Cassebaum, Stochastik SekII 1 P(X=k ) 0,2 0,1 2244 0,3 6688 00 StochastikStochastik Thomas Cassebaum Permutationen Binomialkoeffizient Binomischer Lehrsatz

Cassebaum, Stochastik SekII 1

P(X=k )P(X=k )

0,20,2

0,10,1

22 44

0,30,3

66 8800

StochastikStochastik

Thomas CassebaumThomas Cassebaum

PermutationenBinomialkoeffizientBinomischer LehrsatzZufallsversucheWahrscheinlichkeitAdditionssatzMultiplikationssatzZufallsgrößenErwartungswertVerteilungenBernoulli-KettenBernoulli-FormelBinomialverteilungPoissonverteilungGeometrische Verteilung

PermutationenBinomialkoeffizientBinomischer LehrsatzZufallsversucheWahrscheinlichkeitAdditionssatzMultiplikationssatzZufallsgrößenErwartungswertVerteilungenBernoulli-KettenBernoulli-FormelBinomialverteilungPoissonverteilungGeometrische Verteilung


KombinatorikKombinatorikDie Kombinatorik beschäftigt sich mit Fragen folgender Art:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Buchstaben verschieden anzuordnen?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 verschiedene Zahlen aus der Zahlenmenge { 1; 2; …;49 } auszuwählen?

META

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

EMTA ATEMAMTETEAM

MEAT ATME ETAMTEMA MATE

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49


PermutationPermutationWie viele Möglichkeiten gibt es, n verschiedenfar-bige Kugeln nebeneinander zu legen?

Fall n=2 : Es gibt 2 Möglichkeiten → 1! 2 = 2! = 2

Die zusätzliche gelbe Kugel kann vor- oder nach der roten Kugel gelegt angeordnet werden. Fall n=3: Es gibt 6 Möglichkeiten: → 2! 3 = 3! = 6

Die zusätzliche Kugel kann vor-, nach- und zwischen den zwei bisher benutzten Kugeln angeordnet werden.

Fall n+1 Annahme: Pn = n! = 1 2 … n Möglichkeiten

Für n+1 folgt → n! (n+1) = (n+1)!Die n+1-te Kugel wird vor-, nach-

und zwischen den n bisher benutzten Kugeln (also insgesamt n+1 mal) angeordnet.

Fall n=1 : Es gibt 1 Möglichkeit → 1! = 1

(ohne Wiederholung)(ohne Wiederholung)


PermutationPermutationZur Anschauung:Alle 24 Möglichkeiten für vier verschiedene Kugeln:

Aus jeder der sechs Möglichkeiten für drei Kugeln entstehen vier Möglichkeiten für vier Kugeln. Die vierte (blaue) Kugel wird dabei vor-, zwischen- oder nachgestellt.

Mathematisch: 3! ∙ 4 = 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4

(ohne Wiederholung)(ohne Wiederholung)


BeispielDie fünf vom Trainer für das Elf-

meterschiessen ausgewählten Spieler sollen die Schussreihenfolge untereinan-der selbst bestimmen. Der beteiligte Kapitän darf nicht als Erster schiessen. Wie viele Vari-anten gibt es für die Reihenfolge?Lösung: Alle Möglichkeiten werden mit der einfachen Permutation 5! = 120 errechnet. Von dieser Anzahl ist die Anzahl 4! = 24 für die Varianten abzuziehen, bei denen der Kapitän zuerst schiesst.

n = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Die gesuchte Anzahl ist also 96.


PermutationPermutationWie viele Möglichkeiten gibt es, 10 Kugeln neben-einander zu legen, von denen je 3 rot, blau oder gelb und eine Kugel grün gefärbt ist? Die Reihenfolge gleichgefärbter Kugeln untereinander sei gleichgültig.

Lösung :

Es gibt = = 16.800 Möglichkeiten.n Permutationselemente, die in m Gruppen i = 1…m zu je pi (Anzahl der Elemente der Gruppe i) Elementen eingeteilt sind, wobei die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Gruppe gleichgültig ist, bilden

Permutationen.

Es gilt: p1+p2+…+pm = n

n!n!

p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!p1! ∙ p2! ∙ … ∙ pm!

10!10!3! ∙ 3! ∙ 3!

∙ 1!3! ∙ 3! ∙ 3! ∙ 1!

1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10

1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙101∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙

1∙2∙3 ∙ 11∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 ∙

1∙2∙3 ∙ 1

22 33

(mit Wiederholung)(mit Wiederholung)


BeispielMan bestimme die Anzahl

aller achtstelligen Wörteraus fünf Zeichen „A“ und 3 Zeichen „B“, in denen die Zeichen A nicht sämtlich nebenein-ander stehen.

Gültige Wörter : ABBBAAAA, ABABABAA

Ungültig wären : BBAAAAAB, AAAAABBB

524!3!5

!8

Lösung: Alle Möglichkeiten werden mit der Formel für Gruppenper-mutationen bestimmt. Es sind vier ungültige Möglichkeiten abzuziehen, die Wörter mit fünf aufeinander folgenden „A“-Zeichen enthalten:

AAAAABBB, BAAAAABB, BBAAAAAB, BBBAAAAA.

Die gesuchte Anzahl ist also 52.


Aufgaben 1. Vier Schwimmer diskutieren über die

unterschiedlichen Startmöglichkeiten auf vier Bahnen. Wie viele gibt es?

2. Von einer Geheimzahl sind alle Ziffern, aber nicht deren Rei-henfolge bekannt. Es ist weiter bekannt, dass alle Ziffern ver-schieden sind und dass es 362.880 Varianten gibt, diese Ziffern anzuordnen. Wie viele Ziffern sind es?

3. Bei der Fußball-WM 1998 nahmen 32 Nationen teil. Wie viele Möglichkeiten gab es im Halbfinale ( = Runde der letzten 4 )a) für die Teilnehmer des Halbfinales, b) für die Reihenfolge der ersten 4 Plätzen im Halbfinale?

4. Tim hat 4 Ein-, 5 Zwei-, 3 Fünf- und 2 Zehn-Cent-Münzen. Wie viele Varianten gibt es, die Münzen in einer bestimmten Rei-henfolge zu stapeln?

