Capitulo I Drude

Teoria dos Slidos:

Captulo I: Modelo de Drude

Mrio Ernesto Giroldo Valerio [email protected]

Apresentao

Modelo de Drude (1900): Drude, Paul (1900). "Zur

Elektronentheorie der metalle". Annalen der Physik 306 (3): 566. Bibcode:1900AnP...306..566D. doi:10.1002/andp.19003060312.

Drude, Paul (1900). "Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte". Annalen der Physik 308 (11): 369. Bibcode:1900AnP...308..369D. doi:10.1002/andp.19003081102.

MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-2

Paul Karl Ludwig Drude

Nacionalidade Alemo

Nascimento 12 de julho de 1863

Local Braunschweig

Morte 5 de julho de 1906 (42 anos)

Local Berlim

Descoberta do eltron em

1897 por JJ Thomson

Cap I - Drude

MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2

I.1- Prembulo

Modelo de Drude foi proposto para explicar algumas propriedades importantes dos metais tais como a conduo eltrica e trmica.

As Hipteses bsicas do modelo consideram os eltrons como um gs e aplica a teoria cintica dos gases.

Drude adaptou a teoria cintica fazendo hipteses adicionais.

Eltrons so esferas rgidas que se movem em linha reta at sofrer uma coliso.

O tempo envolvido na coliso propriamente dita desprezvel

As nicas foras existentes so as que aparecem devido as colises.

Num gs ideal s existe um tipo de partcula. No metal, por outro lado devem existir pelo menos dois tipos:

os eltrons, que compes o gs, que so partculas com carga negativa,

as cargas positivas, que Drude considerou serem imveis por estarem ligadas a partculas muito mais pesadas, os ncleos dos tomos.

3 Cap I - Drude


: =

=

= 6,022 1023 /

Cap I - Drude


:

=

=1

=4

3

3

=3

4

3

0 =2

2

Raio da esfera que define o

volume mdio por eltron

~ 2 3 0

Cap I - Drude

I.2 Hipteses do modelo de Drude

1. A interao dos eltrons com outros eltrons e como

os caroos de carga (Z-Zc) so desconsideradas no intervalo de tempo entre as colises.

Na ausncia de campo eltrico externo aplicado, os eltrons movem-se em linha reta.

Na presena de campos externos, a trajetria dos eltrons entre colises dada pela leis de Newton, de

acordo com a fora produzida devido ao campo externo.

Desconsiderar a interao eltron-eltron entre colises : aproximao de eltrons independentes.

Desconsiderar a interao eltron ncleos entre colises: aproximao de eltrons livres.

MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 CapI-6 Cap I - Drude


2. Coliso no modelo de Drude tem o mesmo significado da coliso na teoria cintica dos gases, um evento abrupto que

muda a velocidade do eltron.

Drude considerou as colises dos es com os caroos dos ons, diferentemente do que considerado no modelo cintico

dos gases, no qual as colises acontecem entre as partculas

do gs.

A coliso e-e at hoje uma das interaes menos importantes nas propriedades dos metais e dos slidos em

geral, em condies normais.

A aproximao de Drude, no entanto, dos ons funcionarem somente como centros espalhadores dos es livres e do

espalhamento dos es acontecerem somente pelos ions, est

longe de ser uma boa aproximao.



3. A probabilidade por unidade de tempo de

que um eltron sofra uma coliso 1/.

A 1 implicao desta hiptese que a

probabilidade de que um eltron sofra uma

coliso num intervalo de tempo infinitesimal

/.

tempo de relaxao, ou tempo mdio livre

ou tempo de coliso.

No modelo de Drude, considerado

independente do tempo e da posio do eltron.



4. O equilbrio trmico com o meio mantido

atravs das colises.

Aps a coliso, a velocidade do eltron no

diretamente ligada a velocidade que ele tinha antes

da coliso mas ter direo e sentidos aleatrio e

mdulo que depende da temperatura local onde a

coliso ocorre.

Usando a equipartio de energia:

2

2=

3

2 (I.1)

Qto mais quente for o local onde ocorre a coliso,

maior a velocidade do eltron aps a coliso.


I.3- Condutividade DC de metais


A

Densidade de corrente: =

" "

=

Carga total que atravessar a rea A no intervalo :

Densidade de corrente: = (I.2)

Cap I - Drude


Qdo no tem campo aplicado, os eltrons tem velocidade em direes e sentidos aleatrios de forma que a velocidade mdia dos eltrons 0 deve ser zero.

