Die geometrische Theorie der S c h w a r z ' schen s- Funct ion ft~r complexe Exponenten .

(Zweite Abhaudlung).

Uon

FRITZ SCHILLING in Aachen.

Die {olgenden Betrachtungen bilden die Fortsetzung des in diesen Annalen Bd. 46, pag. 62ff. verSffentlichten ersten Theiles. Bereits am Schlusse des w 4 daselbst sind die Punkte kurz genannt worden, die noch zu bespreehen wiinschenswerth slnd. Dieselben betreffen die Ausdehnung der allgemeinen Construction der Fundamentalbereiche auf den Fall, dass einer oder zwei der Exponenten rein imagin~r sind, sowie die Aufstellung der allgemeinen Criterion, wie sie die geometrische Theorie fftr das Auftreten parabolischer Ecken sowie fiir die functionen- theoretische Verwandtschaft der Fundamentalbereiche ergiebt.

w

Construction der allgemeinen Fundamentalberoiohe fiir oinen odor zwei rein imagin~re Exponenton.

Im Anfange des w 2 des ersten Theiles war der Fall yon der weiteren Betrachtung ausgeschlossen worden ~ dass einer oder zwei tier Exponenten ~t~ 9~ ~ rein imagin~ir sind. Wir wollen jetzt zeigen, wie aueh f~ir solche Werthe der Fundamentalbereieh der zugeh~rigen s-Function sich geometrisch am einfachsten coastruiren lllsst. Unsere Methode wird zun~,ehst in genau derselben Weise vorgehen, wie f~r den allgemeinen Fall dreler complexer Exponenten im ersten Theile ausgef~lhrt ist. An der Gestalt der sich in solcher Weise geometrisch ergebenden Vierec.ke wird jedoch dann noch eine Ab~nderung vor- zunehmen sein, urn" sie zu funetionentheoretisch brauchbaren Fanda- mentalbere{chen zu erheben. Eine besondere Betrachtung widmen wit hierbei wieder dem Ausnahmefall, in dem die Bedingung

erfiillt ist. ~themat i sche Annalen. XLVI,

530 Fat~z Scm~,t~G.

Nehmen wir jetzt zun~chst an, class nur ein .Exponent, etwa 2, rein imaginiir ist, die ttbrigen, g und v, beliebig complex sind. Der bestimmteren Ausdrucksweise wegen sei ferner v ' ~ ~' vorausgesetzt. Wir bestimmen vorerst die Lage der 4 Eckpunkte al, bl, ct, c( unseres Bereiches in der s-Ebene vermSge der Gleichung

D V (a t b t c I c2' ) ~ e +'~('-~-~+~). Dann lassen wir an Sfelle der gegebenen Exponenten ~ ~ ig", ~, v fiir einen Augenblick das neue Tripel ~I == 0, ~1 = ~, vl - - - - -v- iX" treten, welches das Doppelverhiiltniss der 4 Eckpunkte ai, b 1, ct, c 2' unver~inder~ l~isst, und construiren das diesen Exponenten zugehSrige Kreisbogenviereck, was keine Schwierigkeit biefet. In diesem Kreis. bogeaviereck wird nothwendig die Ecke a t yon zwei sich bertihrenden Kreisbogen mi~ verschwindendem Winkel gebildet werden. Nun wissen wit naeh unserem Hiilfssa~ze in w 1~ dass wir durch entsprechende Zuordnung der Seitenpaare a tci, a~ c( und bt c~ b~ c~" unser Viereck zum Fundamentalbereich eines jeden Exponententripels erheben kSnnen, welcher in den reellen Theilen mit dem ursloriinglichen tibereinstimmt~ dessen imagini~re Theile abet ganz beliebig gew~hll sein kSnnen, in- sofern nur der Ausdruck e -'~I'''-~'''-r') unver~indert bleibL Wir kSnnen daher die Zuordnung der Seiten jedenfalls auch so festsetzen, (lass sic den gegebenen Exponenten ~, ~, v entsprechend ist. Doch dann tri~ im Gegensatz zu dem allgemeinen Falle hier die neue Thatsache hervor, dass die Ecke a t eiuen hyperbolischen Zip/el darstellt, unser Kreis-

