Darfman das?richard/mnu-tagung2016/print...Lehrerakademie—November14,2016—1 Darfman das? Vom Umgang mitdivergenten Reihen richardrascher-friesenhausen MNUTagung, 15.November2016

Lehrerakademie — November 14, 2016 — 1

Darf man das?Vom Umgang mit divergenten Reihen

richard rascher-friesenhausen

MNU Tagung,15. November 2016

[email protected]

richard rascher-friesenhausen • MNU Tagung — 15. November 2016

InhaltWorum Geht Es?

Mathe Hokuspokus

Darf Man Das?

Konvergenz und Divergenz

Mal Anders Summieren!

Und Nun?



Worum Geht Es?

YouTube-Video von numberphile rechnet vor, dass

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = − 112

und ernten jede Menge Kritik dafür:

▷ „This is not an astounding result, it is simply a false one. . . .“

▷ „Are those guys taking drugs?! Amazing!“

▷ „Hmmmm. I don’t understand. . . . :/“

▷ „This sort of mathematical sleigh of hand, smoke and mirrors, pulling a finitenegative rabbit out of an empty positive infinite hat does not impress me;worse yet, it gives legitimate, observable, repeatable mathematic a badname.“

numberphile.com, The New York Times

Worum Geht Es?


1 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= ?1 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 1.51 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 1.751 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 1.8751 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 1.93751 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 1.968751 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 1.9843751 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 1.9921881 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 1.9999991 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + 132 + 1

64 + 1128 + · · · =

∞∑k=0

12k

= 2

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑

k=0(−1)k = ?1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =

∞∑k=0

(−1)k = 01 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑

k=0(−1)k = 11 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =

∞∑k=0

(−1)k = 01 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑

k=0(−1)k = 11 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =

∞∑k=0

(−1)k = 01 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑

k=0(−1)k = 11 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =

∞∑k=0

(−1)k = 01 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =∞∑

k=0(−1)k = ?1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =

∞∑k=0

(−1)k = ?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑

k=0k = ?1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =

∞∑k=0

k = 11 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑

k=0k = 31 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =

∞∑k=0

k = 61 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑

k=0k = 101 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =

∞∑k=0

k = 151 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑

k=0k = 211 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =

∞∑k=0

k = 281 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + · · · =∞∑

k=0k = ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

50

100

150

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

50

100

150

200

Wollen unendlich viele Zahlen addieren und schaun, ob und was rauskommt.

a0 + a1 + a2 + · · · + ak + · · · =∞∑

k=0ak = ? ‚Reihe‘

Etwa

Oder

Und

Und viele mehr1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + · · · =

∞∑k=0

(−1)k−1k = ?

1 − 12 + 1

3 − 14 + 1

5 − · · · =∞∑

k=1(−1)k+1 1

k= ln(2)

1 − 13 + 1

5 − 17 + 1

9 − · · · =∞∑

k=0(−1)k 1

2 k + 1 = π

4

Halten fest: Manchmal kommt was raus. Manchmal auch nicht!


Worum Geht Es?


Einfaches Aufsummieren teilt die Welt aller Reihen∑

ak auf in

‚konvergent‘ versus ‚divergent‘

∑(12)k

∑(−1)k 1

k ∑(−1)k

∑(−1)k k

∑k


Mathe Hokuspokus

. . . oder wie in dem YouTube-Video gerechnet wurde.

The New York Times; numberphile.com


Mathe Hokuspokus


G = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·+ G = 0 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · ·

2 G = 1D.h. 2 G = 1 oder G = 1

2 .

Also ∑∞k=0(−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =HP 1

2

A = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + · · ·+ A = 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − · · ·

2 A = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·D.h. 2 A = G = 1

2 oder A = 14 .

Also ∑∞k=1(−1)k+1 k = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · =HP 1

4

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + · · ·+ − A = −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − · · ·

S − A = 4 + 8 + 12 + 16 + · · ·

D.h. S − A = 4 S oder 3 S = −A = −14

oder S = − 112 .