5. Tim schenkt seiner Freundin Julia von jedem Münzwert aus Aufgabe 4 je ein Stück. In wie vielen verschiedenen Varianten kann nun a) Julia ihre und b) Tim seine Münzen stapeln? c) Wie viele Varianten der getrennten Stapelbildung gibt es insgesamt für Tim und Julia gemeinsam?

6. Berechnen Sie, wie viele Möglichkeiten der Anordnung es füra) 6 rote, 2 blaue und 4 gelbe Kugeln undb) m schwarze und 1 weiße Kugel gibt.


Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5 verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Kugeln aus 5 verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden?Lösung: Möglichkeiten

Die Lösung des Problems mit Hilfe des Binomialkoeffizienten läßt sich da-durch begründen, dass alle k ausgewählten Kugeln zur Gruppe 1 und alle (n-k) nicht ausgewählten Kugeln zur (Rest-)Gruppe 2 zugeordnet werden. Die Reihenfolge innerhalb der Gruppe ist unerheblich, somit stimmt die Formel zur Gruppenlösung der Permutation mit der für den Binomialkoeffizienten überein.

Allgemein gilt : → Möglichkeiten.

Diese symbolische Darstellung und die zugehörige Berech-

nungsvorschrift wird Binomialkoeffizient Cnk =

genannt.

!)!(

!

kkn

n

k

nC kn

1062

120

!3)!35(

!5

3

5

BeispielBeispiel

KombinationKombination(ohne Wiederholung)(ohne Wiederholung)

k

n


Binomial-koeffizientBinomial-

koeffizient

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn k n Kugeln aus n verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn k n Kugeln aus n verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden?

Induktionsanfang : n=1, k=1 Es gibt 1 Möglichkeit

Induktionsbehauptung n, k: →

Annahme: Es gibt → Möglichkeiten. !)!(

!

kkn

n

k

n

!1)!0(

!1

1

11

!)!(

!

kkn

n

k

n

1 2 … n

1 … k

1 1

Induktionsbeweis n+1, k+1: →

kn

n

k

n

kn

n

kkn

n

kknkn

nn

kkn

n

k

n

1

1

)1(

)1(

!)!(

!

!)1()!(

)1(!

!)!1(

)!1(1

11!)!(

!

)1(!)()!1(

)(!

)!1()!1(

!

1

k

kn

k

n

k

kn

kkn

n

kkknkn

knn

kkn

n

k

n

1 2 … n

1 … kk+1

n+1


BeispieleBeispieleBeispielaufgaben: Wie viele Möglichkeiten gibt es für einen Mitspieler, 4 Karten der insgesamt 32 ver-schiedenen Spielkarten bei der Kartenausgabe beim Mau-Mau-Spiel zu bekommen? Wie viele Möglichkeiten gibt es für die zwei Karten im „Skat“, wenn man die eigenen 10 Karten ausschliesst?

!)!(

!

kkn

n

k

n

359604321

32313029

4

32

Lösung:Es gibt Möglichkeiten für Mau-Mau.

Für die Möglichkeiten des Skatinhaltes ist die Gesamtanzahl der möglichen Karten um die des Spielers zu vermindern. n = 32-10 = 22

Es gibt demnach Möglichkeiten für den Skat.312

21

2221

2

22

Hinweis: Beim „Skat“ erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spiel-karten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielver-lauf ebenfalls von Bedeutung ist.


Beispielaufgaben: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Zahlen aus 49 Zahlen eines Lottoscheines anzukreuzen? Wie viele Varianten gibt es vier verschiedene Schachfiguren auf ein Schachbrett zu stellen?

13.983.816654321

494847464544

6

49

Lösung:Es gibt Möglichkeiten im Lotto.

Es gibt Möglichkeiten, vier Schachfelder

für Figurensetzungen zu bestimmen. Die vier gesetzten Figuren können weiter mit 4! = 24 Permutationen auf die gewählten Felder gesetzt werden. Insgesamt gibt es also 24 ∙ 635.376 = 15.249.024 Möglichkeiten, vier verschiedene Figuren auf 64 Schachfeldern unterschiedlich aufzustellen.

376.6354321

64636261

4

64

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49

BeispieleBeispiele


Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Kugeln aus fünf verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden?

Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn 3 Kugeln aus fünf verschiedenfarbigen Kugeln zufällig bestimmt werden?

Lösung: Möglichkeiten

Allgemein gilt : → Möglichkeiten.

Die symbolische Darstellung ist WCn

k .

!)!1(

)!1(1

kn

kn

k

kn

35321

765

3

7

3

135

KombinationKombination(mitWiederholung)(mitWiederholung)

Die Kugeln werden nach jeder Ziehung wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis Farben mehrfach auftreten.

Die Kugeln werden nach jeder Ziehung wieder zurückgelegt, d.h. es können im Ergebnis Farben mehrfach auftreten.


Binomischer Lehrsatz

Binomischer Lehrsatz

Wie kann man den Term (a+b)n einfach ausmultiplizieren?

Wie kann man den Term (a+b)n einfach ausmultiplizieren?

Die Koeffizienten, die im binomischen Lehrsatz durch Bino-mialkoeffizienten gebildet werden, können einfach mit dem Pascalschen Dreieck errechnet werden:

nknnn

k

nkknn bn

nba

n

nba

na

nba

k

nba

1...

10)( 1

0

11 1

1 2 12 3 3 1

1 4 6 4 13 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 14 7 21 35 35 21 7

11 8 28 56 70 56

28 8 1

11 1

1 2 12 3 3 1

1 4 6 4 13 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 14 7 21 35 35 21 7

11 8 28 56 70 56

28 8 1

Die Koeffizienten sind an den Rändern immer 1, der Rest wird durch Summation der darüber liegenden Koeffizienten gebildet.

Beispiel: 15 = 10 + 5

(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³

Die Koeffizienten sind an den Rändern immer 1, der Rest wird durch Summation der darüber liegenden Koeffizienten gebildet.

Beispiel: 15 = 10 + 5

(a+b)³ = 1∙a³ + 3∙a²b + 3∙ab² + 1∙b³


Aufgaben 6.Es sollen sechs von 17 Schülern einer Schulklasse für eine Volleyballmann-schaft ausgewählt werden.a) Wie viele Möglichkeiten der Bildung einer Mannschaft gibt es?b) Warum gibt es bei der Auswahl einer Fußballmannschaft mit 11 Spielern ebenso viele Varianten?

