Das Minimum vonD/f11f22⋯ f55 für reduzierte positive quinäre quadratische Formen

233

Das Minimum v o n D/.)~I .~2 . . . f55 fiir reduzierte positive quiniire quadratische Formen

B. L. VAN DER WAERDEN (Zfirich)

Alexander Ostrowski gewidmet

§ 1. Problemstellung

Ffir reduzierte positive quadrat ische Formen in 5 Ver~inderlichen

5

f ( x ) = Z j ' , , x { + Z f ' k x ' xk (1) 1 i < k

gilt nach Minkowski die , , fundamentale Ungleichung"

D >__ c f ~ f22 f33 f44 f55 (2)

wo D die Diskriminante ist 1). Es fragt sich, was der beste Wer t yon c, also die untere

Grenze des Quot ienten D Q = (3)

f , , ... f ~

ist. Wir werden beweisen" M i n Q = ~.

§ 2. Vorbereitungen

Wenn die F o r m f reduziert ist, so bedeutet das, dass die Basisvektoren el, ..., e.~

des Gitters so gew~ihlt sind:

el ist ein kfirzester Gi t tervektor 4:0. e 2 ist ein kfirzester Git tervektor, der mit e~ zusammen ein primitives System bildet,

u.s.w, bis: es ist ein kiirzester Git tervektor , der mit el , . . . , e4 zusamlnen das ganze Git ter

aufspannt . Jeder Gi t tervektor x kann ganzzahlig dutch die Basisvektoren ausgedrfickt

werden" x - el x~ + . . . + e s x s .

Die Norm des Vektors x ist der Wert der F o r m f ( x ) :

N(x) = f(x).

t) Siehe etwa B. L. van der WAERDEN, Reduktionstheorie der positiven quadratischen Formen, Acta mathematica 96, 265 (1956). Diese Arbeit wird im folgenden mit R zitiert.

Received December 6. 1967

234 B.L. van der Waerden AEQ. MATH.

Die sukzessiven Minima der Form und die zugeh6rigen Minimumvektoren ml , . . . , m5 werden nach R so definiert:

ml ist ein kiirzester Gittervektor ~0. m2 ist ein kiirzester von m~ linear unabh/ingiger Gittervektor, u.s.w, bis"

ms ist ein kiirzester von m~,...,m 4 linear unabh/ingiger Gittervektor. Die Normen der Minimumvektoren sind die sukzessiven Minima:

N, = N (m3 (i = 1, ..., 5).

Nach R, § 7 kann man immer m~, ..., m4 gleich e~, ..., e4 w/ihlen. Dann ist also

m, = e , , N, = N ( e , ) = f , , ( i = 1 , . . . , 4 ) .

Fiir m5 gibt es zwei M6glichkeiten"

1) Entweder das fiinfte Minimum N5 ist gleich f55=N(es) ; dann kann man

m5 =e5 w/ihlen und man hat

D D

Q = f l l - . . f55 N1... N5 > ~t (4)

wobei der Wert ~- zur dichtesten Kugelpackung in 5 Dimensionen geh6rt.

2) Oder N5 ist kleiner alsf55 = N(es). Setzt man nun

m5 = el tl + - " + e5 t s , (5)

so kann man t5 als positiv annehmen (sonst wfirde man m5 dutch - m 5 ersetzen).

W/ire t5 = l, so wiirde m5 mit e~,..., e 4 das ganze Gitter aufspannen und man k6nnte e5 dutch den kiirzeren Vektor m5 ersetzen, was nicht geht. Also ist t 5 mindestens 2.

Die Gittervektoren x mit x5 = 0 bilden ein Gitter in dem yon e~, ..., e4 aufgespannten vierdimensionalen Teilraum R4. Die mit x5 = 1 nennen wit ,,Vektoren der ersten Schicht", die mit x5 = 2 ,,Vektoren der zweiten Schicht", u.s.w. Die Schichten liegen in

/iquidistanten parallelen Hyperebenen x s = 0 , x5 = l, etc. Der Abstand zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Hyperebenen sei hs=h. Die Diskriminante der Form,

die a u s f ( x ) entsteht, indem man x s = 0 setzt, sei D4. Dann ist nach R

D = D 4 . h 2 .

