Bericht zur Prfifung im Oktober 2001 fiber Bausparmathematik (Spezialwissen)

Hans Laux ( K o r n w e s t h e i m )

Wegen der im Verhgltnis zu den anderen Disziplinen der Aktuarwissenschaften wenigen Priiflinge ist bislang davon abgesehen worden, filoer die schriftlichen Spezialprfifungen in Bausparmathematik zu beriehten. Vom Jahre 2006 ab ist eine Ver6ffentliehung der betref- fenden Aufgaben mit Musterl6sungen wie bei den sonstigen F£ehern vorgesehen. Als Beispiel ffir die in der Vergangenheit gestellten Anforderungen wird nachfolgend fiber die Prfifung im Spezialwissen der Bausparmathematik vom Oktober 2001 berichtet. Die Klausur umfas- ste vier Aufgaben, fiir die maximal die jeweils angegebene Zahl von Punkten, insgesamt 90 Punkte, erzielbar waren. Die Klausur war auf 180 Minuten ausgelegt und galt als bestan- den, wenn 40 Punkte erreieht wurden. Hilfsmittel waren auger einem Tasehenreehner nieht zugelassen.

LSsung:

Mit den Zinsfaktoren

1. Aufgabe (25 Punkte)

Nach den ABB eines Bauspartarifs mit 2% Guthaben- und 4,75% Darlehenszinsen j~hrlich gilt - bei Bewertungsstichtagen an den Quartalsenden - die Formel ffir die Bewertungszahl BZ = HSS : BS und die Mindestbewertungszahl M B Z = 7,2. Der Anspruch auf das Bauspardarlehen (BD) bel£uft sich auf die Differenz zwischen Bausparsumme (BS) und Bausparguthaben (BG) bei Zuteitung (BD = B S - B G ) und der viertelj£hrlich nachschfissig entrichtete Tilgungsbeitrag auf 1,8% der BS. Eine Darlehensgebfihr existiert nicht. Ein Ratensparer mit dem postnumerando gezahlten Quartalssparbeitrag von 1,5% der BS beendet seine Sparzahlungen mit dem Ends des Quartals, in dem sein BG erstmals das Mindestsparguthaben (MG) des Tarifs von 40% der BS fiberschreitet; er wird drei Monate nach dem Quartalsende, an dem erstmals BZ > M B Z gilt, zugeteilt und erhglt sofort die volle BS ausgezahlt. Berechnen Sie nach den fibliehen bausparmathematischen Formeln

die gesamte Sparzeit s(1) + s(2) = s,

das Endguthaben BG(s) bei Zuteilung,

das Anfangsdarlehen BD(O),

die Tilgungszeit t,

die Sparerleistung SL,

die Kassenleistung KL und

das individuelle Sparer-Kassen-Leistungsverhgltnis (iSKLV).

und

r = 1 + i = 1,005 (1.1)

q = 1 + j = 1,011875 (1.2)

769

sowie fiir B S - 1 (1.3)

ergibt sich s(1) aus der Formel fiir das B G nach k Quartalen ununterbrochener Sparzah- lungen

r k - 1 B G ( k ) = A . - - (1.4)

r - 1

und derjenigen - nicht auf volle Quartale lautenden - Sparzeit kl , fiir die exakt

B G ( k l ) = 0, 4 (1.5)

gilt, mi th in aus der Gleichung

1 , 0 0 5 k l - 1 O, 015. -- O, 4. (1.6)

0,005

Durch Umformung erh/ilt man

und

1,005 k~ = 1, 133333 (1.7)

kl -- ln(1, 133333) _ 25, 0951. (1.8) ln(1,O05)

Mithin betr/igt

und

BG(26) = 0,015-

s ( 1 ) = 2 6 (1.9)

1,00526 - 1 - - 3. (1, 138460 - 1) = O, 41538. (1.10)

O, 005

Analog wird zungchst diejenige Zeit k2 gesucht, in der das B G nur durch Guthabenzinsen auf

