74 v. $1 i s e 9 , Trerhalten der Hauptspannungen bPi einer Verzweigungsstelle Ztschr. ~ ~ + h . ulld f . angew. ~ ~ ~ h .

Das Verhalten der Hauptspannungen in der Umgebung einer Verzweigungss telle.

Von R. '0. Mises in Istanbul. er Teilnalinie an einer Ehrung des Andenkens meines langjahrigen Freundes, friilieren D Schulcrs urld spateren Naclifolgers E r i cli T r e f f t z will ich niic]~ niclit eIitziejien, ~s

sind jetzt fast genau 27 Jahre, seit in dem Strakburger inathematischen Seminar, das unter Leitung H e i n r i cli W e b e r s stand, ein fortgesclirittener Student zum erstefimal das Wort nahm, der sofort die Aufmerksamkeit aller Dozenten auf sic.11 zog. Kwz darauf hegann '1' r e f f t x seine spater sehr bekanrit gewordene Doktorarbeit, die er rasc,h zu Ende fiilirtc. Seit jenen Tsgen sind wir nienials auker Kontakt gekominen und icl~ l ~ a b c in i l l i l l , der 1!121 iiiein Naclifolger auf dem Dresdrier Lelirstuhl wurde und der 1!)33 auf iiieirieii W'unscll die Leitung dieser Zeitschrift uberna,lim, einen treuen und aufriclitigen Freuntl grfunden. Wenn auf anderen Blattern dieses Heftes der Lebensgang und die wissenschaftlkhen Leistungen von 'I' r e f f t z gewiirdigt werden, so will icli liier nur zwei Worte hinzufugen: Er war ein k l a r e r Kopf und er war ein z u v e r l a s s i g e r Mensch.

Die folgende ansprucAslose Remerkuiig gelit auf eine Fragestelluiig zuriick,' die vor einer Rcilie von Jaliren einnial zwischen T r e f f t z und inir mundlicli crortert wurde: Wic verlaufen in cinem ebeneri Gleichgewiclitsfeld die Hauptspaniiungsvverte in der lJnigcbung einer Stelle, in cter sie beide gleich groS sind? Sclireitet man voin Verzweigungspunkt in irgeiicleiner Riclitung fort, so sind drei Fiille denkbar: dah beide Spannungen waclisen, dak beide abnelimen und dab die eine zu., die andere abnimmt. Die Frage ist, ob die drei Falle, wie es bei cineni regularen Punkt zutrifft, gleiclizeitig (fiir die verseliietlenen Richtungen) vorliegeii kiinnen oder nicht:' Gelegentlicli einer ganz anders gerichteteten Untersncliung fand ich die Antwort auf diesr: Fragen, die ich liier vorlege.

1. Wir iielinien den Verzweiguiigspunkt Zuni Iioordinatenanfang und iiennen 0, die liier I~ei~schende Spannung fiir irgeiideine Rielituiig. Fiir die Komponentcn des Spanuungstensors iiii Purikte x, g niaclien wir den l i n e a r e n h n s a t z (Singularitat e r s t e r Ordnung):

wobei zur Erfiillung der Glcichgewichtsbedingungen erforderlicli ist (Ix= Bo + (C, ;c + 6, y, f31/=0"+a,y+6,z, z = r c , x + l h , ? / . . . . (11,

a, f 11, = 0, u , + as = 0 . . . , . . . . . . . . ( 2 ) .

Zielien wir von dein Spanuungsterisor (ox, ou, z) den Kugeltensor (u,, no, 0) ab, so hat der iibrigbleibende Tensor die Hauptwerte B , - o0 und B , - oo und es gilt nacli bekannten Satzen:

ox (I,) (al, - 0,) - = ( ( I , , + 6, v) (a, y + b, X) - (u, ,Y + CC, yjz . . (3). = ( = (a , ti, ~- - (1;) r' + ( b , b, - (Z1 ( I , ) x 2/ + (a , b, - GI*) y2 1 ((5, - - 0(,) + ((5, -- o,,) = (ox- (Io) +joy - 0 0 ) = ( ( I , + b,) + (a , t b , ) y

(0, ~~~ G o ) ((I, -- 0,))

L)emn~cIi sind 0, - (I, und u, -- oo die beiden Wurzelri der quadratisclien Gleichung in z :

Z' - x [(a, -f- 6,) X: + (a, + 6J + (a, b, - ( I , , ~ ) 2 + (b , b, - ( b , (c,) x 9 + (a , b, - a,') == 0 . (4).

]lies ist die Gleichung eines Kegels zweiteii Grades in x: y z. Die Flache also, die 0, und u, als Funktionen voii x , g zeigt, verhalt sicli i n d e r U m g e b u n g d e r V e r z w e i g u n g s - s t e l l e w i e e i n K e g e l z w e i t e n G r a d e s . Mit anderen Worten: Die beiden Flachen, die im regularen Gebiet oi bzw. B , als Funktionen von x,y rlarstellen, vereinigen sich an der singularen Stelle derart, dak sie in die beiden Teile eines und dessclben Kegels ubcrgehen.