Ware t5 > 2, d.h. ware m5 ein Vektor der dritten oder einer noch h6heren Schicht,

so w/ire N5 = N (ins) > 9 h E , (6)

also

D = O4. h z < f , , j z z f 33 f ,4.~9 N5 = ~ N, N2 N3 N4 Ns ,

was zur Ungleichung von MINKOWSKI

D >-~NxNzN3N4N5

V o l . 2, 1969 R e d u z i e r t e p o s i t i v e quin~ire q u a d r a t i s c h e F o r m e n 235

im Widerspruch steht. Somit kommt im Falle 2) nur t5 =2 in Frage. Statt (5) kann man also im Falle 2) schreiben

m5 = e~ t I + e 2 t 2 + e 3 t 3 + e 4 t 4 + e5"2. (7)

Diejenigen Gittervektoren

X - - e 1 X 1 + . . . + e 4 x 4 + esx5

bei denen x5 gerade ist, lassen sich durch

e I - - m l , . . . , e 4 = m 4 und m5

ausdrticken. Sie bilden im Gitter G ein Teilgitter H VO1Tl Index 2, das von den Mini- malvektoren ml,.. . , m5 aufgespannt wird. Die Gittervektoren x mit ungeradem x5 bilden eine Nebenklasse H' von H in G.

In der Wahl der Minimumvektoren ml,..., m5 steckt eine Willktir, aber ihre Normen N1,..., N5 sind nach R, § 5 eindeutig bestimmt. Auch das Teilgitter H ist eindeutig bestimmt; es wird n~imlich von allen Gittervektoren mit Normen <N5 aufgespannt. Die Vektoren x' von H' haben im Falle 2) Normen >N5 und das Minimum dieser Normen ist f55=N(es). Somit ist f55 eindeutig dutch das Gitter bestimmt, unabh/ingig vonder Wahl der Basisvektoren el, ..., e4. Diese Eindeutigkeit

von f55 gilt in beiden F~illen 1) und 2); denn im Falle 1) ist ja f55 = Ns. In folgenden werden wir immer N1 =fl~ = 1 annehmen. Das ist eine ganz un-

wesentliche Einschr~inkung, denn man kann die Formf(x) immer durch N1 dividieren.

§ 3. Redukt ion auf den Fall N1 = N2 . . . . . Ns = 1

SATZ 1. Bei der Bestimmung der unteren Grenze der Quotienten Q kann man sich auf solche Formen beschriinken, deren sukzessive Minima Ni alle gleich 1 sind.

Satz 1 wird bewiesen sein, sobald gezeigt ist, dass es zu jeder Form f eine Form

f * mit Q*< Q gibt, deren sukzessive Minima alle Eins sind.

Allgemein gilt N~ < N 2 ~ " '" <-Ns. (8)

Wir nehmen nun an, dass Na, ..., Nk alle gleich 1 sind, aber Nk+~ gr6sser als 1"

1 = N~ . . . . . Nk < Nk+1. (9)

Wir fiihren (wie in R, § 2) rechtwinklige Koordinaten ~1, ..., ~5 ein, wobeijedes ~i nur von xx, ..., xi abh~ingt. Nun kann man das Gitter in ein anderes Gitter im

236 B. I,. van der Waerden AEQ. MATH.

gleichen metrischen Raum transformieren, dutch die affine Transformat ion

oo,

~+, = / ~ k + , ,oo

die jedem Punkt P mit Koord ina ten ~i einen Punkt P' mit Koordinaten ~} zuordnet.

Wit setzen f12= 1 - t und studieren das Verhalten der Minima N 1 . . . . , N 5, wenn t

stetig yon 0 bis nahe bei 1 anw~.chst. Ffir t - 0 haben N1, ..., N5 die ursprfinglichen

Werte. Wenn t w~.chst, bleiben N~ . . . . , N k zun~.chst konstant, aber Nk+~ nimmt stetig

ab und wird ffir einen gewissen t-Wert gleich Nk. Um das einzusehen, untersuchen

wit, wie die N o r m eines Git tervektors x sich dutch die Transformat ion T ~ndert.

Wird x dutch die Transformat ion T in x' t ransformiert , so gilt

N(x') = ~',~ +. . . + ~ ~ " /~ ~ t = ~ 2 _[_ ° , , _.[_ (~2 + ~ 2 + 1 -[- =~- ~ 5 ( l l )

~ 2 ,-2 -~ - - , + " " + qk + (1 -- t) (~ '+, + . . . + ~2 J 5).

Die Norm N(x ' ) ist also eine lineare Funkt ion Yon t. Sie ist konstant , wenn x in dem

von el . . . . , ek aufgespannten Teilraum Rk liegt, weil dann ~,+l . . . . , ~5 alle Null sind.

Liegt aber x nicht in Rk, so ist N(x ' ) eine abnehmende lineare Funkt ion von t.

Die Git tervektoren in Rk haben konstante Normen, die v o n d e r Transformat ion T

nicht beeinflusst werden. Die Normen aller anderen Git tervektoren sind wegen (9)

ffir t = 0 gr6sser als Eins. N immt t zu, so nehmen die Normen u = N ( x ' ) linear ab.