Und letztlich ∑∞k=1 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · =HP − 1

12The New York Times


Darf Man Das?Zuvor eine historische Bemerkung:

„Divergente Reihen sind eine Erfindung des Teufels, und es ist ein Jammereinen Beweis darauf zu gründen.“

N.H. Abel (Jan.1826)

Grenzwerte G, A und S existieren ja nicht und dann darf man auch nicht sorechnen. Erlaubt nur für konvergente Reihen.

Niels Henrik Abel

Damit lautet die Antwort also:

Nein, darf man nicht. Aber . . .

MacTutor History of Math


Darf Man Das?


Aber andere machen das auch!

Leonhard Euler Srinivasa Ramanujan Geofrey Hardy Terence Tao Joseph Polchinski

MacTutor History of Math; Wikipedia.en

Darf Man Das?


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

√4√

−4?

R−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

√4√

−4?

√−4 C

i

2i

Und überhaupt. Aus negativen Zahlen darf man auch keine Quadratwurzel ziehen.√

4 = 2 aber√

−4 = ?

Trotzdem machen Mathematiker das! Sie finden einen neuen, konsistenten, Kontext: Die Menge der ‚komplexen Zahlen‘ Cmit imaginärer Einheit i2 = −1. Darin

√4 = 2 und

√−4 = 2 i

Das bisherige Rechnen bleibt erhalten: R ⊂ C.




Augustine Louis Cauchy

Reihenwert S von∑∞

k=1 ak wird durch Aufaddieren der Summanden (der Reihe nach) ermittelt: ‚Partialsummen‘

sK = a1 + a2 + · · · + aK

Und dann schauen, ob für K → ∞ etwas herauskommt.

Definition: Eine Reihe∑∞

k=1 ak heißt ‚konvergent‘ oder ‚Cauchy-summierbar‘ mit demWert S, wenn die Folge der Partialsummen {sK}K∈N gegen S konvergiert:

sK −→ S für K → ∞.

Dann schreibt man S =∑∞

k=1 ak. Ansonsten heißt∑∞

k=1 ak ‚divergent‘.

Das Aufaddieren der ak kommt dem Wert S schließlich beliebig nahe.




Für∑∞

k=012k gilt (‚geometrische Reihe‘)

sK = 1 + 12 + 1

4 + 18 + 1

16 + · · · + 12K

= 1 − 1/2K+1

1 − 1/2 = 2 · (1 − 12K+1 ) −→

K→∞2

Also ∞∑k=0

12k

= 2 konvergent

Für∑∞

k=0(−1)k gilt (‚Grandi-Reihe‘)

sK = 1 − 1 + 1 − · · · ± 1 ={

0 für K gerade1 für K ungerade −→

K→∞?

Also ∞∑k=0

(−1)k =? divergent

Für∑∞

k=0 k gilt (‚unsere Reihe‘)

sK = 1 + 2 + 3 + · · · + K = 12 K (K + 1) −→

K→∞∞

Also ∞∑k=0

k = ∞ divergent




Augustine Louis Cauchy

konvergent divergent

∑(12)k

∑(−1)k 1

k ∑(−1)k

∑(−1)k k

∑k




Noch etwas strenger ist


k=1 ak heißt ‚absolut-konvergent‘, wenn die Reihe∑∞

k=1 |ak| konvergent ist.

Etwa

1 − 14 + 1

9 − 116 + · · · =

∞∑k=1

(−1)k+1 1k2 = 1

12 π2

ist absolut konvergent, weil auch

1 + 14 + 1

9 + 116 + · · · =

∞∑k=1

1k2 = 1

6 π2.

konvergent.

Satz: Jede absolut-konvergente Reihe ist auch konvergent.

