ZEITSCHRIFT FUR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK INGENIEURWISSENSCHAFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN Band 43 AprillMai Heft 415

ZAMM 43 (1963) Heft 4/5 Seite 149-166

Das Verfahren von Rayleigh-Ritz mit hermiteschen Interpolationspol y nomen

Von S. FALK

Die Aufstellung von zulassigen oder Vergleichsfunktionen fur das Ri t zsche Verfahren wird crheblich vereinfacht, wenn man hermitesche Interpolationspolynome benutzt. Fur Differentialgleichungen mi t kon- stanten Koef fizienten werden fertige lntegrationsmatrizen angegeben, so dap die game Methode auf bloPe Matrizenmultiplikationen hinauslauft und daher leicht programmierbar ist.

T h e disposition of admissible or comparison functions for the R i t z - method will be essentially simplified by using the polynoms of H e r m i t e approximation expression function. For differential equations with constant coefficients ready made integral matrices will be given thus that the whole method i s a mere multi- plication of matrices and consequently suitable for digital comptiters.

IlocTpoeme cmxemi nonycTuMMx @ ~ H H ~ H $ I HJIM # Y H H U H ~ ~ cpawemrr ~ J I R MeTona P m u a 3 n a ~ r r e m ~ 0 ynpoqaewn, e c m M C I I O J I ~ L I ~ B ~ T ~ mmepnonmwonnbie MHoroYjIeHbi 3 p MEIT a. HJIR amjj@eperiqnanbHbIx ypamemfi c nocTomHbiMn me@#HuBewraMH y ~ a m s a w ~ c ~ roToBbie MaTpHUbi, TaK TO Beer, MeToA C B O ~ T C R IE n p o c ~ o ~ y yMnox~eHmo MaTpm EI MomeT 6 b I ~ b no- BTOMY nemo a a n p o r p a ~ ~ ~ p o s a ~ .

Mathematische Grundlagen Vorgelegt sei die lineare gewohnliche Differentialgleichung der Ordnung 2n in der soge-

nannten selbstadjungierten Form (1.1) mit verniinftigen Funktionen gi(x) und r(x)l) und 2 n linearen Randbedingungen fur x = 0 und x = I in der Form

wo go und Q1 die Vektoren der Randablecungen2)

L[y] = (- 1)n (g,y(n))(n) + - . - + (9, y")" - (gl y')' + go y = r

(1 4

(1.3)

8 0 9 0 + % ! I t = b 9

9: = (yo, yb, yo, * . . Y yp ,-I)) , 1 41* = (YZ, ~ 1 , Yi', . . . 9 y(o2'2-1)) , und %o und matrix

verlangen wir lediglich Spaltenregularitat, das heiljt lineare Unabhangigkeit der Randbedin- gungen (1.2). Wenn die beiden Rander nicht verkoppelt sind, hat (1.2) die spezielle Form

zwei quadratische Matrizen der Ordnung 2 n sind. Von der rechteckigen Gesamt-

(1.4) 8 = (80, %Z)

doch ist das fur das folgende nicht von Bedeutung. Nun sei ll = Dd + llk ein gewisser ,,Energieausdruck" (in der Mechanik zum Beispiel

= W - A mit W als Formanderungs- und A als Lastarbeit), wo Ud von den diskreten Rand- werten, Ilk von der kontinuierlichen Belegung im Felde 0 5 x 5 1 herruhrt. Beide Anteile seien hochstens quadratisch in den Funktionen y, y', y", . . . , yen) bzw. in ihren zum Vektor

(1.6) 6* = (yo, yb, yb', . . ., yp-1' ; Y l , yl, y;, . . . , yy-19

1) Einzelheiten hierzu und zu allen Fragen dieses Abschnittes siehe etwa bei L. COLLATZ, Numerisc he

z, Das Zeichen * bedeutet Transposition einer Matrix oder ekes Vektors. Behandlung von Differentialgleichungen, Springer 1951, S. 132-151.

11

150

zusammengefaljten Randableitungen an den Stellen x = 0 und x = I:

S. FALK, Dss Verfahren yon RAYLEIOH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomeii __ ~--__

mit ‘ill* = ‘ill. 1 I& = - &* ‘ill 8 - &* E + f d (1.8) 2 Macht man nun den Ausdruck n = n d + n k zum Extremum beziiglich aller zulassigen Funk- tionen y ( ~ ) - das sind solche, die alle wesentlichen (geometrischen) Randbedingungen erfiillen - so sind

L[y] - r = 0

(1.10) notwendige Bedingungen fur die gesuchte Extremale, und diesen Sachverhalt macht sich RITZ auf folgende Weise zunutze: Zunachst wird der Energieausdruck 17 durch einen linearen Ansatz

(1.9) Erf iilltsein der restlichen (dynarnischen) Randbedingungen

(1.11) y(x) = a1 u1(x) + . * * + a, ue(x) + du,+~(x) von zulsssigen Funktionen ui(x) mit noch freien Konstanten ai, aber festem d in eine aus quadra- tischen Formen und Skalarprodukten bestehende Ersatzenergie fi iiberfiihrt. Schreiben wir fur (1.11) kurz (1.12) y(x) = a* b(x) mit (1.13) und (1.14) so liefert (1.12) in (1.7) eingesetzt unmittelbar

a* = (al, a*, . . . , a,; d )

b*@) = (u1(x>, u,(x), ’ ’ ’ , ue(x); UQ+1(5)) ,

1 ” . 2 ,‘=(I

gua*b(v)b(u)*a-dx- f d x = - a * Z ’ @ ~ \ ) , . n - n * r + f k 0

u = o 0

mit

(1.16)

(1.17) 1

(1.18) f k = f (x) dx = const .

L)ie Energie nd (1.8) ist durch den Ansatz (1.12) in 0

- 1 l ld=-a*ga-a*B + i d 2 (1.19)

ubergegangen ; die gesamte Ersatzenergie lautet somit 1

(1.20) ?i= fia+nl,=p* (8 + (‘9) a - a* (t + a) $- ( i d + f k ) ,

und diese Ersatzenergie macht RITZ zum Extremum beziiglich der noch variablen Koeffizienten at :

(1.21) h wad 8 = grad IId + grad E k = (8 a - g) 4- ((8 a - ?) = 0 N h

oder (1.22)

wo das Zeichen andeutet, dalj die letzten Zeilen der Matrizen 3 und @ und das letzte Element der Vektoren 9 und r zu streiehen sind, da ja d eine feste Konstante war. Das lineare Gleichungs- system (1.22) stellt somit eine finite obersetzung der Differentialgleichung (1.1) dar. Sind die ai aus (1.22) berechnet, so liegt nach (1.11) auch die Extremale des Ersatzproblems als Funktion von x vor.