bogenviereck daher in solcher Form / / als Fundamenta]bereich fiir die ge-

'". gebenen Exponenten bekann~lich / k

/' '~ nicht brauchbar isk Wie werden wit a.~ \ nun unser Viereek ab~indern k6nnen,

i / ~ ~ ~ ~ :~1 um einen brauchbaren Egndamental- . . J bereieh aus ibm zu bekommen?

\, / " Wir haben bereits frtiher gelernt, " " ~ ~ dass an Stelle des hyperbolischen x / / /

, / / '~d ............ .-'~o, x''~ ~'N~, Zipfels ein unendliches Kreisband treten muss*). Um unsere Vor- / I "

/ ~,, stellung zu fixiren, kniipfen wir t " . K I unsere Betrachtung an das u I tier Fig. 1 an; doch wolle man be- t

merken, class der einfache geome- trische Process, den wir ausfiihren

Fig . 1. werden, sich als allgemein anwend-

bar erweisK Wir ei+kennen zun~chs~ dass der zweite Fixpunk~ a 2 der

*) Vgl. Annalen Bd. 44, pag. 176 ft.

Geometrlsehe Theorie der s-Functlon mlt eomplexen Exponenten. II. 531

hyloerbolischen Substitution A~ wie auch die Zuordnung des Seitenpaares a~c~ und ale 2' getroffen sein mag, gewiss auf dem Htilfskreise gelegen ist, den wir durch die Punkte ai, c t, c 2" construirt denken kSnnen. Jedoch kann andererseits a 2 nicht gerade auf dem Bogenstficke c Ic 2" dieses Htilfskreises liegen, welches sich in dem sichelfSrmigen Theile zwischen den Kreisen tier Seiten ale t u n d a t e 2" befindet. Wir wollen demgem~ss eine beliebige Lage des Punktes a 2 in der Figur 1 aus- w~hlen. (F~illt a 2 in a I hinein~ so ist die Substitution~ welche die Zuordnung der Seiten ale 1 und ale ~" leistet~ eben die parabolische geworden, yon der wir oben ausgingen).

Der fiir die in Aussicht genommene AbRnderung des Bereiches wesentliche Oedanke ist jetzt folgender: Wir denken den Kreis der Seite ate t dutch einen yon ibm in seiner Lage beliebig wenig ab- weichenden Kreis ersetzt, der auch yon dem Punkte c 1 ausgeht, die Fixpunkte aj und a 2 jedoch yon einander trennt. (Derselbe mag tiber- dies, um ihn ein ev. stSrendes zweites Schneiden der Seite e t b I vermeiden zu lassen, den ursprilnglichen Kreisbogen a t e i ira Punkte e I berlihren*)). Zu dem neuen Kreis suchen wir jetzt den verm~ge der Substitution A zugeordneten Kreis~ der yon der Ecke c~' ausgeht. Belde Kreise sind in der Figur 1 gestrichelt e~ngezeichnet. Man erkennt jetzt, dass diese reuen Kreise slch niemals schneiden werden. Wir werden daher die geschlossene Ecke a 1 des hyperbolischen Zipfels durch das unend- liohe Kreisband ersetzen~ welches sich zwischen diesen Kreisen wieder- holt um die s-Kugel winder. Hiermit ist die beabsichtigte UmwandIung durchgefiihrt. Das neue Kreisbogen- viereck, welches in Eig. 2 nochmals fiir sich ge~eichnet ist, steUt mit der ent- s~rechenden Zuordnung der Seitenpaare in durchaus brauchbarer Gestalt den ge- suehten Fundamentalbereieh fiir das ge- gebene Exponententripel Z ~- i ;~ ", ~, v dar.

