Z. angew. Math. Mech. Bd. 34 Nr. 112 Jan./Febr. 1954 Kleine Mitteilungen

- 70

If, instead of taking the e i a s a fixed set, we subject them to the group of transformations

p,:, := ~ 1 , el, (+' =- c e'en I ) . ' . (5), vit.h

C:e,c;' = d:, det C':, =f 0 . . . (6),

then frcm (2) follows

1.n' ~~ q ' 7 . e ( p n p - - ( ' $ p e ) . . (7) .

Let covariant differentiation with respect to an arbitrary connection be denoted by the usual comma notation: I:, i , p i , j , etc. Now write, e. g.,

Then

But

Put

(Note that when rfjk is symmetric, i t does not ingeneral follow that rtu is so.) Then in virtue of (10) we may put (9) into the form

p=,,= a$ + r ; & O . . . . (12).

Analogous formulae hold for tensors of all orders. Thus to calculate the non-holonomic components of a gra- dient, one need only use the ordinary rule for covariant differentiation, provided partial differentiation be replaced by the operation (S)2, while the connection is replaced by (11). This result includes and generalizes

Finally, when there is a positive definite metric tensor which in a given co-ordinate system has com- ponents g, then an orthonormal set of unit vectors tangent to the co-ordinate curves of this system may be defined by assigning, in this particular co-ordinate system, the components

J 12.

From this choice of the ek follow the especially simple properties of the physical components in an orthogonal co-ordinate system. whence is evident the equality of right and left physical components in this special case.

Bloomington (Indiana). C. T r u e s d e l l .

In particular, gn, 5 gne = a9 '

Das vereinfachte N e w t o n sche Verfahren bei algebraischen und transzendenten Glei- chungen

Im folgenden wird fiir das N e w t o n sche Verfahren zur Berechnung einer Nullstelle z von f ( z ) = 0 eine Fehlerabschatzung aufgestellt, die einfacher zu hand- haben ist als die gewohnlich verwendete, weil man nur f ' ( x ) , aber nicht f"(z) abzuschatzen braucht. Bei al- gebraischen Gleichungen ergibt sich eine ebenfalls sehr einfache Fehlerabschatzung, bei der man bei Ver- wendung des H o r n e r schen Schemas nur die beim Schema auftretenden Zahlen benotigt. 1. D a s g e w o h n l i c h e u n d d a s v e r e i n -

f a c h t e N e w t 0 n 5 c h e V e r f a h r e n . Gesucht sei eine Losung z der Gleichung

f ( t ) = O . . . . . . . . (1) wobei f ( z ) eine in einem Bereich 8 der kompexen 2. Ebene gegebene eindeutige Funktion ist. Mit

g(z) = z + f ( z ) ' f i (Z) . . . . . . (21,

:: = g ( z ) . . . . . . . . . (3) wobei iiberf,(z) noch verfugt wird, ist die Gleichung

fur alle Nullstellen vonf (z) und fi ( z ) erfullt. Das Iterationsverfahren

:fi+l = y (zJ (P = 0, 1,. . .,) . * . . (4) ordnet einem Ausgangswert x,, eine Folge zl, zz , . , . zu.

Es gilt ein allgemeiner Satz uber das Iterationsver- fahrenl): Es werde ein Bereich F gewahlt, der zu gehort, derart, dal3 A) g ( x ) fur z E F eindeutig erklart ist, B) eine L i p s c h i t z konstante K < 1 existiert mit

\ g ( z ) g(z*) 1 5 rq s - z*/ fiir alle x , z * c F , (5) C) zo und z , in F liegen, U) der durch

definierte Kreis S ganz in E' liegt. Dann existiert in F genau eine Losung von (3), die

sogar dem Kreis (6 ) angehort. Die Folge zk konvergiert gegen diese Losung. Wenn g(z) in 8' differenzierbar ist, kann man

K = Max jg' ( z ) \ . . . . . . . ( 7 ) i i i P

setzen. Setzt man

so erhalt man das ,,gewohnliche N e w t o n sche Ver- fahren". W i 1 1 e r s weist in seinem Buch 2, darauf hin, daB es fur das praktische Rechnen haufig aus- reicht, nicht jedesmal f ' ( z k ) neu zu berechnen, sondern durch einen festen Wert A , z. B. f'(zo\ zu ersetzen. Er schreibt: ,,Die Zahl der notigen Naherungsschritte wird dadurch kaum groBer, die Rechenarbeit aber wesentlich geringer". Dieses Iterationsverfahren

werde im folgenden als ,,vereinfachtes N e w t o n sches Verfahren bezeichnet. Es hat uberdies vor d e n ge- wohnlichen N e w t o n schen Verfahren den Vorteil einer wesentlich einfacheren Fehlerabschatzung, da in (11) nur f', beim gewohnlichen N e w t o n schen Verfahren aber f" abgeschatzt werden mul3. Ferner

') J. W e i 8 8 in g e r , Zur Theorie und Anwendung des Iterations. verfahrens, Math. Naehr. 8 (1952), 6.193-212, beziigl. des Kreises 8 &be Z. angew. Math. Mech. 33 (1953).