B a ( s ( 1 ) + k2) = 0, 41538.1,005 k2 (1.11)

anwgchst und die B Z hier gleich der H S S , d.h. der Summe G S der B G an den durch- laufenen Quartalsenden [ohne den letzten Saldo BG(s (1 ) + k2)] - die M B Z erreicht, somit die Gleichung gilt

as(26 + k2)

Uber die Umformung auf

ergibt sich

Mit

BG(26 + k2) - 26- 0, 015 O, 41538 - 1,005 ~ - O, 39

0,005 0,005

1,005 k2 = 1, 025567

k 2 - ln(1,02557) - 5 , 0 6 2 3 . ln(1,005)

s(2)=6 stellt sich die gesamte Sparzeit auf

= 7, 2 = M B Z .

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

s = 2 6 + 6 = 3 2 (1.16)

770

Quarta le , das E n d g u t h a b e n bei Zute i lung auf

BG(32) = 0, 41538 • 1.0056 = 0, 42800

und die am Bewer tungss t ich tag vor der Zute i lung erreichte B Z auf

0,41538 • 1,0056 - 0, 39 B Z ( 3 1 ) = GS(32) -

0,005

Das Anfangsdar lehen

BD(O) = 1 - 0, 42800 -- 0, 57200

liefert den Zwischenwert

0 ,018 Q = = 1,606067,

0,018 - 0 , 0 1 1 8 7 5 . 0 , 5 7 2 0 0

= 7,600.

die Ti lgungszei t

und die Summe der BD

t = ln(1,606067) _ 40,13439 ln(1,011875)

DS(40 ,13439) = 4 0 , 1 3 4 3 9 . 0 , 0 1 8 - 0,57200 = 12,667. 0,011875

Somit s ind die Sparer le is tung

SL = GS(32) = 7, 600

und die Kassenle is tung K L = DS(40, 13439) = 12,667

berei ts errechnet . Das i S K L V ist der Quot ien t aus den be iden Werten . Es be t rgg t

i S K L V - 7, 600 = 0,600 oder 60, 0%. 12,667

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.2o)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

771

2. Aufgabe (35 Punkte)

Ein Bausparkol lekt iv aus 2%/4,5%-Vert r / igen yon Ra tenspare rn , die sgmtlict~ eine Sparzeit von 30 Qua r t a l en absolvieren, ist durch die Bes t immungsgr5Ben

Ansp ruch auf das Bauspa rda r l ehen BD = B S - BG,

Darlehensgebi ihr DG = 0, 01 • BD und

Ti lgnngszei t t der BD yon 36 Quar t a l en

gekennzeichnet . Der Bes t and bef indet sich bei daue rnd gle ichhohem Neugeschgft im (er- wei ter ten) s ta t i schen B e h a r r u n g s z u s t a n d und setzt sich nach der B S des Neuzugangs aus folgenden Ante i len zusammen:

• 50% Dar lehensnehmer mi t e inem vier te l jghr l ichen Sparbe i t rag A(D) yon 1,5% der BS, die am Ende der Sparzeit zugetei l t werden und sofort die volle B S in Ansp ruch nehmen,

• 20% Dar lehensverz ichter mi t dem Sparbe i t rag A(V) = 2,4% und

• 30% Kiindiger mi t dem Sparbe i t r ag A(K) = 0,6%, die alle ihr BG im Ze i tpunk t 30 zuri ickgezahlt e rhal ten .

Stellen Sie nach den iiblichen Formeln der B a u s p a r m a t h e m a t i k ffir nachschiissige Quar ta ls - zah lungen die Kassengleichung auf und be rechnen Sie

• Anlagegrad,

• Zutei lungsgrad,

• Anspargrad ,

• Ki indigungsquote ,

• D ~r lehensverzichtsquot e,

• Rf ickzahlungsquote II,

• Spar intensi t / i t I,

• Ti lgungsintensi t / i t I,

• iSKLV fiir die da r l ehens nehm enden Bauspare r und

• kollektives SKLV (kSKLV).

