Bericht zur Prfifung im M/irz 1996 fiber Pensionsversicherungsmathematik (Grundwissen)

Edgar Neuburger (M/inchen)

Am 9. M/irz 1996 ffihrte die DAV gem~iB w 15 Abs. 1 ihrer Prfifungsordnung die diesjfihrige Prfifung fiber das Grundwissen in Pensionsversicherungsmathematik durch. Dieser Prfifung unterzogen sich 46 Teilnehmer, von denen 37 Teilnehmer die Prfifung bestanden haben. Die Prfifung bestand aus einer 1 V~stfindigen Klausur, in der zwei Aufgaben zu 16sen waren. Gem/iB den Prfifungsanforderungen umfaBte der Prfifungsstoff zum einen elementare Wahrscheinlichkeits- rechnung, zum anderen Grundlagen der Pensionsversicherungsmathematik. Aufgabe 1 stammt vom Berichterstatter, Aufgabe 2 yon Herrn Dipl.-Math. Hartmut Engbroks. Insgesamt muBten minde- stens 32 Punkte von 80 m6glichen Punkten erreicht werden. Bei beiden Aufgaben wurde yon einigen Teilnehmern die H6chstzahl von 40 Punkten erreicht.

Aufgabe ! (40 Punkte)

a) Aus einer Personengruppe, die aus ffinf Deutschen, vier Engl/indern und drei Franzosen besteht, werden rein zuf'fillig vier Personen ausgew~ihlt (Ziehen ohne Zurficklegen !). Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit daffir, daB i) unter den ausgew/ihlten Personen kein Franzose ist? ii) unter den ausgew/ihlten Personen alle drei Nationalit/iten vertreten sind?

b) In einer Urne sind 1000 weiBe und 1000 schwarze Kugeln. Es wird 123mal ohne Zurficklegen gezogen. Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit, dab unter den gezogenen Kugeln mindestens 62 weiBe sind?

c) Aus einem ungeordneten Haufen von 10 Paar Schuhen werden zufiillig 8 Schuhe entnommen. Wieviele verschiedene Stichproben (d.h. Ergebnisse dieses ZufaUsexperiments) sind m6glich? (Die Reihenfolge, in der die 8 Schuhe entnommen werden, soll unberficksichtigt bleiben.) Sei A k das Ereignis ,,die Stichprobe enth~ilt genau k zusammengeh6rige Paare". Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von A k (k = 0, 1, 2, 3, 4) unter der Voraussetzung, dab es sich um ein Laplaceexperiment handelt.

L6sung :

I a) Alle Ziehungsergebnisse sind gleich wahrscheinlich ~ Laplace-Experiment

i) P (.kein Franzose") = I~1 = 55 ~ 0,25

ii) Es sind genau dann alle drei Nationen vertreten, wenn eines der folgenden Ereignisse eintritt:

E 1 = {2 Deutsche, 1 Engl/inder, 1 Franzose}

E 2 = {1 Deutscher, 2 Engl~inder, 1 Franzose} E a = {1 Deutscher. 1 Engl/inder, 2 Franzosen}

mit

90

869

P (, ,alle drei Nat ionen vertreten") I Ex I + I E21 + I E31 120 + 90 + 60 6 - = - - ~ 0 , 5 5 If~l 495 11

1 b) Sei X := Anzahl der gezogenen weiflen Kugeln, dann ist

Y := 123 - X = Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln.

Da sich in der Urne genauso viele weiBe wie schwarze Kugeln befinden, gilt fiir jedes n ~ N

P(Ziehen von n weiBen Kugeln) = P(Ziehen von n schwarzen Kugeln),

X und Y sind also identisch verteilt. Damit erh/ilt man

P{X > 62} = P{Y > 62} = P { 1 2 3 - X > 62} = P{X < 61}. 1 W e g e n 2 . P { X > _ 6 2 } - - P { X > 6 2 } + P { X < 6 1 } = I folgt P { X > 6 2 } =

Alternativ, wenn die Gleichverteilung nicht unmittelbar gesehen wird:

1 X > 6 2 1 = 1~3 (123"~ - k=,,~ \ k j

N u n i s t a b e r ( l ~ 3 ) = 123! ( 123 "~ d h k ! ( 1 2 3 - k ) ! \ 1 2 3 - k J ' " "

. . . . o ) es rolg,

123"~ 2. Z = 2 " 1 X > 6 2 1 I f l l = , < : o k k ) = k:6~

Z ~lf i l 1 =:" P{X > 62} = k=62 - - - -

- Ifi l I~1 2 1 c) Alle Ziehungsergebnisse sind gleich wahrscheinlich ::~ Laplace-Experiment

'~1 = ( 2 0 ) = 1 2 5 9 7 0 (= Anzahl aller ohne Wiederholung ziehbaren 8er-Kombinationen a u s

k ~ einer Menge mit 20 Elementen).

