Seminararbeit zum Seminar

”Mathematisches Seminar fur LAK“

Gleichungen 5. Grades

Thomas R

¨

osel (0914366)

Katharina Fercher (0912448)

Graz, am 22. April 2013

Gleichungen 5. Grades

Thomas R

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osel

Katharina Fercher

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Allgemeines uber Polynome 2

3 Vorbereitungen 4

4 Eigenschaften des Polynoms x

5 � x+ a 5

5 Permutationen 6

6 Permutationen der Nullstellen 7

7 Anderungen von a und Permutationen von Zwischenwurzeln 10

8 Kommutatoren von Schleifen 11

9 Beweis des Hauptsatzes 13

10 Resume 13

1 Einleitung

Die folgende Seminararbeit wurde im Rahmen der Lehrveranstaltung Nr. 621.452

”Mathematisches Seminar fur LAK“ im Sommersemester 2013 an der Karl - FranzensUniversitat Graz geschrieben. Sie beschaftigt sich mit der Losung von Gleichungen funf-ten Grades.Genauer gesagt befasst sie sich mit dem Beweis des Satzes, dass Gleichungen 5. Gradesnicht durch Wurzelausdrucke losbar sind (wie Gleichungen vom Grad kleiner als 5). Umdiesen einen Satz zu beweisen, bedarf es einer Vielfalt an Beweisen und Satzen zur Vor-bereitung. Genau diese werden hier von uns in dieser Arbeit behandelt, auch werden diedazu benotigten Definitionen genau angefuhrt.Als Literatur diente zum einen das Buch

”Ein Schaubild der Mathematik“ von Dmitry

Fuchs und Serge Takachnikov, das im Jahr 2007 zum ersten Mal in Englisch unter demTitel

”Mathematical Omnibus“ erschien und 2010 auf Deutsch im Springer Verlag ver-

o↵entlicht wurde. Als Grundlage fur die Ausarbeitung diente der Inhalt von Kapitel 5(Gleichungen funften Grades). Es wurde weiters das Vorlesungsskript Lineare Algebravon Frau Univ. Prof. Desch der Universitat Graz verwendet, sowie das Buch Analysis 1von Konrad Konigsberger.Fur den Ausblick im Resume wurde die Website http://www.galois-theorie.de/ heran-gezogen.

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2 Allgemeines uber Polynome

In dieser Arbeit beschaftigen wir uns mit der Losbarkeit von Gleichungen 5. Grades.Dazu fuhren wir zunachst einige wichtige Definitonen und Satze ein.

Definition 2.1. Sei K ein Korper. Eine Polynomfunktion f uber K ist eine Funktion

f(x) =

⇢K ! Kx 7! a0 + a1x+ . . .+ anx

n

Dabei sind a0, . . . , an Elemente aus dem Korper K und n 2 N [ {0}

Definition 2.2. Sei K ein Korper.

1. Ein Polynom uber K ist eine Folge (ai)1i=0 von Elementen ai 2 K bei der nurendlich viele Glieder von 0 verschieden sind.

2. Ist p = (ai)1i=0 6= 0, so definieren wir den Grad (engl.: degree) von p durch

deg(p) := max{i 2 N | ai 6= 0}

Da die Schreibweise durch Folgen unhandlich ist, schreiben wir:

(ai)1i=0 = a0 + a1x+ . . .+ anxn

Weiters nennen wir x die Unbestimmte. Die Menge der Polynome uber K, mit derUnbestimmten x geschrieben, bezeichnen wir mit K[x].

Satz 2.1 (Polynomdivision mit Rest). Sei K ein Korper, f,g zwei Polynome uber Kwobei g 6= 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome p,r mit den Eigenschaften:

f = pg + r, deg(r) < deg(g)

Wir nennen r den Rest bei der Division von f durch g.

Satz 2.2. Sei K ein Korper und f 2 K[x] ein Polynom. Sei ✏ 2 K Nullstelle vonf = p(x � ✏) + r. Dann ist ✏ genau dann eine Nullstelle von f , wenn r = 0, d.h., f istdurch x� ✏ ohne Rest teilbar.