Qdo um campo eltrico externo aplicado, cada eltrons ter no instante t aps uma coliso uma velocidade 0 mais um termo que vem da interao com o campo eltrico, ou seja:

= 0 + = 0



= 0 + = 0

Tomando as mdias:

= 0 + = 0

(I.3)

Usando (I.3) na equao (I.2) da dens de corrente vem:

= = 2

Reescrevendo: =

2



=

2

Lei de Ohm, com resistividade 0 =

2 (I.4)

Forma alternativa: = 0, com 0 =2

(I.5)

0 =1

0 condutncia DC do metal

Modelo de Drude reproduz a lei de Ohm de uma forma surpreendentemente boa e ainda permite expressar a resistividade ou condutividade dos metais em funo de caractersticas prprias de cada metal.



Na expresso (I.4) da resistividade a nica varivel desconhecida o tempo de relaxao .

Podemos ento estimar usando =

2.

Como no depende de T, ento a resistividade de um metal seria independente da temperatura.



A tabela indica que os valores de ~1015 10141 em T=300K. Estes valores so razoveis?

Livre caminho mdio (distncia mdia percorrida por um eltron entre colises): = 0

Equipartio da energia: 1

20

2 =3

2

0~107

~1 10

Comparvel com as distncias interatmicas nos slidos e portanto coerente com a hiptese de Drude sobre as colises dos eltrons com os ons do metal.



Dois problemas:

0 pelo menos 1 ordem de magnitude menor do que o valor real a T ambiente.

Em T=77K o valor de 0 pelo menos 1 ordem de magnitude maior do que o valor observado.

O modelo de Drude prev ento que 0 deve depender de T e sabe-se hoje que 0 independente de T.

Com este valor de 0 previsto por Drude, ~103 , ou seja,

~1000 vezes maior do que as distncias interatmicas e isso seria

difcil de acomodar no modelo j que a coliso dos es com os

ions do metal.

Como a interpretao do significado de no ento coerente, para poder usar o modelo importante deduzir

varveis e propriedades que sejam independentes de .


I.4- O momento do eltron

() = () e () =()

Qual o momento que o eltron teria no instante ( + ) se ele no colidir, ou seja, se ele se mover s sob ao do

campo de foras externo?

Expandindo em srie:

( + ) () +()

+

2()

2 2

( + ) () + () + 2


I.4-Variao do momento do eltron

Qual a probabilidade de um eltron no sofrer coliso no intervalo (, + ) ? Probabilidade dele SOFRER (/) Probabilidade dele NO SOFRER (1 /)

Qual o momento mdio destes eltrons que no sofreram coliso no intervalo (, + )? Momento dos eltrons x frao dos eltrons que no

sofreram coliso.

( + )

1

+ + 2

( + )

+ + 2



Qual o momento mdio dos eltrons que SOFRERAM coliso no intervalo (, + ) ? Momento mdio que os eltrons adquirem na

coliso + momento adquirido pelos eltrons aps

a coliso x frao dos eltrons que sofreram

coliso.

( + ) 0 +

+ 2

( + ) 0 + 2



Juntando tudo...

( + ) ( + )+ ( + )

( + )

+ + 2 (I.6)

A contribuio dos eltrons que sofreram coliso

somente no termo das correes 2.



Note que: ( + ) = ( + ), ento:

( + ) =

+

lim0

(+)

=

()

=

+ (I.7)

O efeito ento de existir coliso dado pelo

primeiro termo que representa uma fora

proporcional ao momento, ou seja, proporcional a

velocidade, e em sentido contrrio.

ATRITO VISCOSO!


I.5 Efeito Hall

Edwin Herbert Hall (1855-

1938)

Born November 7, 1855

Gorham, Maine, USA

Died

November 20, 1938

(aged 83)

Cambridge,

Massachusetts, USA

Fields Physicist


Relatado em 1879 por Edwin H Hall

Edwin Hall (1879). "On a New Action of the Magnet on Electric Currents".

American Journal of Mathematics 2

(3): 28792. doi:10.2307/2369245. JSTOR 2369245.

Aparecimento de um campo eltrico em um condutor com

direo perpendicular a corrente

que circula no condutor e ao

campo magntico aplicado.

