmte Flche. Um sie nun auf einam Blatt Papier darstellen zu

    knnen msste man die Flche an einer Stelle aufschneiden und anschlie-

    end aufbreiten. Dabei passieren aber unweigerlich Verzerrungen von Lngen

    und Winkeln.

    Die Erdoberflche ist annhernd eine Kugeloberflche. Um sie in Atlan-

    ten dennoch auf einer ungekrmmten Ebene darstellen zu knnen, zerteilen

    wir sie in einzelne Karten. Die Karten untereinander haben bestimmte ber-

    lappungsbereiche, und ergeben zusammen wieder die gesamte gekrmmte

    Flche.

    Eine Sammlung solcher Karten heit in der Mathematik, so wie auch in

    der Geographie, Atlas.

    Betrachtet man anstatt einer gesamten gekrmmten Flche nur Teilge-

    biete davon (eben diese Karten), hat man den Vorteil, dass die Flche lokal

    annhernd ungekrmmt ist, und ohne groen Fehler in den R2 bertragen

    werden kann.

    In weiterer Folge bezeichnen wir gekrmmte Flchen bzw auch hher

    dimensionale gekrmmte Rume als Mannigfaltigkeiten. Diese mssen nicht

    zwangslufig in einen hher dimensionalen Raum eingebettet sein, um deren

    Eigenschaften bestimmen zu knnen, was wir in den folgenden Kapitel zeigen

    werden.

    2.4 Das lokal ebene System

    Wie im vorigen Kapitel erwhnt verwendet man auf gekrmmten Mannig-

    faltigkeiten die Eigenschaft, dass diese sich auf einem sehr kleinen Bereich

    ohne groen Fehler auf einen ungekrmmten Raum abbilden lsst. Diese lo-

    kal flachen Rume (vgl. Begriff Karte) besitzen im Falle der Raumzeit der

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 28

    allgemeinen Relativittstheorie eine wohldefinierte Metrik . Sobald wir es

    lokal mit einem flachen Raum zu tun haben, knnen wir dort die spezielle

    Relativittstheorie anwenden. Durch Transformationen ist man also in der

    Lage fr kleine Bereiche der Raumzeit deren Krmmung weg zu rechnen.

    2.4.1 Die Minkowski-Metrik

    Die Metrik der lokal ebenen 4-dimensionalen Raumzeit ist die Minkowski

    Metrik, also genau jene, die in der speziellen Relativittstheorie verwendet

    wird:

    =

    1 0 0 0

    0 1 0 0

    0 0 1 0

    0 0 0 1

    (2.19)

    Die Signatur der Minkowski Metrik

    Die Signatur einer Metrik beschreibt die Summe der Vorzeichen der Werte,

    die in ihrer Diagonalen eingeschrieben sind. Im Falle der Minkowski Metrik

    is diese also geich

    1 1 1 1 = 2 (2.20)

    Der metrische Koeffizient der Zeitkoordinate (00) hebt sich durch sein Vor-

    zeichen von den drei brigen Koeffizienten der Raumkoordinaten ab. Ein

    Raum der durch diese Metrik gekennzeichnet ist, wird lokal als Inertialsys-

    tem bezeichnet.

    Die Koordinaten des Minkowsiki Raums sollen sich von allgemeinen Ko-

    ordinaten eines beliebig gekrmmten Raumes abheben und werden deshalb

    mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet.

    Der Raumzeit Abstand des Minkowski-Raums ist demnach durch

    ds2 = dd = dt2 dx2 dy2 dz2 (2.21)

    gegeben.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 29

    2.5 Tensoren

    Tensoren sind mathematische Objekte, die auf n-dimensionalen Mannigfaltig-

    keiten durch ihr Transformationsverhalten festgelegt sind. Eine anschauliche

    Darstellung, wie beispielsweise bei Vektoren, welche als Pfeile gedeutet wer-

    den knnen, ist bei Tensoren nicht mehr mglich. Lediglich Tensoren 2.Stufe

    knnen noch in Matrizenform dargestellt werden. Tensoren 3.Stufe knnten

    hchstens mit einer 3 dimensionalen quaderfmigen Tabelle asoziiert werden.

    Eigenes Vorstellungsmodell fr Tensoren

    Fr mich persnlich hat sich das Vorstellungsmodell bewhrt, ein Tensor

    4.Stufe wre in einem 4-dimensionalen Raum eine Ansammlung von vier

    dreidimensionalen wrfelfrmigen Tabellen. Betrachten wir als Beispiel den

    spter in dieser Arbeit auftauchenden Krmmungstensor R . Mit einem

    der Indizes, sagen wir assoziieren wir die Nummer des Wrfels. Die restli-

    chen drei Indizes bezeichnen dann die x, y und zKoordinate in diesem

    Wrfel.

    Nun aber zurck zu den relevanteren Eigenschaften von Tensoren. Ihre

    Besonderheit ist das spezielle Transformationsverhalten ihrer Komponenten.

    Trotz ihrer Komplexitt finden Tensoren in der theoretischen Physik eine

    Vielzahl von Anwendungsbereichen. So auch in Einsteins allgemeiner Re-

    lativittstheorie. Sobald man sich mit den Konstrukten angefreundet hat,

    erkennt man schnell deren sinnvolle Anwendungen. Gleichungssysteme kn-

    nen ganz einfach in einer einzelnen Gleichung zusammengefasst werden und

    in Verbindung mit Einsteins Summenkonvention fallen sogar die Summen-

    zeichen weg.

    Eine Gravitationstheorie, wie es die allgemeine Relativittstheorie ist,

    verlangt nach einer einheitlichen, koordinatenunabhngigen Form ihrer Glei-

    chungen. Genau diese Anforderungen sind der Grund, weshalb die allgemeine

    Relativittstheorie eine tensoriell formulierte Theorie ist.

    Bei Wechsel des Koordinatensystems transformiert sich jede Komponente

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 30

    eines Tensors wie ein Vektor:

    T 1...m1...n =x1

    x1

    xm

    xmx1

    x1

    xn

    xnT 1...m1...n (2.22)

    Wie wir bereits wissen bezeichnet man die hochgestellten Indizes als kon-

    travariant, die tiefgestellten als kovariant (vgl. Kapitel 2.3). T bezeichnet

    hierbei den in ein anderes Koordinatensystem transformierten Tensor T ..

    Das allgemeine Transformationsgesetz fr Tensoren (siehe Gleichung 2.22)

    liefert fr spezielle Tensoren

    T =x

    xx

    xT , T =

    x

    xx

    xT, T

    =

    x

    xx

    xT ,

    2.5.1 Tensoralgebra

    Betrachten wir die wichtigsten Rechenregeln fr Tensoren.

