Das Kepler-Problem

Max Camenzind - Akademie HD - Mai 2016

• In der Physik bezeichnet man als Zweikörper-Problem die Aufgabe, die Bewegung zweier Körper, die ohne äußere Einflüsse nur miteinander wechselwirken, zu berechnen. Speziell wird als Zweikörper-Problem auch die Aufgabe der klassischen Mechanik bezeichnet, die Bewegung zweier Körper zu berechnen, die sich gegenseitig mit einer Kraft anziehen oder abstoßen, die proportional zum Quadrat des inversen gegenseitigen Abstandes abnimmt.

• Im astronomischen Kontext wird das Problem auch als Kepler-Problem bezeichnet. Ursprünglich wurde angenommen, das Zweikörper-Problem würde zur Beschreibung eines heliozentrischen Kosmos ausreichen. Dem ist leider nicht so!

Das Zweikörper-Problem

Das Zweikörper-Problem

Inhalt

• Die Situation zu Newtons Zeiten.

• Das Gravitationsgesetz von Newton.

• Newtonsche Mechanik und Lagrange-Formalismus.

• Die Reduktion des 2-Körper-Problems:

• Bewegung des Schwerpunktes;

• Reduzierte Masse;

• Lösung des reduzierten Problems;

• Diskussion der Kepler-Gesetze;

Die Situation zu Newtons Zeit

Kopernikus setzt die Sonne

ins Zentrum des Sonnen-

systems

Johannes Kepler untersucht

Tycho Brahes Planetendaten

Findet in 40 Jahren 3 Gesetze

wäre heute ein Problem!

Kepler-Gesetze nach J. Kepler

3. Kepler-Gesetz

Const Für alle Planeten

(T²/a³)Erde = 2,97 x 10-19 s²/m³

Ad 1. Kepler-Gesetz: Schnur-Konstruktion der Ellipse

Schnur-Länge = 2a

Was sind Ellipsen ? Immer durch 2 Parameter

bestimmt ! z.B. a & b

2 Parameter einer Ellipse

Ad 2. Kepler-Gesetz „Flächensatz“

Ad 3. Kepler-Gesetz Je weiter weg der Planet, desto langsamer

Umlaufszeiten nehmen zu

Kritische Frage: Sind Planetenbahnen

wirklich Ellipsen? Nein!

Das Newtonsche Gravitationsgesetz Die Anziehung der Massen ist universell

Max Camenzind 11.06.2016

Das Gravitationsgesetz vektoriell Gravitationskraft ist proportional

- zur schweren Masse der beiden Körper

- zum Quadrat des reziproken Abstandes

- wirkt in Richtung der Verbindungsgraden

2r

1r

y

x

z 1m

2m 21K21 ~,~ mm

12

2 mit1~ rr dd

12

1212

rr

rre

Gravitationskraft

3

12

122112

rr

rrK

mGm

kg

G2

314-

s

m1046672

mit der Gravitationskonstanten

Die Gravitationskonstante Newton

FG = G

G = Gravitationskonstante

G = 6,6719x10-11 m³/(kg s²)

M1 und M2 = Massen der Körper

r = Abstand zwischen den Körpern

Gravitationsgesetz gilt hier auf der Erde und überall im Kosmos – auch im Sonnensystem gegen Aristoteles!

M1M2

r2

Das Cavendish Experiment (1798) G

Das Gravitationsfeld

Gravitationsfeld überträgt die Kräfte zwischen den Körpern eine Eigenschaft

des Raumes wie Magnetfeld oder el. Feld.

Feldstärke = Beschleunigung:

g = GM / r2

Diese Feldstärke hängt nicht von der Masse M2 des Probekörpers ab. Die Kraft beträgt:

GM1M2/r2 = M2g = FG = Fw

Gravitation ist für Gewicht verantwortlich.

Die Gravitative Feldstärke

Die Masse der Erde beträgt 6,0x1024 kg und ihr Radius 6378 km. Wie groß ist die gravitative Feldstärke an der Oberfläche der Erde?

g = GM/R2

g = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(6,0x1024 kg) / (6,378x106 m)2

g = 9,81 m/s2

Ein Planet habe den Radius 3500 km und eine Oberflächen-gravitation von 3,8 m/s2. Wie groß ist die Masse des Planeten?

