Rolf Kindmann

Henning Uphoff

BERECHNUNGEN VON QUERSCHNITTS-KENNWERTEN UND SPANNUNGEN NACH DER

ELASTIZITÄTSTHEORIE

Entwurf vom 05.06.2014

Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann

Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D-44801 Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/32-22575 Fax-Nr.: +49 (0)234/32-14646 E-Mail: stahlbau@ruhr-uni-bochum.de http://www.rub.de/stahlbau

2014 Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum

Alle Rechte, auch das der Vervielfältigung, des auszugsweisen Nachdrucks, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten.

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Inhaltsverzeichnis

1 Leistungsumfang 1

2 QSW-3Blech 2

3 QSW-I-geschweißt 4

4 QSW-Bleche 6

5 QSW-Offen und QS-3D-Grafik 12

6 QSW-FE ML 18

Literatur 23

1 Leistungsumfang

Das RUBSTAHL-Programmpaket beinhaltet eine Vielzahl an Programmen mit denen

für gängige Querschnitte des Stahlbaus Querschnittskennwerte ermittelt werden

können. Die ermittelten Querschnittskennwerte können verwendet werden um

Spannungen auf Grundlage der Elastizitätstheorie zu ermitteln. Einige der hier

vorgestellten Programme beinhalten die Möglichkeit direkt einen

Spannungsnachweis für den Querschnitt zu führen. Die hier vorgestellten Programme

sind im Einzelnen:

QSW-3Blech

QSW-I-geschweißt

QSW-Bleche

QSW-Offen

QSW-FE ML

Zweck der folgenden Darstellung ist es die Anwendung der RUBSTAHL-Programme

vorzustellen. Auf die ausführliche Darstellung der theoretischen Grundlagen wird

daher verzichtet. Erläuterungen und Herleitungen zur Berechnung von

Querschnittskennwerten können Kapitel 3 und zur Ermittlung von Spannungen nach

der Elastizitätstheorie können dem Buch „Elastische und plastische Querschnitts-

tragfähigkeit“ [2] von Rolf Kindmann und Jörg Frickel entnommen werden. Eine

ausführliche Darstellung der Berechnungen und Nachweisverfahren gemäß dem

Eurocode 3 [1] ist in Kapitel 2 bis 4 des Buches „Stahlbau Teil 1: Grundlagen“ [4]

von Rolf Kindmann und Ulrich Krüger zu finden.

Die RUBSTAHL-Programme zur Ermittlung von Querschnittskennwerten sind in

Visual Basic programmiert. Als Programoberfläche dient Microsoft Excel. Das

Programmpaket 2014 ist kompatibel mit den aktuellen Versionen von MS-Excel

einschließlich Excel 2013.

2 QSW-3Blech 2

2 QSW-3Blech

Das Programm QSW-3Blech ermöglicht eine schnelle Ermittlung der Querschnitts-

kennwerte beliebiger Drei- bzw. Zweiblechquerschnitte bestehend aus vertikalen

Stegen und horizontalen Gurten.

Die Eingabe des Querschnitts erfolgt gemäß dem in Stegmitte angeordneten Bezugs-

systems, siehe Bild 2.1. Das Programm ermittelt die Querschnittskennwerte im

Hauptsystem und gibt zusätzlich die Querschnittsordinaten sowohl im Bezugssystem

als auch im Hauptsystem aus. Des Weiteren werden die Querschnittskennwerte ry, rz

und r ausgegeben, die für eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung notwendig

sind.

Anhand des in Bild 2.1 dargestellten einfachsymmetrischen Dreiblechquerschnitts

soll das Programm erläutert werden. Die Eingabe des Querschnitts erfolgt durch die

Eingabe der Abmessungen sowie der y- und z-Ordinaten der Schwerpunkte der drei

Einzelbleche. Da das Bezugskoordinatensystem in Stegmitte liegt, ist das Stegblech

durch seine Abmessungen ausreichend definiert. Da es sich bei dem hier betrachteten

Beispiel um ein geschweißtes Profil handelt, kommt das Mittellinienmodell ohne

Überlappung zum Einsatz.

