BeitrBge zur Gruppentheorie. IV. Uber eine charakteristische Untergruppe.

Von OTTO GRUN in Berlin.

(Eingegangen am 28. 12. 1949.)

Eidei tung und fibersicht iiber die Ergebnisse.

In dieser Arbeit wird fur eihe beliebige Gruppe 3 die charakteristische Unter- gruppe @,,, untersucht, die folgendermafien definiert ist : m sei eine beliebige, aber dauernd festgehaltene natiirliche Zahl, s, t mogen alle Elemente aus 3 durchlaufen; dann sei Qm die kleinste Untergruppe, die alle ( ~ t ) - ~ P t ~ enthalt. Qm ist offenbar der kleinste Normalteiler von 8, in bezug auf den das Produkt der m-ten Potenzen zweier beliebigen Elemente aus 8 gleich der m-ten Potenz des Produktes der beiden Elemente ist. Auf der daraus folgenden Tatsache, daI3 das Produkt der m-ten Potenzen beliebig vieler Elemente aus Q beziiglich $jm gleich der m-ten Potenz des Produktes dieser Elemente ist, sowie der weiteren Tatsache, daB man hjm genau kennt (siehe A28), beruht die Bedeutung dieser charakteristischen Untergruppe. Man kann m > 1 voraussetzen, da, wie man sieht, 8, = 1 ist. DaB Qm in der Kommutatorgruppe @,8) von 3 enthalten ist, ist klar. Die Gruppen Qm konnen als Verallgemeinerung der Kommutatorgruppe aufgefal3t werden; fur m = 2 wird 8, = (8,s).

Die Arbeit ist in zwei Teile A und B gegliedert. In Tcil A wird die Unter- suchung fur freie Gruppen 3 ausgefuhrt, in Tei1.B wird dagegen eine endliche Gruppe @ zugrunde gelegt. Folgender Bezeichnungsmodus wird durchweg angewandt :

Fur beliebig? Gruppen 3, @ usw. bedeuten immer : &, a, die Kornmutatorgruppe (3,3) bzw. (a, @); 5 (q) , @ (q) mit beliebigen natiirlichen Zahlen q die kleinste Untergruppe von 8

Ferner sei (2, y) = z-ly-lzy. In Teil A bezieht sich das Kongruenzzeichen E, wenn es ohne Modulangabe

gesetzt ist, stets auf den Modul Qm, in Teil B auf den dort erkliirten Modul @:. Teil A liefert einige zunachst etwas iiberraschende Ergebnisse : 1. Oljwohl durch die Einsrelation Q,,, = 1 fur kein Element der freien Gruppeg,

das nicht in @,,, lie& explizite eine endliche Ordnung gefordert wird, haben doch alle Elemente ttus &!hjm eine endliche, m(m - 1) teilende Ordnung.

2. Jedes,Elemcnt aus g(m)/Q,, ist mit jedem Element aus g(m - l)/Qm vertauschbar. ( D d 3(rn - 1) 2 .Qm ist, wird gezeigt.)

bzw. @, welche die g-ten Potenzen aller Elemente aus 8 bzw. (3 enthiilt.

l) Ted I und Teil I1 sind erschienen in J. reine angew. Math. 114 (1935), 1-14; 186 (1948), 166-169, Teil 1II'in Math. Navhr., Berlin 1 (1948), 1-24.

713 Griin, Beitriige zur Grupptheorie. IV.

3. 3(m) n S(m - I)/& liegt im Zentrum von 3/@,,,; dieses Zentrum ist also nicht nur von 1 verschieden, sondern hat sogar unendliche Ordnung; da niimlicb @mE&, kann in der freien Gruppe 3 keine Potenz eines Elementes aus 3 ( m ) n 6 ( m - l), das nicht in g2 liegt, in

4. SchlieBlich ergibt sich: Qm = S2 n 3 ( m - 1) n S(m) . Damit gelingt es, die Struktur von ij/@,,, weitgehend aufzuklaren.

5. Die Menge aller der Elemente aus 3, deren m-te Potenz in &jm liegt, ist die Gruppe Sari ij(m - I ) , die Menge aller der Elemente aus 3, deren (m - l)- te Potenz in Qm liegt, die Gruppe & n S(m).

6. Man erhalt einen Homomorphismus von 8 oder auch von S/& auf S(m)/@m, wenn man jedem Element x E 3 bzw. xQm E s/Qm das Element x" Q,,) zuordnet. Es wird hierbei genau die Gruppe aller der Eleniente aus 8 bzw. ij/Qm, deren m-te Potenz in Q,,, liegt, auf die Gruppeneins abgebildet :

8/82 n S ( m - 1)

liegen.

i!i(m)/@m. 7. Bezeichnen wir hier die aus den m-ten Potenzen der Elemente von &

gebildete Gruppe mit $a(m). Wenn wir in 3 alle m-ten Potenzen gleich 1 setzen, also die Faktorgruppe 3/3(m) bilden, so wird auch gz(m) in das Einselement auf- genomnien. Aber die Kommutatorgruppe von g/S(m) ist nicht etwa S2/$2(m), sondern % . , ~ ( m ) ~ ( ( m ) Z &&j2 n 8(m); es ist S2 n 3(m) I) g 2 ( m ) , d. h. dib Kommutatorgruppe von S / s ( m ) ist isomorph mit einer Faktorgruppe von 3&,(m). Es zeigt sich, daI3 die uber g2 (m) = 1 hinausgehenden Einsrelationen der Kommutatorgruppe von S/S(m) durch Qm = 1 bestimmt sind. Der Normal- teiler von &/ga(m), dessen Faktorgruppe die Kommutatorgruppe von 3/:/5(m) liefert, ist gerade Qm;,(m)fi2(m).

8. Wird 8 aus den freien Elementen sl, . . . , erzeugt, so kann die freie Gruppe 3(m) aus ST,. . . , .sy und geeigneten Elementen aus Qm erzeugt werden.

Teil B behandelt das entsprechende Problem fur endliche Gruppen, genauer gesagt fur Faktorgruppen 312, da die Endlichkeit von 818 nicht benutzt wird. Die Resultate entsprechen in der Hauptsache denen des Teiles A.

