Bericht zur Prfifung 1993 fiber Pensionsversicherungsmathematik

Edgar Neuburger (Miinchen)

In der Zeit vom 27. bis 29. September 1993 ffihrte der Berichterstatter zusammen mit Herrn Dipl.-Math. Hartmut Engbroks ein Grundlagenseminar der DGVM fiber Pensionsversicherungs- mathematik durch, das vom IVS-lnstitut der Versicherungsmathematischen Sachversffindigen ffir Altersversorgung anerkannt wird. Im AnschluB an dieses Seminar bestand die M6glichkeit, vor dem IVS-Institut als Teil der Gesamtprfifung dieses Fachgebiet prfifen zu lassen. Die erfolgreiche Teil- nahme an dieser Teilprfifung stellt eine Prfifung im Sinne vonw 2 Ziff. 1 der Satzung der DGVM dar und bot daher den Teilnehmern die M6glichkeit, eine der Aufnahmebedingungen ffir die Mitglied- schaft in der DGVM zu erffillen. 26 von 62 Teilnehmern haben die Prfifung mit Erfolg bestanden. Den erfolgreichen Teilnehmern wird ihre Prfifungsurkunde anlfiBlich der Mitgliederversammlung der DGVM am 29. April 1994 in Marburg fiberreicht werden. Die Prfifung bestand aus einer dreistfindigen Klausur, in der vier Aufgaben zu 16sen waren. Auf- gaben und Musterl6sungen 1 und 2 stammen von Herrn Hartmut Engbroks, Aufgaben und Muster- 16sungen 3 und 4 vom Berichterstatter. Als Arbeitsmittel wurden die Mitschriften aus dem voraus- gegangenen Seminar zugelassen, in dem der zur L6sung notwendige Stoff ausnahmslos behandelt wurde. Insgesamt muBten mindestens 40 Punkte von 120 m6glichen Punkten erreicht werden.

IVS-Klausur Versicherungsmathematik 1993

1. Aufgabe (30 Punkte)

Entwicklung einer Ausscheideordnung ffir den Klub der Prfiflinge.

In den Klub der Prtiflinge k6nnen 30j~ihrige Personen aufgenommen werden. Jeweils am Ende eines Jahres der Mitgliedschaft kann die Prfifung abgelegt werden. Die Priifung kann bei Nichtbestehen bis zu zweimal wiederholt werden. Wer die Prfifung bestanden hat oder endgfiltig gescheitert ist, scheidet aus dem Klub der Prfiflinge aus. Ober den Klub ist folgendes bekannt: Der Klubbeitrag betr/igt jfihrlich 100 DM und ist j/ihrlich im voraus zu entrichten. Nach bestande- ner Prfifung ist ein letzter Klubbeitrag als ,,Ausstand" f'~illig. Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines Jahres unabhfingig vom Prfifungsergebnis aus dem Klub auszuscheiden, betrfigt jeweils 10%o. Die Durchfallquote ffir die jeweils erste Prfifung betrfigt 30%, ffir die erste Wiederholungsprfifung 20% und ffir die letzte Wiederholungsprfifung 5%.

1.t. Bestimmen Sie die Ausscheideordnung ffir den Klub der Prfiflinge. Hinweis: Das prtifungsunabh/ingige Ausscheiden ist als fiber das Jahr gleichverteilt anzuneh- men.

1.2. Berechnen Sie getrennt ffir den laufenden Beitrag und den ,,Ausstand" den Barwert (Zins 5%) der Klubbeitrfige ffir ein neues Mitglied im Zeitpunkt des Eintritts in den Klub.

1.3. Wie viele Prfifungsteilnehmer hat der Klub jfihrlich im Beharrungszustand, wenn jfihrlich 100 Personen dem Klub neu beitreten, und wie viele erfolgreiche Kandidaten erhalten j/ihrlich ihre Prfifungsurkunde?