Bew.: Über Cauchy-Konvergenz-Kriterium und Dreiecksungleichung.




Aber

1 − 12 + 1

3 − 14 + 1

5 − 16 + 1

7 − 18 + · · · =

∞∑k=1

(−1)k+1 1k

= ln(2) konvergent

mit Leibniz-Kriterium und

1 + 12 + 1

3 + 14 + 1

5 + 16 + 1

7 + 18 + · · · =

∞∑k=1

1k

= ∞ divergent

D.h. die alternierende harmonische Reihe ist nicht absolut konvergent.

Definition: Eine konvergente, aber nicht absolut-konvergente, Reihe heißt ‚bedingt konvergent‘.

Die alternierende harmonische Reihe ist bedingt konvergent. Wie auch bspw.∞∑

k=1(−1)k 1√

k= (

√2 − 1) ζ(1

2) = −0.6048986 . . . .

Eine konvergente Reihe benötigt unendlich viele Vorzeichenwechsel, um nicht absolut-konvergent sein zu können. Und dieSummen der positiven und negativen Summanden müssen jeweils divergieren.




∑(12)k

∑(−1)k 1

k2

∑(−1)k 1

k ∑(−1)k

∑(−1)k k

∑k

∑ 1k

absolut konvergent

bedingt konvergent




Mit bedingt konvergenten Reihen kann man schon ein wenig Hokuspokus machen. Mit absolut-konvergenten nicht!

Das Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nicht mehr: ‚Umordnung‘.

1 − 12 + 1

3 − 14 + 1

5 − 16 + 1

7 − 18 + · · · =

∞∑k=1

(1

2 k − 1 − 12 k

)

=∞∑

k=1(−1)k+1 1

k= ln(2) = 0.693147 . . .

1 − 12 − 1

4 + 13 − 1

6 − 18 + 1

5 − · · · =∞∑

k=1

12 k − 1 − 1

2 (2 k − 1) − 14 k

=∞∑

k=1

12

(1

2 k − 1 − 12 k

)

= 12

∞∑k=1

(1

2 k − 1 − 12 k

)= 1

2 ln(2) = 0.34657 . . .

Dieselben Summanden, aber eine andere Summe.1 + 1

3 − 12 + 1

5 + 17 − 1

4 + 19 + · · · = 3

2 ln(2). Siehe Appendix.



Allgemeiner gilt der Riemann’sche Umordnungssatz

Satz: Ist∑∞

k=1 ak bedingt konvergent, dann existiert zu jeder Zahl S ∈ R ∪ {−∞, ∞} eine Umordnung σ der Sum-manden, so daß

∑∞k=1 aσ(k) gegen S konvergiert.

Beweisidee:Vorab: Es gibt unendliche viele positive und negative Summanden und ihre jeweiligen Summen divergieren.

Sei S ≥ 0, dann

1. Addiere zunächst soviele positive Summanden, bis Summe erstmals größer S.2. Addiere soviele negative Summanden, bis Summe erstmals kleiner S.3. Wiederhole die Schritte unendlich oft.

Da die einzelnen Summanden absolut gegen Null laufen, konvergiert die Gesamtsumme im ZickZack gegen S.

Für S < 0 vertauschen wir die Schritte 1. und 2.

Soviel zu den konvergenten Reihen. Nun zu den divergenten.




Hatten schon divergente Reihen kennengelernt. Diese kommen in zwei Versionen.

1. Entweder, Summe fällt unter/steigt über jeden Wert: ‚bestimmt divergent‘∞∑

k=02k = ∞, denn sK =

K∑k=0

2k = 1 − 2K+1

1 − 2 = 2K+1 − 1 → ∞ für K → ∞

2. Oder Summe weiß nicht wohin: ‚unbestimmt divergent‘∞∑

k=0(−1)k =?, denn sK = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · ± 1 =

{1 K gerade0 K ungerade


∑(12)k

∑(−1)k 1

k2

∑(−1)k 1

k ∑(−1)k

∑(−1)k k

∑2k

∑k

∑ 1k

unbestimmt divergent bestimmt divergent



Luigi Guido Grandi

Drauflos Rechnen mit divergenten Reihen ist Hokuspokus.