(3,8 m/s2) = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(M) / (3,5x106 m)2

(3,8 m/s2) = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(M) / (1,2x1013 m2)

M = (4,6x1013 m3/s2) / (6,67x10-11 Nm2/kg2)

M = 6,9x1023 kg

Max Camenzind 11.06.2016

Jeder Raumpunkt trägt ein Feld Gravitationsgesetz

Newtonsche Bewegungsgleichung

gleichsetzen

Feldstärke

3

12

122112

rr

rrK

mGm

Kr 22m

3

QP

QP

QPQ Gmrr

rrrg

2 12 1 3

2 1

Gm

r rr

r r

2

mN kg

s

2

m

s

2

m

s

Was Newton nicht wusste

Newton wusste nicht, was Gravitation erzeugt, obschon er erkannte, dass alle Körper auf Gravitation reagieren.

Für Newton war Gravitation einfach eine Eigenschaft von Körpern.

Newton konnte auch nicht erklären, wie Körper Gravitation erzeugen, wenn sie sich nicht berühren Der Feldbegriff fehlte damals noch!

Er liebte die Idee “action-at-a-distance” nicht.

Die Newtonschen Bewegungsgleichgn

Das Zwei-Körper-Problem

Diese Gleichungen sind in dieser Form auch für 2 Körper nur numerisch lösbar!

X X

X

Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrange-Funktion, beschrieben wird. Der Formalismus ist (im Gegensatz zu der Newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig. Der Lagrange-Formalismus ist invariant gegen Koordinatentransformationen. Aus der Lagrange-Funktion lassen sich die Bewegungsgleichungen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, da sich, im Gegensatz zu der Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze, einfach formulieren lassen.

Lagrange Extremalprinzip

Euler-Lagrange-Gleichungen

Kinetische minus potenzielle Energie

Extremalprinzip Wirkung I = ∫ L dt:

• Bewegungsgleichungen resultieren

aus Extremalprinzip für den Lagrange (1788)

),(),(),,( qqqqq tVTtL

0

qq

LL

dt

d

Herleitung Euler-Lagrange Für Mathematisch Interessierte

Variation des Wirkungsintegrals

Partielle Integration

Endpunkte werden fest gehalten.

Alle Koordinaten sind unabhängig:

Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen für ein System von N Massen, j = 1,…,3N.

October 21, 2010

Newtonsche Mechanik • Wir betrachten ein Teilchen mit Masse m in 2 Dimensionen, in Kartesischen

Koordinaten (x,y), mit potenzieller Energie U(x, y), der Lagrange

• In diesem Fall ergeben sich 2 Lagrange-Gleichungen

• Die linke Seite entspricht der Kraft

• Die rechte Seite der Beschleunigung

• Beide Seiten ergeben das Newtonsche Bewegungsgesetz in Vektorform

).,()( 22

21 yxUyxm L

. ,ydt

d

yxdt

d

x

LLLL

. , yx Fy

U

yF

x

U

x

LL

. , ymymdt

d

ydt

dxmxm

dt

d

xdt

d

LL

.oder , aF mymFxmF yx

Das 2-Körper-Problem

• Der Lagrange des Systems in Kartesischen Koord:

• In dieser Schreibweise sieht das Problem nicht sehr

angenehm aus: alle 6 Koordinaten sind im Potenzial

vermischt.

• Wir suchen eine einfachere Formulierung:

3

1

2

21

3

1

2

1

2

)(2

)(

i

ii

i j

ijjrrV

rmL

2

21

2

22

2

11 )(2

)(

2

)(rrV

rmrm

Schwerpunkt-Koordinaten

r2

r1

Sonne

Planet

S

on

ne

nb

ew

eg

un

g

u

m S

ch

werp

un

kt

+

220 km/s

220 km/s

Gal Orientierung Sonnensystem

Galaktisches Zentrum

Ekliptik

Ebene

Galaktische Scheibe

Rotation um

Zentrum

Galaktisches Zentrum

Kepler-Gesetze nach Newton

Kepler-Gesetze beweisbar?

Kinetische Energie & Potenzial

Massenmittelpunkt & CM Koordinaten

• Dazu führen wir relative Koordinaten ein:

• R Massenmittelpunkt

•

•

21

221121 ;

mm

rmrmRrrr

21

12

21

21

mm

rmRr

mm

rmRr

2

21

12

2

2

21

22

1 )(;)(

mm

rmRr

mm

rmRr

r1

r2

Lagrange in CM-Koordinaten

• Einsetzen und ausrechnen:

2

21

2

22

2

11 )(2

)(

2

)(rrV

rmrmL

2

2

21

12

2

21

21

)(22

rVmm

rmRm

mm

rmRm

rVmm

rmm

mm

rRmmRm

mm

rmm

mm

rRmmRm

2

21

2

12

21

21

2

2

2

21

2

21

21

21

2

1

)(2

2

)(

)(22

)(

2

))(( 2

21 Rmm

rV

mm

rmm

)(2

)(

21

2

21

Bewegung des Schwerpunktes

• Der Lagrange in den neuen Koordinaten:

• Potenzial hängt nicht von CM ab!