Sind nun weiter awd ~xpo~enten, etwa ~. und ~, rein imagin~r~ der dritte v dagegen beliebig complex~ so ergiebt sich jetzt ganz yon selbst, wie auch flit sie der Fundamentalbereich zu con- struiren ist. Man wird ganz analog vor- gehen wie soeben und sich zunRchst das Kreisbogenviereck a I bl et e2" f~ die Exponenten

l~ig. 2.

;t I - - 0 , ~ 1 ~ 0 , ~1 ~ ~ M ~ " - - ~ " construiren ~ in dem die nicht verdoppelten Ecken

*) Ein Durchschneiden der Seite bic~' kann auch in jedem Falle leicht ver- mieden werden, wie wit nicht welter ausffihren woUen.

34*

532 Fa~z SCmL~m~.

a t und b I je yon zwei sich berfihrenden Kreisbogen gebildet werden, indem ihre Winkel gleich 0 sind. In diesem Viereck kSnnen wir wieder die Sei~npaare a tct, a I e( und b Ict, b t G' durch die hyper- bolischen Substitu~ionen A und B einander zuordnen, welche den ge- gebenen Exponenten ilt" und i~" entsprechen. Hierdurch werden die Eeken a~ und b t zu hyperbolischen Zipfeln; diese siud abet wieder leichr durch je ein unendliches Kreisband zu ersetzen durch genau dense]ben geometrischen Process wie vorhin. Des resultirende ~Kreis- bogenviereek wird dann wieder in durchaus brauchbarer Gestalt den Fundamentalbereich fib" die .Exponenten ~ ~ i)."~ ~ ~ i ~", v darstellen.

Es bleib~ noch ein Weft den bisher ausgeschlossenen Funda- mentalbereichen zu widmen, fiir welche bei ~tattfinden der Bedingung + ~t + ~ ~ v -~- 2 n + 1 ein oder zwei der .Exponenten rein imagin~ir sind, sowie der Gesammtheit aller mit einem jeden derselben arithmetisch verwandten :Bereiche *).

Is~ nur ein Exponent rein imagin~r und sind die beiden anderen beliebig complex (ohne ganzzahlig zd sein), so ist leicht zu fibersehen, dass der Construction des zugehSrigen Fundamentalbereiches sowie aller mir ihm ar~thmetisch verwandten Bereiche eine neue Sehwierigkeit nicht im Wege steht. Das Gleiehe ist der Fall, wenn etwa zwei Exponenten rein imaginilr, der dritte complex (mit ungradzahligem reellen Theile) ist. Auf diese F~lle wollen wir nich~ ers~ niiher ein- gehen. Nut solche Fundamentalbereiche, fiir welche zwei der JEx2o- nenten, etwa ~ und v, rein imagindr sind, w~ihrend tier dritte ~, gleich 1 ist, sowie alle mit denselben ar#hmetisch verwandten Bereiche (ffir die also stets der Exponent X eine ganze Zahl ist) erfordern noch eine besondere Beachtung, zumal wit sogleich in den folgenden Paragraphen auf sie zurttckkommen werden. Die zum Vergleich heranzuziehenden Figuren des w 26 der Beitr~ige werden eben ffir diesen Ausnahmefall zu unbrauchbaren Bereichen ausarten.

Um auch i~fir diesen speciellen Fall die Construction der Funda- mentalbereiche vollst~ndig zu er]edigen, wird man zweckm~ssig vorers~ eine Tabelle aller mit dem Exponententripel )~0~1,/~o~---i~", re--iv'" ari~hmetisch verwandten reducirten Tripel aufstellen. Man findet~ dass es deren insgesammt 25 giebt~*). Die ihnen en~prechenden Funda-

*) Wit wollen zwei Bereiche dann ,,ari~hme~isch mlt einander verwandr" nennen, wenn ihre Exponenten sich um ganze Zahlen un~erscheiden, deren Summe gerade is~. Wit kommen imw 7 hierauf noch genauer zu spreehen.