Etwa für die unbestimmt divergente ‚Grandi-Reihe‘∑∞

k=0(−1)k:

G = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · =HP (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0

G = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · =HP 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1

1 − G =HP 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) =HP 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = G ⇒ G =HP 12

Sogar für beliebige p, q ∈ N mit p < q ist

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · = G =HP p

q∈ (0, 1)

‚errechenbar‘ (mit Polynomdivision und Regel von de L’Hospital). Siehe Appendix.





Oder für die bestimmt divergente geometrische Reihe∑∞

k=0 2k:∞∑

k=02k = S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·

= 1 + 2 · (1 + 2 + 4 + 8 + · · ·) = 1 + 2 S

⇒ S = −1

Hier wird nochmal deutlich:

Bei divergenten Reihen sind die üblichen Rechenregeln der Addition und Multilikation nicht mehr gefahrlos anwendbar.



Bisher nacheinander aufaddiert, also ‚Partialsummen‘ sK = a1 + a2 + · · · + aK gebildet.∑∞k=1 ak ‚konvergent‘ (‚Cauchy-summierbar‘) mit Wert S, wenn limK→∞ sK = S. Und dann

∑∞k=1 ak = S.

Viele andere ‚Summationsverfahren‘:

Abel, Borel, Cesaro, Euler, Lambert, Ramanujan, . . . .

Definieren jeweils neuen, konsistenten Kontext für Reihenwerte.




Ernesto Cesaro

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20K

sK

0

0.25

0.50

0.75

1

Betrachten jetzt einmal Mittelwerte der Partialsummen.


k=1 ak heißt ‚Cesaro-summierbar‘ mit Wert S, wenn der Grenz-wert limK→∞

1K (s1+s2+· · ·+sK) = S existiert. Wir schreiben dann

∑∞k=1 ak =C S.

Etwa für∑∞

k=0(−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =C 12

1K + 1

K∑n=0

sn ={

12 + 1

2 (K+1) für K gerade12 für K ungerade




Aber∞∑

k=1(−1)k−1 k = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · ·

ist nicht Cesaro-summierbar, denn

sn = 1 − 2 + 3 − · · · ± n ={

k für n = 2 k − 1,−k für n = 2 k.

Hier erkennt man auch die unbestimmte Divergenz der Reihe.Weiter gilt damit

1K

K∑n=1

sn ={ 1

2 + 12 K für K ungerade,

0 für K gerade.

Hat keinen Grenzwert für K → ∞.




Leider gilt

Satz: Jede bestimmt divergente Reihe ist nicht Cesaro-summierbar.

Damit sind insbesondere∑∞

k=1 k und∑∞

k=11k nicht Cesaro-summierbar.

Dafür gilt aber

Satz: Jede konvergente Reihe ist Cesaro-summierbar mit gleichem Wert.



Ernesto Cesaro

Erweiterung der konvergenten zu ‚Cesaro-summierbaren‘ Reihen.


∑(12)k

∑(−1)k 1

k ∑(−1)k

∑(−1)k k

∑2k

∑k

∑1k

Cesaro summierbar





Niels Henrik Abel

Betrachten jetzt einmal Potenzreihen.


k=0 ak heißt ‚Abel-summierbar‘ mit Wert S, wenn f(x) =∑∞k=0 ak xk für |x| < 1 konvergiert und limx→1− f(x) = S existiert. Wir schreiben

dann∑∞

k=0 ak =A S.