L6sung :

1.1. Ausscheideursachen (abhfingige Gr6Ben) ql aus sonstigen Grfinden

ql (30) =.01 ql (31) =.01 ql (32) = .01

417

q2 nach bestandener Klausur q2(30) =.7 * (1 - .01)= .693 q2(31) =.8 * (1 - .01)= .792 q2 (32) = .95 * (1 - .01) = .9405

q3 nach drittem Fehlversuch q3 (30) = 0 q3(31)=0 q3 (32) = 1 -0 .1 - .9405 =.0495

Ausscheideordnung 1(30) = 100000 1(31) = 1 oo 000, (1 - . 6 9 3 - .01) = 29700 1(32) = 1(31),(1 - . 7 9 2 - . 0 1 ) = 5880.6 1 (33) = 1 (32), (1 - .9405- .01 - .0495) = 0

1.2. Barwert der Klubbeitriige v = 1/1.05 (1(30) + 1 (31)*v + l(32)*v*v)/1 (30) = (100000 + 28 285.71 + 5333.88)/100000 = 133.62 Barwert des Ausstandes (1(30)*.99,.7, v + 1(31)* .99* .8*v*v + 1(32)* .99, .95, v , v * v)/100 000 = (66000+21 335.51 +4777.63)/100000 = 92.11

1.3. Anzahl der Priiflinge im Beharrungszustand 100/1(30)*(.99,1(30) +.99,1(31) +.99,1(32)) =.001 *(99000+29403 + 5821.794) = 134 Anzahl der Priifungsurkunden 100/1(30)*(.99.1(30)*.7 +.99.1(31)*.8 +.99.1(32)*.95) = .001 * (69 300 + 23 522.4 + 5530.7043) = 98

2. Aufgabe (30 Punkte)

Erstellung eines versicherungsmathematischen Gutachtens

Die Pensionszusage der Firma Sorgenfrei GmbH sieht die Zahlung von Alters- und Invalidenrenten in H6he von monatlich 300 DM vor. Bei Inanspruchnahme der Altersrente vor dem Alter 65 wird die Rente fiir jedes Jahr der vorzeitigen Inanspruchnahme w~ihrend der gesamten Laufzeit um 5% ihres Betrages gekiirzt. Die Firma hat zum 31.12. 1993 drei Mitarbeiter mit Pensionsanwartschaften nach der beschriebe- nen Pensionszusage. Artur Abel, geb. am 17.03. 1949, trat am 1.12. 1970 in die Firma ein und erhielt gleichzeitig die Zusage. Bj6rn Bebel, geb. am 3.07. 1956 trat am 2.07. 1987 in die Firma ein; die Zusage wurde ihm am 1.08. 1993 erteilt. Carl Cebel, geb. am 19.12. 1945 wechselte am 1.12. 1985 vonder Schwester- firma Schadenfroh AG; die dort f'tir ihn bestehende unverfallbare Anwartschaft wurde zusammen mit einem Verm6genswert in H6he von 4000 DM auf die Firma Sorgenfrei GmbH iibertragen und durch Erteilung der obigen Pensionszusage als fortgeffihrt angesehen. Zum 31.12. 1992 wurde der Teilwert der Verpflichtungen fiir die Herren Abel und Cebel in der Steuerbilanz ausgewiesen.

2.1, Formulieren Sie ein versicherungsmathematisches Gutachten fiir die Firma Sorgenfrei GmbH zum 31.12. 1993 unter Verwendung der beiliegenden Richttafelausziige (SchluBalter 62) fiir steuerliche Zwecke. Berechnen Sie die zum 31.12. 1993 zul/issigen Riickstellungen und die Zufiihrung fiir das Wirtschaftsjahr 1993.

2.2. Die Firma m6chte dariiber hinaus die um den Zinsanteil verminderte Zufiihrung fiir Zwecke der Kostenrechnung von Ihnen erfahren.

2.3. Ermitteln Sie einen Sch/itzwert fiir die Zufiihrung des Jahres 1994 (unter Angabe des Sch/itzver- fahrens).

418

L6sung :

2.1. Teilwertberechnung Allgemeine Formel

mVx= 12 ' 300*[Ax+m--max {Ax-- K; 0} *a]+ . . . . t/ax~]

mit m _ ( 1 2 ) ~ a i A __ l g , F ' t a / I ~ a , ( 1 2 ) ~ x + m - - ~ x + m " ~ ~ 6 2 t ~ x + m 4 6 2

Altersbestimmung zum 31.12. 1993 Abel x = 3 0 m = 1 5 Bebel x=30 m = 7 Cebel x = 3 9 m = 9

