Berechnung dünnwandiger Stäbe mit offenem Querschnitt bei Beanspruchung durch Längskraft, zweiachsige Biegung und Torsion – ohne Bestimmung von Schwerpunkt, Schubmittelpunkt und

22 © Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · Bautechnik 86 (2009), Heft 1

Für einen allgemein beanspruchten, prismatischen Stab wird einBerechnungskonzept gezeigt, bei dem die Beziehungen zwischenden Schnittgrößen und Verzerrungen des Stabelements nichtnormiert, sondern in gekoppelter Form dargestellt werden. Diesbedeutet, dass der gesamten Berechnung ein beliebig wählbaresKoordinatensystem y, z im Querschnitt zugrunde gelegt wird unddass Schwerpunkt, Schubmittelpunkt und Hauptachsen mit zu-gehörigen Querschnittsgrößen nicht bestimmt werden müssen.Auf Basis dieses Konzepts wird die Übertragungsbeziehung ent-wickelt, welche die vollständige Berechnung der Schnitt- undVerschiebungsgrößen eines beliebig gelagerten Stabes erlaubt.Schließlich lassen sich damit für beliebige Querschnittspunktealle Normal- und Schubspannungen bestimmen.

Analysis of thin-walled bars with open cross-section loaded bynormal force, biaxial bending and torsion without use of cen-troid, shear centre and principal axis. For a generally loadedprismatic bar an analysis is presented, where the relations bet-ween stress resultants and deformations are not normalized, butwritten in a coupled form. This means that any system of coordi-nates y, z in the section can be chosen and is then maintained forall calculations.On this basis the equation of transfer matrix is developed, whichallows the calculation of all stress resultants and displacementsfor a beam with arbitrary support. Finally at any point of the sec-tions normal and shear stresses can be determined.

1 Einleitung

Die übliche Berechnung von Stäben mit offenem Quer-schnitt bei Beanspruchung durch Längskraft, zweiachsigeBiegung und Wölbkrafttorsion erfordert im allgemeinenFall die Bestimmung von Schwerpunkt mit Hauptachsenfür die Biegung und die Bestimmung des Schubmittel-punktes für die Torsion, siehe z. B. [1], [2]. Die Normal-spannungen und Schubspannungen werden nach getrenn-ten Formeln für die einzelnen Schnittgrößen berechnet,wobei zahlreiche Querschnittsgrößen erforderlich sind.

Das im Folgenden dargestellte Berechnungskonzeptgeht von einem beliebigen, aber auf der Querschnittskon-tur liegenden Bezugspunkt 0 mit beliebigen (orthogona-len) Querschnittsachsen y und z aus.

Der allgemeine Dehnungs- und Normalspannungs-zustand im Querschnitt wird durch vier Grundzuständebeschrieben, die ausschließlich auf den Punkt 0 und dieAchsen y und z bezogen sind.

Schwerpunkt, Hauptachsen und Schubmittelpunktdes Querschnitts bleiben außer Betracht, so dass die Be-ziehungen zwischen den vier Dehnungszuständen und dendamit verbundenen Schnittgrößen N, My, Mz und Mw ge-koppelt sind.

Auf dieser Basis wird die Übertragungsbeziehung ent-wickelt, welche das Tragverhalten eines Stabes vollständigbeschreibt. Im allgemeinen Fall hat der Zustandsvektor14 Komponenten (7 Verschiebungs- und 7 Schnittgrößen).Die Übertragungsbeziehung, formuliert für x = �, erlaubtdie Berechnung aller Zustandsgrößen an den Enden einesbeliebig gelagerten Einzelstabs und danach der Zustands-größen an beliebiger Schnittstelle 0 £ x £ �.

Alle Normal- und Schubspannungen lassen sichschließlich für beliebige Punkte im Querschnitt bestim-men, wobei stets der resultierende Beanspruchungszustandbetrachtet wird.

Die gesamte Berechnung erfolgt mit Hilfe von Matri-zen, deren Elemente nach einfachen Formeln bestimmtwerden können. Spezielle Kenntnisse – insbesondere beider Theorie der Wölbkrafttorsion – sind bei der Anwen-dung nicht erforderlich.

2 Annahmen

Es werden folgende (üblichen) Annahmen getroffen:– Der Querschnitt ist über die Stablänge konstant.– Der Querschnitt ist offen und besteht aus ebenen, dünn-wandigen Blechabschnitten; deren Anzahl und die Formder Verzweigungen sind beliebig.– Querkraft- und Wölbkraftschubverformungen werdenvernachlässigt.– Die einzelnen Blechabschnitte bleiben eben (Wagner-Hypothese).– Der Querschnitt ist formtreu.– Es wird Elastizitätstheorie I. Ordnung angewendet.– Als Einwirkungen werden (gemäß einem beliebigen Poly-nom) veränderliche Streckenlasten, Streckentorsionsmo-mente und zusätzlich Einzeleinwirkungen berücksichtigt.– Es werden nur Querschnitte mit Verwölbung betrachtet.

3 Allgemeines Beispiel eines aus neun Blechenzusammengesetzten Querschnitts

Bild 1 zeigt den aus neun Blechen zusammengesetzten,allgemeinen Querschnitt, für welchen die erforderlichen

Berechnung dünnwandiger Stäbe mit offenemQuerschnitt bei Beanspruchung durch Längskraft,zweiachsige Biegung und Torsionohne Bestimmung von Schwerpunkt, Schubmittelpunkt und Hauptachsen

Helmut Rubin

Fachthemen

DOI: 10.1002/bate.200910003

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 22

23Bautechnik 86 (2009), Heft 1

H. Rubin · Berechnung dünnwandiger Stäbe mit offenem Querschnitt bei Beanspruchung durch Längskraft, zweiachsige Biegung und Torsion

Matrizen und Formeln angegeben werden. Der Bezugs-punkt 0 mit den Achsen y und z wurde willkürlich in einenKnoten gelegt.

Die Knotenpunkte und Endpunkte der einzelnen Ab-schnitte werden mit f und g (0, 1, 2, …) bezeichnet. Dem-entsprechend erhalten auf Knoten bezogene Größeneinen, auf Abschnitte bezogene Größen zwei Indizes, z. B.Afg(= Agf) als Fläche des Abschnitts fg. Die im Querschnitteingetragenen Pfeile sind vom Bezugspunkt 0 nach „außen“fortschreitend gerichtet. Sie dienen der Festlegung der

Rechenrichtung, z. B. bei den Wölbordinaten w und denSchubflüssen T, und definieren die positive Richtung vonT.

Bild 2 zeigt einen Brückenquerschnitt als möglichenSonderfall des allgemeinen Querschnitts von Bild 1.

4 Verschiebungsgrößen, Schnittgrößen und Einwirkungen

Bild 3 zeigt die positiven Richtungen der Stabachse x,der Querschnittsachsen y und z, der Verschiebungen u, v,w und des Torsionsdrehwinkels J, der Schnittgrößen N,My, Qz, Mz, Qy und MT sowie der Streckenlasten qx, qzund qy, welche einen gemäß einem beliebigen Polynomveränderlichen Verlauf haben dürfen, während die Ex-zentrizitäten yx, zx, yz und zy als konstant angenommenwerden.

Für alle Größen ist der Punkt 0 Bezugspunkt undsind die Achsen x, y und z Bezugsachsen; dies bleibt fürdas gesamte Berechnungskonzept gültig.

