Bemerkungen zu den Strahlenabbildungen der geometrisehen Optik.

VDn

C. Carath~odory in Mtinchen.

1. Wenn Licht durch ein beliebiges optisches Instrument geschickt w~rd, so werden die einzelnen Strahlen des Objektraumes -- insofern sie das Instrument durchsetzen -- den Strahlen des Bildraumes eineindeutig zugeordnet. Diese Zuordnung genfigt einer fiir die optischen Abbilduagen charakteristischen Bedingung, die man auf sehr verschiedene Weisen be- schreiben kann. Man kann z. B. verlangen, dab bei allen zweiparametrigen Strahlenbfindeln die Lagrangesche Klammer denselben Weft auf einander entsprechenden Strahlen haben mu~; oder man kaan fordern, da~ fiir ge- schlossene einparametrige Scharen yon StraMen die Poincar6sche relative Integrahnvariante im Objekt- und im Bildraum denselbea Wert haben sol!~

In dieser Note werden zweiparametrige Strahlensysteme aufeinander abgebildet, yon denen jedes eine n~cht zerfaIIende reelle Brennflgche be: sitzt, und die obige Bedingung wird mit Hilfe von Figuren aufgesteUt, die auf den Brennfl~chen selbst liegen. Man erhglt auf diese Weise die charakteristische Eigenschaft der optisehen Ab- bfldungen in einer neuen Gestalt, die f%r gewisse Fragestellungen der geometrischen Optik au•er- ordentlieh bequem, und iibrigens wegen ihrer groBen Ansehaulichkeit auch an sich yon Interesse ist.

2. Wit nehmen an, der Objekt- und de~ Bild- raum seien mit isotropen, homogenen Medien er- fiiUt, deren Breehungskoeffizienten mit n bzw. mit n' bezeichne~ werden. Wir betrachten eine einpara- metrige geschlossene Schar yon (geradlinigen) Fig. 1. StraMen des Objektraumes und eine orthogonale Trajektorie dieser Str'ahlen, ~e genau einmal um die Regelfgche herum- l~uft, die auf diese Weise,gebildet ist (Fig. 1}.

Die Endpunkte A und B dieser Kurve liegen dana auf demselben Strahl und ihre En~fernung' h ist augenseheinlich unabh~agig yon der Wahl des Anfangspunktes A, den man irgendwo a ~ der Fl~che annehmen

188 C. Carath~odory.

kann. i~ach einer Bemerkung _yon G. Prange 1) hat dann die relative Integralinvariante von Poincar6 einfach den Wert

(2. 1) nh.

3. Wir betraehten jetzt auf einer beliebigen Fl~che ~B eine Schar yon Kurven c. Die Tangenten an diese Kurven bi|den eine Strahlen- kongruenz, deren dne Brennf]~che die Fl~che ~ ist, wenn man gewisse

leieht zu eharakterisierende Ausnahmef~lle ausschlie~t. Wit konstruieren die Tangenten an die Kurven c in den Schnittpunkten dieser Kurven mit einer

Fig. ~.

gesehlossenen Kurve Y, die auf ~ liegt (Fig. 2), und erhalten eine Figur, wie wit sie imw 2 betraehte5 haben. Wit wollen die Invariante h fiir diese geseMossene RegelflSehe berechnen.

Hierzu bemerken wit zun~chst, da~ wenn 7 die Gestalt eines krljmm-

linigen l~echtecks hat, yon dem zwei gegenfiberliegende Seiten mit Kurven- bSgen zusammenfallen, die der Kurvenschar c angehSren, und dessen beide iibrigen Seiten aus orthogonalen Trajektorien der Kurvenschar c gebi]de~ werden, augenscheinlich

(3.1) h = s ' - - s

sein muff, wenn man mit s' und s die Langen der zuerst genannten Seiten des Rechteeks bezeiehnet. In der Tat besteht die orthogonale Trajektorie der Erzeugenden der betraehteten geschlossenen Regelfl~che

aus Evolventen der Seiten des Rechtecks, die au f c' und c liegen, und aus Kurven, die den beiden

~' Ffir eine Schar von ebenen Kurven c kann man iibrigen Seiten des Rechtecks parallel sin&

dann den Ausdruck d s ' - - d s fiir ein Elementar- reehteek dieser Art sehr leicht mit Hilfe yon Fig. a. anderen geometrischen Invarianten ausdriicken. Be-

zeiehnet man n/imlich mi t r den Kriimmungsradius und mit k die KrOmmung dieser Kurven in einem Plmkte P der Ebene und mit deo den Flgchen- inhalt des Elementarreehteeks, ferner mit d v q den Winkel der Normalen in den Endpunkten des Elementarbogens d s, so gelten die Formeln

(3.2) d s = r ' d ~ , ds ' = (r q -c l r )dz~ ,

(3.3) ds' - - e~s = d r d v ~ ---- l d r . d s ,

l) G. Prange, Die allgemeinen Integrationsmethoden der analytischen Mechanik, Msth: Encyklopgdie Bd. IV, 2, S. 622,

Strahlenabbildungen der geometrischen Optik. 189

aus welchen man schliel~lich erhMt

(3.4) ds' -- ds -~ k.deo.