Auswertung der allgemeinen Formel 31.12. 1993 Abel 12.300.[4.097-.15.1430.79/6781.44.10.112

-(1.834-.15.1430.79/17149.9.10.112)* 10.075/14.121] = 9212 Bebel 12.300.[2.677-.15.1430.79/11222.1.10.112

-(1.834-.15.1430.79/17149.9.10.112).12.588/14.121] = 3462 Cebel K =4000/(12.300)

12.300.[4.799-.15.1430.79/5556.42.10.112 - (2.979 - . 15 * 1430.79/9920.27 * 10.112 - K) * 8.863/12.045] = 11 502

31.12. 1992 Abel 12.300.[3.886-.15.1430.79/7235.65.10.112

- ( 1 . 8 3 4 - .15* 1430.79/17149.9.10.112)* 10.443/14.121] = 8364 Bebel 0 (Zusage in 1993) Cebel 12.300. [4.552- .15 * 1430.79/5943.19.10.112

- (2.979 - . 15 * 1430.79/9920.27 * 10.112 - K ) * 9.286/12.045] = 10 496

Formulierung des Gutachtens

Versicherungsmathematisches Gutachten fiber Pensionsverpflichtungen der Firma Sorgenfrei GmbH zum 31.12. 1993 ffir Zwecke der Ertragsteuer

1. Auftrag Die Firma Sorgenfrei GmbH hat mich beauftragt, die steuerlich zul/issige Rfickstellung ffir ihre Pensionsverpflichtungen zum 31.12. 1993 sowie deren Ver/inderung im Vergleich zur Rfickstellung zum 31.12. 1992 (Vorstichtag) zu ermitteln.

2. Bestehende Pensionsverpflichtungen und Ausgangsdaten Zum Stichtag bestehen Pensionsverpflichtungen gegenfiber den Herren

Abel, geb. 17.03. 1949, Eintritt 1.12. 1970 Bebel, geb. 3.07. 1956, Eintritt 2.07. 1987 Cebel, geb. 19.12. 1945, Eintritt 1.12. 1985

Die Zusage gegenfiber Herrn Bebel wurde im Jahre 1993 erteilt. Fiir Herrn Cebel wurde bei seinem Eintritt ein Verm6genswert von 4000 DM ffir die Ubernahme einer Pensionsverpflichtung fibertragen. Die Pensionszusagen sehen die Zahlung von Alters- und Invalidenrenten in H6he von monatlich 300 DM vor. Bei Inanspruchnahme der Altersrente vor dem Alter 65 wird die Rente ffir jedes Jahr des vorzeitigen Rentenbeginns wfihrend der gesamten Laufzeit um 5% ihres Betrages gekiirzt.

3. Berechnungsgrunds/itze und Rechnungsgrundlagen Es wird der Teilwert der Pensionsverpfliehtungen naeh w EStG in Verbindung mit Ab- schnitt 41 der EStR ermittelt. Als Rechnungsgrundlagen dienen die Richttafeln von Dr. Klaus Heubeck mit einem Rech- nungszins von 6%, Schlul3alter 62.

419

4. Ergebnisse Die nach den vorstehenden Grunds/itzen durchgefiihrten Berechnungen haben zu folgenden Ergebnissen gefiihrt:

Name Teilwert Teilwert Zufiihrung 31.12. 1992 31.12. 1993 1993

Abel 8 364 9 212 848 Bebel 0 3 462 3 462 Cebel 10 496 11 502 1006

insgesamt 18 860 24176 5 316

5. Testat Hiermit versichere ich, das Gutachten nach bestem Wissen und Gewissen erstellt zu haben. Datum, Unterschrift

2.2. Der Zinsanteil der Zufiihrung kann in hinreichender N~herung ermittelt werden nach der Formel

Vorjahresriickstellung* .06 oder

(Vorjahresriickstellung zzgl. Pr~imie)*.06 Damit ergibt sich

18 860..06 = 1132 bzw,

(18860+ 1363)*.06 = 1213 2.3. Als Sch/itzwert fiir die Pensionsriickstellung des Folgejahres kommt in Betracht

a) Vorj ahresriickstellung* 1.08 oder

b) (Vorjahresriickstellung zzgl. Pr/imie)* 1.06 oder

c) Vorjahresdickstellung* (m + 1)/m* 1.03 (bei Cebel wegen des iibernommenen Verm6genswertes m= 18)