7.Ein geheimes Codewort setzt sich aus vier verschiedenen der 26 Buchstaben des englischen Alphabets zusammen. Wie viele Vari-anten existieren bei einem Codewort mit vier Buchstaben?

8.Acht Schüler betreten ein Restaurant. Es ist nur ein Tisch mit sechs Plätzen frei. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs der acht Schüler für die freien Plätze auszuwählen? b) Wie viele Varianten gibt es, nach erfolgter Wahl der Schüler, diese Schüler auf die Stühle zu verteilen?

9.Könnte ein passionierter Skatspieler sämtliche möglichen Spiele (Kartenverteilungen) in seinem Leben spielen? Hinweis: Beim Skat erhalten drei Spieler je zehn der insgesamt 32 verschiedenen Spielkarten. Die verbleibenden 2 Karten nennt man „Skat“, der für den Spielverlauf ebenfalls von Bedeutung ist.


Ergebnismenge 22

11 33

7744

66

55

ZufallsversuchZufallsversuch

Stufe 1

Zufallsversuch

Stufe 2 Stufe n……

Ergebnis 1 1=(s1, s2, …,sn)

Das Ergebnis 1 ist ein Element der

Ergebnismenge Ω .

Das Ergebnis setzt sich aus den

Teilergebnissen der Stufen (s1, s2, …, sn)

zusammen.

Das Ereignis E ist eine Teilmenge der Er-gebnismenge Ω .

Ereignis E { 1, 2, 3 }Ereignismenge

2

E2E2

E EE3E3

E1E1

ØØ

Die Ereignismenge ist die Menge aller

Teil-mengen von Ω .

n-stufig


BeispielBeispiel

1.Münze

2-facher Münzwurf

2.Münze

Ergebnis =(w,w)

Das Ergebnis (w,w) ist ein Element der Ergebnismenge Ω.

Ergebnismenge

(w,w)(w,w)

Das Wurfergebnis setzt sich aus den

Ergebnissen der beiden Einzelwürfe (s1,s2)

zusammen.

Das Ereignis E Ω steht für den Fall, dass beide Münzen das gleiche zeigen.

Ereignis E { (w,w); (z,z) }

w = Wappenz = Zahl

(z,z) (z,z)

(w,z) (w,z) (z,w) (z,w)

Ereignismenge 2

ØØ

Die Ereignismenge enthält alle

Kombinationen mög-licher Wurfergebnisse.

(w,z) (w,z) (w,w) (w,w)

(z,w);(z,z) (z,w);(z,z) (w,w); (z,z) (w,w); (z,z)

……


ZufallsversuchZufallsversuch

Das Ereignis Ē heißt Gegenereignis (Komplement) von E, wenn Ē alle Ergebnisse aus Ω enthält, die nicht in E enthalten sind. Das Ereig-nis Ø ist das unmögliche Ereignis. Das Ereignis Ω nennt man siche-res Ereignis.

Die Ereignismenge(-raum) 2Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω.Besitzt die Ergebnismenge n = |Ω| Elemente, so gibt es 2n verschie-dene Teilmengen von Ω.

Ein Zufallsversuch ist ein Ver-such mit minimal 2 möglichen Ergebnissen i . Das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden.

Besteht ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten, so spricht man von einem n-stufigen Zufallsexperiment.

Ein Ereignis E ={ 1, 2,…} steht für einen Teil der möglichen Ergeb-nisse. Tritt eines dieser Ergebnisse ein, so tritt das Ereignis E ein.Eine Menge Ω heißt Ergebnismenge (-raum) eines Zufallsversuchs, wenn jedem möglichen Ergebnis genau ein Element zugeordnet ist. Ein solches Element (Ereignis) wird Elementarereignis genannt.


BeispieleBeispieleDer Münzwurf ist ein Zufallsversuch, weil es zwei (also mehrere) mögliche Ergebnisse (1=„Wappen“, 2=„Zahl“) gibt und es ist nicht vorhersehbar, welches eintritt. Erfolgt der Münzwurf zweifach, ist es ein 2-stufiger Zufallsversuch.Die Ergebnismenge Ω = { 1; 2 } enthält zwei Ergebnisse 1 und 2 als Elemente (die Elementarereignisse „Zahl“ und „Wappen“).

Die Ereignismenge 2Ω = { Ø; {1}; {2}; Ω= {1; 2} } enthält 4 = 22 Teilmengen von Ω. Das Eintreten des Ereignisses Ø (weder Zahl noch Wappen) ist unmöglich, das Eintreten von Ω (entweder „Zahl” oder „Wappen”) ist sicher.

Das Gegenereignis von E = {1} = {„Wappen“}

ist Ē = {1} = {„Zahl“}.


BeispieleBeispieleBeispielaufgaben: a) Bestimme für einen Wurf mit einem Spiel-würfel alle möglichen Elementarereignisse! b) Schreibe vier mögliche Ereignisse des Ereignisraumes von a) auf, die nicht nur einzelne Elementarereignisse repräsentieren!c) Notiere mit Elementarereignissen des einfachen Würfelns ein sicheres Ergebnis als Teilmenge der Ereignismenge!d) Notiere alle Elementarereignisse für den zwei-fachen Münzwurf als Ergebnismenge Ω!Lösungen:

a) Die Elementarereignisse stehen für das Würfeln einer 1, 2, 3, 4, 5, 6. Es gibt also die insgesamt sechs Elementarereignisse: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} und {6} .

b) z.B. {1; 2}, {1; 2; 3}, {1; 4}, {1; 5} sind Teilmengen von Ω, wenn 1 für das Elementarereignis „Würfeln einer 1“ steht.

c) Ω = {1}{2}{3}{4}{5}{6} (Das Zeichen steht hier für „ODER“)

d) Ω = { (w,w); (z,z); (w,z); (z,w) } mit w=„Wappen“ und z=„Zahl“


Hausaufgaben Lesen im Lehrbuch:Kapitel C1: S.193 bis S.203•C2 a) (S.204)Gib zum Zufallsexperiment eine geeignete Ergebnismenge an und bestimme ||!Eine Münze wird zweimal geworfen. Beobachtet wird, welche Seite oben liegt.•C4 (S.205)Gib die Ereignismenge 2 an ! a) 1 = { 0; 1 } b) 2 = { 1; 2; 3 } •C6 (S.205)An einem Wettbewerb nehmen 4 Sportler teil. Ai = { Startnummer i erreicht Platz i } Interpretiere: B = A1 A2 A3 A4 C = A1 A2 A3 A4