LSsung:

Die Ausgangspa rame te r sind

B S = 1, (2.1)

r = 1,005 und (2.2)

q = 1, 01125. (2.3)

Die Dar l ehensnehmer erreichen nach 30 Qua r t a l en ein B a u s p a r g u t h a b e n von

BG(D, 30) = 0,015 - 1,00530 - 1 = 0,015 • 32, 28002 = 0, 48420 (2.4) 0,005

und s teuern zum Kollekt iv ffir BS = 1 die G u t h a b e n s u m m e

GS(D, 30) O, 48420 - 30. O, 015 = 6, 8400 (2.5) 0, 005

bei. En t sp rechend ergibt sich fiir die Dar lehensverz ichter

BG(V, 30) = 0 , 0 2 4 . 3 2 , 28002 = 0, 77472 (2.6)

und GS(V, 30) = O, 77472 - 30- O, 024 = 10, 9440 (2.7)

0 ,005

sowie f/Jr die Kiindiger

BG(K, 30) = O, 006 .32 , 28002 = O, 19368 (2.8)

772

und G S ( K , 30) = 0, 19368 - 30- 0, 006 = 2, 7360. (2.9)

0,005

Folglich betr//gt der Gesamtbestand an B G bei der Bausparkasse im statischen Beharrungs- zustand

GS(ges) = 0, 5 . 6 , 8400 + 0, 2 . 10 , 9440 + 0, 3 . 2 , 7360 = 6, 4296 (2.10)

Mit dem Bruttoanfangs-Bauspardarlehen der Darlehensnehmer von

B D ( O ) = (1 - O, 48420)- 1, O1 = O, 52096

und dem Tilgungsbeitrag

q - 1 . qt 0,01125 B = B D ( O ) . ~ = O, 52096. O, 4959~

(2.11)

letzterer abgeleitet aus der Grundgleichung der geometrischen Tilgung

q~ - 1 (2.13) D ( 0 ) . q ~ = B . q 1 '

ergibt sich die Darlehenssumme des Kollektivs, unmit te lbar auf die Darlehensnehmer bezo- g e n , ZLI

DS(ges) = 0, 5 . 3 6 - 0, 017679 - 0, 52096 = 5, 1326. (2.14) 0,01125

Weitere Bestands- und UmsatzgrSgen, die fiir die Berechnung der Kennzahlen benStigt werden, sind

B S N V - 30,

der Bestand an B S der nicht zugeteilten B V ,

B S Z V = 0 , 5 . 3 6 = 18,

die B S der zugeteilten B V ,

B S V - O, 2,

die B S der Darlehensverzichter, B S K = O, 3,

die B S der Kiindiger, S P B K = 0, 3 • 30 • 0,006 = 0,054,

die Sparbeitr//ge der Kiindiger,

SP(ges) = 30. (0, 5 . 0 , 0 1 5 + 0, 2 . 0 , 024 + 0, 3 .0 ,006) = 0,423,

die Sparbeitrgge insgesamt,

G Z = i • GS(ges) = 0,005 - 6, 4296 = 0, 032148,

die Guthabenzinsen,

Z Z M = SP(ges) + G Z ÷ O, 5 . B D ( O ) = 0, 715628

die (ira Folgenden allerdings nicht benStigten) Zuflfisse zur Zuteilungsmasse.

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

773

• 1,49592 = 0,017679, (2.12)

Nunmehr ergeben sich zu DS(ges) _ 5, 1326

GS(ges) 6, 4296 -- 0,7983 (2.23)

oder 79,83% der Anlagegrad,

B S Z V 0, 5 . 3 6 - - - - 0, 3750

BS(ges) 30 + 18

oder 37,50% der Zuteilungsgrad,

GS(ges) 6, 4296 . . . . 0, 2143 B S N V 30

oder 21,43% der Anspargrad der nicht zugeteilten Vertrgge,

B S K O, 3 - - 0 , 01

B S N V 30

oder 1,00% die Kiindigungsquote,

B S V O, 2 - - - -- 0, 0067 B S N V 30

oder 0,67% die Darlehensverzichtsquote,

O, 3. BG(K, 30) _ O, 0581

SP(ges) O, 423

oder 13,74% die Riickzahlungsquote II,

SP(ges) _ 0,423 - 0, 0141

B S N V 30

oder 1,41% die Sparintensit/it I pro Quartal,

O, 5. BD(O) 0, 26048

DS(ges) 5, 1326

oder 5,08% die Tilgungsintensit/ i t I pro Quartal,

O, 5. US(D, 30) _ 3, 4200

DS(ges) 5, 1326

oder 66,63% das i S K L V ,

oder 125,26% das k S K L V .