A. 5 sei eine freie Gruppe, m eine Ijeliebige, aber fes'te natiirliche Zahl, die

wir, uni nicht Trivialitaten zu erhalten, > I annehmen. am sei die kleinste Untergrnppe von 8, die alle (zy)-mxmgm (2, y E 3) enthalt. Offenbar ist @m charakteristisch in 8 und 3 2 Qm 2 1 . Fur m = 2 ist Qm = &,, denn (zy)-as2y2 = y-l(y~)-~z-1zPy2= y-l(x, g)y. Fur m > 2 wird .'& c&, wie man sofort sieht.

1. Fur beliebiges a und beliebige xl, x 2 , . . . , xa E 3 ist

x';"xr ... x: = (zlxa * . * xJm.

Beweis. Fur u = 2 ist die Behauptung richtig nach der Definition von Qm. Sie sei bereits bewiesen fur alle Zahlen, die kleiner als u sind. Dann iW

Z T L g 0 . ' x:-iz: = (zlx* a * ' x,+l)mz: - = (zl z2 . - * zap.

Griin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV. 79

Aus dsm Beweis folgt (yx) - (m-l )xf f l - l . m-1 1

Fur m = 1 wird trivialerweise am = 1; f u r m = 2 wird, wie man sieht, .&& = (3,3), denn Qa wird erzeugt von allen ( y x ) - l z y = (2, 9 ) ; fur beliebige m > 2 g i l t $L,C(%),).

Es folgt noch: Das Produkt der (rn - 1)-ten Potenzen beliebig vieler Elemente aus 8 ist mod am eine (m - 1)-te Potenz in 3.

Beweis. Zunachst haben wir wie oben

Y - 0

also x;l(x2xl)-&-l) z1 m-1 x2 m-1 x2 f 1 ,

1 28 - ( x 2 x 1 ) m - l . xm-l m - 1 =

Durch vollstiindige Induktion nach der Anzahl der Faktoren folqt daraus die Behauptung.

3. Fur beliebige x, y E 3 ist (xm) ym' l ) = I . Beweis.

( p , p - 1 ) = z - m . - ( m - l ) m m-1 Y X Y = x-my(y-mxrnym)y-l 3 ~ - ~ ~ y ( y - l a y ) m y - ~ (nach 1) - - x - m y y - l x m yy-1 = %-m 5 m = l

Daraus folgt: Jede (rn - 1)-te Potenz aus 8 ist mod Qm niit jeder m-ten Potenz aus 8 vertauschbar; also ist jedes Element aus g ( m ) mit jedem Element aus 3(rn - 1 ) mod Q?,, vertauschbar, d. h. @ ( m - I ) , 3(m)) = 1 .

4. Alle Elemente aus %(m) n S(m - 1) liegen mod .Qm irn Zentruin von 8. Beweis. Es sei ~ € 3 , yEB(m) n S ( m - 1 ) . Es ist z = ~ ~ x - ( ~ - - 1 ) , also

xy = ~ " y x - ( ~ - ~ ) , da y als Element a m a m ) nach 3 mit x-("-1) mod$,, vertauschbar ist, und weiter

x w yx-(m-l) y x m x - ( m - l )

da ymls Element aus g((m - 1) nach 3 mit zm.mod& vertauschbar ist. Somit haben wir

xy = y x , was zu beweisen war.

Speziell liegen also mod$, alle Elemente aus g(m(m - 1)) in1 Zentruni, ebenso alle Elemente der Form (xy * . - z:)~-', (@-' - - - x:-')" usw. 7Veiterhin ist 5(m(m - 1)) $m/@m abelsch, ebenso (S(rn) n B(m - I))/&,.

6, Es sei x E S ( m - I ) , y € 8 . Dann ist

Beweis. Fur z, y € 3 ist (2, y)" = 1.

(2, ?Am = (rm, 91,

80 Grtin, Beitriige zur Gruppentheorie. IT.

denn (2-1 + y - l ~ y ) ~ 3 2-" - y-1 x, y. Fur x E S(m - 1) lie@ aber f l nach 4 inodQ, in1 Zentrum, also ist (xW, g) = 1 und daher (x, y)" E 1 .

6. Es sei c E &. Dann ist c,(m-l) E 1 , d. h. alle Eleniente aus '& haben mod $,,, endlichc, m(m - 1) teilende Ordnung.

Beweis. Zuniichst' ist nach 1 fur beliebige z, y E 3

Andererseits ist x-m9-m 3 .m y = (X- ly-1Zy)m.

z-my-m in 1)) = (Z-my-lzm)mytn (x-mg-lxmy)m X Y

also

1st n u n c = 17 (xl, y l ) , so hat nian 1 = l

n

1 = l cm = 17 ( X I , yJm,

n n

r = l 1=1 cm"= 17 p,)nI2 ='n (x, , yl)m (nach dem Vorhergehenden);

also ist

d. 11.

7. 1st rES(rn). y e s , b o ist

(z; y)"-1 = 1.

(x", y)"-1 G ( x , y)m(m-1) = 1 . Beweis. Zunachst ist naoh 6 und 1

Kun kann jedes Element zE 6 ( m ) als Produkt

1 p x4 ( Z , y ) m - 1 =: ( p y , y)n+1 = (($fZ1)". y)- p x l , y p m - 1 ) = 1.

x = n x y =

darpestellt u-erden. Also ist

8, Jedes Element aus @nl-l ist mod@, mit jedeln Element aus Qm+l

Beweis. Nach 2 liegt Qmvl in S(m - I ) , Qm+1 in g ( m ) . Also folgt nach 3 vertauschbar.

an-1, Q m + d = 1 * 9. Bezeichnet $(m - 1) die Ton den (m - 1)-ten Potenzen aller Bornmu-

tatoren aus 8 erzeupte Gruppe, so ist :

a. QmS.ij2*(m - l ) Q m - l ,

b. 6m-1 sF3.am - 1)Qm, c. $ ( m - 1) 2 &&-l.