Von besondereni Interesse ist noch der sogenannte vollhomogene Fall: es ist r ( Z ) 0 in (1.1) und b = 0 in (1.2), woraus d -= 0 irn Ansatz (1.11) und t = 0 in (1.17) folgt. Auch f in (1 3) verschwindet. Damit uberhaupt nichttriviale Losungen existieren, mu0 mindestens einer der Differentialausdrucke auf der linken Seite von (1.1) einen Faktor A enthalten, so da0 (l . l) ,

S. PALE, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen 151

(1.2) in der Form (1.23) (1.24)

L[yl = MIyl -A "yl = 0 3

%o g o + '% gz = 0 geschrieben werden kann. Es gibt dann im allgemeinen 001 diskrete Eigenwerte A6 mit zugehorigen Eigenfunktionen yi(x). Die Eigenwerte sind reell und positiv, wenn die Differentialausdriicke (1.25) M[y] und N[y] symmetrisch und positiv definit sind. Die finite ubersetzung von (1.23), (1.24) lautet jetzt

(1.26) 2 a E i ! J t a - A d a = O , und die zugehorige charakteristische Gleichung (1.27) 1rn-A 9-1 = p(A) = s, A, + . . . + s, A2 + s1 A + so = 0

liefert e Naherungs-Eigenwerte .Ai, die ebenfalls samtlich reell und positiv sind, da der lineare Ansatz (1.12) die Eigenschaften (1.25) auch auf das Matrizenpaar W; % iibertragt. Ordnet man die gesuchten Eigenwerte Ai und die Naherungswerte A, der GroBe nach, so gilt unter der Vor- aussetzung (1.25) (1.28) A i s A i f i i r i = l , 2 , 3 , . . . Q. Ein nur eingliedriger Ansatz y(x) = a, ul(x) macht aus (1.26) die Gleichung

(1.29) A = - 2 A,, a, beliebig

und in dieser Form ist A als sogenannter RAYLEIGH-Quotient (in der technischen Literatur auch ,,Energiequotient") bekannt. Zum SchluB stellen wir das ganze Verfahren noch einmal sche- matisch zusammen :

m11

"n (mil - A rill) o1 = 0 d. h.

Vorgelegtes Problem Ersatzproblem

1 r

Die Forderung 17 = nk + ITd = Extremum I

I

fi = fk + f id = Extremum beziiglich aller

fiihrt auf die notwendige Bedingung

I das heiBt auf

zulassigen Funktionen y(x) Variablen ai

617 = 617, + sn;, = 0

die lineare Diff. G1.

grad f = grad f i k + grad fi, = 0

das lineare Gleichungssystem

(und restliche Randbedingungen).

Im vollhomogenen Fall ist I

L[y] = M[y] -A "y] = 0 2a=!JXa- -Adu -0 , (und homogene rest. R. Bed.) i

und es gilt 0 SAi 5 .Ai fur i = 1 , 2 , 3 , . . . , e ,

falls die Differentialausdriicke 1 die Matrizen

I 1132 und in M[Yl und "yl 1 symmetrisch und positiv definit sind.

11*

152 S. FALK, Das Verfahren von RAYLEIGII-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen

Man beachte besonders, dal3 die dynamische Inhomogenitat der Randbedingungen (Einzel- krafte usw.) aul3er in denEnergieausdruck . f fd und damit in denVektor 5 auch in alle Matrizen 8, eingeht, falls man Vergleichsfunktionen wahlt (bei nur zulassigen nicht), wahrend die Inhomo- genitat der Differentialgleichung (Streckenlast usw.) sich allein im Vektor r ausdriickt. Eine geometrische Inhomogenitat dagegen kann in der Energie .ff auftreten (z. B. elastische Bettung unter Vorspannung) oder auch nicht (z. B. bleibende Stiitzensenkung); auf jeden Fall aber geht sie iiber die Konstante d (1.11) in die letzten Zeilen aller Matrizen a,, ein, gleichviel, ob man nur zulassige oder Vergleichsfunktionen wahlt.

2. Hermitesche Interpolationspolynome 2 a

Ein HERMITESCheS Polynom H&) der Ordnung 2 01 (und damit vom Grade 2 a - 1) defi- nieren wir hier durch die Eigenschaft, dal3 von den 2 01 Werten

Hi(O), H;(O), Hi’(O), . . . , HP--1)(0) , I Hi( l), Hi’( l), Hi’(l), . . . , H? -I)( 1 ) (2.1)

alle verschwinden bis auf den i-ten, der gleich 1 ist.

7-

\

-s 7 Bild 1. Hermite-Polynome der Ordnung 2 a = 2

(Cerade Linien)

/ \ / \

/ / \ / ,.I \

Bild 2. Hermite-Polynome der Ordnung 2 a = 4 (Kubische Parabeln)

* \ \ \

/

‘ f

Die Gesamtheit aller HERMITE-POlynOme einer fest gewahlten Ordnung 2 01 schreiben wir so :

mit der Koeffizientenmatrix 2 a 2 a 2a 2a

(2.3)

(2.4)

9 = (fo, fl, . . . 9 f2a-1)

und dem Vektor = (1, 5, 62, . . . , 5 2 a - - l ) .

2 a Fur a = 1, 2, 3 und 4 sind die Matrizen si\ in Tabelle I zusammengestellt. Den Verlauf aller dieser Polynome im - nullstellenfreien! - Interval1 0 5 5 5 1 zeigen die Bilder 1 bis 4.

Nun hat das Polynom

(2.5) Y ( 0 = Yo f40) + Y;, Hd5) + * - . t Yp - l) HJ6)

gerade die fur die Aufstellung einer zulassigen oder Vergleichsfunktion benotigte Eigenschaft, dal3 es samtliche in (1.3) auftretenden Randableitungen explizit enthalt. Aber auch die hohereri

S. FALK, Das Vcrfahren von RAYLEICR-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen 153

lliid 3. Hermite-Polynome cicr Ordnung 2 a = 6 (Parabeln 5, Gradm)

Ableitungen gewinnt man leicht durch einen Vergleich mit einer TAYLOR-Entwicklung an den Stellen 6 = 0 und 6 = 1. Und zwar gilt fur den linken Rand

(2.6) Init

und ahnlich fur den rcchten 2 R 2 .

y‘;“) = I I ! fx tu fur 11 = 0, 1 , 2 , . . . . 2 a - 1 (2.8) mit

2 a

(2.9) tt~* = (- 1)” (yl - y; y;’ . . . (- l) ,pl ~ ( ~ - 1 ) ; yo -y; y;’ . . . (- l>~-””-”).