• Die Euler-Lagrange-Gleichungen implizieren

Bewegung des Schwerpunktes

• Totaler Impuls des Systems P = MV ist erhalten:

Bewegungsintegral CM bewegt sich linear.

rVmm

rmmRmmL

)(2

)(

2

))((

21

2

21

2

21

ii R

L

dt

d

R

L

const

R

L

i

iRmm )( 21 iP

Das Reduzierte 2-Körper-Problem

• Der Lagrange in CM-Koordinaten:

• Umeichung des Lagrange

• konstanter Term ist nicht relevant.

rVmm

rmmRmmL

)(2

)(

2

))((

21

2

21

2

21

rVmm

rmm

mm

P

)(2

)(

)(2

)(

21

2

21

21

2

rVmm

rmm

mm

PLL

)(2

)(

)(2

)('

21

2

21

21

2

Das Reduzierte 2-Körper-Problem

• Der neue Lagrange:

• Damit haben wir das ursprüngliche 2-Körper-

Problem auf ein 1-Körper Problem in einem Zentral-

potenzial (Potenzial, das nur vom Abstand r zwischen

den Körpern abhängt) reduziert.

• m = µ = m1m2/(m1+m2): reduzierte Masse

• Anzahl Freiheitsgrade nur noch: 3

• Dimension des Phasenraumes: 6

rVmm

rmmL

)(2

)('

21

2

21 rVrm

2

)( 2 21

21

mm

mmm

Sphärische Koordinaten

• Zentralpotenzial ist sphärisch symmetrisch

• Günstig in sphärischen Koordinaten zu arbeiten

cos ;sinsin ;cossin rrrrrr zyx

)(2

) sin('

222222

rVrrrm

L

222

2222

2

)(

2

)(' zyx

zyxrrrV

rrrmrV

rmL

Sphärische Symmetrie Referenzebene

• Die Euler-Lagrange-Gleichung für φ

• Die φ Koordinate ist zyklisch:

• Da das System sphärisch symmetrisch ist, haben wir

eine Freiheit in der Wahl des Referenzsystems.

• Wir wählen dies wie folgt: die Anfangsgeschwindigkeit

liege in der Ebene φ = const

•

)(2/) sin(' 222222 rVrrrmL

0''

LL

dt

d constpmr

L

sin' 22

22 sin

mr

p

0 0 0 p 0

Drehimpulserhaltung in der -Ebene

• Euler-Lagrange Gleichung für θ

• Die θ Koordinate ist ebenso zyklisch.

• Der entsprechende Impuls zur θ Koordinate

• Drehimpuls in der Bewegungsebene relativ zum

Ursprung ist erhalten

)(2/) sin(' 222222 rVrrrmL

constmr 2

0''

LL

dt

d

constJrprmvrmrmr 2

Lp

Das Effektive Potenzial

• effektives Potenzial

• Die totale Energie hängt effektiv nur von einer

Koordinate ab, der Koordinate r.

• Damit reduzierten wir das 2-Körper-Problem auf ein

1-Körper-Problem eines Teilchens mit reduzierter

Masse m im effektiven Potenzial Veff(r).

• Anzahl Freiheitsgrade: 1

• Dimension des Phasenraumes: 2

Da 2 Erhaltungsgrößen existieren, totale Energie E

und Drehimpuls J, ist das Problem integrabel !

)(2

2 2

22

rVmr

p

m

pE r constJp

)(2

)(2

2

rVmr

JrVeff

Die totale Energie E im reduzierten 2-Körper-Problem

Das effektive Potenzial

Veff(r)

Abb.: Effektives Potenzial Veff(r) bei der Bewegung

in einem Zentralfeld

ungebunden

gebunden

E = 0 Parabelbahn

Das effektive Potenzial

rmin

Die Radiale Bewegungsgleichung

• Energieerhaltung: totale Energie ist erhalten

)(2

2 2

22

rVmr

p

m

pH r

0

t

H

dt

dH EconstH

E

)(

22

2

2

rVmr

pEmpr

rmr

Lpr

'

Die Bahngleichung nicht lösbar als f(t)

)(

2

2

2

2

rVmr

JE

mr

)(2

2

2

2

rVmr

JE

m

drdt

2

mr

J

J

dmrdt

2

)(2

2

2

2

2

rVmr

JE

m

dr

J

dmr

• Diese Bahngleichung kann integriert werden für

Potenziale der Form (sog. Potenzgesetze)

Falls n = 2, - 1, - 2, kann das Integral als

trigonometrische Funktion ausgedrückt werden.