D = 1 2 3 4

•C7 (S.205)Die deutschen Autokennzeichen bestehen aus einem „Ortskürzel“, sowie 1 oder 2 Buchstaben (inkl.ÄÖÜ) und einer 1 bis 4 stelligen Zahl. Wie viele solcher Kennzeichen können für eine Ortsregion vergeben werden?•C10 (S.205)Ermittle, wie viele Ereignisse zu einem Zufallsversuch mit 2,3,…,n Ergebnissen gehören! •C11 (S.205)Eine Urne enthält 15 nummerierte Kugeln. Eine Kugel wird gezogen und die Nummer registriert. Gib für die Ereignisse E1 bis E9 die Ergebnismengen an!

a) Primzahl b) 3 ist Teiler c) ungerade Zahl d) größer als 12 e) kleiner als 8f) keine Nummer g) schwarze Kugel h) durch 2 und 3 teilbar i) Nummer 17


HäufigkeitenHäufigkeitenWird ein Zufallsexperiment (z.B. Würfeln) 30-mal (n-mal) hinterein-ander ausgeführt und tritt dabei ein bestimmtes Ergebnis (z.B. 4) genau 7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E) und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Wird ein Zufallsexperiment (z.B. Würfeln) 30-mal (n-mal) hinterein-ander ausgeführt und tritt dabei ein bestimmtes Ergebnis (z.B. 4) genau 7-mal (k-mal) auf. Bestimme die absolute Häufigkeit Hn(E) und die relative Häufigkeit hn(E) für dieses Experiment:

Die relative Häufigkeit hn() (hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens des Ergebnisses (des Ereignisses E) geteilt durch n bei n Versuchen.

hn() = k/n mit (1) 0 h() 1 und (2) h(E)=

Im Beispiel gilt allso: h30(4) = 7/30 = 0,233

hn wird oft in % angegeben: h30(4) = 0,233 (∙100) = 23,3%

Tritt das Ergebnis (6) dreimal auf, gilt für das Ereignis E = {4;6}

h(E) = h(4) + h(6) = 0,233 + 0,1 = 0,333 (∙100) = 33,3%

E

i

i

h

)(

Die absolute Häufigkeit Hn() (Hn(E)) ist die Anzahl des Eintretens des Ergebnisses (des Ereignisses E) bei n Versuchen.

Im Beispiel gilt demnach: H30(4) = 7


Wahrscheinlich-keitsmaß

Wahrscheinlich-keitsmaß

Wie groß ist die Wahrschein-lichkeit des Ereignisses des Auf-tretens von einer Sechs bei einem Wurf mit einem idealen Würfel ?

Wie groß ist die Wahrschein-lichkeit des Ereignisses des Auf-tretens von einer Sechs bei einem Wurf mit einem idealen Würfel ?Die Aufgabe nimmt Bezug zum Laplaceschen Wahrscheinlichkeitmaß P(A), das ein Verhältnis zwischen den „günstigen“ Ereignissen und allen möglichen Ereignissen herstellt.

P(A) =

Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|Anzahl der für A günstigen Ereignisse |A|Anzahl der möglichen

Ereignisse |Ω|Anzahl der möglichen Ereignisse |Ω|

Ein Würfel ist „ideal“, wenn er jeden möglichen Punktwert (1…6) gleichwahrscheinlich erreicht.

Die Wahrscheinlichkeit P(A) kann für einen Wurf einfach errechnet werden:

P(A) = =

|A| 16|Ω|

Das einzige günstige Ereignis „Wurf der 6“ von insgesamt sechs möglichen

1

2

3

4

5

6


Baum-diagramme

Baum-diagramme

Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurückle-gen gezogen. Welche Wahr-scheinlichkeiten ergeben sich für die 4 möglichen Versuchsergeb-nisse = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?

Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurückle-gen gezogen. Welche Wahr-scheinlichkeiten ergeben sich für die 4 möglichen Versuchsergeb-nisse = {(g,g), (g,r), (r,g), (r,r)} ?

3/5

2/5 3/4

1/4

2/4

2/4

2/5 ∙ 1/4 = 1/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10

3/5 ∙ 2/4 = 3/10

3/5 ∙ 2/4 = 3/10

Baumdiagramm

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergeb-nisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.

Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k) Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrschein-lichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann nach der Zeichnung des Baumdiagrammes mit Hilfe der 1. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Setzt sich ein Zufallsversuch aus n Teilexperimenten zusammen, ist k =|| die Anzahl der möglichen Ergeb-nisse und ist i das Ergebnis des Teilexperimentes i.

Dann gilt die 1.Pfadregel (Produktregel):

P(1, 2 , …, k) = P(1) ∙ P(2) ∙ … ∙ P(k) Im Baumdiagramm müssen also jeweils die „durchlaufenen Wegwahrschein-lichkeiten“ multipliziert werden. Im Beispiel werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender gezogen. Die erste Kugel wird nicht zurückgelegt. P(r;g) = 3/5 ∙ 2/4 = 3/10 = 0,3


Baum-diagramme

Baum-diagramme

Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurückle-gen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist?

Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurückle-gen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel rot ist?

3/5

2/5 3/4

1/4

2/4

2/4

2/5 ∙ 1/4 = 1/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10

3/5 ∙ 2/4 = 3/10

3/5 ∙ 2/4 = 3/10

Baumdiagramm

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:

P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann wieder mit Hilfe des Baumdiagrammes, diesmal mit der 2. Pfadregel einfach bestimmt werden:

Ein Ereignis E = {1; 2; …; k} tritt ein, wenn eines der Elementarereignisse {i} eintritt. Für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses E

gilt die 2.Pfadregel (Summenregel):

P(E) = P({1; 2 ; …;k}) = P(1) + P(2) + … + P(k)Im Beispiel trete das Ereignis E ein, wenn als zweite Kugel eine rote Kugel gezogen wird. Es gilt also E={(r,r); (g,r)} und damit:

P(E) = P({(r,r)}) + P({(g,r)}) = 3/10 + 3/10 = 3/5 = 0,6


BeispieleBeispieleBeispielaufgaben: In einer Urne befinden sich je eine rote, grüne und blaue Kugel. Es wird zweimal eine Kugel zufällig entnommen und danach sofort wieder in die Urne zurückgelegt.a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine der 2 Kugeln rot ist!b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Kugeln rot ist!c) Berechne die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe b), wenn die erste gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird!

