Datengewinnung - Theorie Signalverarbeitung - FFT · 11.7.1 Abtastung (Sampling) Der erste Schritt bei einer Analog-Digital-Umsetzung besteht ausder zeit- lichen Abtastung (Sampling)

2. Dezember 2010 | 1

Datengewinnung - TheorieSignalverarbeitung - FFT

Messtechnik Vorlesung

2. Dezember 2010


Datengewinnung (Analog-Digital-Umsetzung)

Standardaufgabe

analoge Messsignale→ Digitalsignale (Binärzahlen)

• analoge Messgeräte durch Digitalmessgeräte ablösen• Signalverarbeitung zunehmend auf Digitalrechner verlagern• preiswerte, PC-basierte Erfassungs- und Verarbeitungssysteme

2

Acquisition of data

t

h(t)

1 N

Get the value h of the signal at a regular time interval

(sampling period= dT, sampling frequency = 1/dT )Purpose:

dT


Vorteile der digitalen Messtechnik

... gegenüber der konventionellen Analogtechnik

• keine Ablesefehler• unempfindlicher gegen äußere Störeinflüsse, wie z.B.

mechanische Erschütterungen oder Temperaturschwankungen• Möglichkeit der direkten computergestützten Weiterverarbeitung

der Messdaten• direkte Übernahme der Messwerte in digitale

Signalverarbeitungssysteme• einfache und langzeitsichere Speicherung


Abtastung (Sampling)

Vorgang einer Analog-Digital-Umsetzung

1 zeit- und wertkontinuierliches Eingangssignal2 zeitliche Abtastung (Sampling)

• zeitdiskretes aber amplituden-kontinuierliches Signal

3 zeit- und wertdiskrete Signale (Binärzahlen)

11.7 Analog-Digital-Umsetzung 329

• keine Ablesefehler• unempfindlicher gegen außere Storeinflusse, wie z.B. mechanische Erschutte-

rungen oder Temperatureinflusse• Moglichkeit der direkten computergestutzten Weiterverarbeitung der Meß-

daten• direkte Ubernahme der Meßwerte in digitale Signalverarbeitungssysteme• einfache und langzeitsichere Speicherung.

11.7.1 Abtastung (Sampling)

Der erste Schritt bei einer Analog-Digital-Umsetzung besteht aus der zeit-lichen Abtastung (Sampling) des ursprunglich zeit- und wertkontinuierli-chen Eingangssignals. Diese Abtastung wird mittels einer sog. Abtast-Halte-Schaltung (Sample & Hold-Schaltung) vorgenommen. Durch diesen Abtast-vorgang entsteht ein zeitdiskretes aber noch amplituden-kontinuierliches Si-gnal (Abb. 11.36). In einem weiteren Schritt wandelt der eigentliche Analog-Digital-Umsetzer die zeitdiskreten wertkontinuierlichen Abtastwerte in zeit-und wertdiskrete Signale, die schließlich in Form von Binarzahlen dargestelltwerden.

Es stellt sich zunachst die Frage, wie die Abtastfrequenz gewahlt wer-den muß, wenn die zeitdiskreten Abtastwerte das ursprungliche Signal ohneInformationsverlust reprasentieren sollen, insbesondere im Hinblick auf eine

Abb. 11.36. Zeitliche und amplitudenmaßige Abtastung


















Abtastfrequenz

Wie soll sie gewählt werden?

• ursprüngliches Signal ohne Informationsverlust repräsentieren• spätere Rückumsetzung in ein zeitkontinuierliches Analogsignal

Shannonsche Abtasttheorem oder Nyquist-Kriterium

höchste im Originalsignal vorkommende Frequenz, fsmax kleiner als diehalbe Abtastfrequenz, fa

fa > 2fsmaxVerletzung des Abtasttheorems verhindern:→ Tiefpass-Filter (Anti-Aliasing Filter)


Frequenz des Eingangssignals - 1 Hz

zeitkontinuierliche Abtastfrequenz (Analogsignal)

4

Frequency of real signal : 1 Hz

“Infinite” acquisition frequency (continuous signal)

Nyquist-Shannon theorem (1/11)



Abtastrate = 1000 Hz (1000 Werte/Periode)

5



Acquisition frequency = 1000 Hz (1000 points/period)




6







7




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Abtastrate = 10 Hz (10 Werte/Periode: verbunden)

8



Acquisition frequency = 10 Hz (10 points/period: connected)

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Abtastrate = 5 Hz (5 Werte/Periode: verbunden)

10

It is still

possible to

recognize the

signal!



