Bestimmung einer geschlossenen konvexen Flltclle dureh die Summe ihrer Hauptkriimmungsradien.

Von

Wilhelm S~iss in Groifswald.

1. Von Christoffel stammt der Satz, dab sich eine Eifl~che (geschlossene konvexe Fl~ohe) dutch die Summe ihxer Hauptkriimmungsradien bestimmen l~iBt 1). Diese Sllmme s muB dabei wegen der Geschlossenheit der Fl~che der Bedingung geniigen, dab bei Integration fiber die gesamte Einheitskugel

(1) ~ s ( ~ ) d o = o

ist. Im iibrigen geniigt es, s (~) als abteilungsweise stetige Funktion an- zusetzen, die iiberall positiv ist. An singul~ren Stellen daft sie auch unendlich werden. Bei den in der Literatur vorliegenden Beweisen i) werden allerdings yon der eben genannten abweichende Voraussetzungen gemacht, die an die Funktion s st~irkere Anforderungen stel]en. Indessen soll es gerade die Auf- gabe dieser Axbeit sein, zu zeigen, da~ der Satz in der bier ausgesprochenen F.orm rlchtig ist. Dabei wird der bier gegebene Beweis auch insofern von Interesse sein, als er im Gedankengang die vollst~indige Parallele des Beweises ist, den ich vor kurzem s) fiir den mit dem obigen verwandten, abet woh] viel tiefer liegenden Satz von Minkowski gegeben habe, wonach eine Eifl~iche dutch ihre GauBsche K~fimmung bestlmmt wird. Die Hauptschritte des Beweises werden wie dort darin bestehen, daI3 ich zuniichst die Behauptung mit einem Variationsproblem in Verbindung bringe, dab dann durch ein- ~achste Betrachtungen im l~aum der $tiitdunktionen yon Eifliichen der Existenzbeweis fiir die eindeutige LSsung des Variationsproblems erbracht wird und schliel~lich gezeigt wird, dab der LSsung auch eine Eifliiche mit der verlangten Eigenschaft entspricht. Die Orundtatsachen aus der Theorie des

1) Ges. math. Abh. I, S. 162ff. 2) AuBer dem Beweis yon Christoffel nenne ich die Beweke yon Hurwitz (]~cole

normale (3) 19 (1902)) und Hilbert (Integrslgleichungen, S. 251). Ein auf die Hilbertsche Theorie gegrfindeter anderer Beweis ftir eine allgemeinere Tatsache findet sich in einer im TShoku Math. 3ourn. 193s erscheinenden Arbeit.

s) Sitzungsber. d. Preuss. Akad. d. Wias. 1931, XXXL Die hier fast wSrtlich i~bernommenen Stellen aus dieser Arbeit sind dutch Hinwei~ suf dieBe FuBnote kenntlich gemacht.

144 W. S ~ .

benutzten Funktionenraumes werde ich hier nicht noch einmal entwickeln, sondern verweise ihretwegen auf die genannte Arbeit. Im iibrigen liegen die VerhMtnisse in diesem Raum formal-logiseh so sehr denen des iiblichen parallel, dab der Leser, auch ohne a. a. O. naehzusehen, dem Gedankengang Io|gen kann. - - Die gleichen Methoden gestatten eine nicht ganz triviale Ausdehnung des Ergebnisses auf mehrdimensionale Eifl~iehen, worauf ich am Schlul3 hinweise.

2. Zuniichst sei das Variationsproblem genannt, das sieh dem Christoffel- schen Satz zuordnen l~iflt. Entwiekelt man das Volumen eines dutch Linear- kombination aus anderen EikSrpern gebildeten EikSrpers in der Form

g (, k) l

so sind die kier auftretenden Koeffizienten V die gemischten Volumina Minkowskis:

V,~z = Y (p,, pk, 7~3. Sind p, 7 und k die Stfitzfunktionen zweier EikSrper bzw. der Radius der Einheitskugel um den Ureprung, so ist insbesondere

(2a) V (p, p, p) = r (p) dae Volumen yon (io),

(2b) 3 V (p, p, k) = 0 (p)

die Oberfl~he yon (p) und es gilt die allgemeinere Darstellung4):

'I (2) V (p, 7, k) = g q , (p) d o = [q, 8].