Griin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV 81

Heweis. a. Es ist (zy)-m xm ym = (x y)-(m- 1) y- 1 %m--l yym- 1

3 p-1. x-l y -1 ' zy - y)"-l

= y-l(x, Y)m-lY,

d. h. es gibt zu jedem erzeugenden Element Hm E Qm ein Element H m - 1 E Qm-1, SO daB HmHm-l E '&!(m - 1) ist. Daraus folgt @m E $(m - I)$jrn-1.

b. Es ist

(5y)-(m-l) Z Y m-1 m-1 = (xy)-rn,y - xm - x-1y-1. ym = (zy)-"(zy * z * y-lz-l)m(x-ly y - 1 ) p = (xy)-"(xy * 5 ' y-lx-l)m((x-l, y-l)y(y-l , x-l))m(x-l, 9-1) G (y-12-1. xy .2. y-12-1 @-I, y-1)y(y-1, x - 1 p (x-1, y-1) = (y-1,x-l 1 - rn 1.

Es gibt also zu jedem erzeugenden Element Hm-l E $m-l ein Element H , E Qm so, daB Hm-lHm E $(m - 1) ist. Daraus folgt

@m-1 E 3: (m - I ) & .

) p - l , y-l)

c. Wir kehren den Beweis von b urn. Es ist identisch 1 ~ - 1 , z- l )m-l = (y-l, x-l m

- - (y-lx-l. "y . % . y-lx-l(z-l y y-l)Y(y-l, x-9) (x-l , 9-l).

Nach I ist aber

(y-lx-l. xy - x - y-15-1(x-l , y-I)y(y- l , z-1))- ( y - 1 Z - y . - (ZY- Z - Y - ' Z - ' ~ ~ ((z-', ~ - ~ ) y ( y - ' , x - ' ) ) ~ = H,E Qm;

wir haben also ( y - l j x- l )m-l

= ( y - l x - l y (xy * 2 * y-lx--l)m ((x-1, y-')y(y-l, x-1))mH;l (x-1, y-1) - = ( ~ y ) - ~ z y * ~ ~ - y - ~ ~ - ' ( ~ - ~ , y - ~ ) y ~ ( y - ~ , ~ - ~ ) ( z - * , y - ~ ) H ~

mit

und schlieBlich (y-l , x-1)H;l (x-1, y-1) = Em E Qm

(y-l, x-l)m-l = (2y)-(m-:)xm. y-lx-l. z y . x-ly-l. ymH, - -

m = Hm-1 Hm - (zy) - (m- l )xm-l m - 1 ~ Y - mit

(Zy) - (m- l )xm- l Y m - 1 = H m - 1 E Qm-1.

Aus c und a folgt:

d* @rnQm-1 = 3: (m - l)@m-l,

8. QmQm-1 = S:.~rfi - l ) ~ m aus c und b:

uiid aus d und e : f. 3: ( m - 1 1 8 ~ = Sz(m - 1 ) ~ ~ ~ ~ .

82 Griin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV.

Es sei noch bemerkt: Bezeichnet man die aus den (m - l)-te* Totenzen der Eleniente von & erzeugte Gruppe mit S2(m - l), so ist

- - l )@rn- l = 5F2@ - 1)Qrn-l

und ebenso m m - l ) @ m = % d m - 1)@".

- Beweis. Wegen der Relation 91 geniigt es, 3: (m - = &(m - 1)

zu beweisen. Nun haben die Elemente aus$jz(m - 1,) die Form

f = (17 (21, %))"-I = n (21% yl)m-l (@m-1). 1 1

Es ist also jedes Element aus S2(m - 1) einem Element aus S*(m - 1) mod@,. konpuent; daraus fulgt die Behauptung.

Mithin ergibt sich aus d und e: -

g. @m@rn-i = Bz(m - l ) @ m = SzW - l)@"-l.

10. Die (m - 2)-te Potenz eines jeden Elementes RUS Q,& lie# in Qm-l. Beweis. Nach 9rt besteht fur jedes Element H,,f @,,, eine Gleichung

f ist ein Produkt n(xl, yJrn--l = (pb Yl))m-l (Qm-11, 1

also ist H m - 2 n( 3 (ml, YI)) (m- l ) ( -

I

und nach 6 (mit m - 1 an Stelle von m)

HE:: = 1 (Qm).

11. Die m-te Potenz eines jeden Elementes aus ,'&-l lie@ in Qm.

Beweis. Nach 9b gilt fur jedes Element E Qm-l eine Gleichung

= U ( X , , y,)("-l)rn (nach 1)

rl (nach 6).

Es gilt sogsr allgenieinbr: Die m-te Potenz eines jeden Elementes nus

Beweis. Essei x E '& n G(m - l ) , & n g(m - 1) iiegt in @".

k

v = l x = nx7-1 .

xm--l m - 1 E (Yx)m-l: Fur beliebige x , y ist nach 2

Y

Griin, Beitrage ziir Gruppentheorie. IV. 83

daraus folgt

Es besteht also eine Gleichung m- 1

H, mit HmE@,,. 1

Da ;I: und H , in 32 liegen und 3 eine freie Gruppe ist, liegt dann auch 17 xv in &. v = k

Also wird 1 m(m-1)

xm 3 ( D‘cv) f 1 (nach 6). v = k

Ferner gilt: Die (m - I)-te Potenz eines jeden Elementes aus & n G ( m )

Beweis. Sei x E s2 n g ( m ) , lie@ in Qm.

1

Wie oben folpt 17 xy E &, also V = k

12. Die m ( m - 2)-te Potenz eines jeden Elenientes aus

QmQrn-1 ( = $ ( ? n - 1)Qm = Sz(m - l ) *Qm- l )

liept in Qm n @m-l.

Hm E Q m , Hm-l E Qm-l schreiben. Beweis . Man kann jedes Element aus @m@m-l in der Form H,,,H,_, niit

Nun wird

(HmHm-1)(m-2)’” zz ( H m )(” -2)m 1 (Qm-l) (ntlch 10) und

Also liegt (H,Hm- l)(*-2)msowohl in Qmalsauch in

(H, ,Hm-l)(”-2)” = (Hm-l)(m-2)m 3 1 (Qm) (nach 11).

dbmnach in Qm n @m-r .