5 Berechnung der Spannungen ssf aus den Verschiebungs-größen u, w, v und JJ mit Hilfe der Matrix A

Zunächst wird vereinbart:– Bezeichnungen für eine Matrix sind fett und unterstri-chen, z. B. A.– Formänderungs- und Verschiebungsgrößen mit Quer-strich (oben) sind E-fach, z. B. w—– = Ew.– Ableitungen nach x werden mit Strich versehen, z. B.du/dx = u¢.

Als Formänderungsgrößen, die den Dehnungs- undNormalspannungszustand im Querschnitt vollständig be-schreiben, werden definiert:

(1)

(2)

(3)

(4)

Als zugehörige Matrix wird vereinbart:

(5)kk =

¢¢¢¢

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

k kk kk kk k

1 1

2 2

3 3

4 4

k J4 = - ¢¢

k3 = - ¢¢v

k2 = - ¢¢w

k1 = - ¢u

Bild 1. Betrachteter, allgemeiner Querschnitt mit Bezugs-punkt 0 sowie Achsen y und z, Blickrichtung entgegen x-Achse(s. Bild 3)Fig. 1. General section with reference point 0, with axis yand z, looking against x-axis

Bild 2. Möglicher Sonderfall: Brückenquerschnitt, symme-trisch oder unsymmetrischFig. 2. Special case: bridge section, symmetrical or asymme-trical

Bild 3. Koordinaten, Verschiebungsgrößen, Schnittgrößen und EinwirkungenFig. 3. Coordinates, displacements, internal forces and loading

Koorddinaten Verschiebungsgrößen Schnittgrößenauf Schnittufer links

Einwirkungen

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 23

24 Bautechnik 86 (2009), Heft 1


Weiterhin wird als Spannungsmatrix definiert:

(6)

Die Ableitungen k¢… und s¢… werden zur Berechnung derSchubflüsse bzw. Schubspannungen benötigt.

Die Matrix ss berechnet sich aus der Matrix kk wiefolgt:

(7)

Diese Gleichung beinhaltet eine rein kinematische Bezie-hung (mit E-Modul erweitert).

Für die Matrix A gilt:

(8)

Anschaulich bedeuten die Matrixglieder Längsverschie-bungen der Querschnittspunkte f in x-Richtung, und zwardie der 1. Spalte aus u = –1, die der 2. Spalte aus w¢ = –1,die der 3. Spalte aus v¢ = –1 und jene der 4. Spalte aus J¢ = –1, d. h., die Glieder wf sind die üblichen Einheitsver-wölbungen. Diese können rekursiv mit w0 = 0 beginnendin Pfeilrichtung fortschreitend berechnet werden aus:

wg = wf + zfyg – zgyf (9)

Für den Querschnitt in Bild 1 gilt im einzelnen:

(10)

w w w wwwwww ww w

0 1 4 5

2 1 2 2 1

3 1 3 3 1

6 5 6 6 5 5

7 5 7 7 5

8 7 7 8 8 7

9 7 7 9 9 7

0

0

= = = == -= -= - == -= + -= + -

¸

˝

ÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔ

z y z y

z y z y

z y z y y

z y z y

z y z y

z y z y

( )

A =

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0 0 0

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

7 7 7

8 8 8

9 9 9

z y

z y

z y

z y

z y

z y

z y

z y

z y

z y

wwwwwwwwww

ss kk= ◊A

ss =

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

È

Î


˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

s ss ss ss ss ss ss ss ss ss s

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

6 Berechnung der Knotenkräfte Ff aus den Spannungen ssf mitHilfe der Matrix B

Die Knotenkräfte Ff ersetzen den Normalspannungszustandim Querschnitt statisch gleichwertig. Für den allgemeinenAbschnitt fg lauten die Knotenkräfte an den Enden f bzw.g:

(11)

(12)

Die Summe der am Knoten f vorhandenen Kräfte beträgt:

(13)

Aus diesen Formeln erhält man die Beziehung:

(14)

Als Matrix F wird definiert:

(15)

Die Matrix B ist quadratisch und symmetrisch. DieNebendiagonalglieder auf der Zeile f und Spalte g betra-gen Afg/6, wenn Afg existiert, d. h. wenn f und g End-punkte ein und desselben Blechstreifen sind, andernfallsist Afg = 0 zu setzen. Die Hauptdiagonalglieder Aff/3ergeben sich jeweils als doppelte Summe der Nebendia-gonalglieder Afg/6 der Zeile f. Die Symmetrie folgt ausAfg = Agf.

Für den Querschnitt aus Bild 1 erhält man Gl. (16), s.nächste Seite oben.

Für die Aff der Hauptdiagonalglieder gilt:

(17)

Kontrolle: Die Summe aller Matrixglieder muss gleich derFläche des Gesamtquerschnitts sein.

A A A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A A A

00 01 04 05 11 10 12 13

22 21 33 31 44 40

55 50 56 57 66 65

77 75 78 79 88 87 99 97

= + + = + +

= = =

= + + =

= + + = =

¸

˝

ÔÔÔ

˛

ÔÔÔ

,

, , ,

, ,

, ,

F =

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

È

Î


˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

F F

F F

F F

F F

F F

F F

F F

F F

F F

F F

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

F B= ◊ ss

F Ff fgg

= Â

F Agfg f

fg= +Ê

ËÁˆ

¯

s s3 6

F Afgf g

fg= +Ê

ËÁˆ

¯s s3 6

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 24



7 Berechnung der Schnittgrößenmatrix S aus der Matrix kkmit Hilfe der Matrix D

Als Schnittgrößenmatrix S wird definiert:

(18)

Mw ist das auf den Punkt 0 bezogene Wölbmoment.Die Matrix S lässt sich zunächst aus der Matrix F wie

folgt bestimmen:

(19)

wobei AT die Transponierte von A ist.Aus den Gln. (7), (14) und (19) erhält man:

(20)

und nach Inversion

(21)

Die Matrix D selbst berechnet sich aus:

(22)

Da B symmetrisch ist, folgt aus Gl. (22), dass auch D unddamit D–1 symmetrisch sind. Bezeichnet man die Gliedervon D–1 mit d…, so lautet Gl. (21) ausführlich:

(23)

k kk kk kk k w w

1 1

2 2

3 3

4 4

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

¢¢¢¢

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

=

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

◊

¢¢¢¢

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

d d d d

d d d d

d d d d

d d d d

N N

M M

M M

M M

y y

z z

D A B A= ◊ ◊T

kk = ◊-D S

1

S D= ◊ kk

S A F= ◊T

S =

¢¢¢¢

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

N N

M M

M M

M M

y y

z z

w w

Von besonderer Bedeutung in dieser Beziehung ist dieFormel für k4, die wie folgt lautet:

(24)

Es sei darauf hingewiesen, dass 1/d44 gleich dem auf denSchubmittelpunkt bezogenen Wölbträgheitsmoment Iw ge-mäß üblicher Vorgehensweise ist, wo anstelle von Gl. (24)die Beziehung –J¢¢ = Mw/(EIw) gilt (Mw dann auf Schub-mittelpunkt bezogen).

Wird die Matrix D singulär, so liegt ein wölbfreierQuerschnitt vor, und D–1 existiert nicht.