Fiir k = 0, 1, 2, 3, 4 tritt das Ereignis A k dann ein, wenn genau k zusammengeh6rige Paare gezogen werden.

D.h., wenn A k eintritt, dann werden k Paare yon den 10 Paaren gezogen und die restlichen 8 - 2 k Schuhe werden aus den verbleibenden 1 0 - k Paaren gezogen, wobei von jedem dieser Paare h6chstens ein Schuh entnommen wird (eben der linke oder der rechte).

( 10 ) ( 1 0 - k'~ 2s_zk Es gilt also: I A~ I = \8 - 2 k] ~ , also

' T ' links oder rechts (k Paare von 10 Paaren) ( 8 - 2 k Schuhe aus den restlichen 1 0 - k Paaren)

/'10"~ f l 0 - k ' % 8 2k

It'll Die Auswertung ergibt:

(,oO)08o) , P(Ao) = ~ 0,0915

inl

870

p(A2 , ( IO) (84) 24 ,~ 0,4001

It~l

P(A,) (10) ( ; ) 2~ ~ 0,0017

Aufgabe 2 (40 Punkte)

Die Firma Varteb GmbH m6chte einem Mitarbeiter eine Pensionszusage erteilen. Der Mitarbeiter vollendet am 13.08.1996 sein 50. Lebensjahr und feiert am 1. Oktober 1996 sein 25. Dienstjubil/ium. Er soil bei Invalidit~it oder vonder Vollendung seines 65. Lebensjahres an eine monatliche Rente in H6he yon 1.000 DM erhalten.

i) BerechnenSiedenTeilwertderinAussichtgenommenenPensionszusagegem~iBw Abs. 3EStG zum 31.12.1996 unter Zuhilfenahme der beigefiigten Tabellenwerte. Geben Sie bitte die verwen- dete Formel an.

ii) Ihr Ansprechpartner bei der Firma Varteb GmbH erz/ihlt Ihnen, dab er bei einem anderen Ver- sicherungsmathematiker einen etwas h6heren Riickstellungswert genannt bekommen hat, ob- wohl er in seiner Bewertung noch eine Wartezeit von 20 Jahren beriicksichtigt hat. Was antworten Sie ihm? Haben Sie einen Tip, wie man die Rfickstellung noch weiter erh6hen k6nnte, ohne dab die Firma mehr Leistungen zu erbringen hat?

L6sung.

i) Der Mitarbeiter wurde am 13.8.1946 geboren. Das versicherungstechnische Alter (x + m) am Bewertungsstichtag (31.12. 1996) betr/igt 50 Jahre. Der Eintritt erfolgte am 1.10. 1971. Das ver- sicherungstechnische Alter am Beginn des Eintrittsjahres (1.1. 1971) betr/igt 24 Jahre; fiir den Teilwert gem/iB w EStG ist von einem Eintrittsalter (x) von 30 Jahren auszugehen.

Die Formel fiJr den Teilwert zum 31.12.1996 lautet

( (12)~aiA __(12)~aiA a x + m ~ ~ . 12" 1.000 DM ~x+m ~x aa65 x7 ]

( 8,690 '] . = 4,661-1,644-14,329,] 12-1.000DM

3,6640 12 1000 D M 43.%8 o M

ii) Im Vergleich zu i) verringert sich durch die Berficksichtigung der Wartezeit von 20 Jahren das Abzugsglied in der Teilwertformel, da die aus Sicht des Finanzierungsbeginns ermittelte Jahres- pr~imie aufgrund des durch die Wartezeit bedingten geringeren Leistungsumfangs abnimmt. Bei unver~indertem ersten Term der Formel, dem Barwert der Leistungen am Bewertungsstichtag, ergibt sich demnach ein h6herer Teilwert als bei i). Dieser Effekt wfirde noch verst~irkt, wenn die Wartezeit auf die Zeit bis zum Alter am Bewer- tungsstichtag erh6ht wiirde; der Barwert der kiinftigen Jahrespr~imien wiirde sich weiter vermin- dem, w~ihrend der Barwert der Leistungen am Bewertungsstichtag unbeeinfluBt bliebe. Der Tip lautet also, die vertraglich festgelegte Wartezeit entsprechend zu verlhngem.

871