**) Diese Anzahl ergieb~ 8ich deswegen gr~isser als im Falle dreier beliebiger Exponenten, well man in der TabeUe der Bei~r~ge w 16 Fdr die Exponenten i~" und Jr" beide u zu beriicksieh~igen hat, also z. B. neben dem TEl)el ~-----1, ~ l + i a " ~ ~ l + i v " aueh i ~ l ~ ~---1-- i~", v ~ l ~ i ~ " vor- lrommt.

Geometrische Theorie tier s-Function mit comp]exen Exponenten. II. 533

mentalbereiehe lassen sich dann leicht zeichnen; ieh will mieh darauf besehriinken, die 5 eharakteristisehen Gestalten, wetehe hier vorkom- men~ in folgenden Figuren 3, a--e zusammenzustellen~). Von diesen redueirten Bereichen zu der Gesammtheit aller erweiterten Bereiehe

a'* .m

a~

a) b)

�9 os . tl

C)

a,

# ~ ~e

~ 0 , / ~ 1--i~o', ~ 2 d l - ~ o . 1--~-0, /~=1--it%'" , ~ = l+iv0". d) e)

l~ig. S, ~)--e).

aufzusteigen, biete~ keine Schwierigkeit. Man bemerkt~ dass wieder die Gesammtheit aller Bereiehe sieh in 2 Gruppen sondert, denen ent- weder der Kern c, 1 (Fig. 3a, b) oder der Kern e, 2 (Fig. 3% d, e) des w 12 der Beitfiige zu Grunde liegK Es zeigt sich zugleieh, wie man unmittelbar aus den Figuren sblesen kann~ class der Kern c, 1 dem Fundamentalbereich zugehSr~, d. h. dass der gan~ahlige Exlgonent ~t eine identische Substitution darstdlt, wenn ,t - - iz + ~ = = 2n + 1 (f~r ~" > v') ist. Is t abet diese 2~edingung nicht erfiillt, so kommt

*) In don Figurea 3a und 3 e siad natfirlich die hyperbolisehen Zipfel in bekannter Weise umgewaudelt zu denkoa. Doeh sind die Figuren in dieser Form in Riieksieht auf die eieh aufbauenden verwand~en Bereiehe gezeiehne~ worden.

534 1%~z S c ~ a .

der K e ~ c, 2 zur Anwendu~g , d. h. die Substitution A hat ~arabo~isehen Chara~er.

~iermit sind die Betrachtungen, welche sich auf die Construction der Fundamentalbereiche beziehen, zum definitiven, befriedigenden Abschluss geftihrt. Das allgemein erreichte Resultat fassen wit noch- reals in dem Satze zusammen:

Fiir jede beliebige Auswah~ der .Ex~onenten ~t, ~, v, mag der einzdne Exponent ganzzahlig, rein imaginiir, reell oder complex seth, und mag im besonderen die l~edingung -4-Z d-~-4-~, = 2~ ~ 1 erfiillt sein odor nicht, stets l~st sieh der r der zugeh6rigen Schwara'sehen s.17unction in der Gestalt eines Kreisbogenviereeks wirklich geometrisch eonstruixen.

w

Allgemeines Critorium flit das Auftreten parabolischor odor idontischor Ecken.

Wir wollen jetzt noch dem Fall% dass einer oder mehrere Ex- ponenten ganzzahlig sind~ eine zusammenfassende Betrachtung widmen. Die Construction der beziiglichen Fundamentalbereiche ist ja freilieh vSllig er]edig~; doch interessirt es, yon vorneherein allgemein angeben zu kSnnen, ob der einem ganz~ah~igen Exponenten ents~rechenden Ecke des ~ereiches eine identische odor eine parabolische Substitution angehSrt.

