DidaktikderGeometrie - Universität Klagenfurt · Inhalte Fachdidaktik Wintersemester 2017/8 9 Inhalte:Zwei Auffassungen vonGeometrie Elementargeometrie&Wirklichkeit (Wittmann, 1987,

Didaktik der Geometrie

Lektion 1: Inhalte – Ziele – Globale Ideen

Andreas Vohns

Zugehoriges interaktives Video unter: https://goo.gl/SJrMqB

Wintersemester 2017/8

Ubersicht

Inhalte. . . aus Lehrpersonen- und Lernendensicht. . . aus Sicht von Fachdidaktiker(inn)en. . . aus Sicht des osterreichischen Lehrplans

Ziele. . . aus Sicht von Fachdidaktiker(inn)en. . . im Licht bildungstheoretischer Konzepte. . . in Lehrplan & (Bildungs-)Standards

Globale IdeenWas und wozu?Welche?

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Inhalte Lehrpersonen- und Lernendensicht Wintersemester 2017/8 3

Inhalte: Curriculumtransformation

Quelle: Vollstadt und Eichler, zitiert nach Girnat (2017, S. 15)



Inhalte: Lernendenperspektive

Quelle: Andelfinger (1988)Didaktik der Geometrie

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Inhalte: Lehrpersonenperspektive

Quelle: Andelfinger (1988)Didaktik der Geometrie


Inhalte: Zwei Auffassungen von Geometrie

Ideale Gegenstandsauffassung (Andelfinger, 1988, S. 108)

Viele Lehrer/innen gehen von der Auffassung aus, daß geometrischeGegenstande und Begriffe in der Wirklichkeit zwar Modelle besitzen, aberim Grunde idealisierte Objekte sind, nur in unseren Vorstellungenvorhanden. Geometrische Objekte der Umwelt weisen auf die Idee, diehinter diesen Objekten steht. [. . . ]

Zeichen und Bilder, die an der Tafel oder im Heft auftauchen, bleibenimmer irgendwie auf Distanz zu dem eigentlichen Gegenstand – demDreieck, dem Punkt –, den man nicht sehen kann. Man soll zwar so genauwie moglich zeichnen, doch das Ideal erreicht man trotzdem nie.


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Relationale Gegenstandsauffassung (Andelfinger, 1988, S. 108)

Es geht dabei [Themen des Geometrieunterrichts] nicht um das Erfassenidealer Strukturen hinter Erscheinungen der (Um)Welt und derenanschließende systematische Ordnung, sondern um einenbeziehungsreichen Umgang mit diesen Erscheinungen:

Eine Gerade ist nicht primar Gerade oder gerade, sondern auf ihr konnenPunkte liegen oder andere Punkte nicht, sie kann zu anderen Geradensenkrecht stehen, parallel sein, sie schneiden, man kann gerade visierenusw.


Inhalte Fachdidaktik Wintersemester 2017/8 8


Worum geht es in der Geometrie? (Wittenberg, 1963/1990, S. 72)

Um die Untersuchung der Figuren, die wir mit Zirkel und Lineal in unserHeft oder auf die Tafel zeichnen konnen und die wir an der Welt um uns,an unseren Feldern und Hausern und Gebrauchsgegenstanden, entdecken.

Man beachte: Es ist weder von Axiomen und Beweisen die Rede, noch vonidealen Figuren, von Punkten ohne Dicke und Linien ohne Ausdehnung.Beides wahre hier unmotiviert, ohne innere Notwendigkeit dem Schuleraufgezwungen und daher fehl am Platze.


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Elementargeometrie & Wirklichkeit (Wittmann, 1987, S. 47)

Einerseits liefert und entwickelt die Geometrie begriffliche Werkzeuge zurKonstruktion geometrischer Modelle raumlicher Situationen und zurLosung praktischer Probleme (PraxisaspektPraxisaspekt).

Andererseits entwickelt sie Theorien moglicher Modelle, in denenbegriffliche Zusammenhange (

”Satze“) und Verfahren (

”Konstruktionen“)

erforscht und begrundet werden (TheorieaspektTheorieaspekt).

