Ingenieur-Archiv 43 0974) S. 118--126 | by Springer-Verlag 1974

Detonationsfronten in der Magnetogasdynamik*

Von I. Teipel

I3bersicht : Zun/ichs~c werden die Gleichungen ftir senkrechte Detonationsfronten in eindimensionaler Str6- rnung abgeleitet. Die verallgerneinerte Rankine-Hugoniot-Beziehung wird ausfflhrlich diskutiert. Gewisse Bereiche k6nnen physikalisch nicht verwirklicht werden, da dort irnaginXre Werte ffir die Gesehwindigkeit auftreten. Ffir die Um#cr6rnung urn einen Keil werden ebenfalls die Gleichungen abgeleitet. Der EinfluB eines parallel zur Anstr6mung liegendei1 Niagueffeldes und der ~vV~rrnezufuhr werden untersucht.

Summary : The equations for normal detonation waves in one-dimensional flow theory are derived. A dis- cussion of the generalized Rankine-Hugoniot relation is given. A particular region of this relation cannot be realized, because of imaginary values for the velocity. Also the flow behind a wedge has been analyzed. The influence of a magnetic field which is parallel to the velocity everywhere and of the heat addition have been studied.

1. Einleitung

Diese Arbeit stellt eine theoretische Untersuchung von senkrechten und schiefen Deto- natiollswellen dar, die unter dern EinfluB eines Magnetfeldes stehen. Wie fiblich soll es sich dabei urn Fronten handeln, ill denell sich die Str6mullgsgr6Ben sprunghaft ~ndern. Folglich mfissen extrern hohe Reaktionsgeschwindigkeiten vorausgesetzt werden. Unter diesen All- Ilahrnell stellt die Detonatiollsfrollt dell Grellzfall eiller stoBinduzierten Verbrellnung dar. Ili1 allgerneillell Fall wird die Ellergie allerdillgs bei der stoBinduziertell Verbrenllung infolge des tatsXchlieh vorhandenen Zfindverzuges erst llach einer gewissell Entfernung hinter der StoB- front frei. Die obell beschriebene Modellvorstellung ffir Detollationswellen wird h~ufig ver- welldet, wenll es da tum geht, die globalen Vorg~llge zu untersuchell [11. Urn ein Magnetfeld auf die Str6rnullg eillwirken zu lassen, muB das Medium eille bestirnrnte elektrische Leit- ffihigkeit besitzell. Es sei bier angenomrnell, dab das Gas sowohl vor als aueh hillter der StoB- front eille Ullendlich groBe Leitf~higkeit babe. Darnit werdell die Gleichungen nicht zll kornpli- ziert, ulld die lleu auftretelldell Ph~nolllene treten Mar hervor. Physikalisch einfacher zu realisierell w~re, wellll man eillen Sprung der elektrischell Leitffihigkeit ill der Front yon Null auf Ullelldlich voraussetzell wfirde. I)azll w~re allerdings eine Modellverstellullg fiber dell Ioll isationsvorgang notwend~g. Darauf sei bier verzichtet.

Als Allwelldung ist an magnetohydrodynarnische StoBwellellrohre gedaeht, in die ein deto- llationsf~higes Gelnisch eingebracht wllrde.

Senkrechte Detollationswellell in eineln ionisiertell Gas silld yon Christer und Helliwell [2, 3] studiert worden. Dabei halldelte es sich urn Ahlllichkeitsl6sungell ffir zylilldersyrnrne- trische StoBwellell mit W~rmezufuhr. Durch die Annahrne yon groBen Druckspr~ngen und eilles spezielleI1 Modellcs ffir das iollisierte Gas lassen sich die StoBgleichullgell gallz erheblich vereinfachen. Darnit werdell dalln gr6Bere Sehwierigkeitell ffir die Ahlllichkeitsl6sungen aus dem Wege ger~ulilt. Experilnelltelle Ulltersuchullgen tiber sprellgstoffbetriebene MHD-Gene- ratoren sind yon Jager und Thornallek [41 durchgeffihrt worden. Durch Detonationswellen wurde eli1 ionisiertes Medium erzeugt. Darnit wurde es errn6glicht, dutch Alllegen eines Maglletfeldes das rnaglletohydrodynamische Prinzip auszullutzell. Ill all diesell F~llen han- delte es sich um Fadellstr6rnungen, bei denen ein Magnetfeld sellkrecht zur Str6rnullgsrichtullg verlief. ]3ekanlltlich hXtte eine Kornponellte parallel zur Gesehwindigkeit bei diesen Unt6r- suchullgen keillen EinfluB auf die physikalischen Gr6Ben gehabt.