Wit batten bereits wiederholt bet speciellen Bereichen Gelegenheit, uns diese Frage vorzulegen und fanden stets das folgende Criterium bestiitigt:

/ s t Z - - ~ --~ v = 2n + 1, /~r /~' ~ v', so besitzt die dem Ex- ponente~ it ~ugehSrige Substitution nothwendig identischen Charakter, d.h. die en~sprechende Ecke des Fundamentalbereiche8 wird yon zwei Bogenstficken desselben Kreises gebilde~. Hierbei ist nattirlich noth- wendig, wenn diese Eeke verdoppelt; auftreten sollte, ihre beiden Theile durch einfache erlaubte Abiinderung des Bereiches vereinigt zu denken.

Ist dagegen diese ~edingung nicht erfiillt, so besitzt die betreffende /Jubstitution nothwendig parabolischen Charakter, d. h. die entsprechende einfache Ecke wird yon zwei sich beriihrenden Kreisbogen gebildet.

Wir wollen jetz~ nachweisen, dass dieses Criterium vSllig a l l - gemeine Oilltigkeit besitzt.

Der Fall, dass alle drei E, xponenten gan~zahlig siad, ist in diesem Sinne beret,s i m w 17 der Beitriige erledigt worden.

Sind .ferner ~/ar zwei ~xponenten, etwa ~ und I~, ganzzahtig, der dritte v belieblg complex, so zeigt die Betrachtung des Kernes der drei Geraden I , I I , III, dass den Exponenten it und ~ zwei iden*ische

Geometrische Theorie tier s-Function mi~ complexen Exponenten. II. 535

Substitutionen ebensowenig entsprechen k~innen wie je eine iden~ische und sine parabolische Substitution. Denn gem~ss der Gleichung AS["-~-1 miisste die dritte Substitution im ersteren Falls auch die Identitiit darstellen, im letzteren dagegen tier parabolischen Substitution invers sein, d. h. der ihr entsprechende Exponen~ v mtisste ebenfalls ganzzahIig sein, was ausgesehlossen ist. S{nd daher nut 2 iExponenten ganzzahlig, so besitzen die ihnen ~ugeh6rigen Substit~tionen stets para- bolischen Charal~ter. Man erkennt aus diesem Satze unmittelbar, dass also auch bier das obige Criterium erfiillt ist.

Kaum umstiindlicher zu betrachten ist jeizt der Fall, dass nut sin ~xponent, etwa ~, gan~ahlig ist, wenn wir beachten, dass gerade diejenigen Werthetripel, die sine besondere Untersuehung erfordern wiirden, bereits vorweg erledigt sind. Mit letztsren gemeint sind eben alle Exponententripel, welche der Bedingung 'Q- ~t ~___ 9 -t- ~ ----- 2n ~ 1 geniigen. Es zeig~e sich fiir sis stets das oben aufgestellte Criterium bestlitigt, mSgen die nichl ganzzahligen Exponenten $t und v ihrerseits reell, rein imaginilr oder beliebig complex sein. Nun kbnnen wir leicht ftir allgemeine Exponen~entripel folgendermassen schliessen: Geh~rt etwa der ganzzahlige Exponent ~t zu einer Idenfif~t, so mtissen die beiden anderen Substitutionen (bis auf rolls Umdrehungen) noth- wendig zu einander invers sein, d. h. ihre Axen mfissen zusammen- fallen. Dann abet gilt -J- ~t -Jr-/~ -~- ~ ~ 2n -J- 1 und der Exponent ~t muss auch der Bedingung ~ - - ~Q-~ ~ 2n-~- 1 (fiir (~' > ~ ' ) gen~igen. Entspricht abet andorerseits dem ganzzahligen Exponenten X sine para- bolisehe Substitation, so kann die Bedingung ~t - - ~ -~- ~ == 2n ~- 1 (fiir ~' > ~') gewiss nicht gelten. Denn sonst wiirde ja gerade wieder der charakteris~ische Ausnahmefall ~ ~t Q- ~ -4- ~ = 2n -~- 1 vorliegen~ ffir welchen das I~ichtbestehen der genannten Bedingung erwiesen ist, was einen Widerspruch involvirt Unser Schlussergebniss ist daher, dass in der That das eben aufgestellte Criterium flit beliebige Ex- ponententripel ausnahmslose Giiltigkeit besi~zt.