8 Streckenlasten qx, qz und qy sowie Schnittgrößen N, My,Qz, Mz, Qy und MT

Zur Schreiberleichterung wird zunächst vereinbart:

(25)

Für die Ableitung bzw. Integration gilt:

(26)

Die Streckenlasten dürfen gemäß eines beliebigen Poly-noms in Längsrichtung veränderlich sein; z. B. hat qz all-gemein die Form:

(27)

Für die Konstanten qz,j gilt:

(28)

das heißt, qz,j ist der Anfangswert der j-fachen Ableitungvon qz.

q q xz j zj

,( )( ),= = 0

q a q a q a q a qz z z z jj

z j= + + + º ==

Â0 0 1 1 2 20

, , , ,

¢ =

= ≥

¸

˝ÔÔ

˛ÔÔ

-

+Ú

a a

a dx a für j

j j

j

x

j

1

0

1 0

a a xj

für j a für jj

j

j0 1 1 0 0= = ≥ = <,!

,

k J w4 41 42 43 44= - ¢¢ = + + +d N d M d M d My z

B =

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙

A3

A6

A6

A6

A6

A3

A6

A6

A6

A3

A6

A3

A6

A3

A6

A3

A6

A6

A6

A3

A6

A3

A6

A6

A6

A3

A6

A3

00 01 04 05

10 11 12 13

21 22

31 33

40 44

50 55 56 57

65 66

75 77 78 79

87 88

97 99

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

(16)

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 25



Der Einfachheit halber wird im Folgenden bei allenStreckenlasten das Summenzeichen

weggelassen. Im Anwendungsfall ist dann qz für alle vor-handenen Konstanten qz,j zu bilden und zu überlagern.

Ist qz konstant, existiert nur qz,0; ist qz linear, existie-ren nur qz,0 und qz,1(= q¢z), usw.

Diese vereinfachte Schreibweise gilt auch für alle ausden Streckenlasten hervorgehenden Formeln. Beim am häu-figsten vorliegenden Fall konstanter Streckenlasten sinddie entsprechenden Ausdrücke nur für j = 0 auszuwerten.

Für die Streckenlasten gilt somit:

qx = ajqx,j (29)

qz = ajqz,j (30)

qy = ajqy,j (31)

Aufgrund der Exzentrizitäten gemäß Bild 3 erhält man:das Streckentorsionsmoment

mT = zyqy – yzqz (32)

die Streckenbiegemomente

my = –zxqx (33)

mz = –yxqx (34)

und das Streckenwölbmoment

mw = –wxqx, (35)

wobei wx die Wölbordinate des Angriffspunktes der Stre-ckenlast qx ist (s. Bild 3). Dieser Angriffspunkt muss somitein Punkt des Querschnitts sein; andernfalls wäre wx nichtdefiniert, die Aufgabe also nicht eindeutig.

Die positiven Richtungen von mT, my, mz und mw sindentgegengesetzt zu jenen der Schnittgrößen MT, My, Mzbzw. Mw gemäß Bild 3.

Nach Einsetzen der Gln. (29) bis (31) ergibt sich:

mT = ajmT,j (36)

my = ajmy,j (37)

mz = ajmz,j (38)

mw = ajmw,j (39)

mit den Konstanten

mT,j = zyqy,j – yzqz,j (40)

my,j = –zxqx,j (41)

mz,j = –yxqx,j (42)

mw,j = –wxqx,j (43)

j=Â

0

Liegt eine Längsflächenlast vor, so kann diese im Bereichder einzelnen Blechabschnitte fg zur resultierenden Längs-linienlast qx,fg zusammengefasst und in den Gln. (32), (33)und (35) berücksichtigt werden. Gegebenenfalls sind meh-rere Längslinienlasten qx,fg zu überlagern.

Für die Ableitungen der Schnittgrößen gilt:

N¢ = –qx = –ajqx,j (44)

Q¢z = –qz = –ajqz,j (45)

M¢y = Qz + my = Qz + ajmy,j (46)

Q¢y = –qy = –ajqy,j (47)

M¢z = Qy + mz = Qy + ajmz,j (48)

M¢T = –mT = –ajmT,j (49)

M¢w = MTs + mw = MTs + ajmw,j (50)

MTs ist das sekundäre Torsionsmoment, welches sich ebensowie Mw auf den Bezugspunkt 0 des Querschnitts bezieht.

Nach Integration der Gln. (44) bis (49) mit den An-fangswerten (Index i) als Integrationskonstanten erhältman:

N = Ni – aj+1qx,j (51)

Qz = Qz,i – aj+1qz,j (52)

My = My,i + a1Qz,i – aj+2qz,j + aj+1my,j (53)

Qy = Qy,i – aj+1qy,j (54)

Mz = Mz,i + a1Qy,i – aj+2qy,j + aj+1mz,j (55)

MT = MT,i – aj+1mT,j (56)

Vorstehende Beziehungen ergeben bereits die letzten 6 Zeilen der aufzustellenden Übertragungsbeziehung (Ab-schnitt 11).

9 Differentialgleichung für Mww und Lösung

Das Wölbmoment Mw muss, wie stets bei gemischter Tor-sion, durch Lösen einer Differentialgleichung bestimmtwerden.

Für das primäre Torsionsmoment, welches unabhän-gig vom Bezugspunkt im Querschnitt ist, gilt:

(57)

mit

(58)

(59)

wobei die Summe über alle Blechabschnitte fg mit der je-weiligen Dicke tfg zu bilden ist.

I A tT fg fg= Â13

2 ,

I GE

II

QuerdehnzahlT TT* = =+2 1( )

( )n

n

M GI ITp T T= ¢ = ¢*J J

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 26



Für das sekundäre Torsionsmoment gilt gemäß Gl. (50):

MTs = M¢w – mw (60)

Die Beziehung

MTp + MTs = MT (61)

liefert mit Gl. (50):

MTp + M¢w = mw + MT (62)

und nach Ableitung sowie mit Gl. (49):

M¢Tp + M¢¢w = m¢w – mT (63)

Nach Einsetzen von M¢Tp gemäß Gl. (57), —J¢¢ gemäß Gl. (24),N, My, Mz gemäß den Gln. (51), (53), (55) und von mTgemäß Gl. (36) sowie von mw gemäß Gl. (39) erhält manfolgende Differentialgleichung 2. Ordnung für Mw:

(64)

mit der Konstanten

(65)

Auf der rechten Seite (Störungsfunktion) sind mit denFunktionen aj ausschließlich Polynome vorhanden. We-gen a–1 = 0 wird für j = 0 der Term aj–1mw,j Null.

Die Differentialgleichung wird nach [3] gelöst. Dieerforderlichen Lösungsfunktionen bj können nach zweiMöglichkeiten berechnet werden:

1. Möglichkeit mit hyperbolischen Funktionen:

(66)

(67)

2. Möglichkeit mit Reihenformel:

für j = max j und max j – 1:

(68)

für j £ max j – 2:

bj = aj + Kbj+2 (69)

oder auch nach Reihenformel (68)

Trotz exakter Formeln können sich nach der 1. Möglich-keit bei sehr kleinen Argumenten ÷—–

Kx(<<1) und zuneh-mend bei höheren Indizes j ungenaue Ergebnisse aufgrund

b a K aj jt

tj t= +

=

•

+Â1

2

j bK

b aj j j≥ = -- -2 12 2: ( )

b K x bK

K x0 11= =cosh( ), sinh( )

K I dT= *44

¢¢ - = - +

+ [ - +

+ + - + +

+ + - +

-

*+

+ +

+ +

M KM a m a m

I d N a q

d M a Q a q a m

d M a Q a q a m

j j j T j

T i j x j

y i z i j z j j y j

z i y i j y j j z j

w w w1

41 1

42 1 2 1

43 1 2 1

, ,

,

, , , ,

, , , ,

( )

( )

( )]

numerischer Probleme ergeben. Diese treten bei der Diffe-renzbildung bj–2 – aj–2 auf, wobei die Werte dann nahezugleich sind.