]3ei schiefen Detonatiollswellell wird das Problem wesentlieh kornplizierter. Jedes von auBen allgelegte Magnetfeld, gallz gleich welehe Richtullg es bezfiglich der Front annirnrnt, hat

* Herrn Prof. Dr.-Ing. D. Eng. h. c. Eduard Pestel zu seinem 60. Geburtstag gewidrnet.

I. Teipel : Detonationsfrolltei1 in der Magnetogasdynamik 119

einen EinfluB. Bei den adiabatischen Verdichtungsst6Ben hat es sich bereits gezeigt, dab jetzt eine senkrecht zur Anstr6mung liegende Komponente des Magnetfeldes einen erheblichen Auf- wand bei der Rechnung hervorruft. So ergeben sich z. t3. mehrere Fronten hintereinander.

In diesem ersten Schritt soll daher nut ein paralleles Feld betrachtet werden. Ffir den adiabatischen VerdichtungsstoB sind solche Untersuchungen von Cabannes [5, 6] durchgefiihrt worden. Dahei stellte es sich heraus, dab fiir gegebene Anstr6mmachzahl Keilwinkel und Magneffeldst~trke zum Tell fiinf StoBwinkel auftreten kiSnnen. Gewisse Werte mtissen aller- dings ausgeschlosseI1 werden, da die Entropie fiber die Sto3front hinweg abnimmt. Eine ghn- liche u wird man auch bei den Detonationsfronten erwarten k/Snnen.

2. Senkrechte Detonationsfronten

Der einfachere Fall entsteht, wenn man eindimensionale Str6mungen betrachtet. Man hat es mit nut einer Geschwindigkeits- und einer Magnetfeldkomponente zu tun. Um die Glei- chungen ftir Detonationsffonten abzuleiten, geht man yon den Erhaltungssgtzen der Gas- dynamik aus. Hinzu kommt eine 13eziehung fttr das Magneffeld aus der Elektrodynamik [7]- Unter der Annahme, dab die elektrische Leitfghigkeit unendlich groB sei, und dab das von augen angelegte Magnetfeld senkrecht zur Anstr~Smrichtung liegt, ergibt sich:

51 w~ = ~ w~, (2.1)

Q1 W~ + ibl + /~ B~ (2.2) ~,~ = ~ w ~ + #~ + ~ #~,

B 1 W, = B= W=, (2.3)

w~ + e~ + p~ + B~ w~ + e2 + P2 + B~ (2.4)

I)abei wurden die GrSBen vor und hinter der Front mit den Indizes 1 bzw. 2 bezeichnet (Abb. 1). Es bedeuten ~ die Dichte, W die Str6mungsgeschwindigkeit, p der Druck, B die magnetische Induktion,/~ die magnetische PermeabilitXt und e die innere Energie; q ist die der Massen- einheit zngeftihrte Energie, die bei der Umwandlung frei wird. Die StrSmnng wird als stationer und reibungsffei betrachtet.