2. Da die allgemeine Kegelgleiehung 5 Parameter enthiilt, ~valirend unsere GI. (4) cleren nur 4 aufweist, so inuh der Kegel (4) irgendwie spezialisiert sein. Es ist ja aucli von vorn- lierein BUS der Fragestellung klar, dak die a-Aclise im I n n e r n des Kegels verlaufen nluk, (la es sonst Richtungen gabe, in denen B, , (I, niclit reel1 sind. Die Recl~nurig~) ergibt nun folgendes: Hat der Sclinitt des Kegels init einer Paralleleii zur 2-yEbene die Halbachsen- cluadrate a', b', so liegt dr r Kegelsclinitt so, dafi d e r D u r c h s t o k p u n k t 0 d e r z - A c h s e d e n D u r c h m e s s e r , a u f den1 e r l i e g t , i in V e r I i a l t n i s a*:b2 (bei der Ellipsevon innen, bei dcr Hyperbel von auhen) t e i l t. Die so bestiinnite vierparametrige Schar von Kegel- schnitten enthiilt Kreise nur mit den1 Mittelpunkt in 0. Ellipsen liaben ihren Mittelpunkt i n um so grbkerer relativer Entfernung von 0, je weiter ilir Achsenverhaltnis von 1 verscliieden

~~ ~~ ~

1) Man I)riiigt die Gleichung auf Hauptachsen, itidon1 inaii ol o2 = / ) I ~( i r ausse t z t : d a m reellnet man nach bo- des Mittc.l~~lirlktes uud die H a ~ l ~ a ~ ~ t i s e i l l i i l l g e ~ ~ aus und fiudet k i c l l t , dafi Z ~ j S C h e l l l ~ i i i i i l t i i l i Foriiirlrl dip Koordiiialeii x,, ,

best cht .

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ist. Bei Hyperbeln ist es umgekehrt, ihre Entfernung von 0 wird gr6fier, wenn das Aclisen- verhaltnis sich der Einheit nahert. Gleichseitige Hyperbeln sind ausgesclilossen, wohl aber konnen beliebig gelegene Paare sich reclitwinklig kreuzender gerader Linien auftreten. Eine Parabel mit dem Parameter p geliort der Schar an, wenii der Punkt 0 in der Acllsrichtung uni das Stuck 2 p von der Yarabellinie nach innen verschoben ist. Endlich gehoren beliebige Geradeiipaare niit deni Schnittpunkt in 0 zur Scliar. Abb. 1 zeigt diese verschiedenen Moglich kei ten.

ISaiid 18, Heft 1 I~'chruar 1938 v. ;\1 i S e s , \Terhaltei~ der Hauptspaiinungtrn ?.xi einer Verzweigungsstelh~

I

Ahb. 1. Abh. 2. Abh. 3.

3. Sieht inan von allen Ausartungen ab, so bleiben die FBlle dcr Ellipse und der Hyper- h;l iibrig; ihrien entsprechen die Skizzeii der Abb. 2 und 3 fur die FIBchen, die cr , und o1 als lhk t ionen von x, 3 in der Umgebung der Verzweigungsstelle darstellen. Die eingangs gc- stellte Frage Itlht sich jetzt dahin beantworten : T m e 1 1 i p t i s c 11 e n Fall gibt es a u f j e d e r G e r a d e 11 durch den singularen Punkt eiiien 0, iibertreffenden und einen o,, unterschreitenden Hauptspannungswert in jedem Punkt. Im h y p e r b 0 1 i s c 11 e n Fall bleibt langs zweier bestimmter Geraden ein Hauptspannullgs~vert stationar; diircli diese Geraden werden in der Umgebung des Verzweigungspunktes zwei Winkelriume abgeteilt, von denen der eine 11 u r I I ~ ~ u p t s p a n n u n g s w e r t e gr i i f ier a l s o,, der andere n u r s o l c h e k l e i n e r a l s o, auf- weist. Von den Kegeln selbst ist nocli zu sagen, dab im hyperbolischen Fall jeder Asial- sclinitt einc ijffnuiig voii mehr als 90, haben mu&, wahrend im elliptiscllen Fall u. a. ein gerader Kreiskegel von beliebigeni Offnungswinkel auftreten kaiin.

4. Es liegt nslie, zu fragen, wie die Untersclieidung in elliptischen, parabolisclien unil llyperbolisclien Fall niit den drei verschiedenen Typen des V e r 1 a u f s d e r S p a 11 n u 11 g s - t r a j e k t o I- i e n in der Umgebung des Verzweigungsyunktes zusamuienhiingt. Bekanntlicli gilt fiir den Neigungswinkel 8 der Trajektorie gegenuber der 2-Achse

3 7 ox -ou

Setzt iiiaii liier die Werte aus (1) und (2) und schreibt 3' fiir tg 6, so erhtllt man die Differcntial- gleichung dcr Trqjektorien in der Form

tg'LO=-- -~ . . . . . . . . . . . . . . (5).