b) Es gibt 4 günstige Ergebnisse: {(g,g);(g,b);(b,g);(b,b)}. Es folgt analog a) nach der Laplace-Regel: 4 (günstige Ergebnisse) / 9 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 4/9 .

ggrr

bb

bbgg

rrgg

rr

bb

rr

gg

bb

Lösungen:

a) Es gibt 9 mögl. Ergebnisse: Ω = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(g,g);(g,b);(b,r);(b,g);(b,b)}. Es gilt Gleichwahrscheinlichkeit, daraus folgt für die fünf günstigen Ergebnisse E = {(r,r);(r,g);(r,b);(g,r);(b,r)}: P(E) = |E|/|Ω| = 5/9 .

c) In der 2. Ziehung kann nicht noch einmal die 1.Farbe gezogen werden. Von den 6 möglichen Pfaden {(r,g);(r,b);(g,r);(g,b);(b,r);(b,g)} enthalten 2 keine rote Kugel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erechnet sich also mit 2 (günstige Ergebnisse) / 6 (mögliche Ergebnisse) = P(E) = 1/3 .


Aufgaben 10.Ein idealer Würfel wird zweimal hintereinander geworfen und jeweils die Augenzahl festgestellt. Gib die Wahrschein-lichkeiten folgender Ereignisse an:

A: „Die erste Augenzahl ist größer als die zweite.“

B: „Die Summe beider Augenzahlen ist kleiner als 6.“

C: „Das Produkt beider Augenzahlen ist größer als 9.“

D: „Die erste Augenzahl ist gerade.“

11.Es werden drei Münzen geworfen. Gib die Wahr-scheinlichkeiten der folgenden Ereignisse an:

A: „Wappen tritt mindestens zweimal auf.“

B: „Zahl tritt genau zweimal auf.“C: „Alle drei Münzen zeigen die gleiche

Seite.“


AdditionssatzAdditionssatzWie groß ist die Wahrschein-lichkeit des Ereignisses des Auftretens einer „6“ bei zwei Würfen mit einem Würfel ?

Wie groß ist die Wahrschein-lichkeit des Ereignisses des Auftretens einer „6“ bei zwei Würfen mit einem Würfel ?

Dieser besagt, dass die Wahrschein-lichkeit des Auftreten eines der Ereignisse A oder B mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Im Fall dieser Aufgabe gilt

P(A) + P(B) - P(AB) = + −

P(AB) =

61

361

3611

Alle günstigen Ereignisse mit 6, das rote gibt es nur einmal!

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Additionssatz lösen.

61


BeispielBeispielEs werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig oder dass B) die erste Kugel rot ist?

Es werden aus einer Urne, die drei rote und zwei grüne Kugeln enthält, zwei Kugeln nacheinender ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A) beide Kugeln gleichfarbig oder dass B) die erste Kugel rot ist?

3/5

2/5 3/4

1/4

2/4

2/4

2/5 ∙ 1/4 = 1/10

2/5 ∙ 3/4 = 3/10

3/5 ∙ 2/4 = 3/10

3/5 ∙ 2/4 = 3/10

Nach den Pfadregeln gilt:

P(A) = 1/10+3/10 = 4/10 und P(B) = 3/5

Der Gedanke liegt nah, dass daraus folgen würde:

P(AB) = P(A)+P(B) = (4+6)/10 = 1 Das ist aber falsch. Es läßt sich leicht erkennen, dass das Ergebnis (g,r) nicht Element des Ereignisses AB ist.

Nach dem Additionssatz muss so gerechnet werden:

P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)

= (4+6-3)/10 = 7/10A

B{(r,r)}{(r,r)}

{(r,g)}{(r,g)}

{(g,g)}{(g,g)}

{(g,r)}{(g,r)}


BeispieleBeispieleBeispielaufgaben: a)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ziehens mindestens eines „Kreuz As“ beim zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 32 Karten mit sofortigem Zurücklegen?b)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses des Ziehens mindestens einer „As“-Karte beim zweimaligen Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten mit sofortigem Zurücklegen?

Lösungen:

Bei diesen Aufgaben kommt eine Auszählung der günstigen Elemen-tarereignisse wegen der Größe der Zahlen nicht mehr in Frage.

a) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines Kreuz-As ist P(A)=1/32. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Ziehungen: P(AB) = 1/32 +1/32 – 1/1024 = 63/1024 = 0,061523

b) Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen eines beliebigen Asses ist P(A)=4/52. Nach dem Additionssatz gilt für 2 Würfe: P(AB) = 4/52 +4/52 – 16/2704 = 400/2704 = 0,1479


Dieser besagt, dass die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens der Ereignisse A und B mit folgender Formel errechnet werden kann:

P(A B) = P(A|B) ∙ P(B)

P(A|B) = (P(B)>0) ist die bedingte

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass das Ereignis B ein- getreten ist. Es gilt: A= 8 Augen B= kein Pasch

P(B) = = P(A|B) = =

P(AB) = P(A|B) ∙ P(B) =

Multiplika-tionssatz

Multiplika-tionssatz

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Augensumme 8 bei einem Wurf mit zwei Würfeln! Das Auftreten eines Paschs wird immer als ungültig gewertet.

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Augensumme 8 bei einem Wurf mit zwei Würfeln! Das Auftreten eines Paschs wird immer als ungültig gewertet.Die gegebene Aufgabe lässt sich mit dem Multiplikationssatz lösen.

)(

)(

BP

BAP

3630

304

Pasch 8 Augen

65

152

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist p = 0,11.

0,11

Ereignis

Ereignis

B A


Bernoulli-KetteBernoulli-KetteIn einer Urne befinden sich weiße und schwarze Kugeln. Es soll experimentell die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt wer-den, eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen. Bestimme auch die Wahrschein-lichkeit ps , eine schwarze Kugel zu ziehen!

In einer Urne befinden sich weiße und schwarze Kugeln. Es soll experimentell die Wahrscheinlichkeit pw ermittelt wer-den, eine weiße Kugel aus der Urne zu ziehen. Bestimme auch die Wahrschein-lichkeit ps , eine schwarze Kugel zu ziehen!Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit der Ergeb-nismenge = { 0 ; 1 } .Das Ergebnis 1=1 tritt im Erfolgsfall mit der Wahrscheinlichkeit p, 2=0 tritt sonst mit der Wahrscheinlichkeit 1-p ein.