Acquisition frequency = 5 Hz (5 points/period: connected)

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Abtastrate = 2.1 Hz (≈2 Werte/Periode)

11

Nyquist-Shannon theorem (8/11)Frequency of real signal : 1 Hz

Acquisition frequency = 2,1 Hz (≈ 2 points/period!)

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Abtastrate = 2.1 Hz (≈2 Werte/Periode: verbunden)

12

≈ Nyquist

frequency

Still sufficient

to determine

signal

frequency!

amplitude



Acquisition frequency = 2,1 Hz (≈2 points/period: connected)

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Abtastrate = 1.01 Hz (≈1 Werte/Periode)

13


Acquisition frequency = 1,01 Hz (≈1 point/period!)

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Abtastrate = 1.01 Hz (≈1 Werte/Periode: verbunden)

14

< Nyquist

frequency

Do you see any

sinus curve? If

yes, consult

urgently an

optician!


Acquisition frequency = 1,01 Hz (≈1 point/period: connected)

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Shannon/Nyquist

Zusammenfassung

• um die Frequenz fs eines Signals zu messen, ist es notwendigeine Abtastfrequenz zu verwenden, die größer ist als die doppelteSignalfrequenz (fa > 2fs)

• Dies ist das absolute Minimum! Es ist viel besser die Signale beieiner viel höheren Frequenz zu erfassen.

• Um die Amplitude zu messen, ist es sogar notwendig bei einerhöheren Frequenz zu messen.

• umgekehrt: bei einer Abtastfrequenz von fa darf keineSchlussfolgerung gezogen werden, was z.B. bei fs = 0.75fabeobachtet werden kann. Das wäre vollkommen ohnewissenschaftliche Bedeutung.

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Fourier-Transformation

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Einführung

• Es ist nur eine sehr vereinfachte Darstellung, für Ingenieure undnicht für Mathematiker!

• Wir begrenzen uns auf eine eindimensionale Funktion, die nur vonder Zeit abhängig ist.

• es kann relativ einfach für mehrdimensionale Signale erweitertwerden.

• es kann genauso auch auf örtlich variierende Funktionenangewendet werden

• Das Konzept ist äußerst nützlich.• Es gibt zahlreiche Bücher über das Thema, s. UB.

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DefinitionEin beliebiges Zeitsignal kann genauso dargestellt werden(gleiche Informationen stehen zur Verfügung):

• als eine Zeitfunktion h(t)• oder als eine Frequenzfunktion H(f )

reeller RaumFunktion der Zeit

h(t)

−→Fourier-Transformation

←−Inverse Fourier-Transformation

Fourier-RaumFunktion der

FrequenzH(f )

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Eigenschaften

• Zahlreiche Analyse- und Verarbeitungsmethoden verwendendiese zwei ergänzende Darstellungen.

• Die Fourier-Transformation führt zu einer Zerlegung derZeitfunktion in eine Summe der harmonischen Funktionen, dieaddiert werden, um die Zeitfunktion im komplexen Raum zubekommen.

• Diese harmonischen Funktionen bilden das Frequenzspektrum,verknüpft mit der Zeitfunktion, h(t).

• Wenn das Spektrum einer bestimmten Frequenz nicht 0 ist,bedeutet das, dass die entsprechende Frequenz in der originalenAusgangs-Zeitfunktion, h(t) vorkommt.

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Kontinuierliche Fourier-Transformation

Für eine Zeitfunktion h(t), definiert über den gesamten, unendlichenZeitraum, ergibt sich die Fourier-Transformation für die Frequenz f :

H(f ) =

∫ +∞

−∞h(t)e−j2πftdt (1)

Bei einer Konvention (üblich in der Physik) wird mathematisches idurch j ersetzt, so dass j2 = −1. In diesem Fall ist die inverseFourier-Transformation:

h(t) =

∫ +∞

−∞H(t)ej2πftdf (2)

Hauptsächlich nützlich für Mathematiker, nicht für Ingenieure.