~ 7 .

Allgemoines Ori~rium f~ ~ie Yerwa~tsohaft clef Fundameutalber~i~ho.

Bei der ConStruction der Fundamen~albereiche haben wir ins- besondere stets auch auf die Verwand~schaft derselben Rftcksicht ge- nommen. Es zeigt sieh wtlnschenswerth, nochmals im Zusammenhange diese Verh~.ltnisse zu beleuchten, zumal beim Bestehen der Bedingung -~- ~ ~__- ~ ! ~ ~ 2n -~- 1, wie Herr Klein in seiner Porlesung iiber die hypergeometrische Function*) bemerkt, die yon Riemann gegebene analy~isehe Definifion der Verwandtsehaft nieht ausreicht

*) Win~ersemes~er 1893/9~, Vgl, das Selbs~referat Ann. Bd. 45, pag. 151.

536 FRIHz SCHILLING.

Als allgemeine Bedingung ffir die Verwandtschat~ zweier Funda- meatalbereiche gilt, dass (tie zugeh6r~#en _Functionen in zweckm~issi 9 ausgew~ihlten Zweigen dieselbe Grupre yon Substitutionen erleiden, wenn die unabh~ingige Variable z beliebige Uml~ufe um die singul~ren _Punkte ihrer JEbene macht. Bet der geometrischen Uebertragung dieser Forderung auf unsere Fuadamentalbereiche ergiebt sigh zuniichst als nothwendig~ dass diese demselben Kern aagehSren, und demnach die Exponenten sich um ganze Zahlen yon gerader Summe unterscheiden miissen. Doch ist, wie wit jetzt zeigea wollen, dieses Criterium eben nur in den Falle zugleich auch hinreichend, wean die Bedingung + it + # ~ v = 2n + 1 nicht erfiiUt ist.

Der bequemerea Ausdrucksweise wegen wollen wir alle Bereiche, deren Exponenten sigh um ganze Zahlen yon gerader Summe unter- scheiden, als ,, arithmdisch n i t eina~der verwandt" bezeichnen, solche, welcho zugleich dieselbe Monodromiegruppe besi~zen, dagegen als ,, functionentheoretisch verwandt ".

Wir deaken die singnl~en Punk~e a, b, c in der Reiheafolge, wie es die Figur 4 zeigt, auf der Axe der reellen Zahlen in der z-Ebene

I I i , - -

a b e

~ig. 4.

gelegen. Wie leicht zu iibersehen ist, verlaag~ dann die charakte- ristische Bedingang A BI" ~ 1 folgendes: Wean wir uasore Fanda- mentalvierecke umlaufen deaken~ indem wir die Fl~che linker Hand lassen, so mfissen die Eckea in der cyklischen ReihenfoIge a I c t btc 2" (bezw. bet Verdoppelung eiaer anderea Ecke clb ~ alb ~' oder bj alcla~" ) auf einander folgen, woselbst a 1 b 1 c I als Fixpunkte der Substitutionen A, El, r anzusehea sin&

Fiir eta allgemeines Werthetripel it, #, v aun~ welches der Be- dingung + it 4- ~ ~ v = 2 n + 1 nichl geaiigt~ haben gewiss die drei Geraden des Kernes unter sich keinen Fixpunkt gemein. Als unmittel- bare Folge ergiebt sich hieraus, dass jedem Fundamentalbereich eines solchen Kernes ein zweiier entspricht~ welcher die eomplement~re hus- wahl der drei Fixpunkte als Ecken besitzt. Beide abet sind dutch eine geeigae~ Substi~ur n~mlich eine Umklappung um eine der G'eraden 1~ 2, 3, in eiaander fiberzufiihren. Dies abet besagt, dass wir der soeben gefandenen Aufeinanderfolge der Eckpunkte des Bereiches stets gerecht werdea kSnaen~ dass also n i t anderen Worien alle n i t einem Funda- mentalbereiche eines solchen Kemes arithmetisch verwandten Bereiche zugleieh aueh fuaetionen~heoretisch verwandt sin&