Stellen wit sie als Funkt ionen von t graphisch dar, so erhalten wir in der (t, u)-Ebene

~5 1

I J f I I J

0 0 ~,

Figur ! Die Normen der Gittervektoren als Funktionen von t im Falle k = 4.

Vol. 2, 1969 Reduzierte positive quinfire quadratische Formen 237

lauter Geraden mit negativer Steigung. N~ + 1 ist das Minimum der Normen der nicht in

Rk liegenden Gittervektoren. Solange keine der abnehmenden Geraden in Fig. 1 die

Gerade u = 1 schneidet, bleiben N1, ..., Nk gleich 1 und Nk+I bleibt gr6sser als Eins.

Wir wollen zeigen, dass es einen t-Wert zwischen 0 und 1 gibt, fiir den Nk+~ gleich 1

wird. Nach R, § 2 gilt

D = h 2 h 2 h 2" 2 2 (12) 1 3 tl 4 h 5 ,

wobei die H6hen hi, ..., hk im Raum Rk liegen und hk+l, ..., h5 senkrecht dazu. Bei der Transformat ion T bleiben h~, ..., h 2 ungeS.ndert, wS.hrend h 2k+l, .-. ,h 2 mit 1 - t

multipliziert werden. Also wird D mit ( 1 - t ) 5-k multipliziert"

o ' = (l - t ) D. (13

Nun ist abet nach MIYKOWSKI

D >= -~ N 1 Nz. . . N5 > ~-

also 8 D > I. Bei der Transformat ion T werden Nk+l, ..., N5 verkleinert. Solange sie

gr6sser als I bleiben, bleibt die Diskriminante gr6sser als -~"

o ' = (l - l) D >

Daraus folgt (1 - t) 5 -~ > (8 D)- 1.

Setzen wir (8 O ) - ' = (l - r)5-k

SO folgt l - - t > l - - r , also t < r . Spfitestens an der Stelle t = r muss die stfickweise

lineare Funkt ion Nk+I also den Wert 1 annehmen. Der Weft von t, fiir den Nk+ 1 = 1

wird, sei t'. Man erhS.lt dann f i i r t = t' durch die Transformation T ein neues Gitter mit

I = N ; . . . . . N/ ,=N/ ,+, .

Wit zeigen nun, dass der Quotient Q sich bei der Transformat ion T nicht ver-

gr6ssern kann. Am einfachsten ist der Beweis im Falle k = 4. In diesem Falle bleibt der von e l , . . . , e4

aufgespannte lineare Raum R4 bei der Transformation T unge/indert. Die Minimal-

vektoren ml, ..., m4 liegen in diesem Raum und bleiben ebenfalls ungeS.ndert. Ihre

Normen N 1 . . . . , N 4 sind vor und nach der Transformation T gleich Eins. Alle Ab-

st/inde senkrecht zu diesem Raum werden bei der Transformat ion mit fl multipliziert.

Die AbstS.nde zwischen den Schichten der Fig. 1 werden ebenfalls mit fl multipliziert;

die Reihenfolge der Schichten bleibt ungeS.ndert. Betrachten wir nun den Quotienten

D D D

Q f l , . . . f 5 5 N1 . . .N4"f55 f55


so wird der Z~ihler D bei der Transformation T m i t / / z = ( 1 - t ) multipliziert. Der Nenner ist die kleinste Norm eines Vektors der ersten Schicht. Ist x' ein Vektor, der nach der Transformation T die kleinste Norm hat, so hat man nach (11)

Daraus folgt f55 = N(x ' ) > (l - t ) 'N (x ) _>_ (1 - t)fs5 •

D' ( 1 - t ) D D Q ' = _< _ - = Q .

f55 - (1 - t)f55 - f 5 5

Damit ist der Fall k = 4 erledigt. Ist k < 4 , so kann eine Schwierigkeit auftreten, weil die Minimumvektoren

ml , . . . , m 4 nach der Transformation nicht mehr Minimumvektoren zu sein brauchen und der von ihnen aufgespannte Raum R 4 nach der Transformation vielleicht nicht

mehr der von den Minimumvektoren aufgespannte Raum ist. Es gibt insgesamt nur endlich viele Vektoren, die vor oder nach der Transforma-

tion T als Minimumvektoren mi oder Basisvektoren e~ in Betracht kommen; denn

es gibt nur endlich viele Gittervektoren, die nach der Transformation Normen <f55 haben. Alle anderen Gittervektoren haben nach der Transformation und daher um

so mehr vor der Transformation Normen gr6sser alsf55 und daher auch gr6sser als Ns. Diesen endlich vielen Gittervektoren entsprechen endlich viele Geraden in der

(t, u)-Ebene. Sie haben nur endlich viele Schnittpunkte, deren Abzissen die Strecke von 0 bis

t ' in endlich viele Teilstrecken teilen. Aufjeder dieser Teilstrecken bleiben die R~iume

R t , . . . , R 4 konstant. Die Minimumvektoren ml . . . . , m 4 und e5 ~indern sich auf jeder Teilstrecke stetig und ihre Normen sind lineare Funktionen von t.