7

7 > t Bilcl 4. Herrnite-Polynome der Ordnung 2 a = 8 (Parabeln 7. Grades)

154 S. FALX, Das Verfahren von RAYLEICH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen

Hier sind also dieZeiger 0 und 1 gegenuber (2.7) zu vertauschen und die ungeraden (geraden) Ableitungen fur n = 0,2 ,4 , 6 . . . (n = 1, 3, 5 . . .) mit negativem Vorzeichen zu versehen.

- - 8

P ( 9 =

1

0

0

0 ...

0

0

0

0 \

5 0

1

0

0

0

0

0

0

E $2

0 0

1 0 1 0 - 2

0 0

0 0

0 0

E2 68

0 0

0 0

2 1

0 - 6

0 0

0 0

- l o

63 5 4 E5 - 10 15 - 6

- 6 8 - 3 3 1 3

2 2 2

10 -15 6

- 4 7 - 3 1 2 1

2 2 2

t 4 E5 5 6

- _- -_

- -__ -

- 35 84 - 7 0

- 20 45 -36 15 20 10

2 2 2 -- - _ _

4 6 4 6 6 6

35 -84 70

- 15 39 -34

-- - -_

13 14 2 2

3 3 6 6

- __ - 5 0 0 ~- - 2

1 0 0 -- 6

-- .- -

t7

20

10 4 2 1 6

- 20

10 4 2 1 6

-

-

-_

-

3. Die Variation der Randwerte

Nun bauen wir unsere Ansatzfunktion (1.1 1) aus lauter HERBfITE-Polynolnen gleicher Ord- nung 2 a nach (2.5) zusammen und variieren jene 2 n Randwerte, die auf Grund der Rand- bedingungen (1.2) nicht verschwinden oder durch die ubrigen linear kombiniert sind; die Groflen ai haben damit eine einfache geometrische bzw. mechanische Bedeutung erlangt. Obwohl nun die Theorie fur den RITz-Ansatz (1.1 1) lediglich zulassige Funktionen ~ ( x ) verlangt, bekommt man - namentlich bei mehrfeldrigen Aufgaben - numerisch befriedigende Ergebnisse nur, wenn man Vergleichsfunktionen heranzieht : das sind solche, die nicht nur die wesentlichen, sondern alle 2 n Randbedingungen (1.2) erfullen.

Mit der neuen dimensionslosen Veranderlichen

usw. - -- - _ - - 2 5 = - . d y - _ - Y' d 2 Y ~ Y" d3Y Y"' I ' dx I ' dx2 12 ' dx3 P

wo nun das Zeichen ' eine Ableitung nach E bedeutet, ware dernnach fur n = 1, d. h. fur die Dif f erentialgleichung

der Ansatz (3.2)

(3.3)

(3.4)

U Y l 3 - (C/,O> Y' (0 ) ' + Y O ( 0 Y ( 8 = r(5)

4 4 4 4

Y(E) = Yo WE) + yb + Y l H3(5) + Yi Hd5) 9

U Y l = : ( h ( E ) Y"(5))" - (m) Y'(5))' + go Y e ) = r(5) fur n = 2, also fur

s. FALK, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen

Ta b e l l e 11. Integralmatrizen fur HmMITEsche Polynome

155

der Ordnungen 2 a= 2, 4, 6 ____. - ____ __-

30 -1200 600 -30 216 - 8

1200 600 600 384 22 - 600

0 792 30 22 6 - 30 8 H I H i d$ &, = - . '"6 - 1 200 -600 -30 1200 -600 30

600 216 8 - GOO 384 -22 ._ 30 - 8 I 30 -- 22 6,

i 1 2

1 3 4 5 6

I

1 1800

832 69 1812 - - 532 52

1812 181 21 720 --3732 281 --532 -52 -3732 832 -69

69 G 181 - 52

I- 15

2 5 3

4 6

1

[ 21 720 3 732 1 281 G 000

2 3 4 5 6

270 15 -1 800 270 -15 288 21 - 270 18 G 21 2 - 15 G 1

--270 -15 1800 -270 15 -- 18 - ~- 270 288 -21

6 1 15 - 21 2

1

-V, = 5 * 7 . 9 . 11 * 16 = 55440

156 S. FALK, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolpomen

630’ 150

- 25 - -630

480 -140

Tabelle 111. Integralmatrizen fur HERmTEsche Polynome der Ordnung 2a = 8

1 2 3

3 4 5 6 7

1 352 800 176 400 16 800

630

176 400

630

- 352 800

- 16800

700’ -300 - 73

-700 -

1000 -148

2 3 4 176400 16800 630 108000 11 370 480 11370 3000 140

480 140 8

68400 5430 150 -176400 -16800 -630

- 5430 - 30 25 150 - 25 - 3

1 2 3

5 4 5 6 7

5 6 7 - 352 800 176 400 - 16 800 -176400 68400 - 5430 - 16800 5430 - 30 - 630 150 25

352 800 - 176 400 16 800 - 176 400 108 000 - 11 370

16 800 - 11 370 3 000 I 630 480 - 140

- 3 126’ - 990 - 129 - -4596

1296 - 156.

1 2 3

7 4 5 6 7

1 1 176 000

227 640 19 320

700

227 640 - 19 320

700

- 1176 000

2 3 227640 19320 216000 22140 22140 2920

1000 148 - 227 640 - 19 320

11640 - 2820 2 820 980

- 340 - 73

4 5 6 700 -1176000 227640

1000 - 227 640 11 640 148 - 19320 - 2820

8 -700 - 300 - 700 1 176 000 - 227 640 -300 - 227 640 216000

73 19320 - 22140 - 5 -700 1000

7

2 820 980

73 19 320

- 22 140 2 920

- 148

- 19 320

1 5 251 680

978 480 98 640 4 596

1234 800 -411480 -

55 800

2 3 978480 98640 237600 26460

26460 3096 1296 156

411 480 55800

17910 2358 - 134 280 - 17 910

4 5 4596 1234800 1296 411480

156 55 800 8 3 126

3126 5251 680

129 98640 -990 -978480

6 - 411 480 - 134 280 - 17910

990 - 978 480

237600 -

-

- 26460

7 55 800 17 910 2 358

129 98 640

3 096 - 26 460

I- 3 126 - 990 - 129 - 7 - 4596 1296 - 156 4 8 i

HidE Ij* - __ (840 180 20 1 840 -180 20 -1) , 8 7722 - N ,

0 I

N u = 5 * 7 - 8 * 9 * 11 - 13 * 36 = 12 972 960; 936 = 18.52

der Ansatz

(3.5)

zu machen. Nur in Ausnahmefallen verlangen die Randbedingungen (1.2), daB von den 4 n Werten (1.3) einfach die Halfte zu streichen ist, im allgemeinen jedoch miissen die Randwerte linear kombiniert werden. Das hat zur Folge, daB bei jeder der Variablen ai nicht ein HERMITE-PoIynom allein, sondern eine Linearkombination der Form

kurz (3.6)