Die Reihenformel konvergiert stets gut und liefert auchbei kleinen Werten ÷—–

Kx genaue Ergebnisse für alle bj. Eigenschaften der Funktionen bj:

(70)

gemäß Gl. (69) gilt:

b–1 = Kb1 (71)

Anfangswerte:

b0(0) = 1, bj(0) = 0 für j ≥ 1 (72)

Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialglei-chung lautet nach [3]:

Mw,hom = C0b0 + C1b1 (73)

mit den Konstanten

C0 = Mw,i (74)

C1 = M¢w,i = MTs,i + mw,0 (75)

Für MTs,i wird gesetzt:

(76)

Damit ergibt sich aus Gl. (73):

(77)

Die partikuläre Lösung Mw,part erhält man aus der rechtenSeite der Differentialgleichung (64), indem dort überall ajdurch bj+2 ersetzt wird. Konstanten (ohne aj) kann derFaktor a0 = 1 zugeordnet werden, welcher dann durch b2zu ersetzen ist.

Nach Überlagerung von homogenem und partikulä-rem Lösungsanteil erhält man:

(78)

Beim Ausdruck bj+1mw,j wird derTerm für j = 0 aus Mw,hom,die übrigen Terme für j ≥ 1 aus Mw,part erhalten.

Mit Mw, MT, Mz, Qy, My, Qz und N liegen bereits allefür die Übertragungsbeziehung erforderlichen Schnittgrö-ßen vor (Abschn. 11).

Primäres und sekundäres Torsionsmoment MTp bzw.MTs werden nicht als Komponenten des Zustandsvektorsgeführt, da für diese Größen keine Randbedingungen und

M b M b M I b b m b m

I d b N b q

d b M b Q b q b m

d b M b

i T i T i j j j T j

T i j x j

y i z i j z j j y j

z i

w w wJ= + - ¢ + - +

+ [ - +

+ + - + +

+ +

*+ +

*+

+ +

0 1 1 1 2

41 2 3

42 2 3 4 3

43 2 3

, , , ,

,

, , , ,

,

( )

( )

( QQ b q b my i j y j j z j, , , )]- ++ +4 3

M b M b M I b b mi T i T iw w wJ,hom , , ,= + - ¢ +*0 1 1 1 0

M M M M ITs i T i Tp i T i T i, , , ,= - = - ¢* J

¢ =

= ≥

¸

˝ÔÔ

˛ÔÔ

-

+Ú

b b

b dx b für j

j j

j

x

j

1

0

1 0

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 27



auch keine korrespondierenden Verschiebungsgrößen exis-tieren.

10 Verschiebungsgrößen –u, ––w, ––w¢, –v, –v¢, ––JJ, ––JJ¢ (E-fach)

Nachdem die 7 Schnittgrößen des Zustandsvektors formu-liert sind, lassen sich die 7 korrespondierenden (zugeord-neten) Verschiebungsgrößen durch Einsetzen der Schnitt-größen aus bereits angeschriebenen Formeln bestimmen.Im Folgenden wird nur der jeweilige Herleitungsweg ohneAngabe der endgültigen Beziehung aufgezeigt; diese kanndann den Zeilen 1 bis 7 der Übertragungsbeziehung in Ab-schnitt 11 entnommen werden. Zur Vereinfachung der Be-ziehungen ist Gl. (69) mit Gl. (65) zu beachten.

Aus den Gln. (60) und (61) erhält man:

MTp = MT – MTs = MT – M¢w + mw (79)

Nach Einsetzen von MTp gemäß Gl. (57) ergibt sich:

(80)

Bei der Ableitung M¢w sind die Gln. (70) und (71) zu be-achten.

Die endgültige Beziehung für—J¢ kann der 7. Zeile der

Übertragungsbeziehung entnommen werden.Die Integration von Gl. (80) ergibt:

(81)

Die endgültige Beziehung ist aus der 6. Zeile der Übertra-gungsbeziehung ersichtlich.

Eine besondere Bedeutung als Kontrollgleichung oderzusätzliche Bestimmungsgleichung erlangt Gl. (81) fürx = �. Diese lautet:

(82)

wobei hier gilt.

Da für die Übertragungsbeziehung Mw in Gl. (81) gemäßGl. (78) ersetzt wird, erscheinen vorstehende Gln. (81) bzw.(82) dort nicht mehr in dieser Form.

Insbesondere beim beidseitig gabelgelagerten Stab er-möglicht Gl. (82) die direkte Bestimmung von MT,i, weil —Ji = —Jk = 0 gilt und Mw,i, Mw,k als eingeprägte Größen be-kannt (i. d. R. Null) sind.

Für die weiteren Verschiebungsgrößen werden folgendeGleichungen aus der Beziehung (23) benötigt:

(83)

(84)k w2 21 22 23 24= - ¢¢ = + + +w d N d M d M d My z

k w1 11 12 13 14= - ¢ = + + +u d N d M d M d My z

ajj

j= l

!

J J

w w w

k iT

T i j T j k i j j

I

a M a m M M a m

= + ¥

¥ - - + +[ ]*

+ +

1

1 2 1, , , , , ,

J J w w w= + - - + +( )* + +iT

T i j T j i j jIa M a m M M a m1

1 2 1, , , ,

¢ = - ¢ +

= - - ¢ +( )*

* +

J w w

w w

1

11

IM M m

IM a m M a m

TT

TT i j T j j j

( )

, , ,

(85)

wobei drs = dsr ist.In vorstehende Gleichungen werden die Schnittgrö-

ßen N, My, Mz und Mw eingesetzt; danach wird wie folgtintegriert:

(86)

(87)

(88)

(89)

(90)

Die endgültigen Beziehungen sind aus den Zeilen 1 bis 5der Übertragungsbeziehung ersichtlich.

11 Übertragungsbeziehung

Die Übertragungsbeziehung für den Zustandsvektor Zx ander allgemeinen Stelle x des Stabes ik mit der Länge � hatfolgende Form:

(91)

In ausführlicher Darstellung ist diese Übertragungsbezie-hung in den Gln. (92) und (93) dargestellt (siehe nächsteSeite).

Die Matrix Fxi ist quadratisch, bezüglich der eingetra-genen Diagonale symmetrisch und nur systemabhängig.Der Lastvektor Z0

x in Gl. (93) berücksichtigt die Einwir-kungen auf den Stab im Bereich vom Anfangspunkt i biszur Stelle x.

Für die Streckenmomente mT,j, my,j, mz,j und mw,j gel-ten die Gln. (40) bis (43).

Die Matrixglieder crs,j bzw. c*rs,j berechnen sich wie

folgt:

(94)

(95)

Damit können alle in den Gln. (92) und (93) vorkommen-den Glieder bestimmt werden.

Speziell für r = 4 oder s = 4 kann auch folgende ein-fachere Formel angewendet werden:

c4s,j = cs4,j = d4sbj = ds4bj (96)

Diese vereinfachte Form ergibt sich aus Gl. (94) unter Be-achtung der Gln. (65) und (69).

