Vol. XII, 1961 401

Beitr~ige zur Gruppentheorie VIII: Beziehungen zwischen isomorphen Untergruppen

einer endlichen Gruppe q6

Von

OTTO GRO~-

H. WIEL.X~DT zum 50. Geburtstag

| sei hier durchweg eine Gruppe yon endlicher Ordnung. U m Trivial i ts zu ver- meiden, sei (~ nieht-abelsch.

1. 1I mi t den E lemen ten U~, # = 1 . . . . u n d 1I mi t den E lementen U~, # = 1, . . . seien Un te rg ruppen yon | u n d es sei

mi t der Zuordnung U s - + L ~ , # = 1 . . . . .

S sei ein beliebiges Element. e | und es sei

u

D a n n ist ftir beliebige U~ e 11

U~As =- ~ (U~U:I)-lSV~ - 7 U;lS-U~U~- As-fir. l-$ .•

Is t T ein weiteres E lement ~ (~, das in A s nicht als S u m m a n d auftr i t t , so hat m a n ebenso

A T = ~ U; 1T ~

u n d

U~AT -= A T U v .

I n d e m m a n so fortf~hrt, erh~lt m a n weitere AR . . . . und, wenn ~1, ~2 . . . . irgendwelche Zahlen sind, so gilt offenbar

U,(:qAs + :r + "") = (~.lAs + ~.2AT + .. .)U~.

Wir erhal ten also e inen Transformat ionsmodul ~[, 119/----- N U, der einen endlichen Rang hat.

Man k a n n einen zu ~ , , inversen" Modul ~ definieren mi t ~ ~ = ~ lI durch

B s = ~, -G~-I S U a .

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402 O. GRIbN ARCH. MATH.

Fiir irgendwelche A �9 91, B e !3 ~I t dann

U ~ A B -= A B U~ I - f f ~ B A = B A - U z . /2----1,2 . . . . .

2. Wenn der Modul 91 aus Abschnitt I eine~ ]Vichtnullteiler A entMilt, so ist der Iso- morphismus U~ --+ -U~ yon 1I au/ U so bescha~en, daft stets U~ und -Ut~ in 63 konjugiert sind.

Beweis . Da A Nichtnull~eiler ist, folgt aus U~A -= A Ua:

U~ = A -1 U~A.

Uv und ~ a liegen also in der Gruppe der Nichtnull~iler der Gruppenalgebra in der gleiehen Klasse konjugierter Elemente. Sind (U~)~, (U~)~ in 63 die U a, bzw. Ua enthaltenden Klassen, so liegen also aueh ( U g ) , und (U--a), in der Gruppenalgebra in der gleiehen Klasse konjugierter Elemente. Das ist aber offenbar nut mSglich, wenn ( U a ) , = (U---g), ist, also Ug und ~ in 63 konjugiert sind.

3. Wenn 1I ~--- ~ mit der Zuordnung U~ ---> - ~ , tz ---- 1, 2, ... ist und hierbei stets (Uz ) ~ ~- (-U~)~ ist, so sind 1I und R dumb einen ~Yichtnullteiler A konjugiert mit -U~ ~ A -1 Ua A /i~r alle U a.

B e w e i s . / ' sei eine Darstellung yon 63, Aa, A R die i n / " enthaltenen Darstellungen yon U bzw. U. Au und A~ sind isomorphe Matrizengruppen, die gleichen Charakter haben, da U~ und ~ stets in der gleichen Klasse yon 63 liegen. Dann ~ b t es nach einem bekannten Satz eine Matrix M mit M - 1 A u M = A~, die den Isomorphismus yon 1I auf R bewirkt. Nun sei / ' eine absolut irreduzible Darstellung yon 63 yore Grade n. Jedes Element S �9 63 ~ d i n / ' dutch eine Matrix s (~i,k) yon n Zeilen und Spalten dargestellt. Setzen wir

. . . . .

g ZE(~ '

SO bilden die $t, ~ die Basis einer vollst~ndigen Matrixalgebra, es ist ~i, ~$~, ~ ~- ~l, l, ~l,k," ~k..,~----0 fiir kl * k2. Diese vollst/~ndige Matrixalgebra ist ein zweiseitiges, zweiseitig einfaehes Ideal der Gruppenalgebra yon 63. Ihre Itaupteinheit ist

~= ~- z ( s ) ( s ) .