(3.7) &(t) = 6: P(t)

(3.8)

(3.9)

Q(.) = b, W E ) + bz H d t ) + * - - + b 4 , H 4 n ( t ) Y

steht. Der hnsatz (1.12) lautet somit

Ye) = a* m ( t ) = a* m* P ( t ) Y

8 = (51, bz, . . . , b,+l) W O

eine Matrix mit e + 1 Spalten und 2 0; = 4 n Zeilen isl. Die Integrale (1.16), (1.17) sind somit ubergegangen in

S. FALK, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ rnit hermiteschen Interpolationspolynomen 157

mit

(3.1 1)

und

(3.12)

mit 1

(3.13) 1, = li’ r(E) $43 . Das Schema zur Berechnung der Matrizen a,, und des Vektors 1: sieht dann so aus:

(a, a, . . . a,; d )

(3.14)

T T e e +1

__ - - - - - - c-- e--+ +

e + I-- c-

Da alle Matrizen CS), symmetrisch sind, braucht man nur deren rechten oberen Teil zu berechnen. Auch auf die Berechnung der letzten Zeilen kann man verzichten, da sie bei der Gradientenbildung ohnehin fortfallen.

4. Die Berechnung der Matrizen $j, und dcs Vektors Ij Die Berechnung der Matrizen $I,, rnit den Elementen

1 h v , i k = h v , k ~ = ./” Q Y ( ~ ) Hp’(6) Ht’(6) d5

0 (4.1)

und des Vektors 6 mit den Komponenten 1

hi = .I” r(5) HL(5) d5 0

(4.2)

(4.3)

ist besonders einfach, wenn die Funktionen gu( t ) und r(5) Polynome in 5 sind:

gy(5 ) = Q Y O * 1 + gl” 5 + Q Y 2 t2 * * * + @ ” t E t 3

(4.4) Denn dann ist

r(5) = r , - 1 + r, 5 + r2 5 2 . + rj 5 j .

1 1 1 h V , i k = g,,, S HY) H t ) d[ +- yVl j” 5 H t ) Hk) d5 4- * * * -t gvt J 5‘ H t ) HP) d t ,

0 0 0 1 1 1

(4.5)

(4.6) hi = ro J Hi d5 + rlJ 5 f I j d5 + . . + r j J 5 j H i d 5 , 0 0 0

und damit

(4.8)

Die Integralmatrizen Q2,, Ql0, Q,, und der Vektor 6, sind fur a = 1, 2, 3, 4 in den Tabellen 11 und 111 angegebena). Zuni Beispiel wird nach Tabelle I1 das Element

(4.7) @ u = ( h u , i k ) = gvo @ Y O f YYI @ v l + * ’ ’ + Y v t @ v t 9

8 = (hi) = ro h, + rl + - . - + rj . 2 a 2a 2 a 2 s

s, Weitere Matrizen werden spater veroffentlicht, siehe FuSnote 4.

158 S. FALK, Das Verfahren yon RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen

Sind nun die Funktionen g, und r zwar keine Polynome in E , aber geniigend genau - gegebenen- falls stiickweise - durch solclie ersetzbar - zum Beispiel wiederum durch HERMITE-Polynome - so kann man ebenfalls fertige Integralmatrizen benutzen ; andernfalls mu13 man die Integration exakt oder riaherungsweise selbst durchfiihren.

5. Der Eigenwert A kommt in den Randbedingungen vor Bei vollhoniogenen Problemen kann der Eigenwert A linear in den Randbedingungen, somit

hochstens quadratisch in der Ersatzenergie fi = f i d + ffk auftreten. Die Eigenwertgleichung (1.26) ist daher von der Form

(5.1) tlas heifit, die Koeffizienten sP des charakteristischen Polynoms (1.27) sind nun rationale Funk- tionen von A geworden:

Da nun fur jeden beliebigen Parameterwert A die Ansatzfunktionen u&) zulassig sind - fur die wahren Eigenwerte ,Ii werden sie sogar zu exakten Vergleichsfunktionen - geht jetzt (1.28) iiber in die umfassendere Aussage

(5.3)

L(A) a =_ [(9Xo + J. Q J L , t- Az s3J1,) - A(%o t- A %, + ii2 %)I a = 0 ,

(5.2) I'B(A) - A %(A)/ = se(A) AQ + * * * + s,(A) A2 + s,(A) A + so@) = 0 .

A,@) 2 A i f ~ r i = 1, 2 , . . . 0 und jeden Wert I . .

1 - 1 1 - c h

Bild 5. Eigenkurven A i ( A )

Die e Kurvenaste des zweiparanietrigen Eigenwertproblenis (5.1) sind sornit nach unten be- schrankt durch die gesuchten Eigenwerte At (siehe auch Bild 5). Ihre Extremwerte bezuglich I. findet man aus der notwendigen Bedingung

(5.4)

Differcnziercn wir also (5.2) implizit nach A und setzen sogleicli A = 0, so wird

(5.5) $(A) Ae + * * * + &(A) A2 + q A ) A + iO(d) = 0 . Nun multiplizieren wir das Gleichungspaar (5.2), (5.5) der Keihe nach mit A, A2, . . . . Ae-l und bekoniinen das homogene Gleichungssysteni

A2e-1 A2e-2 A2e-3 A2 A' 1

(5.6) . . . . .

0

0

S Q - 2 . . . . . . . 0 0 *4+ . . . . . . . 0 0

ie-1 . . . . . . . 0 0

0 . . . . . . . S z s1

0 . . . . . . . sz i'

sQ- l . . . . . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Das Verschwinden der Determinante von G ist daher eine notwendige Bedingung fur die gesuchteri Parameterwerte 1.. Zur praktischen Berechnung bringt man zunachst G durch Zeilenumordung auf obere Dreiecksform 5 und entnimmt den zu ,I, gehorigen Wert A, ails der vorletzten Zeile von g .

S. FALK, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ rnit hermiteschen Interpolationspolynomen 159

Fur Q = 1 und e = 2 geben wir die Losung sogleich explizit an:

Hier beachte man, daB bei der Differenzenbildung in Zahler und Nenner die hochsten Potenzen von 1, jeweils fortfallen. Tri t t der Eigenwert 1, nur ein einziges Ma1 auBerhalb der Differential- gleichung auf, ist also der Ansatz (1.11) von der Form

(5.9) so setzt man einfach 1, ai = und hat nun einen e + 1-reihigen Ansatz, der A nicht mehr enthalt.