    Satz 2.5.1 Fr a, b skalar und gleicher Stufe der Tensoren A...... und B...... gilt:

    aA1...m1...n + bB1...m1...n

    = T 1...m1...n (2.23)

    Das bedeutet, bilden wir die Summe oder die Differenz zwischen zwei Tenso-

    ren (oder Vielfachen derer) der gleichen Stufe, erhalten wir wiederum einen

    Tensor dieser Stufe.

    Auch das Produkt zweier Tensoren A...... der Stufe k und B...... der Stufe l,

    die nicht notwendigerweise die selbe Stufe haben, ergibt einen Tensor T ...... der

    Stufe k + l.

    Satz 2.5.2 T 1...m1...m1...n 1...m = A1...m1...n

    B1...m1...n

    Noch eine weitere Methode steht uns beim Rechnen mit Tensoren zur

    Verfgung, die sogenannte Verjngung oder Kontraktion. Damit ist nichts

    anderes gemeint, als die Reduzierung seiner Stufe. Setzt man einen kontrava-

    rianten (oberen) und einen kovarianten (unteren) Index gleich, und summiert

    gem der Einsteinschen Summenkonvention, so erhlt man wiederum einen

    Tensor, der als Verjngung des ursprnglichen Tensors bezeichnet wird.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 31

    Satz 2.5.3 T = A ist eine Verjngung des Tensors A

    Oben genannter Satz gilt, da:

    A =x

    xx

    xx

    xx

    xA

    (2.24)

    Daraus folgt:

    T =x

    xx

    xx

    xx

    xA

    =

    x

    xx

    xA

    =

    x

    xx

    xT (2.25)

    und T gem des Transformationsgesetzes fr Tensoren verhlt.

    Es ist nun zum ersten mal das Kronecker-Symbol aufgetaucht. Hierbei

    handelt es sich um eine 2-fach indizierte Gre, deren Definition wie folgt

    aussieht:

    ik =

    1 falls i = j

    0 falls i = j(2.26)

    Anhand dieser Definition erkennt man schnell, dass es beim Kronecker-

    Delta offenbar gleichgltig ist, welche Reihenfolge man fr die Notation der

    Indizes whlt. Es gilt sicher: ik = ki. Ist dies fr einen Tensor der Fall

    spricht man von einem symmetrischen Tensor.

    2.5.2 Symmetrien von Tensoren

    Sobald bei einem Tensor die Reihenfolge bestimmter, oder gar aller Indizes

    gleichgltig ist, spricht man von sogenannten Symmetrien.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 32

    Zur besseren Veranschaulichung seien einige Beispiele genannt:

    Tik = Tki . . . symmetrisch bezglich der unteren Indizes

    Tik = Tki . . . antisymmetrisch bezglich der unteren Indizes

    T ijk = Tikj . . . symmetrisch bezglich der unteren Indizes

    T ijk = Tikj . . . antisymmetrisch bezglich der unteren Indizes

    Tijkl = T

    jikl . . . symmetrisch bezglich der oberen Indizes

    Tijkl = T

    jilk . . . symmetrisch bezglich der oberen und unteren Indizes

    . . .

    2.5.3 Bedeutung von Symmetrien

    Verschwindet ein Tensor T in einem Koordinatensystem, verschwin-

    det er auch in allen anderen.

    Dieser Satz folgt aus dem allgemeinen Transformationsgesetz fr Ten-

    soren (siehe Gleichung 2.22).

    Erhaltung von Symmetrien: Ein Tensor A mit einer bestimmten Sym-

    metrie in einem Koordinatensystem A = A behlt diese auch in

    allen anderen Koordinatensystemen.

    Beweisen lsst sich diese Tatsache sehr einfach ber den Effekt, dass

    ein Tensor, sofern er in einem Koordinatensystem verschwindet, dies

    auch in allen anderen tut.

    2.5.4 Spezielle Tensoren

    In (siehe Gleichung 2.26) haben wir das Kronecker-Symbol erstmals er-

    whnt und definiert. bildet das sogenannte Einheitssymbol. Es ist in allen

    Koordinatensystemen von der selben Form.

    Ein weiterer besonderer Tensor ist der Metrik Tensor g

    Definition 2.5.1

    g =

    x

    x(2.27)

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 33

    Dabei handelt es sich bei , gem Kapitel 2.4, um die Minkowski Metrik.

    bezeichnen wie gewohnt lokal ebene Koordinaten.

    Zu diesem existiert ein zweiter (inverser) Tensor mit der folgenden Eigen-

    schaft:

    gg = (2.28)

    mit

    g =x

    x

    (2.29)

    Es bleibt noch zu zeigen, dass auch g ein Tensor ist:

    g =x

    x

    =

    x

    xx

    xx

    x

    =

    x

    xx

    xg (2.30)

    Wodurch g sich wie ein Tensor verhlt.

    2.5.5 Eigenschaften des metrischen Tensors

    Es gibt in der allgemeinen Relativittstheorie, gleich wie schon in der spezi-

    ellen, drei Arten von Raum-Zeit Abstnden

    ds2 = gdxdx

    < 0 . . . raumartig

    = 0 . . . lichtartig

    > 0 . . . zeitartig

    (2.31)

    Was bedeuten nun diese drei Begriffe?

    Raumartig: Zwei Ereignisse deren Weltlinie raumartig ist, knnen keinen

    kausalen Zusammenhang besitzen, da Information nicht schnell genug

    von einem Ereignis zum anderen bertragen werden knnte, da dies

    mit ber Lichtgeschwindigkeit geschehen msste. Sie knnen sich also

    nicht gegenseitig beeinflussen.

    Lichtartig: Lichtartige Weltlinien werden ausschlielich von Photonen be-

    schrieben.

    Zeitartig: Zeitartig bezeichnet man alle Weltlinien von Krpern, die sich in

    der Raumzeit bewegen. Eine Weltlinie ist hierbei einfach eine Verbin-

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 34

    dung zwischen allen Ereignissen die dieser Krper im Laufe der Zeit

    durchluft. Ist die Weltlinie zwischen zwei Ereignissen zeitartig bedeu-

    tet dies, dass diese beiden Ereignisse von einander abhngig sein kn-

    nen, dass Information vom einen Ereignis zum anderen transportiert

    werden kann, bevor das Ereignis eintritt.

    Geometrisch besser vorstellen kann man sich diese Begriffe in Zusammenhang

    mit dem Lichtkegel:

    Die Seitenflche des Keges wird durch lichtartige Weltlinien beschrieben.

    befindet sich ein Ereignis P im Zentrum dieses Kegels, so knnen lediglich

    Ereignisse die sich in dessen Zukunfts- oder Vergangenheitskegel befinden

    Einfluss auf dieses Ereignis haben. Die Weltlinien innerhalb dieser beiden

    Kegel werden als zeitartig, jene auerhalb der Kegel als raumartig bezeichnet.