Für x = � lautet die Übertragungsbeziehung:

(97)Z F Z Zk ki i k= ◊ + 0

c I crs j T rs j, ,* *=

c c d a d d I brs j sr j rs j r s T j, ,= = + *+4 4 2

Z F Z Zx xi i x= ◊ + 0

v v a v v dxi i

x

= + ¢ + ¢Ú1

0

D

¢ = ¢ + ¢ ¢ = ¢¢Úv v v mit v v dxi

x

D D0

w w a w w dxi i

x

= + ¢ + ¢Ú1

0

D

¢ = ¢ + ¢ ¢ = ¢¢Úw w w mit w w dxi

x

D D0

u u u dxi

x

= + ¢Ú0

k w3 31 32 33 34= - ¢¢ = + + +v d N d M d M d My z

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 28



12 Erweiterung des Lastvektors Z0x für Einzeleinwirkungen

im Feld des Stabes ik

Einzeleinwirkungen an beliebiger Stelle p im Feld des be-trachteten Stabes ik können wie die stetigen Einwirkun-gen mit Hilfe des Lastvektors Z0

x erfasst werden. Berück-sichtigt werden die in Bild 4 dargestellten Einzellasten,eingeprägten Momente und darüber hinaus ein eingepräg-tes Wölbmoment Me

w. Wenn Py bzw. Pz eine Exzentrizitäthinsichtlich des Bezugspunktes 0 des Querschnitts auf-weist, so ist deren Moment bezüglich der Stabachse alsMe

T zu berücksichtigen. Eine nicht im Bezugspunkt 0 an-greifende Längslast Px würde nicht nur eingeprägte Mo-mente Me

y und Mez hervorrufen, sondern auch ein einge-

prägtes Wölbmoment Mew; dabei gilt:

Mey = PxzP (98)

Mez = PxyP (99)

Mew = PxwP (100)

Die Werte zP, yP und wP des Angriffspunktes von Px imQuerschnitt können für alle Querschnittspunkte f der Ma-trix A entnommen werden.

uwwvv

MMMQMQN

c c c c c c c ca c

T

z

y

y

z

x

¢

¢

¢

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

=

* - - - - - - -* -

JJ

w

Z123

11

14 2 14 1 14 2 13 1 13 2 12 1 12 2 111

1 24 3

, , , , , , , ,

, cc c c c c c cc c c c c c c c

a c c c c c c c c

24 2 24 3 23 2 23 3 22 2 22 3 21 2

24 2 24 1 24 2 23 1 23 2 22 1 22 2 211

1 34 3 34 2 34 3 33 2 33 3 32 2 32 3

11

, , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , ,

- - - - - -* - - - - - - -* - - - - - - - 3131 2

34 2 34 1 34 2 33 1 33 2 32 1 32 2 311

1 44 2 44 3 43 2 43 3 42 2 42 3 41 2

0 44 1 44 2 43 1 43 2 42 1 42 2

11

,

, , , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , ,

c c c c c c c cb c c c c c c cb c c c c c c

* - - - - - - -

- - - - - - -

- - - - - - -cc

b b b c c c c c

a

a

IT

xi

411

1 0 1 43 2 43 3 42 2 42 3 41 2

1

1

11

11

11

,

, , , , ,- * * * * **

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

F1 244444444444444444 3444444444444444444 123

◊

¢

¢

¢

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

+

uwwvv

MMMQMQN

i

i

i

i

i

i

i

i

T i

z i

y i

y i

z i

i

x

i

JJ

w,

,

,

,

,

,

Z

Z0

Z x

j j j j j j j

j j j j j j j

j j j

c c c c c c c

c c c c c c c

c c c c

0

14 2 14 3 13 2 13 3 12 2 12 3 11 2

24 3 24 4 23 3 23 4 22 3 22 4 21 3

24 2 24 3 23 2 23

=

- + + - + + - + + +

- + + - + + - + + +

- + + - +

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , ,, , , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,

j j j j

j j j j j j j

j j j j j j j

c c c

c c c c c c c

c c c c c c c

c

+ - + + +

- + + - + + - + + +

- + + - + + - + + +

-

3 22 2 22 3 21 2

34 3 34 4 33 3 33 4 32 3 32 4 31 3

34 2 34 3 33 2 33 3 32 2 32 3 31 2

4444 3 44 4 43 3 43 4 42 3 42 4 41 3

44 2 44 3 43 2 43 3 42 2 42 3 41 2

1 2 43 3 43 4 42

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , ,

j j j j j j j

j j j j j j j

j j j j

c c c c c c

c c c c c c c

b b c c c

+ + - + + - + + +

- + + - + + - + + +

+ - + +* - +

*jj j j

j

j j

j

j j

j

j

j

T j

z

c c

a

a a

a

a a

a

a

m

m

m

+* - +

* - +*

- +

+ - +

- +

+ - +

- +

- +

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

◊3 42 4 41 3

1

1 2

1

1 2

1

1

, ,

,

,

,

w

jj

y j

y j

z j

x j

q

m

q

q

,

,

,

,

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙

(92)

(93)

mit

Bild 4. Einzellasten Px, Py, Pz und eingeprägte Momente MeT,

Mey, Me

z an der Stelle p im Feld eines StabesFig. 4. Single loads Px, Py, Pz and single moments Me

T, Mey,

Mez at point p in the field of a beam

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 29



Liegt die Stelle von Zx zwischen den Punkten i und p(x < 0), so gilt:

(101)

da der Lastvektor Z0x grundsätzlich nur von Einwirkungen

zwischen i und der Stelle x beeinflusst wird.Liegt die Stelle von Zx zwischen den Punkten p und

k (0 £ x £ �), kann Z0x dadurch erhalten werden, dass der

Punkt p als Stabanfangspunkt angesehen wird und dieEinzellasten und eingeprägten Momente als Anfangs-werte betrachtet werden; dies bedeutet praktisch, dassder Stababschnitt ip als nicht vorhanden angenommenwird. Die aus den eingeprägten Größen hervorgehendenSchnittgrößen wirken dann auf den Querschnitt rechtsvon p und sind deshalb nach Definition gemäß Bild 3(wo sie auf den Querschnitt links vom Schnitt wirken)negativ.

In diesem Sinne wird Z0x durch Modifikation der letz-

ten 7 Spalten der Matrix Fxi nach Gl. (92) wie in Gl. (102)erhalten, s. unten.

Alle Matrixglieder werden nach den bisher gültigenFormeln berechnet, allerdings ist dabei überall x durch xzu ersetzen. Vereinbart man, dass sowohl die Funktio-nen aj als auch bj für negative Argumente x Null gesetztwerden, so enthält Gl. (102) auch die Gl. (101), ist alsofür alle Z0

x im Bereich des ganzen Stabes gültig. Damitdie ursprünglich vorhandenen Matrixglieder 1 für nega-tive x auch Null werden, müssen diese durch a0 ersetztwerden.

Gegebenenfalls sind die Lastvektoren Z0x nach Gl. (93)

und Gl. (102) zu überlagern.

13 Berechnung der unbekannten Zustandsgrößen an denStabenden i und k für einen beliebig gelagerteneinfeldrigen Stab aus der Übertragungsbeziehung (97)

An einem Stabende sind unabhängig von der Lagerungstets 7 Komponenten des Zustandsvektors bekannt und 7 unbekannt; konkret ist jeweils eine von zwei korrespon-dierenden Zustandsgrößen bekannt, die andere unbekannt.