Fur Q > 2 ist der geschilderte Losungsweg recht miihsam; es ist dann bequemer, fur einige geschatzte Werte 1, in der Nahe eines vermuteten Minimums die zugehorige Wurzel A aus (5.2) zu berechnen und dann den kleinsten dieser so erhaltenen Werte als besten Naherungswert zu wahlen. Ein anderer Weg besteht darin, ,I = A zu setzen; doch fiihrt das nach (5.1) auf Gleichun- gen vom Grade 3 p in A, ohne besonders gute Naherungen zu liefern.

Y(X) = a, ul(x) + * - + a, ue(x) + & ai u i ( 4

6. Ansiitze mit weniger als 2 n Variablen ai Wir haben bislang immer vorausgesetzt, daB zu einer Differentialgleichung der Ordnung

2 n auch ein hnsatz mit HERMITE-Polynomen der Ordnung 2 a = 4 n mit Q = 2 n = iy Variablen ai gehore. Die Differentialgleichung (3.4) zum Beispiel fiihrte somit stets auf ein Gleichungs- system rnit 2 n = 4 Unbekannten, dessen Auflosung namentlich im vollhomogenen Fall einige Muhe macht; ein Umstand, der urn so mifllicher ist, als man oft nur den kleinsten Eigenwert 2, allein annahern will; das aber leistet bereits ein gewohnlicher RAYLEIGH-Quotient. Um nun die hnzahl der Variablen zu verringern, kann man entweder rnit der Ordnung 2 a der HERMITE- Polynome heruntergehen, oder man behalt sie bei und schafft dafur irgendwelche Beziehungen zwischen den 2 n Variablen ai, anders ausgedriickt: man macht einen nochmaligen Rmz-Ansatz am Ersatzproblem. Beide Wege wollen wir kurz skizzieren. a) D ie O r d n u n g 2 a i s t k l e i n e r a l s 4 n

Die hochsten Ableitungen ~ L ~ f l - 1 ) bzw. yiZfl-1) sind nun durch den Ansatz (1.11) nicht melir direkt erfaabar. Kommen diese Ableitungen aber in den Randbedingungen (1.2) vor und will man sich nicht auf nur zulassige Funktionen beschranken - diesen Ausweg akzeptieren wir im folgenden grundsatzlich nicht - so findet man aus (2.6) bzw. (2.8) alle benotigten hoheren Ab- leitungen als Linearkombinationen der niederen, womit die Aufstellung von Vergleichsfunktionen auch jetzt keine Schwierigkeit macht. b) R i t z a n s a t z a m E r s a t z p r o b l e m

a' auf geeignete Weise zu 0 < ,n neuen Variablen ci:

mit

und

wo die Rechteckmatrix K u + 1 Spalten und e + 1 Zeilen hat ; im Rechenschema (3.14) ist daher Q durch 0 und die Matrix 23 durch 93% zu ersetzen.

Nun kann man an sich uber die Variablen ai beliebig verfiigen - zum Beispiel alle bis auf eine gleich Null setzen - denn jede Linearkombination von Vergleichsfunktionen ist ja wieder eine Vergleichsfunktion, was insbesondere bedeutet, daB die Aussage (1.28) bei jeder beliebigen Wahl der a$ bestehen bleibt. Brauchbare numerische Ergebnisse erzielt man indessen nur, wenn man die durch das gestellte Problem (l.l), (1.2) gegebenen Informationen noch weiter ausschopfl als bisher : am einfachsten durch fortgesetzte Differentiation der Differentialgleichung (1.1), was dann zusammen rnit den Kandbedingungen (1.2) beliebig viele Randbedingungen mit hoheren als 2 n - l-ten Ableitungen liefert; diese aber sind nach (2.6) und (2.8) bekannte Linearkom- binationen der Randwerte (1.3), womit die gesuchten Bezieliungen zwischen den 2 R Variablen ai gefunden sind. Dieses Vorgehen erlaubt nun sogar, die Ordnung 2 01 der HERMITE-Polynome groBer als 4 n zu wahlen (wie im Beispiel 2), so da13 nun ein nur eingliedriger Ansatz die Genauig- keit beliebig hochzutreiben gestattet : eine Methode ubrigens, die als ,,Vorschalten einer Itera- tion" in Sonderfallen Iangst bekannt und bewahrt ist.

Jetzt behalten wir die Ordnung 2 01 = 4 n bei, konibinieren aber die e = 2 n Variablen

(6.1) n = % C

(6.2)

(6.3)

a* = (ul, u,, . . . , a,; d )

c * = (c,, c,, . . ., c,; d) ,

160 S. FALK, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen

Eine andere Art von Linearkombination bietet sich an, wenn die Losung einer Differential- gleicliung exakt oder genahert vorliegt, und die gleiche Aufgabe rnit geringfiigig abgeanderten Werten nochmals gelost werden mu13, wie das bei technischen Problemen oft der Fall ist. Man benutzt dann die 2 a Randableitungen der bekannten Losung als ,,Gerust" fur die abgeanderte Aufgabe und gewinnt so durch einen nur eingliedrigen Ansatz (RAYLEIGH-Quotienten) im all- gemeinen sehr gute Ergebnisse. Solche Geriiste sind auch dann rnit Vorteil zii verwenden, wenn nlan eine Aufgabe mit HERMITE-Polynomen einer gewissen Ordnung - oder auch mit beliebigen anderen Ansatzfunktionen - berechnet hat und nachtraglich die Ordnung erhohen will. Man erzielt dadurcli nicht nur bessere Ergebnisse, sondern befreit auch die Rechnung von allen im ersten Durchgang gemachten Rundungs- und Rechenfehlern.

SchlieBlich erwiihnen wir noch, darj man bei symmetrischen Problemen (wie im Beispiel 1) durch geeignetes Zusammenfassen der Variablen ai die Rechnung stets in einem symmetrischen iind einen antimetrischen Anteil aufspalten kann.

7. Bnsatze mit mehr als 212 Variablen (ci

Will man im vollhomogenen Fall mehr als die ersten 2 n Eigenwerte 3Li annahern, so mu13 auch die Gleichung (1.27) vom Grade Q > 2 n sein. Dies erreicht man am einfachsten dadurch, daB man das Feld der Lange 1 in 2, 3, . . . , f Bereiche unterteilt und an den Trennstellen den stetigen ubergang von y; y', y" . . . y(zn-1) fordert. Auf diese Weise wird (1.26) ein Gleichungs- system der Ordnung 4 n, 6 n, . . . 2 f n, das nun entsprechend viele Naherungswerte Ai 2 3Li zu berechnen gestattet. Da wir uns aber mit mehrfeldrigen Aufgaben erst spater befassen4), stellen wir die Besprechung dieser Methode bis dahin zuriick.