Projizieren wir aber das Elementarrechteck, das auf der Fl[iehe !B liegt, auf die Tangentialebene an ~ dutch eiuen seiner Punkte, so bleiben die L~ngen der Linienelemente d s, d s' his auf GrSl~en dritter Ordnung un- ver~indert, ebenso hat do) bis auf GrSl~en vierter Ordnung denselben Wert fiir die Figur auf der Fl~che und fiir ihre Projektion. Endlich ist die Kriimmung k der Projektionskurve gleich der geod~itlschen Kriimmung /~g der Kurve c, die auf der Brennfl~iche ~ liegt. Aus allen diesen t~ber- legungen erh~lt man

(3.5)

mad fiir das Gebiet G, das wiM,

(3. 6)

dh = kgdO

in der Fig. 2 dutch die Kurve ~ berandet,

h = f l kgdeo. G

4. Wit nehmen nun an, da~ die Strahlenkongruenz, die wit soeben betraehtet haben, dutch irgendeine optische Abbildung einer Strahlen- kongruenz des Bildraumes zugeordne~ wird, die ebenso wie die erste eine nicht zerfallende Brennfl~iche !~' besitzt. Dutch die Strahlenabbildung werden die beiden Brennfliichen ~ und !B' punktweise und eineindeutig aufeinander bezogen. Auf der Brennfliiche !B' gibt es eine Schar yon Kurven c*, die yon den abgebildeten Strahlen umhiillt werden. Bezeielmet man also mit G' denjenigen Teil yon !B', auf welehen unser Gebiet G abgebildet wird, und mit kS die geodiitisehe Krtimmung der Kuxven ~* auf ~B', so wird nach dem w 2 und nach (3.6) die Erhaltung der Poincar4- schen In~egralinvariante durch die Gleichung

k, = ,,' g do,'

ausgedriiekt. Dies bedingt, daJ~ man in entspreehenden Punkten P und P' der

beiden Brennfl~ichen ~ und ~ ' haben muir:

n' k~ doJ

Die Gleivhun 9 (~.2) {st in unserem Fable mit der ~orderun 9 der ~r- haItung der Poincardsohen Integralinvariante vSlti 9 ltguivalent und dMielct cIa~ her, wean man die BrennflOzhen an die STitze der Betrachtungen stdlt, ein Gesetz aus, alas gem 9ew6hn~vhen Brevhunysgesetz 9leichwertiq ist.

5. Fiir den Fall, da~ die Kurven c auf tier Fl~ehe !B aus lauter geod~tischen Linien bestehen, ist /~g identiseh Null and ~man entnimmt

190 C. Carathdodory.

aus (4. 1), dab dann auch kS identisch Null sein muB, d. h. daI3 die Kurven c* auch geodRtische Linien sein miissen. In diesem Falle ver- schwindet die Integralinvariante n h , wodurch ausgedriickt wird, dal~ die Strahlenkongruenzen notwendig Normalenkongruenzen sein miissen.

Dieser Tatbestand, der seit fast hundert Jahren bekannt ist, kann also als spezieller Fall der Formeln des w 4 angesehen werden.

6. Die obigen Resultate kSnnen auch auI die beiden M~ntel der Brennfl~iehe einer Strahlenkongruenz angewandt werden, falls diese nicht zerfa]len und reell sind. In diesem Falle kavn man in der Formel (4.2} die GrSBen n = n ' = 1 setzen und erh~ilt die Gleichung

(6.1) k; kg -- dw'"

Wenn man yon der Tatsache Gebrauch macht, dab bier die beiden Schmiegungsebenen der Kurven c und c* in entsprechenden Punkten gleich: zeitig Tangentia]ebenen der Fl~chen ~ ' und ~3 sind, sieht man, dab man in der Gleichung (6.1) die geod~itisehen Kriimmungen kS und kg dutch die gewShnlichen Krtimmungen k* und k ersetzen kann. Man erh~lt attf diese Weise die Gleichung (6.2) k* d w

k - - d w "

~ e auch ftir den Fall gilt, dab die Kurven c und c* geodRtische Linien ] ,

sind.. Die Relation (6.2) ist demnach ganz unabh~ugig davon, ob die betrachtete Strahlenkongruenz ,normal ist oder nieht2).