10a. Aus 10 folgt: I n der Fdctorgruppe

Q m Q m - l / Q m - l = Sz(m - I ) Q m / Q m - l = S ( m - I )Qm-1/Qm-l

Sirn/$jm n Qm-1 S ( m - I)Fiz*(m - 1)n Qm-1

haben alle Elemente eine m - 2 teilende Ordnung.

l l a . Aus 11 folgt: In der Faktorgruppe

Q m @ m - 1 / Q m = S : ( m - I)Qm-l/Qm=3;(m - 1 > ~ m / Q m

2 Qm-l/@m-l n Q m i G ( m - 1)/$(m - 1) n Qm

haben alle Eleniente eine m teilende Ordnung.

12a. Aus 12 folgt: In der Faktorgruppe

QmQm-I lQm n Qm-1 = i G ( m - I ) Q m / Q m n ~ m - 1 =S:(m - 1 ) o m - l / Q m n ~ ~ - 1

haben alle Elemente eine m(m - 2) teilende Ordnung.

81 Griin, Beitrage zur Gruppentheorie. IV.

13a. Die Menge aller Eleniente nus 8 , deren m-te Potenz in ,fjm liegt, bildet

Beweis . Wegen (zy)-"zltya E Qm folpt aus eine charakteristische Unterpruppe von 8 , die fur trz > 2 groJ3er als $ J ~ ist.

da13 auch

Dn 8, charakteristisch in 5 ist, ist damit der erste Teil der Behauptung bewiesen. Der zweite folgt aus 11 oder nuch BUS 5 oder 6.

b. Die Menge aller Eleinente aus 8 , deren (m - 1)-te Potenz in &, lie&, bildet eine charakteristische Untergruppe von 5 , die fur m > 2 groner als &, ijt.

Beweis . Nach 2 ist (yx ) - (m- l ) tm- l m-1 1 . Y

xm-l p - 1 1 also folgt aus

( y q - 1 G 1 und daher auch

(Z7J)f-l = Z(y.r)m--tZ-l = 1 .

Da &, eharakteristisch i n 3 ist, ist damit dw erste Teil der Behauptung bewiesen. Der zweite folgt ails 6 oder 7.

14. Jedes Element 2 E S2 n 8 ( m ) llBt sich in der Form

x = g"H, niit 9 EFj2, H , E Qrn darstellen.

Beweis. 2 hat als Element a u s g(m) die Form

2 = 1 7 X T S E ( y %)m. I

Set& man x , = y , so hat man

x@, = Y"&. Es gibt also ein Element H , E !ijm mit

x = YfRH,.

Nach Vorausseetxung ist x E 3,. Ferner ist Q, E S2, also auch ym E 5,. Da 8 eine freie Gruppe ist, folgt dnraus weiter y E%2. Damit ist die Behauptung bewiesen .

15. Aus 14 iolgt -

wobei Sa(m) die PUS den m-ten Potenxen der Eleniente von & erzeugte Gruppe ist.

52 (nb) 2 $2 (m) 8,. 16. Es ist

Beweis . x sei ein Element aus ~,(?n)!ij,, d. h. -

x = ~ z ~ H , niit x,ES2, H,,,E@,,,. 1

Dn Qn, 2 S2 n s(m) ist, licgt also t in S2 n s((m).

Grun, Beitrage zur Gruppentheorie. IV. 8,;

17. Aus 15 und 16 folpt -

82f'8W =82(m)&tn. Diese Gleichung fuhrt zu einer fur die Faktorgruppen s/S(rn) wichtigen Ober-

legung : Zuniichst ist mit 5 a.uch G2 (bei geeigneter Wahl der Erzeugendcn) eine frrie Gruppe. Wenn wir nun S ( m ) = 1 setzen, so werden auch die m-ten'potenzen der Elexriente aus 32 in das Einselement verlegt, d. h. es wird S2(m) = 1 gesetzt. Durch den Ansatz S(m) = 1 werden aber noch uber S2(m) = 1 hinausgehende Einsrelationen fur s2 erzwungen, denn es wird ja s2 n %(m) 2 g 2 ( m ) gleich 1 gesetzt. Mithin ist die Konimutatorgrupp von 8 /S(m) eine echte Faktorgruppe von g2 /g2(m) , und da nach obiger Gleichung

- -

82,432 n a m ) = 52/%z(m)S;?n

ist, werden die uber s 2 ( m ) = 1 hinausgehenden Einsrelationen fur die Kom- mutatorgruppe von %/%(m) gerade durch am = 1 bestininit.

l&. Ails 17 und 9g (mit m + 1 an St,elle von .liz) folgt

52 S ( m ) = $ m S r n + l .

3 - 2 - @m-1@m&ac+l 19. Es ist

H e u e i s . Jis ist

S7m-18m@mti = b ~ - i @ ~ - @m@va+l = ( i$2nS(m - 1)) (S2n3(m)) (nach 18).

Nun enthalt n G ( m - 1) jedes (2, ~ ) ~ - l , z2 n $(m) jedes (x, y)"; also enthalt (%,n%(m)) (8, n S ( m - 1 ) ) jedenKoninlutator (x, y) = (x, ~ ) ~ ( y , z ) ~ - l . Da andererseits .i>m-l, Qm, @m+l saintlich in s2 liepen, folgt die behauptete Gleichheit.

20. Alle Eleniente der Faktorgruppe s21@rn-1 n @,a n haben eine ( m - 2 ) ( m - l ) m ( m + 1) teilende Ordnung.

Reweis . Es sei I:€&. Nach 6 liegt

-1) (n-2) in .@m-l,

Cm(m-l) in @9n,

e(m+ Urn in & + I >

a]so lie@ C g ( " - 2 ) ( m - l ) m ( m + l ) sowohl in Qrn- als auch in $7" und in &m+l , daher in 8 m - 1 ~ ~ @m fjrnn+l. m(m+ I ) . .(m+ a)

Ebenso erkennt man, daB c (a-1)! fur c E s2 in

fjmtl n Qm+2 n - - n Qmta liegt (a _1 1) .