8. Beispiele

(8.1) 92 !/"" - 91 Y" + 90 Y = 0

(8.2) y o = y o =IJ1-7Jy, = O .

2 n;, = g, j p at + !Il j g 2 at + go j at; rr, = 0 . (8 3)

Beisp ie l 15). Gegeben isL die Ilifferentialgleichung

init konstanten Koeffizienten ga, ql, yo und den Randbedingungeri , I I ,

Die zugehorigen Energieausdriicke sind 1 I 1

0 0 0

Daniit ist die Ersatzenergie nach (1.20)

(8.4) 2e= a*(!/, az0 + g1 @lo + go @oo) a

und daraus folgt als finite ubersetzung von (8.1)

(8.5) grad = ( 9 2 8 2 0 + 91 8 1 0 + 90 @oo> a = 0 ' 1. Naherung

Wir machen einen Ansatz mit HERMITE-POlynomen sechster Ordnung nach (2.5) : 6 6 6 0 6 6

(8.6) !At) = Yo f r , ( t ) + Y;, HAG) -t Y;,' H 3 i 8 + Yl ME) + Y; H d t ) + Y;' H 6 i O 9

von tlern wegen (8.2) lediglich die beiden Polynome H , und H5 verbleiben:

(8.7) ti

und das heist, aus den Matrizen ,D,,o sind die Elemente init den Zeigerpaaren 22, 25, 52 und 55 lierauszugreifen; das gibt nach Tabelle I1

792 384 216 44 288 --18 {xy * (216 384) + !'I (- 18 288) $- -& (- izz - zi:)} a = '

oder zusamniengefaflt !I; Y;

76032 {/? + 3 168 g, -1 208 go

42768 y2 - 198 q1 -- 133 go 42768 gz - 198 y, - 76032 g2 + 3168 q1 + 208 go

(8.8)

4, Das Verfahren von R a y 1 eig h - R i t z rnit hermiteschen Interpolationspolynomen bei mehrfeldrigen Aufgaben, ZAMM 1964. -

5 , Alle Beispiele sind der Diplomarbeit von G. BRUNE entnommen: ,,RITz-Verfahren bei technischen Eigenwertaufgaben rnit HERMITEschen Polynomen", TH Braunschweig 1962.

S. FALK, Das Verfahren von RAYLEICH-RITZ mit hermiteschen Iriterpolationspolynorrlerl 161

Die Determinante dieser Matrix ist von der Form

(8.9)

und zerfallt daher in die beiden Faktoren (8.10) (8.11)

a + b = 118800 g, + 2970 y, + 75 go = 0 , a - b = 33264g2+3366gi + 3 4 1 g 0 = 0 .

2. Naherung Nun rnachen wir einen Ansatz mit HERMITE-Polynomen achter Ordnung :

(8.12) wo wir yo, &’, Y,, y;’ nach (8.2) bereits gestrichen haben. Variiert werden jetzt also die vier GroBen

I , I ,,, (8.13) a, = !I;, = yo , n3 = Y; a4 = yl .

8 8 8

\Vir brauchen daher in den Matrizen .Q20, Ql0 und Qo0 iiur die l., 3., 5. und 7. Zeilen und Spalten zli streichen und haben damit das Ersatzproblem (8.5) schon vor uns; und zwar wird

/lo8 000 480 68 400 150\

(8.14)

(8.15)

8 150 108000 480

\ 150 -3 480 8 1

216000 1000

11640 -300 216000 1000 ’ -300 -5 1 000

8 1 0 = N, *

237 600 1296 -134280 -990

(!goo = -. 8 - 990 - 7 ) . ( :::: -7 1 296 8

~/ L - - - - - - - - - - - - -

N , 134280 -990 237600 1296 (8.16)

Wegen der Vollsymmetrie der Randbedingungen (8.2) laI3t sich die Aufgabe zerspalten in einen symmetrischen Teil mit (8.17) y; = - y; und y;” = -yy,

und einen antimetrischen mit yd=-Y:. Yz=Yf If‘

(8.18) Y;, = Y; und y;” = y;” ,

I , ,

siehe auch Bild 6. Auf diese Weise erhalt inan zwei zweireihige Matrizentripel, die je fur sich den ersten und dritten bzw. den zweiten und vierten Eigen- wert annahern ; Ergebnisse siehe Tabelle IV. 3. Naherung

Wieder machen wir den Ansatz (8.12), benutzen aber die Tatsache, daB neben (8.2) auf Grund von

Bild 6. Sgmmetrische und antiinetrische Eigenfunktionen (8.1) auch zum Beispiel 1

y ; l , , = y ; / l l (8.19) = 0 gilt, um die beiden Variablen y;” und y;” durch y; und y; auszudriicken. Zunachst gibt (2.6) nach Tabelle I

8 8 (8.20) yi’” = 41 f2 8 ,

8 8

wo f, die vierte Spalte der Koeffizientenmatrix R, namlich

(8.21) -35 -20 -5 -- 2 35 -15 -- 5 -L)

3 2 6 8

ist. Mit tlem Vcktor $* (2.7) 8* - (8.22) b - (Yo Y; Y;’ Y;“ Y1 Y; !I;‘ Y;”)

162

und wegen (8.2) lautet damit (8.20) ausfuhrlich

S. FALK, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen -

-2Oy~---yo 2 I , , - 1 5 ~ ; - 3 (8.23)

Nun ziehen wir (2.8) lieran:

(8.24) y;’” = 41 f,* m init m* = (y, -y; y;’ -yl , yo -y; yh’ -yh“)

llach (2.9). Das gibt mit (8.21) und nach (8.2) und (8.19)

(8.25)

und aus (8.23) und (8.25) berechnet inan nun leicht

I / ! . 8 8 8

2

(8.26) yh” = -26 yh- 16 y; ; ZJ;” = - 16 IJ; -26 y;,

was in (8.12) eiiigesetzt die Ansatzfunktion

(8.27)

Init den beiden Variablen a1 = yA, a2 = y; und damit die Matrix (3.9)

8 8 8 8 8 y(6) = yA ( H , - 26 Hal -- 16 iJ + y; (- 16 H4 + H , - 26 H,)

(8.28) 0 1 0 -26 0 0 0 -16 0 0 0 -16 0 1 0 -26

%* = (2) = ( ergibt, mit der sich nun die endgultigen ubersetzungsmatrizen

(8.29)

(83200 49100) .- 936 49 100 83 200 Ns ’