Abb. 1. Die Detonationsfront

Bevor eine spezielle Zustandsgleichung flit das Gas angegeben wird, soli eine verallgemei- nerte Rankine-I-Iugoniot-Gleichung abgeleitet werden. Nach Einffihrung des effektiven Druk- kes p* nnd der effektiven inneren Energie e* mit den Definitionen

1 1 B 2 - - B 2; e * = e + 2 # ~ ~ (2.5) P* = P + ~m

erh~tlt man nach kurzer Rechnung:

~* - ~* = f - ~ - (P* + P * I - �9 (2 .6 )

Aufgrund der formalen ~hnlichkeit kann man (2.6) als eine verallgemeinerte Rankine-ttugo- niot-Beziehung bezeichnen. Ftir q = o ergibt sich die dynamische Adiabate der Magnetogas- dynamik [7]- Trotzdem muB man sehr vorsichtig sein, will man Analogieschlfisse fibertragen. W~hrend die adiabatischen u nach Abb. 1 immer zu den sogenannten ,,schnel-

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120 I. Teipel: I)etonationsfronten in der Magnetogasdynamik

len" St613en der Magnetogasdynamik zu z~thlen sind, kann man das von den Detonationswellen nicht mehr behaupten. Die Magnetfeldst~irke hinter der Front kann sowohl grSBer als auch kleiner sein als der Weft vor dem Stol3.

Um sich einen i3berblick fiber den Verlauf von (2.6) zu versehaffen, mug die inhere Energie auf Druck und Dichte zurfickgeftihrt werden. Als magnetischer Parameter wird hier das Ver- h~iltnis zwischen magnetischem und hydrostat ischem Druck verwendet. Ffir ein ideales Gas konstanter spezifischer W~irme erh~It man schliel31ich:

2y q + B~ ~ ( ~/~ Ps ) , - 1 qs y---x cpT x 2ffepl O~ 1-- P~ r + 1 e~ (2"7)

1 y - - : t O~

Hierin ist ~ das Verh~ltnis der spezifischen W~rmen, cp die spezifische W~irme bei konstantem Druck und T 1 die Temperatur vor der Front. Das DruckverMltnis p~/p~ ist gem~tg (2.7) ffir

)J = 1, 4 und B~ -- 2,o in Abb. 2 dargestellt. Als Parameter wurde der Betrag der W~trme- 2 #~ p~

0

Abb.

I 1 / e: I 2,0

I y =1,,

I

I I

E x x , - - < . .

,

r 2 3

2. Verallgemeinerte 1Rankine-tlugoniot-Kurven

B___~ ~ = ~,o) 7 = 1,4; 2#ep 1

zufuhr verwendet. Alle Kurven n~thern sich asymptotisch ftir groBe DruckverMltnisse der Geraden

el _ _ Y - 1 . (2.8)

Sie ist gestrichelt in Abb. 2 eingetragen. Der andere Grenzwert h~ngt zus~ttzlich noch vom Magnetfeldparameter ab. Diese Asymptote ergibt sich fiir grol3e Q1/Q~ zu

p~ r - l [ . B~ \ - - - - \ I t 2 ~ -~p~-~ ) " ( 2 "9 ) Pi y + 1

Diese negativen Drficke haben allerdings physikalisch keine Bedeutung. Aber auch andere Bereiche yon (2.7) sind nicht erreichbar. So ffihren Drficke zwischen den Punkten F~ und G~

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I. Teipel: Detonationsfronten in der Magnetogasdynamik 121

in Abb. 2 auf imagin~re Geschwindigkeiten. Urn die Abgrenzungslinien dieses unerlaubten Gebietes zu ermitteln, werden (2.1), (2.2) und (2.3) zusammengefaBt:

~ l #2--Pl @ BI (1_}_ Q1) (2.10) w ~ = ~ 2 ~ a ~ "

Extremwerte des Radikanden stellen die gesuchten Grenzen dar. Der Radikand strebt gegen Unendlich fiir e2 = ~1. Damit ist die LiMe E G 1 G 2 . . . festgelegt. Ein Minimum ftir W 2 ergibt sich, wenn der Wurzelwert verschwindet. Die andere Grenzkurve E F 1 F ~ . . . ergibt sich damit zu

B e 1 ~ l 1 (2.11)

oI )" Fiir B 1 = o ergibt sich wieder P2 = ibl, wie aus der gewShnlichen Gasdynamik zu erwarten war. Beide Grenzen sind strichpunktiert in Abb. 2 eingetragen worden. Fernerhin werden verschie- dene Teile der Kurven nicht erreicht, da die Entropie abnehmen mtigte. Dieses trifft fiir das Gebiet C D E zu. Verbotene Bereiche sind in Abb. 2 scllraffiert eingezeichnet.