Etwa für∑∞

k=0(−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · =A 12

f(x) = 1 − x + x2 − x3 + · · · =∞∑

k=0(−x)k = 1

1 + xund f(1) = 1

2

Und für∑∞

k=0(−1)k (k + 1) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + · · · =A 14

f(x) = 1 − 2 x + 3 x2 − 4 x3 + · · · =∞∑

n=0(k + 1) (−x)k =

( ∞∑n=0

(−x)k

)2

= 1(1 + x)2 und f(1) = 1

4

Aus der unendlichen Summation wird eine Funktionsauswertung.




Leider gilt immer noch

Satz: Jede bestimmt divergente Reihe ist nicht Abel-summierbar.

Damit sind insbesondere∑∞

k=1 k und∑∞

k=11k nicht Abel-summierbar.

Dafür gilt aber

Satz: Jede Cesaro-summierbare Reihe ist Abel-summierbar mit gleichem Wert.




Niels Henrik Abel

Und noch mehr Erweiterung zu ‚Abel-summierbaren‘ Reihen.


∑(12)k

∑(−1)k 1

k ∑(−1)k

∑(−1)k k

∑2k

∑k

∑1k

Cesaro summierbar Abel summierbar




Leonhard Euler


k=0 ak heißt ‚Euler-summierbar‘ mit Wert S, wenn f(x) =∑∞k=0 ak xk für |x| < ε konvergiert und f(1) = S existiert. Wir schreiben dann∑∞k=0 ak =E S.

Konvergenzbereich der Potenzreihe muß nicht mehr ganz (−1, 1) enthalten.Funktion muß nur stetig erweiterbar bis x = 1 sein.

Etwa für∑∞

k=0 2k = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + · · · =E −1

f(x) =∞∑

k=02k xk =

∞∑k=0

(2 x)k = 11 − 2 x

∀|x| <12 und f(1) = −1

Unsere Reihe∑∞

k=1 k = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · noch nicht dabei, deshalb . . .





−3 −2 −1 0 1 2 3

i

2i

−i

−2i

Re(s) > 1

−3 −2 −1 0 1 2 3

i

2i

−i

−2i

C \ {1}

Nochmal anders Argumentieren. Mit der ‚Riemann-Zeta-Funktion‘

ζ(s) =∞∑

k=1

1ks

= 1 + 2−s + 3−s + 4−s + · · · für s ∈ C mit Re(s) > 1.

Formal giltζ(−1) = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =

∞∑k=1

k

Aber s = −1 liegt nicht im Definitionsbereich. ζ besitzt analytische Fortsetzung

ζ(s) = 11 − 21−s

∞∑n=0

12n+1

n∑k=0

(−1)k(n

k

)(k + 1)−s für s ∈ C \ {1}.

Hier gilt tatsächlich

ζ(−1) = − 112 =ζ 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =

∞∑k=1

k

Damit dann auch

1 + 22 + 32 + 42 + · · · =ζ 0 = ζ(−2) oder 1 + 1 + 1 + 1 + · · · =ζ −12 = ζ(0)



Nochmal ganz anders Argumentieren. Mit ‚regularisierter Summierung‘.

Aus

S =∞∑

k=1k

wird mit ‚Regulator‘ R(ε) = exp(−ε k) für ε ≥ 0

S(ε) =∞∑

k=1k e−ε k

Offensichtlich S = S(0). Weniger offensichtlich

S(ε) =∞∑

k=1k e−ε k = eε

(eε − 1)2 = 1ε2 − 1

12 + O(ε2)

Dann für ε → 0 und unter Missachtung der Unendlichkeit in 1/ε2

S(0) = − 112 =R 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =

∞∑k=1

k

So machen es die Physiker in der String-Theorie.