Spiegelt sich im”subtilen und didaktisch schwierigen Problem der

→ Begrundung→ Begrundung geometrischer Sachverhalte“ (S. 48)



Epistemologie: Zwei Auffassungen von Mathematik

Wesen der Mathematik (Dorfler, 1980, S. 12)

In ein platonistisches Verstandnisplatonistisches Verstandnis paßt [. . . ] eine fertige Mathematik mitihren Aussagen uber die idealen, absoluten und unveranderlichen Ideenals Objekte der Mathematik. Der Platonist wird [. . . ] von der ewigen undabsoluten Wahrheit der

”Mathematik“ uberzeugt sein, weil ihre Satze ja

wahre Aussagen uber die Ideen sind und daher ihre Wahrheit unabhangigvon unserem Denken [. . . ].

Fur den EmpiristenEmpiristen ist dagegen das Gewordensein der mathematischenBegriffe, ihre Veranderbarkeit, ihre Relativitat zur Erfahrungswelt und zueinem bestimmten sprachlichen Rahmen und auch die damit gegebenenur relative Gultigkeit (also nicht Wahrheit!) der mathematischen Aussagenvon zentralem Interesse.


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Inhalte Lehrplan Wintersemester 2017/8 11

Inhalte: Lehrplan

Unterrichtsziele und Unterrichtsinhalte:Unterrichtsziele und Unterrichtsinhalte:Geometrie:

É mit grundlegenden geometrischen Objekten und mit Beziehungenzwischen diesen Objekten vertraut werden,

É zeichnerische Darstellungen von ebenen & raumlichen Gebildenanfertigen konnen,

É raumliches Vorstellungsvermogen entwickeln und Langen-, Flachen-& Volumsberechnungen durchfuhren konnen,

É geeignete Sachverhalte geometrisch darstellen und umgekehrtsolche Darstellungen deuten konnen.

(Bundesministerium fur Bildung, 2000, S. 1)



Inhalte: LehrplanLehrstoff: Arbeiten mit Figuren und KorpernLehrstoff: Arbeiten mit Figuren und Korpern

Drei wiederkehrende Aspekte (nach Jurkowitsch, 2008, S. 1f.):

É Wissen/Kenntnisse uber geometrische Figuren, Korper undgeometrische Begriffe sowie deren Eigenschaften; (Er-)Kennen,Beschreiben und Untersuchen dieser geometrischen Figuren undihrer Eigenschaften; Begrunden von Eigenschaften

É das Erstellen geometrischer Skizzen und Konstruktionen;Skizzieren/Konstruieren/Herstellen/Zeichnerisch darstellen;Maßstabszeichnungen; (Gebrauch von Zeichengeraten)

É das Ermitteln von Langen (Umfang), Flachen (Oberflachen), Volumengeometrischer Figuren und Korper durch Berechnungen bzw.Formeln zur Berechnung oder auch zum Beispiel durch Abmessen in(Maßstabs-)Zeichnungen


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Inhalte: LehrplanLehrstoff: 2. KlasseLehrstoff: 2. Klasse (nach Jurkowitsch, 2008, S. 2):

É Dreiecke, Vierecke & regelmaßige Vielecke untersuchen, wesentlicheEigenschaften feststellen und die Figuren skizzieren & konstruierenkonnen,

É Erkennen, ob Angaben mehrdeutig sind oder uberhaupt nicht inKonstruktionen umgesetzt werden konnen,

É kongruente Figuren herstellen konnen, die Kongruenz begrundenkonnen;

É Eigenschaften von Strecken- & Winkelsymmetralen kennen und furKonstruktion anwenden konnen;

É Flacheninhalte von Figuren berechnen konnen, die sich durchZerlegen oder Erganzen auf Rechtecke zuruckfuhren lassen,

É Volumina von Prismen berechnen, moglichst in Anwendungen.Didaktik der Geometrie

Ziele Fachdidaktik Wintersemester 2017/8 14

Ziele: GeometriedidaktikArgumente fur GeometrieunterrichtArgumente fur Geometrieunterricht (Ludwig, 2011, S. 2)

É dient der unmittelbaren LebensvorbereitungLebensvorbereitung,

É dient der Vorbereitung zahlreicher BerufeVorbereitung zahlreicher Berufe (insbesonderehandwerklich-technischer) und weiterfuhrender Schulen oderStudiengange,

É hilft, die Umwelt besser zu verstehendie Umwelt besser zu verstehen bzw. mit anderen Augenzu sehen,

É Geometrie ist eine wesentlichewesentliche GrundlageGrundlage andererandererWissenschaftenWissenschaften oder hat Bezuge zu ihnen (z. B.: Geographie,Physik, Astronomie) und den Kunsten (Bildhauerei, Malerei,Archtektur),

É ist ein altes Kulturgutaltes Kulturgut.