Auf der ersten Teilstrecke kann die Funktion

D D = - = (14)

Q fll.. .f55 N1 ...N4"f55

nur verkleinert, nicht vergr6ssert werden. Der Z~ihler in (14) wird n~imlich bei der Transformation T mit ( l - t ) "-k multipliziert und der Nenner mit dem gleichen oder

einem gr6sseren Faktor. Also ist der Wert Q1 am Ende der ersten Teilstrecke h6chstens

gleich dem urspriinglichen Wert Qo. Am Ende der ersten Teilstrecke ist der Wert Q1 von Q eindeutig bestimmt, un-

abh~ingig vonder Wahl der Minimumvektoren ml , . . . , rag, denn die Faktoren Ni und

f55 sind eindeutig bestimmt. Also kann man fiir die zweite Teilstrecke genau so weiter schliessen. So erh~ilt man schliesslich am Ende der letzten Teilstrecke eine reduzierte

Form f * mit Q * < Q und I = N * . . . . . N~=N~+I.

Vol. 2, 1969 Reduzierte positive quin~ire quadratische Formen 239

Sind nun alle N* gleich Eins, so sind wir fertig. Sind aber nur k' von den Gr6ssen N* gleich Eins ( k < k ' < 5 ) , so kann man den gleichen Beweis mit k' statt k noch einmal ffihren. Nach h6chstens vier Schritten kommt man zum Ziel:

N, . . . . . N~ = I . (15)

Damit ist Satz 1 bewiesen.

§ 4. Der konvexe Bereich K

Wenn (15) erffillt ist, so gilt auch

fl 1 = f 2 2 = f 3 3 = f 4 4 = 1 und (siehe R, § 7)

f55 < ¼ . Da weiter fiir reduzierte Formen

(16)

(17)

If~! ~ f,e ffir i < k (18)

gilt, so sind alle f~ k absolut beschrfinkt. Die Reduktionsbedingungen

f ( s ~ , . . . , Ss) >= fkk f/it (s~, ..., ss) = 1 (19)

definieren einen konvexen Bereich B im 15-dimensionalen Raum Rx5 der Koeffizienten

f~k. Zu den Bedingungen (19) geh6ren die folgenden:

Ist nun

N (m2) = f22 > f l l

N (m3) --/33 >---- f l l (20) N (m4) = f44 >- f , , N(m, ) = f ( t , , t2, t3, t4, ts) >= f , , .

N1 = N2 = N3 = N4 = Ns, (21)

so gilt in den vier Ungleichungen (20) das Gleichheitszeichen. Durch die vier Glei- chungen, die man so erh~ilt, ist f/Jr jeden Satz Koeffizienten t l , . . . , t5 ein linearer

elfdimensionaler Teilraum Rla in Rls definiert. Durch die Normierung f l l = 1 wird

R~I auf einen Rxo reduziert. Die R/iume R~o und R~ hfingen noch yon den ganzzahligen Koeffizienten tl, ..., t5

ab. Im Falle 1) des § 2 haben t~, ..., t5 die Werte 0, 0, 0, 0, 1. Im Falle 2) ist t 5=2 ; die iibrigen t sind, wie wit noch sehen werden, ungerade Zahlen2). Jedenfalls sind

nur endlich viele Wertsysteme tx, ..., t5 m6glich (R, § 10), also gibt es auch nur endlich

2) MINKOWSKI hat gefunden, dass tl ..... t4 alle gleich A_ 1 sein miJssen (Gesammelte Werke I, S. 154). Jedoch werden wir dieses Ergebnis nicht brauchen.


viele Rfiume R~o, in denen wirklich reduzierte Formen mit J;5 > 1 liegen. In jedem

Raum Rxo definieren die Reduktionsbedingungen (19) einen beschr/inkten konvexen Bereich K.

§ 5. Das Minimum von Q in K

SATZ 2. Das Minimum yon Q in K wird in einer Ecke des Polyeders K angenonlmen. Beweis: Die Funktion

D D Q __. __

f l , . . . f 5 5 f55

ist stetig, hat also in K ein Minimum c. Dann hat D - c f 5 s das Minimum Null. Die

Funktion D ist aber nach MINKOWSK! konkav (R, § 14), und f55 ist linear, also ist

D - c f s s ebenfalls konkav. Eine konkave Funktion nimmt ihr Minimum in einer

Ecke des konvexen K6rpers K an. In dieser Ecke ist also D - c f 5 5 =0, also D/f55=c. Damit ist Satz 2 bewie3en.