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Spezialfälle (1/3)

Ist die Zeitfunktion h(t) eine einfache Sinusfunktion, dann ist dieFourier-Transformation ein unsymmetrischer Doppelpeak bei derentsprechenden Frequenz:

h(t) = sin(2πx5t)

20

Particular solutions (1/3)

If the time function h(t) is just a simple sinus function, its

Fourier transform is just an anti-symmetrical double peak at the

corresponding frequency

h(t)=

sin(2πx5t)

H(f)

[imaginary]

Re = 0

H(f ) [Im:]

20


If the time function h(t) is just a simple sinus function, its

Fourier transform is just an anti-symmetrical double peak at the

corresponding frequency

h(t)=

sin(2πx5t)

H(f)

[imaginary]

Re = 0

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Spezialfälle (2/3)

Ist die Zeitfunktion h(t) eine Superposition zweier Sinusfunktionen mitunterschiedlichen Frequenzen, dann enthält dieFourier-Transformation zwei Doppelpeaks (Bemerkung: dieFourier-Transformation ist eine lineare Operation)

h(t) = sin(2πx5t) + sin(2πx8t)

21


h(t)=

sin(2πx5t)

+

sin(2πx8t)

H(f)

[imaginary]

If the time function h(t) is a superposition of two sinus functions

with different frequencies, the Fourier transform consists of two

double-peaks (note: the Fourier transform is a linear operation)

zoom

H(f ) [Im:]

21


h(t)=

sin(2πx5t)

+

sin(2πx8t)

H(f)

[imaginary]

If the time function h(t) is a superposition of two sinus functions

with different frequencies, the Fourier transform consists of two

double-peaks (note: the Fourier transform is a linear operation)

zoom

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Spezialfälle (3/3)

Ist die Zeitfunktion h(t) eine Konstante, dann ist ihreFourier-Transformation ein einzelner Peak bei f = 0 (entsprechendeiner Sinuswelle mit einer Frequenz von 0.)

h(t) = 1

H(f ) [Re:]

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Particular solutions (3/3)If the time function h(t) is a constant, its Fourier transform is an

isolated peak at f=0 (analogous to a sinus wave with 0

frequency...)

h(t)= 1

H(f)

[real]

Im = 0

1

0

22

Particular solutions (3/3)If the time function h(t) is a constant, its Fourier transform is an

isolated peak at f=0 (analogous to a sinus wave with 0

frequency...)

h(t)= 1

H(f)

[real]

Im = 0

1

0

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Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Einführung

• Die bisher diskutierten Grundlagen sind weniger relevant fürtechnische Probleme!

• Die Zeitfunktion h(t) ist nicht für einen unendlichen, sondern nur füreinen (beidseitig) begrenzten Zeitbereich bekannt.

• Die Zeitfunktion h(t) ist nicht eine kontinuierliche und analytischdefinierte Funktion, sondern eine endliche Anzahl diskreterZeitpunkte. (Ergebnis einer Messung)

• Wir betrachten jetzt eine realistische Zeitfunktion h(t), abgetastetin N Zeitpunkten und nur in dem entsprechenden Zeitbereichbekannt.

• h(k∆t), mit k = 0,1, ...,N − 1

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DFT - Definition

• Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) is wiederum einekomplexe Funktion im Frequenzraum, nur für N diskreteFrequenzwerte bekannt und definiert als (für n = 0, ...,N − 1):

H( n

N∆t

)=

N−1∑k=0

h(k∆t)e−j2π nkN (3)

• Die inverse DFT entspricht einfach (k = 0, ...,N − 1):

h(k∆t) =1N

N−1∑n=0

H( n

N∆t

)ej2π nk

N (4)

• Diese Formeln sind nur für eine periodische Zeitfunktion h(t)gültig: h((N − 1)∆t) = h(0) ist gewünscht

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Periodizität

• Ist die Zeitfunktion h(t) im Bereich nicht periodisch(d.h. wenn h((N − 1)∆t) 6= h(0)):

• die gleiche Berechnung bleibt im Prinzip möglich• allerdings würde das zu einer konfusen Formulierung führen, im

Vergleich zur kontinuierlichen Formulierung• Deswegen ist es nötig die Funktion zu modifizieren, um eine

pseudo-periodische Zeitfunktion zu gewähren:• h(0) und h((N − 1)∆t) zu modifizieren, so dass

der neue Wert = 12 (alter Wert[h(0) + h((N − 1)∆t)])

• auf diese Weise werden die Grenzwerte an den Rändern desZeitbereichs durch die entsprechenden Mittelwerte ersetzt, umPeriodizität zu gewähren.