    2.5.6 Verschieben der Indizes

    Whrend unseren bisherigen Begegnungen mit Tensoren tauchten immer wie-

    der hoch- und tiefgestellte Indizes auf. Dieses Kapitel behandelt den Zu-

    sammenhang zwischen den Komponenten mit hochgestellten und denen mit

    tiefgestellten Indizes.

    Multipliziert man einen bestimmten Vektor V = gU mit g so erhlt

    man wieder den Ausgangsvektor U

    gV = gg

    U = U = U

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 35

    Aufgrund dieses Zusammenhangs werden V und U als kontra- bzw ko-

    variante Form desselben Vektors U aufgefasst. Man spricht vom Heben und

    Senken der Indizes, wenn man die kontravariante Komponente eines Vektors

    in dessen kovariante wandelt.

    V = gV , V = gV (2.32)

    Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann nun wie folgt definiert werden:

    UV = gU

    V = gUV = UV (2.33)

    Analog funktioniert das Herab- oder Heraufziehen von Indizes hherstu-

    figer Tensoren. Gehen wir von einem (von uns) definierten Tensors A aus.

    Man kann mithilfe des metrischen Tensors rasch die zu A gehrigen Ten-

    soren

    A = Ag

    , A = gA , A

    = A g = gA

    = gAg

    (2.34)

    definieren.

    Durch das Hinunterziehen der Indizes knnen wir von A wieder auf A

    kommen:

    ggA = gg

    ggA =

    A = A (2.35)

    Da wir nicht von vorn herein annehmen knnen, dass ein Tensor symme-

    trisch sei, mssen wir bei den Indizes stets auf deren Reihenfolge achten. Im

    Allgemeinen ist A = A ! Darum drfen wir die Indizes auch nur dann

    bereinander schreiben, wenn der Tensor symmetrisch ist.

    2.6 Christoffelsymbole

    Die Christoffelsymbole setzen sich aus Ableitungen des metrischen Ten-

    sors g zusammen und sind dadurch jene Gren, die die nderung der

    Metrik zwischen verschiedenen Punkten der Mannigfaltigkeit beschreiben.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 36

    Sie werden daher auch als affine Zusammenhnge bezeichnet.

    Definition 2.6.1

    =x

    2

    xx(2.36)

    mit als Koordinaten eines lokal flachen Koordinatensystems (vgl. Kapitel

    2.4)

    Sehen wir uns die Definition 2.6.1 im Vergleich mit der Definition der g an,

    erkennen wir eine gewisse hnlichkeit.

    g =

    x

    x =

    x

    2

    xx

    Dies erlaubt uns die Christoffelsymbole mithilfe erster Ableitungen des

    metrischen Tensors zu berechnen.

    Folgende Summe aus Ableitungen fhrt zum Ziel:

    g

    x+

    g

    x

    g

    x=

    2

    xx

    x+

    x2

    xx+

    2

    xx

    x+

    x2

    xx

    2

    xx

    x

    x2

    xx=

    22

    xx

    x(2.37)

    Aufgrund der Vertauschbarkeit von und fallen 4 der zwei Summanden

    weg, da sie sich gegenseitig aufheben. Aus der Definition der Christoffelsym-

    bole, sowie der des metrischen Tensors folgt:

    g =

    x

    xx

    2

    xx=

    x2

    xx(2.38)

    nach Gleichung 2.37 ist dies weiter gleich

    g =

    1

    2

    g

    x+

    g

    x

    g

    x

    (2.39)

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 37

    In Kapitel 2.5.4 wurde der zum metrischen Tensor g inverse Tensor g ein-

    gefhrt. Damit wir nun das Christoffelsymbol alleinstehend beschreiben

    knnen multiplizieren wir Gleichung 2.39 mit g.

    gg =

    =

    g

    2

    g

    x+

    g

    x

    g

    x

    (2.40)

    =g

    2

    g

    x+

    g

    x

    g

    x

    (2.41)

    Aufgrund der Symmetrie des metrischen Tensors muss auch zwangslufig

    sein inverser Tensor symmetrisch bezglich der beiden Indizes sein, womit

    die Christoffelsymbole symmetrisch in den beiden tiefgestellten Indizes sind.

    2.6.1 Transformationsverhalten der Christoffelsymbole

    Es stellt sich nun die Frage, ob Christoffelsymbole Tensoren sind. Untersu-

    chen wir dazu ihr Tansformationsverhalten:

    =x

    2

    xx=

    x

    xx

    x

    xx

    x

    =x

    xx

    2

    xxx

    xx

    x+

    2x

    xx

    x

    =x

    xx

    xx

    x +

    x

    x2x

    xx(2.42)

    Betrachten wir den zweiten Summanden in Gleichung 2.42 sehen wir, dass

    sich Christoffelsymbole nicht wie Tensoren transformieren, sie sind also kei-

    ne Tensoren. Das ist auch der Grund, weshalb sie Symbole heien. Da die

    Schreibweise die Christoffelsymbole wie Tensoren wirken lsst, ist es

    ebenso gebruchlich eine andere Schreibweise fr sie zu verwenden.

    = {} (2.43)

    Die Schreibweise mit den geschwungenen Klammern hebt die Christoffelsym-

    bole zwar deutlicher von Tensoren ab, in den folgenden Kapiteln dieser Arbeit

    wird jedoch ausschlielich die -Notation verwendet. Wir behalten uns aber

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 38

    im Hinterkopf, dass sie sich nicht wie Tensoren transformieren.

    2.7 Kovariante Ableitung

    In der Tensoranalysis stt man beim Ableiten von Vektoren bzw. Tensoren

    auf folgendes Problem:

    Gegeben sei der Tensor T. Leitet man diesen nun in Richtung einer

    Koordinate ab, erhlt man

    T

    x=

    x

    x

    xT

    =2x

    xxT +

    x

    xx

    xT x

    (2.44)

    Der Summand mit 2x bewirkt, dass sich die erhaltenen Ableitung nicht

    mehr wie ein Tensor transformiert, also kein Tensor ist. Um beim Ableiten

    eines Tensors aber wieder eine tensorielle Gre zu erhalten, fhren wir die

    sogenannte kovariante Ableitung ein. Fr ungekrmmte Rume, also flache

    Metriken reduziert sich diese auf die gewhnliche partielle Ableitung, im Falle

    eines gekrmmten Raums aber weicht sie insofern von dieser ab, als dass sie

    eine tensorielle Gre liefert.

    Zunchst fhren wir eine neue Schreibweise fr partielle Ableitungen -

    bzw in weiterer Folge auch kovarianter Ableitungen - ein.

    Definition 2.7.1 Die partiel le Ableitung eines Tensors T 1...m1...n nach einer

    Koordinate x wird ab nun kurz mit T 1...m1...n , bezeichnet.

    Definition 2.7.2 Die kovariante Ableitung eines Tensors T 1...m1...n nach ei-

    ner Koordinate x wird ab nun mit T 1...m1...n ; abgekrzt.