hnders aber is~ es, fails die Bedingung Q- it -Jr- ~ -{- v ~ - - 2 n + 1 orftill~ isL Indem jetzt die drei Geraden des Kernes einea Fixlounk$

Geometrische Theorie der s-Funct/on mit complexen Exponenten. II. 537

gemeinsam haben, wissen wir, dass dann jeder beliebig gegebene Bereieh eines solehen Kernes ausartet und unbrauchbar wird, falls wir verlangen, dass an Stelle der drei ibm als Ecken angehSrendea Fix- punkte die complementiiren Fixpunkte des Kernes als Ecken auftreten sollen. Die Fundamentalbereiehe desselben Kernes werden sich daher auf zwei verschiedene funetionentheoretische Verwandtscbaften ver- theilen. Indem wir auf diesen Ausnahmefall jetzt niiher eingehen, seien ganz~ahlige Exponenten zuniiehst ausgeschlossen. Um dann das analytische Criterium ftlr die fnnctionentheoretische Verwandtschaft der Bereiche abzuleiten, brauehen wit nut die uns gezeiehnet vorliegendeu Bereiche nochmals zu tiberblicken. Wit wollen im einzelnen dies nicht n~her ausftlhren; wir werden finden, dass die Gesammtheit der arith- metisch mit einander verwandten Bereiche sich auf zwei verschiedene Gruppen functionentheoretischer Verwand~schaften vertheilt, die sich folgendermassen am einfachsten umgriinzen lassen: Wit bezeichnen mit ire, ~0, vo dasjenige Exponententripel der arithmetischen Verwand~- schaft, fiir welches )t o @ Y0 -f- ~'0 ~ 1 gilt uad jeder Exponent in seinem posi~iv zu wiihlenden reellen Theile kleiuer als 1 ist, und denken die arithmetisch verwandten Exponententripel stets in der Form it ~=- ii o -~-1o, ~ - ~0 Q- q, ~ ==~v0 "~- r geschrieben, w e / ~ q, r beliebige positive gauze Zahlen siud. Fiir die .Exl~onententri!ad der erste~ Gru~pe aller mit ei~ander functionentheoretisch verwandten Bereiche wird dann (~o "4- P) -~ (~o "4- q) + (% "4- r) gleich einer ungeraden zvositiven Zahl~ fiir die ~Exponententripel der zweiten Gruppe dagegen gleich einer ungeraden q~egativen Zah~ sein*). (Ffir den symmetrischen Fall der geradlinigen Dreiecke besagt dieses Resultat~ dass die zu zwei Drei- ecken desselben Kernes gehSrenden Bereiche dann functionentheoretisch verwandt sein werden~ wenn die den singuliiren Punkten a~ b, e ent- sprechenden Ecken der Dreiecka bei gleicher Um]aufung in demselben Sinne auf einander folgen. Die eine Gruppe der Dreiecke wird nattir- lich stets die positive, die andere die negative Halbebene des Argu- mentes abbilden).

Nun wollen wir noch ein' Weft hinzuftigen, falls neben der Be- dingung -~- it -4- y -4- ~ ~ 2n -{- I aIle drei Exponenten oder einer derselben einen ganzzahligen Werth besitzt.