Bei der Anwendung des Satzes 2 muss man zwischen den Ffillen 1) und 2) unter-

scheiden. Im Falle 1) ist f s s = N s = 1. Diese Gleichung gilt irn ganzen Bereich K,

den wit in diesem Fall K~ nennen. Das Minimum von Q = Dlf55 in K~ ist gleich dem Minimum von D, also gleich 1.

Der Fall 2) ist durch die Ungleichungf5 s > 1 gekennzeichnet. Diese Ungleichung

gilt in den inneren Punkten des konvexen Bereiches, den wit in diesen Fall K 2

nennen. In gewissen Randpunkten von K2 kann sehr wohl fss = 1 sein. Diese Rand-

punkte geh6ren dan sowohl z u K 2 als zu K~. In solchen Randpunkten ist natfirlich

Q ~-~. Wit haben zu untersuchen, ob es andere Ecken v o n K 2 geben kann, in denen

Q<~- ist. Die Antwort wird sein" Nein. Es gibt zwar ein lokales Minimum von Q in einer Ecke E, abet dieses lokale Minimum ist ~-.

§ 6. Das raumzentrierte Gitter im Falle 2)

Ffir die folgenden Rechnungen wollen wir nicht el . . . . , e5, sondern ml . . . . , ms als

Basisvektoren w~hlen. Sie spannen allerdings nicht das ganze Gitter G, sondern nut

das Teilgitter H vom Index 2 auf. Die Basisvektoren el, ..., e4 sind gleich m 1 . . . . . m 4.

Um e5 durch m 1 . . . . , ms auszudr/icken, muss man (7) nach e5 aufl6sen. Das gibt

es = mj ci +"" + m4c4 + m5"½, (22)

wobei c l , . . . , c4 ganze oder halbganze Zahlen sind.

Sind alle c~ ganze Zahlen plus ½, so haben wir ein raumzentriertes Gitter. Wenn

aber einige c~ ganz sind, so haben wit ein seitenzentriertes Gitter. Wir zeigen, dass der letztere Fall nicht vorkommen kann.

Vol. 2, 1969 Reduzierte positive quin/ire quadratische Formen 241

Es sei etwa cl eine ganze Zahl. Dann ligt der Vektor

t

e5 = e5 - m~ c~ = m 2 C2 "-[- m3 C3 nt- m4 c4 + ms'½

t

in dem von m 2, m3, m4, m5 aufgespannten vierdimensionalen Raum R4, und zwar

in der ersten Schicht, da der letzte Koeffizient ½- ist. Die vier sukzessiven Minima des

Gitters in R] sind alle 1, weil m 2, m 3, m4 und m 5 die Norm 1 haben. Nach R, § 7 liegt dann aber in der ersten Schicht ein Vektor e" kleinster Norm, dessert Norm

gleich dem vierten Minimum, also gleich Eins ist. Dieser Vektor w/ire kfirzer als es,

was nicht geht, da e5 ein kiirzester Vektor der ersten Schicht des ganzen Gitters

sein sollte. Es bleibt also nut den Fall des raumzentrierten Gitters. Die ci sind in diesem

Fall ganze Zahlen plus ½. Die Gittervektoren sind

z = ml Zl + " " + mszs , (23)

wobei die Koeffizienten z~, ..., z5 entweder alle ganz (dann liegt z im Teilgitter H)

oder alle halbganz sind (dann liegt z in der Nebenklasse H'). Die Norm des Vektors z ist eine quadrati~che Form in den Koeffizienten z,, ..., zs,

die wir g(z) nennen: N ( z ) : Zgii22 + ZgikZiZk-- g ( 2 ) , (24)

wobei die zweite Summe nur fiber die Paare i, k mit i < k zu erstrecken ist. Lfisst man in (24) fiir die zi nut ganzzahlige Werte zu, so erh~ilt man aus (24)

die Normen der Vektoren des Teilgitters H. Die Form g i s t also die zu diesem Teil-

gitter geh6rige quadratische Form. Die Koeffizientenfik der F o r m f sind einfache lineare Funktionen der Koeffi-

zienten gi k der Form g (und umgekehrt). Insbesondere ist

/55 = N(es) = g(c, , c2, c3, c4, ½) ~ (25) = Zgii c2 + ZgikCiCk mit c5 = ½,

wobei die C i ganze Zahlen plus ½ sind.