Wie man an der Gleichung x

2 � 4x+ 16 = 0 , (x� 2)2 = 0 leicht erkennt, kann essein, dass doppelte Losungen vorkommen. Zu diesem Zweck fuhren wir folgendeDefinition ein.

Definition 2.3. Sei K ein Korper, f 6= 0 eine Polynomfunktion uber K und ✏ 2 K eineNullstelle von f. Die Vielfachheit der Nullstelle ✏ in f ist die großte Potenz m so, dass(x� ✏)m ein Teiler von f ist.

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Das Aufsuchen einer Nullstelle der dazugehorigen Polynomfunktion ist gleichbedeutendmit dem Losen der algebraischen Gleichung. Aus der Analysis ist uns folgender Satzuber die Losungen einer Polynomfunktion bekannt:

Satz 2.3 (Fundamentalsatz der Algebra). Jede Gleichung

a0 + a1x+ . . .+ anxn = 0 (n > 0)

mit komplexen Koe�zienten ak (k 2 N) besitzt in C mindestens eine Losung.

Definition 2.4. Als die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl a 2 C bezeichnet man dieLosung der Gleichung z

n = a.

Lemma 2.1. Jede komplexe Zahl a 2 C kann man in der Form a = |a| ei' schreiben.

Satz 2.4. Die n-verschiedenen Losungen der Gleichung z

n = a, fur a 6= 0 kann man infolgender Form anschreiben:

zk = np

|a| · exp�i'n + k · 2⇡i

n

�fur k = 0, 1, . . . , n� 1

Wir bezeichnen die Losungen als n-te Einheitswurzeln.

Eine Gleichung funften Grades (oder quintische Gleichung) ist also einePolynomgleichung mit deg(p) = 5. Wir schreiben dies in der Form:

ax

5 + bx

4 + cx

3 + dx

2 + ex+ f = 0

die dazugehorige Polynomfunktion ist:

f :

⇢C ! Cx 7! ax

5 + bx

4 + cx

3 + dx

2 + ex+ f

Aufgrund des Fundamentalsatzes wissen wir nun, dass unsere Gleichung zumindesteine Losung und maximal funf Losungen besitzt. Im Folgenden betrachten wir nurmehr Polynome uber dem Korper C.

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3 Vorbereitungen

Widmen wir uns nun der Losbarkeit einer Gleichung vom Grad funf. In dieser Arbeitgeht es uns darum zu zeigen, dass es bei Gleichungen 5. Grades keine allgemeinenLosungsformeln mit Wurzelausdrucken gibt. Das Paradebeispiel fur eine solche Formelfur ein Polynom 2. Grades ware die

”Kleine Losungsformel“.

x

2 + px+ q = 0

Dann gilt:

x =�p±

pp2�4q

2

Wir konnen die Losungen ohne weiteres folgendermaßen umschreiben:

x

21 = p

2 � 4qx2 = �1

2p+12x1

Die Form von x1 und x2 nennen wir einen Wurzelausdruck. x2 liefert uns die Losungender Gleichung x

2 + px+ q = 0.

Definition 3.1 (Wurzelausdruck). Sei xn+a1xn�1+ . . .+an�1x+an ein Polynom uber

dem Korper C. Die Gleichung x

n + a1xn�1 + . . .+ an�1x+ an = 0 ist durch Wurzelaus-

drucke (Radikale) losbar, wenn Polynome p1, . . . , pN (in n, n+1, . . . , n+N�1 Variablen)und positive ganze Zahlen k1, . . . , kN existieren, sodass es zu jeder (komplexen) Nullstellex = xN des Polynoms xn+a1x

n�1+ . . .+an�1x+an zu gegebenen a1, . . . , an (komplexe)Zahlen x1, . . . , xN gibt, die das System:

x

k11 = p1(a1, . . . , an),

x

k22 = p2(a1, . . . , an, x1),

...x

kNN = pN(a1, . . . , an, x1, . . . , xN�1)

losen.

Das Ziel unserer Arbeit ist es zu zeigen, dass es solche Wurzelausdrucke fur eineallgemeine Gleichung 5. Grades nicht gibt.