Danach ergibt sich insgesamt:

Riickstellung ZufiJhrung

a) 26110 1934 b) 27071 2895 c) 26700 2524

3. Aufgabe (30 Punkte)

Ein Unternehmen gew/ihrt seinen Mitarbeitern folgende Zusage: als Leistungen ab Erreichen der Altersgrenze als Aktiver ist eine lebensl/inglich laufende, in t gleichen Raten vorschiissig zu zahlende Jahresrente in H6he von R DM sowie eine Anwartschaft auf Ehegattenrente vom Bruchteil w dieser Rente vorgesehen. Bei vorzeitiger Invalidit/it wird ab Ende des Jahres des Eintritts der Invalidit~it eine lebensl~inglich laufende, in t gleichen Raten vorschiissig zu zahlende Invalidenrente mit Anwart- schaft auf Ehegattenrente vom Bruchteil w dieser Rente in der H6he gew~ihrt, wie sie sich durch Verrentung des Teilwerts zum Ende des Jahres errechnet. Bei vorzeitigem Tod als Aktiver wird, falls ein Ehegatte vorhanden ist, ab Ende des Jahres eine lebensl~inglich laufende, in t gleichen Raten vorschiissig zu zahlende Ehegattenrente gew~ihrt, wie sie sich durch Verrentung des Teilwerts zum Ende des Jahres errechnet; falls kein Ehegatte vorhanden ist, wird keine Leistung f'~illig.

1. Berechnen Sie die Teilwerte mVx, m =0, 1, ..., n, und die j~ihrlich gleichbleibende und vorschiissig zahlbare fiktive Pr/imie Px dieser Zusage (x: Eintrittsalter; z: Pensionsalter; n: = z - x )

2. Berechnen Sie die Barwerte ~B~, m = 0, 1 . . . . , n, dieser Zusage 3. Berechnen Sie fiir diese Zusage die Sparpr~imien mP~, die Risikopr/imie ~.p~i ffir das Invalidit/its-

risiko und die Risikopr~imie mP~ a ffir das Risiko des Todes als Aktiver (m = 0, 1 . . . . . n - 1)

420

4. Im i-ten Jahr scheidet ein Berechtigter mit unverfallbarem Anspruch aus. Geben Sie die Teilwerte fiir die Folgejahre bis zum Erreichen der Altersgrenze an.

5. Im j-ten Jahr wird ein Berechtigter invalide. Welche Invalidenrente erhglt er? 6. Im k-ten Jahr stirbt ein Berechtigter. Welche Rente erh/ilt sein Ehegatte?

LSsung.

Diese Aufgabe 1/iBt sich sehr elegant und schnell durch einen guten Einfal116sen, jedoch durchaus auch im Rahmen des im Seminar ausfiihrlich behandelten Modells der ,,Richttafeln" yon Klaus Heubeck. Hier seien beide L6sungsmethoden dargestellt:

A) 1. Methode

Die Richttafeln kennen fiir Aktive zwei Ausscheideursachen: Invalidit/it und Tod als Aktiver. Dieses Modell wird ersetzt durch ein Modell mit drei Ausscheideursachen:

Ausscheideursache zugeh6rige Wahrscheinlichkeit

1. Invalidit/it 2. Tod als verheirateter Aktiver 3. Tod als unverheirateter Aktiver

qx ") = i~ q(2) _ ,aaa h

x - -~ lx U x + l / 2 (3) a a q~ = q , (1 -h ,+ t /2 )

In diesem Modell handelt es sich bei der beschriebenen Zusage um eine Cantelli-Zusage beziiglich der 1. und 2. Ursache, w~ihrend bei Ausscheiden wegen der 3. Ursache die Leistung 0 ffillig wird. Nach dem im Seminar behandelten Theorem von Cantelli ergibt sich die Pr/imie und Reserve in der gewohnten Weise, wobei allerdings als Ausscheideursachen lediglich die 3. Ausscheideursache zu beriicksichtigen ist. Da beziiglich dieser Ausscheideursache keine Leistungen f'allig werden, sind schlieglich nur die Leistungen ab Altersgrenze anzusetzen. Es folgt:

1. mB'~ = R v"-m n_mp'x+m (a~)+ W ma~), m = 0 . . . . . n mit

kp',= 1 f. k=O

k--1

= F[ P'~+j f. k > 0 j = 0

und P'x+j 1__o(3) __ | aa ( l_hx+ j j=O, =* "ax+j -- ~ --qx+i + 1/2), . . . , k - - 1

Ffir die Pr~mie folgt:

mit

Ffir die Reserve folgt:

mit

_ _ v n , {n w tt}aW) P~ = ~ = R .p~(a~ +

a'~ al

n i

a" = Y vk kP'x j=O

mVx = mW, - - P, a'x+m,

n - m 1

a i + m = E v k k p ' + m k=O

m = 0 , 1 , . . . , n

f. m = 0 , 1 . . . . . n - 1

= 0 f . m = n

2. Natiirlich stellt mB', nicht den Barwert ,,B, der Zusage dar. Ihn erhalten wir in gewohnter Weise gem~i8

mB~ = mV~ + P~ axa+m, m = 0 , 1 . . . . . n mit a~, aus den ,,Richttafeln".

421

3. Spar- und Risikopr/imien ergeben sich unmittelbar, wie im Seminar behandelt, zu

raps = v = + 1Vx - ~V~ : Sparpriimie

mpRi = pRtl)=.tl).t~§ (V m+lV, - v m+ 1V~) = 0 : Risikopr~imie fiir das Invalidit/itsrisiko

vRt2)_,~t2) (Vm+lV__Vm+lV0=0 : Risikopr/imie fiir das Risiko mix - - "ix + m

des Aktiventodes als Verheirateter a ( 3 ) V - - - - ~ l aa mP~ 13)='t~+m'1(3) wf f t -Vm+lV~)=-v- t ,+mm+t ,x - -qx+m(1-h~+m+l/2) m+lVx �9

Risikopriimie fiir das Risiko des Aktiventodes als Unverheirateter (_< 0 !)

Damit erhalten wir als Risikoprfimie fiir das Risiko des Aktiventodes:

mPRq = mPxR(2) + mPR(3) = - - V qa~-m (1 - - hx + m + 1/2)m + 1Vx, m = 0 . . . . . n - 1

4. Sei m' die Zeit vom Eintritt in das Unternehmen bis zum Zeitpunkt des Ausscheidens, und sei n' die Zeit vom Eintritt in das Unternehmen bis zur Vollendung des Pensionsalters (max. 65). Dann gilt fiir die Teilwerte fiir die unverfallbare Anwartschaft in den Folgejahren =V~:

m' mVU = ~ - m B x , m > m '

mit mB~ nach 2.

5. Die j/ihrliche Invalidenrente R ~, zahlbar ab Ende des j-ten Jahres in t Raten pro Jahr, stellt sich auf

R i = jVx

(')ai, + j + w (')aT+ j

6. Die jiihrliche Ehegattenrente R w, zahlbar ab Ende des k-ten Jahres in t Raten pro Jahr, stellt sich auf

Jx R w ~__ _ _ (t)

a y

mit y: Alter des Ehegatten zum Ende des k-ten Jahres.

mit

mit

und

und

Es folgt:

B) 2. Methode im Rahmen des Modells der ,,Richttafeln"

Die versicherungsmathematischen Bilanzgleichungen lauten in diesem Fall:

mVx + Px = mL~ + vP~+m m+ 1Vx, m = 0 , 1 . . . . . n--1 aa q mLx = ix+m =Li~ + qx+m mLx

mLix =v m§

m L q = V h x + m + 1/2 m + 1V~

a Px+m=l--ix+m--qx+maa

m = 0 , 1, . . . , n - - 1

mV~ + Pz = v (ix+ m + q~x~- m hx+m+ 1/2) m+ 1Vx + V (1 --ix+ m -- q~-m) =+ tVx = V Px+m m+ 1Vx, m = 0 , 1, . . . , n--1

a a 1 . . . mit p ' x + m = l - - q x + m ( - h x + m + l / 2 ) , m = 0 , 1, n - 1