§ 7. Die Reduktionsbedingungen

Im folgenden betrachten wir ausschliesslich solche Formen g, welche die Be-

dingungen NI = N 2 . . . . . N s = 1

oder g l l -- g22 . . . . . g55 = 1 (26)

erffillen. Die Reduktionsbedingungen ffir die Form f lassen sich sehr einfach durch die


Koeffizienten der Form g ausdriicken. Sie lauten, wenn (26) beriicksichtigt wird"

g ( z 1 , . . . , Z5) ~ 1 ft ir (z1, . . . , z5) ~ (0, . . . , O) (27)

g (z l , . . . ,Zs ) > f55 ffir z 5 = ½ , (28)

wobei f55 durch (25) gegeben ist. Das Problem ist, unter diesen Bedingungen das Minimum von Q =D/f55 zu bestimmen.

Zu den Nebenbedingungen dieses Minimumproblems geh6rt auch noch die Glei-

chung (25)" f55 -" g ( C l , C2, C3, Ca, ½).

Diese ist 1/istig, da die halbganzen Zahlen ct, c2, 173, 174 nicht bekannt sind. Wir ersetzen daher f55 lieber durch eine neue Unbekannte v. Genauer stellen wir das Problem so" Das Minimum von Q = D / v ist zu bestimmen unter den Nebenbedin- gungen

g l l = g22 . . . . . g55 = 1 (26)

g (Zl, "" , Z5) ~ 1 fiir (Z 1 . . . . , z5) :~ (0 . . . . , O) (27)

g(zl , ..., z5) > v fiir z5 = ½ (29)

v > 1, (30)

wobei die zi in (27) und (29) entweder alle ganz oder alle ganz plus ½ sein sollen. Die Diskriminante D des Gitters G ist ein Viertel der Diskriminante des Teil-

gitters H oder der Form g, und diese h~ingt nur von den gik ab. Halt man also die gik fest und vergr6ssert v so weit als m6glich, ohne (29) zu verletzen, so wird Q= D/v kleiner. Das Minimum von Q wird also nur dann erreicht, wenn in einer von den Ungleichungen (29) das Gleichheitszeichen gilt, also wenn fiir gewisse halbganze

CI~ ...~ C 4 g(Cl, C2, C3, C4,½)=V

gilt. Das bedeutet: An der Stelle des Minimums von Q ist v genau gleich dem f55 der Gleichung (25). Um die Gleichung (25) brauchen wir uns jetzt nicht mehr zu kfimmern" sie ist beim Minimum automatisch erf/illt.

Wir haben jetzt ein Minimumproblem in dem 11-dimensionalen Raum R' der Unbekannten gik ( i<k ) und v zu 16sen. Die Einschr/inkungen (27), (29) und (30) definieren in diesem Raum R' einen beschr/inkten Bereich B'. Das Minimum von Q in B' kann nur in einer Ecke des Polyeders B' angenommen werden.

§ 8. Die vergriisserte Bereich B'

Um das Problem zu vereinfachen, lassen wir von den Ungleichungen (27) und (29) zun/ichts einige ausser Betracht. Nur die folgenden sollen beibehalten werden"


v >= 1 (30)

g ( z l , . . . , z5) > v mit zi -- + ½. (31)

Diese 33 Ungleichungen definieren einen konvexen K6rper K', der B' umfasst. Wir werden gleich sehen, dass K' beschrS.nkt ist. In K' hat Q = D / v ein Minimum; es wird notwendigerweise in einer Ecke angenommen. Wir durchmustern nun alle Ecken von K' mit folgendem Ergebnis. In einer einzigen Ecke E ist v = f 5 5 > 1; diese Ecke erf/illt s/imtliche Ungleichungen (27), (29) und ergibt ein lokales Minimum Q=½. In allen anderen Ecken ist v=f55 = 1. Die zugehSrigen Formen sind s~imtlich reduziert; folglich gilt ffir sie D >-~ und daher wegen v= 1 auch Q >-~. Also ist das Minimum von Q im Bereich K' mindestens -~. Um so mehr gilt das im Teilbereich B'.