    Wir fordern nun fr flache Metriken

    T 1...m1...n ; = T1...m1...n ,

    In Verbindung mit der Forderung, dass sich die kovariante Ableitung eines

    Tensors wieder wie ein Tensor transformiert, berechnen wir nun die kovari-

    ante Ableitung eines kovarianten Vektors A.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 39

    Seine Komponenten in einem lokal ebenen System S | werden mit A,

    jene in einem allgemeinen Koordinatensystem S|x mit A bezeichnet. In S

    gilt:

    A; = A

    , =A

    =

    A; =

    x

    xA

    =

    xAx

    =

    x

    x

    x

    A

    =

    xx

    A

    x+ A

    x

    x

    x

    =x

    xA

    x+ A

    x

    xx

    x

    2

    xx

    (2.45)

    Aus der Definition des Kronecker-Deltas (siehe Gleichung 2.26) folgt fr

    die kovariante Ableitung

    A; = A, A (2.46)

    Fr kontravariante Vektoren folgt analog

    A; = A, +

    A

    (2.47)

    Fr Tensoren zweiter Stufe wird die kovariante Ableitung wie folgt berechnet:

    T; = T, T

    T

    T ; = T

    , + T

    + T (2.48)

    T ; = T

    , + T

    T

    2.7.1 Rechenregeln fr kovariante Ableitung

    Die kovariante Ableitung einer Summe bzw Differenz von Tensoren ist

    gleich der Summe bzw Differenz der kovarianten Ableitungen, wenn a

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 40

    und b skalar sind.

    aA1...m1...n bB

    1...m1...n

    . . .;= aA1...m1...n; bB

    1...m1...n;

    . . . (2.49)

    Fr die kovariante Ableitungen von Produkten gilt die Produktregel

    A1...m1...n B

    1...m1...n

    ;= A1...m1...n;B

    1...m1...n

    + A1...m1...n B1...m1...n;

    (2.50)

    Die kovariante Ableitung einer Tensor-Verjngung ist gleich der Ver-

    jngung der kovarianten Ableitung

    A

    1......m1......n

    ;= A1......m1......n; (2.51)

    Die kovariante Ableitung einer skalaren Funktion muss der gewhnli-

    chen entsprechen, da diese schon einen Vektor ergibt.

    a; = a, (2.52)

    Die kovariante Ableitung des metrischen Tensors ergibt 0.

    g; = 0

    g ; = 0 (2.53)

    Aus der Produktregel und der vorangegangenen Regel (Gleichung 2.53)

    folgt fr Vektoren:

    V; = gV;

    V ; = gV; (2.54)

    2.8 Paralleltransport

    Der zustzliche Term, der in der kovarianten Ableitung auftaucht, kann geo-

    metrisch als Parallelverschiebung gedeutet werden. Leitet man eine Kompo-

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 42

    hngt) wird die Differenz bei vertauschter Reihenfolge betrachtet:

    V ;; V;; = R

    V

    (2.56)

    mit Gleichung 2.55

    Beweis:

    V ;; =V ;

    ;= V ;, +

    V

    ;

    V

    ;

    =V , +

    V

    ,+

    V , +

    V

    V , +

    V

    = V ,, + ,V

    + V, +

    V

    , +

    V

    V,

    V

    analog:

    V ;; = V,, +

    ,V

    + V, +

    V

    , +

    V

    V,

    V

    Hierbei wird die Definition der kovarianten Ableitung (Gleichung 2.47)

    verwendet. Die Notation und der Beweis dieses Sachverhalts wurde aus 4

    entnommen. Die Differenz dieser beiden Ausdrcke liefert genau Gleichung

    2.56 unter Bercksichtigung von Gleichung 2.55.

    Der Riemann-Tensor R verschwindet genau dann, wenn die Metrik

    gleich der Minkowski Metrik wird, der Raum also ungekrmmt ist. Denn

    in diesem Fall (g = ) verschwinden klarerweise auch die Christoffel-

    symbole und somit der gesamte Riemannsche Krmmungstensor. Nun ist

    es nicht mehr erforderlich, zu versuchen, die metrischen Koeffizienten in ein

    kartesisches Koordinantensystem zu transformieren, der Riemanntensor ist

    koordinatenunabhngig. Somit kann auch die Betrachtung der Raumkrm-

    mung frei von Koordinaten durchgefhrt werden.

    2.9.1 Eigenschaften des Riemann-Tensors

    Der Riemann-Tensor ist ein Tensor 4.Stufe, hat somit 44 = 256 Komponen-

    ten. Es stellt sich jedoch heraus, dass lediglich maximal 20 dieser fr die

    4[Vgl. 6, S. 957]

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 43

    Struktur der Raumzeit von Bedeutung sind. Es mssen somit bestimmte

    Symmetrieverhltnisse zwischen verschiedenen Komponenten bestehen. Da

    der Riemannsche Krmmungstensor lediglich aus einer Kombination von

    Christoffelsymbolen besteht, welche wiederum nur von der Metrik abhngig

    sind, ist es auch mglich den Riemann-Tensor durch Koeffizienten der Metrik

    auszudrcken

    R =1

    2(g,, + g,, g,, g,,) + g

    (2.57)

    Aufgrund der Symmetriebedingungen des metrischen Tensors lassen sich

    folgende Symmetrien ablesen:

    R = R (2.58)

    R = R = R = R (2.59)

    R + R +R = 0 (2.60)

    Desweiteren erfllt der Riemann-Tensor folgende Gleichung von kovari-

    anten Ableitungen:

    R; +R; +R; = R; R; R; = 0 (2.61)

    Diese Gleichungen werden als Bianchi-Identitten bezeichnet.

    2.9.2 Ricci-Tensor

    Abgesehen vom Riemann-Tensor selbst spielt auch dessen Kontraktion, der

    Ricci-Tensor, eine wesentliche Rolle in der allgemeinen Relativittstheorie.

    Es gilt:

    R = R = g

    R (2.62)

    Die Verjngung

    R = 0

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 44

    hingegen verschwindet aufgrund der Antisymmetrie

    R = R

    Der Ricci-Tensor R ist symmetrisch, was sofort aus der Kombination

    seiner Definition und der des Riemannschen Krmmungstensors folgt.

    R = R (2.63)

    Ricci-Skalar

    Auch die Verjngung des Ricci-Tensors R findet in der Relativittstheorie

    als Krmmungsskalar R Anwendung.