Bild 2.1 Einfachsymmetrischer Dreiblechquerschnitt

Nach Eingabe der Querschnittsabmessungen erfolgt die Berechnung der

Querschnittskennwerte automatisch. Die Querschnittswerte des in Bild 2.1 dar-

gestellten Dreiblechquerschnitts können Bild 2.2 entnommen werden.

Das Beispiel stammt aus Kapitel 2.7.3 Stahlbau - Teil 1 [4].

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Bild 2.2 QSW-3Blech: Berechnungsbeispiel

3 QSW-I-geschweißt 4

3 QSW-I-geschweißt

Mit dem Programm QSW-I-geschweißt lassen sich Querschnittskennwerte für

geschweißte doppeltsymmetrische I-Querschnitte bestimmen. Zur Ermittlung der

Querschnittskennwerte sind lediglich die Gesamthöhe des Querschnitts h, die

Flanschbreite des Querschnitts bf, die Stegdicke tw sowie die Flanschdicke tf

einzugeben. Das geschweißte Profil wird als Dreiblechquerschnitt idealisiert und es

kommt das Mittellinienmodell ohne Überlappung zur Anwendung, s. Bild 2.1.

Durch die Vorgabe der Streckgrenze der verwendeten Stahlgüte fy sowie des

bemessungsrelevanten Teilsicherheitsbeiwerts M können zusätzlich die Bemessungs-

werte der vollplastischen Grenzschnittgrößen des Querschnitts bestimmt werden. Es

ist dabei darauf zu achten, dass in QSW-I-geschweißt die Bezeichnungen nach DIN

EN 1993-1-1 [1] verwendet werden und diese zum Teil von den in der Literatur [3],

[4] verwendeten Bezeichnungen abweichen:

Bpl,,Rd = Mpl,,Rd

Tpl,t,Rd = Mpl,xs,Rd

Tpl,w,Rd = Mpl,xp,Rd

Anhand des in Bild 3.1 dargestellten Querschnitts wird das Programm nochmals

verdeutlicht. Bild 3.2 zeigt die Oberfläche des Programms QSW-I-geschweißt nach

erfolgter Eingabe des Beispiels.

Bild 3.1 Gleichartig geschweißtes I-Profil – analog HEB 300

Das hier gezeigte Beispiel stammt aus Kapitel 2.7.2 Stahlbau - Teil 1 [4], so dass dort

weitere Informationen zum Beispiel vorhanden sind.

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Bild 3.2 QSW-I-geschweißt: Berechnungsbeispiel

4 QSW-Bleche 6

4 QSW-Bleche

Das Programm QSW-Bleche ermöglicht die Ermittlung von Querschnittskennwerten

für beliebige dünnwandige Querschnitte. Durch die Vorgabe der Wölbordinaten

ermittelt das Programm ebenfalls den Schubmittelpunkt sowie den Torsions- und

Wölbwiderstand. Zusätzlich werden die Querschnittswerrte ry, rz und r ermittelt, die

für eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung notwendig sind.

Mit den ermittelten Querschnittskennwerten kann unter Vorgabe der Einwirkungen

der Normalspannungsverlauf über den Querschnitt ausgegeben werden. Des Weiteren

kann der Nachweis ausreichender plastischer Querschnittstragfähigkeit mit dem

Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [2] geführt werden.

Das Programm ist wie folgt aufgebaut:

Teil I:

Durch Vorgabe der Abmessungen sowie Anfangs- und Endkoordinaten der Einzel-

bleche in einem frei wählbaren Bezugssystem werden das auf den Schwerpunkt

bezogene Hauptsystem bestimmt und die Trägheitsmomente um die Hauptachsen

berechnet.