Man kann auch ]etzt wieder yon zwei besonderen ~i, sten sprechen. Die Werte oberhalb von G4 entsprechen einer Detonationswelle, w~ihrend der Tell unter F~ den Verbrennungsast darstellt. Zur Berechnung der Ctlapman-Jouguet-Punkte mug man eine algebraische Gleichung drit ten Grades 15sen. Ein Rayleigh-ProzeB wird nicht mehr dutch eine Gerade bestimmt. Aus den numerischen Reehnungen kann gesagt werden, dab der untere Chapman-Jouguet-Punkt zu kleineren Werten yon el/~% rutscht. Uber die Lage des oberen Chapman-Jouguet-Punktes kann keine generelle Aussage gemacht werden. Sie h~ingt entscheidend yon der Gr6Be der Wfirmezufuhr ab.

~~ I P2/P~

2,5

2,o

ts

to

~X x

I q- :o ,5

7 =1,~

F

\ Q1/r

~ I,o ~,s 2,0

Abb. 3- Verallgemeinerte Rankine-Hugoniot-Kurven

q = 0,5) y = 1, 4; cpT 1

In Abb. 3 sind Rankine-Hugoniot-Kurven ft~r konstante W~irnlezufuhr und variablen Magnetfeldparameter aufgezeichnet. Wie man sieht, ist der EinfluB des Magnetfeldes bei hohen Driicken sehr gering. Auf der Kurve B 1 = o erh~lt man wieder einen Bereieh zwischen

E und F, in dem imagin~ire Geschwindigkeiten auftreten. Fiir B1 -- lo schrumpft dieser 2 # e P l

Teil bereits auf einen Tell zusammen, der in der Abbildung kaum noch zu erkennen ist.

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122 I. Teipel: Detonationsfronten in der Magnetogasdynamlk

3. Schiefe Detonationsfronten

Ffir schiefe Detonationsfronten soil, wie schon angedentet, ein Magnetfeld angelegt werden, das nur eine Komponente parallel zur Anstr6mrichtung besitzt. Da die elektrische Leitf~hig- keit als unendlich groB angenommei1 wurde, kann das elektrische Fe ld /~ eliminiert werden:

E = - - W • (3.1)

Wie bereits Cabannes [5J gezeigt hat, verschwindet das elektrische Feld hinter der Stol3front, wenll vor ihr keilles vorhanden war. Da flit diese Rechnungen kein E-Feld im AnstrSmgebiet vorausgesetzt wurde, entfallen folglich alle diesbezfiglichen Terme.

Abb. 4. Die Detonationsfront an einem Keil

Betrachten wir nun eine StrSmung um einen Keil (Abb. 4) mit dem Stol3winkel/5 und dem halbert ()ffnungswinkel 6) des Keiles. I;fir uns ist nnr der Fall, dab w~ihrend des Durchganges durch die Stogfrollt aufgrund yon chemischen Reaktionen eine Energiezufuhr stattfindet, yon besonderem Interesse. Es gilt zn untersuchen, wie sich die Stol3relationen bei W~irmezufuhr in der Nagnetogasdynamik hinsichtlich der thermodynamischen Zustandsgr6Ben Druck, Dichte und Temperatnr verhalten.