Wir erhalten also formal die versicherungsmathematischen Bilanzgleichungen

mVx + Px = mLx + v px+m m+ xVx, m = 0 , 1 . . . . . n--1

422

mit der MaBgabe mLx=0 fiir m < n

und Px+m = P'~+m, m = 0, 1 . . . . . n--1

Die zugeh6rigen Gleichungen ffir die ,,Barwerte" lauten dann

mB'x = v P'x . . . . 1B'x, m = 0 , 1 . . . . . n - 1 woraus folgt:

m B ' x = R v n m n m p ' x + m ( a z + W a z w ) , m = 0 , 1 . . . . . n

in Obereinstimmung mit dem Ergebnis der 1. Methode. Hieraus errechnet sich Pr~imie und Reserve gem/iB

oB'x P = - -

a' x

und mVx = mBx -- Px a'~+m, m = 0, 1 . . . . . n

n - m - 1

mit a'~+m= ~ Vkkp'x+m' f . m = 0 , 1, n - I k = O " ' ' '

2. Wie 1. Methode

3.

= 0 f . m = n

mP~ und m p R i wie bei der 1. Methode

Rq _ aa , V , ) mPx I - - q x + m ( m t x q - - V m +

= qaa+m (V hx+m+ 1/2 m + IVx - - v m + 1Vx)

= --v q~+m (1 -hx+m+l/2) m+lVx

in Obereinstimmung mit dem Ergebnis nach der 1. Methode. Der Rest der Aufgabe ergibt sich wie bei der 1. Methode.

4. Aufgabe (30 Punkte)

Im Rahmen eines Einstellungsgespr/ichs eines leitenden Angestellten wird vereinbart, dab er einen Teil seiner Gesamtvergiitung in Form einer betrieblichen Altersversorgung erh/ilt, die bei vorzei- tigem Versorgungsfall zum einen das Unternehmen nicht zu sehr belasten, zum anderen dem Berechtigten einen angemessenen Teil seines Gehaltsverzichts zuriickgew/ihren soil. Die Vertrags- partner einigen sich auf eine Zusage, die an Leistungen eine lebensl/inglich laufende, in t gleichen Raten vorschiissig zu zahlende Altersrente von j/ihrlich R DM einschlieBlich einer Anwartschaft auf Ehegattenrente vom Bruchteil w dieser Rente ab Erreichen der Altersgrenze vorsieht, gleichgfiltig, ob die Altersgrenze als Aktiver oder Invalider erreicht wird. Bei vorzeitigem Tod als Aktiver wird, gleichgiiltig, ob verheiratet oder nicht, die Summe der bis zum Versorgungsfall aufgelaufenen fiktiven Pr~imien unverzinst ausbezahlt, bei vorzeitiger Invalidit/it 50% dieser Summe.

1. Berechnen Sie die j/ihrlich gleichbleibende und vorschiissig zahlbare fiktive Jahrespr5mie Px durch Gegeniiberstellung von Leistungsbarwert und Pr/imienbarwert bei Eintritt des Berechtig- ten in das Unternehmen (x: Eintrittsalter)

2. Geben Sie die Barwerte mBx, m = 0 . . . . . n, dieser Zusage an (z: Pensionsalter; n := z - x ) 3. Geben Sie die Teilwerte mVx, m = 0 . . . . . n, dieser Zusage an 4. Stellen Sie fiir diese Zusage das versicherungsmathematische Bilanzgleichungssystem in der

Form (*) PV = L '+ FV

auf, wobei V den Reservevektor (Teilwertvektor), L' den explizit definierten Leistungsvektor, P die Koeffizientenmatrix des versicherungsmathematischen Bilanzgleichungssystems und F eine geeignet definierte Matrix darstellen.

423

5. Berechnen Sie aus Gleichung (*) den Reservefaktor V, indem Sie P als Produkt zweier Dreiecks- matrizen darstellen.

6. Stellen Sie den Barwertvektor B fiir diese Zusage als Funktion des Reservevektors V dar, also gemfiB

B = f(V).

L6sung."