Jede der einspaltigen Matrizes

\ ~ , ~ /

ergibt die gleiche absolut irreduzible Darstellung F yon |

~ . ~ = ( ~ s ) ~ ,

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denn

S $1 -~ S , ~ i , k ~

8 ~6 ~ 51 l = 1 81 l = 1

Es seien nun Au, zJ~ die i n / ' enthaltenen Darstellungen voa 1I bzw. iI, also

Nach obiger Uberleg~ng ist nun A ~ = M -1 zJuM, also ~k ~ = M -1Az~M~k. Da F ab- solut irreduzibel ist, karm man n 2 unabh/~ngige Matrizes Ms1, . . . , M s ~ a u s / ' so be- stimmen, dal] man jede quadratische Matrix M yon n Zeilen durch eine Summe:

M = ~ ~ Ms~ v = l

mit geeigneten Koeffizienten cr darstellen kalm. Wenn also A~-- - -M-1AuM ist, ~Mrd etwa

r 2 $Z 2

M = = 5 v=l v=l

wobei Ms~ s~ = (%k) ist. Damit hat man

v v=l

I)a ~/" lqiehtnullteiler ist, ist s ~ a~S~ Nichtnul]tefler in der aus obigem zwei~eitigen,

zweiseitig einfachen Ideal entstehenden Algebra, wenn wir mit ~ ihre Haupteinheit bezeichnen. Sind rmn _FI . . . . . / ' r die s~mtlichen verschiedenen absolut irreduziblen Darstelhmgen yon ~, so geh5 .r/t zu jedem/ '~ eine wie oben definierte Algebra ~ mit einer Haupteinheit e~ und man hat stets ein A~e~, das in ~ l~iehtnullteiler ist und

e ~ = s~A~ ~ IlA~ effiillt. DaIm ist aber aueh ~ s~A~ Niehtnulltefler, da e~e~ ----- 0, v */2, is~. Damit folgt: ~= x

-- ( ~ e~Av) -1 11 (~. e~Av) w . z . b . w .

Es sei noch bemerkt : Die hier auftretende Gruppe der Niehtnullteiler ist yon nieht- endlicher 0rdnung. Wenn man aber start des K6rpers ~ der m-ten Einheitswurzeln einen KSrper ~ (p) mit der Charakteristik p, wobei p ein zur 0rdnung yon ~ primes Primideal aus ~ ist, zugTunde legt, so bleiben alle obigen Betrachtungen riehtig, und die Gruppe der Niehtnullteiler ist eine endliche Gruppe.

4. Die Automorphismen von | die jedes Element e q6 in seiner Klasse konjugierter Elemente belassen, sind innere Automorphismen der Gruppe der 2YichtnuUteiler.

Beweis . Das folgt aus Abschnitt 3. L/~Bt der Au~omo~phismus z$ yon | alle Klas- sen yon | invariant, so ist die Zuordnung S --> S e ein Isomorphismus yon | auf | wobei <s>$ = <so>$ ist. Also gibt es einen Nichtnullteiler A, der A - 1 S A ---- S a ffir alle S e @ erfiillt.

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404 O. GRulg ARCH. MATH.

5. | enthalte einen Normalteiler ~ ~ 1 und die Ordnungen yon ~.~ uncl (~/~ seien prim zueinander. Dann kann | faktorisiert werden:

| = 1 I ~ - ~ ~ 1 I , Ilc~0~ = 1.

Es seien zwei solche FaktoriMerunqen gegeben:

Dann sind li und ~ in der Gruppe der Nichtnullteiler konjugiert.

B e w e i s . Jede l~estklasse | enth~it genau ein Element U e 1I und ein Ele- ment U e 1I. Es ist 11 --~- ~ mit der Zuordnung U -> ~ fiir alle U, 5 --7' . Wenn be- wiesen ist : ( U ) ~ = (L--f)~, f o l ~ die Behauptung aus Abschni t t 3. Aus U ~ ---- ~ f o l ~ (U92) �9 = U ~ = (~79~)~ = -ff~9~ ffir k = 1,2 . . . . . Also wird { U} ~ = {-ff}~ = @. I n ~ sind (U} und {~-7} nilpotente I-Ialluntergruppen. sie sina also nach einem Satz yon WIELANDT in (~ konjugiert . Dann folgt aus U0~ ---- UO~, dab auch U und 5 --7 in ~ konjugier t sind. Also ist stets ( U ) ~ ---- ( U } ~ und dami t die Behauptung be- wiesen .

6. Von ZASS~NH~US s t ammt die Vermutung. dab in dem in Absehni t t 5 behandel ten Falle | ---- 1I.~ ---- ~ stets 1I mit ~ in | konjugiert sein mfisse. Aus 5. folgt sofort : Die Vermutung yon ZASS~I~gA~JS ist dann und nur dann ffir 1I, 11 riehtig, wenn gilt: I s t eine in | liegende Untergruppe ~ yon | mit U in der Gruppe der Niehtnull- teller ~ konjugiert , so ist sie mit 1I in ~ konjugiert.

Eingegangen am 23.10. t961

Anschrift des Autors: Otto Griin Mathematisches Institut der Universit~t Wurzburg KlinikstraBe 6