176896 -2764 18 - 2 764

(- 124 140

176 896) * N, ’

203 520) ’ 3; 203520 -124140 1

@I0 = B* SJ10 % =

goo = B* @oo 23 =

I berechnen lassen. Die Determinante (8.30) A = 1 % @20 + Y l @lo + yo @ool = 0 zerfallt wegen der Doppelsymmetrie wie in (8.9) in die beiden Gleichungen

(8.31) 31 917 600 qZ + 3 233 880 y1 + 327 660 yo = 0 ,

79 380 yo = 0 . 123 832 800 yZ + 3 134 376 gl + Zwecks besseren Vergleiches sind die Naherungen (8.10), (8.11), ebenso (8.31) und die aus (8.14) bis (8.16) folgenden ersten beiden Losungen durch den Faktor bei go dividiert worden; siehe ‘I’abelle IV. Die exakte Losung ist

(8.32)

IIn ubrigen sind in (8.1), (8.2) zahlreiclie techniscli wichtige Aufgaben enthalten, so zum Beispiel der elastisch gebettete Balken, der unter konstaiitem Druck harmonisch schwingt (zweipara- metriges Eigenwertproblem).

~(6) = sin n n 6 mil ys(n n)4 + yl(n n)2 + yo = 0 fur n = 1, 2, 3, . . . , a.

T a b e l l e 1 V . Naherungswerte und exakte Losung zum Beispiel 1

n = l 1 n = 2 -_ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ _ _ - ---___. 82 Y”” - 9, Y” + 90 Y = 0

yo = y; = y, = y; r 0

0 I H , mit a, = y;, a2 = y; 97,548387 ~ 9,870968 j 1 1 1584,0000 1 39,600000 ~ 1 3 i

H , mit a, = y;, a2 = yi 97,410 731 I 9.869 621 ’ 1 1 1560,0000 1 39,485714 1 3 i

11, mit a, = yk, a2 == y;”, 1

-~ _ _ _ _ _ _ I _ _ Exakte Losung 97,409 091 9,869 044 /y/ 1558,5455 39,478 418 1

92 91 go 1 92 I 91 ~ go

a3 = y;, u3 = y;“ 9,869046 1 1 1 1558,6394 I 39,478656

S. FALR, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen 163 ______

l3 e i s p i e 1 2. Gegeben ist die Differentialgleichung (8.33)

(8.34) y;, = 0 , !JI = 0 .

-y" + y = 1 mit den Randbedingungen

Das zugehorige Variationsproblem lautet 1

(8.35) n, = 5 J (y'z + yz - 2 y) d t 1, Extremum , 0

und die exakte Losung ist

&of t KO[ 1

(8.36) !I([) L 1 - ~ = 0,351 945 727 - 0,324 027 137 E2

- 0,027 002 262 l4 - 0,000 900 075 t6 - 0,000 016 073 68 -. . . . 4

Obwohl ein Ansatz mit den kubischen Polynomen Ha(E) zur Erfassung der Randbedingungen (8.34) genugen wurde, WOkn wir einen zweigliedrigen Ansatz mit HERMITEschen Polynomen der Ordnung 2 cy = 8 durchfuhren. Nun verschwinden von den acht Randableitungen in (3.5) auf Grund von (8.34) zunachst nar zwei; um von den verbleibenden sechs vier weitere eliminieren z u konnen, brauchen wir irgend vier Beziehungen zwischen ihnen, und zwar wahlen mir

I , (8.37) yb" = 0 ; y, = - 1

(8.38) y p 1 0 ; yi4) = - 1 ,

(8.39) -- y"' + y' = 0 , - y"" + y" = 0 IlSW .

und

Gleichungen, die durch Differentiation von (8,33), also aus

zusammen mit (8.34) leicht zu gewinnen sind. Unter Benutzung von (8.34) und (8.37) verbleibt daher vom Ansatz (3.5) nur noch

(8.40) und die hier auftretenden Randwerte yh' und y;" eliminieren wir nnn mit Hilfe von (8.38) nach (2.6) und (2.8):

(8.41) yi5) = 51 U; 8 = 51 - (84 yo + 45 y;, + 10 y;' + 1 - y;" - 84 y, + 39 y; - 7 y;' + = 51. (81y0 + 10 yo + 39y, + 7 +

2 3

8 8 (8.42) yi4) = 4! 1; = 4! * - 35 y1 - 20 (- s;) - 5 y;' - ~ (- y;") + 35 !lo - 15 (- y;,)

wo wir bereits die beiden Gleichungen (8.34) und (8.37) benutzt haben. Aus (8.41) und (8.42) folgt nun nach kurzer Rechnung (8.43) 260 y;' = - 1 848 yo - 768 y; - 103 ,

tind das in (8.40) eingesetzt gibt die endgultige Ansatzfunktion

(8.44) 260~ ;" = - 6 7 2 0 ~ 0 - 4 9 2 0 ~ ~ - 1 5 8 0 ,

8 8 8 S 8

260 y ( ~ = 4 yo (65 H, - 462 d, - 1680 H8) + 4 y; (- 192 H , + 65 H , - 1230 H8)

oder + (- 103 I"I, - 260 h, - 1580 k8)

y(E) = a1 U l ( 4 + uz W) + 1 * U , ( E )

(8.45)

nach (3.6) mit (8.46)

164 S. FALP, Das Verfahren yon RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen

siehe (1.11). Die Matrix B (3.9) ist somil

(8.47) 65 0 -462 0 0 0 0 - 1 680 .*=A( 0 0 --192 0 0 65 0

und nun werden nach Schema (3.14) und Tabelle 111 die Matrizen 0 0 -103 0 0 0 -260 -1580