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Ziele: Geometriedidaktik

Argumente fur GeometrieunterrichtArgumente fur Geometrieunterricht (Ludwig, 2011, S. 3)

kann das Erreichen allgemeiner LernzieleErreichen allgemeiner Lernziele fordern.

É Erwerb psychomotorischer und zeichnerischer Fahigkeiten

É Forderung der Raumanschauung

É Fahigkeit des Argumentierens und begrifflichen Denkens

É Entwicklung von Problemlosefahigkeiten(auch uber die Mathematik hinaus)

É Entfaltung von Kreativitat




Aspekte der GeometrieAspekte der Geometrie (Holland, 1988)(Holland, 1988/2007, S. 19)

É Geometrie als Lehre vom Anschauungsraum

É Geometrie als deduktive Theorie

É Geometrie als Ubungsfeld fur das Problemlosen

É Geometrie als Vorrat mathematischer Strukturen


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Allgemeine Ziele des GeometrieunterrichtsAllgemeine Ziele des Geometrieunterrichts (Weigand, 2014, S. 17)

É Mit Hilfe der Geometrie die (Um-)Welt erschließen

É Geometrie und die Grundlagen wissenschaftlichen Denkensund Arbeitens kennen lernen

É Mit Geometrie Problemlosen lernen


Ziele Bildungskonzepte Wintersemester 2017/8 18

Ziele: Allgemeinbildende PerspektivenAllgemeinbildung und MathematikAllgemeinbildung und Mathematik (Heymann, 1996)In der Darstellung von Brugelmann (2005, S. 268/9):

AA Teilhabe an der Welt, wie sie ist: im Alltag handeln konnenTeilhabe an der Welt, wie sie ist: im Alltag handeln konnen

1. Lebensvorbereitung durch alltagspraktische Qualifikationen

2. Stiftung kultureller Koharenz als Grundlage fur die Verstandigung zwischenden Generationen/verschiedenen Subkulturen & zum Aufbau einerindividuellen

”reflektierten kulturellen Identitat“

BB Uber unmittelbare Handlungsbedurfnisse hinaus:Uber unmittelbare Handlungsbedurfnisse hinaus:verstehen und erklaren der Weltverstehen und erklaren der Welt

3. Weltorientierung als materiales Wissen/Zugang zu den Wissenschaften &verschiedenen Denkweisen, um Alltagserfahrungen in ein eigenes Welt-Bildeinordnen zu konnen

4. Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch uber methodische Einsichten &Fahigkeiten als Grundlage geistiger Selbststandigkeit & kritischen Denkens


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Ziele: Allgemeinbildende PerspektivenAllgemeinbildung und MathematikAllgemeinbildung und Mathematik (Heymann, 1996)In der Darstellung von Brugelmann (2005, S. 268/9):

CC Uber Wissen und Konnen hinaus: personlichen SinnUber Wissen und Konnen hinaus: personlichen Sinnfinden und soziale Normen akzeptierenfinden und soziale Normen akzeptieren

5. Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft

6. Einubung in Verstandigung und Kooperation

7. Starkung des Schuler-Ichs und Unterstutzung der personlichenIdentitatsfindung

Sie zielen auf besondere Prozessqualitaten des Lernens durch eineentsprechende

”Unterrichtskultur“



Ziele: Allgemeinbildende Grunderfahrungen

Mathematikunterricht und Allgemeinbildung (Winter, 1995, S. 37)

Der Mathematikunterricht sollte anstreben, die folgenden drei Grunderfahrungen,die vielfaltig miteinander verknupft sind, zu ermoglichen:

(1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten,aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmenund zu verstehen,

(2) mathematische Gegenstande und Sachverhalte, reprasentiert in Sprache,Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schopfungen, als eine deduktivgeordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen,

(3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlosefahigkeiten, die uberdie Mathematik hinausgehen, (heuristische Fahigkeiten) zu erwerben.


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Ziele Lehrplan & Standards Wintersemester 2017/8 21

Ziele: Lehrplan

Beitrag zu den Aufgabenbereichen der SchuleBeitrag zu den Aufgabenbereichen der Schule(Bundesministerium fur Bildung, 2000, S. 1f.)

