Analysis III Florian BckmannBlatt 4 Gruppe 5

Aufgabe 14

(i) Jede monotone Funktion f : ist messbar.

Beweis:Sei f monoton steigend. Nach Lemma 2.3 (e) ist f genau dann messbar, wenn

f1((, r]) 0()

fr alle r . Da f monoton steigend ist, ist

f1((, r]) = (, a]

mit a {}. 0() wird von Intervallen der Forn (, a] erzeugt, damit folgtdie Behauptung. Falls f monoton fallend ist, betrachte f (was dann monotonsteigend ist) und verwende Satz 2.5 (f messbar f messbar).

(ii) Sei f : . Dann ist die Ableitung f : messbar.

Beweis:Sei f differenzierbar. Dann ist f insbesondere stetig und nach Lemma 2.3 (c) mess-bar. Auch die Funktionen x, 1n und x +

1n , n , sind messbar und damit nach

Lemma 2.3 (b) auch die Verkettung f(x+ 1/n). Nach Satz 2.5 ist dann auch

fn : , fn(x) =f(x+ 1n

) f(x)

1n

messbar fr alle n . Mit Satz 2.7 folgt, dass

limn

fn(x) = lim0

f(x+ ) f(x)

= f (x)

messbar ist.

Aufgabe 17Sei f : d d eine Lipschitz-stetige Funktion, das heit es existiert ein L > 0, so dass

f(x) f(y) Lx y

fr alle x, y d gilt. Dann ist fr eine Lebesgue-Nullmenge N d das Bild f(N)wieder eine Lebesgue-Nullmenge.

Beweis:Sei N d Lebegues-Nullmenge. Dann gibt es fr " > 0 Wrfel Wk d, k , mit

N k=1

Wk undk=1

d(Wk) < ".

Weiter gibt es wegen der Lipschitz-Stetigkeit von f Wrfel Vk d mit

d(Vk) Ld d(Wk) und f(N) k=1

Vk

fr alle k . Es folgt

d(f(N)) k=1

d(Vk) Ldk=1

d(Wk) < Ld ",

also ist f(N) wieder eine Lebesgue-Nullmenge.