    R = R = gR (2.64)

    Diese beiden Kontraktionen des Riemann-Tensors gehen in weiterer Folge

    in die Einsteinschen Feldgleichungen in Form des Einstein-Tensors ein.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 45

    Kapitel 3

    Physikalische Aspekte

    Nachdem wir uns nun mit differentialgeometrischen Inhalten frs Erste aus-

    reichend beschftigt haben, werfen wir in diesem Abschnitt einen Blick auf die

    physikalischen Aspekte der allgemeinen Relativittstheorie. Folgende The-

    men beruhen groteils auf den bisher behandelten mathematischen Metho-

    den, lediglich die Lsungsverfahren von Differentialgeichungen wurden nicht

    besprochen.

    3.1 Prinzipien der ART

    Im Wesentlichen lagen 5 Prinzipien Albert Einsteins Arbeit zur allgemeinen

    Relativittstheorie zugrunde. Dieses Kapitel soll einen kurzen berblick je-

    ner Prinzipien wiedergeben. Die ersten drei sind Forderungen, die allgemein

    an jedes Modell, jede Theorie gestellt werden. Das Machsche- und das Ko-

    varianzprinzip hingegen sind die zentralen berlegungen die der allgemeinen

    Relativittstheorie zu Grunde liegen.

    3.1.1 Korrespondenzprinzip

    Das Korrespondenzprinzip Albert Einsteins verlangt, dass erfolgreiche Theo-

    rien mit einer neuen, sie ersetzenden Theorie, vertrglich sind. Bekannte Er-

    gebnisse mssen somit als Grenzflle enthalten sein. Wie schon in der speziel-

    len Relativittstheorie, die als Grenzfall fr im Vergleich zur Lichtgeschwin-

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 46

    digkeit kleinen Geschwindigkeiten, die Newtonsche Mechanik enthlt, sollte

    auch eine neue Theorie der Gravitation die bisher als gltig erachteten Theo-

    rien implizieren. So enthlt die ART die SRT im Grenzfall sehr schwacher

    Gravitationsfelder. Fr geringe Geschwindigkeiten und zustzlich schwache

    Gravitationsfelder enthlt sie sogar die Newtonsche Mechanik.

    3.1.2 Kovarianzprizip

    Zur Beschreibung physikalischer Vorgnge ist es stets ntig, Bewegungen

    bezglich eines festgelegten Koordinatensystems zu betrachten. Welche Art

    von Koordinaten man whlt, wird davon abhngen, welche Art von Vorgang

    zu beschreiben gewnscht wird.

    Die Bewegung eines Pendels wird sinnvollerweise in Polarkoordinaten ana-

    lysiert werden, was die Betrachtung sehr vereinfacht, wenn man den Mittel-

    punkt in den Punkt legt, an dem das Pendel aufgehngt ist. Die Radius-

    Komponente bleibt konstant, es wird sich nur die Winkel-Koordinate ver-

    dern. Es wre natrlich vollig legitim ein gewhnliches kartesisches Koordi-

    natensystem zu Hilfe zu nehmen, allerdings wrden sich dann beide Koordi-

    naten verndern, was die Situation lediglich rechnerisch erschweren wrde.

    Physikalische Gesetze drfen allerdings nicht abhngig vom gewhlten

    Koordinatensystem sein. Einstein stellte an die Gleichungen seiner allgemei-

    nen Relativittstheorie die Koordinatenunabhngigkeit als Anforderung. Im

    Laufe seiner Arbeit stellte sich heraus, dass die im ersten Teil der Arbeit

    besprochenen Tensoren genau diesem Anspruch gerecht werden, und eine ko-

    ordinatenunabhngige Form der Gleichungen zulassen. Denn wie wir bereits

    wissen folgt aus dem Transformationsgesetz der Tensoren (siehe Gleichung

    2.22), dass zwei Tensoren in allen Koordinatensystemen bereinstimmen,

    wenn sie dies in einem tun.

    3.1.3 Prinzip minimaler gravitativer Kopplung

    Das Prinzip minimaler gravitativer Kopplung ist im Wesentlichen ein Prizip

    der Einfachheit, welches im Allgemeinen jeder Physiker und/oder Mathema-

    tiker von selbst verfolgten. Eine Theorie oder ein Modell wird zunchst unter

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 47

    vereinfachten Bedingungen betrachtet und entwickelt. Erst langsam werden

    komplexere Vorgnge in Betracht gezogen, mehr und mehr Wechselwirkun-

    gen werden betrachtet. Eine Problemstellung wird Schritt fr Schritt der

    Realitt angenhert, mehr und mehr Komponeten werden in einen logischen

    Zusammenhang gebracht. Vollstndig gelst ist sie, sobald es mglich ist, mit

    der erarbeiteten Theorie die erfassten Ereignisse vollstndig zu beschreiben.

    Im Bezug auf die Allgemeine Relativittstheorie achtete Einstein beim

    bergang von der speziellen zur allgemeinen darauf, die zustzlichen Terme

    nicht unntig zu verkomplizieren. Genauer gesagt uert sich diese Theorie,

    indem einfache partielle Ableitungen oftmals lediglich durch die kovariante

    Ableitung ersetzt werden, ohne dass neue Zusatzterme hinzugefgt werden.

    Es sollen also so wenig wie mglich neue Ausdrcke auftreten, ttigt man

    den bergang von spezieller zur allgemeinen Relativittstheorie.

    3.1.4 quivalenzprinzip

    In der Speziellen Relativittstheorie sind alle gleichfrmig zueinander be-

    wegten Systeme gleichberechtigt, es gibt also keinen Unterschied zwischen

    der Darstellung physikalischer Ereignisse in dem einen oder anderen Bezugs-

    system.

    Wie sieht es nun aber mit beschleunigten Bezugssystemen aus?

    In ihnen verliert die spezielle Relativittstheorie an Gltigkeit. Einstein

    wollte seine Relativittstheorie allerdings verallgemeinern, sodass sie unab-

    hngig vom Bezugssystem ihre Gltigkeit behlt. Man unterteilt nun zwi-

    schen dem starken und dem schwachen quivalenzprinzip folgendermaen:

    Das schwache quivalenzprinzip

    Das schwache quivalenzprinzip besagt nun die Gleichheit von schwerer und

    trger Masse.

    Betrachten wir zunchst die beiden Gleichungen der Newtonschen Theo-

    rie

    F = mt a (3.1)

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 48

    Fg = ms GM

    r2(3.2)

    Die auf einen Krper wirkende Kraft ist nach Gleichung 3.1 gleich dessen

    trger Masse mal der auf ihn wirkenden Beschleunigung. Die Gravitations-

    kraft setzte sich aus der schwere Masse und der Gravitationsbeschleunigung

    zusammen.

    Nachdem zahlreiche Experimente die quivalenz dieser beiden Massen

    bis auf einen verschwindend kleinen Prozentsatz im Rahmen der Messun-

    genauigkeit besttigen konnten, legte Albert Enstein diese der allgemeinen

    Relativittstheorie zugrunde.