Die Bedingung y' = y/s fulirt auf eine Gleicliung dritten Grades fur y', die mitidestens eine reelle Wurzcl liaben iiiufi. Macht man diese selbstentsprechende Riclitung zur 2-Achse, so iiiufi a, = O sein. Schreibt inan dann nocli PI fur b,/tb, und p2 fur b,/cI,, so gelit (5) iiber in

Man hat nun die drei Falle zu unterscheiden:

a) piz + - l ( 2 - p2) <o . b) p B -- 1 > 0 , pi' + 4 (2 - p 2 ) > 0 , c) p' -1 < o 1111 Falle a) gibt es aufier der x-Achse keine selbstentsprechenden Richtungen, in den Fiillen 1)) und c) hat inan im ganzen drei solcher Riclitungen, die ini Falle b) samtlich innerhalb eiues Qundranten liegen. Der Verlauf der Trajektorien in der Umgebung des Verzweigungs- punktes wird durch Abb. 4 gekennzeichnet'). - ..

2 ) Val. d a m L. F o p p l : Mitteilullgeu d. Mechauisch-Technischeil Lnhoratoriurns Munclier), H. :XI, S. 1. Hier treteii i l l dcr Diskussion die drei Fnlle iiicht deutlicll hervor.

Ztschr. f . anyew. Math. und Meeh.

Fuhrt man andrerseits a, = 0 und die Abkiirzungen pi, 8, in die Kegelgleiehung (4) ein,

76 v. Mi s e s , Verhalten der Hauptspnnnungen h i einer Verzireigungsstelle

so wird die Untersclieidung in die drei Typen Ellipse, Parabel, Hyperbel durch

/!I1' /!I2' + -1'P?f 0 . . . . . . . . . . . . . (7) bestimint. Man sieht, dab das elliptische Gebiet, begrenzt durch p2 = 0 und b,' /?? + 4 = 0 , ganz im Innern des Gebietes c) verlauft; denn es ist liier p2 < 0 < 1 . Ebenso geliiiren die parabolischen Grenzfalle mit /?? = 0 untl PIz p2 + 4 = 0 zu c), wahrend das hyperbolische Gebiet Teile von c) und ganz a) und b) umfakt. (Vgl. Abb. 5. Die Parabel tlieser Figur kann auch

Abb. 4 . Abb. 5 .

dazu dienen, loei gegebenen p,, p, zu einem beliebigen tg rp = 3 : 2 die zugeliiirigen beiden y'-Werte zu finden. Man brauclit n,ur voin Punkt PI, P, eine Gerade unter dem Winkel q zu zielien uncl mit der p,-Achse zu scllneiden; die vom Schnittpunkt an die Parabel gezogenen Tangenten liefern die beiden zueinander senkrecliten y'-Riclitungen.)

5. Der lineare Ansatz (1) bedeutete, dafi wir eine singuliire Stelle erster Ordnung in Betracht zogen. Wir wollen nocli einen Blick auf den Fall der Singularitat z w e i t e r 0 r rl - n'ung werfen, in dem alle linearen Gliedcr in der Entwicklung von ox, ou. t verschwinden, also

. . . (8)

Die beiden Gleichgewichtsbedingungen, die fiir alle L, y erfiillt sein miissen,

1 ox - rs,, = a, x' + 2 b, x IJ + c, ?j2, ou - (5" = ( I 2 x2 + 2 b? x y + c2 y'

2 = [ I 3 x2 -t 2 b, s !/ + c, y'

zu setzen ist. erfordern

Hiei. greift aber auch schon die Elastizitatsbedingung A (ox + o!,) = 0 ein, die beiin linearen Ansatz nocli identisch erfullt ist, und liefert

a, + ( I , + c, + c, = 0 . . . . . . . . . . . . . (10).

( 8 , ~~~~ . ,$ - It, , b, = - f t , = . c, , c:, = - h, . . . . . . . . (9).

Uurcli ('3) und (10) wird clie Zalil der unabhiingigeii Parameter voii 8 auf 4 lierabgesetzt. Man kann sclireiben:

z = 11' ,&? + k c , + Cii .x'!/ -b , ! / 2

Kechncn wir jetzt in gleicher Weise wie in (3) die Suiiime und das Produkt voii (5, fi,,

unil o2 - 0,. so erhalten wir fur die Summe eine quadratische Form Cj (c, 3) nnd fur das Yro- dukt eine Form 4. Grades P (2, q), beide bestiiiniit durch die 4 Konstanten a,, b , , b , , c!. Die Werte o1 -o,, iind (5, no erscheinen wieder als die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

z' - z y ( x , .I/) 3- I' (2, !/) = 0 . . . . . . . . . . . . (12). Dies ist eine Fliichengleichung 4. Grades in x', y, z. Die darstellende Flaclie ist dadurcli gekennzeichnet, daf3 jeder Vertikalschnitt aus zwei Parabelbogen besteht, die sich in1 Null- punkt von innen oder auBen berfiliren ; denn y = x x in (13) eingefiihrt, liefert im allgemeineri zwei von x abliangige Werte fiir den Quotienten x : x'. Die Hauptspannungsflache besteht also aus zmei Sclialcn, die sich an dcr singularen Stelle mit liorizontaler Tangentialebene beriilirm 785 Auf die weitere Diskussion dieses Fallex gehen wir hier niclit ein.