Und Nun?Unbedingt den Kontext beachten! Euler sagt dazu:

„Ich glaube, dass jede Reihe einen bestimmten Wert haben müsse. Um aberallen Schwierigkeiten, welche dagegen gemacht worden, zu begegenen, sosollte dieser Wert nicht mit dem Namen der Summe belegt werden, weilman diesem Wort gemeiniglich einen solchen Begriff verknüpfen pflegt,als wenn die Summe durch eine wirkliche Summierung herausgebrachtwürde: . . .“

G.H.Hardy: Divergent Series, p.15

Leonhard EulerWenn wir addieren, dann

1 + 2 + 3 + 4 + · · · =∞∑

k=0k = ∞. 1 + 2 + 3 + 4 + · · · ̸= − 1

12

Aber wir haben in anderen Kontext gesehen

1 + 2 + 3 + 4 + · · · =HP − 112 , 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =ζ − 1

12 , 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =R − 112

Damit scheint − 112 ein vernünftiger, endlicher Wert zu sein, wenn man denn einen für die divergente Reihe

∑k finden

muss. Z.B. in der String-Theorie.



AppendixEine Sammlung weiterer Folien.

Appendix


Leonhard Euler(1768):

Remarques sur un beau rapport entre les series des puissance tant directes que reciproques, S. 85


Appendix


Srinivasa Alyangar Ramanujan(1919):

First Notebook, Chapter 8, p.3

Appendix


Godfrey Harold Hardy(1949):

Divergent Series, p.6


Appendix


Terence Tao(2010):

The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, ...

Appendix


Joseph Polchinski(2005):

String Theory, p.22


Appendix


◁Oder nochmal alternierende harmonische Reihe

1 − 12 + 1

3 − 14 + 1

5 − 16 + 1

7 − 18 + · · · = ln(2)

+12 − 1

4 + 16 − 1

8 + · · · = 12 ln(2)

1 + 13 − 1

2 + 15 + 1

7 − 14 + · · · = 3

2 ln(2)

Noch eine andere Umordnung mit noch einem anderem Summenwert.

Appendix


◁FÃ1/4r p, q ∈ N mit p < q gilt zum einen

f(x) = 1 − xp

1 − xq= (1 − xp) ·

∞∑k=0

(xq)k = (1 − xp) · (1 + xq + x2 q + x3 q + · · ·)

= 1 − xp + xq − xq+p + x2 q − x2 q+p + · · ·

Speziell fÃ1/4r x = 1 erhalten wir den Ausdruck

f(1) = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · = G

Formal ist f(1) ein unbestimmter Ausdruck der Form

limx→1

1 − xp

1 − xq= ‚00 ‘

Mit der Regel von de L’Hospital ergibt sich

f(1) = limx→1

1 − xp

1 − xq= lim

x→1

−p xp−1

−q xq−1 = p

q= G.


Appendix


Noch mehr HokusPokus nach L. Euler:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · = G = 12

Dann berachte

S = 1 + 1 + 1 + · · · = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 12

+ 0 + 2 + 0 + 2 + · · · = 2 S

Also

S = 2 S + 12 ⇔ S = −1

2Oder

∞∑k=0

1 = −12

Appendix


Noch etwas allgemeiner

Definition: Ein Summationsverfahren V heiÃ t ‚linear‘, wenn∑ak =V S ⇒

∑α ak =V α S

∑ak =V S und

∑bk =V T ⇒

∑(ak + bk) =V S + T

a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + · · · =V S ⇒ a1 + a2 + a3 + a4 + · · · =V S − a0

Definition: Es heiÃ t ‚regulÃ r‘, wenn dieselben Werte fÃ1/4r konvergente Reihen herauskommen. Und ‚total regulÃ r‘,wenn dies auch fÃ1/4r bestimmt divergente Reihen gilt.

Cesaro und Abel bilden lineare und total regulÃ re Summationsverfahren.

Deshalb ist unsere Reihe∑∞

k=1 k auch nicht dabei!

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Darfman das?richard/mnu-tagung2016/print...Lehrerakademie—November14,2016—1 Darfman das? Vom Umgang mitdivergenten Reihen richardrascher-friesenhausen MNUTagung, 15.November2016