    = ms = mt

    Das starke quivalensprinzip

    Das starke quivalenzprinzip besagt dass nicht mehr zwischen einer Gravi-

    tations- und einer gewhnlichen Beschleunigunskraft unterschieden wird. Es

    ist somit ein Bezugssystem auf der Erde quivalent zu jenem in einer Rakete,

    die mit der selben Kraft beschleunigt wird, wie Massen sie gravitativ auf der

    Erdoberflche erfahren.

    Etwas anders ausgedrckt ist die Situation auch die gleiche, ob man sich

    im freien Fall in einer gekrmmten Raumzeit, oder krftefrei und gleichfrmig

    bewegt.

    3.1.5 Machsches Prinzip

    Der sterreichische Physiker und Philosoph Ernst Mach (1838-1916) be-

    schftigte sich aus philosophischer Motivation mit der Richtigkeit der New-

    tonschen Gesetze und deren Aussagen ber Bewegungen. Mach meinte, eine

    Bewegung sei ausschlielich relativ zu einem anderen Bezugspunkt definiert.

    ber einen Krper, der sich in einem ansonsten leeren Universum befindet

    knne man also nie eine Aussage bezglich dessen Bewegung machen, da

    kein Bezugspunkt vorhanden sei. Es bentigt einer Verteilung von Masse in

    Form der uns bekannten Fixsterne, und deren Bewegungszustnde, um einen

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 49

    Bezugspunkt fr die Beschreibung von Bewegungen und Trgheitskrften zu

    erhalten. Trgheit ist im weitesten Sinn also ein Vorkommnis, das aus der

    Wechselwirkung jeglicher Krper im Universum zustande kommt.

    Die Axiome des Machschen Prinzips lauten demnach:

    Materieverteilungen bestimmen Geometrie.

    Ohne Materie keine Geometrie.

    Ein einzelner Krper im sonst leeren Universum hat keine Trgheits-

    und/oder Geschwindigkeitseigenschaften.

    Wie wir in weiterer Folge erkennen werden spiegeln sich die Folgerungen

    aus dem Machschen Prinzip in den Feldgleichungen Einsteins wieder.

    3.2 Geodtengleichung

    Wie schon in Kapitel 2.1 erwhnt handelt es sich in allgemeinen Rumen

    nicht um eine Gerade als krzeste Verbindung zweier Punkte, sondern eine

    sogenanne Geodte. Es ist wohl unntig zu erwhnen, dass Geraden Spezi-

    alflle von Geodten in flachen Rumen sind. Einstein postuliert, dass sich

    Teilchen auf die keine Krfte wirken nicht wie in der Newtonschen Mecha-

    nik angenommen auf Geraden bewegen. Ihm zufolge handelt es sich bei der

    Bahn eines Teilchens, welches nur der Gravitationskraft unterliegt, um eine

    Geodte.

    Wie aber sieht die Gleichung aus, die die krzeste Verbindung zweier

    Punkte in einem Raum (bzw. der Raum-Zeit) definiert? Es ist gebruch-

    lich, Geodten in Koordinatendarstellung x zunchst als allgemeine Kurve

    zwischen zwei Punkten zu definieren:

    ps

    p1

    g x(p)x(p) dp = 0 x

    = x = 0

    Wobei x = xt.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 50

    Diese Gleichung kann unter Zuhilfenahme des Hamiltonschen Variations-

    prinzip gelst werden, zur Herleitung der Geodtengleichung eignet sich eine

    andere Eigenschaft besser:

    Eine Geodte ist darberhinaus eine Kurve, in der jeder Tangentialvektor

    zum parallel (entlang der Kurve) verschobenen Tangentialvektor gleich ist.

    Wir definieren die Geodte als vorerst unbekannte Funktion:

    x = g(s) s . . .Kurvenparameter (3.3)

    Der Tangentialvektor ist somit durch

    t =dx

    ds(3.4)

    gegeben. Der parallel verschobene Tangentialvektor ist von der Form

    t = t tdx (3.5)

    Dieser muss aber lt. Definition gleich dem nchstliegenden Vektor der Kurve

    t mit

    t = t +dt

    dsds (3.6)

    sein. setzen wir diese beiden Vektoren nun gleich erhalten wir

    t +dt

    dsds = t t

    dx

    dt

    dsds = t

    dx (3.7)

    Daraus folgt unter Verwendung von Gleichung 3.4

    d

    dx

    ds

    ds=

    dx

    ds

    dx

    dsd2x

    ds2+

    dx

    ds

    dx

    ds= 0 (3.8)

    die Geodtengleichung.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 51

    3.3 Einsteinsche Feldgleichungen

    Bei der Aufstellung der Feldgleichungen hielt sich Einstein an das Korrespon-

    denz- das Kovarianzprinzip, sowie das Prinzip minimaler gravitativer Kopp-

    lung (siehe Kapitel 3.1.1, 3.1.2 bzw. 3.1.3). Die Gleichungen sollten somit

    den Newtonschen Grenzfall enthalten, koordinatenunabhngig und mg-

    lichst einfach sein.

    Einsteins Idee war es, dass durch Gravitationsfelder erzeugte Relativ-

    beschleunigungen eine Krmmung der Raumzeit zur Folge haben. Aus der

    Tatsache, dass Masse Gravitation erzeugt, schloss er, dass die Raumzeit in

    Umgebung massereicher Krper gekrmmt ist.

    Die Feldgleichungen der allgemeinen Relativittstheorie sollten Gravita-

    tion als eine Raumzeit-Krmmung betrachten, die durch Masse hervorgrufen

    wird. Dazu musste die Masseverteilung des Universums mit der Raumzeit-

    Geometrie in Zusammenhang gebracht werden. Dazu waren zwei Tensoren

    ntig.

    3.3.1 Energie-Impuls-Tensor

    Der Energie-Impulstensor T beschreibt die Materie-, Energie-, und Masse-

    verteilung im Universum.

    Der Newtonsche Grenzfall liefert uns die Poisson Gleichung1

    (r) = 4G(r) (3.9)

    Hierbei ist der Laplace Operator. Fr ihn gilt = 2

    x2k

    . Das Feld (r) be-

    schreibt die Gravitation bei gegebender Gravitationskonstante G und Mas-

    sendichte (r). Fr schwache Gravitationsfelder ergibt sich:

    T00 = c2, g00 1 +

    2

    c2(3.10)

    wobei g00 aus dem nichtrelativistischen Grenzfall der Bewegungsgleichung

    und T00 aus Gleichung 3.9 resultieren.

    1Poisson Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen 2.Ordnung

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 52

    Aufgrund der Erweiterung2 der Kontinuittsgleichung fr den nichtrela-

    tivistischen Grenzfall folgt

    T ; = 0 (3.11)

    Das bedeutet fr diesen Fall weiters:

    g00 =8G

    c4T00 (3.12)

    Fr den allgemeinen Fall ersetzte Einstein die linke Seite, die aus Ablei-

    tungen der Metrik zu bestehen hatte durch den Einstein-Tensor G .