• Falls n = 6, 4, 1, - 3, - 4, - 6, kann das Integral als

elliptische Funktion ausgedrückt werden.

r

rrV

mr

JEmr

drJ

0 )(2

2

2

22

0

narrV )(

Die Bahn-Anomalie als Func(r)

Das Kepler-Problem

• Kepler Potenzial:

• beschreibt gravitative und elektrostatische

Wechselwirkung

• Attraktiv:

• Repulsiv:

• Integral:

r

k

mr

JEmr

Jdr

2

22

0

22

Johannes Kepler

(1571-1630)

1)( rrV

0;)( 21 mGmkr

krV

0;)( kr

krV

Das Kepler-Problem - Integration

• Betrachten wir ein attraktives Potenzial:

• Integraltafel

0

)(

k

r

krV

2

22

0

22

mr

J

r

kEmr

Jdr

ur

1

22

0

/)(2

uJkuEm

du

4

2arccos

22

u

uu

du

2

2

J

mE

2

2

J

mk

Das Kepler-

Problem

2

2

2

2

0

24

2

22

arccos

J

mE

J

mk

J

mku

2

2

2

0

21

1

arccos

mk

EJ

km

uJ

Das Kepler-Problem – arccos

invertieren

ru

1

km

uJ

mk

EJ 2

02

2

)cos(2

11

rmk

EJ

J

km 1 )cos(

211 02

2

2

Das Kepler-Problem – radiale Lösung

• Damit haben wir die radiale Bahnform erhalten,

parametrisiert durch totale Energie E und Drehimpuls.

• Abhängig von den Konstanten C und e nimmt die

Form der Bahn verschiedene Gestalt an. e < 1, falls

E < 0, d.h. für gebundene Bahnen! e = 0 Kreisbahn.

• Für ein positives C (Attraktion) repräsentieren die

Bahnen Kegelschnitte: Ellipsen, Parabel und Hyperbel.

)cos(

211

102

2

2

mk

EJ

J

km

r

)cos(1 1

0 eCr

pCJ

km/1

2

emk

EJ

21

2

2

Polarform: r() = p/(1 + e cos())

p

Gebundene Bahnen sind Ellipsen

• Falls

• ist reell und ist positiv.

• Der Orbit ist eine Ellipse mit Fokus verschoben vom

Ursprung um und zwei Hauptachsen und

• Parameter p = 1/C semilatus rectum

10 e

21 e

1

22

0

b

r

a

rr yxx

be

p

21

2b

ba0xr

ae

p

21p

ea

Ellipsengleichung

Kartesisch a = 3

b = 2

e = ?

p = ?

Fokalpunkte = ?

Polargleichung r = ?

x

y

Gebundene Bahnen E < 0 Ellipsen

• Ellipse: Pendelbahn zwischen

2 Radien

10 e 12

102

2

mk

Ep 02

2

2

Ep

mk

2

2

min2

)(p

mkrVeff

0)( min ErVeff

1

22

0

b

r

a

rr yxx

Perihel

Aphel

Aphel

Die Exzentrizität der Kepler-Bahn

• Der Parameter e ist die Exzentrizität der Ellipse

• Für konstante Energie nimmt Perihel

ab mit zunehmender Exzentrizität

1

22

0

b

r

a

rr yxx

ae

p

21b

e

p

21e

a

ba

22

021xr

e

ep

e

pra x

10

p

Anhang: Geometrie der Kepler-Bahnen

• Falls )cos(1 1

0 eCr

0e

r

rer

C

x1 1

xerr

r

rx )cos( 0

xerC

r 1

2222 2 xx reperpr 22

yx rr

xerp

2222 2)1( prperre yxx

Anhang: Geometrie der Kepler-Bahnen 2

• Falls 1e

1 1

1

1 2

222

2

22

yx r

p

e

e

epr

p

e

be

p

21021

xre

ep

1

22

0

b

r

a

rr yxx Ellipsengleichung

ae

p

21

Geometrie der Kepler-Bahnen e = 0

• Effektives Potenzial:

• Im Falle

• Kreisbahn

0e

r

k

mr

JrVeff

2

2

2)(

)cos(1 1

0 eCr

Cr

1

Cr

1

0)(

21

2

2

GmMm

EJe 2

2

2J

mkE

2

2

min2

)(p

mkrVeff

)( 0rVeff

1e

21 e

1

22

0

b

r

a

rr yxx

be

h

212b

1 '

22

0

b

r

a

rr yxx

'ibb

Geometrie der Kepler-Bahn e > 1

•

• Dann ist imaginär und ist negativ

• Die Bahn ist eine Hyperbel.