1. Fiir den Leistungsbarwert bei Eintritt des Berechtigten in das Unternehmen gilt: n - I

_ n a i i a

= :oB; n--1

+ P~ E v k kP] (0,5 i,+k + ql~k) v ln ( k + 1) k = 0

x. �9

=: A x <

= oB; + P~ A,

FiJr den Prfimienbarwert bei Eintritt des Berechtigten in das Unternehmen gilt:

P a oB x - Px ax

Es folgt in Anwendung des ~quivalenzprinzips: <

Px a~ = oB', + P, A,

oB'~ =:~ Px-- - - <

a __ mx a x I-.-.,-i ] a �9 i a

2 . m B x = v n - m | ~ k P x + m l x + m + k n _ m _ k _ l / 2 P x + m + k + l / 2 + n _ m P x + m n B �9 I_ k = O x

= : mB'~ n - m - 1

+ Px 2 v k a ' aa 1/2 kp,+~(0,51,+~+k + q,+m+k) V (re+k+ I) k = O

n - m - 1

m Y'. Vk+I/2kp~+m(0,5i~+m+k+q~+m+k)+ k = O

=."A~+m <

= ) - mBx = mBx+ P~ (mAx+m +Ax+m)

n--m--I ~'~ V k + 1/2 a " aa kPx+m (0,5 lx+m+k +qx+m+k) (k+ 1)

k = O �9 r

= " A x + m

m a mVx - mBx - Px ax+m

<

= mB'x - P, (axa+m -- rn Ax+ m -- Ax+m)

4. Es gilt PV = L' + FV mit

mit mL, " . . . . �9 --V Ix+m n_m_ 1/2Px+m+ i/2 nB x f. m < n

= , B ~ f. m = n

424

und

5.

mit

Es folgt:

mi t

P' := P - F =

mit

.B'~ = ,B . ,

t2vl / 12vl/.q . iv F V = " = " 0 "

v

q~ = 0,5 i~ + q~a

(P - F) V = L'

1 - v p ~ , , v 1/2q',

) _ o 0 1 -- v p ~ + . _ l n vl/2 q ; + . _ l

1 0

' oC - v p ~ , f , 1 - v p ~ + , 0

. lfx 0 1 - v p ~ + . _ l .C 1

,.Ix : 1 - (m 4- 1) v 1/2 q'x+m

= 0

f. m < n

f. m = n

P ' V = L',

wobei P' die Koeff iz ientenmatr ix des vers icherungsmathemat i schen Bilanzgleichungssystems mit speziellem Prf imienbewer tungsvektor

~ darste | l t , so dab das im Seminar vorgestellte Verfahren angewendet werden kann : es existieren

Po

Matr izen Po und A' mit P = P o A '

1 - Vpx~ t ( 0 0 1 '-vpi+~

425

und

mit

A' = ~ 0

a I =

0

oa')

\ . a ' , /

11 definiert durch die Gleichung

Mit

Poa '= f.

n - m

' = V kPx+m m+kfx ma x ~ k a k=O

n - m - 1

= E VkkP~*m - k=O

n--m--1

Z vk kP~+m ( m + k + 1) v 1/2 q 'x+m+k k=O

< D a --ax+ m - 113 Ax+ m -- Ax+ m

im Sinne der Definitionen in 2.

Die L6sung ergibt sich dann wie folgt:

1. Schritt: aus Po B = L' ergibt sich

g --- P~ L' ; i n x

mit n - m

m~ x ~ ~ . V k a r kPx+m m + k L x k=O

n - m - I k a v n - m - k " i = V kPx+m l x + m + k n - m - k - 1 / 2 P x + m + k + l / 2 nBx

k=O

n - m a V n - m P x + m nBx

= mB'~

gem~il3 Definition in 2.

2. Schritt: aus A ' V = B ergibt sich

V=A,-l~=

n

426

ZU

o~ oB'~ P x -

oa'x a < a x -- A x

in f Jbe re ins t immung mit 1, und

mVx = mBx - - Px ma'x <

= m B ' x - Px (a~ +m - - m Ax +m -- Ax +m)

in I Jbe re ins t immung mit 3.

6. Zwischen dem Reservevektor V und dem Barwer tvektor

bes teht der klassische Z u s a m m e n h a n g

mit (in unserem Fall)

komponen tenweise

A =

AV = B

) an+ 1 1 0

axa+n- 1 0 1

mBx = mV~ + P, a~+m

nVx

Hieraus folgt ffir m < n: <

mBx = mB'x -- Px (a]+ m - - m Ax+m -- Ax+m) + Px ax+m <

=mB'x 4- Px (m Ax+ m + Ax+m)

in U b e re i n s t i mmung mit 2.

f. m < n

f. m = n

427