    3.3.2 Einstein-Tensor

    Der Einsteintensor G sollte aus 1. und 2.Ableitungen der Metrik g be-

    stehen. G soll linear in der zweiten Ableitung sein. Die Eigenschaften des

    Energie-Impuls-Tensors bertragen sich auf den Einstein Tensor, somit gilt

    G = G (3.13)

    G; = 0 (3.14)

    Der Krmmungstensor R erfllt durch seine Definition (vgl. Gleichung

    2.55) die Forderungen, welche an den Einstein-Tensor gestellt werden. Ein

    Problem besteht jedoch, da R 4.Stufe, G lediglich 2.Stufe ist.

    Wir haben in Kapitel 2.9 neben R ebenfalls dessen Kotraktionen, den

    Ricci Tensor R und R den Krmmungsskalar eingefhrt. R erfllt smtli-

    che an G gestellten Bedingungen, inklusive der symmetrischen Eigenschaft.

    Damit ergibt sich der Ansatz

    G = xR + yRg (3.15)

    Die Betrachtung der Bianchi Identitten fr R liefert:

    R; R; R; = 0 (3.16)

    2Gewhnliche partielle Ableitung wird durch kovariante Ableitung ersetzt

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 53

    Umbenennen der Indizes fhrt auf:

    R; R; R; = 0 (3.17)

    Die weitere Kontraktion = ergibt

    R; 2R; = 0 bzw. R

    ; =

    R;

    2(3.18)

    Setzen wir dieses Ergebnis in den ursprnglichen Ansatz (Gleichung 3.15)

    ein, erhalten wir

    G ; = xR;

    + yg;

    R + ygR; =

    x

    2+ y

    R; = 0 (3.19)

    Diese Gleichung hat genau zwei Lsungen

    1. x = 2y

    2. R; = 0

    Der 2.Fall ist aber auszuschlieen, da dann auch T; = 0 gelten msste,

    was in der Regel kaum der Fall sein wird. Es bleibt also nur die 1.Lsung

    brig. Damit folgt:

    G = x

    R 1

    2Rg

    (3.20)

    Weitere Betrachtung von Grenzfllen schwacher Krmmung ergeben x =

    1 woraus die von Einstein 1915 aufgestellten Feldgleichungen folgen.

    G = R 1

    2gR =

    8G

    c4T (3.21)

    Da diese Gleichungen auch ein dynamisches Universum zulieen modifi-

    zierte Einstein diese, sodass nur noch statische Universen als Lsung gefunden

    werden konnten. Er fhrte die kosmologische Konstante ein.

    G + g =8G

    c4T (3.22)

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 54

    Spter dann, als Edwin Hubble 1929 die Expansion des Universums nach-

    wies, revidierte Einstein diese Modifikation und nannte die kosmologische

    Konstante seinen grten Fehler.

    3.4 Schwarzschildlsung

    Mit dem Postulieren der Feldgleichungen war die Arbeit an der Relativitts-

    theorie noch nicht beendet. Es galt nun Lsungen fr diese zu finden. Mit

    dem Einsteintensor G beschreibt die linke Seite der Gleichung die Geo-

    metrie des Universums, die rechte durch den Energie-Impulstensor T die

    Beschaffenheit des Raumes im Bezug auf Energie- Masse- und Impulsvertei-

    lung. Eine allgemeine Lsung der Feldgleichungen ist bisher noch nicht be-

    kannt. Es gelingt lediglich unter bestimmten Annahmen bezglich der Ener-

    gie/Masseverteilung bzw. der Geometrie des Raumes Aussagen ber die in

    diesem Modell auftretenden Phnomene zu ttigen. Die erste vollstndige

    Lsung unter Annahme bestimmter Gegebenheiten fand Karl Schwarzschild

    kurz nach Einsteins Verffentlichung seiner Arbeit zur allgemeinen Relativi-

    ttstheorie.

    Eine Lsung fr die Feldgleichungen zu finden bedeutet nichts anderes,

    als unter bestimmten Voraussetzungen fr die Impuls-/Masseverteilung die

    Komponenten des metrischen Tensors zu bestimmen. Um nun zur berhmten

    Scharzschildmetrik zu kommen, machen wir zunchst einige Vorannahmen:

    1. Als erste Vereinfachung verwenden wir die Vakuum Gleichung mit

    G = R 1

    2gR = 0 (3.23)

    2. Die Metrik ist zeitunabhngig, also zu jeder Zeit von gleicher Form.

    3. Das betrachtete Universum ist statisch, die Masseverteilung ndert sich

    ebenso nicht.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 55

    4. Es gilt der Energieerhaltungssatz, T ist also divergenzfrei3. bzw.:

    xT = 0 (3.24)

    5. Wir gehen von einer kugelsymmetrischen Verteilung der Masse aus.

    Es gibt also ein Zentrum, um das man jeden beliebigen Punkt drehen

    kann, ohne dass die Metrik sich ndert.

    Zur expliziten Berechnung ist es vonnten, sich auf ein mglichst geeig-

    netentes Koordinatensystem festzulegen. Natrlich ist nach Einstein jedes

    System physikalisch gesehen gleichberechtigt, mathematisch gesehen unter-

    scheiden sich verschiedene Koordinatensyteme durch die Komplexitt der

    durchzufhrenden Rechnungen unter den vorhandenen Annahmen.

    Die Zeitunabhngigkeit unseres kugelsymmetrischen Systems bedeutet,

    dass eine unserer vier Koordinaten, x0, x1, x2, x3, nmlich jene die die Zeit

    beschreibt (blicherweise x0 = ct) die Eigenschaft

    g

    x0= 0, , {0, 1, 2, 3}

    besitzt. Desweiteren muss auch g(t) = g(t) sein, die Metrik also invariant

    bei Zeitumkehr, was zur Folge hat, dass die Zeitkoordinate x0 in quadrati-

    scher Form vorkommen muss.Das Wegelement ist daher von der Form

    ds2 = gooc2dt2

    3

    i,j=1

    gijdxidxj

    Weiters existieren aufgrund der Zeitinvarianz keine g0j Terme.

    Die Kugelsymmetrie bewirkt nun, dass jede mgliche Drehung um ein

    festes Zentrum die Metrik invariant lsst. Um die Schwarzschildlsung nun

    explizit anschreiben zu knnen whlen wir einen Punkt P, bzw. ein Ereignis P

    und drehen dieses an verschiedene Orte, um immer weitere Einschrnkungen

    treffen zu knnen.

