Das Steigungsdreieck

Wie du gerade gelernt hast, gibt das m in der Funktionsgleichung y=mx+b die Steigung

eines Graphen an.

Steigung bedeutet also, dass sich die x-Werte und y-Werte immer in demselben Maße verändern.

Beispiel:Wenn der x-Wert um + 1 größer wird,

dann vergrößert sich der y- Wert um + 2.

D.h. Immer, wenn ich den x-Wert um denselben Wert vergrößere, dannvergrößert sich auch der y-Wert um dieselbe Zahl.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y=2x+2 -4 -2 0 2 4 6 8

+ 1

+ 2

+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1

+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Und wie sieht das in der Zeichung aus??

Das Steigungsdreieck

So sieht es aus:

Wenn sich der x-Wert um + 1 vergrößert,

dann vergrößert sich der y- Wert um + 2.

+ 1

+ 2

+ 1

+ 2

+ 1

+ 2

Es entstehen dann so genannte Steigungsdreiecke!

Steigungsdreiecke

Und mit Hilfe dieser Steigungsdreiecke kann man dieSteigung m einer Funktion berechnen!

2. Die Höhenlänge in die y-Richtung (gelb): hier +2 cm

Dazu benötigt man:

1. Die Seitenlänge in die x-Richtung (rot): hier +1 cm

Wie geht man nun genau vor, wenn man aus einem Steigungsdreieckdie Steigung m bestimmen möchte?

Man kann die Steigung als Seitenverhältnis ineinem Steigungsdreieck bestimmen.

Anschließend kann man die Steigung berechnen.

Und zwar so: Steigung (m)= Höhenlänge (gelb) Seitenlänge (rot)

Hier: Steigung (m)= 2 = 2 1

+ 1

+ 2

Fertig

Das Steigungsdreieck

Beispiel 1: Bestimme die Steigung des Graphen

1. „günstige“ Schnittpunkte suchenTipp: Wo liegt ein Geradenpunkt genau auf einem Gitterpunkt?

2. Steigungsdreieck einzeichnen:Seitenlänge und Höhenlänge

3. Seitenlänge und Höhenlänge des Dreiecksbestimmen

+ 1

+ 3

4.Steigung bestimmmen:m= Höhenlänge Seitenlänge

m= +3 +1

m= 3

Das Steigungsdreieck

Bsp 2: Egal wie groß man das Steigungsdreieck zeichnet, man berechnet immer dieselbe Steigung.

Sieh selbst:1. „günstige“ Schnittpunkte suchen

2. Steigungsdreieck einzeichnen:Seitenlänge und Höhenlänge

3. Seitenlänge und Höhenlänge bestimmen

+ 2

+ 1

+ 4

+ 24.Steigung bestimmmen:m= Höhenlänge Seitenlänge

m= +1 +2

oder : m= +2 = 1 +4 2

Der Graph hat also die Steigung ½ !

Nun bist du dran!Bestimme die Steigungen der Graphen:

A

B

C

Steigungsdreieck zur gegebenen Steigung zeichnen

Beispiel 3:

Die Steigung lautet m= 2 3Zeichne das Steigungsdreieck.

Du weißt:

1. Der Nenner gibt das Längenmaß der Seite desSteigungsdreiecks an.

2. Der Zähler gibt das Längenmaß der Höhe an.

+ 3

+ 2

Und fertig ist das Steigungsdreick!

Und nun zeichne bitte die jeweiligen Steigungsdreiecke an die Graphen (natürlich musst du vorher die Graphen in dein Heft zeichnen; die

Steigung entnimmst du der Funktionsgleichng )

y=2x+1

y=5x

y=1/4x-1

y=0,7x-0,5

Das Steigungsdreieck

+ 10

+ 8

xy 54

Die Steigung m beträgt:

Die Funktionsgleichung:54

108

Bis jetzt hast du Steigungsdreiecke für positive Steigungen kennengelernt.

Zum Beispiel:

Du hast also die Seitenlänge in die positive Richtung nach rechts gezeichnet

und die Höhenlänge in die positive Richtung nach oben gezeichnet.

...jetzt wird es negativ!

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

y= - 3x+0 18 15 12 9 6 3 0

+ 1 + 1 + 1+ 1 + 1

- 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3

Wenn die Steigung nun negativ ist, dann erhalten wir folgendes Bild:Schau dir die Wertetabelle genau an!

Beispiel:Wenn der x-Wert um + 1 größer wird,

dann verkleinert sich der y- Wert um – 3.

+ 1

...jetzt wird es negativ!

Sobald die Höhe

des Steigungsdreiecks

nach unten gezeichnet

wird, ergibt sich ein

„negatives Längenmaß “.

+ 1

- 3

... und so sieht das dann beim Graphen aus:

Negative Steigung

1. Seitenlänge und Höhenlänge des Dreiecksbestimmen

2. Steigung bestimmmen: m= Höhenlänge Seitenlänge

Beispiel 1: negative Steigung bestimmen

M= - 4 = _ 4 + 2 2

m= -2

Achtung! Die Höhe des Dreiecks wird nach untengezeichnet, also ist das Längenmaß eine negativeZahl!

+ 2

- 4

Beispiel 2: negative Steigung bestimmen

1. Seitenlänge und Höhenlänge des Dreiecksbestimmen

+5

- 2

Achtung! Die Höhe des Dreiecks wird nach untengezeichnet, also ist das Längenmaß eine negativeZahl!

2. Steigung bestimmmen: m= Höhenlänge Seitenlänge

m= - 2 = _ 2 +5 5

m= _ 2 5

Nun bist du dran!Bestimme die Steigungen der Graphen:

C

B

A

Steigungsdreieck zur negativen Steigung zeichnen

Beispiel 3:

Die Steigung lautet m= - 4 = _ 4 1Zeichne das Steigungsdreieck.

Du weißt:

1. Der Nenner gibt das Längenmaß (immer positiv!)der Seite des Steigungsdreiecks an.

2. Der Zähler gibt das Längenmaß der Höhe an.

3. Die Steigung ist negativ, also zeigt die Höhe nach unten.

- 4

+1

Und nun zeichne bitte die jeweiligen Steigungsdreiecke an die Graphen (natürlich musst du vorher die Graphen in dein Heft zeichnen; die Steigung entnimmst du der Funktionsgleichng )

y= -0,4x-1

y= -x+1

y= -6x-2

y= -1,5x+2