Die Integration iat dabei stem fiber clio ge~ante Eiaheitskugel za erstrecken. s (p) ist die Summe der Haulotkr|immungaradiell der Flgche (io). An der zuletzt genannten Stelle babe ich augerdem bewiesen, dal~

(8) 3V(~, q, k) > 1/O(~)O(q) ist und daft hierin dab Oleichheitszeiehen dann und nur dann gill werm ~e Fl~chen (p) und (q) einander ~hnlieh und zueinander ~hnlich gelegen sind. Beechrilaken wit tins auf solche Eifl~ehen (q*), deren Oberfl~che den Wert 1 hat,

(4) 0 (C) = 3 V (g*, q*, ~) = 1, so ist im Fslic des Oleiehheitazeichens in (3)

p = - - ~ q*.

Wean ee also tiberkaupt eine Eiflgche (io) mit der vorgegebenen F -n~ ion 8 (10) all Summe dar Hauptla4tmmnngsradien gibt, so kann sie folgendermaBen his auf .Translationen eindeutig bestimmt werdenS): Das Integral

4) W. Sf~, Zu Minkowtkis Theorie yon Volumen und Oberflgche. Math. Annalea I01, imbesoadere (~) und (4).

Bestimmung konvexer Fl~chen durch Hauptkriimmungsradien. 145

[q, s] ~ V (p, q, k) in (2) erreicht fiir die bis auI Translationen eindeutig bestimmte Fl~che (%) sein Minimum, wenn nut Fliichen zur Konkurrenz zugelassen werden, die der Nebenbedingung (4) geniigen. Dann ist die ge- suchte Fl~che bis auf Translationen durch die Sti~tzfunktion To = [go, s] qo eindeutig bestimmt. Es soll nun zun~ichst gezeigt werden, dal~ das Variations- problem (V) [q, s] = ~ ~ q s (~) d o = Minimum bei der NebenbedJngung (4}

stets eine bis auf Translationen eindeutig bestimmte LSsung besitzt. 3. Von allen zu betrachtenden Eifl~ichen (q) fordern wit zun~chst, daIl

ihr Sehwerpunkt in den Ursprung f~llt. Die Allgemeinheit der Untersuchung wird dadurch wegen der Form des Grundintegrals in (V) nach (1) nieht ein- geschrankt. Im Raum Q der so bestimmten nirgends negativen Stiitzfunl~- tionen q untersuchen wir nun die Teilmenge R yon Stiitzfun~ionen r, welche augerdem noch den folgenden Bedingungen geniigen:

A. Die Oberfl~ehe yon (r) sei mindestens 1,

(5) o (r) = 3 V (r, r, k) ~ 1.

B. Ist e der Radius der Kugel yon der Oberfl~che 1, so sei

(6) It, s] < [e, s] = a.

Mil3t man den Abstand zweier Punkte T, q im Raume der Stiitzfunlctionen in bekannter Weise durch Max IT ~ q I, so folgt aus B., dab die Menge R

in Q beschrKnkt ist. Dazu miissen wir nut zeigenS), da$ nile r in R gleich- m~l]ig beschdinkt sind, als Funktionen auf der Einheitslmgel betraehtet. Ztm~iehst ist naeh Voraussetzung rn = Min s ($) > 0. Fiir eine beliebige der

l~unktionen r sei ~' eine Stelle maximalen Wertes yon r ($) auf ~. Ist ferner ~" eine Stelle auf ~ mit

wobei g eine feste Zahl zwischen 0 and ~z/2 ist, so wird

r ($") ~ r ($') cos ~ ~ r ($') sin g > 0, also 1st nach (6)

6a -= e~sdo > r($')sing.lsdo ~ r(~')msingq~ ,

d.h. 6a r (~') < m �9 sm g' w . z . b . w . a ) .