    3Die Divergenz lsst sich formal als Ableitungsoperator interpretieren und gehrt zu-sammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Gradient und Rotation der Vektoranalysisan, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis [11]

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 56

    Betrachten wir nun ein Ereignis P , mit konstanter Zeitkoordinate und

    konstantem Abstand R vom Zentrum. Es werden nun Polarkoordinaten in P

    eingefhrt. Da sich die Metrik bei Drehungen um das Zentrum nicht vern-

    dert, beschreiben alle Pi mit x0 = const, x1 = const. eine Kugeloberflche.

    Die Metrik auf dieser lsst sich nun beschreiben durch:

    dk2 = f(R)2d2 + sin2 d2

    mit 4f(R) =Kugeloberflche.

    Damit hat die Metrik der von uns betrachteten Raumzeit die Form

    ds2 = g00c2dt2 g11dR

    2 2g12dRd 2g13dRd f(R)2d2 + sin2 d2

    Durch geschickte Wahl fr P und gleicher Ausrichtung der verwendeten

    Polarkoordinatensysteme auf allen Kugelschalen kann eine weitere Verein-

    fachung durchgefhrt werden. Die Metrik erhlt dadurch die Form

    ds2 = g00c2dt2 g11dR

    2 f(R)2d2 + sin2 d2

    Naheliegenderweise wird nun f(R) durch eine neue Variable r ersetzt.

    Somit erhalten wir:

    ds2 = g00c2dt2 g11dr

    2 r2d2 + sin2 d2

    Nun bleiben uns nur mehr die metrischen Koeffizienten zu bestimmen.

    blicherweise stellt man diese in einer anderen Schreibweise dar (unbestimm-

    ter Ansatz), sodass sich

    ds2 = ec2dt2 edr2 r2d2 + sin2 d2

    (3.25)

    die allgemein statische und kugelsymmetrische Metrik ergibt. In der oben

    dargestellten Form (3.25) enthlt die Metrik nur noch zwei vom Radius r

    abhngige Funktionen , . Sie erfllt noch das Korrespondenzprinzip, denn

    fr eine flache Metrik ( = = 0) geht sie in die Minkowski-Metrik in

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 57

    Polarkoordinaten ber. Es gilt:

    g00 = e , g11 = e

    , g22 = r2, g33 = r

    2 sin2 (3.26)

    Fr alle anderen Komponenten des metrischen Tensors gilt: g = 0.

    Daraus ergeben sich die nicht verschwindenden Christoffelsymbole fol-

    gendermaen: (an dieser Stelle sei zur Definition der Christoffelsymbole in

    Kapitel 2.6 verwiesen)

    111 =1

    2

    r110 =

    1

    2

    c t

    011 =1

    2

    c re 010 =

    1

    2

    r

    122 = re 212 =

    313 =

    1

    r

    233 = sincos 100 =

    1

    2

    re

    000 =1

    2

    c r323 = cot

    133 = r sin2 e

    Fr den Fall im Vakuum gilt R = 0 und R = 0 woraus die vereinfachten

    Feldgleichungen (siehe Gleichung 3.23) folgen. Die nicht verschwindenden

    Komponenten von G sehen wie folgt aus:

    G00 = e

    1

    r2 1

    1

    r

    r

    1

    r2

    G11 = e

    1

    r2+ 1

    1

    r

    r

    1

    r2

    G10 =e

    r c

    t(3.27)

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 58

    Setzt man nun G00, G11, G

    10 gleich 0, fhrt das auf folgendes Gleichungssystem:

    G00 = 0 = e

    1

    r2 1

    1

    r

    r

    1

    r2

    G11 = 0 = e

    1

    r2+ 1

    1

    r

    r

    1

    r2

    G10 = 0 =e

    r c

    t(3.28)

    Multiplizieren mit e und anschlieendes Herausheben von 1rfhrt zu:

    G00 = 0 =

    r

    1

    r+

    e

    r

    G11 = 0 =

    r+

    1

    r

    e

    r

    G10 = 0 =

    t(3.29)

    Da man durch bestimmte Wahl des Koordinatensystems die Zeitabhn-

    gigkeit eliminieren kann, knnen alle Ableitungen nach der Zeit Null gesetzt

    werden. Somit sind und nur mehr von r abhngig.

    Zhlt man nun die ersten beiden Gleichungen zusammen erhlt man

    d

    dr( + ) = 0

    also flogt:

    e+ = C e = Ce (3.30)

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 59

    Einsetzen in die zweite Gleichung:

    d

    d r+

    1

    r

    Ce

    r= 0

    ed

    d r+

    1

    r

    =C

    r

    1

    r

    d

    d r(er) =

    C

    rd

    d r(er) = C

    er = Cr +D

    e = C +D

    r

    Betrachten wir nun Punkte, die vom Zentrum weit entfernt liegen (r ),

    so gilt e = 1 und es folgt:

    e = e = 1 +D

    r

    ber abschlieende berlegungen bezglich der Angabe einer Beschleu-

    nigung in diesem System, kommt man schlielich fr D auf folgenden Wert:

    D = 2GM

    c2(3.31)

    Nun erhalten wir die vollstndige Schwarzschild-Lsung, mit der entspre-

    chenden Metrik

    ds2 = c2

    12MG

    r c2

    dt2 dr2

    1 2MGr c2

    r2d2 + sin2 d2

    (3.32)

    Man sieht sofort, dass es zu Problemen in der Metrik kommen wird, wenn

    man fr r entweder r = 0 oder r = R = 2MGc2

    einsetzt. Die Unstimmigkeit fr

    r = 0 war zu erwarten, aber dass fr einen zweiten Wert von r die Metrik

    ebenfalls undefiniert bleibt, ist eine interessante Tatsache. Man spricht bei

    diesem zweiten Wert von r, vom sogenannten Schwarzschildradius R.

    Im Fall M = 0 geht die Schwarzschildmetrik in die Minkowski Metrik

    ber, sie wird flach. Gleichermaen geschieht dies fr groe Entfernungen r.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 60

    3.4.1 Analyse der Schwarzschildmetrik

    Die Schwarzschildmetrik wird fr verschiedene Betrachtungen verwendet. Mit

    ihrer Hilfe konnte die Periheldrehung des Merkurs exakt beschrieben werden.

    Die Sonne wird ins Zentrum gesetzt. Die Bahn des Merkurs ist aufgrund

    seiner relativ geringen Entfernung stak von der Sonne beeinflusst, da die

    Raumzeit in dieser Entfernung noch vergleichsweise stark gekrmmt ist.

    Desweiteren kann der Effekt der Lichtablenkung durch einen masserei-

    chen Krper uerst genau berechnet werden. Dieser Effekt war die erste

    experimentelle Besttigung der Relativittstheorie. Im Rahmen einer tota-

    len Sonnenfinsternis konnte eine scheinbar Positionsabweichung von Sternen,

    die zu dieser Zeit nahe der Sonne standen mit hoher Przision vorausgesagt

    und gemessen werden.

    Auerdem beschreibt die Schwarzschildmetrik die Umgebung eines soge-

    nannten Schw