Unter den angesetzten Voraussetzungen entfallen die Magnetfeldterme in der Energieglei- chung [83. Durch die Zerlegung yon B und W parallel (Index: t) und senkrecht (Index: n) zur StoBfront ergibt sich aus den Erhaltungssgtzen:

01 W,,~ = 02 W.~ , (3.2) Bnx Btl Bn2 Bt2

a w ~ , w , , - - - a w ~ w,~ , (3.3) tte I~e

1 B~ _ 0~ W ~ + p 3 + - - - - z B ~ , (3-4)

B . ~ = B . ~ , (3.5)

B.~ w . - B ~ W.~ = B ~ W,~ - - B . W ~ , (3.6)

_ + Z ( w ~ + w ~ j + q _ 1 (3.7) y 1 ~1 2 y - I ~ 2

Dabei wurde wieder ein ideales Gas konstanter spezifischer W~irme angenommen. Es ist q analog zu (2.4) die pro Masseneinheit freigesetzte W~irmemenge. Ftihrt man den StoBwinkel fl und den Offnungswinkel (9 ein, so erh~ilt man

B , ~ = - - B 1 sin fi ,

•tl = B1 cos ~ ,

w ~ l = - w1 s i n / ~ ,

W . = W1 cos/5,

B~2 = - - B3 sin (fl - - O ) , I

B . = B 3 c o s ( ~ - - O ) , [ ( W,2 = -- W2 sin (/3-- 6)), [

w,~ = w 3 cos (~ - 6 ) ) . ] /

(3.8)

Mit ttilfe dieser Beziehungen kSnnen die Komponenten der Geschwindigkeit und des Magnet- feldes dutch die Betr{ige W1 nlld B 1 bzw. W3 und B~ ersetzt werden. Allstelle yon (3.2) bis (3-7) ergeben sich:

01 W1 sin fi = 03 W2 sin (fl -- 6)) , (3.9)

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I. Teipel: Detonafionsfronten in der Magnetogasdynamik 123

~1 W~ -- -1 t sin t3 cos/3 ----- ~o e W~ -- B'~/sin (fl -- O) cos (/3 -- O) (3. lO) #e / #e J '

~1 W~ sin 2/3 + Pl q- 21 B~ c~ = ~~ W~2 siI12 ( • - - O) + ib2 + ~ 2 B~#~ cos e (/~ _ O ) , (3.11)

B 1 sin/3 = B 2 sin (/5 -- 0 ) , (3.12)

pl W ~ + q = y . P ~ + w ~ (3.13)

Wie sich leicht kontrollieren I~il3t, entEillt (3.6). Ist der AnstrSmzustand und der Keilwinkel vorgegeben, dann k6nnen mit (3-9)--(3.13) die Unbekannten ~e, W2, Be, fie und fl ermittelt werden. Nach l~ingerer Rechnung erh~ilt man die Beziehungen flit den StrSmungszustand hinter der Front

sin 15 B~ = B1 sin (15 - O) ' (3"14)

cos 15 B1 ~ sin fl We----- Wlcos (15- O) @ #e~O~ w~ sin (15- O)cos (15- O) (3"15)

2 sin15sin O B~ [cos (15 + O) sin~fi ] Pe = Pl + 01 w~ o~ (15 ~ o) + - - �9 - ] (3.16) 2/~e L c~ (15 6)) sin 2 (15 -- O) '

Q1 tg (15 -- @) B~ sin 0 1 ~2 - - tgf l -}-#e~iW~ sin// cos ( f i - - 0 ) " (3"17)

Nit diesen Gleichungen muB nun in den Energiesatz (3.13) eingegangen werden, um schliel31ich eine Bestimmungsgleichung ffir tg 13 zu erhalten. Ffihrt man die Machzahl M und einen Magnetfeldparameter N ein