21. Wir konnen .nunmehr die SBtze RUS 13 verschtirfen:

a. Die charakteristische Untergruppe Q von 8, die ttus allen den Elementen besteht, deren m-te Potenz in Qm lie& ist gleich &o g ( m - 1) = Qm-l@n,.

b. Die charakteristische Untergruppe a* yon 2, die aus allen Elementen besteht, dnIen ( m - I)-te Potcnz in ,Qm liegt, .ist gleich g2 n %(m) = @m,fjrn+l

86 Grfin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV.

Beweis. a. Aus 11 folgt 4 2 @ m - l Q m . Da 5 eine freie Gruppe und Q m s s z g2 sein. Nach 19 ist 8% = Qmd1 Qm@m+l. Also mussen sich ist, muIj gewiI3 6

die Elemente x E 6 in der Form

x = Hm-lHmHm+l mit Hm-1 E 8 m - 1 , Hm E @ml &+I E @m+l

darstellen lassen. Nach 10 liegt aber die (m - 1)-te Potenz eines jeden Elementes

Voraussetzung ist aber auch xm E Qm-l Qm, also x E Qm-l Qm. Das ergibt RUS @m+l in @ m . AUS x = Hm-lHmHm+l folgt also fi-' E Q m - l Q m . Nach

6 = Qm- 1 @m = Sz n 3 (m - 1) - b. Wie in a fur (5 ergibt sich &*Cg,. Aus 10 folgt 4* 2 @m@m+l. Aus

sz = Qm-lQm@m+l ergibt sich demnach: Die Elemente ans &*, die nicht in Qm@m+l liegen, muBten in Restklassen H,,,-l QmQm+l mit Hm-l E Qmdl liegen. Wenn aber r E Q* in Hm-1 @pi@nb+l liegt; so folgt aus 11 xm E HE-l@m@m+l = QmQm+l. Nach Voraussetzung ist aber auch xm-l E QmQ,,,+l also x E @m@m+l . Das ergibt 6* = @n,@m+I = & n g(m) .

Qm = 5 2 n 5(?a - 1) n S(m)- 22. Es ist

Beweis. Se,i zunachst gz n g(rn - 1) n S ( m ) = 9. Dann ist

.Q= (Szng(rn)) n(SznS(~b-1)) = Q m + l Q m n Q m Q m - 1 Z Q m -

Es bleibt also noch zu zeigen: 1st 2 E $, so ist auch x E am. Es sei' also E 9 = @m-1 @in Qni @ m + l . Da x E @n-1 @m ist, wird

~ Q n a = Hm-1 Qm mit Hm-1 E Qm-11

und da 2 E Qm@m+l ist,

r a m = H m + l @ m mit Hm+1 E Q m + l , also

&-I @m = H m + l Qm - Da nach 11 HE-, = 1 ist, folgt

HEI:Hm+l = 1.

Daher gilt nach 8 fur beliebige natiirliche Zahlen q

(HE=; Hm+l)g = 1 E HFG~)GH&+, . Setzt mttn hierin 9 = rn - 1 , so folgt nach 10 (mit m + 1 an Stelle von m)

und wegen = 1

(Ebenso kunn man noch zeigen

~Ez-)(m-l) 1

Hm-l 1 .

Hm+l 3 1. )

x @ ~ =1 Qm, d. h. x E Qm. Also folgt

Griin, Beitrage zur Gruppentheorie. IV. 87

23. Es ist

Be\\ eis. n - l r ordnen jedeni Elenient x €8 das Element xm@, von 8(nA)/Qm L- - 6/a2 n O(m - 1) 3(m)/Qm.

Zl l , also X + xmQrn,

!I -+ &n, ’

xy 3 (zy)””>, = xmym&)&.

11 ir eihalten daher eine homomorphe Abbildung von 5 auf S(m) /Qm, bei der # e m u diejenigen Eleniente a u f das Eiriselenient GnL abgebildet werden, deren m-te Potenz in liegt. Die Xenpe dieser Eleniente bildet nach 21 die Gruppe a, n a(??! - 1 ) .

n 5 ( ) n - 1) yon 8/@, ist also isomorph mit dein Die Eaktorgruppe Sor~nalteiler ~ ( n ~ ) , ’ $ , ~ ~ 1‘011 ~ ; $ j n 3 .

24. Es ist:

Ben eis . \\-enn c in z2 liegt, so liept cm- l in s2 n 8 ( m - 1) und cm in S ( m ) , also c = C ” ~ C - ( ~ ~ ~ - ~ ) in 5(n l ) (52n i3 . (m - 1)) . D a h e r i s t 5 2 ( 5 ( m ) ( 5 , n 8 ( m - 1)). DW andererseits auch &.?j-(m) (z2n5(m - 1)) ist, folgt S2=5(m)(8 ,nS(m- 1)). Dai ii t nird

52S(m);S(?fi) = S(lfi)(52 n 5(rfi - 1))iSfm) z & n Z((.Z - l)/& n 5 ( m - 1 ) n B ( m )

= g2 n 5(m - 1)jQsn (nuch 22), TI ie behauptet.

Andererseits ist nuturlich auch

und daher

n-as man auch aus S2 = (7j2 n g ( m - 1)) (Sr n %(m)) erhllt.

26. %z],$~m ist dns direkte Produkt von .3-2 n 8 ( m - l)/am und 5, n 8(m) /Qm. Ben-eis. ZunHchst sind n S ( m - l)/Qn, und S2 n g(m)/Qm Normaltaeiler

vori g/ig, und also auch ron j-2/Qm . Ihre Vereinigungsgruppe ist gleich S2; denn xrenn c in g2 liegt, so liegt F in & n g(,m) und cm-’ in s2 n s ( m - 1), also = CnzC-(n~- l ) in (S2 n 5 ( m ) ) (& n S(m - 1) ) . Daher ist

52 2 (8 -2 n 5tw) (‘3.2 n a m - 1)) *

82 I (82 rl W m ) ) (32 n S(m - 1))

sz = (82 n S(W) (82 n S ( m - 1)).

Da andererseits auch

ist, folgt

Nun ist nach 22

hi = S2 n SO.) n 8 ( m - 1 ) = (02 n 8 ~ ~ ) ) n (Sz n 8 t m - 1) ) . Also besteht in 8,/Qrn der Durchschnitt der beiden Normalteiler F , n F(m)/& und S2 n 8(’m - l)/Q,,, nur aus dem Einselement. Da die Vereinigung der beiden h’orinalteiler die Gruppe &/Qnz erpibt, ist diese deren direktes Produkt.