Cap I - Drude

I.5- Efeito Hall

Fora de Lorentz sobre os eltrons:

=

Se a densidade de corrente for mantida constante pelo gerador externo, a fora de Lorentz ser constante, gerando uma

componente de corrente que produzir um campo eltrico .

A medida que cresce, a fora devido ao campo e tambm

cresce at que esta fora compense a fora de Lorentz, cessando

, e o campo passa a ser constante.

MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 25

Cap I - Drude

I.5- Efeito Hall

Caso o eltron tivesse carga positiva, o campo eltrico

apareceria com sentido oposto e a ddp teria sinal oposto.

O efeito Hall portanto um fenmeno importante pois a partir do sinal do campo eltrico transversal produzido possvel determinar

qual o sinal do portador de carga majoritrio em um slido qquer.

Os experimentos de Hall teve uma grande relevncia pois o sinal da carga predominante nos metais foi o mesmo do resultado obtido por

Thomson para os raios catdicos.


Cap I - Drude

I.5- Efeito Hall

No efeito Hall existem duas grandezas importantes:

Magnetoristncia Hall: =

Hall encontrou que na verdade era independente de H.

Coeficiente Hall: =

Este coeficiente de proporcionalidade vem do fato de que o campo eltrico transversal deve compensar a fora de

Lorentz, cujo mdulo depende tanto da corrente externa

aplicada qto da intensidade do campo magntico aplicado.

Outra forma de ver que o efeito Hall determina o sinal da carga dos portadores olhar o sinal de . < 0

> 0


I.6 Modelo de Drude e efeito Hall

Vamos usar a equao (I.7) para o momento do eltron no modelo de Drude:

()

=

+

Vamos escrever a fora sobre cada eltron em termos dos campos eltricos e do campo magntico externo H.

= +1

= +

Combinando as duas:

=

+

MrioEGValerio TeoSolidos NPGFI 2015-2 28 Cap I - Drude


=

+

Sabemos que s tem componente nas direes e e no estado de equilbrio a corrente (que depende do do eltron) constante.

: 0 =

: 0 = +

,

com =



0 =

0 = +

, com =

Usando o fato de que o momento pode ser escrito em funo da corrente:

= =

Multiplicando as duas eqs por

:

0 = + 0 = +

(I.8),

com 0 =2

- condutividade DC de Drude



No equilbrio no deve haver corrente na direo , fazendo = 0 na 2 eq:

0 = =

0

=

=

1

O modelo de Drude fornece um resultado surpreendente de que o coeficiente Hall s depende

da densidade de portadores.

Como no incio foi feita a hiptese de que os eltrons de valncia que contribuem para a densidade de

portadores, a medida do coeficiente Hall permite

testar esta hiptese.


=

Cap I - Drude


= 1

O modelo de Drude prev que o coef Hall

no depende de H.

O que se observa ao tentar obter de , que existe uma

dependncia com T, H

e com o cuidado com o

qual a amostra

preparada.



No equilbrio 0 = e o modelo de

Drude prev que no existe dependncia

da condutividade com o campo magntico

aplicado, como observado por Hall.

Adicionalmente, a condutividade a

mesma obtida na ausncia de campo

magntico.

Novamente, medidas bem mais precisas

mostram que isso no verdade.



Uma consequncia interessante do modelo de Drude para o efeito Hall vem do produto que adimensional.

Qdo 1, as eqs (I.8)

0 = + 0 = +

fornecem , como se o campo magntico estivesse ausente.

De uma maneira geral formar um ngulo com , com tan = .

chamado de frequncia de cclotron e corresponde a velocidade angular de um eltron na presena de um campo magntico.

Ento, qdo pequeno, rbita dos eltrons perturbada bem pouco no intervalo de tempo entre colises.

Por outro lado, qdo grande, os eltrons podem executar vrias revolues antes de sofre uma coliso o que muda bastante a direo inicial

do momento e da corrente.


I.7 Condutividade AC dos metais

Consideremos um campo eltrico aplicado AC da forma:

=

A eq de movimento para os eltrons fica:

=

.

A soluo do estado estacionrio : =

Substituindo na eq de movimento tanto qto e considerando que esta eq deve ser satisfeita tanto para a

parte real qto para a parte imaginria de qquer soluo,

obteremos:

=

Como = obteremos:

=2

1

= , =2

1



= , =2

1

Usando o valor da condutividade DC de Drude

0 =2

:

=0

1

Note que qdo 0, 0 , como era de se esperar.