7 Pl ' 7/ze Pl ' (3"18)

so ergibt sich nach Uberschlagen der einzelnen elementaren Zwischenschritte:

a M 4 + (b N e 1 ) + (d N e + o (3.19) - - - - c r M 2 N ~' 1 ) = \ cp r 1

#

mit den Abktirzungen

1 + t g e15 1 + t g 1 5 t g O '

b = 2 t g 1 5 - y ( l + 2 t g ~15) t g O + 0 ' + 2 ) tg15tg 2 0 2(1 + • ( t g 1 5 - - t g O )

tg15 1 + t g 1 5 t g O C =

tg O 1 + tg 2 15 '

t g O ( 1 + t g 2fl) ( 7 + l ) t g 1 5 - - ) , t g O + t g 1 5 t g 2 (9 d =

1 + t g 1 5 t g 6 ) 2 ( t g 1 5 - - t g O ) ~

Die Beziehung (3A9) ist eine Gleichung 5. Grades ftir tg fl und 3- Grades fiir tg O. Es ist zweckm~iBig, zu ihrer Auswertung anstelle yon tg fl die Machzahl als die unbekannte GrSBe aufzufassen. Dadurch wird es ermSglicht, eine explizite LSsung anzugeben.

4. D i e A u s w e r t u n g

Es wurde das StrSmungsfeld um einen Keil mit dem halben 0ffnungswinkel 0 yon 2o ~ berechnet 1. In Abb. 5 a - -d ist der Stol3winkel/3 in Abh~ingigkeit von der Anstr5mmachzahl M dargestellt worden. Der Magnetfeldparameter N 2 steigt vom Wert o bis lo an. Man fiber- streicht damit das ganze Gebiet bis hin zu starken Magnetfeldern. Als zweiter Parameter t r i t t

x Ft~r die Unterstt~tzung bei der numerischen Auswertung yon (3.19) ist der Verfasser I terrn Dipl.-Ing. K. H. Krause zu Dank verpflichteL

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124 I. Teipel: Detonationsfronten in der Magnetogasdynamik

,p i05 ~

7,5 `0

80 ~

#5o

80 ~

IS ~

0 o 0 i

Abb. 5 a.

q = 0 L

f

2 3 #

Abhgngigkei t des Frontwinkels fl v o n d e r Anstr6mmachzahl M

(O = 20~ 7 = 1 , 4 ; N2 = o)

16

?t

g

,Pd

~6

g~

#

M.._ ~, o_~..~_ ; ~ ; ~ = ~ - - - - ,

Z~ <o

a~

-0 -0,2 -r -#,0

b 0

A b b .

i 2 ,g 4 5" #

5 b. Abhgngigkeit des Frontwinkds # yon der Anstr6mzahl M

(O = 20~ )~ = 1, 4; N2 = o,1)

MO ~

180c

120 ~

80 =

O'

/&O

,x-_--O I , - - - p'~e,Z ~ : . \ (

0

0 I 2 a' 4 o r

A b b . 5 c. Abh~tngigkeit des Frontwinkels t5 yon tier Anstr6mmachzahl M

(O = 20~ y = i , 4; N~ = 1,o)

!P

~80

~50

IZO

#O

80

89

M_~ o d # o

A b b . 5 d.

2 ~ 4 # G

Abh~ngigkei t des Frontwinkels fi yon der Anstr6mmachzahl M

(O = 20~ y = 1, 4; N~ = lo,o)

A b b . 6. F r o n t w i n k e l fl ~ 9 ~

die W/irmezufuhr auf. Ftir q/cp T 1 = o erMlt man selbstverst~tndlich wieder diejenige Str6- mung, die in [5, 6] ermittelt wurde. Die Werte der stark ausgezogenen Kurven haben eine Entropiezunahme zur Folge, w~ihrend ftir die gestrichelten Kurven ein negativer Entropie- sprung besteht. Klammert man diese Str6mung aus, da sie im Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik steht, so ergeben sictl trotzdem bisweilen noch mehrere StoBwinkel, die zu einer einzigen Machzahl geh6ren. In dieser Hinsicht sind zun~chst einmal die schwache und die starke StoB16sung zu nennen, die bereits aus der gewShnlichen Gasdynamik bekannt sind. AuBer denen erh~tlt man ffir N 2 =1= o StoBwinkel, die gr6Ber als 9 ~ sind (Abb. 6). Der gleiche Effekt trat schon bei Cabannes [5, 6] ffir verschwindende W~trmezufuhr auf. Inwieweit diese StoBlagen physikalisch realisiert werden k6nnen, ist mit Hilfe dieser Rechnungen nicht zu ent- scheiden.