Der Mathematikunterricht soll folgende miteinander vielfaltig verknupfteGrunderfahrungen ermoglichen:

É Erscheinungen der Welt um uns in fachbezogener Artwahrzunehmen und zu verstehen;

É Problemlosefahigkeiten zu erwerben, die uber die Mathematikhinausgehen.

Diese Grunderfahrungen sollen zur Entwicklung von Verantwortungs-bewusstsein den Mitmenschen und der Umwelt gegenuber fuhren [. . . ].


Ziele Lehrplan & Standards Wintersemester 2017/8 22

Ziele: Standards M8

Bildungstheoretische OrientierungBildungstheoretische Orientierung(IDM (2007) nach Schneider, 2016)

É Lebensvorbereitung:Lebensvorbereitung: Rustzeug fur eine aktive, selbstbestimmteTeilnahme am Leben in unserer Gesellschaft (i. S. v.

”unmittelbare Lebensvorbereitung“, Heymann, 1996)

É Anschlussfahigkeit:Anschlussfahigkeit: Mathematisches Wissen und Konnen, dieals Grundlagen fur weitergehende mathematische Ausbildungbzw. fur die Bewaltigung von (beruflichen) mathematischenAnforderungen, die uber Alltagserfordernisse hinausgehen,hilfreich erscheinen (Lebensvorbereitung im Hinblick auf

”lebenslanges Lernen“).


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Globale Ideen Was & Wozu Wintersemester 2017/8 23

Mathematische Ideen: Was?Mathematische Idee (Vohns, 2010, S. 230)

. . .bezeichnet einen entscheidenden Gedanken, den man hinter gewissenStrategien, Techniken, Denk- und Handlungsmustern auszumachen sucht,den Versuch einer Antwort auf die Frage nach dem springendenPunkt/Verstehen ermoglichenden Kern einer Sache.

”Spingender Punkt:“

”Spingender Punkt:“ Hinweise zur Beantwortung von Fragen wie:

É Warum funktioniert das. . .

É . . . so wie es funktioniert. . .

É . . .welchen Einfluss hat es auf die betroffenen Objekte. . .

É . . .welchen Zielsetzungen dient es/Erkenntnisgewinn erlaubt es?

Es gibt eher lokalelokale (Grundvorstellungen, Kernideen) und eher globaleglobale(fundamentale, universelle, zentrale) mathematische Ideen.



(Lokale) Mathematische Ideen: Wozu?. . .werden bedeutsam,

É wenn sie zum Nachdenken uber einen (schul-)mathematischenInhalt einladen,

É wenn sie helfen, ihn besser oder anders oder uberhaupt einmal zuverstehen und hinsichtlich seiner Bedeutung einzuordnen.

. . . sollen Lehrpersonen und Lernende anregen, uber Beziehungen,Gemeinsamkeiten und Unterschiede nachzudenken zwischen

É bereits Gelerntem (Gelehrtem) und noch zu Lernendem (Lehrendem),

É implizit Genutztem/Geahntem und explizit Thematisiertem,

É alltaglichen und mathematischen Denk- & Handlungsweisen.

(Vohns, 2010, S. 232)Didaktik der Geometrie

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Globale/fundamentale/zentrale. . . Ideen: Was & wozu?

É Hintergrund:Hintergrund: Vorstellung, dass man fur gesamteMathematik/bestimmte Teilbereiche eine Hand vollmathematischer Ideen angeben kann, die entscheidendeGedanken hinter dem Mathematiktreiben (im Teilbereich)beruhren (

”Meta-Konzepte“)

É Orientierung an globalen Ideen:Orientierung an globalen Ideen: Vorstellung, dassKoharenzstiftung wichtige Funktion fur das Lehren & Lernenvon Mathematik hat

É Didaktische Bedeutung:Didaktische Bedeutung: weiterhin Anregung zum Nachdenkenuber Beziehungen, Gemeinsamkeiten & Unterschiede in dendrei oben genannten Dimensionen, nur

”globaler“

(Vohns, 2010, S. 239, 242)


Globale Ideen Welche? Wintersemester 2017/8 26

Mathematische Ideen: Elementare Geometrie

Globale IdeenGlobale Ideen (Dangl, 2008)

Strukturierung des Raumes durch drei Ideen:

É Form

É Lage

É Messen


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Globale Ideen Welche? Wintersemester 2017/8 27

Mathematische Ideen: GeometrieZentrale IdeenZentrale Ideen (Baireuther, 1990, S. 34-37)

É Geometrie ist ursprunglich Feldmesskunst.