Z x0 0= ,

Korrespondierende Größen sind —J¢ und Mw,

—J und MT, –v¢und Mz,

–v und Qy,—–w¢ und My,

—–w und Qz sowie –u und N.Bei einer starren Einspannung beispielsweise sind alle Ver-schiebungsgrößen bekannt (i. d. R. Null) und alle Schnitt-größen unbekannt, während an einem freien Ende derumgekehrte Sachverhalt vorliegt. Andererseits sind z. B.an einem unverschieblichen Gabellager die Größen –u, —–w,–v,

—J, Mw, Mz und My bekannt, die übrigen (korrespondie-renden) Größen unbekannt.

Grundsätzlich lassen sich für einen einfeldrigen Stabaus der Übertragungsbeziehung (97) mit 14 Gleichungendie jeweils 7 Unbekannten der Zustandsvektoren Zi undZk bestimmen. Dabei kann in zwei Schritten vorgegangenwerden: Im ersten Schritt werden die 7 Unbekannten vonZi aus jenen 7 Gleichungen bestimmt, die die bekanntenZustandsgrößen von Zk liefern. Im zweiten Schritt erhältman dann aus den restlichen 7 Gleichungen die unbe-kannten Komponenten von Zk.

14 Verschiebungen U, W und V an den Querschnittspunkten f

Die positiven Richtungen der Verschiebungen U, W und Vin den Querschnittspunkten f seien dieselben wie jene vonu, w und v im Bezugspunkt 0 gemäß Bild 3.

Als Matrix der Verschiebungen in den Querschnitts-punkten f = 0, 1, 2 … wird definiert:

(103)

Diese berechnet sich mit Hilfe der Matrix A gemäß Gl. (8)aus:

(104)V A= ◊ ¢¢ -¢

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

◊

u w vw 0v

JJ

J0

0 0

1E

V =

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

U W V

U W V

U W V

0 0 0

1 1 1

2 2 2

M M M

Z x

c c c c c c c

c c c c c c c

c c c c c c c

c c

0

14 1 14 2 13 1 13 2 12 1 12 2 111

24 2 24 3 23 2 23 3 22 2 22 3 21 2

24 1 24 2 23 1 23 2 22 1 22 2 211

34 2

=

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

˜ ˜

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, 3434 3 33 2 33 3 32 2 32 3 31 2

34 1 34 2 33 1 33 2 32 1 32 2 311

44 2 44 3 43 2 43 3 42 2 42 3 41 2

44 1 44 2 43 1

, , , , , ,

, , , , , , ,

, , , , , , ,

, , ,

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

˜ ˜ ˜ ˜

c c c c c

c c c c c c c

c c c c c c c

c c c c4343 2 42 1 42 2 411

0 1 43 2 43 3 42 2 42 3 41 2

0

0 1

0

0 1

0

0

, , , ,

, , , , ,

˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

˜

˜ ˜

˜

˜ ˜

˜

˜

c c c

b b c c c c c

a

a a

a

a a

a

a

- - - * - * - * - * - *

-

- -

-

- -

-

-

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

◊

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙

≥

M

M

M

P

M

P

P

x

e

Te

ze

y

ye

z

x

w

für ˜ 0 (102)

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 30



15 Normal- und Schubspannungen

Beim vorliegenden Lösungskonzept werden die Spannun-gen nicht getrennt für die einzelnen Schnittgrößen erhal-ten, sondern stets für den resultierenden Beanspruchungs-zustand.

Zusätzlich zu den Schnittgrößen des Zustandsvektorswerden nun noch primäres und sekundäres Torsionsmo-ment benötigt; hierfür gilt:

(105)

MTs = MT – MTp (106)

Die Schubspannungen aus der primären Torsion betragenan den Blechrändern, wie üblich:

(107)

Sie sind über die Dicke tfg des Einzelblechs fg linear ver-teilt.

Alle weiteren Spannungen sind (als Näherung) überdie Blechdicken jeweils konstant. Zu deren Berechnungwird zunächst die Formänderungsgrößenmatrix kk nachGl. (21) bzw. Gl. (23) bestimmt aus:

(108)

wobei S gemäß Gl. (18) an der untersuchten Stelle x be-kannt sein muss.

N, My, Mz und Mw sind unmittelbar als Komponentenvon Zx bekannt, während die Ableitungen N¢, M¢y, M¢z undM¢w aus den Gln. (44), (46), (48) und (50) über die Schnitt-größen Qz, Qy und MTs zu bestimmen sind.

Nach Gl. (7) lautet dann die Spannungsmatrix:

(109)

womit die Normalspannungen an allen Querschnitts-punkten f bekannt sind. DerVerlauf von s ist zwischen be-nachbarten Punkten f und g jeweils linear.

Die in der Matrix ss enthaltenen s¢f stellen die Ablei-tungen nach x dar und werden zur Berechnung der Schub-flüsse Tfg und Tgf gemäß Bild 5 benötigt. In diesem Bildsind für den Blechabschnitt fg mit der Länge 1 die Ände-rung der Normalspannungen s¢ und die beiden Rand-schubflüsse Tfg und Tgf sowie eine gegebenenfalls vorhan-dene Längsstreckenlast qx,fg im Abschnitt fg eingetragen.Die zugehörige Gleichgewichtsbedingung ergibt:

Tfg = Tgf + DTfg (110)

mit

(111)

Gl. (110) wird an den freien Rändern des Querschnitts mitTgf = 0 beginnend entgegen der Pfeilrichtung (Bild 1) biszum Bezugspunkt 0 fortschreitend angewendet, wobei sichan den Gabelungen die Schubflüsse addieren.

Während eine Längsstreckenlast qx,fg innerhalb einesAbschnitts fg in Gl. (111) bereits erfasst ist, muss eine am

DT A qfg f g fg x fg= ¢ + ¢ +12

( ) ,s s

ss kk= ◊A ,

kk = ◊-D S1 ,

tfgTp

Tfg

M

It= ±

M ITp T= ¢* J

Knoten g angreifende Längsstreckenlast qx,g dort als addi-tives Glied bei der Schubflussberechnung berücksichtigtwerden.

Im Querschnitt sind die Schubflüsse T in Richtungder Pfeile von Bild 1 positiv.

Für den Querschnitt nach Bild 1 erhält man:

(112)

Greift beispielsweise im Knoten 5 die Längsstreckenlastqx,5 an, so würde dort gelten:

T50 = T56 + T57 + qx,5

Kontrolle:

(113)

wobei die Summe über alle Blechstreifen fg des Querschnittszu nehmen ist und qx die resultierende Längsstreckenlastbedeutet.

Greift am Element fg keine Längsstreckenlast qx,fg an,sind s und s¢ über die Breite b linear verteilt, während Tparabolisch verläuft. Die Gleichgewichtsbedingung für denSchnitt an der Stelle xb (Bild 5) mit dem Schubfluss Tx lie-fert:

(114)

Haben s¢f und s¢g unterschiedliche Vorzeichen, so hat T ander Nullstelle von s¢ einen Extremwert. Für dessen Ortund Größe erhält man:

(115)

(116)T T Agf g fg0 012

= + ¢s x

xs s

x0 01

10 1=

- ¢ ¢< <

f g/( )

T T Agf gf g

fgx ss s

x x= + ¢ +¢ - ¢Ê

ËÁˆ

¯2

¢ + ¢+ =Â s sf g

fg xA q2

0

T T T T T T

T T T T T T T

T T T T T T T

T T T T T T T

T T T T T T

T T T

21 31 40 65 87 97

12 12 13 13 10 12 13

01 10 01 04 04 56 56

78 78 79 79 75 78 79

57 75 57 50 56 57

05 50 05

0= = = = = =

= = = +

= + = =

= = = +

= + = +

= +

¸

˝

D D

D D D

D D

D

D

, ,

, ,

, ,

,

ÔÔÔÔÔÔ

˛

ÔÔÔÔÔ

Bild 5. Verläufe der Längsspannungsänderungen s ¢ und derSchubkräfte T am Element der Länge 1 des Einzelblechs fgFig. 5. Functions of derived longitudinal stress s ¢ and shearforce T at an element of the sheet fg with length 1

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 31



Für die (über die Blechdicke t konstanten) Schubspannun-gen gilt:

(117)

Liegt im Bereich des Elements fg eine über die Breitekonstante Längsflächenlast qF

x,fg = qx,fg/b vor, so kanndiese am einfachsten dadurch berücksichtigt werden, dassin den Gln. (114) bis (116) s¢ durch

(118)

ersetzt wird.