Math. Nachr. 1949, Bd. 3. H. 2. 7

88 Griin, Beitrage zur Gruppentheorie. IV.

26. %(m) ist bekanntlich bei geeigneter Wahl der Erzeugenden eine freie Gruppe. Wenn (sl, . . . , sn) ein System von freien Erzeugenden von 8 ist, so kann man ein System yon freien Erzeugenden (a?, . . , , 81 m , t , , . . .) von S ( m ) so bestiminen, darj t,, . . . in <Ern liegen.

Beweis . Jedes Element nus 8 ld3t sich in der Form n sp, also jedes Element

also kann nian jedes Element nus 8 ( m ) als Potenzprodukt der Eleinente RUS Qm darstellen.

und peeigneter

27. a/$>,)# enthiilt dns direkte Produkt der beiden Nonnalteiler 3 ( m ) n 8 ( m - l ) /Qm und g2/Qrn. S/?j(m.) n 8 ( m - 1) ist das direkte Produkt der beiden Sormnlteiler

5 - ( ? ~ ) ; 5 - ( 7 ~ ) n g ( m - 1 ) r %/8(rn - I ) und %(m - l) /%(m) n S(m - I ) = S / g ( m ) , wiihrend bekanntlich @j2 direlrtes Produkt zyltlisoher freier Gruppcn ist. 5(m) S(m .- l ) / @ w t liept in1 Zentruni von ~ , / , ~ r n . Das kleinste gemeinsanie Yielt'achc der Ordnungen der Elementc nus 32/Q,B ist >m(m - 1).

Beweis . Es ist 3(m) n 3 ( m - 1 ) n S 2 = &, also

0 (nh) n 5 (m - I)/bn, n Sz l@m 1 &n&/@rn.

2 = xm--(-1) E 8 ( m ) g(.2 - 1)

ITenn .z €3 iet, SO ist xrn E s ( m ) , xTn8--l E % ( m - I ) , ~ l s o

und daher B = s ( m ) S ( m - 1). Also ist S/S(m) n %(m - 1) das direkte Produkt von S(m)iQ(m) n S ( m - 1) und S(m - l)/S(m) n 8 ( m - I ) . - Ferner ist S / g ( m - 1) = %(m) 8 ( m - l ) / g ( m - 1) z %(m) /g (m) A s ( m - 1) und &/%(ma) E 3(m - l ) /g(m) n g ( m - 1). - DztBS(m) nS(m - l)/QmiiiiZentrum vons/Qm liegt, wurde schon in 4 hewiesen. - Fur ~ € 5 ~ gilt nach 6 C ~ ( ~ - ~ ) E & . Damit ist alles bewiesen.

28. Fur belicbige naturlirhe Zahlen k > 1 ist

Beweis . Es ist nach 22 Q(ktrn--l)+l)rn c @m.

Qm = 5 2 " 8 F ( m ) n W m - I ) , Q(hrn-1,+l)m = 82 n S((k(m - 1) + l)m) n S ( ( k + 1) (m - 1)m) 8

S(m,) 2 3 ( ( m - 1) + w) , %(m - 1) I B((k + 1) (m - ~ m ) ;

$&(m-l)+l)LQn, fur k > 1 -

und fur k > I ist

also ist

Sind nun s, , 8, zwei Elemente &us einem System von freien Erzeugenden von 8,

F u r k== 1 ist trivialerweise

Criin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV. 89

B. Nunmehr sei @ eine Gruppe der Ordnung g mit dern endlichen Exponenten

(kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen aller Elemente) n. Ahnlich wie in A sei 8, = (8, a), 8 ( q ) = {. . . , sq, . . . } (8 E 8) fur beliebige natiirliche Zahlen q , @: = {. . . , (xy)-mzmym, . . .} (2, y E 8) fur beliebige. natiirliche Zahlen m. Offenbar gilt: Wenn (q, n) = n, ist, so ist 8 ( q ) = @(n1). 1st 8 ab Faktorgruppe8/%einerfreien Gruppe3daqestellt undist Qm = {... ,( st)-l"smtm, ...} ( 8 , t E 3), so ist @: = @,,,%/% usw. Wir konnen daher die meisten Satze aus A ohne Schwierigkeit auf die Gruppen @ und @: ubertragen. x;y, . . , bezeiohnen von jetzt an Elemente m s @ , wonn nichts anderes gesagt ist. Kongruenzzeichen ohne Modulangabe beziehen sich auf den Modul Q:.

Fur die folgenden Satze 1 bis 13 gilt derselbe Beweis wie fur die entsprechenden Satze in A.

1. Fur beliebiges (Y ist

p X m 1 8 ... x. (x1r2 . - * 5 , ) m .

1st also etwa sm = 1 und wird irgendwie s.= xIxa - 0 . x, gesetzt, so besteht a

in @,I@?,, die Relation n xy = 1. v=1

2. Es ist @ : I a ( ? a ) n @ ( m - l ) ,

(xm, y"-l) = 1.

Q: = I , @! = a2 und allgemein Q: 5 0ja. 3. Es ist

4. Alle Elemente aus @(m) n @ ( m - 1) liegen mod@: irn Zontrum von @. 5. Es sei z E @ ( m - l ) , y E @ . Dann ist

( 5 , y)" 3 1 .

6. Alle Elemente aus @, haben mod& eine m(m - I ) teilende Ordnung. Es folgt : 1st m(m - 1) prim zu n oder wenigstens zu dem Exponenten von

a,, so ist Q?,, = 8,. Denn sei c E (32; dann ist cm(mn-l) E Qz. Da m(m - 1) prim zum Exponenten von 8 8 ist, folgt c E a, mithin 8, L-Q;. Da andererseits gs(3, ist, ergibt sich @: = 8,.

Ferner gilt z. 3.: 1st 8 eine p-Gruppe, n = p d , m = p @ , B < u , so haben die Eleniente der Faktorgruppe @*/Q;p die Hochstordnung p @ .

Ebenso folgert man aus 6: 1st m prim zum Exponenten von a8, so ist

7. Fur 2 E @ ( m ) und y E @ ist

(2, yp-1 = 1. Duraus folgt: 1st m - 1 prim zum Exponenten von a,, so ist (@> @(m)) 2 &. 1st z. B. n = pa , m = p @ , SO Iiegt @(fl) /Q;s in1 Bentrum von

7*

90 Griin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV.

8. Es ist 9. (3; (m - 1) bezeichne die kleinste Untergruppe von @, welche die (m - I)-ten

@L+l) = 1.