Teil II:

Es folgt die Eingabe der Wölbordinaten im gewählten Bezugssystem. Das Programm

transformiert die Wölbordinaten in das Hauptsystem und bestimmt den Schub-

mittelpunkt sowie den Torsions- und Wölbwiderstand des Querschnitts.

Normalspannungen nach der Elastizitätstheorie:

Unter Vorgabe der einwirkenden Schnittgrößen N, My, Mz und M werden die

Normalspannungen auf Grundlage der Elastizitätstheorie mit den ermittelten Quer-

schnittskennwerten berechnet

Nachweis plastischer Querschnittstragfähigkeit:

Neben dem Spannungsnachweis im Teil „Normalspannungen nach der Elastizitäts-

theorie“ kann der Nachweis ausreichender Querschnittstragfähigkeit nach der

Plastizitätstheorie mit dem TSV durchgeführt werden.

Bild 4.1 zeigt den Querschnitt des Trägers für eine Hängebahn sowie die

einwirkenden Belastungen in Feldmitte, die durch eine Einzelkabine hervorgerufen

werden. Weitere Informationen zum Beispiel sind Abschnitt 2.8.7 Kindmann/Krüger

[4] zu entnehmen. Der H-Bahn-Träger besteht aus einem einfachsymmetrischen,

offenen Querschnitt. Zur Ermittlung der Querschnittswerte wird das System mit

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QSW-Bleche untersucht. Zur Eingabe des Querschnitts werden die Abmessungen

sowie Koordinaten der Einzelbelche bezogen auf das gewählte Koordinatensystem

y z mit Ursprung im Punkt B eingegeben. Das Programm ermittelt die Ordinaten im

Hauptsystem sowie die Querschnittswerte im Hauptsystem.

Bild 4.1 Querschnitt eines H-Bahn-Trägers und Schnittgrößen

Durch Vorgabe der Wölbordiante im Bezugssystem kann die normierte Wölbordinate

berechnet werden. Es folgt die Ermittlung des Schubmittelpunktes, des Wölb-

widerstandes I sowie des Torsionsträgheitsmoments IT. Bild 4.2 zeigt die Ordinaten

der Wölbordinate ω jeweils am Anfangs- und Endpunkt der Einzelbleche.

Bild 4.2 Wölbordinate ω für den H-Bahn-Träger

4 QSW-Bleche 8

Mit den ermittelten Querschnittskennwerten werden die Normalspannungen x, die

zu den Schnittgrößen in Bild 4.1 korrespondieren ermittelt und abschließend ein

Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit geführt.

Bild 4.3 QSW-Bleche Teil I: Querschnittswerte im Hauptsystem

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Bild 4.4 QSW-Bleche Teil II: Normierte Wölbordinate, Schubmittelpunkt

4 QSW-Bleche 10

Bild 4.5 QSW-Bleche: Normalspannungen nach der Elastizitätstheorie

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Bild 4.6 QSW-Bleche: Nachweis plastischer Querschnittstragfähigkeit

5 QSW-Offen und QS-3D-Grafik 12

5 QSW-Offen und QS-3D-Grafik

Das RUBSTAHL-Programm QSW-Offen dient zur Ermittlung von Querschnitts-

kennwerten beliebiger dünnwandiger, offener Querschnitte. Zusätzlich werden die

Querschnittskennwerte ry, rz und r bestimmt, die für eine Berechnung nach Theorie

II. Ordnung benötigt werden.

Mit den ermittelten Querschnittskennwerten erfolgt eine Spannungsberechnung für

beliebige Schnittgrößenkombinationen. Neben der Berechnung der Spannungs-

ordinaten kann der Verlauf der Spannungen über den Querschnitt grafisch aus-

gegeben werden. Neben dem Spannungsnachweis auf Grundlage der Elastizitäts-

theorie kann der Nachweis ausreichender plastischer Querschnittstragfähigkeit mit

dem Teilschnittgrößenverfahren nach Kindmann/Frickel [2] geführt werden.