É Geometrie bildet Realitat ab.

É Geometrie ist Planungsinstrument.

É Mit geometrischen Werkzeugen und Methoden konnenasthetisch ansprechende Produkte hergestellt werden.

É In der Geometrie gibt es viele erstaunliche Phanomene, denenes sich nachzugehen lohnt.

É Die Entwicklung von Zahlbereichen und das Rechnen in ihnenkann auf geometrische Aufgaben zuruckgefuhrt werden.

É Das ganze Gebaude der Geometrie ruht auf wenigenGrundgedanken.


Literatur

Andelfinger, B. (1988). Geometrie: Didaktischer Informationsdienst Mathematik. Soest: Soester Ver-lagskontor.

Baireuther, P. (1990). Konkreter Mathematikunterricht. Bad Salzdetfurth: Franzbecker.

Brügelmann, H. (2005). Schule verstehen und gestalten: Perspektiven der Forschung auf Probleme vonErziehung und Unterricht. Konstanz: Libelle Verl.

Bundesministerium für Bildung. (2000). Lehrpläne der AHS-Unterstufe: Mathematik. Wien.Zugriff unter https://goo.gl/zjfvf8

Dangl, M. (2008). Globale Ideen der Elementaren Geometrie: Manuskript eines Vortrags ge-halten im ULG „Fachbezogenes Bildungsmanagement“. Universität Klagenfurt (unver-öffentlicht).

Dörfler, W. (1980). Philosophische Grundpositionen zur Mathematik. Didaktikhefte der Österrei-chischen Mathematischen Gesellschaft, (4), 12–29.

Girnat, B. (2017). Individuelle Curricula über den Geometrieunterricht. Wiesbaden: Springer.

Heymann, H. W. (1996). Allgemeinbildung und Mathematik. Weinheim: Beltz.

Holland, G. (2007). Geometrie in der Sekundarstufe: Entdecken - Konstruieren - Deduzieren; didak-tische und methodische Fragen (3., neu bearb. und erw. Aufl.). Hildesheim: Franzbecker.(Original erschienen 1988)

IDM (Hrsg.). (2007). Standards für die mathematischen Fähigkeiten österreichischer Schülerinnen undSchüler am Ende der 8. Schulstufe: Version 4/07. Klagenfurt: Institut für Didaktik der Mathe-matik.

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Jurkowitsch, G. (2008). Inhalte der Elementaren Geometrie: Manuskript eines Vortrags gehal-ten im ULG „Fachbezogenes Bildungsmanagement“. Universität Klagenfurt (unveröf-fentlicht).

Ludwig, M. (2011). Skript zu LV „Didaktik der Geometrie“. Kapitel 1: Ziele und Inhalte desGeometrieunterrichts in der Sekundarstufe. PH Weingarten/Universität Frankfurt. Zu-griff unter https://goo.gl/Ezkjfj

Schneider, E. (2016). Standards für den Mathematikunterricht am Ende der 8. Schulstufe. Vorlesungs-folien. Universität Klagenfurt (unveröffentlicht).

Vohns, A. (2010). Fünf Thesen zur Bedeutung von Kohärenz- und Differenz-erfahrungen im Umfeld einer Orientierung an mathematischen Ideen. Journal für Mathematik-Didaktik, 31(2), 227–255.

Weigand, H.-G. (2014). Ziele des Geometrieunterrichts. In H.-G. Weigand, A. Filler, R. Hölzl, S.Kuntze, M. Ludwig, J. Roth, . . . G. Wittmann (Hrsg.), Didaktik der Geometrie für die Sekun-darstufe I (S. 13–33). Berlin, Heidelberg: Springer.

Winter, H. (1995). Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der GDM, (61),37–46.

Wittenberg, A. I. (1990). Bildung und Mathematik: Mathematik als exemplarisches Gymnasialfach (2.Aufl.). Stuttgart: Klett. (Original erschienen 1963)

Wittmann, E. C. (1987). Elementargeometrie und Wirklichkeit. Wiesbaden: Vieweg+Teubner Ver-lag.

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