Potenzen nller Elemente aus @, enthalt. Dann gilt:

a. ~2 I @ ( m - I)@:-~,

c. G ( ? n - 1)s Q2Q2-1, d. .$Sj;-l = @)r*(m - l)Sj;-l,

e. .Q:.O:-~ = @$(m - 1)$j;,

f. t Q r n - 1)QZ L- 8 Z ( m - l)@:+

b e Q i - 1 E@:(m - I)@:,

Auscerhalt man: 1st m - 1 prini Zuni Exponenten von S;, so ist @:z = (3,.

g. 1st 6&(m -. 1) die kleinste Untergruppe von 8, welche die (m - 1)-ten Potenzen aller Elemente aus @, enthalt, so ist

- - * * $jmQm-l = a,(" - I)@: = O,(?n - l ) @ L

10. Die (m - 2)-te Potenz eines jeden Elementes aus @; liegt in

Daraus folgt : 1st m - 2 prim zuin Exponenten von a,, so ist ,$c $>:h-l.

11. Die m-te Potenz eines jeden E!ementes aus Q:-l liegt in ,f$. Daraus folgt: 1st m prim zum Exponenten von @,, so ist

12. Die m(m - 2)-te Potenz eines jeden Elemantes aus 5

' * * ,*%Jna-1= @,8*(m - W3k-l = @ a m - u@:

liept in ,t$ n $j:-l. Daraus folpt: 1st m(m - 2) prim zum Exponenten von a,, so ist

Q:@:L1 = $: n Allerdings gilt dies auf Grund von 11 schon, wenn nur rn prim ziim Exponenten von a2 ist.

13 &. Die Menge nller Elemente aus (8, dawn m-te Potenf in @: liept, bildet eine charakteristische Untergruppe von @, die init 9: bezeichnet uerde.

b. Die Menge aller Elemente aus (3, deren (m - I)-te Potenz in & liegt, bildet eine charakteristische Untergruppe von 05, die rnit 53:-1 bezeichnet werde.

Nun gilt fur beliebipe natiirliche Zahlen q und beliebipe Untergruppen U von 0): 1st q prim zum Exponenten n von @ und ist 89 E U , 8 E 8, so ist s E u. Also foltrt :

a' 1st m prim zu n, so ist 9: = @;. b'. 1st m - 1 prim zii n, so ist i!:-l = Q: . 14. Die Menge oller Elemente aus @, deren m-te Potenz in liegt, bildet

eine Untergruppe 9 . 1st x E a, n &(m), so 1aBt sich x in der Form

darstcllen, Beweis . 1st P E @,, tm E a,, so ist (sQm = PP(8,) = 1(@,). Also bildet

die Menge aller Elemente aus a, deren m-te Potenz in 6, lie& eine Gruppe R.

x = gmH, mit y E St, H,,, E @;

Griin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV.

Nun kann nian z E @, n @(m) als Element nus @(m) in der Form

x = n x m 1

darstellen. Also ist

1

91

wobei H , = ( n ~ , ) - ~ f l x F E @:

172, in 2. Daniit ist die Behauptung bewiesen.

ist.

H,,, und na.c(h Vorausskung x liegen in@,; also liegt (?IZ~)~ in (3, und daher

1st nun m prim zu n , so wird $? = a2. Daher gilt: 1st m prim zu .n und x E (3, n am, so laI3t sich x in der Form

x = ymHm mit y E a$, H m E @: darstellen.

15. Aus 14 folgt: 1st die aus den m-ten Potenzen der Elemente &us 9 erzeugte Gruppe, so ist

az n @(m) 2 if$:. 16. @ 2 m ( m ) 2 i i @ ; . - Beweis. Es ist $ c @ ( m ) und %La2, also S?Sa2n @ ( m ) . Ferner ist

@ : S @ , n @ ( m ) , alsoauch $@zL@zn@(m). 17a. Aus 15 und 16 folgt :

-

a, n @(m) = 9 ~ ; .

b. Nun sei @ = s/% als Faktorgruppe der freien Gruppe 5 dargestellt. Da der Exponent n von @ als endlich vorausgesetzt wurde, ist %23(n). 1st ( m , n) = m, und U eine beliebige Untergruppe von 3 so wird U (m) % = U (ml) % und daher in @ ~ e n n wir mit U* die U bei der Abbildung von 3 auf @ zugeordnete Unt,ergruppe v0n.a bezeichnen, U* (m) = U* (m,) . Daher erhalten wir aus -4 17:

-

(3, n 8 (m)) %p = $, (m) $na %/% = S, (n~ ) @*m = (y2 (ml) &.

(Y, n ~ ( m ) =.(s2% n s (m)%)/% = c~~ n @(m,) = %Q:. (s2 n g(m))%/% ist offenbnr Normalteiler von 0 und von

Hierbei ist n nach Definition die von den m-ten Potenzen aller Elemente aus 9 erzeugte Gruppe; also ist, nach obiger Bemerkung, R auch die von den m,-ten Potenzen aller Eleniente nus 9 erzeugte Gruppe.

-

18. Aua A 18 folgt ( 5 2 n Bm,) w n = @:@;-I *

19. Aus A 19 folgt (33, =

20. Es sei n, der Exponent von 05,. In der Faktorgruppe @d@z-l n Qz n haben alle Eleinente eine ( (m- ' ) y (m+l ) , nl) teilende Ordnung.

92 Griin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV.

Tn der Faktorgruppe @)8jG-, n @: n -.- n haben a.lle Elemente (m-l)na...(m+a)

eine ( (a- l ) ! teilende Ordnung (a 2 1).

Beweis wie bei A 20 unter Berucksichtigung von xnl = 1 fur alle x E a2. 21. Zu A 21 lie13 sich fur 8 kein brauchbares Aquivalent finden.

22. Es ist @: = (& n S(m - 1) n '&(m))%/%. Dies folgt direkt aus A 21 und @: = @,%/%.

23. Es sei wie in 13a R: die Gruppe aller Elemente aus 0, deren m-te Poteriz

Beweis. Ordnen wir jedem Element x E @ das Element xm@: zu, so haben wir

in @: liegt. Dann ist @/fi: @(m)/@z.

x+x"&,

Y -+ Ym@:3

z y 3 x"ym@: = (zy),@i.