Anmerkung: Durch umformen der Wurzelausdrucke kommen wir auf die

”Losungsformeln“.

Folgenden Satz zu beweisen, ist das Ziel unserer Arbeit:

Satz 3.1. Die Gleichung

x

5 � x+ a = 0

ist nicht durch Wurzelausdrucke losbar.

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4 Eigenschaften des Polynoms x

5 � x + a

Proposition 4.1. Hat die Polynomfunktion x

5 � x + a Nullstellen deren Vielfachheitgroßer 1 ist, so ist a4 = 44

55 mit anderen Worten:

a = ± 45 4p5

oder a = ± 4i5 4p5

Fur diese Proposition benotigen wir folgendes Hilfslemma:

Lemma 4.1. Ist ✏ eine mehrfache Nullstelle der Polynomfunktion x

5 � x+ a dann gilt5✏4 = 1.

Beweis Lemma 4.1 Sei ✏ eine mehrfache Nullstelle der Polynomfunktion x

5 � x+ a

dann gilt nach Satz 2.2:x

5�x+a = (x�✏)2p(x), wobei p ein Polynom mit deg(p) = 3 ist. Sei nun x := ✏+ t, (t 2C \ {0} bel.) Setzen wir dies in die Funktion ein:

(✏+ t)5 � (✏+ t) + a = t

2p(✏+ t) ,

✏

5 + 5t✏4 + t

2(10✏3 + 10✏2t+ 5✏t2 + t

3)� ✏� t+ a = t

2p(✏+ t)

Da ✏ eine Nullstelle ist gilt: ✏5 � ✏+ a = 0. Weiters dividieren wir durch t, dann siehtdie Gleichung folgendermaßen aus:

5✏4 � 1 = t(p(✏+ t)� 10✏3 � 10✏2t� 5✏t2 � t

3)

Da t beliebig gewahlt wurde und unser Definitionsbereich auch beliebig ist kann man t

betragsmaßig klein wahlen. Das heißt: 5✏4 � 1 = 0 q.e.d.

Nun konnen wir den Beweis von Proposition 4.1 fuhren.

Beweis Proposition 4.1 Aus Lemma 4.1 wissen wir 5✏4 = 1 also a

4 = (✏ � ✏

5)4 =✏

4(1� ✏

4)4 = 15 ·

44

54 = 44

55 q.e.d.

Wenn bei unserer Gleichung x

5 � x� a = 0 a einen der Werte ± 45 4p5

,± 4i5 4p5

annimmt,haben wir eine doppelte Nullstelle. Ohne weitere Erklarung bezeichnen wir diesePunkte als gefahrliche Punkte.

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5 Permutationen

Definition 5.1. Sei n 2 N und � : {1, . . . , n} ! {1, . . . , n} eine bijektive Abbildung.Dann heißt � eine Permutation auf der Menge {1, . . . , n}. Mit Sn bezeichnen wir dieMenge aller Permutationen auf {1, . . . , n}.

Anmerkung: Fur die Permutation ↵ =

0

@1 2 3 4 5# # # # #5 2 3 4 1

1

A verwenden wir folgende

Kurzschreibweise: ↵ = (52341) .

Definition 5.2. Sei � 2 Sn

1. Ein Fehlstand von � ist ein Paar (i, j) mit i < j 2 {1, . . . , n} sodass �(j) < �(i).

2. Sei m die Anzahl der Fehlstande von �. Dann ist das Vorzeichen von �

sgn(�) := (�1)m oder aquivalent dazu

sgn(�) :=Q

1i<jn

�(j)��(i)j�i .

3. Ist sgn(�) = 1, so heißt � eine gerade Permutation, sonst heißt � eine ungeradePermutation. Sind zwei Permutationen beide gerade oder beide ungerade sprechenwir von

”gleicher Paritat“.

Bemerkung: Die Menge Sn bildet bezuglich der Hintereinanderausfuhrung eine Gruppe.

Proposition 5.1. Das Produkt zweier Permutationen mit derselben Paritat ist gerade.Das Produkt zweier Permutationen mit entgegengesetzter Paritat ist ungerade.