2ind a~le drei .Ex~onenten ga~#zahlig (yon ungerader Summe), so

t) Man vergleiohe die Bemerkung yon l~rl. Winston in diesen Annalen Bd. 46~ peg. t59~160. �9 DaB dor~ gegebene Criterium ist~ leicht mit dem unsrigen in Uebereins~immupg zu bringen, wenn m~n bedenkt, dass ao" + ~o' + ~o' ~ 1 und ~o" + ~o" + ~ ~ 0 zu setzen is~ uud die Beziehungen gelten

und (,~' § l~" + ~") - - (,~" + ~" + ~'") ~ ( ~ +_ lo) + ( ~ __. q) + (,,o + r).

538 Fm~z Scmr~LIN~. Geom. Theorie d. s-Function mit compl. Exponenten. II.

ver~heilen sich alle diese mi~ einander arithme~isch verwand~en Bereiche auf 4 Gruppen func~ionentheore~ischer Yerwand~schaften, je nachdem al]e drei Exponenten oder nur je einer derselben za einer identischen Substitution gehSr~. Des N~heren sehe man, was bereits i m w 17 der Bei~riige unter a~ 2 gesag~ ist.

Ist e~d~ich n~r ein l~x~onont~ etwa 4, g a n ~ a h ~ , so haben wir die Figuren des allgemeinen Falles w 26 der Bei~r~ge, sowie des am Schlusse des w 5 dieser Arbei~ behandelten Specialfalles in Rticksich~ zu ziehen. Ich will mioh wieder darauf beschr~inken~ d~s ffir beide gleichmiissig gfil~ge Resul~a~ auszuftihren:

Jgie Gesammtheit aller mit einander arithmetisch verwandton Bereiche vertheilt sich stets auf d/rei G~rulgpon functionontheoretischer Verwandt- schafton. Iron diesen ist die eine dadurch charakterisirt, dass die dem ~xpononton ;t $ugeh6rige ~cke einer identischon Substitution zugeh6rt; a~s 23edingung hierf'~ gilt n a c h w 6 4 - - t~ -1- v ~,~ 2n + 1 (flit t~" > v') ; f i i r die beidon anderon Gruppon dagegon, far welche die Sub- stitution h ~arabolischen Charakter besitzt, gilt in unver~aderter 2"orm das obige aZlgemeine Criterium der ~ereiche + 4 + l~ "4- v ~ 2n + 1~ indem wit als bevorzugtes Exponontentripel im allgemeinen ~'aUe des w der Beitr~ge ~o ~-~0, l~o, vo mit der JBedingung /~o' < 1~ vo '< 1 und tto + v o -~- 1, im SI~ecialfall des w 5 4 o ~ 0 ~ tto ~ 1 - - i tt ", vo ~ i v" mit der t~edingung td'----- v'" wi~hlon.

Sohlussbemerkung. Hiermi~ ha~ die geometrische Theorie der Schwarz'schen s-Function

ihren Abschluss gefunden und kann nan ihrersei~s als Grundlage ffir den independenten Aufbau der ganzen Theorie dieser Functionsclasse dienen. - - Wit verlangen nach dem Programm Riemann's Func~ionen zu s~udiren, die in der Ebene des Argumentes drei singul~ire Punk~e besi~zen~ bei deren Umlaufung jene lineare Subs~i~utionen A, B~ [" mi~ der Bedingung AS I" ~ 1 erleiden. Die Exis~enz dieser Func~ionen wird durch unsere Fundamen~albereiche nachgewiesen; insbesondere ist im Falle eines ganzzahligen Exponenten zugleich ausgesprochen~ ob demselben eine iden~ische oder eine parabolische Substi~u~on zuzu- ordnen is~.

Dass jetz~ wo die Be~rach~ungen bis zu Ende durchgef(ihr~ sind, diese oder jene Anordnung im Rahmen des Ganzen vielleich~ tiber- sich~licher durchfiihrbar sein mag, lieg~ auf der Hand, und man wolle e~waige M~ngel in dieser Hinsich~, die eine erneu~e Dars~ellung der Theorie vermeiden wfirde, mi~ Nachsich~ hinnehmen.

G 5 ~ i n g e n , &nfang Januar 1895.