7. Es ist sehr iiberraschend, dab die S~itze, zu denen wit gelangt i

s, ind,, namentlieh diejenigen des letzten Paragraphen, nicht schon frither bemerkt und beachtet worden sind. Man findet n~imlich im Kapitel fiber geodiitisehe Kteise der ,,Th6orie des Surfaces" yon Darboux (Bd. III, S. 140) das SchluBresultat unseres w 3, das noch mit mehr Einzelheiten ausgeffthrt ist Ms bei uns. Darboux hat lediglich versaumt, die 1P1Rche ~ als Bren.nfliiehe einer Stzalflenkongruenz zu betrachten, und hat deshalb fiicht bemerk-t, dal~ d~e GrS~e h, die bei ibm {S. 141)in der Gestalt

cos O d e

. ) erscheint, flit zwei gescMossene Kurven r und ~', die auf verschledenen MRnt.eln der. Brennfl~che~liegen und einander zugeoMnet sind, einen und deaselben Wert besitzen nm6.

s) Bei Gelegenheit des internationalen Mathematikerkongresses Jn Oslo spraoll i o h mit Herrn G: Tzitzeiea itber "die obigen Resultate. Die zu]et~.t erw~hntd 'Bemerkung stammt yon ihm, :und. or konnte auch so~ort die Gleichung (6. 2) mit 'Hilfe: einer sehr eleganten, d.irekten .geometrisohen t~berlegung /~bIeiten.

Strahlenabbildtmgen der geometrischen Optik. 191

An dersslben Stells ~indet man bei Darboux dis vollst~ndige LSsang einer Frage, die deft, we er sie behandelt, ein wenig kiinstlich erscheint, die aber fiir unsere Zweske yon gro]er Bedeutung ist: Er bestimmt s~mtliche Kurven einer Flashe, deren geod~tisehe Kriimmung als Funktion des Ortes gegeben ist (1. e. S. 143). Nach diesem Resultat yon Darboux kann man sich die Brennfls ~ und die Kurvensehar c, d. h. die Strahlenkongruenz im Objektraum vorschreiben, au]erdsm kann man sine Brennflgehe ~ ' der zugeordneten Strahlenkongmenz des Bildraumes vorsehreiben und noch dazu die Abbildung der beiden Brennfl~chen ~B und ~B' aufeinander. Dann kann man ffagen, wis die Schar der Kurven o* gew~hlt werden mul~, wenn die Gleichung (4.2) identisch erfifllt sein sol]. Es zeigt sich (1. e. S. 146), dal~ die Kurvsn c* Extremalen eines ziemlich leicht zu bereshnenden Variationsproblems sein miissen.

Ein weiteres Problem, das man mit Hil~e der Darbouxschen Theorie recht .einfach behandelu kann (s. u. w 10), entsteht aus der Bemerkung, dal] die Kurven e', die auf ~',liegen und bei der Abbildung yon ~B' auf ~B in die Kurven c transformiert werden, im allgemeinen yon den Kurven c* grunds~itzlich ver- sehieden sind. Es gibt abet nichttriviale Beispiele, bei denen die Kurven c* mit den Bildern c' von c zusammenfallen. Dies ist z. B. der Fall, wenn man ofiir ~B' eine Fl~ehe ~v~.hl~, die dutch Verbiegung yon ~ entsteht, n ' = n

-,nimmt; und die Strahlen der Kongruenz bei der Verbiegung mitfiihrt. Man kann also die Aufgabe stellen, alle Strahlenabbfldungen anzugeben, die optiseh mSglich sind und die geschilderte Eigensehaft besitzen, wenn die Brennflgehen ~B und ~B' sowie die Ahbildung diese2 beiden Fliichen aufeinander, die dutch die zu konstruierende Strahlenabbildung hervor~ gerufen werden soil, vorgeschrieben sind. Die Kurvenschar c kann da- gegen jetzt nicht immer willkiirlich vorgeschrieben werden.

8. Alle diese Resultate kSnnen auf be]iebige Finslersche R~ume iil~er~ragen werden, d .h . sie k6nnen als S~tze der Variationsrechnung ausgesprochen werden. Dies soU noch ganz kurz skizziert werden.

Wit verallgemeinern zuerst die Gleiehung (3. 6). Es sei also ein beliebiges Variationsproble~ im dreidimensionalen Raum gegeben und eine ~eidimensionale Fl~che ~B, die dureh die Parameter s und u dargestellt werden soU. Wit be~eehnen zun~chs~ die Hamiltonsehe Funktion K (s,u,v) des auf dieser Fl~ehe induzierten VariationsproblemsS), wobei v die zu u konjugierte kanonisehe Veriiaderliehe sein sell. Eine Kurvenseh~ c erhaRen wit, wenn wit

( 8 . 1 ) v =

s) Siehe C. Carath6odory, Variationsreehnung und par~ie]le Differential- gleiehungen erster Ordnung (Leipzig, Teubner, 1935), w 342.