Die Ergebnisse können an das Programm QS-3D-Grafik übergeben werden. Dafür ist

es allerdings nötig, dass sich beide Programme im selben Verzeichnis befinden. Mit

dem Programm QS-3D-Grafik können die Spannungsverläufe dreidimensional

visualisiert werden.

Zur Eingabe von Systemen in QSW-Offen werden Kontenkoordinaten und Bleche

definiert. Es kann dabei ein beliebig gewähltes Koordinatensystem verwendet

werden. Das Programm bezieht alle Querschnittskennwerte automatisch auf das

Hauptachsensystem. Schnittgrößen sind hingegen bezüglich des Hauptsystems

einzugeben. Sie werden nicht automatisch transformiert.

Bild 5.1 U-Profil UPE 180 mit Belastung

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Bild 5.1 zeigt ein U-Profil UPE 180 mit vorgegebenem Belastungszustand. Zur

Berechnung in QSW-Offen wird das gewalzte U-Profil als Dreiblechquerschnitt

idealisiert und unter Verwendung des Mittellinienmodells mit Überlappung in QSW-

Offen eingegeben.

Bild 5.1 zeigt, dass die Querlast qz exzentrisch zum Schubmittelpunkt M des

Querschnitts angreift. Es kommt daher zu einer planmäßigen Torisonsbeanspruchung

des Querschnitts.

Bild 5.2 QSW-Offen: Querschnittseingabe

5 QSW-Offen und QS-3D-Grafik 14

Bild 5.3 QSW-Offen: Idealisiertes UPE 180

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Bild 5.4 QSW-Offen: Ausgabe der Querschnittskennwerte

5 QSW-Offen und QS-3D-Grafik 16

Bild 5.5 QSW-Offen: Spannungsberechnung

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Bild 5.6 QS-3D-Grafik: Visualisierung der Normalspannung

6 QSW-FE ML 18

6 QSW-FE ML

Das RUBSTAHL-Programm QSW-FE ML ist ein Programm zur Berechnung von

Querschnittskennwerten und Spannungsverteilungen dünnwandiger Querschnitte

nach der Elastizitätstheorie mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode. Zur Idealisierung

der dünnwandigen Querschnitte wird das Mittellinienmodell verwendet.

Bild 6.1 zeigt ein rechteckiges Hohlprofil 300∙200∙8 sowie die zu untersuchende

Belastungssituation. Zur Berechnung mit QSW-FE ML wird das Hohlprofil im

Mittellinienmodell mit Überlappung idealisiert. Die Bilder 6.2 bis 6.5 zeigen die

Berechnung mit QSW-FE ML.

Bild 6.1 Rechteckiges Hohlprofil 300∙200∙8 mit Belastung

Das Berechnungsbeispiel stammt aus Abschnitt 2.8.4 Kindmann/Krüger [4], dort sind

weitere Informationen zum vorliegenden Beispiel zu finden.

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Bild 6.2 QSW-FE ML: Start

6 QSW-FE ML 20

Bild 6.3 QSW-FE ML: Eingabe der Querschnittsgeometrie

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Bild 6.4 QSW-FE ML: Ausgabe der Querschnittswerte

6 QSW-FE ML 22

Bild 6.5 QSW-FE ML: Grafische Ausgabe der Vergleichsspannung v

Literatur

[1] DIN EN 1993-1-1(12/10), Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von

Stahlbauten – Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den

Hochbau; nationaler Anhang NA (12/10)

[2] Kindmann, R., Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit.

Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2002

[3] Kindmann, R., Kraus, M., Niebuhr, H. J.: STAHLBAU KOMPAKT

Bemessungshilfen, Profiltabellen, 3. Auflage. Verlag Stahleisen, Düsseldorf

2014

[4] Kindmann, R., Krüger, U.: Stahlbau - Teil 1: Grundlagen, 5. Auflage. Verlag

Ernst & Sohn, Berlin 2013