4 187 877 120 850 702 020 272 609 120

333 836 570 _ _ _ _ ~

850 702 020 ~ 908 353 920 272 609 120 333 836 570 * ____ ~~~ ~ ~ ~~~~

8 (8.48) @I = 8* .Q,o B = -__

1 17 429 900 544 - 2 147 049 396 - 1 015 197 984 8 (8.49) 0, = B* $00 B =

~~~

\- 1 015 197 984 i i n d der Vektor

I 1 308 968 064 532 102056 j - ~ ~ ~ - _ _ _ _ _ _ 532 102 056 *

(8.50) 242 880 501 820 *

berechnet, wobei die 2., 4., 5. und 7. Zeilen (bzw. Komponenten) der Matrizen Qlo 23 und Goo % (bzw. des Vektors 4) gar nicht benotigt werden. Aus Symmetriegrunden brauchen auljerdem in (8.48) und (8.49) nur je funf, in (8.50) nur zwei Elemente ermittelt zu werden; die mit einem * bezeichneten Elemente interessieren iiberhaupt nich t, da sie bei der Gradientenbildung mitsamt den letzten Zeilen fortfallen.

Nun lautet die finite Ubersetzung von (8.35) nach (1.15)

(8.51)

also

- 1 n k = 2 a* (8, + cS0) a - a* t 3 Extremum,

- 2 (8.52)

In Zahlen:

grad JIk = (8, + a,,) a - t = 0 .

a1 a2 1 92 81 1 688 704 13 165 586 964 - 90 551 382 624 0 13165586964 17659338624 35262633516)=(0).

(8.53)

Die Losungen

setzt man in (8.45) ein und erhalt (8.54) a, = 4 yo = 1,407 782 351 ; ~1, = 4 y; = - 3,046 371 93

(8.55) y o ) = 0,351 945 587 - 0,324 023 144 t2 - 0,027 022 666 t4 - 0,000 842 410 t6 - 0,000 057 367 f 7 .

Ein Vergleich mit (8.36) zeigt die auljerordentliche Giite dieser Naherung ; die funfte Potenz von 5 ist exakt herausgefallen, die siebente gibt im Mittel den Rest der abgebrochenen unendlichen Reihe wieder. In Tabelle V sind einige Werte von y(t), ~ ’ ( 5 ) und ~ “ ( 5 ) zusammengestellt. Die Funktion selbst wird auf sechs, die erste Ableitung auf funf und die zweite auf vier bis funf Stellen richtig wiedergegeben.

H e i sp ie l 3. Zum Schwingungssystem von Bild 7 gehort die Differentialgleichung

(8.56)

niit den Randbedingungen (8.57) tind (8.58)

(8.59) z = 1 6 , w =

w 0

I ,

q o = q; = yI1 = 0

71;’’ = (3 - 1 * A4) ql ,

S. FALK, Das Verfahren von RAYLEIGH-RITZ mit hermiteschen Interpolationspolynomen 165

T a b e l l e V. Einige Funktionswerte zum Beispiel 2

I I Y ( ‘ 3 ~ 070 0,351 945 73

1 0,2 ’ 0,338 941 38 , 0,4 ~ 0,299 406 43

0,6 I 0,231 754 20 0 8 0,133 269 57 l,o ~ 0

I 0,o 1 0 0,2 , -0,130476 66 0,4 1 -0,266 189 80

0,8 -0,575 540 88 190 -0,761 594 15

0,6 4 , 4 1 2 586 08

NLherung

0,351 945 59 0,338 941 37 0,299 406 56 0,231 754 21 0,133 269 43 0

0 -0,130 475 77 -0,266 189 72

-0,575 540 97 -0,761 592 98

4 , 4 1 2 587 13

-0,648 054 28 -0,661 058 62 -0,700 593 57 -0,768 245 80 -0,866 730 43 -1,o

-0,648 046 29 -0,661 058 37 -0,700 601 39 -0,768 246 85 -0,866 721 41 -1,o

gesetzt wurde. Die zugehorigen Energien sind 1 1 1 d2w

(oz (dxz) dx - 0 2 6 , ~ w2 dx q“2 d t -A4 J q2 d t , 2 1

- I l k = - - J E J E J 0

(8.60)

Wir wahlen HERMITE-Polynome sechster Ordnung, von denen drei auf Grund von (8.57) sogleich aus- scheiden. Somit verbleibt

6 6 6

(8.62) q(f ) = 7;’ H3(5) + 71 K ( 5 ) + 11; Hd5) . Nun erfiillen wir (8.58) und die zusatzliche Bedin- gung q;”‘ = 0, die wegen qo = 0 aus der Differen-

I 1

w tialgleichung das gibt nach (2’8) und ~ s d 7. ~ i ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t ~ ~ Endmasse und Feder Tabelle I : znm Beispiel 3

und daraus (8.65) 66 q6’ = [240 - 14 (3 -A4)] ql ; Dies in (8.62) eingesetzt gibt die endgiiltige Ansatzfunktion

66 q; = [90 + 3 (3 -A4)] q, .

(8.66)

mit

(8.68)

und (8.69)

0 0 14 0 0 0 6 2

u1 = q,/2 , a2 = q, . A4/66 ; a* = (a, a,) , 12

166 S. FALK. Das Verfahren yon RAYLEIOH-RITZ mit hermiteschen InterDolationsaolvnomen

] m - - s % / =

womit wir nach (5.9) den Eigenwert A4 aus dem Ansatz entfernt haben. Die Ersatzenergien sind somit nach (8.61) und (8.60):

2 1 - ~ 17, = (3 - A4) 7: = (12 E J (8.70)

mit

4 A4) a: = a* 8 (I

14 - 68 508 E - 4 807 e l

- 4 8 0 7 ~ 3 3 - 3 2 5 8 ~ 1 = o

(8.71)

und

(8.72)

1 2 - 4 A 4 0

0

2 1 - ---17,= a* ('$3*Qz0 B--A4%* QooB) a = a* @ a E J

mit ~~

792 840 A4 52272 19 228) =- 12 (7 0) -~ A4 (13068 4807) ( 0 3:9)-%(19228 13032 7 0 33 13860 4807 3258 . (8.73) (3 =---

N6

Hier kostet infolge der vielen Nullen in '$3 (8.68) die Berechnung der beiden Matrizen %* bzw. '$3* $joo 23 nach Tabelle I1 nur je 23 Multiplikationen (anstatt 90 bei voller Matrix '$3). Fiihren wir nun den neuen Parameter

(8.74) A4 - - ___. 7 114

12 13860 23760 & = --. ___

ein, so lautet die finite Ubersetzung der Differentialgleichung (8.56) n I

(8.75) 12 (8 + @ ) a = (m-&%) a = o und die gleich Null gesetzte Determinante

(8.76)

fiihrt auf die quadratische Gleichung

mit den Wurzeln E ~ , ez und daraus nach (8.74) 4,845 185 16 ;

(8.77) 200 091 815 - 2 306 376 E + 462 = 0

A4 =

A4 = 269,026 555 ; A, = 1,483 637 > A, = 1,483 633 ; A, = 4,049 942 > A2 = 4,032 159 ;

E'ehler 0,0003% , Fehler 0,4% . (8.78) {

Die exakten Werte sind Losungen der Frequenzgleichung

(8.79) I l l c 13 & = - = I , p = - = 3 .

,ul E J ' H(A) = 0 ; I E(A) +

A3

E(A) =&ofAcosA + 1 ; B(A) = &of A sin A - Gin A cos 3, .

Manuskripteingang: 16.2. 1962

Anschrift: Prof. Dr. S. FALK, Lehrstuhl f . Mechanik 11. Festigkeitslehre der TH Braunschweig