192 C. Carath6odory.

~etzen und die Differentialgleichtmg

(8.2) d u g~ (s, u, ~) g~8 =

integrieren. Dann erhalten wit den Wert der Integralinvarianten h fiir e i n e

geschlossene Kurve ~, (s. Fig. 2) dureh die Formel

(8.3) h = ~ - - K ( s , u , o f ) d s -4- q~du .

Wit berechnen mit Hilfe des Gau~schen Satzes die GrSi3e h als D o p p e l - integral und setzen

G

Hierbei ist

(8.5) /2 ---- q~ , --F K , , -j- K ,, qp ,, ;

<lie rechte Seite dieser Gleichung ist, genau wie i m w 3, gleich der e r s t e n Variation der Kurven unserer Sehar, denn iafolge der Gleichungen ( 8 . 1 und (8. 2) kann man an Stelle von (8.5) schreiben

d v (8.6) /2 = Z~-}-K, .

9. Ganz ebenso leicht kSnnen wit die der Gleichtmg (4.2) e n t - sprechende Gleiehung aufstellen. Wit betrachten fiir ein zweites Var ia t ions- problem eine Fliiehe ~' , deren eineindeutige Abbildung auf !D dadtucch ~estgelegt" wird, dal~ wit ffir ~ ' dJeselben Parameter s, u wie fiir benu~zen. Die Hamiltonsche Funktion des auf ~B' reduzierten Var ia t ions- problems bezeichnen wir mi~ K(s, u, v). Die Kurven o* sollen jetzt m i r Hilfe der Gleichung

<9.1) ~ = ~ (~, u)

bereehnet werden. Dann wird info]ge yon (8.5) die Bedingung (4. 2 ) darch folgende erse~zt:

{9.2) ~ + Ku + K~ ~. = ~ + R'~ + g---~ ~ .

Das in w 7 erw~ihnte Resultat von Darboux ist eine unmi t t e lba re Folge dieser Gleiehung. Sind in der Tat die Kurven o vorgeschrieben, so stellt die flake Seite yon (9. 2) eine belmnnr Funktion yon s uncl dar. Wit bestimmen eine Funktion ] (s, u) clutch die Gleichung

<9.3) ( t

Dann besagt die Gleiohung (9. 2), dal3 die Kurven c* Extremalen d e s Variationsproblems ~ der HamiltSnsehen Funktion

K (a, u,~,)" + ! Ca, u) ~ein miissen.

Strahlenabbildungen der geometrischen Optik. 193

10. Zum SehluB bestimmea wir noeh diojenigen Kurven c, fiir welche man die Bilder c' von c an Stelle von c* nehmen kann. Dana miissen die Differentialgleichungen (8.2) und

(lO. 1) d~ _ / ~ - ~ ( ~ , u , ~) ds dieselben LSsungen besitzen. Die Funktion yJ mull also der Gleiohuag

(10. 2) K~(s, u, ~o) = K~ (s, u, q~)

geniigen. Aus dieser letzten Gleichung berechnen wit

(10. 3) ~o = o~ (s, u , ~) und erhalten durch Einsetzen dieses Wertes yon ~ in (9.2) mit Beriick- sichtigung yon (10. 2)

(10.4) (1 -- w~) (~v~-k-K~,) -- ( o J , + K ~ w , ) A - K , - - K , , . Is t

(lo. 5) ~, # 1, so stellt die Gleichung (10.4) eine partielle Differentialgleichung fiir dar, aus der man die gewiinsehten Kurven e bereehaen kann. Ist aber

(10.6) ~o~ ~ 1,

so folgt aus (10. 3), dall man bier setzen mull

( lO. 7) ~ = ~ - ~ (s, u) ,

und naeh (10.2) hat man dann (10. 8) K~(s, u, ~o) ~ K, ( s , u, ~ + ~).

Diese letzte Gleichung besagt aber, dall man zu sehreiben hat

( l o . 9) g = K(s,u, V' + ~) +~(s , u), woraus folgt

(10. 10) Ku = K , -4- K,, ~ +/~,,.

Die Gleichtmg (10.4) reduziert sieh dann auf

0 o . 11) o = ~ . - %.

Ist die reeh~e Seite dieser letzten Oleiehung nieht identiseh Null, .so hat maser Problem keine LSsung. Is t aber fl~ = ~ , so kann die Sohar der Kurvea e ganz be]iebig gew~hlt werclen. Dies ist insbesondere der Ftdt ffir das Beispiel des w 7, in welehem die Brennfliiche ~8' eine Bieg,mS8- fl~iehe y o n ~ war.

M i i n c h e n , den 8. August 1936.

~(Eiagegangen am 10. 8. 193{}.)

Mathematt~ehe Annalen. ll& 13