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

- - - - 0,1374 (2.28)

(2.29)

- o, 0508 (2.30)

- - -- O, 6663 (2.31)

GS(ges) 6, 4296 - 1, 2526

DS(ges) 5, 1326 (2.32)

3. A u f g a b e (15 P u n k t e )

Bei einem Bauspartarif mit 5%igen Darlehenszinsen j/ihrlich, Monatsmodell der Darlehens- verzinsung, 2% Darlehensgebiihr, festem Darlehensanspruch von 50% der B S und 6%0 der B S monatl ichem Tilgungsbeitrag B mSchte die Bausparkasse auch Bauspardarlehen (BD) in H6he von netto a- 50% der B S mit a = 1, 2; 1, 4; 1, 6; 1, 8 und 2 gew/ihren, die Kassenlei- s tung K L aber dabei nicht ver/~ndern.

774

a) Die Nullstelle welcher Funktion miif~te bestimmt werden, wenn die zu den neuen Tarifvarianten gehSrenden GrSflen Tilgungsbeitrag B(a) und Titgungszeit t(a) exakt berechnet werden sollen?

b) Oeben Sie Ngherungswerte ffir B(1, 5) und t(1, 5) sowie B(2) und t(2) an, die sich ergeben, wenn jeweils ein Linearverlauf der Darlehenskurven unterstellt wird.

L S s u n g :

Zu a)

Es ist fiir den Ausgangstarif

und mit

#

j = 0,0041667, (3.1)

q = 1,0041667, (3.2)

D(0) = 0,51 fiir B S = I , (3.3)

B = 0,006 (3.4)

_ B _ 0,006 = 1, 54838 (3.5) B j . D(0) 0 , 0 0 6 - 0,0041667.0,51 in Q ln(1, 54838)

t - lnq - ln(1,0041667) -- 105,148 Monate. (3.6)

Mithin betr@t fiir den originalen Bauspartarif die Kassenleistung

K L -- t . B - D(O) _ 105,148- 0, 006 - 0, 51 = 29, 0129. (3.7) q - 1 0, 0041667

Fiir ein Bruttoanfangs-Bauspardarlehen von a -D(0) , das mit dem monatlichen Tilgungs- beitrag B(a) in t(a) Monaten getilgt wird, ergibt sich analog

K L ( a ) = t (a) . B(a) - a. D(O) (3.8) q - 1

Darin gilt bei vorgegebenem, in den ABB zu nennendem B(a) wie in (3.5) bis (3.7)

B(a) (3.9) Q(a) = B(a) - j . ~- D(0)

und lnQ(a) t(a) =

l n q

Ubereinstimmende Kassenleistungen bedeutet

(3.10)

KL = K L ( a ) , (3.11)

d.h. lnQ(a) . B(a) - a. D(O)

it~L(a) = l n q = KL. (3.12) q - 1

F ( B ( a ) ) = K L . ( q - 1) + a . D ( o ) - l n Q ( a ) . B ( a ) lnq

Daraus ergibt sich

(3.13)

775

als Bestimmungsgleichung fiir B(a), deren Nullstelle eine volle Kompat ibi l i tg t der Varianten a mit der Originalversion gew£hrleistet.