Zur Lösung der Aufgabe wird eine Kugel gezogen und nach farbgerech-ter Zählung (1 für schwarz und 0 für weiß) die Kugel in die Urne zurückge-legt. Die Kugeln der Urne werden gemischt und dann wird eine weitere Kugel gezogen und gezählt…n - Gesamtzahl aller gezogenen Kugelnw - Zahl der weißen Kugeln

Nach der Laplace-Regel gilt: ps = pw =

1321

01

Zähltabelle

n

wn n

w

s w n

34

Eine n-fache und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines Bernoulli-Experiments heisst Bernoulli-Kette der Länge n.


Bernoulli-Formel

Bernoulli-Formel

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auf- tretens von genau zweimal 2 Sechsen bei drei Würfen mit 2 Würfeln! (nicht einmal und nicht dreimal!)

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Auf- tretens von genau zweimal 2 Sechsen bei drei Würfen mit 2 Würfeln! (nicht einmal und nicht dreimal!)Die gegebene Aufgabe lässt sich mit einer Bernoulli-Kette lösen.

Für genau k-mal Erfolg gilt die Bernoulli-Formel

b(n; p; k) = P(X=k) = pk ( 1–p )n-k

In der Aufgabe wird n=3 mal versucht, den Erfolg mit k=2 Sechsen zu erreichen. Aus vorherigen Aufgaben wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch mit zwei Würfeln p=1/36 ist.

b(3;1/36;2) = (1/36)2 (1-1/36)3-2 = =

= 0,00225

nk

32

Es gibt 363 mögliche Ergebnisse und 3 mal 35 (alle außer (6,6)) günstige Er-gebnisse für genau 2 mal 2 Sechsen.

Nach der Laplace-Regel: 0,0022546656105

363533

12 3636

353

46656

105


Bernoulli-Formel

Bernoulli-Formel

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau zweimal die Sechs, wenn dreimal mit einem Würfel geworfen wird?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau zweimal die Sechs, wenn dreimal mit einem Würfel geworfen wird?Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge n = 3 mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p = 1/6. Kein Erfolg tritt bei einem Ein-zelwurf mit der Wahrscheinlichkeit 1-p = 5/6 ein. Um einen Gesamtüber-blick über alle möglichen Ereignisse dieses Versuches zu erhalten betrach-ten wir die 3-stufige Wurffolge als 1-0-Folge (1:Erfolg, 0:kein Erfolg).

Jede Folge mit genau 2 Einsen ist also ein erfolgreicher Versuch. Erfolg / Nichterfolg: 000-001-010-011-100-101-110-111

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der Folge 011 errechnet sich durch Multiplikation der Erfolgs-/ Nicht-erfolgs-Wahrscheinlichkeiten mit p011 = (1-p) ∙ p ∙ p Durch bloße Vertauschung der Faktoren sind die Wahrscheinlichkeiten aller weite-ren Erfolgsfälle genauso groß.

1010

1010

1010

10101010

10101010

Die Erfolgsanzahl wird mit dem Binomialkoeffizienten bestimmt (siehe Folie Binomialkoeffizient).

Es gilt also: P(Erfolg=E) = ∙ p2 ∙ (1-p)3-2 = 3 ∙ 1/36 ∙ 5/6 = 5/72 = 0,06944

Allgemein gilt: P(E) = b( n; p; k) = ∙ pk ∙ (1-p)n-k

32

3

k

n

nk

32


Bernoulli-Formel

Bernoulli-Formel

b(n; p; k) = P(X=k) = pk (1-p)n-k

nk

Faktor 1:

Binomialkoeffizient zur Bestimmung der Anzahl der Möglich-keiten, k Elemente aus insgesamt n Elemen-ten zu erwählen.

Faktor 1:

Binomialkoeffizient zur Bestimmung der Anzahl der Möglich-keiten, k Elemente aus insgesamt n Elemen-ten zu erwählen.

Faktor 2:

k-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit p für das Erreichen eines Einzel-Erfolges

Faktor 2:

k-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit p für das Erreichen eines Einzel-Erfolges

Faktor 3:

(n-k)-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit (1-p) für das Erreichen eines Einzel-Nicht-Erfolgs

Faktor 3:

(n-k)-faches Produkt der Wahrscheinlichkeit (1-p) für das Erreichen eines Einzel-Nicht-Erfolgs

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Bernoulli-Kette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 . Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlich-keiten für das Eintreten einander auschließender Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahr-scheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der möglichen Erfolge zu multiplizieren.

Die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Bernoulli-Kette der Länge n, genau ein Experiment Erfolg hatte, ist P(A) = p ∙ (1-p)n-1 . Der Additionsatz besagt, dass Wahrscheinlich-keiten für das Eintreten einander auschließender Ereignisse, gleich der Summe der Einzelwahr-scheinlichkeiten ist. Alle Summanden sind gleich groß, deshalb genügt es, P(A) mit der Anzahl der möglichen Erfolge zu multiplizieren.


Wertermittlung zur

Bernoulliformel

Wertermittlung zur

Bernoulliformel

Es kann neben dem Taschenrech-ner oder dem PC auch die Tabelle aus der Zahlentafel zur Werter-mittlung benutzt werden. Prak-tisch sind Tabellen mit 2 Eingängen:

Es kann neben dem Taschenrech-ner oder dem PC auch die Tabelle aus der Zahlentafel zur Werter-mittlung benutzt werden. Prak-tisch sind Tabellen mit 2 Eingängen: n k 0,05 0,10 1/6 0,20 k

5 012345

0,77380,20360,02140,0011

59053281072900810005

401940191608032200320001

327740962048051200640003

543210

n k 0,95 0,90 5/6 0,80 k

b(5;0,05;2) = b(5;0,05;2) =

0,02140,0214 0,05

120,0512

1-p=0,2 n-k=3

b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) =

1-p=0,2 n-k=3

b(5;0,80;2) = b(5;0,20;3) =

1. Bestimmung des Bereiches für n.1. Bestimmung des Bereiches für n.2. Bestimmung der Spalte für p.2. Bestimmung der Spalte für p.3. Bestimmung der Zeile für k.3. Bestimmung der Zeile für k.4. Wert für b(n;p;k) ablesen.4. Wert für b(n;p;k) ablesen.