Beweis Seien �, ⌧ 2 Sn

sgn(� � ⌧) =Q

1i<jn

�(⌧(j))��(⌧(i))j�i =

Q1i<jn

�(⌧(j))��(⌧(i))⌧(j)�⌧(i) ·

Q1i<jn

⌧(j)�⌧(i)j�i =

Q1⌧�1(i)<⌧�1(j)n

�(j)��(i)j�i ·

Q1i<jn

⌧(j)�⌧(i)j�i = sgn(�) · sgn(⌧)

Aufgrund von dieser Gleichheit lasst sich Prop. 5.1 leicht ableiten, seien �, ⌧ gerade,dann gilt 1 · 1 = 1 also ist das Produkt � � ⌧ gerade. Der Rest folgt analog q.e.d.

Satz 5.1. Jede Permutation der Gruppe (S5, �) lasst sich als Produkt folgender Permu-tationen darstellen:

↵1 = (52341), ↵2 = (15342), ↵3 = (12543), ↵4 = (12354)

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Beweis Seien ↵1,...,4 2 S5 definiert wie oben, dann gilt:

�1 = ↵2↵1↵2 = (21345) �2 = ↵3↵2↵3 = (13245)�3 = ↵4↵3↵4 = (12435) �4 = ↵4 = (12354)

�i vertauscht i mit i + 1 und lasst die ubrigen Zahlen gleich, man nennt sie auch ele-mentare Vertauschungen. Wir konnen also jede beliebige Permutation mit Hilfe dieserelementaren Vertauschungspermutationen schreiben. q.e.d.

Definition 5.3. Der Kommutator [↵, �] zweier Permutationen ↵ und � ist definiert als↵�↵

�1�

�1

Aufgrund von Proposition 5.1 ist zu erkennen, dass der Kommutator zweier beliebigerPermutationen eine gerade Permutation ist.

Satz 5.2. Jede gerade Permutation ist ein Produkt von Kommutatoren gerader Permu-tationen.

6 Permutationen der Nullstellen

Nun stellt sich die Frage wie Permutationen mit der Nullstellenfndung zusammenangen.

Betrachten wir nun die Nullstellen der Funktion: f(x) =

⇢C ! Cx 7! x

5 � x

Diese hat o↵enbar die beiden komplexen Nullstellen x1 = i, x2 = �i, und drei reelleNullstellen x3 = �1, x4 = 1, x5 = 0. Betrachten wir nun einmal den rellen Graph derFunktion:

Abbildung 1: Der reelle Graph unserer Funktionen

Der eingezeichnete Punkt b0 ist der Punkt an welchem die beiden reellen Nullsten eine

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doppelte Nullstelle ergeben wurden, wenn wir den Graph entlang der y-Achse verschie-ben. Wir bezeichnen a0 als die zur x-Achse senkrechte Strecke zwischen dem Punkt b0und der Funktion. Nach Lemma 4.1 kennen wir den Wert fur b0, dieser ist

14p5. Es stellt

sich nun die Frage, was passiert mit unseren Nullstellen, wenn wir ein a zur Funktionhinzuaddieren, welches entlang der reellen Achse

”in Richtung“a0 geht, die Zahl um-

rundet (mit umrunden meint man kurz in die komplexen Zahlen ausweichen, so dass agrosser wird als a0, aber nie gleich!) und wieder zum Ausganspunkt zuruckkehrt. Wirbezeichnen diese

”Wanderung“ von a als eine Schleife. Die folgende Grafik sollte dies

veranschaulichen:

Abbildung 2: Anderung von a und die Anderung der Nullstellen

Die beiden Nullstellen x4, x5 haben ihre Positionen getauscht (d.h.: x4 = 0, x5 = 1).

Wir wollen die Nullstellen nun etwas genauer betrachten und verstehen, wie es dazukommt.