Zu b)

Die Annahme eines Linearverlaufs der Darlehenskurve ffihrt zu der Ann~herung

K L ' = 0,5. D(O). t. (3.14)

Angewendet auf den Originaltarif erh£1t man

KL'(1) = 0, 5 . 0 , 51. 105,148 = 26, 8127. (3.15)

Fiir a = 1, 5 bzw. a = 2 soll dann gelten

KL ' (1 , 5) = O, 5. O, 765- t(1, 5) = 26, 8127 (3.16)

bzw. KLr(2) = 0 , 5 . 1 , 0 2 . t(2) = 26, 8127 (3.17)

oder .nach der einzigen Unbekannten t aufgel6st,

bzw.

Nach (2.12) gilt

d.h.

bzw.

t(1, 5) = 70, 0985 (3.18)

t(2) = 52, 5738. (3.19)

q t .qt(~). (3.20) B(a) = a . D ( 0 ) , q~(.) 1

B(1,5) = 0,765- 0,0041667

0,33840 .1,33840 = 0,012607 (3.21)

0, 0041667 B(2) = 1, 02. • 1, 24434 = 0, 021642 (3.22)

0, 24434

Rundet man im Falle a = 1,5 auf 0,0125, so ergibt sich mit

0,0125 Q(1,5) - = 1,34229 (3.23)

O, 0125 - 0,0041667- O, 765

t '(1, 5) ln(Q(1, 5)) _ 70, 7970 und (3.24) in q

KL"(1 , 5) = 70, 7970- 0, 0125 - 0,765 = 28, 7909 (3.25) 0, 041667

Im Falle a = 2 folgt aus der Rundung yon B auf 0,0215

Q(2) --

t '(2) -

/(L/I(2) =

O, 0215 = 1, 24638 (3.26)

0, 0215 - 0, 0041667.1, 02

ln(1,24638) -- 52, 8679 und (3.27)

ln(1,0041667)

52, 8679- 0, 0125 - 1, 02 = 28, 5141. (3.28) 0, 041667

776

4. Aufgabe (15 Punkte) a) Entwickeln Sie die bausparmathematische Formel ffir die Guthabensumme GS im

dynamischen Beharrungszustand eines Bestandes von Einmalsparern mit den Para- metern E, r, p, s und t unter der Annahme der H6henlage pt fiir die gerade zugeteilte (und ausgezahlte) Gruppe.

b) Welche Formel fiir GS gilt im Fall p = r?

c) Welchen Wert nimmt die Dartehenssumme des dynamischen Beharrungszustands

DS = p - q p .

fiir p : q an?

LSsung: Zu a) Da das Endguthaben mit der HShenlage pt als gerade abgeflossen gilt, belguft sich die Summe der Bausparguthaben S G ( E ) im dynamischen Beharrungszustand auf

S G ( E ) = E . [pt-ll rs-1 -t- pt+e .rS-2 j_ . . . _}_pt+S-1 r l nt_pt+s.rO]

= E . p t+s. [pO.TO-I-p-1 .p l -} - . . . - } -p s+2-rS-2-}-p-S4-1 .I "s-l] (4.1)

und mit der yon 0 bis s - 1 laufenden Summe

k

Zu b)

Aus der zweiten Zeile yon (4.1) ist direkt ablesbar

(~) s - i r S _ p S - - E • pt+S . _ _

~ - - 1 r - p P

(4 .2)

S G ( E ; p = r ) = E .pt+*.s. (4.a)

Zu c)

Die fib DS angegebene Formel ist nur fiir p ¢ q giiltig. D S ( p = q) kann man jedoch bestimmen, indem man die Summation der Darlehensstgnde betrachtet und darin p = q setzt. Das Bauspardarlehen k Quartale nach Auszahlung D(k) hat die HShenlage pt-k . Also sind yon 0 bis t - 1 zu addieren die B D

qt k . D ( k ) = qt-k . D ( O ) . q k _ q t - k .B . qk _ 1 B q - 1 D(O).qt __.q_ l [q t_ l _ q t k + l] (4.4)

Das ergibt wegen

D(O).q t = B . q t _ l q - 1 (4.5)

qt-k . D(k) - B t q~- l q . (q-k _ q-t) . (4.6)

B[q lj D S ( v = q ) = q - ~ " q. q T f t . (4.7)

Die Addition liefert dann

777