* i B I. A. W i 1 1 e r s , Methoden der prakt. Analysis. 2. Aufl. Berlin 1950, 6. 266.

--

Kleine Mitteilungen 71 Z. angew. Math. Mech. Bd. 34 Nr. 1/2 Jan./Febr. 1954

...... -___

1 0 1,274

1 1,274 1,274

1 2,548

__

.- --

hat man die Moglichkeit, nach dem (genaueren) ge- wohnlichen Verfahren zu rechnen und dann die ver- einfachte Fehlerabschatzung zu benutzen, da man den letzten Schritt des gewohnlichen Verfahrens als ersten Schritt des vereinfachten Verfahrens auffassen kann.

1 Fur f l (z ) = - ;1 = const wird in (7 )

-5 20 (-20 1,623076 - 4,302201 176 19,998 995 702

15,697 798 824 - 0,001 004 298 -- ~- - -3,376 924

3,246 152 - 0,166 603 5

-0,130 772 15,531 195 3 _ -

An Stelle der Bedingung B) tritt also

l3 e i s p i e 1: Die Einfachheit der Fehlerabschatzung werde durch ein kleines Beispiel illustriert : f ( z ) = z5 - 30 = 0; zo = 2, f(zo) = 2, f’(zo) == 80;

1 40

das gewohnliche N e w t o n sche Verfahren liefert

= 2 - -- = 1,975. Als Gebiet F werde daher das

2 gewahlt; Stuck der reellen Achse 8 = 1,97 2 z dort ist

75,3 I 5 b4 I: f‘ ( z ) I 80,

also mit A = 80 nach (11)

4 7 4,7 80 ’ 1 - K 75,3

- - = 0,0611. K = __ -

S ist hier das Interval1 <zl - u, z1 + u) rnit

jzl - zo( = 0,00153; da S in F enthalteri

ist, liegt auch die reelle Wurzel der Gleichung in S. Zugleich sieht man, daB man durch eine kleine Ab- anderung die Abschatzung verbessern kann, indem man fur A etwa das Mittel von 564 und 80, also A = 77,65 nimmt; dann wird K = __ 2’35 = 0,0294.

Natiirlich mu8 man z1 = 2 - = 1,97424 neu

berechnen. Die Fehlerschranke fur Izl - zI wird jetzt nur etwa halb so groB wie vorhin, namlich 0,00078.

2. A n w e n d u n g a u f a l g e b r a i s c h e G l e i - c h u n g e n u n d d a s H o r n e r s c h e S c h e m a .

Es gibt fur das gewohnliche N e w t o n sche Ver. fahren bei algebraischen Gleichungen

f(z) = Z avz* = 0

eine einfache Abschatzung von L a g u e r r e a). Nach dieser liegt auf dem Rande oder im Innern des Kreises in der z-Ebene, der die beiden Punkte zo und

K 1 - K

u = .~

77,65 2

77,65

11

v=o

(12)

als Endpunkte eines Durchmessers hat, mindestens eine Wurzel von f(z) = 0. Es gibt Beispiele (etwa f(z) = = 0), bei denen der Faktor n in (12) nicht verkleinert werden darf. Wenn aber z,, schon nahe bei einer Wurzel z liegt, laBt diese L a g u e r r e sche Ab- schatzung nicht die beim N e w t o n schen Verfahren erreichte Genauigkeit erkennen, und ist im allgemeinen vie1 zu grob. In folgendem ist eine Abschatzung an- gegeben, die gerade dann, wenn zo nahe bei einer Wurzel z liegt, scharf ausfallt. Der Bezeichnung der Koeffi- zienten wegen sei das bekannte Schema 4, zur Berech-

a) Vgl. E. B a t B c h e 18 t , uber die Abschatzung der \vUFEEh algebraischer Gleichungen, Elemente der Mathematik 1 (194fJ), 73-81.

‘) Vgl. F r. A. W 11 1 e r s a. a. 0. 8.61/62.

riung yon f(zo) hier nochmals angegeben: . . . . . . . . . . aft a1 a0

a;t-l to ........ a ; z o a:zo

a;l-, ail --2 . . . . . . . . a; ro = f(z,) --_ -_

a ~ ~ - a z o . . . . . . . . a t zo

. . . . . . . . . rl = f‘(z,)

Dann ist 4)

f (4 = 70 + ( z - 20) f I ( 4

fl(4 = rl + ( z - zo)fa(z . ,

und nach (6) hat man damit die Fehlerabschatzung

Hamburg. L. C o l l a t z . 1~1 - Z \ 2 4 . 10-g. . . . . . (14).

Zur Fehlerabschatzung bei linearen Glei- chungssysternen

Die Aufstellung einer brauchbaren, nicht zu muh- samen und nicht zu groben Fehlerabschatzung fur lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten ist eine sehr wichtige, bisher nicht befriedigend geloste Auf-