16 Beispiel

¢ = ¢ +s s q tx fgF

, /

t = Tt

Die Matrix D folgt aus Gl. (22). Für die inverse Ma-trix D–1 mit den Gliedern drs erhält man:

System und BelastungAls Beispiel wird ein Stab gewählt, der in i starr einge-spannt ist und in k ein freies Ende hat. Die Belastung be-steht aus der Gleichlast qz und den Einzellasten Pz, Py undPx, wobei Pz eine Einzeleinwirkung im Feld gemäß Ab-schnitt 12 darstellt.

Die Randbedingungen in i lauten:

In der Übertragungsmatrix Fxi gemäß Gl. (92) sind damitdie ersten 7 Spalten entbehrlich.

Die Randbedingungen in k lauten:

Mw,k = Pxw7 = 100 · (–0,4) = –40 kNm2

MT,k = Pyz5 = 60 · (–0,8) = –48 kNm

Mz,k = Pxy7 = 100 · 0,5 = 50 kNm, Qy,k = Py = 60 kN

My,k = Pxz7 = 100 · (–1,2) = –120 kNm, Qz,k = 0

Nk = Px = 100 kN

Übertragungsbeziehung nach Gl. (97)Nach Gl. (59) erhält man:

IT = 1,04495 · 10–5 m4

Gl. (58) liefert mit n = 0,3 (Stahl):

I*T = 0,40190 · 10–5 m4

Die Konstante K beträgt nach Gl. (65):

K = 0,0028424 m–2

Nach den Gln. (68) und (69) – oder alternativ nach denGln. (66) und (67) – ergibt sich mit x = � = 10 m:

b6 = 1395,96 m6, b5 = 838,995 m5

b4 = 420,635 m4, b3 = 169,051 m3

b2 = 51,1956 m2, b1 = 10,4805 m

b0 = 1,14552

u w w v vi i i i i i i= = ¢ = = ¢ = = ¢ =0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,J J

D- =

- -- -

- -- -

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

1

37 522 34 975 69 792 82 011

34 975 72 509 57 802 134 944

69 792 57 802 440 819 473 415

82 011 134 944 473 415 707 233

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

Bild 6. Beispiel: System und Einwirkungen qz, Pz, Py und PxFig. 6. Example: system and loading qz, Pz, Py and Px

Als Beispiel wird ein Stab mit � = 10 m Länge und demQuerschnitt nach Bild 1 gewählt, welcher als Testquer-schnitt (d. h. ohne Anspruch auf Praxisnähe) zu verstehenist. Die Geometrie des Querschnitts geht aus den Koordi-naten zf und yf hervor, welche in der 2. und 3. Spalte derMatrix A enthalten sind. Nach Gl. (8) lautet diese:

wobei, wie auch in der Tabelle (siehe unten), die Längen-einheit m verwendet wird.

Die Matrix B lässt sich nach den Gln. (16) und (17)leicht bestimmen, auf deren Wiedergabe kann verzichtetwerden.

A =

--

-- -- -- -- -

È

Î


˘1 0 0 0

1 01 0 2 0

1 0 2 0 6 01

1 0 4 0 4 0 04

1 0 2 0 3 0

1 0 8 0 0

1 11 0 4 0 32

1 1 2 0 5 0 4

1 1 0 0 9 0 98

1 1 4 1 0 0 9

, ,

– , , ,

, , ,

, ,

,

, , ,

, , ,

, , ,

, , , ˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

Die Blechdicken tfg und die daraus hervorgehenden Einzelflächen Afg betragen:

fg 0-1 1-2 1-3 0-4 0-5 5-6 5-7 7-8 7-9

103tfg 16 20 21 17 15 18 19 22 23

103Afg 3,5777 10,0 7,5717 6,1294 12,0 9,0 12,1659 9,8387 12,3859

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 32

u

w

w

v

v

M

M

M

Q

M

Q

N

k

k

k

k

k

k

k

k

T k

z k

y k

y k

z k

k

¢

¢

¢

È

Î


˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

=

- - -

JJ

w10

859 52 4198 6 724 30 3555 2 357 27 1767 4 379 79 5866

3,

,

,

,

,

,

, , , , , , , ,44 280 27

6908 5 22812 29981 98491 3656 2 12146 1767 4 30314 774 06

1414 3 6908 5 621 43 29981 737 46 3656 2 357 27 12146 580 86

24237 80031 22420 74225 29981 98491 3555 2 24443 618 75

49616 24237 4560 5 22420 621 43 29981 724 30 98491 46516

,

, , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , ,

, , , , , , ,

- - -- - -

- - - - - -- - - - - --3620736207 119560 24237 80031 6908 5 22812 4198 6 56762 1442 7

7412 2 36207 49616 24237 1414 3 6908 5 859 52 22812 10836

1145 5 10481 97 408 321 65 27 765 91 684 16 874 22813 5 7981

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 10 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 10 0

- - - - -- - - - - -

- - -

-

, , ,

, , , , , ,

, , , , , , , ,

5050 4

0 0 0 0 0 1 0 10 1

0 0 0 0 0 0 1 0 0

-- -

È

Î


˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

◊

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙

M

M

M

Q

M

Q

N

q

P

i

T i

z i

y i

y i

z i

i

z

z

w,

,

,

,

,

,

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙



Für die Einzellast Pz erhält man mit x = � = 4 m:

Weitere bj werden nicht benötigt.Der Lastvektor Z0

k in Gl. (97) geht nur aus den bei-den Einwirkungen qz = qz,0 (Gl. (93), 6. Spalte) und Pz(Gl. (102), 6. Spalte) hervor.

Nach Streichung der ersten 7 Spalten von Fki undZusammenfassung der rechten Seite in Gl. (97) lautet dieÜbertragungsbeziehung, s. Gleichung unten im Kasten.

Mit bekannten Schnittgrößen in k stellen die letzten7 Gleichungen der Übertragungsbeziehung Bestimmungs-gleichungen für die 7 unbekannten Schnittgrößen in i dar(wobei sukzessiv von unten nach oben fortschreitend je-weils nur eine Gleichung mit einer Unbekannten vorliegt).

Nach deren Bestimmung liefern die ersten 7 Glei-chungen der Übertragungsbeziehung die Verschiebungs-größen in k.

Es ergeben sich folgende Zahlenwerte:

Die verwendeten Einheiten sind m und kN.