Wie wir sehen konnen, bleibt die Nullstelle an der Stelle x3 = �1 relativ unverandert,sie wandert nur etwas entlang der reellen-Achse nach links, vollfuhrt dort eine ganzeDrehung und kehrt wieder an ihre Ausgansposition zuruck. Ebenso unbeindruckend ver-halten sich die beiden komplexen Nullstellen x1 = i, x2 = �i, sie wandern etwas nachlinks entlang der reellen-Achse und bleiben bezuglich der imaginaren-Achse auf ungefahrgleicher Hohe. Doch was passiert mit den beiden Nullstellen x4 und x5? Sie nahern sicheinander entlang der rellen-Achse, an dem Punkt b0 (der nicht erreicht wird weil a0 nichterreicht wird) vollfuhren die Nullstellen anstatt einer ganzen Drehung nur eine Halbdre-hung und kehren jeweils zur Ausgangsposition der jeweils anderen Nullstelle zuruck.

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Erklaren kann man sich dies folgendermaßen: Betrachten wir die Werte a fur die Funk-tion x

5�x+a, an der Nullstelle b0+ " , wobei " eine betragsmaßig sehr kleine komplexeZahl ist.

a = (b0 + ")� (b0 + ")5 ,a = b0 � b

50 + "(1� 5b40)� "

2(10b30 + 10"b20 + 5"2b0 + "

3) ,a = a0 � "

2(10b30 + 10"b20 + 5"2b0 + "

3) ,a ⇡ a0 � 10b30"

2

(Es wurden die Tatsachen verwendet, dass b0 � b

50 = a0 und 1� 5b40 = 0)

Aufgrund dieser Berechnung konnen wir erkennen, dass a in der Nahe von a0 eine volleUmdrehung um a0 macht. In Abbildung 2 sehen wir, dass die Nullstellen x4 und x5

jedoch nur eine halbe Drehung um den Punkt b0 machen. Somit tauschen die beidenNullstellen x4 und x5 ihre Position.

Weiters konnen wir aus der Abbildung 2 erkennen, dass wenn wir a durch ia ersetzen,das Gleiche entlang der positiven Imaginarachse geschieht.

Abbildung 3: Schleifen von a und induzierte Permutationen der Nullstellen

Eine Verknupfung zweier Schleifen (das heißt eine Schleife, die zuerst die erste Schleifedurchlauft und anschließend die zweite) fuhrt auf eine Permutation der Nullstellen, diedas Produkt, der zu den beiden Schleifen gehorenden Permutation ist. Abbildung 3zeigt uns die verschiedenen Schleifen von a entlang der Achsen und die dadurchinduzierte Permutation der Nullstellen.

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Satz 6.1. Zu jeder Permutation der funf Nullstellen 0,±1,±i existiert eine Schleife,die bei 0 beginnt, bei 0 endet und die (gefahrlichen) Punkte ± 4

5 4p5,± 4i

5 4p5umgeht, die zu

dieser Permutation fuhren.

Beweis: Wir nummerieren die Nullstellen folgendermaßen:

1 b= 12 b= i

3 b= �14 b= �i

5 b= 0

Sei a > 0 eine”fast reelle “Zahl (mit fast reell ist gemeint bis auf die Umrundung von

a0 wo wir in die komplexen Zahlen ausweichen mussen) dann entspricht:

die Schleife a ! a0 der Permutation(52341)die Schleife ai ! a0i der Permutation(15342)die Schleife �a ! �a0 der Permutation(12543)die Schleife �ai ! �a0i der Permutation(12354)

Nach Satz 5.1 konnen wir eine Schleife finden die jedes beliebige Produkt dieser Per-mutationen induziert. q.e.d.

7 Anderungen von a und Permutationen vonZwischenwurzeln

Angenommen unsere Gleichung x

5 � x+ a = 0 ist durch Wurzelausdrucke losbar, dannsind diese naturlich von a abhangig. Das Ganze sieht dann folgendermaßen aus:

x

k11 = p1(a),

x

k22 = p2(a, x1),

...x

kNN = pN(a, x1, . . . , xN�1)

Wie man erkennen kann, hat die Gleichung x

k11 = p1(a) fur p1(a) 6= 0 k1 verschiedene

Losungen, fur p1(a) = 0 jedoch nur eine (x1 = 0). Die Losungen sind die Nullstellen desPolynoms p1, da aber ein Polynom nur endlich viele Nullstellen hat, konnen wir die Wertevon a fur die x1 = 0 bedenkenlos als gefahrliche Punkte deklarieren. Dieselbe Uberlegunggilt auch fur xk2