A aplicao mais importante deste resultado na propagao de ondas eletromagnticas nos

metais.



0 =2

, =

01

, 0, 0.


0,01 0,1 1 10 100

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Re()/

Im()/

R = 01

1 + 22

I = 0

1 + 22

Cap I - Drude

I.8 Propagao de ondas eletromagnticas nos metais

Para tratar da propagao de onda

eletromagntica, precisamos considerar dois

termos adicionais:

1. Numa onda eletromagntica, existe sempre o

campo magntico presente.

O que significa que temos que considerar na fora um

termo adicional

=

.

Como a velocidade dos eltrons baixa, da ordem de

0,1cm/s mesmo em densidades de correntes altas ~

1A/mm2, este termo pode ser desconsiderado nos

clculos.


I.8 Propagao de Ondas eletromagnticas nos metais

Para fazer isso, no entanto, precisamos considerar dois termos adicionais:

2. Os campos numa onda eletromagntica variam com

tempo e a posio.

Apesar das eqs at agora no considerarem isso, note que o efeito do campo na posio s depende do efeito do campo eltrico atuando desde a ltima coliso, que em mdia, est a

poucas unidades de livre caminho mdio de distncia.

Ento, se o campo eltrico variar mais suavemente do que o livre caminho mdio dos eltrons no metal, podemos

considerar como uma boa aproximao simplesmente

substituir por , nas equaes anteriores, obtendo:

, = ,

que vlido s se o comprimento de onda da radiao .


I.8 Propagao de ondas eletromagnticas nos metais

Escrevendo agora as eqs de Maxwell para o problema:

= 0, = 0,

= 1

, =

4

+

1

Substituindo nas ltimas duas eqs = , =

e = , obteremos:

=

=4

=

4

= 2 = 2 ( = 0)

2 =2

21 +

4

(I.9)



2 =2

21 +

4

(I.9)

Esta equao tem a forma usual de uma equao de

onda 2 =2

2 , com:

= 1 +4

, =

0

1 e 0 =

2

= 1 +4

0

1= 1 +

4

2

1

Definindo: 2 =

42

Obtemos: = 1 +

2

1 (I.10)



Obtemos: = 1 +

2

1 (I.10)

Para o caso 1 teremos:

= 1 2

2 (I.11)

o Escrevendo explicitamente a dependncia com a

posio: = , e substituindo em

2 =2

2 , obteremos, no caso 1:

2 = 2

2 (I.12)



1,

= 1 2

2 (i.11)

2 = 2

2 (I.12)

Qdo < , < 0, 2 < 0, o que significa que o

vetor de onda imaginrio e isso implica que

e o campo eltrico cai exponencialmente, no havendo propagao de onda.

Qdo > , > 0, 2 > 0, e o vetor de onda

agora real. Haver propagao de onda.

O caso limite acontece qdo = .



Qdo = =42

:

Usando 1

=

4

3

3 e ~ 2 0 (Slide 5)

= 2,5 1016

Como ~10151 (Slide 16)

~25 1



Qdo = =42

:

=2

= 0,26

0

32 103



Qdo = =42

:

chamada de frequncia de plasma.

O nome vem porque qdo = todos os

eltrons no gs de eltrons se encontram em

um movimento oscilatrio coletivo.

A densidade eletrnica apresenta um

flutuao peridica dada que

chamada de oscilao do plasma ou plasmon.



O plasmon pode ser entendido atravs de um

modelo simples.

O gs de eltrons desloca-se coletivamente de uma

distncia em relao ao fundo positivo formado pelos ons do metal.

Um campo eltrico instantaneamente gerado

devido a densidade de

cargas nas extremidade do

fio.



A equao de movimento ento para o gs de

eltrons dada por:

= 4

= 42

+42

= 0

Eq de um oscilador harmnico com freq

angular =42

.


I.9 Condutividade Trmica

Lei de Wiedemann e Franz (1853):

Franz, R.; Wiedemann, G. (1853). "Ueber die Wrme-Leitungsfhigkeit

der Metalle". Annalen der Physik (in

German) 165 (8): 497531. Bibcode:1853AnP...165..497F.

doi:10.1002/andp.18531650802.