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Eigenschaften der DFT (1/2)

• Die Fourier-Transformation einer reellen Funktion (N Datenpunktein reellem Raum: immer der Fall bei uns) führt zu einemsymmetrisch konjugierten Frequenzspektrum:

• der reale Teil der Fourier-Transformation ist symmetrisch• der imaginäre Teil ist unsymmetrisch

• Eine Transformation vom reellen in den Fourier-Raum gewährtkeine Erhaltung der Entropie (in der Sinne derInformationsmenge): anfangs N gemessene Werte, nach der DFTN reale UND N imaginäre Werte (doppelte Menge vonInformation)?

• Wegen der oben genannten Symmetriebedingungen enthältpraktisch nur die Hälfte des DFT-Spektrums Informationen.

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Eigenschaften der DFT (2/2)

• Es gibt eine direkte Verbindung zwischen den Diskretisierungen(Schritten) im Zeit- und Frequenzraum. Werden die Daten mit Ngleichen Zeitintervallen abgetastet, gilt:∆t ×∆f = 1

N• Es gibt eine ähnliche Verbindung bezüglich der Länge des

Bereiches in Zeit- und Frequenzraum, auf denen DFT definiertwurde:L× P = N

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DFT properties (2/2): reciprocity

There is a direct link between the discretization (the step) in

time space and in frequency space. When sampling the data

using N regularly-space time intervals:

∆t x ∆f = 1/N

There is a similar link concerning the extent of the domain in

time and the frequency domain on which the DFT is defined:

L x P = N

h(t)

L = N∆t

H(f)

P = N∆f

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Was ist die Verbindung zwischen den x-Achsen imZeit- und Frequenzbereich?

28

Correspondence time-frequency

What is the association for the x-axis in the time and frequency

space?

With f = 1/ t !

h(t) L = N∆t

H(f)

P = N∆f

0 2 …. N-1 (time-point)

-f/2 …. -f/N 0 f/N …. f/2 (frequency)

Mit f = 1∆t !

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Schlussfolgerungen der Reziprozität

• mehrere Punkte messen (N2 > N) bei der gleichenAbtastfrequenz (∆t2 = ∆t)

• ∆f2 < ∆f : bessere Frequenzauflösung• P2 = P: aber der gleiche Frequenzbereich (vgl. Shannon)!

• genauso viele Punkte messen (N2 = N ) mit einer höherenAbtastfrequenz (∆t2 < ∆t)

• ∆f2 > ∆f : schlechtere Frequenzauflösung• P2 > P: aber breiterer Frequenzbereich.

• Um etwas tatsächlich zu verbessern, braucht man gleichzeitig:N2 > N und ∆t2 < ∆t

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Schnelle Fourier-Transformation (FFT)

• ein Algorithmus zur effizienten Berechnung der Werte einerdiskreten Fourier-Transformation (DFT)

• In der Praxis (z.B. in Matlab oder LabView) beruht die Berechnungder Fourier-Transformation auf der FFT (FastFourier-Transformation).

• Es ist eine rekursive Berechnung der Fourier-Transformation.• s. später die Beispiele in LabView• Analog gibt es auch inverse FFT (iFFT)

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FFT mit Matlab

• In Matlab ist die FFT (in der Tat eine DFT!) Teil derStandardfunktionen.

• Es kann einfach mit fft(h) aufgerufen werden, wobei h einVektor ist, der die diskreten Daten (möglicherweise komplex, aberwir betrachten nur reale Werte), in einem endlichen Bereich (inZeit) enthält.

• Die Berechnung ist eigentlich eine Fast-DFT in einer Dimension.• Die inverse FFT (DFT) wird einfach mit ifft(H) aufgerufen.• Die direkte und inverse FFTs werden normalisiert, um

sicherzustellen, dassh=ifft(fft(h))

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Nicht-Equidistante Fast Fourier-Transformation (NFFT)

• Nachteil der klassischen FFT: nur für equidistante Signalegeeignet

• Problem: fehlerhafte Geräte, Rauschen, usw.• eine effiziente Generalisierung für beliebige Zeitabstände ist nötig• unterschiedliche Lösungen, alle basieren auf Interpolation• Annäherungsschema→ angenähertes Spektrum• Lösungsmethode meistens: Dekonvolution, FFT und Konvolution

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