2 = p2(a, x1) und somit auch fur die restlichen x

ktt = pt(a, x1, . . . , xt�1),

(t 2 {3, . . . , N}). Ein weiterer Zusamenfall der Losungen kommt vor, wenn fur zweiLosungen x1, x

,1 gilt, dass:

p2(a, x1) = p2(a, x,1)

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In diesem Fall wurde x2 zumindest wieder eine doppelte Losung haben, doch genau daswollen wir vermeiden, also deklarieren wir den zugehorigen a-Wert wieder als gefahrli-chen Punkt. Anders ausgedruckt:

Das Gleichungssystem,8<

:

x

k11 = p1(a)

(x,1)

k1 = p1(a)p2(a, x1) = p2(a, x

,1)

hat entweder endlich viele Losungen (a, x1, x,1), - in diesem Fall deklarieren wir die zuge-

horigen Werte von a als gefahrliche Punkte- , oder es hat Losungen fur alle a. Wir gehenweiter so fort und kommen dann auf eine endliche Menge von gefahrlichen Punkten.

Definition 7.1. Sei x5�x+b eine Polynomfunktion deren Nullstellen die Vielfachheit 1besitzen. Wenn fur die Polynomfunktion x

5�x+b+c, a := b+c gilt, dass die Vielfachheitihrer Nullstellen > 1 ist. So nennen wir a einen gefahrlichen Punkt.

8 Kommutatoren von Schleifen

Seien `1,`2 zwei Schleifen in der Ebene a. Der Kommutator der Schleifen [`1,`2] =`1`2`

�11 `

�12 , die zuerst Schleife `1, dann `2, dann `1 in umgekehrter Richtung und schließ-

lich `2 in umgekehrter Richtung durchlauft. Diese Schleife wird als Kommutator derSchleifen `1 und `2 bezeichnet.

Abbildung 4: li. Schleifen in der Ebene a re. Kommutator der beiden Schleifen

Lemma 8.1. Ist eine Schleife `, in der Ebene von a ein Produkt von Kommutatoren vonSchleifen (die gefahrliche Punkte umgehen), so kehrt jeder Wert von x1 (der Gleichungx

k11 = p1(a)) nach Anderung von a entlang ` zu seinem Ausgangspunkt zuruck.

Beweis: Unser x1 konnen wir schreiben als: x1 = k1p

p1(a), also sind die k1

verschiedenen Losungen fur jeden (nicht gefahrlichen) Wert von a nach Satz 2.4:

x1 , x1✏k1 , x1✏2k1 , . . . , x1✏

k1�1k1

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wobei ✏ = cos 2⇡k1

+ i sin 2⇡k1

ist. Sei ` = `1`2`�11 `

�12 . Die Anderung von a entlang `1 soll

x1 in x1✏m1k1 ”

uberfuhren“(auch die anderen Losungen x1✏rk1 gehen uber in x1✏

r+m1k1

). Die

Anderung von a entlang `2 soll x1 in x1✏m2k1 ”

uberfuhren“. DieHintereinanderausfuhrung von`1,`2,`

�11 , `�1

2 sieht folgendermaßen aus:

x1 7! x1✏m1k1

7! x1✏m1+m2k1

7! x1✏m1+m2�m1k1

7! x1✏m1+m2�m1�m2k1

= x1

Aufgrund dessen, uberfuhrt die Anderung von a entlang eines Kommutators vonSchleifen jeden Wert von x1 in sich selbst und dasselbe gilt dann naturlich fur einProdukt von Kommutatoren. q.e.d.

Lemma 8.2. Ist eine Schleife ` in der Ebene von a ein Produkt von Kommutatorenvon Produkten von Kommutatoren von Schleifen (die die gefahrlichen Punkteumgehen), so kehrt jeder Wert von x1 und x2 nach Anderung von a entlang ` zuseinem Ausgangspunkt zuruck.