Zustandsgrößen und Spannungen exemplarisch fürSchnittstelle x == 5 mMit bekanntem Zustandsvektor Zi liefert die Übertragungs-beziehung (91) für x = 5 m (Stabmitte) folgende Kompo-nenten von Zx:

u = ◊7 3285 104,

M

M

M

Q

M

Q

N

u

w

w

v

v

i

T i

z i

y i

y i

z i

i

k

k

k

k

k

k

k

w

JJ

,

,

,

,

,

,

,

,

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙

=

--

-

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙

¢

¢

¢

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙

422 58

48

550

60

960

160

100

˙˙˙˙˙˙˙

=

--

È

Î

ÍÍÍÍÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙

◊

8 0446

25510

36 037

21 205

4 8506

433 45

60 308

104

,

,

,

,

,

,

,

˜ , , ˜ ,b m b m55

448 54258 10 6828= =

Mw = 188,55, MT = –48, Mz = –250, Qy = 60, My = –310,Qz = 100, N = 100

Gl. (105): MTp = –2,015

Gl. (106): MTs = –45,985

Wegen qx = 0, my = 0, mz = 0 und mw = 0 gilt N¢ = 0,M¢y = Qz, M¢z = Qy sowie M¢w = MTs. Damit ist die Matrix Sbekannt. Aus Gl. (21) ergeben sich dann für die Matrix kkfolgende Zahlenwerte:

Nach Gl. (7) erhält man für die Matrix ss folgende Zahlen-werte:

s ss ss ss ss ss ss ss ss ss s

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

5104 9 3081 3

10103 3859 8

250 50 1338 3

23041 7340 5

8098 3 5409 3

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

È

Î


˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

=

--

- ---

, ,

,

, ,

,

, ,

1887318873 4909 3

47427 13101

6410 8 2410 5

31788 9361 5

16909 3847 2

--

---

È

Î


˘

˚

˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙

,

, ,

,

,

k kk kk kk k

1 1

2 2

3 3

4 4

5104 9 3081 3

29973 9988 2

10004 1101 2

48624 17612

¢¢¢¢

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

=

--- -

-

È

Î

ÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙

, ,

,

,

J J= - ◊ ¢ = - ◊1 4847 10 5 0132 106 5, , ,

v v= ◊ ¢ = ◊1 3890 10 1 8916 104 4, , ,

w w= ◊ ¢ = ◊8 6198 10 2 9367 105 5, , ,

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 33



Für die Schubflüsse Tfg erhält man aus Gl. (112):

T12 = 12,608, T13 = 42,403, T10 = 55,011, T01 = 67,427

T04 = 26,021, T56 = –81,046, T78 = 34,194, T79 = 8,897

T75 = 43,092, T57 = –1,434, T50 = –82,480, T0,5 = –93,448

Der größte Schubfluss tritt im Abschnitt 0-5 auf. Mit s¢0 =3081,3 und s¢5 = –4909,3 liegt dort ein Vorzeichenwechselund deshalb ein Extremwert T0 vor.

Nach den Gln. (115) und (116) erhält man mit T50 = –82,480:

x0 = 0,6144

T0 = –100,58

Die zugehörige Schubspannung beträgt:

Die Schubspannung aus primärer Torsion lautet nachGl. (107) für den Abschnitt 0-5:

17 Übergang zur konventionellen Formulierung

Im Folgenden wird gezeigt, dass mit Hilfe der Matrix Dauch die Möglichkeit besteht, den Schwerpunkt S, die zu-gehörigen Hauptachsen, den Schubmittelpunkt M und diemaßgebenden Querschnittswerte zu bestimmen.

Die Glieder der nach Gl. (22) berechneten Matrix Dhaben folgende Bedeutung:

(119)

mit folgenden Integralen über die Querschnittsfläche:

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)A A y dAy yw w w= = Ú

A A z dAz zw w w= = Ú

A y dAyy = Ú 2

A A z y dAzy yz= = Ú

A z dAzz = Ú 2

A dAw w= Ú

A y dAy = Ú

A zdAz = Ú

A dA= Ú

D =

È

Î

ÍÍÍÍÍ

˘

˚

˙˙˙˙˙

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

z y

z zz zy z

y yz yy y

z y

w

w

w

w w w ww

t p kN m= ± ◊ = ±2 0151 04495

10 0 015 28925 2,,

, /

t02100 58

0 0156705= - = -,

,/kN m

(129)

Die Normierung (siehe z. B. [4]) ergibt folgende Formelnfür die Lage von S, M, für die Hauptachsen 1 und 2 gemäßBild 7 und für die maßgebenden Querschnittswerte:

(130)

(131)

Iy* = Azz – AzzS (132)

Iy*z* = Azy – AyzS (133)

Iz* = Ayy – AyyS (134)

(135)

Hauptträgheitsmomente:

(136)

Gleichungssystem für yM und zM:

(137)

Wölbordinate im Bezugspunkt 0:

(138)

Wölbträgheitsmoment:

Iw = Aw w0 + AzwyM – AywzM + Aww (139)

w w01= - + -A

A A z A yy M z M( )

I I

I Iy

z

A A z

A A yy y z

y z z

M

M

z S

y S

* * *

* * *

--

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

◊È

ÎÍ

˘

˚˙ =

- +-

È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

w w

w w

I

I

I I Iy z y z1

2 2 2

¸˝˛

=+

±* * * *

sin a

tan 22

a =-

* *

* *

I

I Iy z

y z

yA

ASy=

zAAS

z=

A dAww w= Ú 2

Bild 7. Querschnitt mit Lage des Schwerpunktes S, desSchubmittelpunktes M und der Hauptachsen 1 und 2Fig. 7. Cross-section with centroid S, shear centre M andprincipal axis 1 and 2

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 34



Gemäß Bild 7 hat der Drehwinkel zwischen den Achseny*, z* und den Hauptachsen 1, 2 die Größe a (gegen denUhrzeigersinn positiv).

Für den Querschnitt des Beispiels im vorigen Ab-schnitt erhält man:

A m

z m y m

I m I m

I m

I m

I m

y m z m

m I

S S

y y z

z

M M

== - == = -

== - = - ∞ ==

= - = -= -

* * *

*

0 08267

0 6079 0 2798

0 02616 0 006867

0 009872

0 3502 20 07 0 02867

0 007364

01908 0 6694

01160

2

4 4

4

14

24

02

,

, , ,

, , , ,

,

, ˆ , , , ,

,

, , ,

, ,

a

w ww = 0 001414 6, m

Literatur

[1] Wlassow, W. S.: Dünnwandige elastische Stäbe, Band 1,Berlin: Verlag für Bauwesen 1964.

[2] Roik, K., Carl, J., Lindner, J.: Biegetorsionsprobleme geraderdünnwandiger Stäbe, Berlin: Verlag Ernst & Sohn 1972.

[3] Bautabellen für Ingenieure, Kapitel 2A Mathematik, S. 2.29bis 2.32, 18. Auflage, Köln: Wolters Kluwer 2008.

[4] Eilering, S.: Zur Berechnung der Wölbfunktion und Tor-sionskennwerte dünnwandiger Querschnitte von prismatischenStäben. Bauingenieur 80 (2005), H. 3, S. 142–150.

Autor dieses Beitrages:o. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Helmut Rubin, Institut für Baustatik, TechnischeUniversität Wien, Karlsplatz 13, A – 1040 Wien

08_022-035_Rubin (1310) 22.12.2008 14:54 Uhr Seite 35

Documents

Berechnung dünnwandiger Stäbe mit offenem Querschnitt bei Beanspruchung durch Längskraft, zweiachsige Biegung und Torsion – ohne Bestimmung von Schwerpunkt, Schubmittelpunkt und