Aufgaben 12.Aus einem gut gemischten Skatspiel werden nacheinander (mit oder ohne Zurücklegen) vier Karten gezogen. Mit welcher Wahr-scheinlichkeit werden drei der Herzkarten gezogen?

13.Ein Sportschütze trifft im Mittel genau 7 von 10 Schüsse. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse in einem Schießwettkampf mit 50 Schüssen. Er trifft …a) … genau vierzig mal, b) … höchstens zehnmal, c) … mindestens 44 mal, d) … nie, e) … immer,f) … mindestens 34 und höchstens 36 mal.

14.Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrschein-lichkeit p=0,3 wird fünfmal nacheinander durchgeführt.Bestimme die Wahrscheinlichkeit für …a) … mindestens zwei Erfolge, a) … genau zwei Erfolge,c) … für genau einen Erfolg, d) … keinen Erfolg.e) Wie viele Durchführungen sind mindestens erforder-lich, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei Erfolge zu registrieren?


Verteilungen diskreter Größen

Verteilungen diskreter Größen

Verteilungsfunktionen ordnen den Werten der Zufallsgrößen passende Wahrscheinlichkeiten zu.

Verteilungsfunktionen ordnen den Werten der Zufallsgrößen passende Wahrscheinlichkeiten zu.Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der diskreten Zufallsgröße X: xi pi = P(X=xi ) ist eine Funktion P({ und X(i ) = xi }) mit i{1; ...; n; ...}. Die Verteilungs-funktion von Xist F(x) = P(X x)

)(...

...

)( 1

1

n

n

PP

2-zeilige Matrixschreib-weise einer Wahrschein-lichkeitsverteilung

xi 1 2 3

P(xi

)0,2 0,5 0,3

3,05,02,0

321

Tabellarische Darstel-lung einer Wahrschein-lichkeitsverteilungF(x

)F(x)1,01,0

0,60,60,80,8

0,40,40,20,2

xixi11 22 33

P(X=xi )P(X=xi )0,60,6

0,40,4

0,20,2

xixi11 22 33 xixi

P(X=xi )P(X=xi )0,60,6

0,40,4

0,20,2

11 22 33Stabdiagramm

Histogramm


Zufalls-größenZufalls-größen

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und 2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2 Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel wür-felt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal. Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält vom Verlierer die Augendifferenz in Cents aus-gezahlt.

Welchen Würfel würdest du wählen?

Zwei Würfel mit den Augenwerten 1,4,4,4,4,6 und 2,2,3,5,5,5 werden für ein Spiel genutzt. Jeder der 2 Spieler wählt einen der Würfel aus. Im Spiel wür-felt jeder Spieler mit nur seinem Würfel je einmal. Der Gewinner mit der höheren Augenzahl erhält vom Verlierer die Augendifferenz in Cents aus-gezahlt.

Welchen Würfel würdest du wählen?Eine Zufallsgröße X: ist eine Funktion, die jedem Ergeb-nis i eines Zufallsexperimentes ein xi zuordnet. Eine diskrete Zufallsgröße X besitzt endlich oder abzählbar unend-lich viele verschiedene Funktionswerte xi . Die

Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines Spieles der ge-gebenen Aufgabe ist im Pfad-modell des 2-stufigen Zufalls-versuches für beide Würfel gleich. Wie sind aber die gewonne-nen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt?

Die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns eines Spieles der ge-gebenen Aufgabe ist im Pfad-modell des 2-stufigen Zufalls-versuches für beide Würfel gleich. Wie sind aber die gewonne-nen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt?

1/6

1/61/6

4/64/6

1/61/6

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36

(1,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36

(1,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36

(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =

12/36(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36

18/3618/36

(1,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36

(1,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36

(1,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36

(4,2) 2/6 ∙ 4/6 = 8/36(4,3) 1/6 ∙ 4/6 = 4/36(4,5) 3/6 ∙ 4/6 =

12/36(6,2) 2/6 ∙ 1/6 = 2/36(6,3) 1/6 ∙ 1/6 = 1/36(6,5) 3/6 ∙ 1/6 = 3/36

18/3618/36


Zufalls-größenZufalls-größen

Wie sind aber die gewonnenen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt? Welchen Würfel würdest du wählen?

Wie sind aber die gewonnenen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt? Welchen Würfel würdest du wählen?Die Zufallsgröße X: ist die Funktion, die jedem Ergebnis i=(z1,z2) des Zufalls-experimentes ein xi zuordnet. Im Beispiel ist folgendes sinnvoll:X(z1,z2) = p({(z1, z2)}) ∙ (z1 - z2)

Die Wahrscheinlichkei-ten des Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmo-dell des 2-stufigen Zu-fallsversuches für beide Würfel gleich,

Die Wahrscheinlichkei-ten des Gewinns eines Spieles der gegebenen Aufgabe ist im Pfadmo-dell des 2-stufigen Zu-fallsversuches für beide Würfel gleich,

(1,2) = -1∙ 2/36=-2/36(1,3) = -2∙ 1/36=-2/36(1,5) = -4∙ 3/36=-12/36(4,2) = 2 ∙ 8/36 =

+16/36(4,3) = 1 ∙ 4/36 =

+4/36(4,5) = -1∙12/36 = -12/36(6,2) = 4 ∙ 2/36 =

+8/36(6,3) = 3 ∙ 1/36 =

+3/36(6,5) = 1 ∙ 3/36 =

+3/36 11 -8+6/36 = 1/6

(1,2) = -1∙ 2/36=-2/36(1,3) = -2∙ 1/36=-2/36(1,5) = -4∙ 3/36=-12/36(4,2) = 2 ∙ 8/36 =

+16/36(4,3) = 1 ∙ 4/36 =

+4/36(4,5) = -1∙12/36 = -12/36(6,2) = 4 ∙ 2/36 =

+8/36(6,3) = 3 ∙ 1/36 =

+3/36(6,5) = 1 ∙ 3/36 =

+3/36 11 -8+6/36 = 1/6

1/6

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.

Der Würfel 1,4,4,4,4,6 ist günstiger. Für große n wird er n/6 Cents nach n Spielen gewinnen.


Binomial-verteilungBinomial-

verteilung

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal je eine Kugel gezogen und zurückgelegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit P(X=k) werden dabei genau k { 0;…;5 } grüne Kugeln gezogen?