Wir erhalten also eine Abbildung von (8 auf @ (m)/@:, bei der genau die Gruppe 8; auf das Einselement abgebildet wird. Die Faktorgruppe a/&: von a,/@: ist also isomorph mit dem Normalteiler @(m)/@: von a/&.

24. A 24 ergtbt nur

@2/@2 n @(m) z a2 n @(m - I)/&& n @(m - 1) n 8 ( m ) .

26. A 26 ergibt nur die triviale Aussage

a2/a2 n @ ( m - 1) A @(m) = (a2 n @(m - 1)/a2 n @(m - 1) n ~s((m)) x x (a2 n @ ( m ~ / @ ~ n W m - 1) n W m ) ) .

26. 1st (a,, . . . , 8 A ) ein System von unabhangigen Erzeugenden von a, so kann man ein System- von Erzeugenden (8?, . . . ,a?, t , , . .I ., t,,) von @(m) so bestimmen, daB t , , . , ., t,, in $: liegen.

Beweis yie bei A26. 27. In a/@: lie& @(m) n @(m - l)/@: im Zentrum (nach 4).

@/@(m) n @(m - 1)

(@(m)/@(m, n @(m - 1)) x (@(m - l)/@(m n (3(m - 1)) .

ist offenbar das direkte Produkt

Alle Elemente aus haben eine m(m - I ) teilende Ordnung (nach 6). 28. Aus A 28 folgt, wenn man @ Fiir beliebige naturliche Zahlen k > 0 ist

S/%, @: &,91/91 usw. setzt:

@llfk(rn--l, + I ) m c GI. 29. n sei wie bisher der Exponent von @, 9:. i$-.l seien wie in 13 erkliirt,

und es sei m(m - 1) 3 0 inodn, ( m , n) = n,, (m - 1, n) = n,, also nln2 = n , (n, , n,) = 1. Dann gilt:

Griin, Beitriige zur Gruppentheorie. 11'. 93

a. Die Menge aller Elemente RUS (3, deren n,.te Potenz in $: liegt, ist die

b. Die Menge aller Elemente aus a, deren rh,-te Potenz in @: liegt, ist die

c. a/@: ist das direkte Produkt .Q*/,$j: X !i?:-,/@:.

Beweis. a. Es sei x E st:. Dann ist xm E @:; andererseits ist xn = 1 E @ z t .

Gruppe fiia.

Gruppe

Aus (m, n) = n1 folgt daher

X"' E @:. IVenn umgekehrt xn1 E @; ist, so ist wegen n,lm auch xm E Q:, also x E fiz. 1st nun xnl E a:, yn1 E Q: , so auch 2" E Q : ~ . ym E <$z, x m y m = (xy)m E Q:, also (Zy)"' E @ E l . Daraus folgt die Behauptung.

b. Es sei z E I?:-, , also xm-I E $$: wie in a folgt xnl E @z?. Aus x"* E $: folgt urngekehrt xm-l E Q$, also x E i!:-l. 1st nun 2"' E @EL, yn' E Q: , so aych xm-' E @:, ynt-l E zm-' y n'-l = - ( ~ x ) ~ ' - l E @zt und daher

Daraus folgt die Behauptung.

C. st:/@: und g:-,/@; sind Kormalteiler von a/@:, welche, da ihre Ex- ponenten prim zueinander sind, den Durchschnitt 1 haben, sich also als direktes Produkt vereinipen. Ferner liiBt sich jedes Element x E (Y in der Form x = x1x2 = x2x1 darstellen, wobei x1 eine n, ~ x2 eine n2 teilende Ordnung hat. Dann ist x1 E st:, xl E I?:.-~, also

30. Es sei q eine natiirliche Zahl; hat eine Gruppe @ den Exponenten q, so wollen wir @ als q-Gruppe bezeichnen. In einer q-Gruppe existieren durchaus nicht notwendig Elsmente von der genauen Ordnung q, es ist nur das kleinste gemeinsame Vielfache der-Ordnungen der Elemente gleich q; in extremen.Fallcn konnen dnbei alle Elementc Primzahlordnung baben, obwohl p durch mehrere verschiedene Priniznhlen teilbar sein map ; z. B. ist die Ikosaederpruppe in diesem Sinne eine 30-Gruppe; als Ordnunpen der Elemente treten aber nur die Zahlen 1 , 2 , 3 , 5 auf.

Hi l fssatz . Hat (3 den Exponenten n=n,n,, so gibt es eine maximale n,-Faktogruppe @/R1 von (3 in folgendeni Sinne: Jede n,-Faktorgruppe von @ ist Faktorgruppe von @/?Jl,.

Beweis. 1st % ein Normalteiler von @ und @/% eine n,-Gruppe, so ist xnl E % fur alle x E (3. Also enthalt jeder Normalteiler von @, dessen Faktorgruppe eine n,-Gruppe ist, die Gruppe a(%,). @/@(nJ ist also die nianiniale a,-Faktorgruppe von a, da @/@(n,) eine n,-Gruppe ist.

Nun gilt: 1st m( rn - l )=Oinodn , ( m , n ) = n , , ( m - l , n ) = n 2 , so ist

a. fiZ/Q: (r @/g-,) isoniorph mit der maximalen nl-Paktorgruppe von (35,

94 Criin, Beitriige zur Gruppentheorie. IV.

bi 2z2-l,’~; (r @/a:) isomorph mit der niaximnlen n,-Faktorgruppe von a. Bewe,is. a. Zunachst folgt aus 29 sofort, daR jlzb/@z die niaximale a,-Falitor-

(3 sei als Faktorgruppe der freien Gruppe 8 dargestellt: = 3/%. Dann ist gruppe v in @j@E ist. Es ist also nur noch @((nl) 2 .@: zu zeigen.

$G = (32 r-6 5 (m) n S(m - I))%/%, Wl) = S(%)W%-

gC = (3, n 3 ~ ) n S(m - 1)) %/% c 8(nl)%PX = Wnl).

Nun ist S 2 n g ( m ) n S ( m - l ) c ~ ( m ) ~ ~ ( n l ) , da (m,n) = n, ist. Also folgt

b. Der Beweis verlauft analog zu a.