Um den eben skizzierten Gedankengang auszuffihren, ziehen wir zun/ichst einige Folgerungen aus den Ungleichungen (31). Eine von ihnen lautet

g(½, ½, ½, ½, ½) > v, (32) oder mit 4 multipliziert

g(1, 1, 1, 1, 1) > 4v > 4. (33)

Genau so beweist man allgemein

g(___ 1, +__ 1, +_ 1, +_ 1 , _ 1 )> 4. (34)

Schreibt man (33) ganz aus und bringt die 5 Glieder gi i= 1 auf die rechte Seite, so erh/ilt man

Z g , k >--- 1, (35)

wobei wie immer fiber alle Paare ik mit i> k zu summieren ist. Genau so ergibt (34)

eine Ungleichung yon der Form 4- gig > - 1. (36)

Die Ungleichung (35), die aus (33) entstanden ist, bezeichnen wir als Ungleichung + 4-4-4-4-. Ersetzt man etwa die letzten beiden 4- durch - , so erh/ilt man die Ungleichung 4- 4- 4- - - , etc. Insgesamt gibt es 32 Ungleichungen (36), entsprechend den 32 Folgen von je 5 Vorzeichen. Von diesen 32 Ungleichungen sind aber nur 16 verschieden, weil die Unkehrung aller 5 Vorzeichen jeweils dieselbe Ungleichung

ergibt. Addiert man die zwei Ungleichungen (36), deren Vorzeichenreihe mit 4 -+ 4-+

anf/ingt, und dividiert durch 2, so erh/ilt man

g12 + g13 -t- g14 d" g23 + g24 d- g34 ~ - 1 (37)

oder g(1, 1, l, 1, O) > 3. (38)

244 B . L . van der W a e r d e n AEQ. MATH.

Genau so beweist man ftir jede Folge von 4 Vorzeichen

g ( + l, + 1, -4- 1, +_ 1, O)> 3, (39)

wobei die Null auch an einer anderen Stellen stehen darf, z.B.

g(1, o, 1 , - 1 ,1)>3 .

Addiert man die vier Ungleichungen (36), deren Vorzeichenreihe mit + + + anfangen, und dividiert durch 4, so erh/ilt man

g (l, 1, 1, 0, 0 ) > 2 (40) und ebenso allgemein

g ( + l, 4- 1, _ 1, 0, 0) ~ 2, (41)

wobei die Nullen auch an anderen Stellen stehen dtirfen. Addiert man die acht Ungleichungen (36), deren Vorzeichen mit + + anfangen,

und dividiert dutch 8, so erh/ilt man g12 > - - 1 oder

g( l , 1, 0, 0, 0) > l. (42) und ebenso

g ( ± 1, 4- I, 0, 0, 0) > 1, (43)

wobei die Nullen auch an anderen Stellen stehen dtirfen. Schliesslich hat man wegen (26)

g(1, 0, 0, 0, 0 ) = 1, (44)

wobei die Eins an beliebiger Stelle stehen darf.

§ 9. Schaleneinteilung

Wit teilen die Gittervektoren mit Ausnahme des Nullvektors in ,,Schalen" ein. Zur ersten Schale rechnen wir die Vektoren z, deren Koordinaten z i alle +½ sind. Die n-te Schale besteht aus den Vektoren mit

H Max. Iz~l = 2"

Die Ungleichungen (31)besagen, dass die Vektoren der ersten Schale Normen > v haben. Die daraus fotgenden Ungleichungen (34), (39), (41), (43) und die Glei- chung (44) besagen, dass die Vektoren der zweiten Normen > 1 haben, wobei das Minimum 1 wirklich angenommen wird. Wir wollen nun zeigen, dass die Vektoren aller h6heren Schalen ebenfalls Normen > 1 haben. Daraus folgt insbesondere, dass die zum Teilgitter H geh6rige Form g (x) reduziert und daher positivist.

Gesetzt, es g~ibe eine Form g~, die zwar die Ungleichungen (31) mit v> 1, aber

Vol. 2, 1969 Reduzierte positive quinfire quadratische Formen 245

nicht alle Ungleichungen (27)erffillen wiirde. Dann wiirde mindestens eine Ungleichung

(27) nicht erfiillt sein, d.h. es gfibe einen Vektor z in der dritten oder einer h6heren

Schale mit Norm N ( z ) < 1. Wir nehmen nun eine Form go, die sfimtliche Unglei-

chungen erfiillt, z.B. 2 2 2 2 (45) g o ( z ) = + + + +

und wir verbinden die Pukte go und gi im 10-dimensionalen Raum der Koeffizienten

gik ( i<k ) durch eine Strecke

g = go + t(gi - go).

Es muss einen gr6ssten Wert t geben, fiir welchen die Form g gerade noch alle

Ungleichungen (27) erftillt. Nennen wir diesen Weft t*. Fiir einen etwas gr6sseren

Wert t* + e ist dann eine der Ungleichungen

g(zl . . . . ,zs)>_-I

verletzt, d.h. es gilt g(zj . . . . , z l ) < 1. Fiir den Weft t* ist aber die Ungleichung g ( z ) > 1

noch erfiillt, also gilt ffir t = t* das Gleichheitszeichen

g(z , . . . . . zs) = I , (46)

wobei z ein Vektor aus der dritten oder einer h6heren Schale ist. Einer der Betrfige

]zi] muss also mindestens 1½- sein. Indem wir, wenn n6tig, die Minimumvektoren

ml ... . , ms umnumerieren, k6nnen wir ] z s ] ~ erreichen. Ist z5 negativ, so ersetzen

wit den Vektor z durch - z . Dann wird also z5>-~, d.h. der Vektor z liegt in der

dritten oder einer h6heren Schicht. Nun gilt abet, wie wir friiher gesehen haben - siehe ( 6 ) - fiir alle Vektoren der

dritten und der h6heren Schichten N (z) _>_ 9 17 2 .