Eine Urne enthält 4 gelbe, 3 grüne und 3 rote Kugeln. Es wird 5-mal je eine Kugel gezogen und zurückgelegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit P(X=k) werden dabei genau k { 0;…;5 } grüne Kugeln gezogen? Eine Zufallsgröße X, die die Werte 0; 1; …;n mit den Wahr-scheinlichkeiten P(X=k) = b(n; p; k) annimmt, heißt „binomial-verteilt mit den Parametern n und p“oder kurz „Bn;p -verteilt“ (geschrieben: X~Bn;p ). Die zugehörige Wahrscheinlichkeits-verteilung nennt man „Binomialverteilung mit n und p“.Die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer grü-nen Kugel beträgt 3/10 = 0,3. Es sind also für k=0;…;4 die Werte von b(5;0,3;k) zu ermitteln und darzustellen. Zur Wertermittlung sind Tabellen oder ein Taschenrechner geeignet:

P(X=0)= 0,1681 P(X=1)= 0,3602P(X=2)= 0,3087

P(X=3)= 0,1323 P(X=4)= 0,0284P(X=5)= 0,0024

kk

P(X=k )P(X=k )

0,20,2

0,10,1

11 22

0,30,3

0,40,4

33 4400 55


Erwartungs-wert

Erwartungs-wert

Wie sind aber die gewonnenen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt?

Wie sind aber die gewonnenen und verlorenen Cents auf die Spieler verteilt?

Im Beispiel wird ein zweistufiges Zufallsexperiment für die beiden Würfel durchgeführt. Dem Ergebnis i , z.B. 1=(1;2) wird der zugehörige Centwert als Zufallsgröße X, z.B. x1= 1-2 = -2 zugeordnet.Die Wahrscheinlichkeiten und Zufallsgrößen werden für die Aufgabe zusammengefasst:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9

i1;2 1;3 1;5 4;2 4;3 4;5 6;2 6;3 6;5

xi-1 -2 -4 +2 +1 -1 +4 +3 +1

P(xi) 2/36 1/36 3/36 8/36 4/36 12/36 2/36 1/36 3/36

E(X) =

Der Erwartungswert

E(X) =

Der Erwartungswert

))((1

i

n

ii xXPx

einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX (X), X oder geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro Spiel 1/6 Cent gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.

einer endlichen Zufallsgröße X wird mit den Formelzeichen E(X), EX (X), X oder geschrieben. Dieser Wert steht für den Mittelwert der Zufallsgröße X, der mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten P(xi) gewichtet wird.

E(X) = -2/36-2/36-12/36+16/36+4/36-12/36+8/36+3/36+3/36 = +1/6

Dieser Wert zeigt, daß über eine längere Spielfolge der Spieler mit dem 1/4/6-Würfel im Mittel pro Spiel 1/6 Cent gewinnt. Das Spiel ist also nicht „fair“.


Streuung oder Varianz

Streuung oder Varianz

Zufallsgrößen können sich trotz gleichem Erwartungswert erheb-lich unterscheiden, sie sind anders „gestreut“.

Zufallsgrößen können sich trotz gleichem Erwartungswert erheb-lich unterscheiden, sie sind anders „gestreut“.

xi 1 2 3

P(xi) 1/3 1/3 1/3

E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2 E(X) = 1/3+2/3+3/3 = 2

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische Abweichung“, die Streuung ² oder Varianz V(X) genannt wird.

V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn

a) V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666b) V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1 = 0,2c) V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4 = 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.

Der praktische Unterschied besteht in der Abweichung der zu erwartenden Zufallsgrößen von ihrem Erwartungswert. Als Maß für diese Abweichung benutzt man die „mittlere quadratische Abweichung“, die Streuung ² oder Varianz V(X) genannt wird.

V(X) = (x1-E(X))² ∙p1+(x2-E(X))² ∙p2+…+(xn-E(X))² ∙pn

a) V(X) = (1-2)²∙1/3+ (2-2)²∙1/3+ (3-2)²∙1/3 = 1/3+1/3 = 2/3 = 0,666b) V(X) = (1-2)²∙0,1+ (2-2)²∙0,8+ (3-2)²∙0,1 = 0,1+0,1 = 0,2c) V(X) = (1-2)²∙0,4+ (2-2)²∙0,2+ (3-2)²∙0,4 = 0,4+0,4 = 0,8

Die Quadratwurzel aus der Streuung wird Standardabweichung oder DX oder (X) genannt. Sie entspricht besser der tatsächlichen mittleren Abweichung der Zufallsgrößen vom Erwartungswert.

xi 1 2 3

P(xi) 0,1 0,8 0,1

E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2 E(X) = 0,1+1,6+0,3 = 2

xi 1 2 3

P(xi) 0,4 0,2 0,4

E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2 E(X) = 0,4+0,4+1,2 = 2

a) b) c)a) b) c)


C++ und die Binomial-

verteilung

C++ und die Binomial-

verteilung

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n

Anzahl Zufallswerte n = 4 Wahrscheinlichkeit p = 0.3

B(4,0.3)(X=0) = 0.2401 B(4,0.3)(X=1) = 0.4116 B(4,0.3)(X=2) = 0.2646 B(4,0.3)(X=3) = 0.0756 B(4,0.3)(X=4) = 0.0081

Nochmal? [j/n] : _

Berechnung von B(n,p) für k=0,…,n

Anzahl Zufallswerte n = 4 Wahrscheinlichkeit p = 0.3

B(4,0.3)(X=0) = 0.2401 B(4,0.3)(X=1) = 0.4116 B(4,0.3)(X=2) = 0.2646 B(4,0.3)(X=3) = 0.0756 B(4,0.3)(X=4) = 0.0081

Nochmal? [j/n] : _

Das dargestellte kleine C++-Programm ermöglicht die Be-rechnung beliebiger Wertfolgen zur Binomialverteilung.

Das dargestellte kleine C++-Programm ermöglicht die Be-rechnung beliebiger Wertfolgen zur Binomialverteilung.

kk

P(X=k )P(X=k )

0,20,2

0,10,1

11 22

0,30,30,40,4

33 4400

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Cassebaum, Stochastik SekII 1 P(X=k ) 0,2 0,1 2244 0,3 6688 00 StochastikStochastik Thomas Cassebaum Permutationen Binomialkoeffizient Binomischer Lehrsatz