Beweis: Sei ` ein Kommutator von Schleifen `1, `2, die selber Produkte vonKommutatoren sind. So uberfuhrt nach Lemma 8.1 jede Anderung von a entlang jederder Schleifen `1, `2 x1 in sich selbst. Wegen

x

k22 = p2(a, x1)

muss es fur irgendein m in x2✏mk2 ”

uberfuhrt“werden, also auch x2✏rk2 in x2✏

r+mk2

. Daher

transformieren die aufeinanderfolgenden Anderungen entlang der Schleifen`1,`2,`�11 , `�1

2

den Wert x2. Dies sieht wieder folgendermaßen aus:

x2 7! x2✏mk2 7! x2✏

m+m2k2

7! x2✏m+m2�mk2

7! x2✏m+m2�m�m2k2

= x2

Also uberfuhrt die Anderung von a entlang des Kommutators von Produkten vonKommutatoren von Schleifen, die die gefahrlichen Punkte umgehen, jeden Wert x2

(sowie jeden Wert von x1) in sich selbst. q.e.d.

Wir konnen nun auf die gleiche Art folgendes Lemma beweisen:

Lemma 8.3. Ist ` eine Schleife

N

8>><

>>:

ein Produkt von Kommutatoren von

Produkten von Kommutatoren von

..........................................................

P rodukten von Kommutatoren von

Schleifen (die die gefahrlichen Punkte umgehen), so uberfuhrt die Anderung von a

entlang ` alle Werte x1, . . . , xN in ihre Ausgangswerte.

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9 Beweis des Hauptsatzes

Satz 9.1. Die Gleichung

x

5 � x+ a = 0

ist nicht durch Wurzelausdrucke losbar.

Beweis: Wir nehmen an, dass die Gleichung durch Wurzelausdrucke losbar ist. Wirhalten eine nicht identische gerade Permutation von ↵0 von Nullstellen fest. Wir stellen↵0 als ein Produkt von Kommutatoren gerader Permutationen dar

↵0 = [↵1,↵2] · · · [↵2s�1,↵2s] .

Anschließend stellen wir jede Permutation ↵i als ein Produkt von Kommutatorengerader Permutationen dar

↵1 = [↵1,1,↵1,2] · · · [↵1,2t�1,↵2t]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Das machen wir N mal. Zu jeder Permutation ↵i1,...,N die im letzten, N -ten Schrittvorkommt, bestimmen wir eine Schleife `i1,...,N , die alle gefahrlichen Werte von a

umgeht, die diese Permutation induziert. Im Ausdruck fur ↵0 ersetzen wir jedePermutation ↵i1,...,N durch die entsprechende Schleife `i1,...,N . Wir erhalten eine Schleife,die ein N -faches Produkt von Kommutatoren von Schleifen ist. Einerseits uberfuhrtdiese Schleife nach Lemma 8.3 jeden Wert von xN in seinen Ausgangswert, andererseitsinduziert diese Schleife die (nicht identischen) Permutationen von ↵0, bei der dieNullstellen nicht wieder zu ihrem Ausgangswert zuruckgehen. Somit ist dies einWiderspruch und die Gleichung ist nicht durch Wurzelausdrucke losbar. q.e.d.

10 Resume

In dieser Arbeit wurde somit bewiesen, dass eine Gleichung funften Grades imAllgemeinen nicht durch Wurzelausdrucke losbar ist. Es gibt allerdings einige Falle(wie x

5 � x

4 � x+ 1 = 0) in denen eine Gleichung 5. Grades sehr wohl durchWurzelausdrucke gelost werden kann. Der franzosische Mathematiker Evarist Galoisentdeckte Anfang des 19. Jahrhunderts eine Methode mit der man bestimmen konnte,ob eine gegebene Gleichung (n-ten Grades) durch Wurzelausdrucke losbar ist odernicht. (genaueres daruber: Siehe Galoistheorie).Obwohl in der gesamten Arbeit nur ein Satz bewiesen wurde, ist dieser Beweis und diedamit verbundene Vorbereitung sehr komplex und eher nicht fur den Schulgebrauchgeeignet.

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