Nach Blasehkes Auswahlsatz a) li~llt sich also aus jeder unendlichen Menge yon Fnnlctionen aus R stets eine gegen eine Stiitzf~ml(tion gleiehmal3ig kon- vergente Folge ausw~hlen. Die Menge R ist also kompakt.

s) Kreis und Kugel, S. 62. ]gathsmatlsoh~ Annal~n. 108. i0

146 W. Sass.

4. Wir [~haupten welter, die Menge R sei abgeschlossen und konvez3). Ist r, eine gegen r gleiehmiigig konvergente Folge aus R, so ist yon einem gewissen Index i an fiir ein beliebig kleines vorgegebenes e > 0

r i <~ r - : - ' ~,

nach (5) also l < ~ O ( r , ) = 3 1 ' ( r , , r , , k ) < 0 ( r ) - + - 6 V ( r , ~ , k ) + 3 V ( e , r , k ) ,

woraus fur t. -, 0 das Bestehen yon A. fiir r folgt. Da for gentigend grol~e i auch *I [r, 8] -'< Jr,, s] + 8 s g o

hit, gilt aueh B. fltr r. R ist also abgesehlossen and naeh (3)/n s~ch kompaktS). Die Wttrzel am der Obertliiehe eines Eik6rpem einer linearen Sehar r, = { l - - 0 r e + tr i ( 0 < t < 1) ist bekanntlieh eine nseh oben konvexe Funktion

(7) fO(r , ) ~ {I - - 0 }/o(,o) + t 1 /b-~) ,

wobei dM Oleiehheitszeiehen wieder ~ Manliehe und zueinander ~thnlieh gelegene Flichen (r0) und (rt) kennzeiehnend ist4). Biernaeh ist A. und wegen der IAnearit~t yon [r, s] in r ist B. auch flit die Zwischenfimlrtionen rt erfiillt, R int also auch konvex. Ftir die Randfunktionen von R gilt in mindestens einer der Ungleichungen (5) oder (6) das Gleichheit~zeiehen, flit die zu R geh6rige Kugel (e) gelten sogar die Gleiehheitszeiehen in beiden.

5. Innerhalb der Menge R ist [r, s] ein tiberall stetiges und nach den lilt rund J gema~hten Vor&u~etzungen nsch unten beschriink~s Funktiona]. In der in sich kompakten Menge R erreieht also It, s] ~ mindestens eine Funktion r e ihr Minimum, so dal3 flir alle r aus R

{8) [~, ,] :> [r,, d = b i~t. Aullerdem k t fttr jede Minimalf-nlrtion r o

(9) 0 (ro) = ],

cl~ aonst ftlr eine gentlgend rathe bei I gelegene Konstante o < i die in R ge- legene Ftmktion cr einen kleineren Weft flit dae Grtmdintegral lieferge. Wire r e nicht eindeutig bestimmt, etwa

['0, *] ffi [ r , , d = b, m wiitt offenlmr auch

It,, 8] = b.

b mtlBte d m aueh 0 (rJ = 18ein, in (7) rotate also alas Oleieb_heitszeiehen geltea, w u naeh der obigen Annahme tiber die Lage der Sohwerpunkte die Ident i~ t yon r, und r, gut Folge hat. /)as Variati~obIem (V) bes/tzt a~so

R m d me~ (3) u~d (5) auch in q eine ein~e ~sung re, d/e wegen (9) der 2 V ~ m b a i / a ~ W (4) ~ .

Bestimmung konvexer Fl~ichen durch Hauptkriimmungsradien. 147

6. Wir zeigen jetzt, dab die Eifl~che mit der Sttitzfunktion

po = [ro, s] ro

die Funktion s (~) zur Summe der Hauptkriimmungsradien besitzt. Dabe i s t nach (2) zu zeigen, dab fiir beliebige Stiitzfunktionen q

(10) g(po, q,k) = [q,s] = --E qsdo

ist. Im Raum Q der Stiitzfunktionen q betrachten wir nun die FunlrtioneJ

in den beiden ,,Ebenen" (11) [q, s] = [r o, s] == b und (12) V (q,r,,k) =- qs(ro)d~ = -E"

Naeh 5 liegt auger r o kein Punkt yon R in (11). Wegen (2b) trod (9) liegl r o aueh in (12). Igaeh (3) ist Ierner far jedes r aus R wegen A.