Wenn z die Norm 1 haben soll, so ist 9 h 2 < l , also

D = D4 t72 <= f ,~ fz2f33f44"-~-= ~ "< ½,

was unm6glich ist. Also kann ein Vektor der dritten oder einer h6heren Schicht

unm6glich die Norm 1 haben, d.h. (46) ist unm6glich.

Damit ist beweisen" SATZ 3. Alle Formen g, die die Ungleichungen (31) mit v > 1 erfiillen, sind reduziert

und daher positiv.

§ 10. Das Minimum von Q

Im Bereich der positiven Formen ist D cinc konkave Funktion. Daher gilt der

Bcwcis des Satzes 2 auch ftir den Bereich K', der durch die Unglcichungcn (30) und

(3 l) definiert ist, und wir crhaltcn


SATZ 4. Das Minimum yon Q in K' wird in einer Ecke des Polyeders K' angenommen. In (31) kann man sich wegen

g ( - z l , . . . , - z s ) - g ( z , , . . . , z s )

auf den Fall z5 = +½ beschr/inken. Man hat also nur 16 verschiedene Ungleichungen (31) und eine Ungleichung (30).

Eine Ecke des Polyeders K' wird durch 11 unabh/ingige Gleichungen definiert, die man erh/ilt, indem man in 11 von den 17 Ungleichungen = statt > schreibt. Nun ergeben sich 2 M6glichkeiten, die unseren friiheren F/illen 1) und 2) entsprechen, n/imlich"

A. Man schreibt in (30) das Gleichheitszeichen. Dann ist v=f55 = 1 und man erh/ilt den frfiheren Fall 1).

B. Man hat in (30) das Zeichen > . In diesem Fall muss man aus den Gleichungen

g (z1, ..., Z5) ~-" /3 (47) elf unabh/ingige ausw/ihlen.

Nun haben aber alle Gleichungen (47) eine gemeinsame L6sung, n/imlich die Form go - siehe (45) - mit

s (48) gii-- 1, gik--O ( i < k ) , v---~.

W/ihlt man also aus den Gleichungen (47) irgend elf unabh/ingig aus so erh/ilt man als einzige L6sung die Form (48). Das zugeh6rige Gitter G ist kubisch raumzentriert. Die Diskriminante des Gitters ist ¼, also ist der Quotient Q=D/v gleich 1. Dieser Wert ist, wie man leicht sieht, ein lokales Minimum.

Die Form go erfiillt offensichtlich alle Bedingungen (27), (29) und (30). Die zum Gitter G geh6rige Form f i s t also reduziert. Aber auch im Falle A sind die Bedin- gungen (27) und (29) erfiillt. Die Bedingungen (27) folgen n/imlich, wie wir in § 9 gesehen haben, aus (30) und (31). Die Bedingungen (29) aber folgen aus (27), denn im Falle A ist v= 1.

Wir sehen also, dass s/imtliche Ecken des konvexen Bereiches K' die Ungleichun- gen (27) und (29) erfiillen, also zum Bereich B' geh6ren. Dann aber muss der ganze Bereich K' in B' enthalten sein. Da umgekehrt B' in K' enthalten ist, so folgt

B ' = K ' . (49)

Geht man wieder vom elfdimensionalen Raum R' auf Rio zuriick, indem man v =J~5 setzt, so erh/ilt man den

SATZ 5. Alle Reduktionsbedingungen (27) und (29)folgen aus den 17 Bedingungen

g ( + ½, ----- ½, - ½, -- ½, ½) -> f55 (50)

f55 _-> 1, (51) und den 5 Gleichungen


g l l " - g 2 2 "" "'" " - g 5 5 -" 1. (26)

Im Falle A ist Q = ~. lm Falle B ist Q = ½. Also ist Q im Bereich B ' = K' tiberall > ~. Daraus folgt"

SATZ 6. Das Minimum yon Q ist ~;. Die dichteste Kugelpackung erreicht das

Minimum. Mathematisches Institut der Universitiit Ziirich

Documents

Das Minimum vonD/f11f22⋯ f55 für reduzierte positive quinäre quadratische Formen