Razo entre a condutividade trmica e a condutividade eltrica

proporcional a temperatura com

a mesma constante de

proporcionalidade para muitos

metais.

0= = 2,44 108

2

- Constante de Lorenz



No modelo de Drude, os eltrons so responsveis por fazer o transporte de calor.

Esta hiptese vem da observao de que os metais so melhores condutores de calor do que os isolantes.

Condutividade trmica devido aos ons desprezada.

Para aplicar o modelo de Drude vamos considerar uma barra metlica na qual exista um gradiente de temperatura que varie

pouco com a posio.

variar pouco neste caso significa que a temperatura praticamente no varia dentro de um livre caminho mdio .

Vamos supor ainda que o gradiente de temperatura mantido constante no tempo de forma que o fluxo de calor constante,

produzindo um estado estacionrio.

Isto conseguido mantendo uma fonte de calor fornecendo calor a extremidade quente na mesma taxa que o calor retirado desta extremidade em direo a extremidade fria.



A primeira teoria sobre o fluxo de calor foi formulada por Fourier em 1822.

JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER. Fourier. J. (1955) The Analytical Theory of Heat, Dover Publications, New York.

Seguindo o modelo de Fourier, a densidade de corrente trmica paralela ao gradiente de temperatura s que em sentido contrrio.

= A densidade de corrente trmica paralela ao fluxo de calor e com

magnitude que representa a quantidade de energia trmica por unidade

de tempo que atravessa uma rea unitria perpendicular ao fluxo de

calor.

O sinal negativo na expresso do fluxo de calor esta relacionado com o fato de que a energia trmica flui da regio mais quente para a mais

fria, portanto, contrrio ao gradiente de temperatura.

- condutividade trmica, constante estritamente positiva.



Vamos considerar inicialmente o caso estritamente unidimensional.

Os eltrons movem-se somente na direo , ou seja, em um determinado ponto , em mdia metade dos eltrons vem do lado quente e metade do lado frio.

Se representa a energia trmica por eltron em um metal em equilbrio trmico a temperatura , ento um eltron que sofreu a ltima coliso na posio , em mdia, ter energia trmica .



Os eltrons que chegam em do lado quente, em mdia, sofreu sua ltima coliso em e tero ento energia trmica .

Consideramos aqui que o lado quente o lado que est na direo de x

A contribuio destes eltrons para a densidade de corrente trmica ser ento o (nmero destes eltrons) x

(a velocidade destes eltrons) x (energia por eltron):

2

Similarmente, a contribuio dos eltrons que vem do lado frio ser:

2 +



A densidade de corrente trmica ento:

=

2 +

Considerando que o gradiente de

temperatura pequeno, em comparao

com = , podemos expandir em srie

em torno do ponto e preservar apenas a

contribuio at 1 ordem, obtendo:

= 2

(I.13)



Para generalizar agora para o caso 3D, precisamos fazer duas substituies:

Trocar a velocidade mdia unidimensional para a mdia

3D, lembrando que 2 =

2 = 2 =

1

32,

=

=

1

= , onde a energia interna do

gs de eltrons e o calor especfico eletrnico.

Substituindo teremos:

=1

32 (I.14)

Portanto:

=1

32 (I.15)


=

Cap I - Drude


Podemos agora usar a previso do

modelo de Drude para checar a Lei de

Widemann Franz e calcular a razo

condutividade trmica pela condutividade

eltrica DC.

=1

32 e 0 =

2

0=

1

32

2=

1

3

2

2



0=

1

3

2

2,

No modelo de Drude natural que usemos o

calor especfico de um gs ideal que

=3

2.

Usando a equipartio de energia,

obteremos ento:

0=

1

33

2

2

2

0=

3

2

2



Ento o modelo de Drude prev para a

constante de Lorenz:

=

0=

3

2

2

Substituindo os valores das constantes

teremos:

=

0=

3

2

2= 1,11 108

2



=

0=

3

2

2

= 1,11 108

2

Este valor metade do valor de na Lei de Widemann Franz.

Drude inicialmente achou para a condutividade DC

metade do valor correto,

produzindo ento um valor

de = 2,22 108

2,

muito prximo ao valor de

Widemann-Franz.



Apesar do erro de Drude, o que impressiona o fato

de uma teoria to simplista conseguir reproduzir

valores experimentais com um erro de apenas um

fator 2.