V (r, ro, k) }> V ~ >~- ~ ,

worin die Gleichheitszeichen nut far r = r o gelten. Die beiden Ebenen (i1 mid (12) sind also Stiitzebenen an die abgeschlossene konvexe Menge R in Q die mit R nut den einen Punkt r o gemein haben. Es soll jetzt gezeig$ wet'den dal~ die Ebenen (11) und (12) iiberhaupt miteinander identisch shad, indem n~tmlich aul~er in einer Punktmenge auf der Einheitskugel vom Integral Nul] * (to) = s (~)/3 b ist.

W~ire dies nieht der Fall, so miil~te es auf ~ ehae Stelle $* geben, an del s (r o (~*)) > s (~*)/3 b ist. Da, wie zuvor gezeigt,

I *'~) ( (~o)dO ro T~-d~ = roS

ist, so liei~e sieh fiber der der Stelle ~* auf (to) entsprechenden Stelle r* wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der Funkt ion s (~) eine so kleine Kegelkappe anbrhagen, dab fiir das yon dieser Kegelkappe iiberdeckte Gebiet auf (to)

f I *( ')d~ Ca) s (to) d o > -~ -

ist. Den dutch Auisetzen der Kappe auf (to) entstandenen KappenkSrper verldelnem wit iihnlich zu sich selbst, his seine Stiitzfunktion ~ wieder (11) befriedigt. Dadurch wird erreicht, dal~

1 1 l I - , ( ~ ) d o 1 (b) V(~,ro, k) = ~ ~S(~o) d O > ~ r - ~ - =

ist, da na~h (a) far den KappenkSrper vor seiner Verklehaerung auch das GrSl]erzeiehen in (b) gilt. Wegen der Invarianz der gemisehten Volumina gegentiber Translationen der EikSrper und (1) inder t sieh an diesen Ver-

lO*

148 W. Sfiss. Bestimmung konvexer Fl/ichen usw.

h~.Itnissen nichts, wenn wir den Schwerpunkt yon (~) dutch eine Translation in den Ursprung bringen. Nachtr~glich wollen wit den KappenkSrper in dieser Lage wieder mJt (~) bezeichnen.

Far geniigend kleine Wer te t > 0 ist nun nach (b) und (9)

O ( ( l - - t ) r o + t?) = (1 - - 02 0 (r0) + 6 (1 - - t ) tV(;, r o, k) + t 2 0 (~') > 1.

Fiir ~ ist also die Bedingung A. erftillt. Naeh der Definition yon b und der Bestimmung yon ~ ist abet auch B. erfiillt, so dab ~ der Menge R angehSrt. Na~h 5 besteht abet nut ~ ro das Gleiehheitszeichen in (8). Es mii~te also tier KappenkSrper fiber einem zu (to) iihnlichen EikSrper mit diesem identisch 8ein, was offenbar widerspruchsvoU ist. Die Ebenen (11) und (12) sind somit miteinander identiseh. Hiermit ist abet unsere Behauptung (10) bewiesen.

7. Bei anderer Gelegeaheit werde ieh zeigen, wie sich die yon uas be- nutzten Ergebnisse der uater 4) genamaten A_rbeit derart auf mehrdimensionale Eifl~iehen verallgemeinern lassen, dat~ man auf analoge Weise wie hier erkemat: Unter der :Nebenbedingung (1) gibt es zu der vorgegebenen Funktion s (~) stets sowohl Eihyperfl~ichen, die s zur Summe der Hauptkriimmuugsradien, wie such solehe Eihyperfl~iehen, die s zur elementarsymmetrischen Kriimmungs-

funktion R1/~2... Rn ~ haben.

Gre i / swa ld , 19. l~I~irz 1932.

(Ei~gegangen am 16.4. 1932.)