I~r Arch. Bd. 43, H. 2/3 (1974)

I. Teipel: Detonationsfronten in der Magnetogasdynamik 125

Aus den Abbi ldungen geht ferner hervor, dal3 sich die Kurven, die ftir verschwindendes Magnetfeld bereits vo rhanden sind, nur wenig verschieben. So liegt zum Beispiel fiir q/cp T 1 = o,2 die Machzahl, bei der die StoBfront ablSst, e twa bei dem Wer te 2,1, ganz gleich ob man N 2 ----- o, N ~ = 1,o oder Zwischenwerte be t rachte t . Ers t bei s tarken Magnetfeldern t r i t t eine merkliche Verformung der Kurven auI. Bei N 2 = lo haben sicll die StrSmungsverNil tnisse so erheblich ver~indert, daft man je tz t einen W e f t yon 3.2 far die AblSsemachzahl erh~ilt. Es ergibt sich allerdings noch ein zweiter Wef t , der bei e twa 2,6 liegt.

Unte r such t man dagegen die S t rSmungen bei N 2 = const, so e rkennt man, dab schon bei kleinen Magnetfeldern der Einfluft der W~irmezufuhr erheblich ist. W~ihrend der Stol3winkel fiir die Grenzlage der AblSsung k a u m eine Anderung erf~ihrt, kann die AblSsemachzahl leicht ihren Wef t verdoppeln. Be i groBen Wer ten fiir N 2 ist eine Deu tung wieder ~iuBerst schwierig. Ein Sonderfall ergibt sich fiir fi = 9 o~ Fiir (3.19) erNilt man eine recht einfache LSsung:

M 2 = N 2 . (4.1)

Sie ist unabh~ingig yon q/cp T r Alle Kurven miissen also du tch diesen P u n k t h indurch laufen. N a c h d e m nun der StoBwinkel/3 in Abh~tngigkeit yon der Ans t rSmmachzah l bekann t ist,

kSnnen Druck und Tempera tu r bes t immt werden. In Abb. 7 ist der Druck in Abh~ingigkeit voi1 M dargestellt . Auf die Werte , die zu M < 1 und zu/5 > 9 oo gehSren, wurde verzichtet , da nichts fiber ihre Verwirkl ichung gesagt werden kann. Der Drucksprung n immt wieder mit wachsendem Magnetfeld ab, eine i iberraschende Tatsache, auf die ebenfalls bereits Cabannes [5, 6~ fiir q = o hingewiesen hat. Auf die Wer te ftir N 2 = o wurde in Abb. 6 verzichtet , da gegeniiber N 2 = o, 1 nu t ein geringer Unterschied auftr i t t .

. . . . . . ; c : =

2 3 0- t4

r~/r,

o,z

2 6 M

Abb. 7. Der Druckspruilg P2/Pl ffir verschieden Abb. 8. Der Temperatllrspruilg T2/T 1 starke Magnetfelder ffir verschieden starke Magnetfelder

( 0 = 2 o ~ - - N ~ = o , 1 ; - - - N 2 = 1,o) ( 0 = 2 o ~ - - N 2 = o , 1 ; - - - N ~ = 1,o)

Die en• Tempera tu rku rven sind in Abb. 8 zu linden. Das Magnetfeld ha t wiederum das Bestreben, die Ternperaturspri inge zu verringern. Der EinfluB der W~irmezufuhr ha t die entgegengesetzte Tendenz.

L i t e r a t u r

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Eingegangen am 7. Juni 1973

Prof. 13r.-Ing. I. Teipel Lehrstuhl A ffir Mechanik Technische Universitiit t tannover 13- 3 I-tannover 1 Welfengarten 1

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