O modelo se baseia em uma considerao bem

estranha que a de que o calor especfico do gs de

eltrons igual a de um gs ideal, =3

2.

Em temperatura ambiente, nunca foi observado para

o calor especfico de qquer metal uma contribuio

desta ordem de grandeza devida aos eltrons.



Hoje sabe-se que este resultado na verdade

fortuito e est associado com a combinao de

2 erros no modelo de um fator 100 que se

compensam:

Em T ambiente, a contribuio dos eltrons para

pelo menos 100 vezes menor do que o previsto

pela teoria clssica,

A velocidade quadrtica mdia eletrnica, por outro

lado, 100 vezes maior do que a prevista pela

teoria clssica



Precisamos agora corrigir um erro devido o tratamento grosseiro

feito at o momento e que mascara um efeito fsico importante.

Todo o clculo foi baseado no fato de que o gradiente de

temperatura apenas influencia o fluxo de calor via a energia

carregada pelos eltrons no local da sua coliso e a relao

disso com a temperatura.

No entanto, se os eltrons saem de uma coliso com energia

maior qdo a T maior, isso significa que a sua velocidade

tambm deve ser maior.

Deveramos considerar que a velocidade dos eltrons e,

portanto, a contribuio para a energia trmica depende do local

a ltima coliso.



Qdo aplicamos um gradiente de temperatura em uma barra de metal, haver um fluxo de eltrons em direo a

extremidade fria associada a densidade de corrente

trmica.

Como os eltrons tem carga, o fato dos eltrons terem agora um velocidade mdia no nula implicar no

aparecimento de uma corrente eltrica na barra.

No entanto, medidas de condutividade trmica so feitas em circuito aberto e o fato de haver uma corrente eltrica

numa direo preferencial da barra, que no drenada

por um circuito externo, criar um campo eltrico na

barra que passar a se opor ao movimento dos eltrons.



Com o passar do tempo a corrente eltrica

cessar e a velocidade mdia dos

eltrons, na situao estacionria voltar a

ser zero.

Isso concorda com a nossa considerao

feita at agora.



Esta discusso, no entanto, revela um

aspecto interessante: em uma barra

metlica longa e fina, deve aparecer um

campo eltrico oposto ao gradiente de

temperatura.

Efeito termoeltrico ou efeito Seebeck !


I.10 Efeito Seebeck

Seebeck, T. J. (1825) "Magnetische Polarisation der Metalle und Erze durch Temperatur-Differenz" (Magnetic polarization of metals and minerals by temperature differences), Abhandlungen der Kniglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Treatises of the Royal Academy of Sciences in Berlin), pp. 265-373.

Seebeck (1826) "Ueber die Magnetische Polarisation der Metalle und Erze durch Temperatur-Differenz," (On the magnetic polarization of metals and minerals by temperature differences), Annalen der Physik und Chemie, 6 : 1-20, 133-160, 253-286.


Thomas Johann Seebeck

Born 9 April 1770

Reval

Died 10 December 1831

Berlin[1]

Fields Physics

Known for Discovering the

thermoelectric effect

Cap I - Drude

I.10 Efeito Seebeck

O campo eltrico gerado escrito como:

= , - coeficiente Seebeck

Vamos fazer 1 o tratamento unidimensional:

A velocidade eletrnica mdia num ponto devido ao

efeito Seebeck =1

2 + =

=

2

2=

2

2

Em 3D, fazemos a substituio 2 1

32:

=

6

2

(I.16)


I.10 Efeito Seebeck

A velocidade mdia devido ao campo eltrico gerado :

=

(I.17)

No equilbrio + = 0:

6

2

= 0

Usando = :

6

2

+

= 0

=

6

2

=

6

2

=

1

3

2

2=

3 (I.18)


I.10 Efeito Seebeck

= 3

(I.18)

Drude usou novamente (erradamente!) o do gs ideal obtendo:

= 2= 43

(I.18)


"Absolute Seebeck coefficients of various metals up

to high temperatures" by Nanite - Own work.

Licensed under Creative Commons Zero, Public

Domain Dedication via Wikimedia Commons -

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Absolute_S

eebeck_coefficients_of_various_metals_up_to_hig

h_temperatures.svg#mediaviewer/File:Absolute_Se

ebeck_coefficients_of_various_metals_up_to_high

_temperatures.svg

Cap I - Drude

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